1 Un esempio di modello - University of CagliariCdL:EGST-MICROECONOMIA-Docente: StefanoMatta 3 •...

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta 1

QUESTE BREVI NOTE RAPPRESENTANOSOLTANTO LO SCHEMADELLE LEZIONI DEL CORSO DI MICROECONOMIA

NON SOSTITUISCONO IL LIBRO DI TESTO E/O GLI APPUNTIPRESI A LEZIONE!!!

1 Un esempio di modello

• Modello: rappresentazione semplificata della realta

• Mercato degli appartamenti:

2 tipi di appartamenti: vicini (V) e lontani (L); prezzo (p) di L variabileesogena; p di V variabile endogena

• Problemi:

1) determinare il p di affitto;

2) chi saranno i locatari;

3) statica comparata;

4) confronto tra i diversi meccanismi di allocazione.

• Principio di ottimizzazione e di equilibrio

• Curva di domanda (D) e prezzo di riserva

• Curva di offerta (S) di breve periodo: molti proprietari che agiscono inmodo indipendente disposti a dare in affitto il proprio appartamento al prezzopiu alto consentito dal mercato (meccanismo concorrenziale)

• prezzo di equilibrio p∗: viene determinato dall’incontro tra D e S

• p < p∗: eccesso di domanda;

• p > p∗: eccesso di offerta;

• chi abitera in V dipende dalla disponibilita a pagare (prezzo di riserva)

• Statica comparata:

1) aumento/diminuzione dell’offerta;

2) vendita di appartamenti;

3) imposta sulle abitazioni


• Meccanismi di allocazione:

1) Concorrenza perfetta

2) Monopolista discriminante

3) Monopolista puro: applica un prezzo p = pM tale che massimizzi il suoricavo pD(p)

4) Controllo degli affitti: pmax < p∗

• Miglioramento paretiano: e possibile aumentare la soddisfazione di qual-cuno senza diminuire quella di qualcun altro (vengono effettuati tutti gliscambi volontari)

• Una allocazione e Pareto-efficiente se non e possibile un miglioramentoparetiano

• Osservazione: chi paga l’affitto in V ha un prezzo di riserva piu elevato: con-correnza e monopolista discriminante sono Pareto-efficienti (gli altri mecca-nismi no);

• ESERCIZIO: Sia D(p) = 100 − 2p la curva di domanda di appartamenti.Se un monopolista disponesse di 60 appartamenti, quale prezzo pM mas-simizzerebbe il ricavo? Quanti saranno gli appartamenti affittati? E se ilmonopolista disponesse di 40 appartamenti? Confrontare con la concorrenzaperfetta.

2 Vincolo di bilancio

• Problema del consumatore: scegliere la migliore combinazione di benitra quelle che e in grado di acquistare

• p1x1 + p2x2 ≤ m vincolo di bilancio

• i panieri di consumo (x1, x2) che soddisfano il vincolo li chiameremo in-sieme di bilancio

• retta di bilancio: x2 =mp2

− p1p2x1

• interpretazione economica di p1/p2 (costo opportunita) e delle intercette

• p1x1 + x2 ≤ m, dove x2 bene composito

• bene numerario: un bene il cui prezzo e stato fissato pari a 1


• Variazioni della retta (variazioni del reddito o dei prezzi)

• Osservazione: retta di bilancio e inflazione

• tassa sulla quantita: p1 + t (retta piu ripida)

• tassa ad valorem: (1 + τ)p1

• sussidi: p1 − s (sulla quantita), (1− σ)p1 (ad valorem)

• tasse e sussidi globali (non modificano l’inclinazione)

• m ↑ o pi ↓ =⇒ soddisfazione ≥

• ESERCIZI:

1) Riscrivere la retta p1x1+p2x2 = m se p1 raddoppia, p2 aumenta otto voltee m sei volte;

2) Se p2 ↑ (m, p1 invariati) si disegni lo spostamento subito dalla retta dibilancio

3) Se p1 raddoppia e p2 triplica, la retta diventa + ripida o + piatta?

4) Se spendi tutto il tuo reddito per acquistare (100, 50) quando p1 = 2 ep2 = 4, di quanto deve aumentare m per consumare lo stesso paniere sep1 = 3?

5) Consideriamo 3 beni. Siano i prezzi p1 = 2, p2 = 4, p3 = 6.

a) Scrivere la retta di bilancio se m = 360

b) Sia il bene 1 il numerario. Si riscriva la retta di bilancio.

6) Si scriva la retta di bilancio in presenza di una tassa globale T, di unatassa sulla quantita t (sul bene 1) e un sussidio sulla quantita s sul bene 2.

7) Se m ↑ e pi ↓ (i = 1, 2), il consumatore e altrettanto soddisfatto?

3 Preferenze

• Relazione di preferenza debole %, forte ≻, indifferenza ∼

• Assunzioni: completezza, riflessivita, transitivita

• Curva di indifferenza (CI) e insieme preferito debolmente

• Costruzione della curva: (x1, x2) ∼ (x1 +∆x1, x2 +∆x2)


• Perfetti sostituti: saggio di sostituzione costante (CI inclinazione costante)

• Perfetti complementi: vengono consumati congiuntamente in proporzionifisse (CI forma a L)

• Mali, beni neutrali, sazieta, beni discreti: curve di indifferenza

• Preferenze regolari: soddisfano anche la monotonicita e la convessita

• Saggio marginale di sostituzione (SMS): rappresenta l’inclinazione dellaCI

• monotonicita =⇒ SMS negativo

• convessita =⇒ SMS decrescente

• interpretazione del SMS come disponibilita marginale a pagare

• SMS e saggio di scambio

• ESERCIZI

1) “Essere almeno altrettanto alto di ...” e una relazione transitiva? E’completa?

2) “Essere strettamente piu alto di ...” e una relazione transitiva? E’ com-pleta? E’ riflessiva?

3) “Essere piu robusto e piu veloce di ...” e una relazione transitiva? E’completa?

4) Due curve di indifferenza possono intersecarsi?

5) Se consideriamo due mali, come rappresentiamo le curve di indifferenza?

4 Utilita

• la funzione di utilita, u : R2 → R, e un modo per associare un numero adogni possibile paniere di consumo rispettando le preferenze:

A % B ⇔ u(A) ≥ u(B)

• utilita ordinale e cardinale


• Esempi

perfetti sostituti: u(x, y) = ax+ by

perfetti complementi: u(x, y) = min{ax, by}Cobb-Douglas: u(x, y) = xcyd

• SMS e utilita marginale

SMS = −∂u∂x∂u∂y

• SMS di preferenze Cobb-Douglas

SMS = − cy

dx

• ESERCIZI

1) Calcolare il SMS delle seguenti funzioni di utilita

a) u(x, y) = x+ 3y

b) u(A,C) = A(1 + C)

c) u(x, y) = 14x2y

2) Data u(x, y) = x2y2

a) Calcolare l’utilita marginale di x e y

b) determinare y affinche A ∼ B, dove A = (4, 3) e B=(2,y)

3) Data u(x, y) =√x√y

a) calcolare il SMS;

b) si determini la funzione della curva di indifferenza passante per ilpaniere (9, 16)

c) si stabilisca l’ordinamento dei seguenti panieri:

A=(9,16), B = (49,81), C=(25,9), D=(4,1), E=(9,4)

4) Siano u1(x, y) = xy100

e u2(x, y) = 1000x2y2 le funzioni di utilita dei con-sumatori 1 e 2.

a) si calcoli il SMS delle due funzioni;

b) si determini, per entrambe le funzioni di utilita, la funzione della curvadi indifferenza passante per il paniere (4, 4)


5 Scelta

• Problema del consumatore: scegliere il paniere preferito tra quelli apparte-nenti al suo insieme di bilancio

• Intuizione geometrica: la scelta ottima si ha in corrispondenza del punto incui la CI e tangente alla retta di bilancio (con preferenze regolari e ottimointerno)

• la scelta ottima rappresenta il paniere domandato dal consumatore, dati iprezzi e il reddito

funzione di domanda del bene i:

xi = xi(p1, p2, m), i = 1, 2

• perfetti sostituti:

x1 = m/p1 se p1 < p2

x1 = 0 se p1 > p2

x1 ∈ [0, m/p1] se p1 = p2

• preferenze Cobb-Douglas u(x1, x2) = xc1x

d2:

x1 =c

c+ d

m

p1

x2 =d

c+ d

m

p2

Osserviamo che la frazione cc+d

esprime la frazione del reddito che il con-sumatore spende per acquistare il bene 1 (idem per il bene 2)

Infatti:

p1x1 =c

c + dm

ESERCIZI

1) Scrivere la funzione di domanda del bene 2 nel caso di beni perfetti so-stituti

2) Quale frazione del reddito viene spesa per l’acquisto del bene 2 da partedi un consumatore con preferenze del tipo u(x, y) = xy4?


3) Se l’inclinazione della curva di indifferenza fosse −b, quali sarebbero lescelte ottime del consumatore dati i prezzi p1, p2 e il reddito m ?

4) Dati u(x, y) = x3y, R = 16, px = 4 e py = 5:

a) scrivere l’equazione del vincolo di bilancio;

b) scrivere il sistema di equazioni che rappresenta la scelta ottima;

c) calcolare la scelta ottima;

d) si determini la scelta ottima se il reddito aumenta di un quarto;

e) si determini la scelta ottima se px = 2;

f) il consumatore e piu felice nel caso d) o nel caso e)?

5) Sia u(x, y) = x+ y

a) si determini la scelta ottima se px = 2, py = 6 e R = 200

b) e se R = 400?

c) e se px = 6?

6) Sia u(x, y) = 15xy e py = 3. Se la scelta ottima fosse (25, 20), a quantoammonterebbero px e R?

6 Domanda

• La funzione

xi = xi(p1, p2, m)

esprime la quantita domandata del bene i in funzione dei prezzi e del reddito

• E’ naturale chiedersi come varia la domanda di un bene al variare dei prezzio del reddito

• Una variazione del reddito comporta uno slittamento della retta di bilanciosenza modificarne l’inclinazione

• In generale ci aspettiamo che la quantita domandata di un bene aumentiall’aumentare del reddito (∂x1

∂m> 0): in tal caso si parla di bene normale

• Quando la quantita domandata di un bene diminuisce all’aumentare del red-dito (∂x1

∂m< 0) si parla di bene inferiore


• Una variazione del prezzo di uno dei beni modifica l’inclinazione della rettadi bilancio e una delle sue intercette

• Ci aspettiamo che la quantita domandata di un bene diminuisca all’aumentaredel prezzo (∂x1

∂p1< 0): in tal caso si parla di bene ordinario

• Se invece la quantita domandata di un bene aumenta all’aumentare delprezzo (∂x1

∂p1> 0) si parla di bene di Giffen

• La curva reddito-consumo rappresenta i panieri domandati in corrispon-denza di diversi livelli del reddito, mentre la curva di Engel rappresenta laquantita domandata di un bene in funzione del reddito

• La curva prezzo-consumo rappresenta i panieri domandati in corrispon-denza di prezzi diversi di un bene, mentre la curva di domanda rappresentala quantita domandata di un bene in funzione del suo prezzo

• Con la funzione di domanda inversa esprimiamo il prezzo in funzionedella quantita. Una sua interpretazione e la seguente:

dalla condizione di ottimo ‖SMS‖ = p1/p2, si ottiene p1 = p2‖SMS‖Supponiamo che il bene 2 rappresenti la moneta a disposizione per l’acquistodegli altri beni (p2 = 1): il SMS rappresenta la quantita di moneta cui unoe disposto a rinunciare per ottenere una quantita leggermente superiore delbene 1. Il prezzo del bene 1 rappresenta pertanto la disponibilita marginalea pagare. La curva di domanda con inclinazione negativa si ricollega alconcetto di SMS decrescente.

• surplus del consumatore rappresenta la differenza tra quanto un con-sumatore e disposto a pagare per un bene e quanto egli paga effettivamenteper l’acquisto di quel bene. Graficamente il surplus del consumatore e datodall’area compresa tra la curva di domanda e la linea del prezzo

• domanda di mercato (o aggregata) si ottiene sommando le curve didomanda individuali

X1(p1, p2, m1, . . . , mn) =

n∑

i=1

xi1(p1, p2, mi)

Esprimendo, a livello aggregato, il prezzo in funzione della quantita, si ot-tiene la funzione di domanda inversa. Essa rappresenta il SMS di ciascunconsumatore che acquisti il bene (nota: i prezzi sono uguali per tutti =⇒il SMS e uguale per tutti).


• Elasticita della domanda rispetto al prezzo

e il rapporto tra la variazione percentuale della quantita e la variazione per-centuale del prezzo

ǫ =∆q/q

∆p/p=

∆q

∆p

p

q

per variazioni infinitesimali

ǫ =dq

dp

p

q

• il segno dell’elasticita e generalmente negativo (la curva di domanda ha in-clinazione negativa).

In valore assoluto:

se ǫ = 1 la domanda ha elasticita unitaria (all’aumentare del prezzo la quan-tita domandata diminuisce nella stessa proprozione)

se ǫ > 1 la domanda e detta elastica (all’aumentare del prezzo la quantitadomandata diminuisce piu che proporzionalmente)

se ǫ < 1 la domanda e detta inelastica (all’aumentare del prezzo la quantitadomandata diminuisce meno che proporzionalmente)

• Esempio: domanda lineare q = a− bp

l’elasticita e data da ǫ = −bpq

= −bpa−bp

e varia tra zero e infinito

• Il ricavo e dato dal prodotto tra il prezzo e la quantita

R = pq

Se p ↑ =⇒ q ↓: il ricavo aumenta o diminuisce? Possiamo dare una rispostaa questa domanda analizzando la relazione tra ricavo e elasticita.

Chiamiamo p + ∆p e q + ∆q i nuovi livelli del prezzo e della quantita. Lavariazione del ricavo sara data da (trascurando il termine ∆p∆q)

∆R = q∆p+ p∆q

Dividendo ambo i lati per ∆p si ha

∆R

∆p= q + p

∆q

∆p


da cui ∆R∆p

> 0 =⇒ pq∆q∆p

> −1 =⇒ ‖ǫ‖ < 1

I ricavi aumentano all’aumentare del prezzo se l’elasticita della domanda einferiore a uno (in valore assoluto).

ESERCIZI

1) Data u(x, y) = 4x + 3y si determini la scelta ottima se px = 6, py = 3 eR = 36. Come varia la scelta al crescere del reddito (curva di Engel)?

2) Data u(x, y) = 6xy, px = 3 e py = 2 si determini

a) la curva di Engel di x e y

b) la scelta ottima se m = 100

c) come varia la scelta se m = 420

d) si rappresentino le 2 curve di Engel

3) Dati u(x1, x2) = x21x2, p2 = 2000 e m = 60.000

a) si determini la curva di domanda del bene 1

b) si determini la quantita domandata del bene 1 se p1 = 1000

4) Date le preferenze U(x, y) = 2xy, si determini la scelta ottima che consentedi conseguire un livello di utilita pari a 400 se px = 10 e py = 5.

5) Dati u(x1, x2) = 4x1x2, R = 300, p1 = 20 e p2 = 40

a) si determini la scelta ottima

b) si determini la scelta ottima se p1 = 40 e se p1 = 60

c) tracciare la curva prezzo consumo e la curva di domanda

6) La curva di domanda di un consumatore e p = 5− 12q. Se il prezzo varia

da 1 a 2, qual’e la variazione del surplus?

7) Dati u(x, y) = xy, px = 2 e py = 6

a) si determini la curva di Engel di x e y

b) si determini la curva di domanda se R = 140

c) se vi fossero n consumatori con le stesse preferenze, quale sarebbe lafunzione di domanda aggregata di x e y?

8) pA = 10− 12qA e pB = 20− qB sono le funzioni di domanda di A e B

a) rappresentare graficamente le due funzioni

b) determinare la funzione di domanda aggregata e rappresentarla grafi-camente

9) Sia q = 80− 4p la domanda di un bene. Se p = 5 conviene al produttoreaumentare il prezzo?


10) Siano qA = 30pA

e qB = 60pB

due funzioni di domanda. Si determinil’elasticita rispetto al prezzo.

11) Noti q = 5, p = 10, ǫ = 7, scrivere la funzione di domanda della formaq = a− bp


7 Tecnologia e profitto

• L’impresa impiega input per produrre output

• L’insieme di produzione rappresenta tutte le combinazioni di input/outputtecnicamente realizzabili

• La funzione di produzione y = f(x1, x2) rappresenta la frontiera di questoinsieme, ovvero il massimo livello di output che puo ottenersi impiegando undato livello input.

• Un isoquanto di produzione rappresenta tutte le combinazioni di input checonsentono di produrre una data quantita di output (analogia con le curvedi indifferenza e i casi perfetti sostituti, complementi, Cobb-Douglas)

• Ipotizziamo che la tecnologia siamonotona (la quantita prodotta non diminuisceaumentando la quantita impiegata di almeno un input ) e convessa (dati duemodi diversi di produrre la stessa quantita di output, la loro combinazionelineare consente di produrre almeno la stessa quantita)

• Definiamo PMi il prodotto marginale del fattore i, la quantita di outputaddizionale ottenibile da un’unita addizionale di xi; per variazioni infinitesi-mali

PM1 =∂f(·)∂xi

(analogia con l’utilita marginale)

• il saggio tecnico di sostituzione rappresenta il saggio al quale sosti-tuire un input con l’altro per ottenere lo stesso livello di output; e datodall’inclinazione dell’isoquanto

STS = −PM1

PM2

(analogia con SMS)

• legge della produttivita marginale decrescente: il prodotto marginaledi un input diminuisce quando se ne impiegano quantita via via crescenti(mantenendo fissi tutti gli altri input)

• Breve periodo: alcuni fattori sono fissi


• Lungo periodo: tutti i fattori produttivi possono variare

• Rendimenti di scala: ci dicono come varia l’output quando variamo gliinput nella stessa proporzione

costanti:

f(tx1, tx2) = tf(x1, x2)

crescenti:

f(tx1, tx2) > tf(x1, x2)

decrescenti:

f(tx1, tx2) < tf(x1, x2)

• Il fine dell’impresa e la massimizzazione del profitto π:

π = py − w1x1 − w2x2

• supponiamo che l’impresa sia price-taker, ossia i prezzi dell’output e dell’inputsono dati

• se siamo nel breve periodo e x1 e il fattore variabile, l’impresa sceglie laquantita di x1 che massimizza π; la condizione di massimizzazione e

pPM1 = w1

il valore del prodotto marginale di un fattore deve essere uguale al suo prezzo

• graficamente possiamo rappresentare la scelta ottima del fattore x1 con lacondizione di tangenza

PM1 =w1

p

tra la funzione di produzione y = f(x1, x2) e la retta di isoprofitto

y =π

p+

w2

px2 +

w1

px1

che esprime tutte le combinazioni (x1, y) associate allo stesso livello del pro-fitto π


• Nel lungo periodo la condizione di massimizzazione sara

pPM1 = w1

pPM2 = w2

ESERCIZI

1) Che rendimenti di scala presentano le seguenti funzioni di produzione?

f(x1, x2) = x21x

22; f(x1, x2) = 4x

1/21 x

1/32 ; y = x1 + x2; y =

x1x2

2

x1+x2

; y =18x1 + 0.5x2 + 6x3;

2) Dimostrare che il tipo di rendimenti di scala della funzione di produzioney = Axa

1xb2 dipendono dal valore di a+ b.

3) Il STS tra x2 e x1 e −4. Per produrre lo stesso output impiegando 3 unitain meno di x1, quante unita in piu di x2 devono essere utilizzate?

4) Se pPM1 > w1, l’impresa deve aumentare o diminuire la quantita impie-gata di x1 per aumentare il profitto?

5) Se il prezzo del fattore fisso x2 diminuisse, come varierebbero la quan-tita impiegata di x1 e il profitto dell’impresa? E se aumentasse il prezzodell’output?

8 Costi

• La massimizzazione del profitto implica la minimizzazione dei costi

• la funzione di costo c(y) esprime i costi minimi necessari per produrre illivello di output desiderato, ovvero

minx1,x2

w1x1 + w2x2

t.c.f(x1, x2) = y

• la soluzione al problema di minimizzazione (x∗

1, x∗

2) viene rappresentata grafi-camente dalla condizione di tangenza

STS = −w1

w2


tra la curva di isoquanto e la retta di isocosto

x2 =C

w2− w1

w2x1

che rappresenta le combinazioni (x1, x2) il cui costo e C

• c(1) rappresenta il costo necessario per produrre una unita di output. Se irendimenti di scala sono costanti allora c(y) = c(1)y

• Definiamo il costo medio, c(y)y, il costo per unita di output; se i rendimenti

sono costanti il costo medio risulta costante; se sono crescenti esso risultadecrescente; se sono decrescenti esso risulta crescente

• I costi totali sono dati dalla somma dei costi variabili e costi fissi: c(y) =cv(y)+CF ; i costi medi totali sono dati dalla somma dei costi medi variabilie costi medi fissi

• la curva del costo medio totale di breve periodo ha un andamento a U: iltratto decrescente dipende dalla diminuzione dei costi fissi, il tratto crescentedall’aumento dei costi variabili dovuto alla rigidita dei fattori fissi

• la curva del costo marginale misura la variazione dei costi corrispondentead una variazione dell’output; per variazioni infinitesimali e data da dc(y)

dy=

c′(y)

• Osservazione:

se c′(y) < c(y)/y =⇒ c(y)/y decresce

se c′(y) > c(y)/y =⇒ c(y)/y cresce

pertanto c′(y) = c(y)/y nel punto di minimo di c(y)/y (stesso ragionamentoper cv(y)/y).

ESERCIZI

1) Sia y = 4LT una funzione di produzione.

a) Determinare (L∗, T ∗) se il budget dell’impresa e di 6400 e wL = 80 ewT = 100;

b) Determinare y∗

c) Si supponga di voler produrre y = 10240. Determinare (L∗, T ∗);

d) Determinare i costi sostenuti per produrre y = 10240 e verificare se ilcosto medio e aumentato o diminuito;


2) Sia y = 3S +N una funzione di produzione.

a) Tracciare gli isoquanti per y = 30 e per y = 60;

b) Verificare che tipo di rendimenti presenta;

c) Se wS = 2 e wN = 1 qual’e la scelta ottima di fattori? Se wS < 3wN

converrebbe impiegare N?

d) Se i i prezzi fossero wS, wN quale sarebbe il costo necessario per pro-durre y = 60?

3) Data la funzione di produzione y = 4K1/2L1/2 e i prezzi wK = 4 e wL = 8,determinare la funzione di costo di lungo periodo e di breve periodo se K =49.

9 Offerta in concorrenza perfetta

• La concorrenza perfetta e una forma di mercato in cui le imprese sono price-taker; un’ipotesi ragionevole e quella di pensare ad un gran numero di im-prese che offrono un prodotto omogeneo: ciascuna impresa deve soltantodecidere quanto produrre e puo vendere qualsiasi quantita al prezzo di mer-cato (la curva di domanda dell’impresa e orizzontale in corrispondenza delprezzo di mercato)

• L’impresa massimizza il profitto segliendo l’output

maxy

py − c(y)

il livello di output ottimale y∗ e tale che (condizione di massimizzazionedel profitto)

p = c′(y∗)

• la curva di offerta dell’impresa di breve periodo e data dalla curvadel costo marginale al di sopra della curva del costo medio variabile: infattil’impresa produrra soltanto se π > −CF ovvero py−cv(y)−CF ≥ −CF =⇒py − cv(y) ≥ 0 =⇒ p ≥ cv(y)/y

• la curva di offerta dell’impresa di lungo periodo e data dalla curva delcosto marginale al di sopra della curva del costo medio totale


• il surplus del produttore: l’area al di sopra della curva di offerta fino allivello del prezzo di mercato. Rappresenta la differenza tra la somma minimaalla quale il produttore sarebbe disposto a vendere y unita di output e quantoegli effettivamente ottiene

• l’offerta dell’industria o offerta di mercato e data dalla somma delle sin-gole curve di offerta

S(p) =∑

Si(p)

• Il prezzo e la quantita di equilibrio sono dati dall’incontro tra domanda eofferta di mercato

D(p) = S(p)

• Osservazione: l’equilibrio di un mercato concorrenziale e pareto ef-ficiente: non esiste il modo di aumentare il benessere di qualcuno senzaridurre quello di qualcun altro (la somma del surplus del consumatore e delproduttore e massimizzata) In particolare, l’offerta del bene viene allocatatra i consumatori che gli attribuiscono un valore piu elevato e la domandadel bene viene allocata tra i produttori che sostengono i costi piu contenuti

ESERCIZI

1) Data la domanda di mercato D = 3000 − 2p e l’offerta di mercato S =−600+ 3p, determinare il prezzo e la quantita di equilibrio. Qual’e il prezzominimo affinche S > 0?

2) Data la funzione di costo c(y) = 2y2 + 100:

a) scrivere le funzioni di costo medio (totale, fisso e variabile) e marginale;

b) Determinare y∗ se p = 20 o se p = 40;

c) Calcolare il profitto in entrambi i casi.

10 Monopolio

• In questa forma di mercato l’industria e caratterizzata dalla presenza di unasola impresa, il monopolista

• Data la domanda di mercato p(y), il monopolista deve decidere quanto pro-durre per massimizzare il profitto p(y)y − c(y)


• Scrivendo i ricavi totali come r(y) = p(y)y, il monopolista

maxy

r(y)− c(y)

• la condizione di massimizzazione

r′(y) = c′(y)

ci dice che il monopolista deve uguagliare il ricavo marginale al costo marginale

• Osservazione: in concorrenza perfetta p = r′(y) = r(y)/y

• Poiche r′(y) = dpdyy + p(y), possiamo scrivere

p(y)(1− 1

|ǫ|) = c′(y)

Il monopolista non produrra un y tale che |ǫ| < 1 perche altrimenti r′(y) < 0.Per c′(y) > 0, ym e tale che |ǫ| > 1, il che implica che p(y) > c(y).

• Caso particolare: curva di domanda lineare p(y) = a− by. Il ricavo totale eay − by2 e il ricavo marginale e r′(y) = a − 2by, che ha la stessa intercettaverticale della curva di domanda ma pendenza doppia

• Osservazione: il monopolista non ha una curva di offerta perche definisceprezzo e quantita simultaneamente

• Confronto tra concorrenza perfetta e monopolio:

- l’industria in concorrenza perfetta produce in corrispondenza del punto incui p = c′(y)

- il monopolista produce in corrispondenza del punto in cui p > c′(y), per-tanto l’output sara inferiore e il prezzo maggiore rispetto alla concorrenza

• Possiamo rappresentare graficamente la perdita netta di monopolio, chemisura il valore dell’output perduto

• Per capire se un mercato sara concorrenziale o un monopolio si confrontanole dimensioni del mercato con la scala minima efficiente, che rappresentail livello di output che minimizza il costo medio: se la prima e elevata rispettoalla seconda si avra probabilmente un mercato conccorrenziale e viceversa


• I monopoli possono anche sorgere perche una risorsa chiave e detenuta daun’unica impresa, perche lo stato concede il diritto esclusivo di produrre ilbene ad un’unica impresa o per collusione (cartello) tra imprese

• Discriminazione di prezzo: la pratica di vendere unita diverse dello stessoprodotto a prezzi diversi (es. biglietti per spettacoli, biglietti aerei, buonisconto,...).

ESERCIZI

1) Sia p = 60− q la domanda di mercato.

a) Rappresentarla graficamente.

b) Si derivi l’espressione del ricavo marginale

c) E’ possibile che il profitto del monopolista sia massimizzato se ym = 40?

d) Determinare ym se c(y) = 10 + 15y

2) Un monopolista fronteggia una domandaD(p) = 100−2p. La sua funzionedi costo e c(y) = 2y. Determinare ym e pm.

3) Sia D(p) = 63− 12p la domanda di mercato e c(y) = 3y2 + 6y la funzione

di costo del monopolista

a) Determinare ym, pm

b) Calcolare la perdita di benessere sociale rispetto alla concorrenza per-fetta e rappresentarla graficamente

11 Oligopolio

• E’ una forma di mercato caratterizzata dalla presenza di imprese di dimen-sioni tali da influenzare, ognuna con le proprie scelte, le decisioni delle con-correnti (interazione strategica)

• Limiteremo la nostra attenzione al duopolio (due imprese) che ipotizziamoproducano lo stesso bene: in tale situazione le variabili rilevanti sono il prezzoo la quantita fissata da ciascuna impresa

• Modello di Cournot: le due imprese determinano simultaneamente laquantita prodotta considerando data la quantita prodotta dall’altra

• Il problema dell’impresa 1 (identico a quello dell’impresa 2)


maxy1

π1 = p(y1 + y2)y1 − c1(y1)

la cui soluzione, y∗1 = f1(y2), rappresenta la funzione di reazione dell’impresa1, cioe il livello ottimale di output che l’impresa deve produrre dato l’outputprodotto dall’impresa 2

• l’equilibrio di Cournot rappresenta la combinazione (y∗1, y∗

2) t.c.

y∗1 = f1(y∗

2)

y∗2 = f2(y∗

1)

• Esempio: domanda lineare p = a− b(y1 + y2) e costi marginali nulli

L’impresa 1 eguaglia il ricavo marginale al costo marginale (che e zero)

Il ricavo totale e (a− b(y1 + y2))y1, pertanto

a− 2by1 − by2 = 0 =⇒y1 =

a− by22b

(funzione di reazione dell’impresa 1)

• per l’impresa 2 avremo

y2 =a− by1

2b

• l’intersezione delle 2 funzioni di reazione e (a/3b, a/3b) che rappresenta laquantita prodotta dalle due imprese (equilibrio di Cournot)

• Modello di Stackelberg: un’impresa, il leader, fissa la quantita primadell’altra, il follower

• Supponiamo che 1 sia il leader. L’impresa 1 sa che 2 fissera un livello dioutput y2 = f2(y1) e terra conto di questo fatto nel massimizzare il proprioprofitto

maxy1

π1 = p(y1 + f2(y1))y1 − c1(y1)


• Esempio: domanda lineare p = a− b(y1 + y2) e costi marginali nulli

L’impresa 1 eguaglia il ricavo marginale al costo marginale (che e zero)

Tenuto conto che y2 = a−by12b

(funzione di reazione) e che il ricavo totale e(a− b(y1 + y2))y1, possiamo riscrivere l’equazione del ricavo totale

(a− b(y1 +a− by1

2b))y1

pertanto il ricavo marginale uguagliato a zero sara:

a− 2by1 − a/2 + by1 = 0

• L’impresa 1 produrra un output pari a y∗1 = a/2bmentre l’impresa 2 produrra

y2 =a−by∗

1

2b=⇒ y∗2 = a/4b

• L’equilibrio di Stackelberg e dato da (a/2b, a/4b)

• Modello di Bertrand: la variabile strategica e il prezzo (si ipotizza che leimprese concorrano determinando simultaneamente i prezzi). L’equilibrioalla Bertrand coincide con quello concorrenziale: ciascuna impresa fissa unprezzo uguale al proprio costo marginale

• Cartello: in questo caso ipotizziamo che le imprese colludano, cioe coope-rano determinando congiuntamente l’output per massimizzare il profitto to-tale dell’industria

maxy1,y2

p(y1 + y2)(y1 + y2)− c1(y1)− c2(y2)

Le condizioni di ottimo sono:

dp(y)

dy(y∗1 + y∗2) + p(y∗1 + y∗2) = c′1(y

∗

1)

dp(y)

dy(y∗1 + y∗2) + p(y∗1 + y∗2) = c′2(y

∗

2)

pertanto in equilibrio c′1(y∗

1) = c′2(y∗

2)


• calcoliamo l’output nell’esempio precedente (domanda lineare e costi marginalinulli)

il ricavo totale e

(a− b(y1 + y2))(y1 + y2)

e la condizione di ottimo e

−b(y∗1 + y∗2) + (a− b(y∗1 + y∗2)) = 0 =⇒

(y∗1 + y∗2) =a

2b

• Osservazione: il cartello non rappresenta un equilibrio stabile perche ogniimpresa e tentata a non rispettare i patti. Infatti:

dπ1

dy1=

dp

dyy∗1 + p(y∗1 + y∗2)− c′1(y

∗

1) = −dp

dyy∗2 > 0

se l’impresa 1 ritiene che l’impresa 2 produca y∗2, avra convenienza ad au-mentare il proprio livello di produzione (idem per l’impresa 2)

• Riassumendo:

y p π

Cournot 2a/3b a/3 2a2/9bStackelberg 3a/4b a/4 3a2/16bBertand a/b 0 0Cartello a/2b a/2 a2/4b

Esercizio

La domanda di mercato e p = 10−y e le due imprese hanno la stessa strutturadi costi: c1(y1) = 2y1 e c2(y2) = 2y2.

a) Trovare l’equilibrio di Bertrand, calcolare il surplus dei consumatori ei profitti dei produttori

b) Trovare l’equilibrio di Cournot, calcolare il surplus dei consumatori e iprofitti dei produttori

c) Trovare l’equilibrio di Stackelberg (l’impresa 1 e il leader), calcolare ilsurplus dei consumatori e i profitti dei produttori

d) Trovare l’equilibrio in caso di collusione, calcolare il surplus dei con-sumatori e i profitti dei produttori


12 Teoria dei giochi

• Analizza l’interazione strategica e il conflitto tra soggetti attraverso modellimatematici

• Un gioco comprende: i giocatori, le strategie e i payoff (premi o perdite chedipendono dalle strategie scelte)

• Possiamo rappresentare un gioco attraverso la matrice dei payoff

• Esempio: dilemma del prigioniero

Giocatore 1

Giocatore 2Confessare Negare

Confessare −3,−3 0,−6Negare −6, 0 −1,−1

• La strategia “confessare” e la strategia dominante per entrambi i giocatori,(e la scelta ottima indipendentemente dalla scelta che fara l’altro giocatore)

• Osservazione: l’equilibrio ottenuto dai giocatori< confessare, confessare >non e pareto-efficiente (analogia con il cartello)


• Non sempre esiste una strategia dominante; in alcuni giochi e possibiletrovare una soluzione eliminando ripetutamente le strategie dominate

• Esempio:

Giocatore 1

Giocatore 2sinistra centro destra

su 1, 0 1, 2 0, 1giu 0, 3 0, 1 2, 0

Il giocatore 1 sa che il giocatore 2 preferira sempre “centro” a “destra”.Pertanto il giocatore 2 sa che il giocatore 1 giochera “su”. L’equilibrio e< su, centro, >.

• In altri giochi questa tecnica non e applicabile:

Giocatore 1

Giocatore 2sinistra centro destra

sinistra 0, 4 4, 0 5, 3centro 4, 0 0, 4 5, 3destra 3, 5 3, 5 6, 6

• il risultato < destra, destra > rappresenta un equilibrio di Nash: la sceltadel giocatore 1 e ottima data la scelta del giocatore 2 e viceversa (si osservila differenza rispetto a una strategia dominante, che e una scelta ottimaindipendentemente dalle scelte dell’altro giocatore). Nessun giocatore e in-centivato a deviare.

• L’equilibrio di Cournot e un equilibrio di Nash.

• Osservazione 1: l’equilibrio di Nash non e necessariamente unico.

In questo esempio

Moglie

MaritoTeatro Boxe

Teatro 2, 1 0, 0Boxe 0, 0 1, 2

esistono due equilibri: < teatro, teatro > e < boxe, boxe >

• Osservazione 2: l’equilibrio di Nash puo non esistere (considerando le strate-gie pure)


Giocatore 1

Giocatore 2T C

T 1,−1 −1, 1C −1, 1 1,−1

• I giochi descritti precedentemente prevedono che entrambi i giocatori deci-dano simultaneamente. In molte situazioni le decisioni vengono prese se-quenzialmente (si pensi al modello di Stackelberg)

• Con l’esempio seguente illustriamo un gioco che presenta due equilibri diNash se giocato simultaneamente e un equilibrio se giocato sequenzialmente

• Esempio

Giocatore 1

Giocatore 2sinistra destra

alto 1, 9 1, 9basso 0, 0 2, 1

• < alto, sinistra > e < basso, destra > sono i due equilibri di Nash

• Supponiamo ora che il giocatore 1 muova per primo e rappresentiamo il giocoin forma estesa

bassoalto

1

d

1, 9

s

1, 9

2

d

2, 1

s

0, 0

2

l’equilibrio e < basso, destra >. Infatti il giocatore 1 sa che giocando “alto”riceverebbe un payoff 1 mentre giocando “basso” riceverebbe 2 perche ilgiocatore 2 non giochera “s” (riceverebbe un payoff 0) ma “d”. Anche se 2minacciasse di giocare s, 1 sa che questa minaccia non sarebbe credibile.

• Come applicazione possiamo pensare che il giocatore 1 sia una impresa chedecide se entrare (in) o non entrare (out) in un mercato e che il giocatore2 sia un’impresa gia presente nel mercato che puo decidere se reagire o nonreagire. L’equilibrio e < in, non r >.


inout

1

1, 9 non r

2, 3

r

0, 2

2

• L’impresa 2 potrebbe rendere credibile la minaccia di reagire sostenendodei costi indipedentemente dalla decisione presa da 1. Pensiamo a questavariante del gioco precedente in cui l’impresa 2 sostiene dei costi per prevenirestrategicamente l’ingresso dell’impresa 1.

inout

1

1, 7 non r

2, 2

r

0, 3

2

ESERCIZI

1) Due imprese possono scegliere se applicare un prezzo alto o basso. Questae la matrice dei payoff:

Impresa 1

Impresa 2P alto P basso

P alto 10, 10 −5, 20P basso 20,−5 0, 0

a) Esistono strategie dominanti? b) Quale sarebbe l’equilibrio del giocoin caso di concorrenza alla Bertrand? c) E se le imprese colludessero?L’equilibrio sarebbe stabile?

2) Due imprese decidono quanto spendere in pubblicita (i payoff rappresen-tano i profitti)

a) Esiste una strategia dominante per l’impresa 1? E per l’impresa 2?

b) Trovare l’equilibrio.

c) Quale sarebbe l’equilibrio in caso di collusione?


Impresa 1

Impresa 25 7, 5 10

4 50, 50 40, 60 30, 506 75, 40 45, 50 40, 458 90, 30 50, 40 50, 3510 100, 25 45, 30 50, 25

3) Trovare l’equilibrio in questo gioco sequenziale.

RL

2, 0

1

R′L′

1, 1

2

R′′

0, 2

L′′

3, 0

1

1 Un esempio di modello - University of CagliariCdL:EGST-MICROECONOMIA-Docente: StefanoMatta 3 •...

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