Post on 13-Oct-2015
UNIDAD ZACATENCO
DEPARTAMENTO DE MATEMTICA EDUCATIVA
Propuesta didctica para introducir una curva cnica mediante un entorno
digital interactivo: El caso de la elipse
TESIS
Que presenta:
FREDDY YESID VILLAMIZAR ARAQUE
Para obtener el grado de:
MAESTRO EN CIENCIAS
EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMTICA EDUCATIVA
DIRECTOR DE TESIS: DR. CARLOS ARMANDO CUEVAS VALLEJO
Mxico, D.F. Marzo del 2014
CENTRO DE INVESTIGACIN Y DE ESTUDIOS
AVANZADOS DEL INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL
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Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa (CONACYT) por el
Apoyo econmico proporcionado para la realizacin de mis
estudios de maestra que culminan con el presente trabajo de tesis de grado.
Becario 262806
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DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS:
Es mucho, y a muchos los que quiero agradecer por ste trabajo. Por eso este es el captulo
ms importante de esta tesis, porque no solo debe estar mi nombre sino el de todos ustedes
por su gran apoyo:
Dedico este trabajo a Dios Padre Todopoderoso porque todos mis logros han sido por l, y
mi vida entera para su Gloria. Gracias Seor Jess por sta meta cumplida, por ser mi luz y
gua en mi caminar, por llenarme de fortaleza y sabidura.
A mis padres Paula y Alirio, hermanos Alex y Carlos, mi ta Luisita, nonita Beln, tios, tias,
primos, primas y familia entera, muchas gracias por su gran apoyo, por el amor y cario
brindado, por sus oraciones y porque siempre me han deseado lo mejor.
A ti Mnica Andrea, por demostrarme tu amor y apoyo incondicional, por tu cario,
motivacin y paciencia.
A mis profesores: Dra. Olimpia F., Dra. Silvia M., Dr. Gonzalo Z., Dr. Manuel S., Dr. Franois
P., Dr. Hugo M., Dr. Luis M., Dr, Riestra por sus aportes a mi formacin como investigador, y
en especial al Dr. Armando Cuevas por ser mi asesor, por orientar el desarrollo del trabajo
de tesis al brindarme su gran experiencia y conocimiento, por su dedicacin, gran apoyo,
colaboracin, por todos sus consejos, amistad y confianza, mil gracias.
A mis sinodales Dra. Rosa Mara Farfn, y Dr. Salvador moreno, por su tiempo y dedicacin
a la lectura de este trabajo.
A mis grandes amigos Guillermo y Eliana, por la paciencia, aportes, y por hacerme parte de
su hogar, de igual manera a la familia Herrera Olgun y Padilla Zamarripa por hacerme parte
de su familia y por su gran apoyo.
A mis amigos y compaeros de maestra: Alfredo, Arely, Alfonso, Mara, Miguel, Hugo, Jos,
Minerva, Oscar G., Arturo, Yani, Soco, Ulises, Francisco.
A ti mi gran amiga Betsy por ser mi gran consejera, por tu apoyo y palabras de aliento.
Gracias a todos mis amigos y en especial a: Eduardo Ramrez, Rubi, Liliana la Gata, Johana
M., Claris, Olguita, Cecilia, Marcela, Orozcopo, Dany, Sheliber, Larita, Sindy, Sahir, Magda,
Sandra, Brgida, Lilis, Mara R., Fabin, parche UFPS y del C.H.E., hermanos de CRISMA.
A Adriana Parra, Gabi, Arturo, del DME, profesores Gina, Hctor, Oscar Avils y mis
estudiantes del Centro Educativo Damin por su apoyo y solidaridad.
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Contenido
Introduccin ...................................................................................................................................... 1
Captulo I. Planteamiento del problema y antecedentes .............................................................. 3
1.1. Antecedentes ............................................................................................................ 3
1.2. La elipse en el currculum educativo ....................................................................... 8
1.3. Reflexiones sobre la importancia de la elipse ........................................................ 12
1.4. Pregunta de investigacin y propuesta didctica ................................................... 14
1.5. Objetivo ................................................................................................................. 18
Captulo II. Marco didctico, computacional y conceptual ...................................................... 19
2.1. Teoras del aprendizaje y evolucin de la didctica .................................................. 19
2.1.1. La enseanza tradicional ..................................................................................... 19
2.1.2. Escuela activa ...................................................................................................... 22
2.1.3. Teora Piagetiana y de Hans Aebli ...................................................................... 23
2.1.4. Modelo didctico Cuevas-Pluvinage ................................................................... 24
2.2. Marco Computacional ............................................................................................ 29
2.2.1. Las TIC ........................................................................................................... 30
2.2.2. Software educativo ......................................................................................... 32
2.2.3. Software de Geometra dinmica GeoGebra .................................................. 33
2.3. Modelo de Van-Hiele ............................................................................................ 35
2.3.1. Fase descriptiva: Niveles de Van Hiele sobre el desarrollo del pensamiento
geomtrico ..................................................................................................................... 36
2.4. Aspectos tericos ................................................................................................... 38
2.4.1. Resumen de las cnicas a lo largo de la historia ............................................ 38
2.4.2. La elipse .......................................................................................................... 40
2.4.3. Construcciones de la elipse............................................................................. 59
Captulo III. Metodologa y diseo de los instrumentos de medicin ..................................... 65
3.1. Diseo de los instrumentos .................................................................................... 65
3.1.1. Test diagnstico .............................................................................................. 65
3.1.2. Actividades interactivas .................................................................................. 70
3.1.3. Postest ............................................................................................................. 86
vi
3.2. Diseo de la aplicacin de los instrumentos y actividades en la poblacin estudio .....
92
3.3. Descripcin de las sesiones de experimentacin ................................................... 94
3.3.1. Descripcin de la sesin 1 .............................................................................. 94
3.3.2. Descripcin de la sesin 2 .............................................................................. 95
3.3.3. Descripcin de la sesin 3 .............................................................................. 95
3.3.4. Descripcin de la sesin 4 .............................................................................. 96
3.3.5. Descripcin de la sesin 5 .............................................................................. 96
3.3.6. Descripcin de la sesin 6 .............................................................................. 96
3.3.7. Descripcin de la sesin 7 .............................................................................. 96
3.3.8. Descripcin de la sesin 8 .............................................................................. 97
3.4. Anlisis de los datos .............................................................................................. 97
.............................................................................................. 99
4.1. Resultados del test diagnstico .................................................................................. 99
4.2. Anlisis de resultados de la actividad 1 ................................................................... 101
4.3. Anlisis de resultados de la actividad 2 ................................................................... 104
4.4. Anlisis de resultados de la actividad 3 ................................................................... 107
4.5. Anlisis de resultados del postest ............................................................................ 116
Captulo V. Conclusiones e investigaciones futuras ................................................................ 123
5.1. Conclusiones ........................................................................................................ 123
5.2. Investigaciones Futuras ........................................................................................ 127
Bibliografa .................................................................................................................................... 129
Anexos ........................................................................................................................................... 135
Anexo I. Plan curricular sobre el tema de la elipse en el CCH-UNAM ........................ 135
Anexo II. Plan curricular de la SEP sobre el tema de la elipse ....................................... 136
Anexo III. Demostracin de la ecuacin cannica de la elipse ..................................... 137
Anexo IV. Procedimiento algebraico de la ecuacin general de la elipse a partir de
ecuacin cannica de la elipse ........................................................................................ 142
Anexo V. Test diagnstico de conocimientos ............................................................... 143
Anexo VI. Actividad 1. La elipse como lugar geomtrico ............................................ 146
vii
Anexo VII. Actividad 2. Excentricidad de la elipse ........................................................... 154
Anexo VIII. Actividad 3A. Demostracin sinttico-analtica de la ecuacin cannica de
la elipse con centro en el origen ............................................................................................ 159
Anexo IX. Actividad 3B. Ecuacin cannica y general de la elipse con centro en el
origen ........................................................................................................................................ 164
Anexo X. Actividad 3C. Ecuacin cannica y general de la elipse con centro ( , )h k ... 170
Anexo XI. Postest ..................................................................................................................... 177
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Resumen
En el currculo matemtico de tercer semestre de preparatoria de la SEP (Secretaria de
Educacin Pblica de Mxico), se contempla el tema de las curvas cnicas cuyo
tratamiento se centra gran parte en el desarrollo algebraico de sus ecuaciones. Sin negar la
potencialidad de stos mtodos, es conveniente mediar el estudio de sus propiedades, en su
definicin como lugar geomtrico, con una visualizacin geomtrica sin demeritar el
tratamiento algebraico. El presente trabajo de investigacin es adems, una propuesta que
integra el campo de la matemtica, la didctica y las tecnologas digitales, en donde la
enseanza de la elipse es un ejemplo o prototipo de cmo se podra generalizar para
introducir las dems curvas cnicas en Geometra Analtica, por medio de actividades
enmarcadas en la didctica Cuevas & Pluvinage (2003) y los tres primeros niveles de
desarrollo del pensamiento geomtrico de Van Hiele, reinterpretado bajo esta didctica.
Abstract
Within the mathematics curriculum for third semester in de high school for the SEP, we can
find the issue called conicals curves, whose teaching is focused almost exclusively on
developing algebraic equations of conics. Without denying the potential of these methods,
the study of conics should begin from their legitimate properties as loci, with a geometric
visualization without devalue the algebraic treatment. The present research is a proposal
linking the worlds of mathematics, didactics and digital technologies, where the teaching of
the ellipse is an example of how one might generalize to introduce other conic curves in
Analytic Geometry, through activities supported in Cuevas & Pluvinage Cuevas didactic,
and the first three levels of development of the Van Hiele geometric, reinterpreted under
this didactic.
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1
Introduccin
En los programas curriculares presentados en pases como Mxico por la SEP (2013)
CCH-UNAM (2013), Colombia con el MEN (2006) y en Espaa como lo afirman
Contreras, Contreras, Garca (2002), es notable que el estudio de las curvas cnicas se aleja
un tanto de la parte Geomtrica para dar exclusividad a la parte algebraica de las mismas,
donde se empobrece la intuicin geomtrica, y consecuentemente las propiedades
geomtricas de las mismas. Por otra parte, los programas curriculares presentan los
contenidos aislados de su desarrollo histrico y de sus aplicaciones; adems fuera de un
contexto social, es decir los descontextualiza de la realidad.
Adicionalmente, a pesar del desarrollo de las tecnologas digitales y en particular de
sistemas de geometra dinmica, en general, no se utilizan recursos tecnolgicos que
permitan un acercamiento a los conceptos mediante la interaccin de los diferentes objetos
matemticos que promueven competencias matemticas en los estudiantes. Tambin, en
algunas instituciones educativas, no se hace uso de la tecnologa debido a mltiples
factores, por enumerar algunos, no cuentan con una poltica de actualizacin docente,
carencia de equipos de cmputo en buen funcionamiento y software adecuado (Gonzlez,
2010), lo cual conlleva a la falta de proyeccin hacia cursos que integren los temas de
matemticas con la tecnologa. De acuerdo con Sacristn, Calder, Rojano, Santos,
Friedlander, Meisser (2010) las tecnologas tienen un papel central en la comprensin y
desarrollo de conceptos matemticos, gracias a las mltiples representaciones que la
computadora ofrece de stos. La NCTM (2008) menciona que La tecnologa es una
herramienta esencial para el aprendizaje de las matemticas, en el siglo XXI, y todas las
escuelas deben de asegurar que sus estudiantes tengan acceso a la tecnologa.
La bsqueda de las relaciones entre las matemticas, didctica y la tecnologa, se
materializ como propuesta del presente trabajo de investigacin, en el que se realiz un
anlisis bibliogrfico en diferentes artculos de investigacin, los cuales hacen referencia a
los problemas de enseanza y aprendizaje de la Geometra Analtica, como en Del Rio
(1991), Cruz & Mario (1999), Contreras, Contreras & Garca (2002), y Bussi (2005).
2
La propuesta establece una relacin entre las matemticas, la didctica y las tecnologas
digitales, con el propsito de promover un mejor entendimiento de conceptos matemticos,
mediante el diseo de una serie de actividades didcticas que se enmarcan en la didctica
Cuevas & Pluvinage (2003), donde la inclusin de la tecnologa adquiere un papel relevante
y de motivacin para el estudiante, puesto que permite la visualizacin e interaccin con los
objetos geomtricos. La propuesta presentada, introduce particularmente el concepto de
elipse, sin embargo la ruta didctica aplicada se puede extrapolar heursticamente para la
comprensin de otras curvas y conceptos geomtricos tales como: circunferencia, parbola,
hiprbola, partiendo de la visualizacin, anlisis de las propiedades y definiciones de las
figuras como lo sugiere el nivel I, II de Van Hiele. Finalmente, el estudiante debe realizar
clasificaciones lgicas, y seguir demostraciones algebraicas de manera formal a las figuras
como lo establece el nivel III de Van Hiele. El uso de la tecnologa ser importante para
mantener la parte activa en los estudiantes como lo propone la didctica Cuevas &
Pluvinage (2003), donde el estudiante es quien realiza la accin y construye las diferentes
definiciones de manera dosificada partiendo siempre de un problema en contexto, lo cual
hace de las Matemticas un rea funcional, es decir segn Aebli (1995) es aplicada a
situaciones del mundo real para entender por qu o cmo funcionan las cosas.
El contenido del presente trabajo se divide en los siguientes captulos:
Captulo I. Planteamiento del problema y antecedentes.
Captulo II. Marco terico-didctico, computacional y conceptual.
Captulo III. Metodologa y diseo de los instrumentos de medicin.
Captulo IV. Anlisis de resultados
Captulo V. Conclusiones e investigaciones Futuras
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Captulo I. Planteamiento del problema y antecedentes
En este captulo se presentan dos aspectos importantes; en primer lugar, las causas que
dieron origen al presente trabajo de investigacin, y en segundo lugar, al surgimiento de
una propuesta didctica para introducir una curva cnica, en particular de la elipse vista en
un primer curso de Geometra analtica, mediante el uso de actividades dinmicas e
interactivas bajo un marco didctico.
La necesidad de aplicar una didctica especfica radica en aspectos como promover una
mejor comprensin en los estudiantes sobre los cursos de matemticas que forman parte de
los diferentes currculos educativos de diferentes partes del mundo como Mxico,
Colombia, Espaa, entre otros1 que exigen al estudiante cumplir con objetivos
cognoscitivos, y al profesor con ciertos roles para la enseanza, entre ellos el uso de las
tecnologas de la informacin y de la comunicacin TIC (SEP, 2013). Finalmente, es
importante mostrar la elipse, como patrimonio cultural, ya que a lo largo de la historia es un
tema que ha sido til y funcional en el mundo real.
1.1. Antecedentes
Antes de disear la propuesta didctica, se har en primera instancia un breve anlisis de la
problemtica presentada en el proceso de enseanza-aprendizaje de los estudiantes en la
Geometra analtica, y as mismo trabajos referentes al estudio y enseanza de la misma:
Del Ro (1991) hace un estudio comparando dos metodologas para la enseanza de las
cnicas en el aula. En la primera, aplica el modelo de aprendizaje por descubrimiento,
basado en la teora de Bruner, concluyendo que la mayora de los estudiantes (aprox. 80%)
de poblacin de estudio, presentan una confusin entre las formas planas y espaciales, al
afirmar que los huevos de gallina tienen forma de elipsoide, y los melones forma de elipse;
sin embargo, reconocen y diferencian las figuras (cnicas), al identificar alguna propiedad
particular de modo perceptivo (p. 116). En la segunda, se aplica una didctica tradicional
donde concluye que la mayora de los estudiantes perciben las cnicas conectadas con la
realidad, por ejemplo, que las rbitas planetarias son elipses, y aade que se trata de un
1 Pases de los cuales se har un anlisis curricular, no exhaustivo, sobre la elipse.
4
conocimiento social (p. 121), es decir, que quizs lo han escuchado pero no justifican con
propiedades matemticas el por qu la trayectoria que siguen los planetas, es elptica.
Por otra parte, Cruz & Mario (1999) afirman que dentro del estudio de la Geometra
analtica, se han presentado dificultades en la comprensin de los contenidos relativos a las
secciones cnicas (p. 15), y argumentan que:
() en los trabajos sobre educacin matemtica para los alumnos que ingresan a la
educacin superior, se ha constatado que los conocimientos de los estudiantes se
limitan al aprendizaje de memoria de las ecuaciones que caracterizan a cada una de
las cnicas, a la identificacin de sus elementos y a su bsqueda algortmica
empleando frmulas, sin demostrar haber interiorizado la relacin existente entre los
diferentes parmetros que intervienen en las ecuaciones de las cnicas y su
representacin grfica, ni el porqu de su definicin como lugar geomtrico lo cual
limita la comprensin del alcance de las posibilidades de que disponen (p. 15).
En la idea de darle un contenido ms geomtrico a los tradicionales cursos de geometra
analtica, Contreras, Contreras & Garca (2002) hacen una propuesta adecuada para
contrastar la geometra sinttica con la analtica. En ella realizan diversas construcciones
sintticas de la elipse como el mtodo del jardinero, otras analticas y sinttico-analticas.
Los autores afirman de dichas construcciones que son elementos motivantes y formadores
para los estudiantes de bachillerato, y que tambin algunos de los institutos de secundaria,
en Espaa, cuando se ensea un curso de Geometra analtica, la elipse ni siquiera llega a
tratarse en clase, y que a lo ms que se aspira en el desarrollo de la unidad es realizar un
estudio de la circunferencia, lo que concuerda con algunas instituciones educativas en
Mxico y Colombia. Adems en su investigacin, mencionan que debido al
desconocimiento de las cnicas en su totalidad, posteriormente trae consecuencias
negativas para los estudiantes en el primer ao de universidad.
En el mismo sentido, Santos & Espinosa (2002) disean una construccin de tipo
geomtrica que unifica las cnicas (elipse e hiprbola) utilizando un software de Geometra
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dinmica, es decir, que por medio de la definicin foco-directriz de las cnicas se puede
representar las cnicas en una misma construccin geomtrica dinmica, para
posteriormente estudiar sus propiedades.
Por su parte, Bussi (2005) desarroll un proyecto de investigacin denominado mquinas
matemticas (p. 9 a 13) donde muestra el desarrollo histrico de los significados de las
cnicas, sealando que el principal problema es relacionarlos en los diferentes aos o
tiempos. Histricamente es un componente inevitable la construccin de significados, pues
el de cnicas por siglos llamados secciones cnicas, enfatiza que provienen de un cono,
pero, al objetivizarlas como el lugar geomtrico que satisface la ecuacin de segundo grado
obtenida a partir de ciertas relaciones paramtricas, no es suficiente porque esto no da
informacin acerca del significado geomtrico, de donde provienen, por ello es necesario
contrastar hechos histricos de la elipse, de Apolonio con la geometra analtica de
Descartes.
En cuanto a la enseanza de la Geometra analtica bajo un marco didctico que promueva
una mejor comprensin de los conceptos geomtricos, Carbajal (2013) propone un
acercamiento al estudio de la lnea recta desde el punto de vista de lugar geomtrico
tomando como marco didctico la didctica Cuevas-Pluvinage (2003), y apoyndose
fuertemente en el uso de las herramientas digitales como el Sistema Tutorial Inteligente
LIREC (Cuevas, 2003), as como el desarrollo de un escenario interactivo virtual
interactivo (EDVI) para favorecer la comprensin del concepto de lnea recta, pendiente y
conceptos asociados. La didctica Cuevas & Pluvinage (2003) propone en uno de sus
puntos, que el estudiante es quien debe realizar la accin y construya el conocimiento de los
conceptos.
Por otra parte en Cantoral y Farfn (1998), desarrollan una aproximacin terica a la
didctica de las Matemticas de naturaleza epistmica, que supone un avance
constructivista de las mismas de tipo socioepistemolgico con cuatro componentes en la
construccin de dicho conocimiento: su naturaleza epistmica, su dimensin sociocultural,
los planos de lo cognitivo, y los modos de la trasmisin de la enseanza. Aunque esta teora
6
se basa en el pensamiento y lenguaje variacional, se considera que muchas de sus ideas
motrices pueden aplicarse a otros campos de la Matemtica, como en el caso de la
enseanza de la Geometra Analtica.
Actualmente, algunos textos de Matemticas disean actividades didcticas como el de
Matemticas III de Cuevas (2013), el cual presenta una metodologa ms dosificada en el
tratamiento de la elipse, como lo propone la didctica Cuevas & Pluvinage (2003, p. 277),
bajo la siguiente secuencia: 1) Se visualiza la figura a partir de las diferentes aplicaciones
como: construcciones de la elipse por el mtodo del jardinero, y la segunda ley de Kepler
que describe la trayectoria elptica de traslacin de los planetas. 2) Se define la
elipse como cnica y lugar geomtrico. 3) Se estudian los elementos ms importantes de la
elipse y sus propiedades. 4) Se demuestra de manera formal la ecuacin cannica de la
elipse y posteriormente la general. 5) Por ltimo, se estudia la excentricidad en la elipse. La
importancia de llevar actividades dosificadamente, radica en la formacin del razonamiento
geomtrico partiendo de la visualizacin de las figuras hasta llegar a definirlas
formalmente; segn Van Hiele, 1986, citado por Jaime & Gutirrez (1990), en el caso de la
geometra, no es posible alcanzar un nivel de razonamiento geomtrico sin haber superado
un nivel ms bsico (p. 312); un caso particular de ello es cuando un estudiante halla la
ecuacin de una elipse de forma mecnica, sustituyendo solo valores numricos y
realizando operaciones algebraicas, pero antes de ello no profundiza en las definiciones y
propiedades de la figura que conllevan a la demostracin de la misma.
Uno de los libros de texto ms utilizado en Mxico es la Geometra Analtica de Lehmann
(1989 dcima tercera reimpresin y apareci en 1942); que presenta problemas propios de
su antigedad, y carencia del uso de tecnologas digitales que doten de dinamismo a los
objetos matemticos geomtricos, adems de una ausencia de un planteamiento didctico.
Por otra parte, los temas aparecen de manera lgico-formal, lo cual confronta al estudiante
con su educacin anterior. Sin embargo, es un libro con un gran banco de problemas
graduados; donde se detalla la siguiente secuencia para el caso de la elipse: 1) Definicin
de la elipse formalmente como lugar geomtrico. 2) Descripcin de los elementos de la
elipse. 3) Demostracin algebraica de la ecuacin que satisface el lugar geomtrico de los
7
puntos sobre sta. 4) Problema fundamental de la Geometra Analtica que consiste en el
planteamiento de una serie de ejercicios, donde se dan parmetros de la elipse para hallar su
ecuacin, y viceversa. Esta presentacin coincide con los planes curriculares de educacin,
sin embargo, no se lleva una secuencia para la comprensin conceptual, centrndose
exclusivamente en el desarrollo de ejercicios algebraicos; por lo tanto ste libro de texto de
gran nivel es, en el sentido didctico, un contraejemplo a la propuesta didctica Cuevas &
Pluvinage (2003, p. 275) donde se establece que en lo posible se debe partir de una
aplicacin en contexto para la enseanza de los conceptos. La inclusin de un contexto en
un problema matemtico, segn Aebli (1995) asegura con frecuencia el inters de los
estudiantes, los cuales no se fijaran en el slo tratamiento terico del proceso del tema (p.
161).
En el libro de Sullivan (1997) Trigonometra y Geometra Analtica, aunque sigue siendo
un texto atractivo por las aplicaciones que presenta, tambin carece de una perspectiva
tecnolgica digital y de un planteamiento didctico explcito. En este libro, se presenta una
breve introduccin sobre cmo construir la elipse por medio del mtodo del jardinero, que
tambin se muestra en la mayora de los libros de texto de Matemticas III, posteriormente
propone una serie de ejercicios de tipo operativo al igual que la Geometra Analtica de
Lehmann (1989), y ejercicios de aplicacin de la elipse en la vida real, como: el de la
galera de los suspiros, la rbita de traslacin de la Tierra, pero muchas de stas son tareas
estereotipadas, es decir, aquellas que se ajustan exactamente a las frmulas y teoremas
memorizados. La presentacin de algunos problemas en contexto de este libro causan
confusin, por ejemplo, el de la rbita de la Tierra alrededor del Sol, donde ilustran un
dibujo de cada rbita cuasi elptica sealando su afelio (distancia ms lejana del Sol a la
Tierra) y perihelio (distancia ms cercana del Sol a la Tierra), de una forma muy excntrica
o ms ovalada, siendo que realmente esta rbita es casi circular. Adems, los problemas
en contexto se presentan al final del desarrollo terico y no desde un comienzo para
introducir el concepto.
Como se expuso anteriormente, la mayor parte del tratamiento de las cnicas en los libros
de texto de matemticas consultados, tienen las siguientes caractersticas:
8
1. Los libros carecen de actividades o recomendaciones de uso de tecnologa digital
por medio de programas de geometra dinmica, que posibilitan a los objetos
geomtricos presentados, un manejo dinmico.
2. No se explicita en ellos alguna propuesta didctica que promueva una mejor
comprensin de los problemas.
3. Su presentacin muchas de las veces es de corte lgico-formal en las matemticas,
lo que hace que sean textos para el docente y no para el estudiante.
4. No se utilizan los problemas en contexto para introducir las diferentes definiciones,
dejando estos ltimos para el final del captulo como problemas de aplicacin
propuestos, que por los tiempos ajustados de los programas de estudio, casi nunca
se tiene el tiempo para exponerlos y analizarlos.
5. La presentacin de los temas tiene una fuerte carga algebraica que demerita la parte
geomtrica, y que empobrece la visualizacin de sta, lo cual desequilibra el
registro de representacin geomtrico, devaluando, segn el marco didctico, la
comprensin del concepto matemtico.
El problema de la presentacin en la mayora de los libros de texto de Geometra Analtica
radica en el empobrecimiento geomtrico, debido a que el planteamiento de ejercicios y
problemas es de tipo algebraico. Este problema es comn en muchos pases, y concuerda
con Contreras, Contreras & Garca (2002, p.114), quienes sealan que en Espaa el
tratamiento que se observa en los textos es de tipo analtico exclusivamente, y no
encuentran explicacin para tal comportamiento.
1.2. La elipse en el currculum educativo
Actualmente, estudiar las curvas cnicas se considera importante, no slo por las
aplicaciones que tienen en el mundo real dentro de: la arquitectura, la fsica y la ingeniera;
y en la elaboracin de modelos matemticos econmicos2, modelos matemtico-
astronmicos, instrumentos tecnolgicos (navegacin, medicina, relojera, etc.) entre otras,
sino porque acadmicamente, contribuyen a la formacin matemtica de los estudiantes
universitarios, como una parte fundamental del desarrollo conceptual de la matemtica y en
2 http://es.wikipedia.org/wiki/Curvas_de_indiferencia
9
particular del preclculo, como se puede verificar en los planes curriculares de educacin
Nacional en Mxico, como CCH-UNAM (2013) de la Universidad Nacional Autnoma de
Mxico (UNAM),el currculo de la Secretaria de Educacin Pblica SEP (2013) (ver anexo
I y II), y tambin otros pases como en el Ministerio de Educacin Nacional MEN de
Colombia (2006, p. 88).
Los cursos de Geometra Analtica en Mxico, se encuentran en el programa de estudios
nacional de preparatorias en Matemticas III. En particular, el programa de estudios de
Matemticas del III y IV semestre del CCH-UNAM (2013, p.p. 64-65) (ANEXO I) aborda
el estudio de las cnicas. Para el caso de la elipse, los objetos de aprendizaje son: la
propiedad bifocal que define la elipse como lugar geomtrico, presentacin de sus
elementos, y deduccin de la ecuacin formal de sta, culminando con la resolucin de
problemas aplicados. El programa ofrece una serie de estrategias que permiten iniciar desde
la visualizacin, reconocimiento y construccin de la elipse (nivel I de Van Hiele); sin
embargo, en un sondeo realizado a profesores de matemticas del CCH, comentan que
algunas estrategias del currculo no son consideradas, y que su modo de enseanza es dar
una definicin de elipse como lugar geomtrico tomada de algn libro de Geometra
Analtica, y luego centrarse en el desarrollo algebraico de su ecuacin a partir de algunos de
los elementos de la grfica, y viceversa. An prevalece el planteamiento operativo que se
propone como dos problemas fundamentales de la Geometra analtica (Lehmann, 1989)
que consisten en dar la ecuacin, para interpretarla grficamente, y luego hacer su
operacin inversa. A pesar de que en esta institucin se promueve el uso de la tecnologa
por medio de programas de geometra dinmica, no es de uso comn por parte de la mayor
parte de los docentes. Otra dificultad es el tiempo acadmico, en donde la acumulacin de
contenidos hace casi imposible completar un programa de estudios, por lo que un
comentario comn entre los docentes entrevistados es: no es suficiente el tiempo de clase
para llegar a elipse, solo alcanc hasta parbola, adems, la enseanza se vuelve
descontextualizada al dejar las aplicaciones para el final de las clases, en cuanto el tiempo
escolar lo permita. Corroborando lo anterior Contreras, Contreras & Garca (2002, p. 114)
enfatizan que en el segundo curso de bachillerato en Espaa, aparece la unidad con el tema
10
de las cnicas, el cual no se alcanza a completar en muchas instituciones educativas como
lo establece la planeacin curricular; generalmente, se logra llegar hasta el estudio de la
circunferencia, generando consecuencias un tanto negativas en los estudiantes, que pasan
de bachillerato a una formacin universitaria.
Analizando el programa de la Secretaria de Educacin Pblica de Mxico (SEP, 2013), la
asignatura de Geometra Analtica de la materia de Matemticas III, se desarrolla en siete
bloques, siendo el ltimo la aplicacin de los elementos y ecuaciones de la elipse (p. 9)
(ver anexo II). El tiempo estimado para desarrollar el bloque VII es de aproximadamente 12
horas, y sugiere los siguientes subtemas como logros escolares:
La Identificacin de los elementos asociados a la elipse
El reconocimiento de la ecuacin ordinaria y general de la elipse
La aplicacin de los elementos y ecuaciones de la elipse, en la solucin de
problemas y/o ejercicios de su entorno, (p. 40)
Por lo tanto, los elementos claves de aprendizaje para este bloque son: 1) elipse, 2)
elementos de la elipse, 3) ecuacin ordinaria horizontal y vertical con centro en el origen y
fuera de esta, 4) ecuacin general de la elipse. Una de las competencias a desarrollar es
utilizar las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar cada
concepto aprendido y mencionado por el profesor (SEP, 2013, p.40). Para ello tambin se
propone que el docente cumpla con el rol de facilitar el proceso educativo al disear
actividades significativas integradoras, que permitan vincular los saberes previos del
alumnado con los objetos de aprendizaje, as como propiciar el uso de las TIC y utilizarlas
de forma eficiente. Como material didctico se sugiere la utilizacin de un organizador
grfico, problemarios, software para presentaciones electrnicas y software educativos
(SEP, 2013, p. 42). Lamentablemente el rol del maestro sealado por muchas instituciones
educativas, no contemplan el uso de las TIC, y se desconoce el manejo de software de
geometra dinmica. A esto se aade el factor tiempo que no permite que se desarrollen
todos los temas propuestos desde el inicio del ao escolar.
11
El estudio de la elipse en la mayora de las instituciones de preparatoria sigue los
respectivos planes curriculares analizados anteriormente, pero enfocados a una enseanza
tradicional en la que se acude a la definicin que los textos contienen; segn Aebli (1995,
p. 160) la enseanza escolar toma de los libros conceptos objetivizados, es decir, aquellos
que son inteligibles para los estudiantes, evocan en su pensamiento representaciones
precisas, y construyen con ellos una imagen adecuada de la realidad, sin embargo, no se
atiende mucho a la accin propiamente dicha, es decir, no hay una interiorizacin a travs
de actividades didcticas que le permita al estudiante tomar una aptitud activa, donde sea l
mismo quien realice la accin y construya las diversas definiciones del objeto matemtico.
Este tipo de enseanza tradicional planteado en muchas de las instituciones educativas, se
concentra en las ecuaciones de una curva cnica relegando la parte geomtrica, provocando
una prematurizacin algebraica que sigue un proceso enfocado a la transmisin de
conocimientos terminados bajo una perspectiva formal u operativa, en el cual el docente es
quien gua, transmite, y delega de manera pasiva los contenidos al estudiante, y ste
aprende de memoria un conjunto de conceptos y frmulas carentes de sentido para l
mismo. Un cuadro tpico de esta enseanza se ilustra cuando el profesor elabora contenidos
y los expone en clase a travs de una serie de conceptos que el estudiante recibe de manera
pasiva mientras observa atento al pizarrn, la responsabilidad del estudiante por tanto, recae
en repetir por imitacin el procedimiento algortmico que ha visto ejecutarse, y aplicarlo
una y otra vez en los ejercicios que el profesor propone al terminar la clase. Por lo tanto, se
requiere involucrarlos en un proceso activo de construccin de su propio conocimiento, ya
que como afirma Piaget, la accin por parte del educando, es el elemento fundamental en el
proceso de enseanza y aprendizaje (Citado por Cuevas & Pluvinage, 2003).
De acuerdo con lo anterior, es necesario disear un conjunto de actividades didcticas
aplicable en cualquier institucin educativa, por lo que debe regirse al currculo y hacer uso
de las TIC, que permitan una mejor comprensin de los conceptos geomtricos, y un
aprendizaje significativo en el tiempo escolar estimado.
La razn por la cual se escogi la elipse como entrada en la propuesta sobre las dems
figuras cnicas, radica en las siguientes reflexiones:
12
1.3. Reflexiones sobre la importancia de la elipse
La primera estrategia basada en la didctica Cuevas & Pluvinage (2003) establece
introducir un concepto matemtico mediante un proyecto de accin prctico, es decir que el
estudiante construya el conocimiento y que sea l mismo quien tome una aptitud activa
desarrollando acciones dirigidas por medio de la didctica, a partir de una aplicacin en el
mundo cotidiano. Por dicha razn, al inicio del desarrollo del tema de elipse, se presenta
brevemente la importancia de la elipse a lo largo de la historia y algunas de sus aplicaciones
ms relevantes.
La elipse es una de las curvas ms interesantes de la geometra analtica, por las enormes
aplicaciones de la misma en diferentes ramas de la ciencia (astronoma, arquitectura, ptica,
medicina, entre otros) que ha sido estudiada desde los antiguos griegos. Esta curva tuvo
gran importancia en la antigua Grecia aproximadamente en el ao 350 a. d. C. porque
surgi del planteamiento que hizo Menecmo como solucin al problema de duplicacin del
cubo (Heath, 2006), y a partir de all fue de gran inters para gemetras como: Aristeo,
Euclides, Arqumedes, y Apolonio quien tuvo el valor de formalizarla como curva cnica y
escribir 8 libros para el tratamiento exclusivo de stas, llamado Cnicas de Apolonio,
siendo l quien le dio el nombre de elipse a dicha curva (Boyer, 1956, p.p. 22, 24).
Boyer (1956, p. 30) expone que el material en las cnicas de Apolonio es remarcablemente
extensivo e incluye las numerosas propiedades en estas curvas haciendo referencia a la
parbola, elipse e hiprbola.
Una de las propiedades de la elipse es la reflexin, en la cual un rayo u onda que emana de
un foco de la elipse, se refleja en ella hacia el otro foco (De Oteyza, Lam, Hernndez,
Carrillo, Ramrez, 2001, p. 492). Esta propiedad se presenta en diversas aplicaciones como
en la medicina, acstica, arquitectura, y es incluso fuente de actitudes supersticiosas en
algunas capillas, como la del desierto de los Leones en Mxico. A continuacin se
mencionan algunas de las aplicaciones de la elipse, en diversas ciencias:
En la medicina se ve aplicada en un procedimiento mdico denominado litotricia, que
utiliza ondas de choque para romper clculos que se forman en el rin. Para llevarlo a
13
cabo, se maneja un dispositivo llamado litotraptor (Figura 1) el cual consiste en un medio
elipsoide lleno de agua que se sita pegado al cuerpo del paciente; en el foco de esta
elipsoide va posicionado un electrodo generador de ondas de choque, y el otro foco se ubica
dnde estn los clculos renales, de modo que las ondas de choque rebotan con la superficie
reflectora de la media elipsoide convergiendo hacia al otro foco, desintegrndolos
finalmente.
Figura 1. Litotraptor
En la acstica, existen antiguas construcciones como la baslica de San Pablo en Inglaterra,
el saln de las estatuas del capitolio de Washington D.C., el tabernculo mormn en Salk
Lake City, y la galera de los susurros o capilla de los secretos en el desierto de los Leones
en el Distrito Federal de Mxico (UCNCIMix, 2009). Estas construcciones tienen en comn
una cpula de forma semi-elipsoide, que visto por un corte transversal se aprecia una
elipse; si una persona situada en un foco habla murmurando, slo puede ser escuchado por
otra persona situada en el otro foco.
En la Astronoma se marc un gran hecho en la historia de la ciencia y el mundo, con la
aplicacin de la elipse para describir la trayectoria de las rbitas planetarias alrededor del
Sol. Este hecho de mayor trascendencia planteado por Johannes Kepler (1571-1630)
revolucion el pensamiento astronmico y cientfico que se tena hasta ese momento sobre
la dinmica de los cuerpos celestes, derrocando el modelo geocntrico de Ptolomeo que
perdur por varios siglos. La siguiente ley enunciada por Kepler presentada a continuacin
no pudo llevarse a cabo sin la ayuda de las observaciones de Tycho Brahe (1546-1601):
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Johannes Kepler cuando estudiaba el movimiento de Marte, al aplicar el modelo
de Coprnico de rbitas circulares alrededor del Sol, observ que los clculos
discrepaban ligeramente de la posicin real del planeta en el firmamento. As que
intent ajustar la rbita a otras curvas y finalmente, encontr que la elipse se
ajustaba maravillosamente a ella (De Oteyza et all, 2001, p. 492)
As encontr su primera ley de movimiento que dice:
Cada planeta describe una rbita elptica alrededor del Sol, siendo el Sol uno de
sus focos. (Hewitt, 2004, p. 192).
En la arquitectura, una de las construcciones ms impresionantes en forma elptica fue el
coliseo romano y la Plaza de San Pedro en Roma, construidos en el siglo I y XVII
respectivamente, los cuales fueron considerados como dos de las ms grandes
construcciones en el mundo y que en comn tienen forma elptica (Figura 2):
Figura 2. Plaza de San Pedro y Coliseo Romano-Ciudad del Vaticano, Roma.
Existen muchas ms aplicaciones referentes a la elipse, y a consideracin personal se
escogi el movimiento planetario, por su trascendencia y utilidad para estudiar algunas
caractersticas de la elipse como la excentricidad.
1.4. Pregunta de investigacin y propuesta didctica
Hemos expuesto la problemtica sobre los subtemas que tradicionalmente se abordan en la
enseanza de las cnicas, y particularmente de la elipse tanto en libros de texto como en los
planes curriculares educativos. La falta de una planeacin de actividades en los temas de
Matemticas y el no uso de herramientas tecnolgicas acompaado de una didctica en la
enseanza de las cnicas, ha llevado a plantear el siguiente cuestionamiento y propuesta
que constituye la pregunta de investigacin de este trabajo:
15
Cmo introducir una curva cnica mediante el empleo de la tecnologa digital, dentro
de un marco didctico para promover una mejor comprensin?
Teniendo en cuenta los planes curriculares y secuencia de los libros de texto, una ruta
cognitiva para la enseanza de las cnicas que sigue el presente trabajo de investigacin es
la siguiente:
1) Iniciar con la definicin de lugar geomtrico de la cnica, la cual se puede hacer de
varias formas, sin embargo mediante una investigacin, entrevista a docentes, consulta
de programas curriculares y libros de texto en uso, se concluye que la definicin ms
usual es:
Para el caso de la parbola es la de foco-directriz, como el lugar geomtrico de los
puntos que equidistan de una recta l llamada directriz, a un punto F exterior a ella.
Para la elipse e hiprbola la definicin ms usual es la bifocal, como el lugar
geomtrico de los puntos tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos sea
igual a una constante (caso de la elipse) y el lugar geomtrico de los puntos tal que
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos sea una constante (caso de la
hiprbola).
Para la construccin de la definicin de lugar geomtrico de una cnica, no se debe caer en
la metodologa de la enseanza tradicional, como por ejemplo: para la parbola, se parte de
la definicin formal como el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de una recta l
llamada directriz, a un punto F exterior a ella, lo cual es una definicin clara y objetiva,
es decir segn Aebli (1995) aquella definicin elaborada y redactada de una manera precisa
y formal, en la cual el estudiante no interioriza o construye las diferentes definiciones, sino
que las aprende de memoria. En consecuencia, se refleja un alto ndice de reprobacin y el
poco conocimiento conceptual en estudiantes de preparatoria y universitarios, como en el
caso del Centro Universitario UAEM Valle de Chalco, que segn Gonzlez (2010) los
ndices de reprobacin de Matemticas para el 2010 de un curso de preclculo (donde se ve
Geometra Analtica) y de Clculo diferencial, fluctan entre el 75% y 85%.
16
2) Se plantea de inicio un proyecto de accin prctico o concreto, en el que la definicin
de la respectiva cnica sea construida a partir de una aplicacin, por ejemplo: para el
caso de la parbola puede ser un lanzamiento parablico en baloncesto, la trayectoria
del agua en una determinada fuente; para el caso de la elipse puede ser la construccin
de un jardn o vitral por el mtodo del jardinero, o el movimiento planetario; y para la
hiprbola la construccin de la estructura externa de una planta nuclear, o el
movimiento de un cometa. Lo anterior tambin sirve para visualizar la respectiva cnica
como un primer nivel de pensamiento geomtrico establecido por el modelo de Van
Hiele (Jaime & Gutirrez, 1990)
A diferencia de la enseanza tradicional la cual deja las aplicaciones para lo ltimo, en las
actividades propuestas, se parte de un problema en contexto como lo sugiere la didctica
Cuevas & Pluvinage (2003). Esto es importante en la medida que se aprecia la parte
funcional de los objetos matemticos, es decir, segn Aebli (1995) el conocimiento puede
resultar interesante por s mismo al saber cmo funcionan o se hacen algunas cosas, a partir
del uso de la matemtica.
De acuerdo al marco didctico, es importante que el estudiante siempre realice la accin a
travs de las actividades. Para lograr la accin individual en un grupo de estudiantes, se
hace uso de la tecnologa donde el estudiante adquiere una aptitud activa al poder mover y
modificar objetos geomtricos, e interactuar con escenarios que se pueden desarrollar en
un software de Geometra dinmica, como ejemplo para la elipse: el estudiante puede
realizar el trazo de sta, simulando el mtodo del jardinero, y siendo guiado por la didctica
establecida en las actividades, logre construir las ideas referentes a la definicin del lugar
geomtrico de la elipse de una manera activa, y no verbal como se hace en la enseanza
tradicional.
3) A partir de la construccin de la figura cnica, se identifican elementos que caracterizan
dicha curva, como focos, centro, vrtices, y luego elementos ms particulares de cada
cnica, as como algunas de sus propiedades ms representativas y parmetros, como lo
sugiere el nivel II de anlisis de Van Hiele (Jaime & Gutirrez, 1990)
17
4) Despus del estudio de los elementos de la cnica, y a partir de su construccin
geomtrica, se definen variables en el plano cartesiano, y se construye algebraicamente
la ecuacin que modela dicha curva. Es necesario para ello guiar al estudiante en los
diferentes procesos algebraicos necesarios para demostrar la ecuacin, y ejercitar
operacionalmente en los diversos registros de representacin grfico y algebraico, a
travs de la operacin inversa propuesta en la didctica Cuevas & Pluvinage (2003), en
la que dada la ecuacin o condicin algebraica, el estudiante debe hallar los elementos
de la cnica para posteriormente graficarla, y viceversa. En esta fase se pretende
desarrollar un nivel III de clasificacin de Van Hiele (Jaime & Gutirrez) en la que el
estudiante sigue demostraciones y establece relaciones entre la ecuacin de la cnica y
su representacin grfica.
La construccin algebraica de la ecuacin de una cnica no se debe limitar al aprendizaje
memorstico de stas, as como en la metodologa tradicional donde el estudiante toma una
aptitud pasiva, enfocndose a trascribir lo que el profesor realiza en el pizarrn. Sin
embargo, no se niega la potencialidad de los mtodos algebraicos en las cnicas, pues stos
son la esencia de la Geometra Analtica del legado de Descartes, pero el resolverlos sin
profundizar en el registro geomtrico, explorando las propiedades de las curvas cnicas,
podra traer como consecuencias obedecer a patrones establecidos, frmulas sin sentido
donde el estudiante solo sustituye valores numricos, y los objetos matemticos se tornan
ausentes en contextos de aplicacin. Por lo anterior muchos estudiantes tienen la creencia
de que resolver problemas de Matemticas significa memorizar frmulas, hacer
operaciones puntuales y manipular signos que para ellos carecen de significado,
despreciando y marginando hasta donde sean posibles los conceptos y significados
precisos.
En resumen, la propuesta de investigacin planteada encierra los mundos de la Matemtica,
la didctica y la tecnologa digital; donde el tema de matemticas que se desarrolle ser
mediado por el uso de la computadora en actividades guiadas por cuestionarios e
indicaciones del docente, enmarcadas en un programa didctico especfico.
18
La importancia de disear un conjunto de actividades bajo un marco didctico radica en
promover una mejor comprensin de los conceptos matemticos, y en este caso, la
didctica Cuevas & Pluvinage (2003) propone una serie de puntos, en los que menciona
que el estudiante es quien debe realizar siempre la accin por medio de ejercicios
dosificados, hasta llegar a construir las diferentes definiciones que forman determinado
concepto matemtico. Existen diversos trabajos de investigacin donde se disean
actividades haciendo uso de la tecnologa, bajo el marco de la didctica Cuevas &
Pluvinage (2003), como se puede ver en Betancourt (2009), Gonzlez (2010), Rodrguez
(2012), Carbajal (2013), etc. En Gonzlez (2010), se implement el uso de Escenarios
Didcticos Virtuales Interactivos (EDVI), bajo la didctica, concluyendo que en la
experiencia didctica, resulta atractivo y motivador para los alumnos, el resolver un
problema real e ir construyendo las ideas y conceptos matemticos (p. 76); por otra parte
Carbajal (2013) hizo uso del software LIREC enmarcado en dicha didctica, concluyendo
que sta promueve una mejor comprensin en los conceptos geomtricos, particularmente
en el caso de la recta como lugar geomtrico.
Por el grado de exigencia que hay en un proyecto de tesis de maestra, se pondr como
ejemplo introducir la elipse en un entorno digital interactivo apoyado en la didctica
Cuevas & Pluvinage (2003). La forma de enseanza de la elipse se resume en los cuatro
pasos anteriores de la ruta cognitiva propuesta, que tambin puede ser utilizada para la
enseanza de cualquier otra cnica.
1.5. Objetivo
Disear una propuesta para la enseanza de conceptos matemticos en la Geometra
Analtica apoyada en las tecnologas digitales dentro de un marco didctico, que
promueva un mejor equilibrio entre el pensamiento geomtrico y el algebraico. En
particular, desarrollar una serie de actividades didcticas para promover una mejor
comprensin de la curva cnica elipse, como ejemplo del estudio de las dems figuras
cnicas en el aula, apoyadas en la didctica de Cuevas & Pluvinage, el modelo de los
niveles de pensamiento geomtrico de Van Hiele, y el uso de software de Geometra
dinmica.
19
Captulo II. Marco didctico, computacional y conceptual
En este captulo se presentan las principales caractersticas de la didctica de Cuevas &
Pluvinage, y el modelo de Van-Hiele utilizados en el diseo de las actividades. Se aborda la
evolucin de la didctica a lo largo de la historia con los postulados de algunos de los
mximos representantes de las diferentes escuelas de la psicologa del aprendizaje como la
activa, Piagetiana y de Hans Aebli, culminando de esta forma con la didctica para la
enseanza de las matemticas de Cuevas & Pluvinage, y posteriormente con los niveles de
Van Hiele que muestran el desarrollo de un pensamiento geomtrico
En el marco computacional se analiza cada una de las dimensiones de las TIC enfocadas
hacia el proceso de enseanza y aprendizaje de las matemticas, as como el uso de un buen
software educativo. Por ltimo, se presentan algunas consideraciones matemticas de
algunos conceptos de la elipse, elementos, caracterizaciones y aplicaciones relevantes,
necesarias para el desarrollo de las actividades.
2.1. Teoras del aprendizaje y evolucin de la didctica
() Si bien, no es posible decir cul es la mejor forma de ensear, si cual no es la
adecuada. Cuevas.
2.1.1. La enseanza tradicional
Una de las formas tradicionales de conducir un curso de matemticas, consiste en que el
docente realiza la mayor parte de la actividad en clase ilustrando con problemas y su
resolucin cada uno de los temas. Iniciemos ilustrando nuestra situacin actual con base en
afirmaciones dadas por Cuevas (2003) y Cruz & Mario (1999), en la enseanza de las
matemticas con una obra de teatro: una clase tradicional de geometra analtica.
Un saln tradicional, cuatro paredes y una puerta, con un pizarrn al frente en el cual, de
espaldas al grupo, se encuentra un maestro.
-Maestro: Una elipse es un lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal
manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una
constante mayor a la distancia entre los dos puntos
20
(Se escucha un murmullo, como un ligero coro que acompaa el enunciado...)
El maestro, ilustra en el pizarrn lo dicho, con una figura en forma de elipse y contina
escribiendo.La elipse tiene los siguientes elementos (en seguida los ilustra en la figura
dibujada en el pizarrn, y empieza a mencionar el significado de cada uno de ellos, como
focos, vrtices, eje focal y normal, cuerda focal, distancia focal, eje mayor y menor, entre
otros).
-Estudiantes: Por favor maestro no borre la grfica, y por favor repite de nuevo lo que
significa cada uno de ellos, porque vas muy rpido.
-Maestro: Las ecuaciones cannicas para la elipse son 2 2
2 21
x y
a b si es una elipse
horizontal, pero si es vertical entonces la ecuacin ser 2 2
2 21
x y
b a y la frmula que
relaciona a (longitud del semieje mayor), b (longitud del semieje menor) y c (distancia del
centro al foco) es: 2 2 2a b c
(El maestro voltea para ver de reojo el comportamiento del grupo y contina escribiendo y
hablando. Los estudiantes, acostumbrados a este tipo de enseanza, empiezan a repetir
mentalmente o en voz baja equis al cuadrado-entre a al cuadrado.... confiando que
mediante esta repeticin verbal, llegarn a aprenderse de memoria la esperada frmula en
el curso de matemticas).
-Maestro (con voz cansada): Veamos ahora un ejemplo.
Si tenemos que la longitud del semieje mayor de una elipse horizontal es 5a y la
distancia del centro al foco es 4c . Hallen la ecuacin cannica de dicha elipse.
El maestro acompaa con su voz lo que escribe, y contina:
Sustituimos los valores de 5a y b, valores en la frmula anterior, pero como no tenemos
b, entonces usamos la frmula de 2 2 2a b c , despejando b, tenemos
2 2 2 25 4 9 3b a c . Luego, la ecuacin sera:
21
2 2
125 9
x y
-Maestro: Ahora hagan Uds. el siguiente ejercicio:
Hallar la ecuacin de la elipse vertical que tiene un semieje mayor de 10 unidades, y un
semieje menor de 6 unidades. Quin quiere pasar a hacer un ejercicio?
(...Se escuchan murmullos del grupo de estudiantes, y se para un estudiante)
Estudiante: Maestro, no vaya a borrar la frmula, por favor.
Fin de la obra.
Probablemente, muchos docentes coincidentemente se identifiquen con el anterior ejemplo,
el cual refleja un proceso de la enseanza tradicional, que consiste en que el estudiante slo
repite y memoriza las frmulas e imgenes del pizarrn. Como se detall en el ejemplo, el
problema se centra en encontrar la frmula adecuada y sustituir los valores numricos
dados, demeritando la definicin del objeto geomtrico y el estudio de sus propiedades, que
si bien fueron dadas por el maestro, se hizo de una forma verbal y objetivizada, es decir
segn Aebli (1995) de forma ya elaborada, que evitan que el estudiante reflexione y
construya el concepto.
Como se puede apreciar, la enseanza tradicional, basada en la didctica sensorio-
empirista consiste en que el estudiante, al ver las imgenes en el pizarrn, las registre y
con ello pueda repetir el proceso. Esta didctica tiende hacia la construccin de hbitos en
el estudiante, y no hacia la comprensin del concepto.
En el ejemplo, tambin se observa la repeticin verbal de las definiciones, que como un
reflejo, constituye el llamado hbito sensorio-motor o dicho de otro modo, las palabras
constituyen as los signos, solo que carentes de significado. La enseanza sensorio-
empirista conduce a una educacin rutinaria, incomprensible y compleja, adems, presenta
la matemtica como algo ajeno a los intereses del estudiante (Cuevas & Pluvinage, 2003).
Por todo ello, la matemtica se le muestra al estudiante, ms como obstculo que como una
22
necesidad, la cual no le es til para explicar el entorno en el que vive, impidindole
enfrentar situaciones imprevistas en las que pudiera aplicar su conocimiento.
El marco didctico sensorio-empirista, marca al estudiante como un espectador pasivo,
donde el maestro es quien delega y da los conceptos ya elaborados. En efecto, el
surgimiento de la escuela activa, en el siglo XIX, resalt la importancia de la actividad
efectiva del individuo en el proceso del aprendizaje, mostrando lo ineficiente del marco
didctico sensorio-empirista, pues ante un estmulo sensorial, existe una respuesta motriz
en el individuo que no es pasiva, sino que por el contrario es dinmica.
2.1.2. Escuela activa
Despus de la escuela tradicional surgi la escuela activa, que fundamenta la actividad del
educando como algo vital y de gran importancia para su aprendizaje. El individuo mismo es
quien efecta las acciones concretas (que posteriormente Piaget retoma como acciones
efectivas) para la adquisicin de los conceptos o nociones que se pretendan ensear. Sus
mximos precursores fueron: Dewey, Montessori, Decroly Claparde, y Freinet (Chteau,
2001). En comn todos recalcan la importancia de que el educando realice la actividad y
tenga un grado de libertad al hacer las cosas, sin requerir de la autoridad del profesor al
dirigir completamente las acciones del estudiante, generando la posibilidad de que l
plantee su propio espacio hacia el descubrimiento.
La didctica Cuevas & Pluvinage (2003) toma como gran importancia este punto, y sugiere
que el estudiante sea quien siempre realice la accin siendo guiado por el maestro. Realizar
una accin no siempre se refiere un esfuerzo fsico, sino puede ser mental, por eso una
forma que el estudiante realice acciones es por medio de la resolucin de problemas, los
cuales se debern plantearse gradualmente hasta llevar al estudiante al concepto deseado,
puesto que como dice Halmos:
El modo ms efectivo para ensear matemticas es resolviendo problemas, desafiar
constantemente a los alumnos con problemas que estn justo al alcance de su mano
(Halmos, P. 1994. p. 851).
23
Teniendo en cuenta lo anterior, el estudiante es quien debe adquirir una aptitud activa, y el
maestro ser un gua para l. El dirigir las acciones no se trata de dar rdenes sino de
suministrar al estudiante los conocimientos previos y pautas para poder llegar a los
conceptos. Halmos (1994) argumenta la importancia de que el individuo realice por s
mismo las acciones, y sugiere al maestro conducirse ms como un coach o entrenador que
como un maestro:
considerar el papel de un maestro como el de un entrenador. Ciertamente, nadie
puede nadar por m, nadie puede tocar el piano con mis dedos, y nadie puede
hablar francs por m, pero alguien puede ahorrarme mucho tiempo si me ensea
rpidamente el camino correcto (p. 850)
En seguimiento de la escuela activa, J. Piaget resalt la accin como elemento fundamental
del pensamiento. Por otra parte, Hans Aebli propuso los cursos de accin como una forma
de ensear al estudiante, a partir de las acciones encausadas a la construccin de los
conceptos.
2.1.3. Teora Piagetiana y de Hans Aebli
J. Piaget y Hans Aebli conformaron una escuela ms moderna. Para Piaget, el elemento
fundamental del pensamiento es la accin (Piaget, 1947, citado de Aebli, 1995), pues cada
operacin matemtica surge a partir de ella, es decir, para la adicin la accin de juntar
cantidades, la sustraccin de retirarlas, la multiplicacin de tomar repetidas veces una
misma cantidad; y la divisin, de retirar repetidas veces una misma cantidad total, o bien de
distribuir una cantidad total en un determinado nmero de partes iguales.
Por otra parte, Aebli (1995), menciona que antes de iniciar un determinado tema, el
profesor debe elaborar un plan o curso de accin donde sea el estudiante quien desarrolla
y construye los conceptos, y el maestro solo dirige de manera lgica al educando,
suministrando problemas que puedan a su vez ser indicaciones, que proporcionen
elementos para que sea el mismo estudiante quien construya la solucin del problema. A
este principio Aebli le llam el principio de mnima ayuda.
24
Pero qu se puede plantear en un curso de accin para que el estudiante adquiera una
aptitud activa? Como ya habamos mencionado, una forma que el estudiante se mantenga
activo y realice acciones mentales, es a travs de la resolucin de problemas cuya idea
esencial en la enseanza de las matemticas es que el alumno resuelva diferentes problemas
matemticos en los que se enfrente a una diversidad de situaciones, en donde sea necesario
analizar y evaluar numerosas estrategias en la solucin de stas. Sin embargo, muchos de
los problemas resultan complicados para el estudiante por lo que sugiere Polya (1945)
mtodos heursticos, para subdividirlos en cuatro etapas que son: comprensin del
problema, concepcin de un plan, ejecucin de un plan y visin retrospectiva. As mismo
los esposos Van Hiele (Jaime & Gutirrez, 1990), proponen para la enseanza de la
Geometra, una serie de niveles jerarquizados en los cuales el estudiante aprende los
conceptos de manera dosificada.
Muchos de los planteamientos anteriores, provenientes de la principales teoras del
aprendizaje, son fundamentales en el planteamiento de la didctica Cuevas & Pluvinage
(2003), las cuales enmarcan el diseo de actividades del presente trabajo.
2.1.4. Modelo didctico Cuevas-Pluvinage
La didctica para la enseanza de las Matemticas Cuevas & Pluvinage (2003), expone sus
ideas con base en la teora Piagetiana, en Aebli, en Claprede, en Dewey, y en general de
casi toda la escuela activa; y tambin en aportes recientes como la de Duval y Brousseau.
Esta didctica se utiliz como modelo didctico para el diseo de las actividades del
presente trabajo, de acuerdo con las siguientes caractersticas propias de la didctica
Cuevas-Pluvinage (2003):
La accin
El primer punto de la didctica de Cuevas y Pluvinage se refiere a la importancia de la
accin por parte del estudiante en el proceso enseanza y aprendizaje.
En el aula de clase es importante que el estudiante est ejecutando siempre una accin
mediante la resolucin de problemas especficos, gradualmente dosificados, y construya el
concepto deseado (Cuevas & Pluvinage, 2003, p. 275).
25
Por ejemplo, para aprender la definicin de elipse como cnica se puede partir del hecho
histrico de formarla a partir del corte a un cono con un plano, de modo que el estudiante
despus de realizar la accin puede interiorizar tales conceptos y ser consciente de la
relacin inherente que hay de la elipse con un cono, en este sentido se podra introducir
mediante las esferas de Dandelin (Schmidt, 1993). Otra forma, es mediante su definicin
como lugar geomtrico realizada por medio de actividades interactivas en Geogebra, donde
el estudiante puede interactuar, y realizar acciones simuladas hasta el trazo de una elipse.
La accin podra permitir al estudiante adquirir una aptitud activa y no ser un simple
espectador en el aula.
Problema en contexto
Otro punto importante del modelo didctico es introducir un concepto matemtico mediante
la resolucin de un problema en contexto de inters para el estudiante. Es muy comn que
los estudiantes pregunten, y esto para que me sirve.? Como se ha analizado en algunos
textos de matemticas, la forma particular de enseanza, es dejar siempre al final del tema
las aplicaciones, y por los tiempos acotados en la enseanza casi nunca se cubren; siendo
que stas son las que dan sentido a la parte funcional de las matemticas en la vida real.
Por ello es importante iniciar con un problema que plantee una situacin real, proponer
ejercicios que generen soluciones bajo una forma estructurada y coordinada, llegue a
designar el concepto matemtico deseado (Cuevas & Pluvinage, 2003, p. 275). Un ejemplo
de cmo se plantear en las actividades de la elipse es el siguiente: para entender la
definicin de lugar geomtrico de la elipse ligado con la realidad se puede proponiendo a
los estudiantes construir un jardn en forma de elipse utilizando el mtodo del jardinero
(Figura 3), el cual consiste en clavar dos estacas en dos puntos fijos y a ellos unir un hilo de
mayor longitud a la separacin de las estacas. Luego se tensa el hilo con una tercera estaca
o marcador, de modo que al deslizarlo se obtiene el trazo de una elipse. Una vez realizada
la accin del trazo simulado, se pueden hacer mediciones de cada estaca fija a un punto
sobre la elipse, de modo que al sumar dichas longitudes se concluya que siempre es
constante para todo punto sobre la curva, lo cual define la condicin de elipse como lugar
geomtrico.
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Figura 3. Construccin de la elipse por medio del mtodo del jardinero
Segn Aebli (1995, p. 232) las aplicaciones decisivas de los conceptos que se transmiten en
clase tienen un lugar en situaciones de la vida real. El profesor debe plantear
constantemente a los estudiantes, cuestiones que les transmitan un punto de vista que
permita comprender el mundo. La inclusin en el contexto de una accin nos asegura
tambin, con frecuencia, el inters de los estudiantes que no se interesaran por el mero
tratamiento terico del proceso del tema (Aebli, 1995, p. 161). Por otra parte, Reeuwijk
(1997, p. 13) seala que los contextos y la vida cotidiana deberan desempear un papel
preponderante en todas las fases del aprendizaje y la enseanza de las Matemticas, es
decir, no slo en la fase de aplicacin, sino tambin en la fase de exploracin y en la de
desarrollo, donde los estudiantes descubren o an mejor reinventan las Matemticas.
Luelmo (1997, p. 7) puntualiza:
Las situaciones reales bien elegidas y adaptadas a los estudiantes, constituyen
un elemento motivador. Por tanto, los contenidos matemticos que en ellas
pueden aprenderse, no slo adquieren significado desde un punto de vista
intelectual, sino relevancia, en cuanto que se aplican a una situacin personal o
profesional interesante. El reto para el profesorado estriba, por tanto, en
seleccionar situaciones que movilicen emotiva e intelectualmente al alumnado
En trabajos ms recientes donde se aplic la didctica Cuevas & Pluvinage, Betancourt
(2009, p. 161) concluye que: de la experiencia didctica, resulta significativo para los
alumnos, adems de motivante, el resolver un problema real e ir construyendo las ideas
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y conceptos del contenido matemtico, en lugar de iniciar con definiciones y
teoremas.
Comprobar los resultados
Cuevas & Pluvinage (2003, p. 276) propone que una vez resuelto un problema, el
estudiante debe comprobar sus resultados, verificando que tengan un sentido lgico, de
acuerdo con el problema planteado.
Dividir en sub-problemas
Aprender un concepto de forma objetivizada o ya terminada, evita al estudiante participar
en el desarrollo de procedimientos y acciones que le permitan construir el mismo. Por eso
es necesario, dividir el problema en sub-problemas que representen las operaciones
parciales hasta llegar a integrar nuevamente la solucin completa, por lo que un plan de
accin que dosifique los ejercicios ayudar al estudiante a llegar a la solucin o
construccin de los conceptos de forma coherente y ordenada.
Para entender el concepto de la elipse como ecuacin, fue necesario dividir el problema en
varias etapas, las cuales exigen un conocimiento previo para su demostracin, como la
semejanza de tringulos, completar el trinomio cuadrado perfecto, despeje de variables en
ecuaciones, resolucin de ecuaciones de segundo grado, entre otros.
La operacin inversa
Cada vez que se presenten las operaciones directas asociadas a un concepto, de ser posible,
se deben implementar ejercicios que representen a la operacin inversa asociada (Cuevas &
Pluvinage, 2003, p. 277). Para las actividades se plantean ejercicios del estilo de los dos
problemas fundamentales de la Geometra Analtica que son:
I. Dada la ecuacin interpretarla geomtricamente, es decir construir la grfica
correspondiente.
II. Dada una condicin geomtrica, o la condicin que deben cumplir los puntos de
la misma, determinar su ecuacin (Lehmann, 1989, decimotercera reimpresin,
p. 32)
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Un ejemplo en modo general para la elipse es: Dada la ecuacin cannica de la elipse, se
pide extraer los parmetros a, b y/o c y construir la grfica; el caso inverso es dada la elipse
grficamente, obtener sus parmetros y llegar a la ecuacin.
Diferentes alternativas de solucin
Cuando se proponga un mtodo de resolucin de un problema se debe intentar dar una
forma alternativa de solucin, si esto no es posible, entonces no imponer una sola forma de
solucin. Este punto permite, a los estudiantes, la libertad de plantear sus propios mtodos
de solucin (Cuevas & Pluvinage, 2003, p. 277). Por ejemplo Contreras, Contreras, Garca
(2002) proponen una serie de construcciones sinttico-analticas a su criterio llamativas
para llegar a la ecuacin de la elipse.
Problemas dosificados
Elaborar los problemas de acuerdo con el principio de adecuacin ptima; es decir, que la
dificultad de los problemas sea gradual de manera que requieren del esfuerzo del estudiante
para fomentar su inters, pero no en exceso como para desanimarlo (Cuevas & Pluvinage,
2003, p. 277). Los niveles de Van Hiele se pueden reinterpretar bajo el presente punto de la
didctica, de modo que el diseo de actividades se puede dosificar en niveles, que
desarrollen un pensamiento geomtrico jerarquizado.
Mnima ayuda
El principio de mnima ayuda consiste en dar al estudiante los elementos necesarios, para
que construya por s mismo las diferentes definiciones matemticas, mediante un serie de
indicaciones, sin que stas sean demasiado directas. En el laboratorio el estudiante resuelve
los problemas pidiendo ayuda al profesor, el cual solo proporcionar la ayuda mnima
necesaria tratando siempre de que sea el estudiante quien construya su conocimiento
(Cuevas & Pluvinage, 2003, p. 278).
Diferentes registros de representacin semitica
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Segn Duval (1998), es fundamental para el proceso cognitivo del pensamiento humano, el
poder visualizar un determinado concepto matemtico en los diversos registros de
representacin que le sean propios, y as mismo afirma:
La coordinacin de varios registros de representacin semitica aparece as como
fundamental para una aprehensin conceptual de los objeto: es necesario que el
objeto no sea confundido con sus representaciones y que se le reconozca en cada
una de sus posibles representaciones (p. 176).
La didctica Cuevas & Pluvinage (2003) toma algunas de las ideas tericas de Duval, y
sugiere que cada vez que se propongan problemas que apoyen la enseanza de un
determinado concepto matemtico, en un determinado sistema o registro, se debe plantear
actividades semejantes al mismo, en los diversos sistemas de representacin que le sean
propios, si la actividad lo permite (p. 280). En este sentido el uso de GeoGebra promueve
de manera importante el trabajo en los diversos registros, y de esta manera favorece la
conversin entre lo geomtrico y algebraico. En el sentido de Cantoral & Montiel (2003), el
visualizar un objeto matemtico (en tal caso una funcin) no es simplemente ver su grfica,
sino es una forma de cmo aprende el estudiante, al llevar la informacin a su pensamiento
y en su lenguaje, lo cual requiere de la utilizacin de nociones matemticas asociadas a
diferentes registros de representacin como el grfico, numrico y algebraico, incluso el
mismo lenguaje comn para expresar sus experiencias vivenciales.
Anlisis complejo del concepto
Plantea la necesidad de establecer problemas en donde el concepto recin adquirido sea un
elemento de anlisis para un tema ms avanzado o complejo (Cuevas & Pluvinage, 2003, p.
280). Un ejemplo es que el estudiante use las definiciones adquiridas por medio de
actividades, y posteriormente sea capaz de aplicarlas para la interpretacin y solucin de
problemas reales.
2.2. Marco Computacional
La NCTM (2008) menciona que la tecnologa es una herramienta esencial para el
aprendizaje de las matemticas, en el siglo XXI, y todas las escuelas deben de asegurar que
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sus estudiantes tengan acceso a la tecnologa. Profesores efectivos, maximizan el potencial
de la tecnologa para desarrollar la comprensin en los estudiantes, estimular su inters e
incrementar su eficiencia en matemticas.
2.2.1. Las TIC
Segn Gonzlez (2010, p. 11), las tecnologas de la Informacin y comunicacin (TIC) son
aquellas herramientas, procesos y productos del conocimiento humano que en el momento
de estar en un determinado contexto permiten mejorar la informacin y la comunicacin
bajo la condicin de que con su uso se fortalezcan y desarrollen procesos cognitivos, es
decir, que contribuyan a que las personas se relacionen, colaboren y aprovechen su
capacidad de reflexionar lgica y creativamente. Algunos ejemplos de estas tecnologas son
las redes sociales, correo electrnico, navegadores, buscadores, los blogs, el podcast, la
Web o Internet, software educativo, etc.
De acuerdo con Santos (2004) un objetivo importante de la instruccin matemtica es
proveer un ambiente adecuado para los estudiantes, en el cual tengan la oportunidad de
demostrar sus propias ideas sobre la manera de hacer frente a los problemas matemticos;
as el profesor al utilizar alguna herramienta tecnolgica, dispone de un medio para
presentar a los estudiantes distintos conceptos o procedimientos de una forma atractiva y
dinmica, promoviendo en ellos la reflexin, y el anlisis al trabajar de una forma
experimental, interactuando con objetos matemticos, construirlos, analizando
comportamientos, comprobar propiedades, hacer conjeturas, realizar simulaciones, etc.
Sin embargo, el uso de las TIC no slo ofrece ventajas, ni se debe pensar que stas
sustituyen al profesor solucionando todos los problemas en la educacin, por eso su
aplicacin es un hecho incuestionable en la medida que esta requiere de un marco
didctico. Las TIC introducen nuevos problemas como: notacin lineal, aproximacin
numrica, aproximacin grfica, etc, que se debe tener un cuidado cuando se introducen en
el aula (Konold y Lehrer, 2008; Moreno y Santos-Trigo, 2008; Tabach, Hershkowitz,
Arkavi y Dreyfus, 2008; Yerushalmy y Chazan, 2008).
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A continuacin, se presentarn varios puntos que resaltan las ventajas y desventajas del uso
de las TIC.
Ventajas de las TIC
Permite el aprendizaje interactivo y la educacin a distancia (Gonzlez, 2010, p.
12).
La utilizacin de las TIC en la enseanza ofrece la posibilidad de promover
notablemente una nueva visin de las matemticas, porque esta tecnologa puede
permitir hacer de la enseanza algo experimental y modelar fenmenos fsicos.
La computadora puede ser una herramienta que permite un proceso dinmico de
generacin del contenido matemtico (Tall, 1990).
Promover aprendizajes significativos porque conseguir en los alumnos: una
mejor comprensin de los temas; desarrollo de habilidades; autonoma; y
confianza en los aprendizajes (McFarlane, 2001)
Desventajas
Existe un cierto analfabetismo computacional que hace que los maestros, vean con
desconfianza y temor el uso de las TIC. Esto hace que los docentes no puedan apreciar
su potencialidad como herramientas de aprendizaje McFarlane (2001). Sin embargo, se
deben promover el uso de herramientas computacionales, y vencer el temor a usarlas
para la enseanza.
Trabajar con las TIC implica muchos obstculos tcnicos imprevistos, como: equipo en
mal estado, problemas con el servidor local, problemas de red y problemas con la
comunicacin externa (Firewall). Los obstculos y los problemas muestran la necesidad
de una planificacin cuidadosa, supervisin de los recursos, en este tipo de cursos
(Gonzlez, 2010, p. 12).
Nmero limitado de computadoras disponibles y competencia de uso con otras materias
de la especialidad.
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Se percibe una opinin de profesores en contra de la utilizacin de la tecnologa, como
lo menciona Antoln (2008), muchos docentes me han manifestado su preocupacin y
temor de que estas tecnologas los estn rebasando, ya que no solo la saben manejar,
sino que en su vida cotidiana se han convertido en simples objetos de consumo, sin una
finalidad educativa.
Ensear con computadoras, sin prever el grado de avance de los estudiantes en clase,
incrementa la complejidad de gestin en clase. Lo cual origina estrs tanto en el
estudiante como en el maestro.
Desestimar la destreza operativa.
Darle demasiado crdito y fiabilidad a sitios en la red.
Apoyar la enseanza con las TIC, sin un diseo previo de la actividades, previendo en
el contrato didctico la participacin de las mismas; puede traer ms desconcierto que
beneficios.
Es un doble reto para los sistemas educativos en los pases en desarrollo, pues adems
de incorporar las TIC a la escuela a travs de un uso apropiado para la enseanza y el
aprendizaje, se debe afrontar el hecho de que la mayor parte de los docentes y de los
alumnos no posee las competencias informticas bsicas.
Distracciones, dispersin, prdida de tiempo, informaciones no fiables, aprendizajes
incompletos y superficiales, visin parcial de la realidad, ansiedad y dependencia de los
dems.
Necesidad de un diseo cuidadoso de programas acadmicos que incluya interacciones
con otras asignaturas y el uso de la computadora (Tall, 1990).
Como se puede apreciar, las desventajas son factores que se pueden controlar, y evitar que
opaquen el uso de las tecnologas para la enseanza-aprendizaje.
2.2.2. Software educativo
Las Nuevas tecnologas de la informacin traen grandes ventajas cuando se utilizan
adecuada y correctamente; es por esto que nace la necesidad de realizar capacitaciones, en
pro de actualizar el modelo del conocimiento con base en las herramientas de las TIC
enfocadas en el cmputo. De acuerdo con Cuevas (1998, p. 274) la computadora es en este
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contexto es un medio y no un fin, por ende es una herramienta que auxilia a realizar diversas
tareas dentro del complejo mundo de la enseanza de las matemticas. Para la enseanza de
cierto tema no se puede usar cualquier software educativo, ste se debe adaptar a las
necesidades y propsitos especficos, y por dicha razn se cuestiona lo siguiente: Qu
caractersticas debe tener un buen software educativo? Qu software educativo cumple con
muchas de esas caractersticas para poder introducir una cnica en el aula?
A continuacin se dar una respuesta a estos interrogantes, con base en las sugerencias de
Mochn (2006) e investigaciones alusivas al uso de software de geometra dinmica.
Caractersticas de un buen software educativo
Saber las caractersticas de un buen software educativo permite escoger el ms apropiado
para el uso de la enseanza de las matemticas. Mochn (2006), menciona que un software
educativo debe ser dinmico, interactivo, exploratorio, abierto, universal, no denso,
concentrado, social, didctico y guiado
Dinmico se refiere a la accin, movimiento y cambio; interactivo a que el ambiente no slo
proporcione informacin, sino que tambin la reciba; exploratorio a la capacidad de procesar
la informacin y devolver una respuesta; abierto a la capacidad del ambiente de ser utilizado
en distintos modelos didcticos; universal a la independencia de un periodo o grupo
especfico; que no sea denso a lo conciso de los textos (ayuda, informacin, etctera) y a la
presentacin de componentes necesarios en la interfaz; concentrado al tratamiento desde
varias perspectivas de una o dos ideas; social a la capacidad de fomentar la interaccin entre
los estudiantes; didctico al cumplimiento de un propsito didctico definido y centrado en el
desarrollo conceptual; y guiado a dirigir a los estudiantes hacia un objetivo didctico.
2.2.3. Software de Geometra dinmica GeoGebra
En la seleccin de un buen software educativo para introducir una cnica, se escogi
Geogebra por ser un software de Geometra dinmica que cumple con las siguientes
caractersticas:
Es dinmico a la accin, se pueden mover los objetos geomtricos (Santos & Espinosa,
2002), adems modificar magnitudes de segmentos por medio de deslizadores, incluir textos,
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activar rastro, y hacer ver objetos ya sean geomtricos o textuales por medio de casillas
(bolanos). Una ventaja que ofrece Geogebra es que ofrece las herramientas necesarias para
construir ambientes virtuales o micromundos, haciendo interactivas las actividades por
medio de simulaciones. Este software carece de un modelo didctico, sin embargo se
acomoda perfectamente en el uso de alguno. Geogebra no ensea matemticas o geometra,
no es su pretensin y para ser un verdadero apoyo a la enseanza se requiere de un trabajo
arduo que incluya un diseo de actividades enmarcados en una didctica.
GeoGebra (www.geogebra.org) es un software de cdigo abierto que ofrece una gran ventaja
para hacer uso de l en cualquier institucin. Este software integra de forma dinmica la
Geometra Sinttica y Analtica (Hohenwarter & Preiner, 2007). Esta caracterstica resulta
til para el diseo de actividades donde se establezcan