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I sistemi lineari

( ) ( ) xtbxtax += &&&

3.a I sistemi lineari

Ryōgo KuboGiappone, 1920 – 1995

Laplace fu uno degli scienziati più influenti del tempo. I suoi contributi allo studio della Meccanica celeste furono decisivi. Si occupò di molti problemi mmatematici, tra cui lo studio delle equazioni differenziali.

Kubo è stato un fisico matematico che ha concentrato lo studio sulla Meccanica Statistica del nnon-equilibrio, sviluppando in particolare la Teoria Quantistica della risposta lineare.

Pierre-Simon LaplaceFrancia 1749 – 1827


Un sistema dinamico lineare è un sistema dinamico la cui evoluzione è governata dal principio di sovrapposizione degli effetti:

Se la sollecitazione esterna F raddoppia, raddoppia anche la risposta x.

La Fisica Classica e la Meccanica Quantistica offrono esempi di sistemi dinamici lineari in tutti gli ambiti tematici della Meccanica, dell’Elettromagnetismo, ecc.

I sistemi dinamici lineari

Le più comuni equazioni differenziali che descrivono questa classe di sistemi fisici sono del tipo:

( )tFxbxax ++= &&&

II ordine : compare al più la derivata seconda

a e b potrebbero dipendere da t, ma ci soffermiamo sulle equazioni a coefficienti costanti

L’insieme delle soluzioni x = x(t) dell’equazione si chiama Integrale Generale I.G.2

2

td

xdx;

td

xdx == &&&



Esempio di sistema dinamico lineare: l’oscillatore armonico

a. Oscillatore forzato b. Oscillatore forzato - smorzato

( )tωcosFF o=( )tωcosFF

xm

F

o

v

=τ

−= &

a. Sull’oscillatore agisce la forza esterna oscillante:

b. Sull’oscillatore agisce anche una forza dovuta alla resistenza del mezzo (per esempio, l’aria:

( )tFxmxm 2o +ω−=&&

( )tFxmxm

xm 2o +ω−

τ−= &&&


a. Oscillatore forzato.La risposta x(t) è in fase con la sollecitazione F(t).


L’ampiezza della risposta è proporzionale all’ampiezza della sollecitazione.

Il segnale di risposta x(t) può avere un ritardo di fase rispetto alla sollecitazione F(t).

b. Oscillatore forzato - smorzato.La risposta x(t) porta un ritardo di fase rispetto alla sollecitazione F(t).

fenomenologia


In assenza di sollecitazione esterna, i sistemi lineari sono descritti da equazioni differenziali lineari omogenee .

Le più comuni equazioni differenziali che descrivono questa classe di sistemi fisici sono del tipo:

Esempio di sistema dinamico lineare libero: l’oscillatore armonico

a. Oscillatore libero b. Oscillatore smorzato

a. Sull’oscillatore libero agisce solo la forza elastica:

b. Sull’oscillatore smorzato agisce anche la forza dovuta alla resistenza del mezzo:

xmxm 2oω−=&&

xmxm

xm 2oω−

τ−= &&&

xbxax += &&&


L’integrale generale di un’equanzione omogenea I.G.O. è dato dalle combinazioni lineari di due soluzioni:

( ) ( ) ( )txctxctx 2211 +=

Principio di sovrapposizione

I.G.O. x1(t)

x2(t)

c1x1(t) + c2x2(t)

Ogni soluzione dell’equazioneè data dalla combinazione lineare di due determinate soluzioni.

( ) ( ) xtbxtax += &&&

Le equazioni differenziali lineari omogenee xbxax += &&&

Le equazioni differenziali lineari omogenee


In base al Principio di sovrapposizione, l’I.G. di un’equazione omogenea è uno spazio vettoriale.

I vettori sono le soluzioni dell’equazione .

Le proprietà formali di uno spazio vettoriale

La combinazione lineare di due vettori è un vettoreLe operazioni di somma tra vettori e di moltiplicazione per un numero (scalare) soddisfano le seguenti proprietà:

xbxax += &&&

Le equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti


xbxax += &&&

L’equazione caratteristica è un’equazione di II grado.

Salvo il caso degenere in cui abbia due soluzioni uguali (su cui non ci soffermiamo) i due valori di γ determinano le due soluzioni indipendenti da cui generare tutte le altre per combinazione lineare:

Si possono sempre cercare soluzioni del tipo ( ) teAtx γ=

Sostituendo questa funzione di prova nell’equazione, si ottiene l’equazione algebrica caratteristica:

γ=

γ=→

γ

γ

t2

t

eAx

eAx

&&

&

ba

eAbeAaeA2

ttt2

+γ=γ

+γ=γ γγγ

con A e γ numeri complessi.

Soluzione dell’equazione differenziale col metodo d elle funzioni esponenziali

L’I.G.O è dato dalle combinazioni lineari di due soluzioni: ( ) t2

t1

21 ecectx γγ +=

Principio di sovrapposizione

Le equazioni differenziali del tipo


( )tFxbxax ++= &&&

Equazione Omogenea Associata O.A.xbxax += &&&( )tFxbxax ++= &&&

I.G. = I.G.O.A. + Sol. Part.

Ogni soluzione dell’equazioneè data dalla somma di una determinata soluzione dell’equazione a ciascuna soluzione dell’equazione O.A.

( )tFxbxax ++= &&&

I.G.O.A. I.G.

x1(t)

x2(t)

x1(t) + xo(t)

x2(t) + xo(t)

Per risolvere un’equazione differenziale a coefficienti costanti non omogenea, basta trovarne una soluzione qualunque xo(t). L’I.G. è del tipo:

( ) ( ) t2

t1o

21 ecectxtx γγ ++=

L’oscillatore armonico libero: il metodo del coseno

xmxk

amF

amF

xx

&&

rr

=−

==

( )( )

( )ϕ+−=

ϕ+=ϕ+=

tωcosAωx

tωsenAωx

tωcosAx

o2o

oo

o

&&

&

Funzione di prova

( ) ( )2o

o2oo

ωmk

tωcosAωmtωcosAk

=

ϕ+−=ϕ+−

Equazione algebrica caratteristica

Soluzione dell’equazione differenziale col metodo della funzione di prova (metodo del coseno)

m

kxO

Origine dell’asse x nel punto di riposo della molla

II Legge di Newton:

1

3.b I sistemi lineari.Esercizi e complementi

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )tωsenbtωcosax

tωsensenAtωcoscosAx

tωsensentωcoscostωcos

tωcosAx

oo

oo

ooo

o

+=ϕ−+ϕ=

ϕ−ϕ=ϕ+ϕ+=

Due modi di rappresentare la legge oraria dell’oscillatore armonico

2

L’oscillatore armonico libero: il metodo del coseno


( )ϕ+= tωcosAx o ( ) ( )tωsenbtωcosax oo +=

( ) ( )( )ϕ+=

+=

+=

+=

ϕ+−ϕ+

−

tωcosA2

eAeAx

2

eAeAx

2

C.C.eAx

o

tωitωi

tωitωi

tωi

oo

oo

o

****

La legge oraria dell’oscillatore armonico nel formalismo dei numeri complessi

C.C. = complesso coniugato

ϕ= ieAA

( ) ( )( )ϕ+ω=

+ ϕ+ω−ϕ+ω

tcos2

ee titi

2


2

C.C.eAx

tωi o += ( )ϕ+= tωcosAx o

Significato fisico del numero complesso AIl modulo di A rappresenta l’ampiezza dell’oscillazioneL’argomento di A rappresenta la fase iniziale

2

eAeAx

i

ω

eAmeAωm

eAx;eAx;eAx

td

xdmxm

amF

titi

o

22o

t2t2o

t2tt

2

22o

xx

oo ω−ω

γγ

γγγ

+=

ω±=γγ=

γ=−

γ=γ==

=ω−

=

****

&&&

I coefficienti devono essere C.C. affinché x sia reale.

Si divide per 2 per convenienza: in questo modo, A mantiene il significato di ampiezza delle oscillazioni.

3


L’oscillatore armonico libero: il metodo delle funzioni esponenziali

Funzione di prova


Sostituzione della funzione di prova nell’equazione

( )tititi

2

22o

ooo

eA2

eAeAx

td

xdmxm

ωω−ω

=+

=

=ω−

ReReReRe

****

3


L’oscillatore armonico libero: il metodo delle funzioni esponenziali

Scorciatoia:“dimentichiamo” di prendere la parte Reale:

2

eAeAx

titi oo ω−ω +=

****

ti oeAx ω=

Si può utilizzare la funzione complessa

in tutti i calcoli che implicano esclusivamente combinazioni lineari della funzione x(t). Nelle combinazioni lineari, infatti, le parti reali si sommano alle parti reali e le parti immaginarie alle parti immaginarie. Si prenderà poi la parte reale del risultato.

Attenzione:Quando si eseguono operazioni non-lineari (calcolo di x2(t), ecc.) la scorciatoia non funziona!

ti oeAx ω=

( )

( )

2

AmUKE

4

eAeAA2

2

mxm

2

1U

4

eAeAA2

2

mxm

2

1K

4

A2eAeA

4

eAeAx

2

eAωieAωix

4

A2eAeA

4

eAeAx

2

eAeAx

22o

ti22ti2222o22

o

ti22ti2222o2

22o

ti222o

ti222o

2titi2o2

tωi*o

tωio

2ti22ti222titi2

titi

oo

oo

oooo

oo

oooo

oo

ω=+=

++ω=ω=

−−ω==

ω+ω−ω−=

−ω−=

−=

++=

+=

+=

ω−ω

ω−ω

ω−ωω−ω

−

ω−ωω−ω

ω−ω

****

****

********

********

****

&

&

&

L’energia dell’oscillatore armonico nel formalismo complesso


In questo calcolo occorre determinare i quadrati della funzione x(t) e della sua derivata. Non si può usare la funzione complessa: se ne deve prima prendere la parte reale e poi procedere.

Questo risultato ha una semplice interpretazione fisica.L’energia meccanica è costante. Quindi, in particolare, è pari all’energia potenziale nei punti di inversione x = ±|A|, nei quali K = 0.

U

E

x-|A| |A|

K

2

AmAk

2

122

o2 ω=

1

L’energia dell’oscillatore armonico nel formalismo complesso


Scorciatoia: “dimentichiamo” il C.C.

2

xmE

eAx22

o

ti o

ω=

= ω

Per calcolare K e U in funzione del tempo, non si può usare la funzione complessa: se ne deve prima prendere la parte reale e poi procedere.

Ma se ci interessa solo l’energia meccanica E, possiamo ancora usare una scorciatoia:

Gli esempi riportati non hanno in comune solo l’aspetto matematico, ma presentano profonde analogie sul piano della Fisica.

L’utilità di questa scorciatoia sta in questo: si potrà usare lo stesso trucco per calcolare l’energia meccanica di un’onda elastica, l’energia di un’onda elettromagnetica, ecc. Inoltre, in MQ si usa un algoritmo simile per determinare la distribuzione di probabilità a partire dalla funzione d’onda:

( ) ( ) 2xx ψ⇔ψFunzione d’onda Distribuzione di probabilità

2

( )

( )22o

o

2o

2o

tiω2tiωo

tiω2o

ti

2

2ti

o2o2

2

o2o

xx

ωωm

FA

AωmFAωm

eAωmeFeAωm

eAx

td

xdmeFxm

td

xdmωtcosFxm

amF

−=

−=+−

−=+−

=

=+ω−⇒=+ω−

=

ω

ω

EsercizioDeterminare una soluzione particolare dell’oscillatore armonico forzato


Se la pulsazione della forza esterna si avvicina a ωo, l’ampiezza delle oscillazioni aumenta.Questo è il fenomeno della risonanza.

A

ωωο

Soluzione particolare: ω è la pulsazione della forza esterna, A un parametro da determinare

( )

( ) ( )

( )

=γ

=⇒

=γ

γ=

⇒+−γ

=

−γ

==

+=⇒+=

γ−γ−

γ−γ−∫

∫

CR

1R

fi

RC

1

C

if

eiRe1C

if

e1i

dtti;eii

iRdttiC

1fRi

C

Qf

oo

oo

to

too

tot

0

to

t

0oo

''''''''

''''''''


EsercizioDeterminare il transiente del circuito RC allo scalino di tensione

L’equazione del circuito RC è in realtà un’equazione integrale.Si può tuttavia ugualmente cercare una soluzione col metodo della funzione di prova:

( ) ( )

( )

( )Z;eZ

f

Z

fi

iZiRCi

1f

eiRiC

eiefi

eiitd

id;eiiPartSol

transienteeiiAOGI

td

idR

C

i0AO

td

idR

C

iefiiRdtti

C

1efRi

C

Qtωcosf

iooo

ooo

tio

tioti

o

tio

tio

t1

tio

t

0

tioo

ArgArgArgArg

........

................

........

''''''''

=θ==

=

+

ω=

ω+=ω

ω==

=

+=

+=ω⇒+=⇒+=

θ−

ωω

ω

ωω

γ−

ωω∫


EsercizioDeterminare il regime stazionario del circuito RC alimentato da un generatore di tensione alternata

In questo caso, si deve cercare la soluzione particolare di un’equazione non omogenea.Il trucco consiste nel sostituire all’espressione Reale della tensione la rappresentazione complessa:

Si deve infine prendere la parte reale della soluzione:( ) ( )θtωcos

Z

fie

Z

fi oθtωio −=⇒= −

tNN ∆∝∆−

EsercizioIntrodurre e risolvere l’equazione differenziale che descrive il decadimento di un insieme di No nuclei radioattivi.


Il decadimento è un processo stocastico.In media, si può affermare che la diminuzione -∆N del numero di nuclei integri debba essere proporzionale al tempo ∆t di osservazione e al numero stesso di nuclei integri:

τ=− N

td

Nd

Per motivi dimensionali, la costante di proporzionalità è l’inverso di un tempo caratteristico τ detto tempo di vita media. Dividendo per ∆t e passando al limite, si ottiene così:

τ−

γ−γ−

γ−γ−

=

τ=γ

τ−=γ−

γ−==

t

o

tot

o

to

to

eNN

1

eNeN

eNtd

Nd;eNN

Si cerca la soluzione col metodo della funzione esponenziale di prova:


EsercizioNo particelle di un fascio entrano in una regione di spazio in cui sono presenti n bersagli per unità di volume, ciascuno di sezione trasversale σ. Se una particella colpisce il bersaglio, scompare dal fascio.Introdurre e risolvere l’equazione differenziale che descrive il numero di proiettili in funzione della profondità di penetrazione x.

S

Consideriamo uno strato del materiale, di spessore ∆x e area trasversale S. In questo strato si trovano n S ∆x bersagli.

L’area totale coperta dai bersagli è quindi:

xSnS ∆σ=∆

La probabilità che un proiettile colpisca un bersaglio è pari alrapporto tra l’area utile e l’area totale:

xnS

Sp ∆σ=∆=∆

Alla profondità x ci sono N(x) proiettili superstiti. Dopo il tratto ∆x, il numero diminuisce ulteriormente, di una quantità pari al numero di particelle per la probabilità che una particella colpisca il bersaglio. La variazione ∆N è negativa, sicché si ha:

xnNN ∆σ−=∆1

σ


nσ

eNnσeN

eNxd

Nd;eNN

Nnσxd

Nd;∆xNnσN∆

to

xo

xo

xo

=γ

−=γ−

γ−==

−==−

γ−γ−

γ−γ−

Equazione differenziale del sistema dinamico

Funzione di prova e derivata


σ prende il nome di sezione d’urto .Nei processi che coinvolgono particelle elementari, è un valore non esattamente riconducibile all’area di una sezione, quanto piuttosto a un parametro medio caratteristico del processo.

2

EsercizioNo particelle di un fascio entrano in una regione di spazio in cui sono presenti n bersagli per unità di volume, ciascuno di sezione trasversale σ. Se una particella colpisce il bersaglio, scompare dal fascio.Introdurre e risolvere l’equazione differenziale che descrive il numero di proiettili in funzione della profondità di penetrazione x.

Passando al limite per ∆x → 0 :

Infine:

xnσo eNN −=

La dipendenza dal tempo della funzione d’onda di un a particella di energia meccanica E


tE

i

o

to

xo

to

to

e

Ei

i

E

iE

eieE

etd

d;e

td

diE

h

hh

h

h

h

−

γγ

γγ

ψ=ψ

−==γ

γ=ψγ=ψ

ψγ=ψ

ψ=ψ

ψ=ψ Parte temporale dell’Equazione di Schrödinger

Funzione di prova e derivata


Soluzione

( )zImImImIm

( )zReReReRe

−−−−ω ω ω ω t

tio e ω−ψ=ψ

La funzione d’onda è un vettore che ruota in verso orario nel Piano di Gauss.

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