Tesis Final 14 de Marzo

UNIDAD ZACATENCO

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA EDUCATIVA

Propuesta didctica para introducir una curva cnica mediante un entorno

digital interactivo: El caso de la elipse

TESIS

Que presenta:

FREDDY YESID VILLAMIZAR ARAQUE

Para obtener el grado de:

MAESTRO EN CIENCIAS

EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMTICA EDUCATIVA

DIRECTOR DE TESIS: DR. CARLOS ARMANDO CUEVAS VALLEJO

Mxico, D.F. Marzo del 2014

CENTRO DE INVESTIGACIN Y DE ESTUDIOS

AVANZADOS DEL INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL

i

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa (CONACYT) por el

Apoyo econmico proporcionado para la realizacin de mis

estudios de maestra que culminan con el presente trabajo de tesis de grado.

Becario 262806

iii

DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS:

Es mucho, y a muchos los que quiero agradecer por ste trabajo. Por eso este es el captulo

ms importante de esta tesis, porque no solo debe estar mi nombre sino el de todos ustedes

por su gran apoyo:

Dedico este trabajo a Dios Padre Todopoderoso porque todos mis logros han sido por l, y

mi vida entera para su Gloria. Gracias Seor Jess por sta meta cumplida, por ser mi luz y

gua en mi caminar, por llenarme de fortaleza y sabidura.

A mis padres Paula y Alirio, hermanos Alex y Carlos, mi ta Luisita, nonita Beln, tios, tias,

primos, primas y familia entera, muchas gracias por su gran apoyo, por el amor y cario

brindado, por sus oraciones y porque siempre me han deseado lo mejor.

A ti Mnica Andrea, por demostrarme tu amor y apoyo incondicional, por tu cario,

motivacin y paciencia.

A mis profesores: Dra. Olimpia F., Dra. Silvia M., Dr. Gonzalo Z., Dr. Manuel S., Dr. Franois

P., Dr. Hugo M., Dr. Luis M., Dr, Riestra por sus aportes a mi formacin como investigador, y

en especial al Dr. Armando Cuevas por ser mi asesor, por orientar el desarrollo del trabajo

de tesis al brindarme su gran experiencia y conocimiento, por su dedicacin, gran apoyo,

colaboracin, por todos sus consejos, amistad y confianza, mil gracias.

A mis sinodales Dra. Rosa Mara Farfn, y Dr. Salvador moreno, por su tiempo y dedicacin

a la lectura de este trabajo.

A mis grandes amigos Guillermo y Eliana, por la paciencia, aportes, y por hacerme parte de

su hogar, de igual manera a la familia Herrera Olgun y Padilla Zamarripa por hacerme parte

de su familia y por su gran apoyo.

A mis amigos y compaeros de maestra: Alfredo, Arely, Alfonso, Mara, Miguel, Hugo, Jos,

Minerva, Oscar G., Arturo, Yani, Soco, Ulises, Francisco.

A ti mi gran amiga Betsy por ser mi gran consejera, por tu apoyo y palabras de aliento.

Gracias a todos mis amigos y en especial a: Eduardo Ramrez, Rubi, Liliana la Gata, Johana

M., Claris, Olguita, Cecilia, Marcela, Orozcopo, Dany, Sheliber, Larita, Sindy, Sahir, Magda,

Sandra, Brgida, Lilis, Mara R., Fabin, parche UFPS y del C.H.E., hermanos de CRISMA.

A Adriana Parra, Gabi, Arturo, del DME, profesores Gina, Hctor, Oscar Avils y mis

estudiantes del Centro Educativo Damin por su apoyo y solidaridad.

v

Contenido

Introduccin ...................................................................................................................................... 1

Captulo I. Planteamiento del problema y antecedentes .............................................................. 3

1.1. Antecedentes ............................................................................................................ 3

1.2. La elipse en el currculum educativo ....................................................................... 8

1.3. Reflexiones sobre la importancia de la elipse ........................................................ 12

1.4. Pregunta de investigacin y propuesta didctica ................................................... 14

1.5. Objetivo ................................................................................................................. 18

Captulo II. Marco didctico, computacional y conceptual ...................................................... 19

2.1. Teoras del aprendizaje y evolucin de la didctica .................................................. 19

2.1.1. La enseanza tradicional ..................................................................................... 19

2.1.2. Escuela activa ...................................................................................................... 22

2.1.3. Teora Piagetiana y de Hans Aebli ...................................................................... 23

2.1.4. Modelo didctico Cuevas-Pluvinage ................................................................... 24

2.2. Marco Computacional ............................................................................................ 29

2.2.1. Las TIC ........................................................................................................... 30

2.2.2. Software educativo ......................................................................................... 32

2.2.3. Software de Geometra dinmica GeoGebra .................................................. 33

2.3. Modelo de Van-Hiele ............................................................................................ 35

2.3.1. Fase descriptiva: Niveles de Van Hiele sobre el desarrollo del pensamiento

geomtrico ..................................................................................................................... 36

2.4. Aspectos tericos ................................................................................................... 38

2.4.1. Resumen de las cnicas a lo largo de la historia ............................................ 38

2.4.2. La elipse .......................................................................................................... 40

2.4.3. Construcciones de la elipse............................................................................. 59

Captulo III. Metodologa y diseo de los instrumentos de medicin ..................................... 65

3.1. Diseo de los instrumentos .................................................................................... 65

3.1.1. Test diagnstico .............................................................................................. 65

3.1.2. Actividades interactivas .................................................................................. 70

3.1.3. Postest ............................................................................................................. 86

vi

3.2. Diseo de la aplicacin de los instrumentos y actividades en la poblacin estudio .....

92

3.3. Descripcin de las sesiones de experimentacin ................................................... 94

3.3.1. Descripcin de la sesin 1 .............................................................................. 94








3.4. Anlisis de los datos .............................................................................................. 97

.............................................................................................. 99

4.1. Resultados del test diagnstico .................................................................................. 99

4.2. Anlisis de resultados de la actividad 1 ................................................................... 101



4.5. Anlisis de resultados del postest ............................................................................ 116

Captulo V. Conclusiones e investigaciones futuras ................................................................ 123

5.1. Conclusiones ........................................................................................................ 123

5.2. Investigaciones Futuras ........................................................................................ 127

Bibliografa .................................................................................................................................... 129

Anexos ........................................................................................................................................... 135

Anexo I. Plan curricular sobre el tema de la elipse en el CCH-UNAM ........................ 135

Anexo II. Plan curricular de la SEP sobre el tema de la elipse ....................................... 136

Anexo III. Demostracin de la ecuacin cannica de la elipse ..................................... 137

Anexo IV. Procedimiento algebraico de la ecuacin general de la elipse a partir de

ecuacin cannica de la elipse ........................................................................................ 142

Anexo V. Test diagnstico de conocimientos ............................................................... 143

Anexo VI. Actividad 1. La elipse como lugar geomtrico ............................................ 146

vii

Anexo VII. Actividad 2. Excentricidad de la elipse ........................................................... 154

Anexo VIII. Actividad 3A. Demostracin sinttico-analtica de la ecuacin cannica de

la elipse con centro en el origen ............................................................................................ 159

Anexo IX. Actividad 3B. Ecuacin cannica y general de la elipse con centro en el

origen ........................................................................................................................................ 164

Anexo X. Actividad 3C. Ecuacin cannica y general de la elipse con centro ( , )h k ... 170

Anexo XI. Postest ..................................................................................................................... 177

ix

Resumen

En el currculo matemtico de tercer semestre de preparatoria de la SEP (Secretaria de

Educacin Pblica de Mxico), se contempla el tema de las curvas cnicas cuyo

tratamiento se centra gran parte en el desarrollo algebraico de sus ecuaciones. Sin negar la

potencialidad de stos mtodos, es conveniente mediar el estudio de sus propiedades, en su

definicin como lugar geomtrico, con una visualizacin geomtrica sin demeritar el

tratamiento algebraico. El presente trabajo de investigacin es adems, una propuesta que

integra el campo de la matemtica, la didctica y las tecnologas digitales, en donde la

enseanza de la elipse es un ejemplo o prototipo de cmo se podra generalizar para

introducir las dems curvas cnicas en Geometra Analtica, por medio de actividades

enmarcadas en la didctica Cuevas & Pluvinage (2003) y los tres primeros niveles de

desarrollo del pensamiento geomtrico de Van Hiele, reinterpretado bajo esta didctica.

Abstract

Within the mathematics curriculum for third semester in de high school for the SEP, we can

find the issue called conicals curves, whose teaching is focused almost exclusively on

developing algebraic equations of conics. Without denying the potential of these methods,

the study of conics should begin from their legitimate properties as loci, with a geometric

visualization without devalue the algebraic treatment. The present research is a proposal

linking the worlds of mathematics, didactics and digital technologies, where the teaching of

the ellipse is an example of how one might generalize to introduce other conic curves in

Analytic Geometry, through activities supported in Cuevas & Pluvinage Cuevas didactic,

and the first three levels of development of the Van Hiele geometric, reinterpreted under

this didactic.

1

Introduccin

En los programas curriculares presentados en pases como Mxico por la SEP (2013)

CCH-UNAM (2013), Colombia con el MEN (2006) y en Espaa como lo afirman

Contreras, Contreras, Garca (2002), es notable que el estudio de las curvas cnicas se aleja

un tanto de la parte Geomtrica para dar exclusividad a la parte algebraica de las mismas,

donde se empobrece la intuicin geomtrica, y consecuentemente las propiedades

geomtricas de las mismas. Por otra parte, los programas curriculares presentan los

contenidos aislados de su desarrollo histrico y de sus aplicaciones; adems fuera de un

contexto social, es decir los descontextualiza de la realidad.

Adicionalmente, a pesar del desarrollo de las tecnologas digitales y en particular de

sistemas de geometra dinmica, en general, no se utilizan recursos tecnolgicos que

permitan un acercamiento a los conceptos mediante la interaccin de los diferentes objetos

matemticos que promueven competencias matemticas en los estudiantes. Tambin, en

algunas instituciones educativas, no se hace uso de la tecnologa debido a mltiples

factores, por enumerar algunos, no cuentan con una poltica de actualizacin docente,

carencia de equipos de cmputo en buen funcionamiento y software adecuado (Gonzlez,

2010), lo cual conlleva a la falta de proyeccin hacia cursos que integren los temas de

matemticas con la tecnologa. De acuerdo con Sacristn, Calder, Rojano, Santos,

Friedlander, Meisser (2010) las tecnologas tienen un papel central en la comprensin y

desarrollo de conceptos matemticos, gracias a las mltiples representaciones que la

computadora ofrece de stos. La NCTM (2008) menciona que La tecnologa es una

herramienta esencial para el aprendizaje de las matemticas, en el siglo XXI, y todas las

escuelas deben de asegurar que sus estudiantes tengan acceso a la tecnologa.

La bsqueda de las relaciones entre las matemticas, didctica y la tecnologa, se

materializ como propuesta del presente trabajo de investigacin, en el que se realiz un

anlisis bibliogrfico en diferentes artculos de investigacin, los cuales hacen referencia a

los problemas de enseanza y aprendizaje de la Geometra Analtica, como en Del Rio

(1991), Cruz & Mario (1999), Contreras, Contreras & Garca (2002), y Bussi (2005).

2

La propuesta establece una relacin entre las matemticas, la didctica y las tecnologas

digitales, con el propsito de promover un mejor entendimiento de conceptos matemticos,

mediante el diseo de una serie de actividades didcticas que se enmarcan en la didctica

Cuevas & Pluvinage (2003), donde la inclusin de la tecnologa adquiere un papel relevante

y de motivacin para el estudiante, puesto que permite la visualizacin e interaccin con los

objetos geomtricos. La propuesta presentada, introduce particularmente el concepto de

elipse, sin embargo la ruta didctica aplicada se puede extrapolar heursticamente para la

comprensin de otras curvas y conceptos geomtricos tales como: circunferencia, parbola,

hiprbola, partiendo de la visualizacin, anlisis de las propiedades y definiciones de las

figuras como lo sugiere el nivel I, II de Van Hiele. Finalmente, el estudiante debe realizar

clasificaciones lgicas, y seguir demostraciones algebraicas de manera formal a las figuras

como lo establece el nivel III de Van Hiele. El uso de la tecnologa ser importante para

mantener la parte activa en los estudiantes como lo propone la didctica Cuevas &

Pluvinage (2003), donde el estudiante es quien realiza la accin y construye las diferentes

definiciones de manera dosificada partiendo siempre de un problema en contexto, lo cual

hace de las Matemticas un rea funcional, es decir segn Aebli (1995) es aplicada a

situaciones del mundo real para entender por qu o cmo funcionan las cosas.

El contenido del presente trabajo se divide en los siguientes captulos:

Captulo I. Planteamiento del problema y antecedentes.

Captulo II. Marco terico-didctico, computacional y conceptual.

Captulo III. Metodologa y diseo de los instrumentos de medicin.

Captulo IV. Anlisis de resultados

Captulo V. Conclusiones e investigaciones Futuras

3

Captulo I. Planteamiento del problema y antecedentes

En este captulo se presentan dos aspectos importantes; en primer lugar, las causas que

dieron origen al presente trabajo de investigacin, y en segundo lugar, al surgimiento de

una propuesta didctica para introducir una curva cnica, en particular de la elipse vista en

un primer curso de Geometra analtica, mediante el uso de actividades dinmicas e

interactivas bajo un marco didctico.

La necesidad de aplicar una didctica especfica radica en aspectos como promover una

mejor comprensin en los estudiantes sobre los cursos de matemticas que forman parte de

los diferentes currculos educativos de diferentes partes del mundo como Mxico,

Colombia, Espaa, entre otros1 que exigen al estudiante cumplir con objetivos

cognoscitivos, y al profesor con ciertos roles para la enseanza, entre ellos el uso de las

tecnologas de la informacin y de la comunicacin TIC (SEP, 2013). Finalmente, es

importante mostrar la elipse, como patrimonio cultural, ya que a lo largo de la historia es un

tema que ha sido til y funcional en el mundo real.

1.1. Antecedentes

Antes de disear la propuesta didctica, se har en primera instancia un breve anlisis de la

problemtica presentada en el proceso de enseanza-aprendizaje de los estudiantes en la

Geometra analtica, y as mismo trabajos referentes al estudio y enseanza de la misma:

Del Ro (1991) hace un estudio comparando dos metodologas para la enseanza de las

cnicas en el aula. En la primera, aplica el modelo de aprendizaje por descubrimiento,

basado en la teora de Bruner, concluyendo que la mayora de los estudiantes (aprox. 80%)

de poblacin de estudio, presentan una confusin entre las formas planas y espaciales, al

afirmar que los huevos de gallina tienen forma de elipsoide, y los melones forma de elipse;

sin embargo, reconocen y diferencian las figuras (cnicas), al identificar alguna propiedad

particular de modo perceptivo (p. 116). En la segunda, se aplica una didctica tradicional

donde concluye que la mayora de los estudiantes perciben las cnicas conectadas con la

realidad, por ejemplo, que las rbitas planetarias son elipses, y aade que se trata de un

1 Pases de los cuales se har un anlisis curricular, no exhaustivo, sobre la elipse.

4

conocimiento social (p. 121), es decir, que quizs lo han escuchado pero no justifican con

propiedades matemticas el por qu la trayectoria que siguen los planetas, es elptica.

Por otra parte, Cruz & Mario (1999) afirman que dentro del estudio de la Geometra

analtica, se han presentado dificultades en la comprensin de los contenidos relativos a las

secciones cnicas (p. 15), y argumentan que:

() en los trabajos sobre educacin matemtica para los alumnos que ingresan a la

educacin superior, se ha constatado que los conocimientos de los estudiantes se

limitan al aprendizaje de memoria de las ecuaciones que caracterizan a cada una de

las cnicas, a la identificacin de sus elementos y a su bsqueda algortmica

empleando frmulas, sin demostrar haber interiorizado la relacin existente entre los

diferentes parmetros que intervienen en las ecuaciones de las cnicas y su

representacin grfica, ni el porqu de su definicin como lugar geomtrico lo cual

limita la comprensin del alcance de las posibilidades de que disponen (p. 15).

En la idea de darle un contenido ms geomtrico a los tradicionales cursos de geometra

analtica, Contreras, Contreras & Garca (2002) hacen una propuesta adecuada para

contrastar la geometra sinttica con la analtica. En ella realizan diversas construcciones

sintticas de la elipse como el mtodo del jardinero, otras analticas y sinttico-analticas.

Los autores afirman de dichas construcciones que son elementos motivantes y formadores

para los estudiantes de bachillerato, y que tambin algunos de los institutos de secundaria,

en Espaa, cuando se ensea un curso de Geometra analtica, la elipse ni siquiera llega a

tratarse en clase, y que a lo ms que se aspira en el desarrollo de la unidad es realizar un

estudio de la circunferencia, lo que concuerda con algunas instituciones educativas en

Mxico y Colombia. Adems en su investigacin, mencionan que debido al

desconocimiento de las cnicas en su totalidad, posteriormente trae consecuencias

negativas para los estudiantes en el primer ao de universidad.

En el mismo sentido, Santos & Espinosa (2002) disean una construccin de tipo

geomtrica que unifica las cnicas (elipse e hiprbola) utilizando un software de Geometra

5

dinmica, es decir, que por medio de la definicin foco-directriz de las cnicas se puede

representar las cnicas en una misma construccin geomtrica dinmica, para

posteriormente estudiar sus propiedades.

Por su parte, Bussi (2005) desarroll un proyecto de investigacin denominado mquinas

matemticas (p. 9 a 13) donde muestra el desarrollo histrico de los significados de las

cnicas, sealando que el principal problema es relacionarlos en los diferentes aos o

tiempos. Histricamente es un componente inevitable la construccin de significados, pues

el de cnicas por siglos llamados secciones cnicas, enfatiza que provienen de un cono,

pero, al objetivizarlas como el lugar geomtrico que satisface la ecuacin de segundo grado

obtenida a partir de ciertas relaciones paramtricas, no es suficiente porque esto no da

informacin acerca del significado geomtrico, de donde provienen, por ello es necesario

contrastar hechos histricos de la elipse, de Apolonio con la geometra analtica de

Descartes.

En cuanto a la enseanza de la Geometra analtica bajo un marco didctico que promueva

una mejor comprensin de los conceptos geomtricos, Carbajal (2013) propone un

acercamiento al estudio de la lnea recta desde el punto de vista de lugar geomtrico

tomando como marco didctico la didctica Cuevas-Pluvinage (2003), y apoyndose

fuertemente en el uso de las herramientas digitales como el Sistema Tutorial Inteligente

LIREC (Cuevas, 2003), as como el desarrollo de un escenario interactivo virtual

interactivo (EDVI) para favorecer la comprensin del concepto de lnea recta, pendiente y

conceptos asociados. La didctica Cuevas & Pluvinage (2003) propone en uno de sus

puntos, que el estudiante es quien debe realizar la accin y construya el conocimiento de los

conceptos.

Por otra parte en Cantoral y Farfn (1998), desarrollan una aproximacin terica a la

didctica de las Matemticas de naturaleza epistmica, que supone un avance

constructivista de las mismas de tipo socioepistemolgico con cuatro componentes en la

construccin de dicho conocimiento: su naturaleza epistmica, su dimensin sociocultural,

los planos de lo cognitivo, y los modos de la trasmisin de la enseanza. Aunque esta teora

6

se basa en el pensamiento y lenguaje variacional, se considera que muchas de sus ideas

motrices pueden aplicarse a otros campos de la Matemtica, como en el caso de la

enseanza de la Geometra Analtica.

Actualmente, algunos textos de Matemticas disean actividades didcticas como el de

Matemticas III de Cuevas (2013), el cual presenta una metodologa ms dosificada en el

tratamiento de la elipse, como lo propone la didctica Cuevas & Pluvinage (2003, p. 277),

bajo la siguiente secuencia: 1) Se visualiza la figura a partir de las diferentes aplicaciones

como: construcciones de la elipse por el mtodo del jardinero, y la segunda ley de Kepler

que describe la trayectoria elptica de traslacin de los planetas. 2) Se define la

elipse como cnica y lugar geomtrico. 3) Se estudian los elementos ms importantes de la

elipse y sus propiedades. 4) Se demuestra de manera formal la ecuacin cannica de la

elipse y posteriormente la general. 5) Por ltimo, se estudia la excentricidad en la elipse. La

importancia de llevar actividades dosificadamente, radica en la formacin del razonamiento

geomtrico partiendo de la visualizacin de las figuras hasta llegar a definirlas

formalmente; segn Van Hiele, 1986, citado por Jaime & Gutirrez (1990), en el caso de la

geometra, no es posible alcanzar un nivel de razonamiento geomtrico sin haber superado

un nivel ms bsico (p. 312); un caso particular de ello es cuando un estudiante halla la

ecuacin de una elipse de forma mecnica, sustituyendo solo valores numricos y

realizando operaciones algebraicas, pero antes de ello no profundiza en las definiciones y

propiedades de la figura que conllevan a la demostracin de la misma.

Uno de los libros de texto ms utilizado en Mxico es la Geometra Analtica de Lehmann

(1989 dcima tercera reimpresin y apareci en 1942); que presenta problemas propios de

su antigedad, y carencia del uso de tecnologas digitales que doten de dinamismo a los

objetos matemticos geomtricos, adems de una ausencia de un planteamiento didctico.

Por otra parte, los temas aparecen de manera lgico-formal, lo cual confronta al estudiante

con su educacin anterior. Sin embargo, es un libro con un gran banco de problemas

graduados; donde se detalla la siguiente secuencia para el caso de la elipse: 1) Definicin

de la elipse formalmente como lugar geomtrico. 2) Descripcin de los elementos de la

elipse. 3) Demostracin algebraica de la ecuacin que satisface el lugar geomtrico de los

7

puntos sobre sta. 4) Problema fundamental de la Geometra Analtica que consiste en el

planteamiento de una serie de ejercicios, donde se dan parmetros de la elipse para hallar su

ecuacin, y viceversa. Esta presentacin coincide con los planes curriculares de educacin,

sin embargo, no se lleva una secuencia para la comprensin conceptual, centrndose

exclusivamente en el desarrollo de ejercicios algebraicos; por lo tanto ste libro de texto de

gran nivel es, en el sentido didctico, un contraejemplo a la propuesta didctica Cuevas &

Pluvinage (2003, p. 275) donde se establece que en lo posible se debe partir de una

aplicacin en contexto para la enseanza de los conceptos. La inclusin de un contexto en

un problema matemtico, segn Aebli (1995) asegura con frecuencia el inters de los

estudiantes, los cuales no se fijaran en el slo tratamiento terico del proceso del tema (p.

161).

En el libro de Sullivan (1997) Trigonometra y Geometra Analtica, aunque sigue siendo

un texto atractivo por las aplicaciones que presenta, tambin carece de una perspectiva

tecnolgica digital y de un planteamiento didctico explcito. En este libro, se presenta una

breve introduccin sobre cmo construir la elipse por medio del mtodo del jardinero, que

tambin se muestra en la mayora de los libros de texto de Matemticas III, posteriormente

propone una serie de ejercicios de tipo operativo al igual que la Geometra Analtica de

Lehmann (1989), y ejercicios de aplicacin de la elipse en la vida real, como: el de la

galera de los suspiros, la rbita de traslacin de la Tierra, pero muchas de stas son tareas

estereotipadas, es decir, aquellas que se ajustan exactamente a las frmulas y teoremas

memorizados. La presentacin de algunos problemas en contexto de este libro causan

confusin, por ejemplo, el de la rbita de la Tierra alrededor del Sol, donde ilustran un

dibujo de cada rbita cuasi elptica sealando su afelio (distancia ms lejana del Sol a la

Tierra) y perihelio (distancia ms cercana del Sol a la Tierra), de una forma muy excntrica

o ms ovalada, siendo que realmente esta rbita es casi circular. Adems, los problemas

en contexto se presentan al final del desarrollo terico y no desde un comienzo para

introducir el concepto.

Como se expuso anteriormente, la mayor parte del tratamiento de las cnicas en los libros

de texto de matemticas consultados, tienen las siguientes caractersticas:

8

1. Los libros carecen de actividades o recomendaciones de uso de tecnologa digital

por medio de programas de geometra dinmica, que posibilitan a los objetos

geomtricos presentados, un manejo dinmico.

2. No se explicita en ellos alguna propuesta didctica que promueva una mejor

comprensin de los problemas.

3. Su presentacin muchas de las veces es de corte lgico-formal en las matemticas,

lo que hace que sean textos para el docente y no para el estudiante.

4. No se utilizan los problemas en contexto para introducir las diferentes definiciones,

dejando estos ltimos para el final del captulo como problemas de aplicacin

propuestos, que por los tiempos ajustados de los programas de estudio, casi nunca

se tiene el tiempo para exponerlos y analizarlos.

5. La presentacin de los temas tiene una fuerte carga algebraica que demerita la parte

geomtrica, y que empobrece la visualizacin de sta, lo cual desequilibra el

registro de representacin geomtrico, devaluando, segn el marco didctico, la

comprensin del concepto matemtico.

El problema de la presentacin en la mayora de los libros de texto de Geometra Analtica

radica en el empobrecimiento geomtrico, debido a que el planteamiento de ejercicios y

problemas es de tipo algebraico. Este problema es comn en muchos pases, y concuerda

con Contreras, Contreras & Garca (2002, p.114), quienes sealan que en Espaa el

tratamiento que se observa en los textos es de tipo analtico exclusivamente, y no

encuentran explicacin para tal comportamiento.

1.2. La elipse en el currculum educativo

Actualmente, estudiar las curvas cnicas se considera importante, no slo por las

aplicaciones que tienen en el mundo real dentro de: la arquitectura, la fsica y la ingeniera;

y en la elaboracin de modelos matemticos econmicos2, modelos matemtico-

astronmicos, instrumentos tecnolgicos (navegacin, medicina, relojera, etc.) entre otras,

sino porque acadmicamente, contribuyen a la formacin matemtica de los estudiantes

universitarios, como una parte fundamental del desarrollo conceptual de la matemtica y en

2 http://es.wikipedia.org/wiki/Curvas_de_indiferencia

9

particular del preclculo, como se puede verificar en los planes curriculares de educacin

Nacional en Mxico, como CCH-UNAM (2013) de la Universidad Nacional Autnoma de

Mxico (UNAM),el currculo de la Secretaria de Educacin Pblica SEP (2013) (ver anexo

I y II), y tambin otros pases como en el Ministerio de Educacin Nacional MEN de

Colombia (2006, p. 88).

Los cursos de Geometra Analtica en Mxico, se encuentran en el programa de estudios

nacional de preparatorias en Matemticas III. En particular, el programa de estudios de

Matemticas del III y IV semestre del CCH-UNAM (2013, p.p. 64-65) (ANEXO I) aborda

el estudio de las cnicas. Para el caso de la elipse, los objetos de aprendizaje son: la

propiedad bifocal que define la elipse como lugar geomtrico, presentacin de sus

elementos, y deduccin de la ecuacin formal de sta, culminando con la resolucin de

problemas aplicados. El programa ofrece una serie de estrategias que permiten iniciar desde

la visualizacin, reconocimiento y construccin de la elipse (nivel I de Van Hiele); sin

embargo, en un sondeo realizado a profesores de matemticas del CCH, comentan que

algunas estrategias del currculo no son consideradas, y que su modo de enseanza es dar

una definicin de elipse como lugar geomtrico tomada de algn libro de Geometra

Analtica, y luego centrarse en el desarrollo algebraico de su ecuacin a partir de algunos de

los elementos de la grfica, y viceversa. An prevalece el planteamiento operativo que se

propone como dos problemas fundamentales de la Geometra analtica (Lehmann, 1989)

que consisten en dar la ecuacin, para interpretarla grficamente, y luego hacer su

operacin inversa. A pesar de que en esta institucin se promueve el uso de la tecnologa

por medio de programas de geometra dinmica, no es de uso comn por parte de la mayor

parte de los docentes. Otra dificultad es el tiempo acadmico, en donde la acumulacin de

contenidos hace casi imposible completar un programa de estudios, por lo que un

comentario comn entre los docentes entrevistados es: no es suficiente el tiempo de clase

para llegar a elipse, solo alcanc hasta parbola, adems, la enseanza se vuelve

descontextualizada al dejar las aplicaciones para el final de las clases, en cuanto el tiempo

escolar lo permita. Corroborando lo anterior Contreras, Contreras & Garca (2002, p. 114)

enfatizan que en el segundo curso de bachillerato en Espaa, aparece la unidad con el tema

10

de las cnicas, el cual no se alcanza a completar en muchas instituciones educativas como

lo establece la planeacin curricular; generalmente, se logra llegar hasta el estudio de la

circunferencia, generando consecuencias un tanto negativas en los estudiantes, que pasan

de bachillerato a una formacin universitaria.

Analizando el programa de la Secretaria de Educacin Pblica de Mxico (SEP, 2013), la

asignatura de Geometra Analtica de la materia de Matemticas III, se desarrolla en siete

bloques, siendo el ltimo la aplicacin de los elementos y ecuaciones de la elipse (p. 9)

(ver anexo II). El tiempo estimado para desarrollar el bloque VII es de aproximadamente 12

horas, y sugiere los siguientes subtemas como logros escolares:

La Identificacin de los elementos asociados a la elipse

El reconocimiento de la ecuacin ordinaria y general de la elipse

La aplicacin de los elementos y ecuaciones de la elipse, en la solucin de

problemas y/o ejercicios de su entorno, (p. 40)

Por lo tanto, los elementos claves de aprendizaje para este bloque son: 1) elipse, 2)

elementos de la elipse, 3) ecuacin ordinaria horizontal y vertical con centro en el origen y

fuera de esta, 4) ecuacin general de la elipse. Una de las competencias a desarrollar es

utilizar las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar cada

concepto aprendido y mencionado por el profesor (SEP, 2013, p.40). Para ello tambin se

propone que el docente cumpla con el rol de facilitar el proceso educativo al disear

actividades significativas integradoras, que permitan vincular los saberes previos del

alumnado con los objetos de aprendizaje, as como propiciar el uso de las TIC y utilizarlas

de forma eficiente. Como material didctico se sugiere la utilizacin de un organizador

grfico, problemarios, software para presentaciones electrnicas y software educativos

(SEP, 2013, p. 42). Lamentablemente el rol del maestro sealado por muchas instituciones

educativas, no contemplan el uso de las TIC, y se desconoce el manejo de software de

geometra dinmica. A esto se aade el factor tiempo que no permite que se desarrollen

todos los temas propuestos desde el inicio del ao escolar.

11

El estudio de la elipse en la mayora de las instituciones de preparatoria sigue los

respectivos planes curriculares analizados anteriormente, pero enfocados a una enseanza

tradicional en la que se acude a la definicin que los textos contienen; segn Aebli (1995,

p. 160) la enseanza escolar toma de los libros conceptos objetivizados, es decir, aquellos

que son inteligibles para los estudiantes, evocan en su pensamiento representaciones

precisas, y construyen con ellos una imagen adecuada de la realidad, sin embargo, no se

atiende mucho a la accin propiamente dicha, es decir, no hay una interiorizacin a travs

de actividades didcticas que le permita al estudiante tomar una aptitud activa, donde sea l

mismo quien realice la accin y construya las diversas definiciones del objeto matemtico.

Este tipo de enseanza tradicional planteado en muchas de las instituciones educativas, se

concentra en las ecuaciones de una curva cnica relegando la parte geomtrica, provocando

una prematurizacin algebraica que sigue un proceso enfocado a la transmisin de

conocimientos terminados bajo una perspectiva formal u operativa, en el cual el docente es

quien gua, transmite, y delega de manera pasiva los contenidos al estudiante, y ste

aprende de memoria un conjunto de conceptos y frmulas carentes de sentido para l

mismo. Un cuadro tpico de esta enseanza se ilustra cuando el profesor elabora contenidos

y los expone en clase a travs de una serie de conceptos que el estudiante recibe de manera

pasiva mientras observa atento al pizarrn, la responsabilidad del estudiante por tanto, recae

en repetir por imitacin el procedimiento algortmico que ha visto ejecutarse, y aplicarlo

una y otra vez en los ejercicios que el profesor propone al terminar la clase. Por lo tanto, se

requiere involucrarlos en un proceso activo de construccin de su propio conocimiento, ya

que como afirma Piaget, la accin por parte del educando, es el elemento fundamental en el

proceso de enseanza y aprendizaje (Citado por Cuevas & Pluvinage, 2003).

De acuerdo con lo anterior, es necesario disear un conjunto de actividades didcticas

aplicable en cualquier institucin educativa, por lo que debe regirse al currculo y hacer uso

de las TIC, que permitan una mejor comprensin de los conceptos geomtricos, y un

aprendizaje significativo en el tiempo escolar estimado.

La razn por la cual se escogi la elipse como entrada en la propuesta sobre las dems

figuras cnicas, radica en las siguientes reflexiones:

12

1.3. Reflexiones sobre la importancia de la elipse

La primera estrategia basada en la didctica Cuevas & Pluvinage (2003) establece

introducir un concepto matemtico mediante un proyecto de accin prctico, es decir que el

estudiante construya el conocimiento y que sea l mismo quien tome una aptitud activa

desarrollando acciones dirigidas por medio de la didctica, a partir de una aplicacin en el

mundo cotidiano. Por dicha razn, al inicio del desarrollo del tema de elipse, se presenta

brevemente la importancia de la elipse a lo largo de la historia y algunas de sus aplicaciones

ms relevantes.

La elipse es una de las curvas ms interesantes de la geometra analtica, por las enormes

aplicaciones de la misma en diferentes ramas de la ciencia (astronoma, arquitectura, ptica,

medicina, entre otros) que ha sido estudiada desde los antiguos griegos. Esta curva tuvo

gran importancia en la antigua Grecia aproximadamente en el ao 350 a. d. C. porque

surgi del planteamiento que hizo Menecmo como solucin al problema de duplicacin del

cubo (Heath, 2006), y a partir de all fue de gran inters para gemetras como: Aristeo,

Euclides, Arqumedes, y Apolonio quien tuvo el valor de formalizarla como curva cnica y

escribir 8 libros para el tratamiento exclusivo de stas, llamado Cnicas de Apolonio,

siendo l quien le dio el nombre de elipse a dicha curva (Boyer, 1956, p.p. 22, 24).

Boyer (1956, p. 30) expone que el material en las cnicas de Apolonio es remarcablemente

extensivo e incluye las numerosas propiedades en estas curvas haciendo referencia a la

parbola, elipse e hiprbola.

Una de las propiedades de la elipse es la reflexin, en la cual un rayo u onda que emana de

un foco de la elipse, se refleja en ella hacia el otro foco (De Oteyza, Lam, Hernndez,

Carrillo, Ramrez, 2001, p. 492). Esta propiedad se presenta en diversas aplicaciones como

en la medicina, acstica, arquitectura, y es incluso fuente de actitudes supersticiosas en

algunas capillas, como la del desierto de los Leones en Mxico. A continuacin se

mencionan algunas de las aplicaciones de la elipse, en diversas ciencias:

En la medicina se ve aplicada en un procedimiento mdico denominado litotricia, que

utiliza ondas de choque para romper clculos que se forman en el rin. Para llevarlo a

13

cabo, se maneja un dispositivo llamado litotraptor (Figura 1) el cual consiste en un medio

elipsoide lleno de agua que se sita pegado al cuerpo del paciente; en el foco de esta

elipsoide va posicionado un electrodo generador de ondas de choque, y el otro foco se ubica

dnde estn los clculos renales, de modo que las ondas de choque rebotan con la superficie

reflectora de la media elipsoide convergiendo hacia al otro foco, desintegrndolos

finalmente.

Figura 1. Litotraptor

En la acstica, existen antiguas construcciones como la baslica de San Pablo en Inglaterra,

el saln de las estatuas del capitolio de Washington D.C., el tabernculo mormn en Salk

Lake City, y la galera de los susurros o capilla de los secretos en el desierto de los Leones

en el Distrito Federal de Mxico (UCNCIMix, 2009). Estas construcciones tienen en comn

una cpula de forma semi-elipsoide, que visto por un corte transversal se aprecia una

elipse; si una persona situada en un foco habla murmurando, slo puede ser escuchado por

otra persona situada en el otro foco.

En la Astronoma se marc un gran hecho en la historia de la ciencia y el mundo, con la

aplicacin de la elipse para describir la trayectoria de las rbitas planetarias alrededor del

Sol. Este hecho de mayor trascendencia planteado por Johannes Kepler (1571-1630)

revolucion el pensamiento astronmico y cientfico que se tena hasta ese momento sobre

la dinmica de los cuerpos celestes, derrocando el modelo geocntrico de Ptolomeo que

perdur por varios siglos. La siguiente ley enunciada por Kepler presentada a continuacin

no pudo llevarse a cabo sin la ayuda de las observaciones de Tycho Brahe (1546-1601):

14

Johannes Kepler cuando estudiaba el movimiento de Marte, al aplicar el modelo

de Coprnico de rbitas circulares alrededor del Sol, observ que los clculos

discrepaban ligeramente de la posicin real del planeta en el firmamento. As que

intent ajustar la rbita a otras curvas y finalmente, encontr que la elipse se

ajustaba maravillosamente a ella (De Oteyza et all, 2001, p. 492)

As encontr su primera ley de movimiento que dice:

Cada planeta describe una rbita elptica alrededor del Sol, siendo el Sol uno de

sus focos. (Hewitt, 2004, p. 192).

En la arquitectura, una de las construcciones ms impresionantes en forma elptica fue el

coliseo romano y la Plaza de San Pedro en Roma, construidos en el siglo I y XVII

respectivamente, los cuales fueron considerados como dos de las ms grandes

construcciones en el mundo y que en comn tienen forma elptica (Figura 2):

Figura 2. Plaza de San Pedro y Coliseo Romano-Ciudad del Vaticano, Roma.

Existen muchas ms aplicaciones referentes a la elipse, y a consideracin personal se

escogi el movimiento planetario, por su trascendencia y utilidad para estudiar algunas

caractersticas de la elipse como la excentricidad.

1.4. Pregunta de investigacin y propuesta didctica

Hemos expuesto la problemtica sobre los subtemas que tradicionalmente se abordan en la

enseanza de las cnicas, y particularmente de la elipse tanto en libros de texto como en los

planes curriculares educativos. La falta de una planeacin de actividades en los temas de

Matemticas y el no uso de herramientas tecnolgicas acompaado de una didctica en la

enseanza de las cnicas, ha llevado a plantear el siguiente cuestionamiento y propuesta

que constituye la pregunta de investigacin de este trabajo:

15

Cmo introducir una curva cnica mediante el empleo de la tecnologa digital, dentro

de un marco didctico para promover una mejor comprensin?

Teniendo en cuenta los planes curriculares y secuencia de los libros de texto, una ruta

cognitiva para la enseanza de las cnicas que sigue el presente trabajo de investigacin es

la siguiente:

1) Iniciar con la definicin de lugar geomtrico de la cnica, la cual se puede hacer de

varias formas, sin embargo mediante una investigacin, entrevista a docentes, consulta

de programas curriculares y libros de texto en uso, se concluye que la definicin ms

usual es:

Para el caso de la parbola es la de foco-directriz, como el lugar geomtrico de los

puntos que equidistan de una recta l llamada directriz, a un punto F exterior a ella.

Para la elipse e hiprbola la definicin ms usual es la bifocal, como el lugar

geomtrico de los puntos tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos sea

igual a una constante (caso de la elipse) y el lugar geomtrico de los puntos tal que

la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos sea una constante (caso de la

hiprbola).

Para la construccin de la definicin de lugar geomtrico de una cnica, no se debe caer en

la metodologa de la enseanza tradicional, como por ejemplo: para la parbola, se parte de

la definicin formal como el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de una recta l

llamada directriz, a un punto F exterior a ella, lo cual es una definicin clara y objetiva,

es decir segn Aebli (1995) aquella definicin elaborada y redactada de una manera precisa

y formal, en la cual el estudiante no interioriza o construye las diferentes definiciones, sino

que las aprende de memoria. En consecuencia, se refleja un alto ndice de reprobacin y el

poco conocimiento conceptual en estudiantes de preparatoria y universitarios, como en el

caso del Centro Universitario UAEM Valle de Chalco, que segn Gonzlez (2010) los

ndices de reprobacin de Matemticas para el 2010 de un curso de preclculo (donde se ve

Geometra Analtica) y de Clculo diferencial, fluctan entre el 75% y 85%.

16

2) Se plantea de inicio un proyecto de accin prctico o concreto, en el que la definicin

de la respectiva cnica sea construida a partir de una aplicacin, por ejemplo: para el

caso de la parbola puede ser un lanzamiento parablico en baloncesto, la trayectoria

del agua en una determinada fuente; para el caso de la elipse puede ser la construccin

de un jardn o vitral por el mtodo del jardinero, o el movimiento planetario; y para la

hiprbola la construccin de la estructura externa de una planta nuclear, o el

movimiento de un cometa. Lo anterior tambin sirve para visualizar la respectiva cnica

como un primer nivel de pensamiento geomtrico establecido por el modelo de Van

Hiele (Jaime & Gutirrez, 1990)

A diferencia de la enseanza tradicional la cual deja las aplicaciones para lo ltimo, en las

actividades propuestas, se parte de un problema en contexto como lo sugiere la didctica

Cuevas & Pluvinage (2003). Esto es importante en la medida que se aprecia la parte

funcional de los objetos matemticos, es decir, segn Aebli (1995) el conocimiento puede

resultar interesante por s mismo al saber cmo funcionan o se hacen algunas cosas, a partir

del uso de la matemtica.

De acuerdo al marco didctico, es importante que el estudiante siempre realice la accin a

travs de las actividades. Para lograr la accin individual en un grupo de estudiantes, se

hace uso de la tecnologa donde el estudiante adquiere una aptitud activa al poder mover y

modificar objetos geomtricos, e interactuar con escenarios que se pueden desarrollar en

un software de Geometra dinmica, como ejemplo para la elipse: el estudiante puede

realizar el trazo de sta, simulando el mtodo del jardinero, y siendo guiado por la didctica

establecida en las actividades, logre construir las ideas referentes a la definicin del lugar

geomtrico de la elipse de una manera activa, y no verbal como se hace en la enseanza

tradicional.

3) A partir de la construccin de la figura cnica, se identifican elementos que caracterizan

dicha curva, como focos, centro, vrtices, y luego elementos ms particulares de cada

cnica, as como algunas de sus propiedades ms representativas y parmetros, como lo

sugiere el nivel II de anlisis de Van Hiele (Jaime & Gutirrez, 1990)

17

4) Despus del estudio de los elementos de la cnica, y a partir de su construccin

geomtrica, se definen variables en el plano cartesiano, y se construye algebraicamente

la ecuacin que modela dicha curva. Es necesario para ello guiar al estudiante en los

diferentes procesos algebraicos necesarios para demostrar la ecuacin, y ejercitar

operacionalmente en los diversos registros de representacin grfico y algebraico, a

travs de la operacin inversa propuesta en la didctica Cuevas & Pluvinage (2003), en

la que dada la ecuacin o condicin algebraica, el estudiante debe hallar los elementos

de la cnica para posteriormente graficarla, y viceversa. En esta fase se pretende

desarrollar un nivel III de clasificacin de Van Hiele (Jaime & Gutirrez) en la que el

estudiante sigue demostraciones y establece relaciones entre la ecuacin de la cnica y

su representacin grfica.

La construccin algebraica de la ecuacin de una cnica no se debe limitar al aprendizaje

memorstico de stas, as como en la metodologa tradicional donde el estudiante toma una

aptitud pasiva, enfocndose a trascribir lo que el profesor realiza en el pizarrn. Sin

embargo, no se niega la potencialidad de los mtodos algebraicos en las cnicas, pues stos

son la esencia de la Geometra Analtica del legado de Descartes, pero el resolverlos sin

profundizar en el registro geomtrico, explorando las propiedades de las curvas cnicas,

podra traer como consecuencias obedecer a patrones establecidos, frmulas sin sentido

donde el estudiante solo sustituye valores numricos, y los objetos matemticos se tornan

ausentes en contextos de aplicacin. Por lo anterior muchos estudiantes tienen la creencia

de que resolver problemas de Matemticas significa memorizar frmulas, hacer

operaciones puntuales y manipular signos que para ellos carecen de significado,

despreciando y marginando hasta donde sean posibles los conceptos y significados

precisos.

En resumen, la propuesta de investigacin planteada encierra los mundos de la Matemtica,

la didctica y la tecnologa digital; donde el tema de matemticas que se desarrolle ser

mediado por el uso de la computadora en actividades guiadas por cuestionarios e

indicaciones del docente, enmarcadas en un programa didctico especfico.

18

La importancia de disear un conjunto de actividades bajo un marco didctico radica en

promover una mejor comprensin de los conceptos matemticos, y en este caso, la

didctica Cuevas & Pluvinage (2003) propone una serie de puntos, en los que menciona

que el estudiante es quien debe realizar siempre la accin por medio de ejercicios

dosificados, hasta llegar a construir las diferentes definiciones que forman determinado

concepto matemtico. Existen diversos trabajos de investigacin donde se disean

actividades haciendo uso de la tecnologa, bajo el marco de la didctica Cuevas &

Pluvinage (2003), como se puede ver en Betancourt (2009), Gonzlez (2010), Rodrguez

(2012), Carbajal (2013), etc. En Gonzlez (2010), se implement el uso de Escenarios

Didcticos Virtuales Interactivos (EDVI), bajo la didctica, concluyendo que en la

experiencia didctica, resulta atractivo y motivador para los alumnos, el resolver un

problema real e ir construyendo las ideas y conceptos matemticos (p. 76); por otra parte

Carbajal (2013) hizo uso del software LIREC enmarcado en dicha didctica, concluyendo

que sta promueve una mejor comprensin en los conceptos geomtricos, particularmente

en el caso de la recta como lugar geomtrico.

Por el grado de exigencia que hay en un proyecto de tesis de maestra, se pondr como

ejemplo introducir la elipse en un entorno digital interactivo apoyado en la didctica

Cuevas & Pluvinage (2003). La forma de enseanza de la elipse se resume en los cuatro

pasos anteriores de la ruta cognitiva propuesta, que tambin puede ser utilizada para la

enseanza de cualquier otra cnica.

1.5. Objetivo

Disear una propuesta para la enseanza de conceptos matemticos en la Geometra

Analtica apoyada en las tecnologas digitales dentro de un marco didctico, que

promueva un mejor equilibrio entre el pensamiento geomtrico y el algebraico. En

particular, desarrollar una serie de actividades didcticas para promover una mejor

comprensin de la curva cnica elipse, como ejemplo del estudio de las dems figuras

cnicas en el aula, apoyadas en la didctica de Cuevas & Pluvinage, el modelo de los

niveles de pensamiento geomtrico de Van Hiele, y el uso de software de Geometra

dinmica.

19

Captulo II. Marco didctico, computacional y conceptual

En este captulo se presentan las principales caractersticas de la didctica de Cuevas &

Pluvinage, y el modelo de Van-Hiele utilizados en el diseo de las actividades. Se aborda la

evolucin de la didctica a lo largo de la historia con los postulados de algunos de los

mximos representantes de las diferentes escuelas de la psicologa del aprendizaje como la

activa, Piagetiana y de Hans Aebli, culminando de esta forma con la didctica para la

enseanza de las matemticas de Cuevas & Pluvinage, y posteriormente con los niveles de

Van Hiele que muestran el desarrollo de un pensamiento geomtrico

En el marco computacional se analiza cada una de las dimensiones de las TIC enfocadas

hacia el proceso de enseanza y aprendizaje de las matemticas, as como el uso de un buen

software educativo. Por ltimo, se presentan algunas consideraciones matemticas de

algunos conceptos de la elipse, elementos, caracterizaciones y aplicaciones relevantes,

necesarias para el desarrollo de las actividades.

2.1. Teoras del aprendizaje y evolucin de la didctica

() Si bien, no es posible decir cul es la mejor forma de ensear, si cual no es la

adecuada. Cuevas.

2.1.1. La enseanza tradicional

Una de las formas tradicionales de conducir un curso de matemticas, consiste en que el

docente realiza la mayor parte de la actividad en clase ilustrando con problemas y su

resolucin cada uno de los temas. Iniciemos ilustrando nuestra situacin actual con base en

afirmaciones dadas por Cuevas (2003) y Cruz & Mario (1999), en la enseanza de las

matemticas con una obra de teatro: una clase tradicional de geometra analtica.

Un saln tradicional, cuatro paredes y una puerta, con un pizarrn al frente en el cual, de

espaldas al grupo, se encuentra un maestro.

-Maestro: Una elipse es un lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano de tal

manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una

constante mayor a la distancia entre los dos puntos

20

(Se escucha un murmullo, como un ligero coro que acompaa el enunciado...)

El maestro, ilustra en el pizarrn lo dicho, con una figura en forma de elipse y contina

escribiendo.La elipse tiene los siguientes elementos (en seguida los ilustra en la figura

dibujada en el pizarrn, y empieza a mencionar el significado de cada uno de ellos, como

focos, vrtices, eje focal y normal, cuerda focal, distancia focal, eje mayor y menor, entre

otros).

-Estudiantes: Por favor maestro no borre la grfica, y por favor repite de nuevo lo que

significa cada uno de ellos, porque vas muy rpido.

-Maestro: Las ecuaciones cannicas para la elipse son 2 2

2 21

x y

a b si es una elipse

horizontal, pero si es vertical entonces la ecuacin ser 2 2

2 21

x y

b a y la frmula que

relaciona a (longitud del semieje mayor), b (longitud del semieje menor) y c (distancia del

centro al foco) es: 2 2 2a b c

(El maestro voltea para ver de reojo el comportamiento del grupo y contina escribiendo y

hablando. Los estudiantes, acostumbrados a este tipo de enseanza, empiezan a repetir

mentalmente o en voz baja equis al cuadrado-entre a al cuadrado.... confiando que

mediante esta repeticin verbal, llegarn a aprenderse de memoria la esperada frmula en

el curso de matemticas).

-Maestro (con voz cansada): Veamos ahora un ejemplo.

Si tenemos que la longitud del semieje mayor de una elipse horizontal es 5a y la

distancia del centro al foco es 4c . Hallen la ecuacin cannica de dicha elipse.

El maestro acompaa con su voz lo que escribe, y contina:

Sustituimos los valores de 5a y b, valores en la frmula anterior, pero como no tenemos

b, entonces usamos la frmula de 2 2 2a b c , despejando b, tenemos

2 2 2 25 4 9 3b a c . Luego, la ecuacin sera:

21

2 2

125 9

x y

-Maestro: Ahora hagan Uds. el siguiente ejercicio:

Hallar la ecuacin de la elipse vertical que tiene un semieje mayor de 10 unidades, y un

semieje menor de 6 unidades. Quin quiere pasar a hacer un ejercicio?

(...Se escuchan murmullos del grupo de estudiantes, y se para un estudiante)

Estudiante: Maestro, no vaya a borrar la frmula, por favor.

Fin de la obra.

Probablemente, muchos docentes coincidentemente se identifiquen con el anterior ejemplo,

el cual refleja un proceso de la enseanza tradicional, que consiste en que el estudiante slo

repite y memoriza las frmulas e imgenes del pizarrn. Como se detall en el ejemplo, el

problema se centra en encontrar la frmula adecuada y sustituir los valores numricos

dados, demeritando la definicin del objeto geomtrico y el estudio de sus propiedades, que

si bien fueron dadas por el maestro, se hizo de una forma verbal y objetivizada, es decir

segn Aebli (1995) de forma ya elaborada, que evitan que el estudiante reflexione y

construya el concepto.

Como se puede apreciar, la enseanza tradicional, basada en la didctica sensorio-

empirista consiste en que el estudiante, al ver las imgenes en el pizarrn, las registre y

con ello pueda repetir el proceso. Esta didctica tiende hacia la construccin de hbitos en

el estudiante, y no hacia la comprensin del concepto.

En el ejemplo, tambin se observa la repeticin verbal de las definiciones, que como un

reflejo, constituye el llamado hbito sensorio-motor o dicho de otro modo, las palabras

constituyen as los signos, solo que carentes de significado. La enseanza sensorio-

empirista conduce a una educacin rutinaria, incomprensible y compleja, adems, presenta

la matemtica como algo ajeno a los intereses del estudiante (Cuevas & Pluvinage, 2003).

Por todo ello, la matemtica se le muestra al estudiante, ms como obstculo que como una

22

necesidad, la cual no le es til para explicar el entorno en el que vive, impidindole

enfrentar situaciones imprevistas en las que pudiera aplicar su conocimiento.

El marco didctico sensorio-empirista, marca al estudiante como un espectador pasivo,

donde el maestro es quien delega y da los conceptos ya elaborados. En efecto, el

surgimiento de la escuela activa, en el siglo XIX, resalt la importancia de la actividad

efectiva del individuo en el proceso del aprendizaje, mostrando lo ineficiente del marco

didctico sensorio-empirista, pues ante un estmulo sensorial, existe una respuesta motriz

en el individuo que no es pasiva, sino que por el contrario es dinmica.

2.1.2. Escuela activa

Despus de la escuela tradicional surgi la escuela activa, que fundamenta la actividad del

educando como algo vital y de gran importancia para su aprendizaje. El individuo mismo es

quien efecta las acciones concretas (que posteriormente Piaget retoma como acciones

efectivas) para la adquisicin de los conceptos o nociones que se pretendan ensear. Sus

mximos precursores fueron: Dewey, Montessori, Decroly Claparde, y Freinet (Chteau,

2001). En comn todos recalcan la importancia de que el educando realice la actividad y

tenga un grado de libertad al hacer las cosas, sin requerir de la autoridad del profesor al

dirigir completamente las acciones del estudiante, generando la posibilidad de que l

plantee su propio espacio hacia el descubrimiento.

La didctica Cuevas & Pluvinage (2003) toma como gran importancia este punto, y sugiere

que el estudiante sea quien siempre realice la accin siendo guiado por el maestro. Realizar

una accin no siempre se refiere un esfuerzo fsico, sino puede ser mental, por eso una

forma que el estudiante realice acciones es por medio de la resolucin de problemas, los

cuales se debern plantearse gradualmente hasta llevar al estudiante al concepto deseado,

puesto que como dice Halmos:

El modo ms efectivo para ensear matemticas es resolviendo problemas, desafiar

constantemente a los alumnos con problemas que estn justo al alcance de su mano

(Halmos, P. 1994. p. 851).

23

Teniendo en cuenta lo anterior, el estudiante es quien debe adquirir una aptitud activa, y el

maestro ser un gua para l. El dirigir las acciones no se trata de dar rdenes sino de

suministrar al estudiante los conocimientos previos y pautas para poder llegar a los

conceptos. Halmos (1994) argumenta la importancia de que el individuo realice por s

mismo las acciones, y sugiere al maestro conducirse ms como un coach o entrenador que

como un maestro:

considerar el papel de un maestro como el de un entrenador. Ciertamente, nadie

puede nadar por m, nadie puede tocar el piano con mis dedos, y nadie puede

hablar francs por m, pero alguien puede ahorrarme mucho tiempo si me ensea

rpidamente el camino correcto (p. 850)

En seguimiento de la escuela activa, J. Piaget resalt la accin como elemento fundamental

del pensamiento. Por otra parte, Hans Aebli propuso los cursos de accin como una forma

de ensear al estudiante, a partir de las acciones encausadas a la construccin de los

conceptos.

2.1.3. Teora Piagetiana y de Hans Aebli

J. Piaget y Hans Aebli conformaron una escuela ms moderna. Para Piaget, el elemento

fundamental del pensamiento es la accin (Piaget, 1947, citado de Aebli, 1995), pues cada

operacin matemtica surge a partir de ella, es decir, para la adicin la accin de juntar

cantidades, la sustraccin de retirarlas, la multiplicacin de tomar repetidas veces una

misma cantidad; y la divisin, de retirar repetidas veces una misma cantidad total, o bien de

distribuir una cantidad total en un determinado nmero de partes iguales.

Por otra parte, Aebli (1995), menciona que antes de iniciar un determinado tema, el

profesor debe elaborar un plan o curso de accin donde sea el estudiante quien desarrolla

y construye los conceptos, y el maestro solo dirige de manera lgica al educando,

suministrando problemas que puedan a su vez ser indicaciones, que proporcionen

elementos para que sea el mismo estudiante quien construya la solucin del problema. A

este principio Aebli le llam el principio de mnima ayuda.

24

Pero qu se puede plantear en un curso de accin para que el estudiante adquiera una

aptitud activa? Como ya habamos mencionado, una forma que el estudiante se mantenga

activo y realice acciones mentales, es a travs de la resolucin de problemas cuya idea

esencial en la enseanza de las matemticas es que el alumno resuelva diferentes problemas

matemticos en los que se enfrente a una diversidad de situaciones, en donde sea necesario

analizar y evaluar numerosas estrategias en la solucin de stas. Sin embargo, muchos de

los problemas resultan complicados para el estudiante por lo que sugiere Polya (1945)

mtodos heursticos, para subdividirlos en cuatro etapas que son: comprensin del

problema, concepcin de un plan, ejecucin de un plan y visin retrospectiva. As mismo

los esposos Van Hiele (Jaime & Gutirrez, 1990), proponen para la enseanza de la

Geometra, una serie de niveles jerarquizados en los cuales el estudiante aprende los

conceptos de manera dosificada.

Muchos de los planteamientos anteriores, provenientes de la principales teoras del

aprendizaje, son fundamentales en el planteamiento de la didctica Cuevas & Pluvinage

(2003), las cuales enmarcan el diseo de actividades del presente trabajo.

2.1.4. Modelo didctico Cuevas-Pluvinage

La didctica para la enseanza de las Matemticas Cuevas & Pluvinage (2003), expone sus

ideas con base en la teora Piagetiana, en Aebli, en Claprede, en Dewey, y en general de

casi toda la escuela activa; y tambin en aportes recientes como la de Duval y Brousseau.

Esta didctica se utiliz como modelo didctico para el diseo de las actividades del

presente trabajo, de acuerdo con las siguientes caractersticas propias de la didctica

Cuevas-Pluvinage (2003):

La accin

El primer punto de la didctica de Cuevas y Pluvinage se refiere a la importancia de la

accin por parte del estudiante en el proceso enseanza y aprendizaje.

En el aula de clase es importante que el estudiante est ejecutando siempre una accin

mediante la resolucin de problemas especficos, gradualmente dosificados, y construya el

concepto deseado (Cuevas & Pluvinage, 2003, p. 275).

25

Por ejemplo, para aprender la definicin de elipse como cnica se puede partir del hecho

histrico de formarla a partir del corte a un cono con un plano, de modo que el estudiante

despus de realizar la accin puede interiorizar tales conceptos y ser consciente de la

relacin inherente que hay de la elipse con un cono, en este sentido se podra introducir

mediante las esferas de Dandelin (Schmidt, 1993). Otra forma, es mediante su definicin

como lugar geomtrico realizada por medio de actividades interactivas en Geogebra, donde

el estudiante puede interactuar, y realizar acciones simuladas hasta el trazo de una elipse.

La accin podra permitir al estudiante adquirir una aptitud activa y no ser un simple

espectador en el aula.

Problema en contexto

Otro punto importante del modelo didctico es introducir un concepto matemtico mediante

la resolucin de un problema en contexto de inters para el estudiante. Es muy comn que

los estudiantes pregunten, y esto para que me sirve.? Como se ha analizado en algunos

textos de matemticas, la forma particular de enseanza, es dejar siempre al final del tema

las aplicaciones, y por los tiempos acotados en la enseanza casi nunca se cubren; siendo

que stas son las que dan sentido a la parte funcional de las matemticas en la vida real.

Por ello es importante iniciar con un problema que plantee una situacin real, proponer

ejercicios que generen soluciones bajo una forma estructurada y coordinada, llegue a

designar el concepto matemtico deseado (Cuevas & Pluvinage, 2003, p. 275). Un ejemplo

de cmo se plantear en las actividades de la elipse es el siguiente: para entender la

definicin de lugar geomtrico de la elipse ligado con la realidad se puede proponiendo a

los estudiantes construir un jardn en forma de elipse utilizando el mtodo del jardinero

(Figura 3), el cual consiste en clavar dos estacas en dos puntos fijos y a ellos unir un hilo de

mayor longitud a la separacin de las estacas. Luego se tensa el hilo con una tercera estaca

o marcador, de modo que al deslizarlo se obtiene el trazo de una elipse. Una vez realizada

la accin del trazo simulado, se pueden hacer mediciones de cada estaca fija a un punto

sobre la elipse, de modo que al sumar dichas longitudes se concluya que siempre es

constante para todo punto sobre la curva, lo cual define la condicin de elipse como lugar

geomtrico.

26

Figura 3. Construccin de la elipse por medio del mtodo del jardinero

Segn Aebli (1995, p. 232) las aplicaciones decisivas de los conceptos que se transmiten en

clase tienen un lugar en situaciones de la vida real. El profesor debe plantear

constantemente a los estudiantes, cuestiones que les transmitan un punto de vista que

permita comprender el mundo. La inclusin en el contexto de una accin nos asegura

tambin, con frecuencia, el inters de los estudiantes que no se interesaran por el mero

tratamiento terico del proceso del tema (Aebli, 1995, p. 161). Por otra parte, Reeuwijk

(1997, p. 13) seala que los contextos y la vida cotidiana deberan desempear un papel

preponderante en todas las fases del aprendizaje y la enseanza de las Matemticas, es

decir, no slo en la fase de aplicacin, sino tambin en la fase de exploracin y en la de

desarrollo, donde los estudiantes descubren o an mejor reinventan las Matemticas.

Luelmo (1997, p. 7) puntualiza:

Las situaciones reales bien elegidas y adaptadas a los estudiantes, constituyen

un elemento motivador. Por tanto, los contenidos matemticos que en ellas

pueden aprenderse, no slo adquieren significado desde un punto de vista

intelectual, sino relevancia, en cuanto que se aplican a una situacin personal o

profesional interesante. El reto para el profesorado estriba, por tanto, en

seleccionar situaciones que movilicen emotiva e intelectualmente al alumnado

En trabajos ms recientes donde se aplic la didctica Cuevas & Pluvinage, Betancourt

(2009, p. 161) concluye que: de la experiencia didctica, resulta significativo para los

alumnos, adems de motivante, el resolver un problema real e ir construyendo las ideas

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y conceptos del contenido matemtico, en lugar de iniciar con definiciones y

teoremas.

Comprobar los resultados

Cuevas & Pluvinage (2003, p. 276) propone que una vez resuelto un problema, el

estudiante debe comprobar sus resultados, verificando que tengan un sentido lgico, de

acuerdo con el problema planteado.

Dividir en sub-problemas

Aprender un concepto de forma objetivizada o ya terminada, evita al estudiante participar

en el desarrollo de procedimientos y acciones que le permitan construir el mismo. Por eso

es necesario, dividir el problema en sub-problemas que representen las operaciones

parciales hasta llegar a integrar nuevamente la solucin completa, por lo que un plan de

accin que dosifique los ejercicios ayudar al estudiante a llegar a la solucin o

construccin de los conceptos de forma coherente y ordenada.

Para entender el concepto de la elipse como ecuacin, fue necesario dividir el problema en

varias etapas, las cuales exigen un conocimiento previo para su demostracin, como la

semejanza de tringulos, completar el trinomio cuadrado perfecto, despeje de variables en

ecuaciones, resolucin de ecuaciones de segundo grado, entre otros.

La operacin inversa

Cada vez que se presenten las operaciones directas asociadas a un concepto, de ser posible,

se deben implementar ejercicios que representen a la operacin inversa asociada (Cuevas &

Pluvinage, 2003, p. 277). Para las actividades se plantean ejercicios del estilo de los dos

problemas fundamentales de la Geometra Analtica que son:

I. Dada la ecuacin interpretarla geomtricamente, es decir construir la grfica

correspondiente.

II. Dada una condicin geomtrica, o la condicin que deben cumplir los puntos de

la misma, determinar su ecuacin (Lehmann, 1989, decimotercera reimpresin,

p. 32)

28

Un ejemplo en modo general para la elipse es: Dada la ecuacin cannica de la elipse, se

pide extraer los parmetros a, b y/o c y construir la grfica; el caso inverso es dada la elipse

grficamente, obtener sus parmetros y llegar a la ecuacin.

Diferentes alternativas de solucin

Cuando se proponga un mtodo de resolucin de un problema se debe intentar dar una

forma alternativa de solucin, si esto no es posible, entonces no imponer una sola forma de

solucin. Este punto permite, a los estudiantes, la libertad de plantear sus propios mtodos

de solucin (Cuevas & Pluvinage, 2003, p. 277). Por ejemplo Contreras, Contreras, Garca

(2002) proponen una serie de construcciones sinttico-analticas a su criterio llamativas

para llegar a la ecuacin de la elipse.

Problemas dosificados

Elaborar los problemas de acuerdo con el principio de adecuacin ptima; es decir, que la

dificultad de los problemas sea gradual de manera que requieren del esfuerzo del estudiante

para fomentar su inters, pero no en exceso como para desanimarlo (Cuevas & Pluvinage,

2003, p. 277). Los niveles de Van Hiele se pueden reinterpretar bajo el presente punto de la

didctica, de modo que el diseo de actividades se puede dosificar en niveles, que

desarrollen un pensamiento geomtrico jerarquizado.

Mnima ayuda

El principio de mnima ayuda consiste en dar al estudiante los elementos necesarios, para

que construya por s mismo las diferentes definiciones matemticas, mediante un serie de

indicaciones, sin que stas sean demasiado directas. En el laboratorio el estudiante resuelve

los problemas pidiendo ayuda al profesor, el cual solo proporcionar la ayuda mnima

necesaria tratando siempre de que sea el estudiante quien construya su conocimiento

(Cuevas & Pluvinage, 2003, p. 278).

Diferentes registros de representacin semitica

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Segn Duval (1998), es fundamental para el proceso cognitivo del pensamiento humano, el

poder visualizar un determinado concepto matemtico en los diversos registros de

representacin que le sean propios, y as mismo afirma:

La coordinacin de varios registros de representacin semitica aparece as como

fundamental para una aprehensin conceptual de los objeto: es necesario que el

objeto no sea confundido con sus representaciones y que se le reconozca en cada

una de sus posibles representaciones (p. 176).

La didctica Cuevas & Pluvinage (2003) toma algunas de las ideas tericas de Duval, y

sugiere que cada vez que se propongan problemas que apoyen la enseanza de un

determinado concepto matemtico, en un determinado sistema o registro, se debe plantear

actividades semejantes al mismo, en los diversos sistemas de representacin que le sean

propios, si la actividad lo permite (p. 280). En este sentido el uso de GeoGebra promueve

de manera importante el trabajo en los diversos registros, y de esta manera favorece la

conversin entre lo geomtrico y algebraico. En el sentido de Cantoral & Montiel (2003), el

visualizar un objeto matemtico (en tal caso una funcin) no es simplemente ver su grfica,

sino es una forma de cmo aprende el estudiante, al llevar la informacin a su pensamiento

y en su lenguaje, lo cual requiere de la utilizacin de nociones matemticas asociadas a

diferentes registros de representacin como el grfico, numrico y algebraico, incluso el

mismo lenguaje comn para expresar sus experiencias vivenciales.

Anlisis complejo del concepto

Plantea la necesidad de establecer problemas en donde el concepto recin adquirido sea un

elemento de anlisis para un tema ms avanzado o complejo (Cuevas & Pluvinage, 2003, p.

280). Un ejemplo es que el estudiante use las definiciones adquiridas por medio de

actividades, y posteriormente sea capaz de aplicarlas para la interpretacin y solucin de

problemas reales.

2.2. Marco Computacional

La NCTM (2008) menciona que la tecnologa es una herramienta esencial para el

aprendizaje de las matemticas, en el siglo XXI, y todas las escuelas deben de asegurar que

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sus estudiantes tengan acceso a la tecnologa. Profesores efectivos, maximizan el potencial

de la tecnologa para desarrollar la comprensin en los estudiantes, estimular su inters e

incrementar su eficiencia en matemticas.

2.2.1. Las TIC

Segn Gonzlez (2010, p. 11), las tecnologas de la Informacin y comunicacin (TIC) son

aquellas herramientas, procesos y productos del conocimiento humano que en el momento

de estar en un determinado contexto permiten mejorar la informacin y la comunicacin

bajo la condicin de que con su uso se fortalezcan y desarrollen procesos cognitivos, es

decir, que contribuyan a que las personas se relacionen, colaboren y aprovechen su

capacidad de reflexionar lgica y creativamente. Algunos ejemplos de estas tecnologas son

las redes sociales, correo electrnico, navegadores, buscadores, los blogs, el podcast, la

Web o Internet, software educativo, etc.

De acuerdo con Santos (2004) un objetivo importante de la instruccin matemtica es

proveer un ambiente adecuado para los estudiantes, en el cual tengan la oportunidad de

demostrar sus propias ideas sobre la manera de hacer frente a los problemas matemticos;

as el profesor al utilizar alguna herramienta tecnolgica, dispone de un medio para

presentar a los estudiantes distintos conceptos o procedimientos de una forma atractiva y

dinmica, promoviendo en ellos la reflexin, y el anlisis al trabajar de una forma

experimental, interactuando con objetos matemticos, construirlos, analizando

comportamientos, comprobar propiedades, hacer conjeturas, realizar simulaciones, etc.

Sin embargo, el uso de las TIC no slo ofrece ventajas, ni se debe pensar que stas

sustituyen al profesor solucionando todos los problemas en la educacin, por eso su

aplicacin es un hecho incuestionable en la medida que esta requiere de un marco

didctico. Las TIC introducen nuevos problemas como: notacin lineal, aproximacin

numrica, aproximacin grfica, etc, que se debe tener un cuidado cuando se introducen en

el aula (Konold y Lehrer, 2008; Moreno y Santos-Trigo, 2008; Tabach, Hershkowitz,

Arkavi y Dreyfus, 2008; Yerushalmy y Chazan, 2008).

31

A continuacin, se presentarn varios puntos que resaltan las ventajas y desventajas del uso

de las TIC.

Ventajas de las TIC

Permite el aprendizaje interactivo y la educacin a distancia (Gonzlez, 2010, p.

12).

La utilizacin de las TIC en la enseanza ofrece la posibilidad de promover

notablemente una nueva visin de las matemticas, porque esta tecnologa puede

permitir hacer de la enseanza algo experimental y modelar fenmenos fsicos.

La computadora puede ser una herramienta que permite un proceso dinmico de

generacin del contenido matemtico (Tall, 1990).

Promover aprendizajes significativos porque conseguir en los alumnos: una

mejor comprensin de los temas; desarrollo de habilidades; autonoma; y

confianza en los aprendizajes (McFarlane, 2001)

Desventajas

Existe un cierto analfabetismo computacional que hace que los maestros, vean con

desconfianza y temor el uso de las TIC. Esto hace que los docentes no puedan apreciar

su potencialidad como herramientas de aprendizaje McFarlane (2001). Sin embargo, se

deben promover el uso de herramientas computacionales, y vencer el temor a usarlas

para la enseanza.

Trabajar con las TIC implica muchos obstculos tcnicos imprevistos, como: equipo en

mal estado, problemas con el servidor local, problemas de red y problemas con la

comunicacin externa (Firewall). Los obstculos y los problemas muestran la necesidad

de una planificacin cuidadosa, supervisin de los recursos, en este tipo de cursos

(Gonzlez, 2010, p. 12).

Nmero limitado de computadoras disponibles y competencia de uso con otras materias

de la especialidad.

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Se percibe una opinin de profesores en contra de la utilizacin de la tecnologa, como

lo menciona Antoln (2008), muchos docentes me han manifestado su preocupacin y

temor de que estas tecnologas los estn rebasando, ya que no solo la saben manejar,

sino que en su vida cotidiana se han convertido en simples objetos de consumo, sin una

finalidad educativa.

Ensear con computadoras, sin prever el grado de avance de los estudiantes en clase,

incrementa la complejidad de gestin en clase. Lo cual origina estrs tanto en el

estudiante como en el maestro.

Desestimar la destreza operativa.

Darle demasiado crdito y fiabilidad a sitios en la red.

Apoyar la enseanza con las TIC, sin un diseo previo de la actividades, previendo en

el contrato didctico la participacin de las mismas; puede traer ms desconcierto que

beneficios.

Es un doble reto para los sistemas educativos en los pases en desarrollo, pues adems

de incorporar las TIC a la escuela a travs de un uso apropiado para la enseanza y el

aprendizaje, se debe afrontar el hecho de que la mayor parte de los docentes y de los

alumnos no posee las competencias informticas bsicas.

Distracciones, dispersin, prdida de tiempo, informaciones no fiables, aprendizajes

incompletos y superficiales, visin parcial de la realidad, ansiedad y dependencia de los

dems.

Necesidad de un diseo cuidadoso de programas acadmicos que incluya interacciones

con otras asignaturas y el uso de la computadora (Tall, 1990).

Como se puede apreciar, las desventajas son factores que se pueden controlar, y evitar que

opaquen el uso de las tecnologas para la enseanza-aprendizaje.

2.2.2. Software educativo

Las Nuevas tecnologas de la informacin traen grandes ventajas cuando se utilizan

adecuada y correctamente; es por esto que nace la necesidad de realizar capacitaciones, en

pro de actualizar el modelo del conocimiento con base en las herramientas de las TIC

enfocadas en el cmputo. De acuerdo con Cuevas (1998, p. 274) la computadora es en este

33

contexto es un medio y no un fin, por ende es una herramienta que auxilia a realizar diversas

tareas dentro del complejo mundo de la enseanza de las matemticas. Para la enseanza de

cierto tema no se puede usar cualquier software educativo, ste se debe adaptar a las

necesidades y propsitos especficos, y por dicha razn se cuestiona lo siguiente: Qu

caractersticas debe tener un buen software educativo? Qu software educativo cumple con

muchas de esas caractersticas para poder introducir una cnica en el aula?

A continuacin se dar una respuesta a estos interrogantes, con base en las sugerencias de

Mochn (2006) e investigaciones alusivas al uso de software de geometra dinmica.

Caractersticas de un buen software educativo

Saber las caractersticas de un buen software educativo permite escoger el ms apropiado

para el uso de la enseanza de las matemticas. Mochn (2006), menciona que un software

educativo debe ser dinmico, interactivo, exploratorio, abierto, universal, no denso,

concentrado, social, didctico y guiado

Dinmico se refiere a la accin, movimiento y cambio; interactivo a que el ambiente no slo

proporcione informacin, sino que tambin la reciba; exploratorio a la capacidad de procesar

la informacin y devolver una respuesta; abierto a la capacidad del ambiente de ser utilizado

en distintos modelos didcticos; universal a la independencia de un periodo o grupo

especfico; que no sea denso a lo conciso de los textos (ayuda, informacin, etctera) y a la

presentacin de componentes necesarios en la interfaz; concentrado al tratamiento desde

varias perspectivas de una o dos ideas; social a la capacidad de fomentar la interaccin entre

los estudiantes; didctico al cumplimiento de un propsito didctico definido y centrado en el

desarrollo conceptual; y guiado a dirigir a los estudiantes hacia un objetivo didctico.

2.2.3. Software de Geometra dinmica GeoGebra

En la seleccin de un buen software educativo para introducir una cnica, se escogi

Geogebra por ser un software de Geometra dinmica que cumple con las siguientes

caractersticas:

Es dinmico a la accin, se pueden mover los objetos geomtricos (Santos & Espinosa,

2002), adems modificar magnitudes de segmentos por medio de deslizadores, incluir textos,

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activar rastro, y hacer ver objetos ya sean geomtricos o textuales por medio de casillas

(bolanos). Una ventaja que ofrece Geogebra es que ofrece las herramientas necesarias para

construir ambientes virtuales o micromundos, haciendo interactivas las actividades por

medio de simulaciones. Este software carece de un modelo didctico, sin embargo se

acomoda perfectamente en el uso de alguno. Geogebra no ensea matemticas o geometra,

no es su pretensin y para ser un verdadero apoyo a la enseanza se requiere de un trabajo

arduo que incluya un diseo de actividades enmarcados en una didctica.

GeoGebra (www.geogebra.org) es un software de cdigo abierto que ofrece una gran ventaja

para hacer uso de l en cualquier institucin. Este software integra de forma dinmica la

Geometra Sinttica y Analtica (Hohenwarter & Preiner, 2007). Esta caracterstica resulta

til para el diseo de actividades donde se establezcan

Tesis Final 14 de Marzo

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