L. Bisio, F. Moauro - La disaggregazione temporale nei modelli dinamici: recenti avanzamenti

Disaggregazione temporale nei modelli

dinamici: recenti avanzamenti I conti economici trimestrali: avanzamenti metodologici

e prospettive di innovazione

Laura Bisio, Filippo Moauro

Roma, 21 Aprile 2016, ISTAT, Aula Magna

• Anni ’80

• Prima informatizzazione dell’Istituto e rilascio sistematico dei CET

• Modelli utilizzati: Chow-Lin (1971) versione Barbone et al. (1981) e Denton (1971)

• Ambiente informatico: Speakeasy/Modeleasy+

L’evoluzione della pratica dei CET in Contabilità nazionale

Disaggregazione temporale nei modelli dinamici: recenti avanzamenti, Laura Bisio - Roma, 21 Aprile 2016, ISTAT

• Anni ‘90

• Analisi critica dei metodi di disaggregazione temporale (Lupi e Parigi, 1996)

• Introduzione di moderne procedure informatiche per l’analisi dei risultati di

disaggregazione temporale

• Anni 2000

• Commissione di studio sul trattamento dei dati ai fini dell’analisi congiunturale

(ISTAT, 2005): raccomandazioni teoriche e operative per l’evoluzione della

produzione CET

• Anni 2010

• Sviluppo dei suggerimenti operativi proposti della Commissione di studio (Di

Fonzo, 2005; Proietti, 2005)

Questa presentazione

1) Documenta l’insieme degli avanzamenti recentemente introdotti sulla

base dei suggerimenti della Commissione di studio del 2005 tra cui:


2) Documenta i risultati di un’applicazione delle nuove procedure,

modelli e strumenti diagnostici basata su un’estesa gamma di serie

storiche ISTAT di contabilità nazionale

• Ampliamento della gamma dei metodi di disaggregazione alla classe dei

modelli dinamici ADL(1,1)

• Approccio basato sulla formulazione «State-space» (SSF) dei modelli

• Disaggregazione temporale non lineare per dati modellati nei logaritmi

• Implementazione informatica dei nuovi algoritmi in Speakeasy/Modeleasy+

• Ampliamento report diagnostico di stima

• Algoritmo di stima basato su filtro di Kalman e funzione verosimiglianza

La classe dei modelli autoregressivi a ritardi distribuiti (ADL)

• HP modelli ADL(1,1): relazione lineare tra la variabile dipendente 𝐲𝐭, il suo valore

ritardato 𝐲𝐭−𝟏 e i regressori 𝐱𝐭 = (𝒙𝟏𝐭, … , 𝒙𝒌𝒕) al tempo t e t-1, nell’intervallo t = 1,… , T:

∆𝒍𝒚𝒕 = 𝛗∆𝒍𝒚𝐭−𝟏 + ∆

𝒍𝐱′𝒕𝜷𝟎 + ∆𝒍𝐱′𝐭−𝟏𝜷𝟏 + 𝝐𝒕 , 𝝐𝒕~𝐍𝐈𝐃 𝟎, 𝝈

𝟐

𝐲t: variabile da disaggregare osservata a bassa frequenza t = s, 2s, 3s, … , T/s (s = 4 con dati trimestrali)

𝒙𝒕 : vettore indicatori ad alta frequenza t (t = 1,… , T) (per esempio trimestrale)

𝛗, 𝜷𝟎, 𝜷𝟏: parametro AR e coefficienti di regressione da stimare 𝝐𝒕 : vettore errori stocastici


• Si tratta di una classe di modelli generale che

• Sotto restrizioni ad hoc, comprende la classe dei modelli statici (ad es.

Chow-Lin, 1971; Fernàndez, 1981; Litterman, 1983)

• Gode di rappresentazione «State-space» o «nello spazio degli stati»

Disaggregazione temporale, rappresentazione SSF e filtro di Kalman

• Principali riferimenti

Harvey e Pierce (1984), Harvey (1989), Harvey e Chung (2000), Moauro e

Savio (2002), Proietti (2005; 2006): disaggregazione temporale basata su

modelli ADL(1,1), rappresentati nella forma Spazio degli Stati (SSF) con

l’utilizzo del filtro di Kalman per il trattamento statistico

• La forma SSF è definita da un sistema di 3 equazioni:

1. Equazione di misurazione: definisce la serie storica osservata

2. Equazione di stato: definisce la dinamica del vettore delle variabili di stato

3. Equazione delle condizioni iniziali per il vettore delle variabili di stato

• Filtro di Kalman (De Jong, 1991): algoritmo ricorsivo che stima il previsore

ottimo (ex-ante) del vettore delle variabili di stato al tempo t, condizionato

all’informazione nota al tempo t (t = 1, … , T)

Stima funzione di log-verosimiglianza e parametri incogniti


• Algoritmo di smoothing: stima il previsore ottimo (ex-post) del vettore delle

variabili di stato, condizionato all’intera informazione campionaria disponibile (T)

Stima della serie disaggregata

Approccio SSF vs. approccio regressione

• Vantaggi

• Appropriato trattamento delle

«condizioni iniziali» in caso di

non stazionarietà della variabile di

stato

• Ampliamento delle statistiche

diagnostiche (es. innovazioni) per

valutare la qualità delle stime

• Maggior efficienza di

computazione delle diagnostiche di

stima basate sulle innovazioni

• Agevoli estrapolazioni delle serie

in corso d’anno in assenza di

indicatori


• Svantaggi

• Maggior complessità

computazionale data dal filtro di

Kalman

• Maggior pesantezza di

elaborazione dato dal carico

computazionale di calcolo in

alcuni ambienti informatici

Trattamento nei logaritmi e disaggregazione non lineare

• Motivazione

• Trasformazione tipica delle variabili riferite a grandezze di flusso

(produzione, valore aggiunto, etc.) in ambito statistico/econometrico

• Riduzione volatilità della serie

• Maggior plausibilità delle ipotesi valide per il modello di regressione

(linearità, omoschedasticità degli errori, etc…)


• Accorgimenti necessari

• Dal lato analitico Trattamento della non linearità dei vincoli di

aggregazione temporale e di osservabilità validi tra serie aggregata e

serie disaggregata (incognita)

• Dal lato procedurale Predisposizione di appositi algoritmi di

stima per il trattamento statistico del modello espresso in forma

non lineare

L’implementazione in Speakeasy/Modeleasy+


• Nuove subroutine per la trimestralizzazione basata sull’approccio SSF:

• TRIMEKF modelli espressi nei livelli della serie

• TRIMEKFL modelli espressi nei logaritmi

• Modelli stimabili da entrambe le subroutine:

- Chow-Lin (1971)

- Denton (1971)

- Fernàndez (1981)

- Litterman (1983)

- ADL (1,1) e ADL(1,0) - specificazione serie nei livelli / nelle differenze

• Specificazioni alternative per ogni modello (escluso mod. Fernàndez)

• base (no componenti deterministiche)

• con costante

• con costante e trend

Ampliamento diagnostica della disaggregazione

• Si basano sulle innovazioni standardizzate (𝒗 𝒕 = 𝒗𝒕/𝐒𝐭𝐝 𝒗𝒕 ) i test diagnostici: • Test di Durbin-Watson su autocorrelazione dei residui

• Test N di normalità dei residui di Jarque-Bera

• Test Q di Ljung-Box sulle prime P autocorrelazioni dei residui

• Test H per l’eteroschedasticità dei residui


• Errori di previsione o innovazioni stimati dal filtro di Kalman:

𝒗𝒕 = 𝒀𝒕 − 𝐄 𝒀𝒕 𝒀𝐭−𝟏

• Altre statistiche di bontà di adattamento del modello incluse nel report:

• Errore standard di regressione

• Valore di massima verosimiglianza

• Criteri informativi AIC e BIC

• Grazie all’approccio SSF le diagnostiche sono implementate sfruttando la

medesima formulazione per tutti i modelli di disaggregazione:

maggior controllo dell’esito di stima e riduzione dell’onere computazionale!

NEW!

NEW!

NEW!

Un’applicazione delle nuove procedure (1 di 2)


• Selezione di trimestralizzazioni basate su serie ISTAT di contabilità

nazionale:

• Aggregato annuale: valore aggiunto

• Indicatore congiunturale: IPI (stesso livello di dettaglio)

• Dettaglio: 17 branche industria in s.s. (br. 3-19, classif. A44 CET)

• Periodo di riferimento: 1995q1 – 2013q4

• Tipo di dati:

• Grezzi

• Destagionalizzati e corretti per i giorni lavorativi

• Valutazione delle serie:

• A prezzi correnti

• A valori concatenati (rif. 2010)

68 c

asi d

istin

ti

Un’applicazione delle nuove procedure (2 di 2)


2176 d

isag

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gazio

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seg

uite

• Ciascuna trimestralizzazione è stata ripetuta considerando i modelli:

• Chow-Lin

• Fernàndez

• ADL(1,0) - nei livelli e nelle differenze

• ADL(1,1) - nei livelli e nelle differenze

• Specificazione delle componenti deterministiche di ciascun

modello (tranne modello Fernàndez):

• Assenti

• Costante

• Costante e trend

• Ciascun modello combinato con ogni specificazione è stato stimato:

• nei livelli

• nei logaritmi

Modelli a confronto: criteri di valutazione utilizzati


1. L’errore medio assoluto (MAE) di previsione dei tassi di crescita

annuali

valutazione bontà di adattamento complessiva del modello

stimato alla serie storica oggetto della disaggregazione

2. La correlazione tra variazione prima dell’indicatore trimestrale e

variazione prima della serie disaggregata

valutazione qualità della disaggregazione temporale con

riferimento all’informazione congiunturale

Modelli a confronto: l’errore medio assoluto di previsione (MAE)


Esiti modelli stimati su serie destagionalizzate a prezzi correnti

Branche dell’industria in s.s.

Modelli 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

CL 6.37 2.32 2.78 1.81 14.7 4.03 2.58 2.48 1.92 3.63 3.16 1.98 4.30 2.11 2.38 4.61 3.01

FE 6.74 3.16 3.06 2.07 20.4 4.57 2.49 4.18 2.73 3.57 2.46 3.14 5.30 2.59 4.23 7.42 6.85

ADL(1,0) 6.68 1.78 2.87 1.09 19.7 3.23 2.27 2.18 2.08 4.54 2.17 1.38 2.45 2.55 2.39 3.78 2.98

ADL(1,1) 6.22 1.82 2.91 1.10 14.6 3.53 2.42 2.15 2.14 3.73 1.89 1.48 2.06 2.45 1.89 3.77 2.76

Esiti modelli stimati su serie destagionalizzate in volume


Modelli 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

CL 7.42 2.04 3.74 1.93 6.71 5.30 3.72 1.62 2.83 4.34 3.69 2.33 3.74 2.5 3.71 2.9 4.31

FE 7.98 1.88 4.61 2.04 9.65 7.27 4.77 1.84 2.67 3.67 3.31 2.79 4.00 1.96 4.32 3.24 7.26

ADL(1,0) 7.74 2.06 2.87 1.75 7.43 5.23 3.65 2.37 3.12 5.06 3.72 1.76 4.29 2.88 3.54 3.21 3.33

ADL(1,1) 7.29 1.91 3.83 1.78 9.57 5.27 3.78 2.19 3.63 3.98 3.47 1.63 4.16 2.45 3.43 3.36 4.01

Modelli a confronto: correlazione indicatore/serie disaggregata (var. prime)


Esiti modelli stimati su serie destagionalizzate a prezzi correnti


Modelli 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

CL 0.92 0.80 0.93 0.81 0.91 0.89 0.97 0.82 0.97 0.91 0.92 0.96 0.95 0.94 0.93 0.72 0.636

FE 0.92 0.81 0.93 0.83 0.92 0.89 0.97 0.84 0.96 0.92 0.91 0.93 0.95 0.94 0.93 0.73 0.638

ADL(1,0) 0.81 0.27 0.90 0.64 0.82 0.48 0.79 0.76 0.96 0.83 0.72 0.88 0.78 0.90 0.75 0.21 0.02

ADL(1,1) 0.89 0.30 0.90 0.79 0.91 0.87 0.89 0.75 0.97 0.82 0.91 0.96 0.95 0.93 0.93 0.22 0.06

Esiti modelli stimati su serie destagionalizzate in volume


Modelli 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

CL 0.88 0.86 0.93 0.85 0.83 0.90 0.96 0.89 0.91 0.90 0.93 0.86 0.95 0.94 0.92 0.89 0.65

FE 0.88 0.86 0.93 0.89 0.85 0.90 0.96 0.93 0.96 0.90 0.94 0.96 0.98 0.94 0.93 0.89 0.65

ADL(1,0) 0.65 0.27 0.89 0.71 0.82 0.81 0.85 0.89 0.96 0.74 0.91 0.97 0.98 0.92 0.55 0.42 0.22

ADL(1,1) 0.73 0.71 0.90 0.88 0.90 0.85 0.85 0.90 0.96 0.77 0.60 0.97 0.98 0.93 0.91 0.60 0.28


• Tra i modelli ADL con la migliore performance in termini di MAE, la

specificazione alle differenze prime è prevalente nell’esercizio

condotto su serie nominali (vs. serie in volume)

Commenti

• La maggior parte dei modelli per cui si ottiene la max correlazione derivano

da trasformazione logaritmica e disaggregazione non lineare

novità metodologica migliorativa per la statistica trimestrale

• La classe di modelli ADL amplia la possibilità di individuare un

modello con migliore bontà di adattamento (misurata dal MAE) alla

serie storica, utile in fase di previsione

• Netta prevalenza dei modelli di disaggregazione statici / tradizionali

(Fernàndez e Chow-Lin) vs. modelli dinamici in termini di qualità della

disaggregazione (vd. dinamica congiunta indicatore/serie indicata)


Serie disaggregate del v.a. «Altri macchinari e apparecchiature»: modelli a confronto

80

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6500

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8500

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CLc ADL10 ADL11 ADL10Δ ADL11Δ indicatore ipi

70

80

90

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4000

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6000

7000

8000

9000

CLc ADL10 ADL11 ADL10Δ ADL11Δ indicatore ipi

Serie destagionalizzate (a prezzi correnti)

Serie grezze (a prezzi correnti)


Dati destagionalizzati e corretti per i giorni lavorativi (serie a prezzi correnti)

Modello c β0 β1 MAE Correlazioni

Congiunturali

Correlazioni

Tendenziali Log-lik AIC BIC

R2

corr.

CLc 0.99 10.9 38.4 2.96 0.96 0.94 -154.9 9.75 9.85 0.996

ADL(1,0) 0.87 -- 8.5 6.46 0.77 0.89 -167.1 11.47 11.52 0.973

ADL(1,1) 0.98 -- 37.6 -36.4 2.81 0.96 0.94 -153.2 9.68 9.78 0.996

ADL(1,0)Δ 0.16 -- 33.1 2.53 0.88 0.93 -151.9 9.30 9.40 0.997

ADL(1,1)Δ 0.67 -- 36.7 -24.1 1.81 0.95 0.93 -151.1 8.10 8.25 0.999

Dati grezzi e non corretti per i giorni lavorativi (serie a prezzi correnti)

Modello c β0 β1 MAE Correlazioni

Congiunturali

Correlazioni

Tendenziali Log-lik AIC BIC

R2

corr.

CLc 0.99 11.2 37.6 -- 2.98 0.99 0.93 -155.0 9.76 9.86 0.996

ADL(1,0) 0.87 -- 8.3 -- 6.37 0.62 0.88 -166.6 11.41 11.45 0.976

ADL(1,1) 0.98 -- 36.7 -35.4 2.81 0.99 0.93 -153.1 9.68 9.78 0.996

ADL(1,0)Δ 0.17 -- 31.9 -- 2.52 0.97 0.92 -151.8 9.27 9.37 0.997

ADL(1,1)Δ 0.67 -- 35.6 -23.4 1.91 0.99 0.93 -151.0 8.09 8.24 0.999

Output di stima: parametri stimati e statistiche


La disaggregazione temporale in assenza di indicatore

Pratica corrente (sebbene rara): in assenza di opportuno indicatore metodo

Denton con indicatore «fittizio» (ad es. un trend) ma …

Nuova opportunità: filtro di Kalman per disaggregazione temporale in assenza

di indicatore guadagno di efficienza!

- Metodo non ottimale (Feijoò et al. 2003)

- Forte distorsione nelle prime osservazioni della serie disaggregata

0

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BR11 Chow-Lin - KF BR11 Denton

Serie disaggregate del valore aggiunto "Metallurgia e prodotti in metallo"

(serie in volume, destagionalizzate)


Criticità dei modelli ADL (1): Inizializzazione

80

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90

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2

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3

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5

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8

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1

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2

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2

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3

201

3

CL CLc FeADL10 ADL11 ADL10Δ ADL11Δ INDICATORE (asse dx)

Serie trimestralizzate del v.a. e indicatore IPI : branca “Legno, carta e stampa”

(dati destagionalizzati, a valori concatenati)


Criticità dei modelli ADL (2): Erraticità

0

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2

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3

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4

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5

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6

2007

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2009

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0

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0

201

1

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1

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2

201

2

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3

201

3

CL Fe ADL10ADL11 ADL10Δ ADL11Δ INDICATORE (asse dx)

Serie trimestralizzate del v.a. e indicatore IPI : branca “Legno, carta e stampa”

(dati destagionalizzati, a prezzi correnti)


Valutazione globale delle criticità riscontrate dei modelli ADL

• Il problema di errata inizializzazione della serie disaggregata

• si riscontra nei soli modelli ADL alle differenze: 15.7% con

ADL(1,0) e 31.6% con ADL(1,1)

• è più frequente nei casi stimati su serie in volume (32% dei

casi) vs. serie nominali (15% dei casi)

• Il problema di accentuata erraticità della serie disaggregata

• è piuttosto diffuso tra i diversi modelli e si riscontra: nel 12,4% dei

casi con modelli ADL alle differenze, nell’ 8.6% con ADL nei livelli, nel

6% con Chow-Lin (con trend)

• nel caso dei modelli ADL (livelli e differenze) è più frequente nei casi

stimati su dati grezzi (11%) vs. dati destagionalizzati (9.6%)


Conclusioni : una valutazione globale

• Miglioramento capacità previsiva grazie ai modelli ADL

• Miglioramento qualità disaggregazione con i metodi non lineari

• Miglioramento qualità disaggregazione in assenza di indicatore

• Problemi di errata inizializzazione ed elevata erraticità della serie

disaggregata per diverse specificazioni dei modelli ADL

da considerare con attenzione!

• Ampliamento modellistico e metodologico

guadagno globale nella pratica della produzione CET

Grazie per l’attenzione!


metodo di stima : metodo -- ADL11T

tipo di aggregazione : somma

equazione : Y = C + D * t + B_0 * I_1_t + B_1 * I_1_t-1

+-----------------------------------------------------------------------------------------+

| Confronto dati annuali veri - previsioni |

+-------+----------+-----------+----------+-----------+-----------+-----------+-----------+

| ANNIT | liv.veri | liv.prev. | innov. | var. veri | var.prev. | err% var. | innov.std |

+-------+----------+-----------+----------+-----------+-----------+-----------+-----------+

| 2006 | 31216.7 | 30500.7 | 716.05 | 7.42 | 4.96 | -2.46 | .04 |

| 2007 | 32869.2 | 31533.8 | 1335.38 | 5.29 | 1.02 | -4.28 | .08 |

| 2008 | 33226.5 | 32190.7 | 1035.84 | 1.09 | -2.06 | -3.15 | .06 |

| 2009 | 26363.2 | 27932.9 | -1569.75 | -20.66 | -15.93 | 4.72 | -.03 |

| 2010 | 30134.4 | 30428.4 | -294.06 | 14.30 | 15.42 | 1.12 | -.01 |

| 2011 | 32578.3 | 32345.5 | 232.83 | 8.11 | 7.34 | -.77 | .01 |

| 2012 | 31562.2 | 32554.9 | -992.74 | -3.12 | -.07 | 3.05 | -.06 |

| 2013 | 31753.4 | 31073.7 | 679.70 | .61 | -1.55 | -2.15 | .04 |

+-------+----------+-----------+----------+-----------+-----------+-----------+-----------+

Report TRIMEKF: risultati disaggregazione a livello annuale


coefficienti stimati del modello (t-student tra parentesi)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

costante : 359.17 (3.10)**

trend : 4.27 (10.32)**

b_0 : 45.304 (13.76)**

b_1 : -42.524 (-12.71)**

diagnostica del modello (livello prob. tra parantesi)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

rho : .8856

r2 : .9976

r2 corretto : .9972

test f : 2116.52 (.00)**

standard error regressione : 113.14

log-likelihood : -147.15

aic : 9.64

bic : 9.84

durbin-watson : 1.99

jarque-bera : .22 (.90)

Q-Ljung-Box : .81 (.85)

H-test : .49443 (.78068)

statistiche sulla disaggregazione (ultima meta' del campione tra parantesi)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

correlazione var. prime : .96 (.99)

correlazione var. quarte : .95 (.98)

rmse var. prime : 1.51 (1.89)

rmse var. quarte : 4.43 (5.28)

massima discrepanza var. prime : 6.81 [200901] (6.81 [200901])

massima discrepanza var.quarte : 13.94 [200903] (13.94 [200903])

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- errori medi di previsione su ultimi 8 anni:

- ME liv.: 142.9 - ME var.: -.492 - MAE liv.: 857.0 - MAE var.: 2.713 - RMSE liv.: 963.1 - RMSE var.: 3.008

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Report TRIMEKF: sezione diagnostica stima

Formulario diagnostica disaggregazione e statistiche bontà di stima

• Test di Durbin-Watson su autocorrelazione dei residui

d = 𝑣 𝑡 − 𝑣 𝑡−12

𝑇/𝑠

𝑡=𝑘+2

/ 𝑣 𝑡2

𝑇/𝑠

𝑡=𝑘+2

• Test N di normalità dei residui di Jarque-Bera:

N =𝑇∗

6∙ 𝑏1 +

𝑇∗

24∙ 𝑏2 − 3

2

• Test H(h) per l’eteroschedasticità dei residui:

H h = 𝜐 𝑡2

𝑇

𝑡=𝑇−ℎ+1

𝜐 𝑡2

𝑘+1+ℎ

𝑡=𝑘+1

• Errore standard di regressione:

SER = 𝑆𝑆𝑅/ 𝑇/𝑠 − 𝑘

• Valore di max verosimiglianza:

𝐿 𝑐 = −0.5 ∙ 𝑑𝑇+1 +𝑇

𝑠𝑙𝑛𝜎 2 + ln 2𝜋 + 1

• Criteri informativi AIC =2k𝑇

𝑠

+ ln𝜎 2 e BIC = k ∙ln 𝑇/𝑠

𝑇/𝑠 + ln𝜎 2



Tavola valutazione criticità modelli dinamici

Casi problematici dovuti ad errata inizializzazione. Valori % per classe di modello sul totale branche stimate.

Effetto destagionalizzazione Effetto deflazione Effetto trasformazione

modello Effetto totale

Dati Grezzi Dati

Destagionalizzati Prezzi correnti

Valori

concatenati

Modelli nei

Livelli

Modelli nei

Logaritmi

CL 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.0 0.2

FE 0.0 1.5 1.5 0.0 1.5 0.0 0.7

ADL(1,0) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

ADL(1,1) 1.5 1.5 1.0 1.0 0.0 2.0 1.0

ADL(1,0)Δ 12.3 13.7 11.8 19.6 4.4 27.0 15.7

ADL(1,1)Δ 26.5 31.9 18.1 45.1 30.9 32.4 31.6

Casi problematici dovuti ad erraticità della serie trimestralizzata. Valori % per classe di modello sul totale branche stimate.

Effetto destagionalizzazione Effetto deflazione Effetto trasformazione

modello Effetto totale

Dati Grezzi Dati

Destagionalizzati Prezzi correnti

Valori

concatenati

Modelli nei

Livelli

Modelli nei

Logaritmi

CL 5.4 6.4 7.8 4.4 5.9 6.4 6.1

Fe 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

ADL(1,0) 11.3 10.3 9.3 12.7 5.9 16.2 11.0

ADL(1,1) 6.4 5.4 4.9 7.4 6.9 5.4 6.1

ADL(1,0)Δ 12.7 11.3 14.2 10.3 12.3 12.3 12.3

ADL(1,1)Δ 13.7 11.3 13.7 11.3 19.1 5.9 12.5

L. Bisio, F. Moauro - La disaggregazione temporale nei modelli dinamici: recenti avanzamenti

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