PROGETTOPROGETTOLAUREE LAUREE

SCIENTIFICHESCIENTIFICHE

Le strutture algebriche e le Le strutture algebriche e le matricimatrici

Bruna ConsoliniBruna Consolini

Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico TecnologicoAnno Scolastico 2006-07

DEFINIZIONE DEFINIZIONE DI MATRICEDI MATRICE

Una matrice A(m,n) è una tabella finita di elementi a ai,j i,j I I

posti su righe e colonne

i = 1, 2 … m - j =1, 2 … n

n,m1,m

1,2

2,11,1

aa

a

n,1a...aa

A

ESEMPIESEMPI

2 1 5 1(2,4)

0 3 7 8A

aba3b2a)4,1(B

x

x2

x

)1,3(C

1 0 3

(3,3) 2 4 1

0 5 7

D

11 33

(3,2) 22 66

55 99

D

MATRICI PARTICOLARIMATRICI PARTICOLARI

1 3 2 6

3 4 5 1(4,4)

2 5 3 0

6 1 0 2

S

0 0 00(2,3)

0 0 0

1 3 2

(3,3) 0 6 4

0 0 8

D

1 0 0

(3,3) 0 1 0

0 0 1

I

MATRICE SIMMETRICA MATRICE NULLA

MATRICE IDENTITA’MATRICE TRIANGOLARE

TIPI DI MATRICITIPI DI MATRICI

Matrice rettangolareMatrice rettangolare mmxxn n con con m m n n Matrice quadrataMatrice quadrata se se m = nm = n Matrici hanno la stessa dimensioneMatrici hanno la stessa dimensione

se hanno lo stesso numero di righe e di se hanno lo stesso numero di righe e di colonnecolonne

Matrici sono ugualiMatrici sono uguali se hanno la se hanno la stessa dimensione e se sono uguali gli stessa dimensione e se sono uguali gli elementi della stessa posizioneelementi della stessa posizione

Matrice traspostaMatrice trasposta M’ di M se si M’ di M se si scambiano le righe con le colonnescambiano le righe con le colonne

SOMMA DI MATRICISOMMA DI MATRICI

Si definisce matrice somma di due matrici A(m,n) e B(m,n)

la matrice che ha come elementi la somma delle coppie di elementi che occupano la stessa posizione.

A(m,n)=(ai,j) B(m,n)=(bi,j) S(m,n) = (si,j) si,j = ai,j + bi,j

A e B devono avere la stessa dimensione … S ha ancora la stessa dimensione

ESEMPIO SOMMAESEMPIO SOMMA1 4 2

3 0 6

1 2 3

4 2 5

0 2 5

1 2 1

A

B

A B

La somma può essere calcolata per matrici quadrate o rettangolari…

La matrice nulla funge da elemento neutro Per ogni matrice A esiste la matrice opposta -

A

DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI GRUPPOGRUPPO

L’insieme L’insieme RR(mxn)(mxn) delle matrici di dimensioni mxndelle matrici di dimensioni mxndotato dell’operazione sommadotato dell’operazione somma è un gruppo commutativoè un gruppo commutativoin quanto vengono rispettate le seguenti condizioni:G1) – proprietà associativaG2) – esistenza dell'elemento neutro G3) – esistenza del simmetricoG4) – proprietà commutativa

PRODOTTO DI MATRICIPRODOTTO DI MATRICI

Si definisce matrice prodotto di due matrici A(m,n) e B(n,p)

la matrice P(m,p) i cui elementi sono la somma dei prodotti degli elementi

della i-esima riga di A per la j-esima colonna di B

A(m,n) =(ai,j) B(n,p)=(bj,k) P(m,p) = (pi,k)pi,k = ai,1b1k + ai,2b2,k+….ai,nbn,k

A deve avere il numero delle colonne uguale al numero delle righe di B P ha il numero di righe di A e il numero di colonne di B

ESEMPIO PRODOTTOESEMPIO PRODOTTO

1,1

1,2

1,3

1,4

2,1

2,2

2,3

2,4

2 5 1 31 4 2

7 2 3 03 0 6

0 1 4 9

1 2 4 7 2 0 26

1 5 4 ( 2) 2 1 11

1 1 4 ( 3) 2 4 5

1 3 4 0 2 9 15

3 2 0 7 6 0 6

3 5 0 ( 2) 6 1 21

3 1 0 ( 3) 6 4 27

3 3 0

A B

p

p

p

p

p

p

p

p

0 6 9 63

26 11 5 15

6 21 27 63P

PRODOTTO…PRODOTTO…PROP. ASSOCIATIVA E PROP. ASSOCIATIVA E

DISTRIBUTIVADISTRIBUTIVA1 2 2 7 2 1

0 3 5 1 1 0

1 2 3 2 15 12*( * ) *

0 3 9 5 27 15

12 9 2 1 15 12( * )* *

15 3 1 0 27 15

1 2 0 6 12 8*( ) *

0 3 6 1 18 3

12 9* *

15 3

A B C

A B C

A B C

A B C

A B A C

0 1 12 8*

3 0 18 3

PRODOTTO…PRODOTTO…PROP. ESISTENZA ELEMENTO PROP. ESISTENZA ELEMENTO

NEUTRONEUTRO3 1 4

2 5 7

6 0 8

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3 1 4

2 5 7

6 0 8

3 1 4

2 5 7

6 0 8

A

I

AI

IA

SOLO PER MATRICI QUADRATE

PRODOTTO…PRODOTTO…PROP. ESISTENZA MATRICE PROP. ESISTENZA MATRICE

INVERSAINVERSA PRIMO CASOPRIMO CASO SECONDO CASOSECONDO CASO

1

1 1

2 1 4

1 0 1

2 1 1

1 5 1

1 6 2

1 4 1

1 0 0

* 0 1 0

0 0 1

A

A

A A A A

1

1 1

2 3

4 6

1 0

0 1

A

A non esiste

AA A A

SOLO PER MATRICI QUADRATE

PRODOTTO … PRODOTTO … PROP. COMMUTATIVAPROP. COMMUTATIVA

Date 2 matrici A e B per cui si può Date 2 matrici A e B per cui si può calcolare P1=A*Bcalcolare P1=A*B, ,

Non sempre si può calcolare P2=B*ANon sempre si può calcolare P2=B*A Esempio A(2,3) B(3,4)Esempio A(2,3) B(3,4)

Se si può calcolare, P1 e P2 potrebbero Se si può calcolare, P1 e P2 potrebbero avere dimensioni diverseavere dimensioni diverse Esempio A(2,3) B(3,2) Esempio A(2,3) B(3,2) P1(2,2) P2(3,3) P1(2,2) P2(3,3)

Se si può calcolare, P1 e P2 potrebbero Se si può calcolare, P1 e P2 potrebbero avere stessa dimensione ma valori differentiavere stessa dimensione ma valori differenti Esempio ………………. Esempio ……………….

ESEMPIOESEMPIO

PRIMO CASOPRIMO CASO SECONDO CASOSECONDO CASO

1 6

2 1

5 3

3 4

13 27

13 2

11 27

5 22

A

B

AB

BA

2 3

1 2

5 6

2 5

4 3

1 4

4 3

1 4

A

B

AB

BA

PRODOTTO…PRODOTTO…LEGGE LEGGE

DELL’ANNULLAMENTODELL’ANNULLAMENTO Date due matrici Date due matrici

non nulle è non nulle è possibile che possibile che A*B=OA*B=O1 1

1 1

1 1

1 1

0 0

0 0

A

B

A

Dati due numeri Dati due numeri vale sempre vale sempre

n*m=0 n*m=0 n=0 n=0 m=0m=0

PRODOTTO…PRODOTTO…LEGGE DELLA LEGGE DELLA

CANCELLAZIONECANCELLAZIONE Date tre matrici è Date tre matrici è

possibile che possibile che A*B=A*C anche se A*B=A*C anche se BBCC1 1

1 1

1 1

1 1

3 2

3 2

0 0

0 0

A

B

C

AB AC

Dati due numeri Dati due numeri vale sempre vale sempre

n*m=n*p n*m=n*p m=p m=p

DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI MONOIDEMONOIDE

L’insieme L’insieme RR(nxn)(nxn) delle matrici quadrate di dimensioni nxndelle matrici quadrate di dimensioni nxndotato dell’operazione prodottodotato dell’operazione prodotto è un monoide non commutativoè un monoide non commutativoin quanto vengono rispettate le seguenti condizioni:G1) – proprietà associativaG2) – esistenza dell'elemento neutro

L’ANELLO DELLE L’ANELLO DELLE MATRICI QUDRATEMATRICI QUDRATE

La struttura (La struttura (RR(nxn)(nxn) ,+, * ) ,+, * )delle matrici quadrate di dimensioni nxndelle matrici quadrate di dimensioni nxndotata delle operazioni somma e prodottodotata delle operazioni somma e prodotto è un anello unitario non commutativoè un anello unitario non commutativoin quanto vengono rispettate le seguenti condizioni:G1) – ((R(nxn)R(nxn) ,+) è un gruppo commutativo ,+) è un gruppo commutativoG2) – ((R(nxn)R(nxn) ,* ) è un monoide non commutativo ,* ) è un monoide non commutativoG3) – il prodotto è distributivo rispetto alla somma il prodotto è distributivo rispetto alla somma

PER DIVENTARE UN PER DIVENTARE UN CORPO…CORPO…

MATRICIMATRICI

2 11

3 9

det( ) 2*9 3*11

det( ) 15

det( ) 0

A

A

A

A

MATRICI MATRICI SINGOLARISINGOLARI

2 7

4 14

det( ) 2*14 4*7

det( ) 0

A

A

A

SOLO MATRICI QUADRATE NON SINGOLARI

DETERMINANTEDETERMINANTE

Per le matrici det(A)=aPer le matrici det(A)=a1,11,1 *a *a2,12,1 – a – a1,2 1,2

*a*a2,12,1

Per le matrici A(n,n) esiste la regola di LaplacePer le matrici A(n,n) esiste la regola di Laplace

Si definisce determinante di una matrice quadrata A(n,n)

avente come elementi dei numeri realiun numero reale indicato con det(A)

1,1 1,2

2,1 2,2

(2, 2)a a

Aa a

COMPLEMENTO COMPLEMENTO ALGEBRICOALGEBRICO

Esempio:Esempio:

Si definisce complemento algebrico di un elemento ar,s

di una matrice quadrata A(n,n)il determinante della matrice

ottenuta sopprimendo alla matrice A la r-sima riga e la s-sima colonna

preceduto da segno + se r+s è pari, dal segno – se r+s è dispari

1,1 1,2 2,1

6 1(2,2)

5 8

8 5 1 2 6

A

A A A A

MATRICE INVERSAMATRICE INVERSA

c

*

*-1

2 3matrice

1 4

determinante 2*4 1*3 5 0

4 1matrice dei complementi algebrici A

3 2

4 3matrice aggiunta [trasposta dei complementi algebrici]

1 2

44 31

matrice inversa A1 2det( ) 5

A

A

A

A

A

3

5 51 2

5 5

MATRICI QUADRATE MATRICI QUADRATE NON SINGOLARINON SINGOLARI

La struttura (La struttura (R(nxn)R(nxn) ,+, * ) ,+, * )delle matrici quadrate non singolari di delle matrici quadrate non singolari di dimensioni nxndimensioni nxndotata delle operazioni somma e dotata delle operazioni somma e prodottoprodotto è un corpoè un corpoin quanto vengono rispettate le seguenti condizioni:G1) – ((R(nxn)R(nxn) ,+) è un gruppo commutativo ,+) è un gruppo commutativoG2) – ((R(nxn)R(nxn) ,* ) è un gruppo ,* ) è un gruppoG3) – il prodotto è distributivo rispetto alla il prodotto è distributivo rispetto alla sommasomma