Sistemi Dinamici a Tempo Continuo

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 2 1

Lezione 2. Sistemi dinamici a tempo continuo


Schema della lezione

1. Cos un sistema dinamico ?

2. Modelli di sistemi dinamici

3. Il concetto di dinamica

4. Variabili di stato

5. Rappresentazione in variabili di stato di un sistema dinamico

6. Classificazione dei sistemi dinamici

7. Scelta delle variabili di stato


Un sistema dinamico un oggetto (o insieme di oggetti tra loro interconnessi) che interagisce col mondo circostante mediante:

ingressi (azioni compiute sul sistema da agenti esterni)

uscite (descrivono la risposta del sistema agli stimoli)

1. Cos un sistema dinamico?

SISTEMA

UsciteIngressi

(CAUSE) (EFFETTI)

E indispensabile disporre di modelli matematici dei sistemi dinamici per descrivere il loro comportamento


Sistemi a tempo continuo

ingresso( )tu

2. Modelli di sistemi dinamici

( )tyuscita

ttempo

Sistemi digitali (o a tempo discreto)

Sistemi a eventi discreti Automazione Industriale6 cfu (I sem III anno)

S

IMAD6 cfu (I sem I anno LS)

Controlli automatici6 cfu (I sem I anno LS)

tempo variabile intera relativa

tempo variabile reale

non c il tempo


Che tipo di relazioni matematiche servono ?

( )ty( )turelazione

matematica

funzioni reali del tempo (continuo)


Cosa significa laggettivo dinamico ?

?

La conoscenza del valore delle variabili di ingresso al tempo t non sufficiente a determinare univocamente il valore delle variabili di uscita al medesimo tempo t

0t 1t

( )tu

t 0t 1t

( )ty

t

3. Il concetto di dinamica

( )tu ( )tyS


( ) [ ]( )

0

10 , ,th

ttttwin

Per determinare wout bisogna conoscere (oltre a win) il livello iniziale del serbatoio

Esempio

( )twin

( ) ( )tkhtwout =

( )th

E un sistema dinamico

( )twin ( )twoutS

( )twin( )twout

portata in ingressoportata in uscita

( ) [ ]10 , , ttttwout


i(t) corrente nella resistenzav(t) tensione ai capi della resistenza

Legge di Ohm ( ) ( )tRitv =

Esempio

R

Basta conoscere i(t) per determinare univocamente v(t)

E un sistema NON dinamico

S( )ti ( )tv( )ti

( )tv


Bisogna conoscere qualcosa di pi oltre al semplice andamento delle variabili di ingresso(condizioni iniziali a t.c.)

La ragione non puramente matematica(Se uso eq.differenziali devo conoscere le condizioni iniziali)

Serve memoria per sapere in che condizioni, in che stato si trova il sistema nellistante in cui si comincia ad applicare lingresso


( )( )

0

0, tx

tttu

Variabili interne del sistema la cui conoscenza al tempo t0costituisce la minima informazione necessaria per determinare y(t), per tutti i tt0, in conseguenza di u(t), per tutti i tt0

( ) nitxi ,,2,1 =n lordine del sistema

( )

( )( )

( )

=

tx

txtx

t

n

2

1

x

vettore di stato

4. Variabili di stato

( ) 0, ttty


Nota bene

( ) ( )tydt

tdy (!!)

Pausa Cenni sulle Equazioni Differenziali (lineari, a coeff. costanti)


Esempio

( )twin

( ) ( )tkhtwout =

( )th

portata volumetrica in ingresso

portata volumetrica in uscita

livello

Conservazione del volume

( ) ( ) ( )twtwdt

tdVoutin =

Larea di base A,quindi il volume

( ) ( )tAhtV =

( ) ( ) ( )twtwthA outin =

Equazione differenziale del 1 ordine, lineare, a coefficienti costanti


( ) ( )tutwin

( ) ( ) ( )tkxtytwout =( ) ( )txth

( ) ( ) ( )( ) ( )

==

tkxtytkxtutxA

Equazione differenziale del 1 ordine, lineare, a coefficienti costanti

ingresso (causa)

uscita (effetto)

stato

( ) ( ) ( )twtwthA outin =

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

+=

tkxty

tuA

txAktx 1

Equazione duscita


( ) ( ) ( ) ( )tyhtyktFtyM =

Mk

F(t)

Bilancio forze

Forza attrito viscoso

( )tyh

( )ty

Esempio

Forza motrice

Forza apparenteForza di richiamo

della molla

ingresso (causa)

uscita (effetto)

stato (due variabili)

( ) ( )tutF ( ) ( )txty 1( ) ( )txty 2( ) ( )tyty

Equazione differenzialedel 2 ordine, lineare, a coefficienti costanti


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

=

+=

=

txty

tuM

txMhtx

Mktx

txtx

1

212

211

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

=

=

=

txty

thxtkxtuM

tytx

txtytx

1

212

211

Sistema di 2 equazionidifferenziali del 1 ordine, lineari, a coefficienticostanti

Equazione duscita


( )( )

( )( ) ( )

( ) [ ] ( )( )

=

+

=

txtx

ty

tuMtx

tx

Mh

Mk

txtx

2

1

2

1

2

1

01

1010

Il sistema di equazioni differenziali pu essere scritto anche in forma vettoriale

( ) ( )( )

=

txtx

t2

1x

Definendo( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )tty

tuM

tMh

Mkt

x

xx

01

1010

=

+

=


( ) ( ) ( )( ) ( )tCtMgltCtJ a= sin

( ) ( )thtCMlJ

a =

=

2

( ) ( )( ) ( ) ( )tCthtMgltMl += sin2

M

Mg

lC(t)

Ca(t)

(t)

Bilancio coppie

Coppia attrito viscosoMomento di inerzia

Esempio

Coppia apparente

Coppia attrito viscoso

Coppia motrice

Coppia di gravit


( ) ( )tutC

( ) ( )tyt

( ) ( )txt 1( ) ( )txt 2

ingresso (causa)

uscita (effetto)

stato (due variabili)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

=

+=

=

txty

tuMl

txMlhtx

MlMglttx

txttx

1

222122

211sin

( ) ( )( ) ( ) ( )tCthtMgltMl += sin2

Sistema di 2 equazionidifferenziali del 1 ordine, NON lineari, a coefficienticostantiN.B. Non si pu mettere in

forma matriciale.


trasformazione di uscitaequazione di stato( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) 00

,,

xxx

xfx

=

==

ttutgty

tutt

5. Rappresentazione di stato (sistemi SISO stazionari)

( ) nt x ( ) tu ( ) ty

( )f una funzione vettoriale a valori in n

( )g una funzione scalare a valori in

stato iniziale

vettore scalare scalare


Esempio

( ) tx( ) tu( ) ty

sono tutti scalari (m=p=n=1)

Lordine del sistema n=1

f(x(t),u(t))

g(x(t),u(t))

00 =t

f() e g() sono funzioni (scalari) lineari di u ed x

( )( )

( ) 00 =

==

xtytx ( ) ( )tutx +

( ) ( )tutx 2


Esempio

( ) 2tx

( ) tu( ) ty

sono scalari (m=p=1)

Lordine del sistema n=2

La trasformazione duscita non dipende esplicitamente da u(t)

( )( )( )( ) ( ) 20 ;10 21

2

1

==

=

=

=

xxtytxtx

f1(x1(t), x2(t),u(t))

g(x1(t), x2(t),u(t))

00 =t

f2(x1(t), x2(t), u(t))( ) ( )tutx + 1( ) ( )txtx 21 22 ( )tx13


Sistema strettamente proprio

6. Classificazione dei sistemi dinamici

Non c dipendenza esplicita delluscita y(t) dallingresso u(t)

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 00 xt x

txgtyt,utxftx

=

==

Non compare u(t)

Altrimenti, si dice proprio (non strettamente)


Sistema SISO (Single Input Single Output)

Ingresso ed uscita sono scalari, cio

In questo corso non saranno trattati i sistemiMIMO (Multiple Input Multiple Output)

( ) tu ( ) ty

Sistema lineare

f() e g() sono funzioni lineari di u e di x

Altrimenti, si dice non lineare


Esistono anche sistemi tempo-varianti

Non c presenza esplicita della variabile tempo

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 00

,,

xt xtt,utxgtytt,utxftx

=

==

Compare esplicitamente t

In questo corso si useranno solo sistemitempo-invarianti (o stazionari)


Esempio

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) 0023

=

=+=

xtxty

tutxtx

Ingresso ed uscita sono scalari, cio ( ) tu ( ) ty SISO


Strettamenteproprio

Non c presenza esplicita della variabile tempo

Tempoinvariante

f() e g() sono funzioni linearidi u e di x

Lineare


Esempio

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) 002

sin3 2

=

=+=

xtxty

tuttxtx

Ingresso ed uscita sono scalari, cio ( ) tu ( ) ty SISO


Strettamenteproprio

C presenza esplicita della variabile tempo

Tempovariante

f() non funzione linearedi u e di x

Non lineare


Esempio

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 002

33

1

21

=

=

+=

xtutxty

tututxtx

Lingresso non uno scalare, infatti ( ) 2tu MIMO

C dipendenza esplicita delluscita y(t) dallingresso u(t)

Proprio

Non c presenza esplicita della variabile tempo f() e g() sono funzioni linearidi u e di x

Tempoinvariante

Lineare


Come si scelgono ?( ) ( )txtx n,,1

Esistono criteri generali per lascelta delle variabili di stato?

La scelta univoca?

Lordine del sistema fissato?

7. Scelta delle variabili di stato

SI

NO

SI


Sistema descritto da unequazione differenziale di ordine nnellincognita y(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

tutydt

tdydt

tyddt

tydn

n

n

n

,,,,11

Scegliere come variabili di stato lincognita e le sue prime n-1 derivate

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )11

2

1

=

=

=

n

n

n dttydtx

dttdytx

tytx

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

=

=

=

=

txtytutxtxtxtx

txtxtxtx

nn

1

12

32

21

,,,,

Criterio matematico


( ) ( ) ( ) ( )( )21

52tytutytyty

++=

Scegliere

( ) ( )( ) ( )( ) ( )tytx

tytxtytx

=

=

=

3

2

1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

=

++=

=

=

txtytx

tutxtxtx

txtxtxtx

1

23

213

32

21

152

Esempio


Variabili di stato

Grandezze associate ad accumuli di energia, massa,...

Sistemi elettrici

Sistemi meccanici

Sistemi termici

Sistemi idraulici

tensione (condensatori) corrente (induttori)

posizionevelocit

temperatura

livello (serbatoi)

Energia elettrica

Energia magnetica

Energia potenzialeEnergia cinetica

Energia interna

Accumulo massa

Criterio fisico


Non obbligatorio scegliere le variabili di stato affidandosi ai criteri visti

Fare scelte originali pu essere svantaggioso (o vantaggioso!) in termini di complessit della rappresentazione matematica (anche se il sistema lo stesso!)

Mediante trasformazione lineare comunque possibile passare da una rappresentazione allaltra.

La scelta delle variabili di stato non univoca


Lordine del sistema fissato a parit di complessit e accuratezza usate nel descrivere i fenomeni modellizzati

Maggiore laccuratezza con cui desidero descrivere i fenomeni, maggiore sar il numero di variabili di stato da usare

Lordine del sistema univocamente fissato


( ) ( )( ) ( ) ( )

++=

=

mgtztzktztzktztztctzmMgtztzktztztctzM

trttsttt

stt

)()()()()()()()()()()()()()(

Esempio Modellistica di una sospensione a smorzamento controllato


( ) ( )( ) ( ) ( )

++=

=


trttsttt

stt

)()()()()()()()()()()()()()(

=

t

t

zzzz

x

=

cz

u r

Sistema MIMO, del 4 ordine (n=4), non-lineare, tempo-invariante, strettamenteproprio.

N.B. zr un disturbo

[ ]zy =


( ) ( )( ) ( ) ( )

++=

=


trttsttt

stt

)()()()()()()()()()()()()()(

=

t

t

zzzz

x

[ ]rzu =

Sistema SISO, del 4 ordine (n=4), lineare, tempo-variante, strettamente proprio.

E lo stesso sistema di prima! Le stesse equazioni!

[ ]zy =


=

czzzz

x

t

t

=

in

r

cz

u

Sistema MIMO, del 5 ordine (n=5), non-lineare, tempo-invariante, strettamenteproprio

[ ]zy =

( ) ( )( ) ( ) ( )

+=

++=

=

maxmin )()()()()()()()()()()()(

)()()()()()(

ctcctctctcmgtztzktztzktztztctzm

MgtztzktztztctzM

inin

trttsttt

stt

Posso descrivere anche la dinamicadello smorzamento (dinamica dellattuatore)


ma anche alternativamente NON descrivere la dinamicadello pneumatico!

M (body mass)

c (shock absorber)

k (spring) z

zr

road profile

( ) ( ) MgtztzktztztctzM stt = )()()()()()(


trasformazione di uscitaequazione di stato( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) 00

,,,,

xxuxgyuxfx

=

==

ttttttttt

Rappresentazione di stato (completa)

( ) nt x ( ) mt u ( ) pt y

( )f una funzione vettoriale a valori in n

( )g una funzione vettoriale a valori in p

( )f ( )ge possono dipendere esplicitamente dal tempo

stato iniziale

approfondimento

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