Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +5

4y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita del sistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = αy(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore di α inmodo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k). Calcolareanche gli altri modi del sistema.

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 1.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 3, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsiva delsistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativa al-l’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valore massimodella sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e data dalsegnale:

{g(k)}+∞k=0

=

{

5,10

3,20

9,40

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti il segnaledi ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf (k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 4

0, k ≥ 5.

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf (t) relativa all’ingresso agradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta libera

del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).

RISULTATI

Esercizio 1.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 2.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 3.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 4.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).

Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

10,20

3,40

9,80

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 1

0, k ≥ 2.

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 2.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 2, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +1

2y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

RISULTATI

Esercizio 1.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 2.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 3.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 4.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

2,4

3,8

9,16

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 2

0, k ≥ 3.

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +5

16y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 3.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 5, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

RISULTATI

Esercizio 1.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 2.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 3.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 4.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 4.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 4, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +17

4y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

4,8

3,16

9,32

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 3

0, k ≥ 4.

RISULTATI

Esercizio 1.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 2.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 3.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 4.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +1

2y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 5.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 2, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

10,20

3,40

9,80

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 1

0, k ≥ 2.

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).

RISULTATI

Esercizio 1.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 2.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 3.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 4.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).

Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

2,4

3,8

9,16

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 2

0, k ≥ 3.

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 6.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 5, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +5

16y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

RISULTATI

Esercizio 1.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 2.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 3.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 4.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

4,8

3,16

9,32

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 3

0, k ≥ 4.

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +17

4y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 7.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 4, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

RISULTATI

Esercizio 1.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 2.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 3.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 4.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 8.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 3, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +5

4y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

5,10

3,20

9,40

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 4

0, k ≥ 5.

RISULTATI

Esercizio 1.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 2.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 3.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 4.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +5

16y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 9.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 5, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

2,4

3,8

9,16

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 2

0, k ≥ 3.

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).

RISULTATI

Esercizio 1.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 2.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 3.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 4.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).

Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

4,8

3,16

9,32

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 3

0, k ≥ 4.

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 10.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 4, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +17

4y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

RISULTATI

Esercizio 1.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 2.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 3.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 4.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

5,10

3,20

9,40

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 4

0, k ≥ 5.

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +5

4y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 11.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 3, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

RISULTATI

Esercizio 1.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 2.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 3.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 4.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 12.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 2, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +1

2y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

10,20

3,40

9,80

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 1

0, k ≥ 2.

RISULTATI

Esercizio 1.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 2.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 3.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 4.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +17

4y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 13.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 4, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

4,8

3,16

9,32

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 3

0, k ≥ 4.

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).

RISULTATI

Esercizio 1.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 2.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 3.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 4.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).

Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

5,10

3,20

9,40

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 4

0, k ≥ 5.

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 14.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 3, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +5

4y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

RISULTATI

Esercizio 1.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 2.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 3.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 4.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

10,20

3,40

9,80

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 1

0, k ≥ 2.

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +1

2y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).

Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 15.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 2, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

RISULTATI

Esercizio 1.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =

Esercizio 2.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 3.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 4.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015

Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................

Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:

+

+u(t) y(t)G1(s) G2(s)

G3(s)

Figura 16.

dove

G1(s) =K

s, G2(s) =

1

s+ 5, G3(s) =

1

s+ 1.

e K e una costante reale.

I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).

II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.

III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).

Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita

y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)

dove K e una costante reale.

I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.

II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).

III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta

libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).

Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita

y(k + 3) + y(k + 2) +5

16y(k + 1) = u(k).

I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.

II) Determinare i modi del sistema.

III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.

Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:

{g(k)}+∞

k=0=

{

2,4

3,8

9,16

27, . . .

}

.

I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.

II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.

III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso

u(k) =

{

2, 0 ≤ k ≤ 2

0, k ≥ 3.

RISULTATI

Esercizio 1.

I) W (s) =

II) K :

III) K :

Esercizio 2.

I) K :

II) yf(t) =

III) y(0) = y(0) =

Esercizio 3.

I)

A = B =

C = D =

II) Modi :

III)

α =

Modi: :

Esercizio 4.

I) G(z) =

II) Rappr. i/o :

III) yf(k) =