Modelli Dinamici strumenti

8/16/2019 Modelli Dinamici strumenti

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1

Strumenti:

modelli e caratteristiche dinamiche

Argomenti:

modelli dinamici di ordine 0, 1 e 2;

esempi della fenomenologia fisica; caratteristiche dinamiche degli strumenti di ordine 0, 1 e 2;

comparazione delle caratteristiche dinamiche.

1

Modelli dinamici

1 0 1 0... ...

n m

n o o o m i i in m

d d d d A q A q A q B q B q B q

dt dt dt dt + + + = + + +

Nel caso più generale il legame ingresso-uscita di un sistema dinamicopuò essere scritto nella forma:

L’uso di tale formulazione per modellare uno strumento prevede un solotermine in ingresso, l’ingresso di misura desiderato:

Si definisce ordine dello strumento la differenza tra l’ordine massimo e

quello minimo di derivazione della variabile d’uscita, qo .

1 0...

n x

n o o o x in xd d d A q A q A q B qdt dt dt

+ + + =

mo e u zza per a escr z one e compor amen o nam co unostrumento sono sempre a coefficienti costanti e di ordine zero, primoo secondo.

Tale descrizione è solo un’approssimazione del reale comportamentodello strumento che risulta da un lato rappresentativa nei limiti dettatidalle condizioni di util izzo e dall’altro ne fissa il campo di impiego.

2


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2

Strumento di ordine zero:

Modelli dinamici

0 ...o A q =Strumento del primo ordine:

1 0...o o A q A q+ =&

... A A+ =&& &

Strumento del secondo ordine:2 1 0

...o o o

A q A q A q+ + =&& &

E’ necessaria una metodologia di analisi che permetta di comprendere lemodalità di funzionamento del «sistema dinamico strumento»; i passi cheseguiremo sono:

• Scelta di forzanti significative (gradino, rampa, sinusoide) per il calcolodella ris osta

o o

• Calcolo della risposta: Integrale particolare (dipendente dal casospecifico) e generale (dipendente dall’equazione omogenea ass.)

L’importanza di questo tipo di analisi è legata alla possibilità di definiresistematicamente i parametri che caratterizzano ciascun modello, ecapire come valutarli in relazione all’utilizzo che ne potremmo fare

3

Modelli dinamici

Utilizzando l’operatore di Laplace cambiamo il dominio in cui stiamo

operando passando da quello del tempo a quello delle frequenze (per

chiarezza usiamo il simbolo ∼ per individuare una funzione dellafrequenza).

1

1 1 0( ... )n n i

n n o i i

o i

A s A s A s A q B s q

(s)q (s)q

−−+ + + + =

=

% %

% % A B

I termini derivativi si trasformano in potenze di esponente pari all’ordine di

derivazione e l’espressione della funzione di trasferimento si semplifica

divenendo un rapporto tra ingresso e uscita:

1

1

o i

o

i

q (s) (s)q

q H (s) (s)

q

−

−

=

= =

% %

%

%

A B

A B

4

La funzione di trasferimento dello strumento diviene:


3/32

3

Analisi fenomenologica

e scrittura delle

equazioni costitutive

5

S V

OV

Ordine 0: il potenziometro

S V V x Gx= =

Abbiamo già analizzato il principio di funzionamento da

un punto di vista statico. Valutiamo la possibile

esistenza di un effetto dinamico.

Nella relazione ingresso-uscita dello strumento non compare nessun

termine differenziato rispetto al tempo, quindi si tratta di uno strumento di

ordine 0.

Il guadagno G è costante in frequenza:

La funzione di trasferimento concepita analizzando esclusivamente il

comportamento elettrico è però utilizzabile solo entro i limiti di validità

L

( ) ( )OV s G x s=% %

dell’ipotesi di disaccoppiamento con quello meccanico:

• non si è considerato che il potenziometro è in realtà un corpo elastico

con infiniti gradi di libertà. Cioè si è assunto che la dinamica interna

dello strumento sia a frequenze abbastanza elevate, rispetto a quelle di

impiego, da poter essere considerato rigido nel campo di utilizzo.

6


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4

Ordine 1: il termometro

Studiamo un altro strumento di largo impiego, il termometro.

Definiamo alcuni parametri utili:

T a temperatura ambiente

T i temperatura interna

coe c en e scam o erm co

m massa del materiale del bulbo

(trascurabile la massa del materiale nella colonna)

c calore specifico del materiale del bulbo

t tempo

A superficie di scambio termico

( )a i i

q hA T T mcT = − = &L’equazione di equilibrio dei flussi è:

Sensibilità statica =>

(guadagno a regime)1G =

Costante di tempo =>mc

hAτ =( 1)

1( )

1

i i a i a

i

a

T T T s T T

T G s

T s

τ τ

τ

+ = → + =

= =+

& % %

%%

%

Equazione dinamica (primo ordine):i i a

mc T hA T hA T + =&

7

Ordine 2: accelerometro

Consideriamo un sensore di accelerazione a massa sismica.

Spostamento

Massa sismica

Ma

Lo strumento è rappresentabile da un modello dinamico elementare a 1

grado di libertà: massa, molla e smorzatore: l’uscita deve essere messa in

relazione con l’ingresso di accelerazione applicato all’accelerometro.

’

relativo della

massa (u)

Spostamento

della base (v)

Rigidezza della

trave Ku

,

con una forza d’inerzia pari a f=Ma, flette la barretta.

Come indicatore dell’effetto della forza è concettualmente utilizzabile la

posizione dell’estremo (in termini reali è meglio un trasduttore facilmente

miniaturizzabile).

Occorre analizzare l’equazione di equilibrio dinamico. 8


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5

2

2

( )0

d v u du M C Ku

dt dt

++ + =

Ordine 2: accelerometro

Equazione di equilibrio dinamico nel tempo:u

u - Movimento relativo della massa sismica

v - Movimento della base

In frequenza l’accelerazione della base è a(s)=s2v.

v

2 2

2

( ) 1( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( / / )

u s Ms Cs K u s M s v s M a s

a s s C Ms K M + + = − = − = −

+ +

%% % %

%

Si assume che solo l’elemento di reazione elastica sia deformabile

Equazione dinamica di secondo ordine ad un grado di libertà

che modella un solo aspetto della dinamica interna: la dinamica più

lenta dell’oggetto accelerometro, la sola di interesse metrologico9

Ordine 2: accelerometro, modello dinamico

2 2

2 1 0 2

2

2

2

( )

: :

o i

o i

o i

A s A s A q B s q

(s)q B s q

Uscita q Ingresso a s q

+ + =

=

=

% %

% %

% %

A

Allora: 2( ) Ms Cs K u Ma+ + = −% %

2con -1Uscita (s) Ingresso (s) B= ⋅ = H H A

sensibilità statica (guadagno a regime ad s nullo): 2 B M

G A K

= =

I parametri caratteristici sono:

pulsazione propria: 0

2

n

A K

A M ω = =

coefficiente di smorzamento:1

0 22 2

A C

A A KM ζ = =

10


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6

Ordine 2: accelerometro, modello dinamico

Diagrammi tipici di risposta in frequenza di un accelerometro:

101

180

0.05

1

100

A m p i e z z a

0.7

0.1

.

20

40

60

80

100

120

140

160

0.100.7

F a s e

10-1

100

10-

Frequenza adimensionale

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40


11

Ordine 2: sismografo

Consideriamo un sensore di spostamento a massa sismica.

Misura dello

spostamentoMassa sismica

L’uscita deve essere messa in relazione con l’ingresso che è lo

spostamento applicato al contenitore dell’accelerometro.

relativo della

massa (u)

Spostamentodella base (v)

Rigidezza complessiva

Il movimento, variabile nel tempo, impone un’accelerazione che agendo

sulla massa sotto forma di una forza d’inerzia, deforma il supporto elastico.

Un trasduttore di posizione rileva lo spostamento relativo della massa

rispetto alla base.

12


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7

2( )

0d v u du

M C Ku+

+ + =

Equazione di equilibrio dinamico:u

Ordine 2: sismografo

u - Movimento relativo della massa sismica

v - Movimento della base

t t

v

2

2

22 ( )( )

( ) ( / / )

u s Ms Cs K u Ms v

v s s C Ms K M

s+ + = − = −

+ +

%% %

%

L’ingresso del sistema è direttamente il movimento della base v.

Equazione dinamica di secondo ordine ad un grado di libertà

(massa, molla e smorzatore) che, come sempre, trascura la dinamica a

frequenze superiori dell’oggetto.

13

Ordine 2: sismografo, modello dinamico

: :o iUscita q u Ingresso q v= =2

2

u s M = −

%

%

L’equazione di equilibrio dinamico è la STESSA dell’accelerometro: il

sistema è sempre sensibile all’accelerazione MA l’ingresso desiderato è lo

spostamento. Quindi:

B M −

I parametri caratteristici sono:

2 2

2 1 0 2

2

21 2

2

( )

con

o i

o i

A s A s A q B s q

(s)q B s q

Uscita (s) Ingresso (s) B s−

+ + =

=

= ⋅ =

% %

% % A

H H A

v s s

sens s a ca gua agno a reg me a s e eva o :2

A M = = = −

pulsazione propria: 0

2

n

A K

A M ω = =

coefficiente di smorzamento: 1

0 22 2

A C

A A KM ζ = =

14


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8

Ordine 2: sismografo, modello dinamico

La funzione di trasferimento del sismografo è completamente diversa daquella di uno accelerometro a causa della presenza di poli e zeri.

Il guadagno di regime si ha per frequenze di lavoro superiori a quella

propria del sistema.

G costanteper f>f n

Per frequenze basse la

massa sismica si muove

come la base (u=0).

Per frequenze elevate la

massa sismica rimane

ferma e il movimento

della base (u=-v). L’uscita èin questa situazione in

contro fase rispetto

all’ingresso (G=-1).

Frequenza

normalizzata 15

Dal Modello dinamicoal Modello metrologico

16


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9

Modello dinamico Vs Modello metrologico

Le equazioni che abbiamo scritto descrivono il comportamento dinamicodel sistema “strumento”

Per ottenere il modello metrologico, cioè quello che potremo usare per

ottenere la misura, è necessario introdurre il principio di trasduzione

Questa operazione ha senso solo dopo che nell’equazione di equilibrio i

termini legati alla dinamica interna sono diventati trascurabili; nel caso

dell’accelerometro:

Il termine fornisce le forze elastiche agenti sul piezo:

Mu Cu Ku Ma+ + =&& & Ku Ma=

ElF Ku=Ku

Principio di trasduzione meccanico/elettrico

Otteniamo infine la sensibilità di progetto,

o nominale, dello strumento

Piezo ElV C F =

( )

1 El

Piezo

Piezo

F V MaC

V MC a

= =

=18

Analisi della risposta dinamica

20


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10

Strumento di ordine zero

0 0o i A q B q=Equazione caratteristica:

0o i i

Bq q Gq= =% % %Equazione normalizzata:

Sensibilità statica (guadagno a regime): 0

0

BG

A=

Legame ingresso-uscita:o i

q Gq=% %

Uno strumento di ordine 0 rappresenta lo strumento ideale dal punto di

’

0

.

Dal momento che il legame ingresso uscita è algebrico, non haimportanza la variazione nel tempo dell’ingresso, l’uscita seguirà

perfettamente l’ingresso, senza distorsione o ritardo di fase.

Lo strumento avrà un rapporto fra uscita ed ingresso sempre pari a quello

di regime. 21


io b

xe E

L=Esempio: potenziometro

Esempio: estensimetro1 R

k Rε

Δ=

At tenzione: sebbene l’estensimetro abbia sempre un modello di ordine

zero una cella di carico che lo utilizza per realizzare un trasduttore di

forza esibisce in genere un comportamento del 2° ordine.

E’ importante in questo caso non confondere il modello dinamico

complessivo dello strumento cella con quello del suo componente,

estensimetro, che legge la deformazione. 22


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11


Esempio: potenziometroRisposta alla rampa

io be E

L=

Risposta al gradino Risposta ad ingresso

genericoRisposta in frequenza

23

Strumento del primo ordine

Equazione caratteristica:

Equazione normalizzata:

1 0 0o o i A q A q B q+ =&

01o o i

B Aq q q+ =&

Legame ingresso-uscita:

Sensibilità statica (guadagno a regime):

0 0

o o iq q Gqτ + =&

0

0

[ / ]out in B

G u u A

=

Costante di tempo:1 [ ]

At

Aτ =

( )1

o

i

q G H s

q sτ = =

+

%

%

24

Funzione di trasferimento:

Esempio: termometro


12/32

12

Strumento del primo ordine: risposta a gradino

0 per 0o

q t += = _ ( 1) o i STEPs q Gqτ + =% % Condizioni iniziali:

t −

_

_ _

o gen

o par i STEP

q e

q G q

=

=

integrale generale

integrale particolare

Applicando le condizioni iniziali: _ (1 )t

o i STEPq Kq e τ −

= −

t

oq −

Soluzione data da due parti:

_ i STEP

e

Gq

= −

Errore di misura: o

m i

qe q

G= −

25

Strumento del primo ordine: risposta a gradino

( ) _ 1 t

o i STEPq Gq e τ −= −

Minore è la costante di tempo, τ, maggiore è la prontezza dello strumentoovvero l’uscita raggiunge il valore asintotico in un tempo più breve.

Come desumibile dai grafici di destra dove il tempo è stato normalizzato

rispetto a τ, dopo un tempo pari a 4 τ la risposta ha raggiunto il 98% dellarisposta statica e può essere ormai definita a regime.

26


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13


La determinazione sperimentale della costante di tempo può essere fattaa partire dalla risposta a gradino. Riscrivendo opportunamente

l’equazione abbiamo:

t oq τ −= −

t

oq

τ −

− = _ i STEPGq iSTEPGq

Ponendo: e passando ai logaritmi: (a=b*t )1

ln z t τ

= − _

1 o

i STEP

q z

Gq= −

Acquisti sperimentalmente i dati di ingresso e

uscita in diversi istanti temporali si può quindi

ln z

τ

1− t

proce ere con una regress one neare. a

pendenza della retta ottenuta è l’inverso dellacostante di tempo.

Questa procedura risulta molto più semplice che

non andare a stimare la costante di tempo in

base alla convergenza della risposta e va

sempre preferita ad essa.27

Strumento del primo ordine: risposta in frequenza

In forma adimensionale: 12

1( ) : tan ( )

( ) 1

o

i

q j A

Gqω ϕ ωτ

ωτ

−⎡ ⎤= = −⎣ ⎦+

%

%

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

A/(GA )0

Fase+1

ϕ

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.9

0.92

0.94

0.96

ωτ

28


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14


Esempio: il termometro

T a temperatura ambiente

T i temperatura interna

m massa del materiale del bulbo

(trascurabile la massa del materiale nella colonna)

c calore specifico del materiale del bulbo

t tempo

A Superficie di scambio termico

( )a i i

q hA T T mcT = − = &L’equazione di equilibrio dei flussi è:

Sensibilità statica =>

(guadagno a regime)1G =

Costante di tempo => mchA

τ =

29

i i a

i i a

mc T hA T hA T

T T T τ

+ =

+ =

&

&

Come si può operare per avere una costante di tempo piccola?

E’ ovvio che i termini al denominatore devono essere i più grandi

possibile, mentre quelli al numeratore devono essere i più piccoli.


Non tutte le variabili in gioco sono però indipendenti, per es. la superficie

del bulbo e la massa del fluido di misura. Nelle ipotesi adottate,

indicando con r il raggio del bulbo, assunto sferico per semplicità, poiché:

La costante di tempo diventa:3

23 3

mc r c rc

hA h r h

ρπ ρ τ

π = = =

3 24 43

m r A r ρπ π = =

Quindi un intervento diretto ad aumentare la superficie esterna attraverso

l’incremento del raggio, con lo scopo di diminuire la costante di tempo, in

realtà porta al suo incremento, in quanto il volume aumenta più

rapidamente della superficie

30


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15

Strumento del secondo ordine

oo B Adq

Aqd

A2

=++

Per lo strumento di secondo ordine:

2s A sA A s B s+ + =% %idt dt

sensibilità statica (guadagno a regime, s=0): 0 B

G =

I parametri caratteristici sono tre:

[ ]1

/m N K

2

0( )

o i

is M sB K x f + + = %%

0

pulsazione propria o naturale:2

0

A

An

=ω

coefficiente di smorzamento:20

1

2 A A

A=ζ

31

[ ] /K rad s M

2

B

K M


Sostituendo i parametri caratteristici nell’equazione fondamentale:

2

2

21 o i

n n

s sq Gq

ζ

ω ω

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠% %

La funzione di trasferimento è:

2

2

( )2

1

o

i

n n

q Gs

s sq ζ

ω ω

=

+ +

%

%

32


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16

Strumento del secondo ordine: risposta al gradino

2

2

21

o iSTEP

n n

s sq G q

ζ

ω ω

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠% %

Condizioni iniziali: +== 0 per0 t dt

dqo+== 0 per0 t qo

op iSTEPq G q=Integrale particolare

Integrale Generale assume una delle tre possibili forme, in funzione

33

della tipologia delle radici dell’equazione caratteristica:

reali e distinte (sistema sovrasmorzato)

reali ripetute (sistema criticamente smorzato)

complesse (sistema sottosmorzato)

Strumento del secondo ordine: risposta a gradino

Le tre funzioni di trasferimento, per i diversi livelli di smorzamento,

diventano:

2 22 2

( 1) ( 1)

2 2

1 11 1

2 1 2 1

n nt t o

iSTEP

qe e

Gq

ζ ζ ω ζ ζ ω ζ ζ ζ ζ ζ

ζ ζ

− + − − − −+ − − −> = − + +− −

1 (1 ) 1nt on

iSTEP

qt e

Gq

ω ζ ω −= = − + +

2

21 sin( 1 ) 1

1

nt

on

iSTEP

q et

Gq

ζω

ζ ζ ω φ ζ

−

< = − − + +−

21 1 ζ φ −= −sin

34


17/32

17


1.6Risposta di un sistema a frequenza naturale unitaria

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

R i s p o s t a p o s i z i o n e

Sovrasmorzato 1.5

Smorz. critico 1.0

Sottosmorzato 0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

N periodi

35

Sistema sovrasmorzato.


1

1.2Risposta di un sistema a frequenza naturale unitaria

0

0.2

0.4

0.6

0.8

R i s p o s t a n o r m

a l i z z a t a

Posizione

Velocità Accelerazione

Gli effetti dinamici possono essere considerati esauriti dopo 2.5 – 3.0 volte

il periodo naturale (T naturale=1/f naturale=2 π/ω naturale).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

N periodi

36


18/32

18

Sistema sottosmorzato.


1.5

Posizione

Risposta di un sistema a frequenza naturale unitaria

-0.5

0

0.5

1

R i s p o s t a n o r m a l i z z a t a

Velocità

Accelerazione

Gli effetti dinamici possono essere considerati esauriti dopo 4-4.5 volte il

periodo naturale.

0 1 2 3 4 5 6-1

N periodi

37

Osservazioni:

poiché dopo un certo numero di periodi caratteristici, dipendenti dal

valore dello smorzamento, gli effetti dinamici sono trascurabili, si può


dire che trascorso un certo lasso di tempo, la risposta può essere

considerata statica ovvero ;

ω n è un’indicazione diretta della velocità di risposta dello strumento: perun determinato smorzamento, raddoppiando ω n si dimezza il tempo di

risposta, dato che il prodotto ω n t raggiunge lo stesso valore in metà del

tempo;

il concetto di velocità di ris osta nel dominio del tem o è il duale di

op iSTEPq G q=

quello di banda passante nel dominio della frequenza. Più uno

strumento ha un’alta velocità di risposta, ovvero di convergenza ai

valori asintotici, più sarà in grado di leggere correttamente segnali con

veloci variazioni temporali ovvero ad alte frequenze.

38


19/32

19

Osservazioni (segue):

un aumento dello smorzamento riduce le oscillazioni ma rallenta la

ris osta nel senso che la rima intersezione al valore a re ime viene

Strumento del secondo ordine: settling time

ritardata. Un’indicazione numerica della rapidità della risposta è data

dal settling time ovvero il tempo che il segnale d’uscita impiega per

rientrare in una banda di ampiezza definita attorno al valore asintotico

(error band), per non uscirne più.

Il valore ottimale dello smorzamento dipende dalla banda di settling

time scelta: scegliendo ad esempio il 10%, lo smorzamento che

,

ovvero il minor settling time, è pari a 0.6.

Tale condizione viene raggiunta in circa 2.4/ ω n secondi (vedere

diagramma successivo).

39

Error band del 10%

Strumento del secondo ordine: settling time

2.4

40Settling time al 10%


20/32

20

Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza

2( )

2 1

o

i

n n

Gq

jqω

ω ζ ω

ω ω

=⎛ ⎞

− + +⎜ ⎟⎝ ⎠

%%

Forma complessa:

22

2 2

2

1( )

1 4

o

i

n n

G

q

qω

ω ζ ω

ω ω

=⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

%

%

ω

ω

ω

ω

ζ φ

n

n

−= −

2tan

1 Ampiezza: Fase:

41

Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza

Osservazioni:

aumentando la frequenza propria, aumenta l’ampiezza dell’intervallo difrequenze per il quale la risposta si mantiene piatta (banda passante),

misurare ingressi ad alta frequenza;

il valore ottimale di smorzamento è funzione sia dalla risposta in

ampiezza che da quella in fase: la più estesa zona di ampiezzacostante in frequenza si ottiene per valore di smorzamento chevariano tra 0.6 e 0.7;

un angolo di fase nullo è impossibile da ottenere: la cosa importante èche il segnale in uscita riproduca la forma di quello in ingresso ovveronon introduca distorsione. Questo risultato come ià visto si ottiene con uno sfasamento lineare che genera solo un ritardo ma non unadistorsione. Ancora una volta uno smorzamento compreso tra 0.6 e 0.7garantisce il più ampio range di frequenza in cui la fase varialinearmente.

42


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21


Nell’ambito della sperimentazione, con particolare riferimento ai sensoriaccelerometrici, spesso i termini dell’equazione caratteristica del sistema

del secondo ordine vengono sostituiti con le grandezze meccaniche

corrispondenti:

Con parametri caratteristici:

2 2( )Out In

Ms Cs K x Ms x+ + =% %

sensibilità statica (guadagno a regime a s=0): [ ]1

/G m N K

=

pulsazione propria: [ ] /n rad s M

ω =

coefficiente di smorzamento 2

C

K M ζ =

43

Esempio: accelerometro piezoelettrico

Confronto di caratteristiche di strumenti disecondo ordine

La massa sismica (rigida) èappoggiata al piezelettrico, la cui

Valori tipici:Massa sismica n g

Rigidezza elevata

( E piezo≈ 80000 N/mm2)

Smorzamento % ≈ 0

Frequenza di risonanza: n kHzMassa

Rigidezza(∝ EA/t)(n>20)

44


22/32

22

Esempio: accelerometro

piezoresistivo a lamina


sulla barretta elastica (si tratta di un«modello», nella realtà la geometriapuò essere profondamente diversa)

Valori tipici:

Massa sismica g

Smorzamento % ≈ 0,7

Frequenza di risonanza: n kHz

Massa

K ∝ EI/L3

(n < 1)45


Risposte tipiche

Definizione caratteristiche utili;Modulo(A/A0)≈1

an a passan e rea e

100

101

p i e z z a

0.7

0.1

0.05

100

120

140

160

180

0.05

0.100.7

a s e

Piezoceramico

10-1

100

10-1


A

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80


Piezoresistivo

46


23/32

23


Confronto di due strumenti: #1 1000Hz, 0.7 #2 20000Hz, 0.05

Definizione caratteristiche utili: Errore(Modulo(A/A0)) ≈ 0.01

Banda passante con 1% di errore sul guadagno: 255 e 1995 Hz

cioè 25.5 e 10.0% della rispettiva frequenza di risonanza

1.05 1.5

2

255Hz

(25.5%FR)

Basso smorzamento

Alto smorzamento

Deviazione 1%

Deviazione 1%

Accelerometro

piezoceramico

4710

3

0.95

1

-1%

+1%

100

101

102

103

104

105

106

0.5

1

1995Hz

(10.0%FR)

Accelerometro

piezoresistivo

FRFR

Identificazione sperimentale della funzione ditrasferimento

48


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24

Funzione di trasferimento: identificazione sperimentale

Il modello dinamico può essere identificato sperimentalmente quando siadifficile riuscirci con analisi più elementari.

Il metodo parte dalla definizione della funzione di trasferimento di un

dell’uscita e dell’ingresso.

Una procedura elementare, prevede:

l’acquisizione delle storie temporali di ingresso e uscita;

il calcolo delle trasformate di Fourier dei due segnali;

la determinazione della funzione di trasferimento come rapporto tra

uscita ed ingresso calcolato ad ogni frequenza;

la rappresentazione dei diagrammi di ampiezza e fase.

La procedura richiede di essere resa più sofisticata, in modo da essere

più accurata e robusta per far fronte alle varie casistiche:

Contemporaneità delle misure

Applicazione di medie per riduzione rumore49


Esempio: come distinguere un sistema del 2° ordine fortemente

smorzato da uno del 1°?

L’analisi dell’am iezza della

funzione di trasferimento non

dice molto: la sola differenza

rilevabile è la pendenza oltre ilginocchio .

Più rappresentativa risulta

essere il diagramma della fase:

nel sistema del 2° ordine, in

corr spon enza e a r sonanza,

si ha un valore pari a 90° che

tende a 180° all’aumentare della

frequenza.

Tale comportamento è assai

diverso nel sistema di 1° ordine50


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% xx usci t a campi onat a% xf i ngr esso campi onat o

t x=f f t ( xx) / l engt h( xx) *Fs;t f =f f t ( xf ) / l engt h( xx) *Fs;n=l engt h( xf ) / 2;f i guret t f =t x( 1: n) . / t f ( 1: n) ; % cal col o ( el ement are) FdTsubpl ot ( 211)l ogl og( f f , sqr t ( abs( t t f ) ) )yl abel ( ' Ampi ezza' ) , t i t l e( ' Funzi one di t r asf er i ment o' )

f ase=atan2( i mag( t t f ) , real ( t t f ) ) / pi *180; , f ase( 1) =0;subpl ot ( 212) , pl ot ( f f , f ase) , yl abel ( ' Fase' )

51

Validità dei Modelli dinamici

Da ricordare che i modelli dinamici hanno un limite di validità:

Si assume che tutta la dinamica sia descritta dal grado di libertà

utilizzato ai fini metrolo ici

Questo è vero se le frequenze caratteristiche ad esso associate sono

ben separate da quelle del trasduttore (es la cassa)

Per la maggior parte dei trasduttori ciò non è un problema: es. non ha

senso utilizzare uno strumento come l’accelerometro vicino o oltre la

risonanza.

In altri casi ciò non è vero: il trasduttore di spostamento sismico il iene

nominalmente infinita (G=1 per f →∞)

In questo caso il limite di impiego sarà dato da altre caratteristiche

dinamiche, es del contenitore o delle molle di appoggio, che possono far

deviare il comportamento dello strumento dal quello del modello

metrologico.52


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26

Cosa sappiamo e/o sappiamo fare…

Disponiamo di un metodo per discutere il funzionamento dinamico di uno

strumento a partire dalla fisica che lo modella.

Abbiamo individuato alcune ti olo ie di strumento basandoci sulla

struttura delle equazioni che ne descrivono il funzionamento.

Abbiamo caratterizzato ogni tipologia di strumento con alcuni parametri

utili per la sintesi delle caratteristiche dinamiche dello strumento

Abbiamo analizzato i comportamenti dinamici per alcuni ingressi tipici, la

cui risposta evidenzia elementi utili per la scelta di uno strumento.

Le caratteristiche dinamiche rivestono un ruolo in fase di progettazione

’

comportamento metrologicamente corretto.

53

Domande?

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Approfondimenti: risposte ad ingressi standard

55

Strumento del primo ordine: risposta alla rampa

0 0i oq q t q

= = ≤⎧= ⎨

& o o i SLOPE

q q Gq t τ + =& &Sostituendo:

Ingresso a rampa:

_ i SLOPE q t t ⎩ _

Applicando le condizioni iniziali: 0 per 0o

q t += =

_

t

o ge nq Ce τ −

=Integrale generale:

_ _ ( )

o par i SLOPE q Gq t τ = −&Integrale particolare:

_ ( )t

o i SLOPE q Ce Gq t τ τ

−

= + −& _ ( )t

o i SLOPE q Gq e t τ τ τ

−

= + −&

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28


Possiamo scrivere l’errore di misura come:

( )t

om i i SLOPE i SLOPE i SLOPE i SLOPE

qe q q t q e q t qτ τ τ

−⎛ ⎞= − = − + −⎜ ⎟& & & &

Errore in transitorio Errore a regime

, ,

_ _

m t m ss

t

m i SLOPE i SLOPE

e e

e q e qτ τ τ −

= − +& &1442443 14243

G

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L’errore a regime è proporzionale alla costante di tempo.

58


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29

Strumento del primo ordine: risposta all’impulso

Funzione impulso di intensità A (p(t)=A/T):0

lim ( )T

A p t →

=

Fino al tempo T la risposta è analoga a quella a

gradino:( 1)

o i

GAs q Gq

T τ + = =% %

Fino al tempo T anche la condizione al contorno è

identica, quindi la soluzione diventa: (1 )t

o

GAq e

T τ

−

= −

La soluzione è valida fino al tempo T, dove vale: (1 )T

o t T GAq eT

τ −=

= −

59


Per t>T abbiamo: ( 1) 0o is q Gqτ + = =% %

E quindi:(1 )

T T

o T

GA eq Ce C

Te

τ

τ

τ

−−

−

−= =

&qu n a r sposta r su ta: _ _ o par i SLOPE q q τ = −

60


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30


Andamento p(t) Andamento q0 per T=T 0

Andamento q0 per T=T 0 /2 Andamento q0 per T=T 0 /k, k →∞

61

Strumento di secondo ordine: risposta alla rampa

2

2

21

o iSLOPE

n n

s sq G q t

ζ

ω ω

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

%% &

Con condizioni iniziali: +== 0 per0 t

dt

dqo+== 0 per0 t qo

Le tre funzioni di trasferimento, in funzione ζ, diventano quindi:

2 22 2 2 2

( 1) ( 1)

2 2

2 1 2 1 2 1 2 121

4 1 4 1

n nt t o iSLOPE iSLOPE

n

q qq t e e

G

ζ ζ ω ζ ζ ω ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ

ω ζ ζ ζ ζ

− + − − + −⎛ ⎞− − − + − −⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

&&

&

12

12tan

2

2

−

−=

ζ

ζ ζ φ

1 (1 )2

nt o iSLOPE niSLOPE

n

q t eG

ω

ω

−= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

&

2

2

21 sin( 1

2 1

nt

o iSLOPE iSLOPE n

n

q q eq t t

G

ζω ζ ζ ω φ

ω ζ ζ

−⎛ ⎞⎜ ⎟= − − − +⎜ ⎟−⎝ ⎠

&&

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31

Strumento di secondo ordine: risposta alla rampa

&

,

iSLOPE

m ssn

eω

=Errore a regime:

Sia l’errore a regime che il ritardo possono essere ridotti diminuendo lo

smorzamento, a scapito di oscillazioni di ampiezza maggiore, o

aumentando la frequenza naturale.

Ritardo a regime:,m ss

n

τ ω

=

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Strumento di secondo ordine: risposta all’impulso

2 21 0

s sζ ⎛ ⎞+ + =

L’impulso ad un modello dinamico del secondo ordine può essere fornito

non mediante una forza ma attraverso delle opportune condizioni iniziali:

o

n nω ω ⎝ ⎠

Con condizioni iniziali: +== 0 per2 t KA

dt

dqn

o ω +== 0 per0 t qo

( )2 2

( 1) ( 1)

2

1

2 1

n nt t o

n

qe e

G A

ζ ζ ω ζ ζ ω

ω ζ

− + − − − −= −−

Le tre funzioni di trasferimento, in funzione ζ, diventano:

nt on

n

qte

G A

ω ω ω

−=

2

2

1sin( 1 )

1

nt on

n

qe t

G A

ζω ζ ω ω ζ

−= −−

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Strumento di secondo ordine: risposta all’impulso

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Modelli Dinamici strumenti

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