Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

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Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

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Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

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2

Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI

Introduzione ai criteri di stabilitàRegola dei segni di CartesioCriterio di Routh-HurwitzEsempi di applicazione del criterio di RouthCriterio di JuryEsempi di applicazione del criterio di Jury

Page 3: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI

Page 4: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

4

Introduzione ai criteri di stabilità (1/2)

I criteri fino ad ora considerati per lo studio della stabilità interna di sistemi dinamici, a dimensione finita, MIMO, lineari e stazionari (LTI), richiedono la conoscenza degli autovalori della matrice A di stato del sistema ⇒ richiedono il calcolo esplicito delle radici del polinomio caratteristico

I criteri che verranno ora introdotti permettono di studiare la stabilità dei sistemi dinamici LTI senza richiedere il calcolo esplicito delle radici di p (λ) ⇒ sono di particolare utilità nei casi in cui

Non si abbiano a disposizione strumenti di calcoloIl polinomio p(λ) dipenda da parametri variabili

( ) 11 1 0( ) det n n

n np I A a a a aλ λ λ λ λ−−= − = + + + +…

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5

Introduzione ai criteri di stabilità (2/2)

In particolare:La Regola dei segni di Cartesio fornisce in generale solo una condizione necessaria affinché tutte le radici di p (λ) siano a parte reale strettamente minore di 0Il Criterio di Routh-Hurwitz fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici di p(λ) siano a parte reale strettamente minore di 0Il Criterio di Jury fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1

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Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI

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Regola dei segni di Cartesio (1/3)

Dato il polinomio a coefficienti reali di grado n

il numero di radici reali positive è pari al numero v di variazioni di segno fra coefficienti consecutivi non nulli o è inferiore a v per un multiplo intero di 2Esempio:

c’è una sola variazione di segno in p (λ) ⇒p (λ) ha una sola radice reale positiva; infatti

11 1 0( ) n n

n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…

λ λ λ λ= + − −3 2( ) 1p

λ λ λ λ λ λ= + − − = + −3 2 2( ) 1 ( 1) ( 1)p

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Regola dei segni di Cartesio (2/3)

Corollario: dato il polinomio a coefficienti reali

il numero di radici reali negative è pari al numero w di variazioni di segno fra coefficienti consecutivi non nulli del polinomio p (−λ) o è inferiore a w per un multiplo intero di 2Esempio:

ci sono 2 variazioni di segno in p (−λ) ⇒p (λ) ha 2 o 0 radici reali negative

11 1 0( ) n n

n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…

λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ

= + − − = + − ⇒− = − + − − − − = − + + −

3 2 2

3 2 3 2( ) 1 ( 1) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

pp

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9

Regola dei segni di Cartesio (3/3)

Condizione necessaria ma in generale non sufficiente affinché p (λ) abbia tutte le n radici a parte reale strettamente negativa è che non ci siano variazioni di segno fra coefficienti consecutivi non nulliCaso particolare: nel caso n =2

condizione necessaria e sufficiente affinché p (λ) abbia entrambe le radici a parte reale strettamente negativa è che i 3 coefficienti a2, a1 e a0 siano di segno concorde (cioè tutti > 0 oppure tutti < 0) e quindi non presentino alcuna variazione di segno

λ λ λ= + +212 0( )p a a a

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Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI

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Criterio di Routh-Hurwitz (1/3)

Premessa: condizione necessaria affinché tutte le n radici del polinomio a coefficienti reali di grado n

siano a parte reale strettamente minore di 0 è che tutti gli n +1 coefficienti an , an−1, …, a1, a0 siano di segno concorde (cioè tutti > 0 oppure tutti < 0) Il criterio di Routh si esprime con riferimento al segno degli elementi della prima colonna della tabella di Routh avente le seguenti caratteristiche:

È costituita in generale da n +1 righeGli elementi delle prime due righe sono costituiti dai coefficienti di p (λ ), opportunamente distribuitiL’ultima riga è costituita dal coefficiente a0 di p(λ )

11 1 0( ) n n

n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…

Page 12: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

12

Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)

11 1 0( ) n n

n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…

−−

− −−

− −

− −

−−−

0

42

1 53

4 6

5 73

2

123

0 0 0

n nn

n nn

n n

n

n

nn

n a a an a a an b bn c c c

a

b

Page 13: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

13

Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)

11 1 0( ) n n

n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…

− − −−− −

− − −−−− = − = − …1 1 53

2 24 2 62

53 , ,n n nnn n

n n nnnn

a a a ab bb bb bc c

−−

− −−

− −

− −

−−−

0

42

1 53

4 6

5 73

2

123

0 0 0

n nn

n nn

n n

n

n

nn

n a a an a a an b bn c c c

a

b

− −− −

− − −−− −= − = − …2 4

1 11 1 53

42 , ,n n n nn n

n n nnn n

a a a aa aa a a abb

Page 14: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

14

Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)

11 1 0( ) n n

n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…

− − −−− −

− − −−−− = − = − …1 1 53

2 24 2 62

53 , ,n n nnn n

n n nnnn

a a a ab bb bb bc c

− −− −

− − −−− −= − = − …2 4

1 11 1 53

42 , ,n n n nn n

n n nnn n

a a a aa aa a a abb

−−

− −−

− −

− −−

−−−

0

42

1 53

2 6

5 73

4

123

0 0 0

n

n nn

n nn

n n

n nn

b

n a a an a a an b bn c c c

a

Page 15: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

15

Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)

11 1 0( ) n n

n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…

− − −−− −

− − −−−− = − = − …1 1 53

2 24 2 62

53 , ,n n nnn n

n n nnnn

a a a ab bb bb bc c

−−

− −−

−− −

− −−

−−−

0

42

1 53

42 6

3 5 7

123

0 0 0

n nn

n nn

nn n

n nn

n a a an a a an b b

c c

a

cb

n

− −− −

− − −−−− = − = − …2 4

1 11 1 53

42 , ,n n n nn n

n n nnnn

a a a aa aa a a ab b

Page 16: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

16

Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)

11 1 0( ) n n

n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…

− − −−− −

− − −−−− = − = − …1 1 53

2 24 2 62

3 5, ,n n nnn n

n n nnn n

a a a ab bb bb b cc

−−

− −−

−− −

−− −

−−−

0

5

42

1 53

42 6

73

123

0 0 0

n nn

n nn

nn n

nnn

n a a an a a an b b

c

a

cb

n c

− −− −

− − −−−− = − = − …2 4

1 11 1 53

42 , ,n n n nn n

n n nnnn

a a a aa aa a a ab b

Page 17: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

17

Criterio di Routh-Hurwitz (2/3)

11 1 0( ) n n

n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…

−−

− −−

−− −

− −−

−−−

0

42

1 53

42 6

5 73

123

0 0 0

n nn

n nn

nn n

n nn

n a a an a a an b b

c

a

bn c c

− −− −

− − −−−− = − = − …2 4

1 11 1 53

42 , ,n n n nn n

n n nnnn

a a a aa aa a a ab b

− − −−− −

− − −−−− = − = − …1 1 53

2 24 2 62

53 , ,n n nnn n

n n nnnn

a a a ab bb bb bc c

Page 18: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

18

Criterio di Routh-Hurwitz (3/3)

Criterio di Routh-Hurwitz:condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici di p (λ) siano a parte reale strettamente minore di 0 è che tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routh siano di segno concorde (cioè tutti > 0 oppure tutti < 0)

0

42

1 53

42 6

5 73

123

0 0 0

n nn

n nn

nn n

n nn

n a a an a a an b b bn c c c

a

−−

− −−

−− −

− −−

−−−

Page 19: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

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Corollario del criterio di Routh-Hurwitz

Corollario del criterio di Routh-Hurwitz:se la tabella di Routh può essere completata (cioènessun elemento della sua prima colonna è nullo):

Nessuna radice di p (λ) ha parte reale nullaIl numero di radici di p (λ) a parte reale strettamente maggiore di 0 è dato dal numero delle variazioni di segno presenti nella prima colonna della tabella

0

42

1 53

42 6

5 73

123

0 0 0

n nn

n nn

nn n

n nn

n a a an a a an b b bn c c c

a

−−

− −−

−− −

− −−

−−−

Page 20: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI

Page 21: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

21

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #1 (1/6)

4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +

( ) 2

1 8 6 1 48 6 47 66 1

= − = − − =b

2 0 2

1 1 3

0

4 1 8 1 03 6 1 0 0210 1 0 0

− −=

b b bc c c

a

Page 22: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

22

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #1 (2/6)

4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +

( )01 1 6 0 6 6 16 0

= − = − − =b

0 2

1 1 3

0

4 1 8 1 03 6 1 0 02 47 610 1 0 0

− −=

b bc c c

a

Page 23: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

23

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #1 (3/6)

4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +

421 0 6 06 0 −− = − = = =…b b

2

1 1 3

0

4 1 8 1 03 6 1 0 02 47 6 110 1 0 0

− −=

bc c c

a

Page 24: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

24

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #1 (4/6)

4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +

16 47 66 1 47 6 11 47

47 6 1 47 6−

= − = − =c

1 1 3

0

4 1 8 1 03 6 1 0 02 47 6 1 010 1 0 0

− −=

c c ca

Page 25: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

25

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #1 (5/6)

4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +

1 3

0

4 1 8 1 03 6 1 0 02 47 6 1 01 11 470 1 0 0

− −=

c ca

1 36 0 47 6 0

47 6 0− −= − = = =…c c

Page 26: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

26

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Tutti gli elementi della prima colonna sono concordi ⇒ tutte le radici di p (λ) sono a parte reale < 0

Esempio #1 (6/6)

4 3 2( ) 6 8 1p λ λ λ λ λ= + + + +

=0

4 1 8 1 03 6 1 0 02 47 6 1 0 01 11 47 0 0 00 1 0 0 0a

Page 27: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

27

Dato il seguente polinomio di grado n = 3

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthNon tutti i coefficienti di p (λ) sono di segno concordepoiché a1=0 ⇒ non tutte le radici di p (λ) sono a parte reale < 0

Esempio #2 (1/5)

3 2( ) 0.2 1.2 1.2p λ λ λ= + +

Page 28: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

28

Dato il seguente polinomio di grado n = 3

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #2 (2/5)

3 2( ) 0.2 1.2 1.2p λ λ λ= + +

( ) 1

0.2 0 1.2 0.24 0 1.2 0.21.2 1.2

= − = − − = −b

1 1

0

3 0.2 0 02 1.2 1.2 010 1.2 0

−=b b

a

Page 29: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

29

Dato il seguente polinomio di grado n = 3

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #2 (3/5)

3 2( ) 0.2 1.2 1.2p λ λ λ= + +

1 30.2 0 1.2 01.2 0− −= − = = =…b b

1

0

3 0.2 0 02 1.2 1.2 01 0.20 1.2 0

−−=

ba

Page 30: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

30

Dato il seguente polinomio di grado n = 3

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Ci sono due variazioni di segno nella prima colonna ⇒ due radici di p (λ) sono a parte reale > 0

Esempio #2 (4/5)

3 2( ) 0.2 1.2 1.2p λ λ λ= + +

−=0

3 0.2 0 02 1.2 1.2 01 0.2 0 00 1.2 0 0a

Page 31: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

31

Dato il seguente polinomio di grado n = 3

analizzarne le radici mediante il solo criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Non ci sono elementi nulli nella prima colonna ⇒ nessuna radice di p (λ) è a parte reale nulla ⇒ solo una radice di p (λ) è a parte reale < 0

Esempio #2 (5/5)

3 2( ) 0.2 1.2 1.2p λ λ λ= + +

−=0

3 0.2 0 02 1.2 1.2 01 0.2 0 00 1.2 0 0a

Page 32: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

32

Dato il seguente polinomio a coefficienti reali ai ≠ 0

analizzarne le radici solo mediante il criterio di RouthLa tabella di Routh corrispondente è la seguente:

La prima colonna della tabella è data esattamente dai coefficienti del polinomio p (λ) ⇒il criterio e il corollario di Routh-Hurwitz dimostrano la regola di Cartesio per polinomi di II grado

Esempio #3

212 0( )p a a aλ λ λ= + +

2 0

1

0

21 00 0

a aaa

Page 33: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

33

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?Condizione necessaria è che tutti i coefficienti di p (λ) siano di segno concorde ⇒

Per avere una condizione necessaria e sufficiente, occorre calcolare la tabella di Routh

Esempio #4 (1/9)

∈k4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ

⎫• = > ∀⎪• = > ∀ ⎪⎪• = > ∀ ⇒ >⎬⎪• = >⎪

• = > ⎪⎭

4

3

2

1

0

1 0,6 0,8 0, 0

00

a ka ka k ka ka k

Page 34: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

34

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #4 (2/9)

4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ

2 0 2

1 1 3

0

4 1 8 03 6 0 0210 0 0

− −=

kk

b b bc c c

a k

∈k

( ) 2

481 8 6 48 66 6

−= − = − − =

kb kk

Page 35: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

35

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #4 (3/9)

4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ

0 2

1 1 3

0

486

4 1 8 03 6 0 0

2

10 0 0

− −

=

k

kk

b b

c c ca k

∈k

( )01 6 0 6 66 0

= − = − − =kb k k

Page 36: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

36

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #4 (4/9)

4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ

2

1 1 3

0

486

4 1 8 03 6 0 0

2

10 0 0

− −

=

k

kk

k b

c c ca k

∈k

421 0 6 06 0 −− = − = = =…b b

Page 37: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

37

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #4 (5/9)

4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ

1 1 3

0

486

4 1 8 03 6 0 0

2 0

10 0 0

− −

=

k

kk

k

c c ca k

∈k

148

48 66

6 36 (48 ) (12 )48 48

−−

− − −= − = − =− −

kk

k k k k k kc k k k

Page 38: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

38

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #4 (6/9)

4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ

1 3

0

486

(12 )48

4 1 8 03 6 0 0

2 0

1

0 0 0− −

−−=

k

k kk

kk

k

c c

a k

∈k

1 348

48 66

6 00

0− −−

−= − = = =…kkc c

Page 39: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

39

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

⇒ occorre vedere per quali k tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routh sono concordi

Esempio #4 (7/9)

4 3 2( ) 6 8= + + + +p k kλ λ λ λ λ

−−=0

486

(12 )48

4 1 8 03 6 0 0

2 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

k

k kk

kk

k

a k

∈k

Page 40: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

40

−−

−−

=• > ∀• > ∀• − > ⇒ <

• > ⇒ − > < ⇒ < <

• = > ⇒ >

0

0

486

(12 )48

(12 )48

4 1 8 03 6 0 0

2 0 0

1 0 0 0

0 0 0 01 0,6 0,(48 ) 6 0 48

0 (12 ) 0, poiché 48 0 12

0 0

k

k kk

k kk

kk

k

a kkk

k k

k k k k

a k k

Esempio #4 (8/9)

Page 41: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

41

Tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routh sono di segno concorde (e in particolare > 0) per

⇒ per tali valori di k le radici del polinomio p (λ)sono tutte a parte reale strettamente negativa

Esempio #4 (9/9)

0 12< <k

Page 42: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

42

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?Condizione necessaria è che tutti i coefficienti di p (λ) siano di segno concorde ⇒

Per avere una condizione necessaria e sufficiente, occorre calcolare la tabella di Routh

Esempio #5 (1/4)

3 2( ) (15 1) 50= + + + +p k k kλ λ λ λ∈k

• = > ∀ ⎫⎪• = > ⎪ ⇒ >⎬• = + > ⇒ > − ⎪

• = > ⇒ > ⎪⎭

3

2

1

0

1 0,0

015 1 0 1/1550 0 0

a ka k

ka k ka k k

Page 43: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

43

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #5 (2/4)

3 2( ) (15 1) 50= + + + +p k k kλ λ λ λ∈k

+

= 1

0

3 1 15 1 02 50 01 00 50 0

kk kb

a k

150 (15 1)1 15 1 15 49

50− ++= − = − = −

k k kkb k kk k k

Page 44: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

44

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

⇒ occorre vedere per quali valori di k tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routhsono di segno concorde

Esempio #5 (3/4)

3 2( ) (15 1) 50= + + + +p k k kλ λ λ λ∈k

+

−=0

3 1 15 1 02 50 01 15 49 0 00 50 0 0

kk k

ka k

Page 45: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

45

La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

⇒ per k > 49/15 le radici del polinomio p (λ) sono tutte a parte reale strettamente positiva

Esempio #5 (4/4)

+

−=

• > ∀• >

⇒ > =• − > ⇒ >• = >

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

0

0

3 1 15 1 02 50 01 15 49 00 50 0

1 0,0

49 15 3.2615 49 0 49 15

50 0

kk k

ka kk

kkk k

a k

Page 46: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

46

Dato il seguente polinomio in cui i parametri

per quali α,β le radici sono tutte a parte reale < 0 ?Condizione necessaria è che tutti i coefficienti di p (λ) siano di segno concorde ⇒

Per avere una condizione necessaria e sufficiente, occorre calcolare la tabella di Routh

Esempio #6 (1/7)

4 3 2( ) ( 5) 2 3= + + + + + +p λ λ λ α λ λ β, ∈α β

{α βα β

αα α βα β

β β

⎫• = > ∀ ∀⎪• = > ∀ ∀ ⎪⎪ > −• = + > ⇒ > − ⇒⎬ > −⎪• = > ∀ ∀⎪

• = + > ⇒ > − ⎪⎭

4

3

2

1

0

1 0, ,1 0, ,

55 0 53

2 0, ,3 0 3

aaaaa

Page 47: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

47

Dato il seguente polinomio in cui i parametri

per quali α,β le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #6 (2/7)

2 0

1

0

4 1 5 3 0

3 1 2 0 0

2 0

1 0 0

0 3 0 0

+ +

= +

b bc

a

α β

β

4 3 2( ) ( 5) 2 3= + + + + + +p λ λ λ α λ λ β, ∈α β

( ) 2

1 5 1 2 ( 5) 31 2

+= − = − − + = +b α α α

Page 48: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

48

Dato il seguente polinomio in cui i parametri

per quali α,β le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #6 (3/7)

0

1

0

4 1 5 3 0

3 1 2 0 0

2 3 0

1 0 0

0 3 0 0

+ +

+

= +

bc

a

α β

α

β

4 3 2( ) ( 5) 2 3= + + + + + +p λ λ λ α λ λ β, ∈α β

01 3 1 31 0

+= − = +b β β

Page 49: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

49

Dato il seguente polinomio in cui i parametri

per quali α,β le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

Esempio #6 (4/7)

1

0

4 1 5 3 0

3 1 2 0 0

2 3 3 0

1 0 0

0 3 0 0

+ +

+ +

= +

ca

α β

α β

β

4 3 2( ) ( 5) 2 3= + + + + + +p λ λ λ α λ λ β, ∈α β

13 2( 3) 2 31 2 ( 3)

3 3 3 3+ − + − +

= − + = − =+ + + +

cβ α α β

αα β α α

Page 50: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

50

Dato il seguente polinomio in cui i parametri

per quali α,β le radici sono tutte a parte reale < 0 ?La tabella di Routh corrispondente è la seguente:

⇒ occorre vedere per quali α,β tutti gli elementi della prima colonna della tabella sono concordi

Esempio #6 (5/7)

α βα

α β

α β

β

− ++

+ +

+ +

= +0

2 33

4 1 5 3 0

3 1 2 0 0

2 3 3 0 0

1 0 0 0

0 3 0 0 0a

4 3 2( ) ( 5) 2 3= + + + + + +p λ λ λ α λ λ β, ∈α β

Page 51: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

51

0

0

2 33

2 33

4 1 5 3 0

3 1 2 0 0

2 3 3 0

1 0 0

0 3 0 01 0, ,1 0, ,

3 0 3

0 2 3 0, poiché 3 2 3

3 0 3

− ++

− ++

+ +

+ +

= +• > ∀ ∀• > ∀ ∀• + > ⇒ > −

• > ⇒ − + > > − ⇒ < +

• = + > ⇒ > −

a

a

α βα

α βα

α β

α β

βα βα β

α α

α β α β α

β β

Esempio #6 (6/7)

Page 52: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

52

Tutti gli elementi della prima colonna della tabella di Routh sono di segno concorde (e in particolare > 0) per

⇒ per tali valori di α,β le radici del polinomio p (λ)sono tutte a parte reale strettamente negativaRappresentando geometricamente i vari vincoli sul piano cartesiano (α,β ), si vede che il vincolo α > −3 è già automaticamente soddisfatto dalla condizione

Esempio #6 (7/7)

{ } { }3 2 3 3− < < + ∧ > −β α α

3 2 3− < < +β α

Page 53: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI

Page 54: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

54

Criterio di Jury (1/3)

Condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le n radici del polinomio a coefficienti reali di grado n

siano in modulo strettamente minori di 1 è cheNel caso n =2, siano soddisfatte 3 disuguaglianze:

Nel caso n >2, oltre alle 3 precedenti disuguaglianze, siano soddisfatte anche altre n − 2 disuguaglianze fra i moduli di alcuni elementi della tabella di Juryseguente, costituita da n − 1 coppie di righe

11 1 0( ) n n

n np a a a aλ λ λ λ−−= + + + +…

0

1) ( 1) 02) ( 1) ( 1) 03) | | | |

= >− = − >

>

n

n

pp

a a

λλ

Page 55: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

55

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

−−

− − −

−− −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 10 2 2

1 12 3 0

10 2 2

42 3 0

10 2

12 0

1122

22

nnn

n n n

nn

n n n

n

nn n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c

t t tt t t

Page 56: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

56

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

−−

− − −

−− −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 12 2

1 12 3 0

10 2 2

42 3

2

12

0

0

10

0

1122

22

nnn

n n n

nn

n n n

n

nn n

b

n a a a a a an a a a a a a

n b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c

t t tt t t

− −== = …1 0 20

1

0

200 1 2, , ,n n

nnn

naa aa aa aa a

aa a b bb

Page 57: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

57

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

−−

− − −

−− −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

10 2 2

1 12 3 0

10 2 2

42 3

2

12

1

0

10

0

1122

22

nnn

n n n

nn

n n n

n

nn n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c

t t tt t t

b

− −= == …0 10

0 1

0 2

2210 , , ,n n

n

n

n n

a a a aa

aa

aa aa abb b

Page 58: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

58

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

−−

− − −

−− −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 10 2

1 12 3 0

10 2 2

42 3

2

12

2

0

10

0

1122

22

nnn

n n n

nn

n n n

n

nn n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c

t t tt t t

b

− −= = = …0 1 0 20

0 1 2210 , ,,n n n

n nn

a a a aa aa a a aa ab bb

Page 59: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

59

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

− − −

−− −

−−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 10 2

1 12 3 0

10 2 2

42 3 0

10 2

12 0

21122

22

nnn

n n n

n

n n n

n

nn

n

n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c

t t tt t t

b

− −= = = …0 1 0 20

0 1 210 2, , ,n n n

n nn

a a a aa aa a a aa ab b b

− −− − ==… 0 2

2

10

112 ,,

n nn nnn

aa a aaa aab b

Page 60: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

60

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

− − −

−− −

−−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

10 2 2

1 12 3 0

10 2 2

42 3 0

1

1

1

0 2

2 0

1122

22

nnn

n n n

n

n n n

n

nn

n

n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c

t t tt t t

b

− −= = = …0 1 0 20

0 1 210 2, , ,n n n

n nn

a a a aa aa a a aa ab b b

−−− −= =… 10 2 0

1212, ,

n n nnnn

a a a aa a a abb

Page 61: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

61

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− − −

−−

−− −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 10 2 2

10 2 2

42 3 0

10 2

12 0

1 12 3 0

1122

22

n n

nnn

n n n

nn

n

nn n

n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b b bnn c c c cn

b b b b

c c c c

t t tt t t

b

Page 62: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

62

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

−−

− − −

−− −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 10 2 2

1 12 3 0

1 2 2

42 3

2

0

0

10 2

1 0

1122

22

nnn

n n n

nn

n n n

n

nn n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b b bn b b b b bn c c cn c c c c

t t tt t t

c

− −

−−− −−= == …10 1

1

00 2

1 1 20 11 20 , , ,n

nn

n

n nn

b bb bb bbb b

b bb cc c

Page 63: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

63

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

−−

− − −

−− −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 10 2 2

1 12 3 0

0 2 2

42 3

1 2

12

1

0

0

0

1122

22

nnn

n n n

nn

n n n

n

nn n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b b bn b b b b bn c c cn c c c c

tt

c

t tt t

− − −

−− == = …10 10

1 2

0 2

1 0 1 10 21 ,, ,n n

n nn nn

b b b bb b b

b bbb bcc c

Page 64: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

64

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

−−

− − −

−− −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 10 2 2

1 12 3 0

10 2

42 3

10 2

12

2

0

0

1122

22

nnn

n n n

nn

n n n

n

n

n n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b b bn b b b b bn c c cn c c c c

tt

c

t tt t

− −

− −− −−= = =…1 10 00 2

1 10 1 1 21 20 , , ,n n

n nn nn

b b b bb bb b b bb b cc c

Page 65: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

65

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

−− −

−−

− − −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 10 2 2

1 12 3 0

10 2 2

10 2

12

42 0

0

3

1122

22

nnn

n n n

nn

n n

n

n

n n

n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b b bn b b b b bn c c c cn

t

c

t

c

tt t

c

t

c

Page 66: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

66

Criterio di Jury (2/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

−−

− − −

−− −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 10 2 2

1 12 3 0

10 2 2

42 3 0

10 2

12 0

1122

22

nnn

n n n

nn

n n n

n

nn n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c

z z zz z z

Page 67: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

67

Devono essere soddisfatte le seguenti n – 2 diseguaglianze:

Criterio di Jury (3/3)

11 1 0( ) −

−= + + + +…n nn np a a a aλ λ λ λ

−−

− −

−−

− − −

−− −

−−−−

1 10 2 2

1 12 2 0

1 10 2 2

1 12 3 0

10 2 2

42 3 0

10 2

12 0

1122

22

nnn

n n n

nn

n n n

n

nn n

n a a a a a an a a a a a a

n b b b b bn b b b b bn c c c cn c c c c

z z zz z z

n nb b c c z z10 0 2 0 2, , ,− −> > >…

Page 68: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

Criteri di stabilità per sistemi dinamici LTI

Page 69: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

69

Dato il seguente polinomio di grado n = 3

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryAffinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte

Le 3 seguenti disuguaglianze che non richiedono la costruzione della tabella di Jury

Esempio #1 (1/3)

λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p

( )

λλ

λλ

= >= = + + + = >

− = − >− = − = − − + − + = >>

= = > = =

3

0

3 0

1) ( 1) 0?( 1) 2 1 1 0.5 4.5 0

2) ( 1) ( 1) 0?( 1) ( 1) 2 1 1 0.5 1.5 0

3) | | | |?| 2| 2 | 0.5| 0.5

n

n

pp

pp

a aa a

Page 70: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

70

Dato il seguente polinomio di grado n = 3

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryAffinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte

Essendo n >2, anche n − 2 = 1 disuguaglianza che richiede la costruzione della tabella di Jury seguente, costituita da n − 1 = 2 coppie di righe

Esempio #1 (2/3)

λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p

Page 71: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

71

Dato il seguente polinomio di grado n = 3

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:

Esempio #1 (3/3)

λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p

−0 2

2 0

21

1

3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.522 3.75

b bb b b

bb

= = − = = − =10 20.5 2 0.5 13.75 , 1.52 0.5 2 1

b b b

Page 72: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

72

Dato il seguente polinomio di grado n = 3

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:

Esempio #1 (3/3)

λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p

− −− − − −

− 0 2

3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.52 3.75 1.5 1.52 1.5 1.5 3.75 3.75

b

Page 73: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

73

Dato il seguente polinomio di grado n = 3

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:

Tutte le disuguaglianze richieste dal criterio di Jurysono soddisfatte ⇒ tutte le radici del polinomio p (λ)sono in modulo strettamente minori di 1

Esempio #1 (3/3)

λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p

− −− − − −

− 0 2

3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.52 3.75 1.5 1.52 1.5 1.5 3.75 3.75

b

= − = > = − =0 23.75 3.75 1.5 1.5b b

Page 74: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

74

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryAffinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte

Le 3 seguenti disuguaglianze che non richiedono la costruzione della tabella di Jury

Esempio #2 (1/4)

λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p

λλ

λλ

= >= = + + + − = >

− = − >− = − = − + − − = >>

= = > = − =

4

0

4 0

1) ( 1) 0?( 1) 2 1 3 0.5 1 5.5 0

2) ( 1) ( 1) 0?( 1) ( 1) 2 1 3 0.5 1 2.5 0

3) | | | |?| 2| 2 | 1| 1

n

n

pp

pp

a aa a

Page 75: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

75

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryAffinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte

Essendo n >2, anche altre n − 2 = 2 disuguaglianzeche richiedono la costruzione della tabella di Juryseguente, costituita da n − 1 = 3 coppie di righe

Esempio #2 (2/4)

λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p

Page 76: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

76

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:

Esempio #2 (3/4)

λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p

−−

310 2

013 2

10 2

12 0

2

0

4 1 0.5 3 1 24 2 1 3 0.5 1332 10 52

.

b b b bb b bb bc c cc c c c

− −= = − = = −− 10

1 2 1 13 , 2.52 1 2 0.5

b b

− −= = − = = −2 31 3 1 0.59 , 22 3 2 1

b b

Page 77: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

77

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:

Esempio #2 (3/4)

λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p

−−

− − − −− − −

−− 2

10 2

12 0 0

4 1 0.5 3 1 24 2 1 3 0.5 13 3 2.5 9 23 2 9 2.

10.5 3

2 52

c c cc c

b

c c

Page 78: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

78

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:

Esempio #2 (3/4)

λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p

−−

− − − −− − −

−− 2

10 2

12 0 0

4 1 0.5 3 1 24 2 1 3 0.5 13 3 2.5 9 23 2 9 2.

10.5 3

2 52

c c cc c

b

c c

− − − − − −− − − − − −

= = = =− = =10 23 2 3 9 3 2.52 3 2 2.5 2 9

5, 10.5, 22c c c

Page 79: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

79

Dato il seguente polinomio di grado n = 4

analizzarne le radici mediante il solo criterio di JuryLa tabella di Jury corrispondente è la seguente:

Esempio #2 (3/4)

λ λ λ λ λ= + + + −4 3 2( ) 2 3 0.5 1p

−−

− − − −− − − −

− −−

2

0

0

4 1 0.5 3 1 24 2 1 3 0.5 13 3 2.5 9 23 2 9 2

10.5.5 3

2 5 10.5 222 22 10.5 5

bc

c

Page 80: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

80

La tabella di Jury corrispondente è la seguente:

Non tutte le disuguaglianze richieste dal criterio di Jury sono soddisfatte ⇒ non tutte le radici di p (λ)sono in modulo strettamente minori di 1

Esempio #2 (4/4)

−−

− − − −− − − −

−−

−2

4 1 0.5 3 1 24 2 1 3 0.5 13 3 2.5 9 23 2 9

102.5 3

.52 5 10.5 222 22 10.5 5

b

>= − = = − =0 33 3 2 2b b

= = = =0 25 5 22 22ma c c<

Page 81: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

81

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?Affinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte

Le 3 seguenti disuguaglianze che non richiedono la costruzione della tabella di Jury

Esempio #3 (1/4)

∈kλ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k

λλ

λλ

= >= = + > ⇒ > −

− = − >− = − = − > ⇒ <>

= = > = = ⇒ <

3

0

3 0

1) ( 1) 0?( 1) 4 0.5 0 8

2) ( 1) ( 1) 0?( 1) ( 1) 2 0.5 0 4

3) | | | |?| 2| 2 | 0.5 | 0.5| | | | 4

n

n

pp k kp

p k ka a

a a k k k

Page 82: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

82

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?Affinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 devono esser soddisfatte

Essendo n >2, anche n − 2 = 1 disuguaglianza che richiede la costruzione della tabella di Jury seguente, costituita da n − 1 = 2 coppie di righe

Esempio #3 (2/4)

λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k∈k

Page 83: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

83

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?La tabella di Jury corrispondente è la seguente:

Esempio #3 (3/4)

λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k∈k

−10 2 2

12 020.25 4

3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.522

kk

b b bb kb b

b

= = − = = − =210 2

0.5 2 0.5 10.25 4, 0.5 22 0.5 2 1k kb k b k bk

Page 84: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

84

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?La tabella di Jury corrispondente è la seguente:

Esempio #3 (3/4)

λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k∈k

− − −

− − −

2

22

0

3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.52 0.25 4 0.5 2 0.5 22 0.5 2 0.5 2 0.25 4

kk

k k kk k k

bb

Page 85: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

85

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?La tabella di Jury corrispondente è la seguente:

⇒ deve essere soddisfatta anche la disuguaglianza

Esempio #3 (3/4)

λ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k∈k

− − −

− − −

2

22

0

3 0.5 1 1 23 2 1 1 0.52 0.25 4 0.5 2 0.5 22 0.5 2 0.5 2 0.25 4

kk

k k kk k k

bb

= − > = −20 20.25 4 0.5 2b k b k

Page 86: Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici

86

Dato il seguente polinomio in cui il parametro

per quali k tutte le radici sono in modulo < 1 ?Affinché tutte le radici di p (λ) siano in modulo strettamente minori di 1 deve risultare allora che

⇒ occorre complessivamente che −2 < k < 4

Esempio #3 (4/4)

∈kλ λ λ λ= + + +3 2( ) 2 0.5p k

λλ

= = + > ⇒ > −− = − = − > ⇒ <

> ⇒ <

= − > = − ⇔+ ⋅ − > − ⇔< + > ⇒ > −

02

0 2

1) ( 1) 4 0.5 0 82) ( 1) ( 1) 2 0.5 0 43) | | | | | | 4

4) | 0.25 4| | 0.5 2||0.5 2| |0.5 2| |0.5 2|per | | 4,|0.5 2| 1 2

n

n

p k kp k k

a a kb k b k

k k kk k k