Post on 21-Mar-2021
MECCANICA TEORICA E APPLICATA
RICHIAMI SULLE UNITÀ DI MISURA
E
ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO
Bruno Zappa
Meccanica Teorica e Applicata
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Sistema Internazionale di unità di misura (S.I.)
Il Sistema Internazionale di unità di misura (S.I.) è stato
introdotto nel 1961 dalla XI Conferenza Generale dei Pesi
e Misure.
Il S.I. è stato legalmente adottato in Italia nel 1982.
Il S.I. distingue per convenzione due tipi di grandezze:
a. grandezze fondamentali (base quantities), le loro unità
di misura sono dimensionalmente indipendenti;
b. grandezze derivate (derived quantities), le loro unità di
misura sono definite da relazioni che le collegano alle
unità fondamentali.
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Completo: tutte le grandezze fisiche considerate si possono ricavare dalle grandezze fondamentali tramite relazioni analitiche.
Coerente: le relazioni analitiche che definiscono le unità delle grandezze derivate non contengono fattori di proporzionalità diversi da 1.
Decimale: multipli e sottomultipli delle unità di misura sono potenze di 10(tranne la misura di tempo).
… il Sistema internazionale è:
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Le 7 grandezze fondamentali del Sistema Internazionale
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Definizioni delle grandezze fondamentali
Il secondo è la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione emessa dall'atomo
di Cesio 133 (1967)
Il metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo di
1/299.792.458 di secondo (1983)
Il kilogrammo è la massa del prototipo internazionale conservato a Sevres,
Francia (1901)
Il kelvin è la frazione 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua
(1967)
L' ampere è la corrente che, se mantenuta in due conduttori paralleli indefinitamente lunghi
e di sezione trascurabile posti a distanza di un metro nel vuoto, determina tra questi due
conduttori una forza uguale a 2x10-7 newton per metro di lunghezza (1948)
La mole è la quantità di sostanza che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi
in 0.012 kg di Carbonio 12. Quando si usa la mole, deve essere specificata la natura delle
entità elementari, che possono essere atomi, molecole, ioni, elettroni, altre particelle o
gruppi specificati di tali particelle (1983). Il numero di entità elementari che costituiscono 1 mole è detto Numero di Avogadro; il suo valore
approssimato è NA= 6.022x1023
La candela è l'intensità luminosa, in un'assegnata direzione, di una sorgente che emette una
radiazione monocromatica di frequenza 540x1012 Hz e la cui intensità energetica in tale
direzione è 1/683 W al steroradiante (1979)
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Grandezze derivate espresse nelle unità fondamentali
…
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Grandezze derivate con nomi specifici
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… grandezze derivate
…
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Conversione tra gradi e radianti
a=1rad
l=r
r
Radiante: angolo al centro che sottende
un arco di lunghezza pari la raggioc
360° ↔2𝜋𝑟
𝑟rad = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
Esempio:
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Velocità angolare
Velocità angolare (di rotazione):
è la variazione di un angolo nel tempo.
In ambito tecnico, spesso viene
espressa in giri/min o rpm (revolutions
per minute) ed è indicata col simbolo n
n
Esempio: assegnata la velocità angolare in giri al minuto trasformarla in rad/s
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SCALARI E VETTORI
Grandezza scalare: è completamente definita dal valore che ne
rappresenta la misura.
massa
lunghezza
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… SCALARI E VETTORIIn alcuni casi per definire completamente una grandezza fisica (es velocità,
accelerazione, forza) oltre al suo valore sono necessarie anche altre informazioni:
una direzione e un verso.
Grandezza vettoriale: è definita dal suo valore numerico (modulo o intensità) e dalla sua
direzione e verso.
A
B direzione
verso
Un vettore è rappresentato graficamente da un segmento orientato. Modulo: la misura della lunghezza del segmento AB rispetto a un’unità
prefissata. Direzione la direzione della retta a cui appartiene il segmento; Verso: specifica il senso di percorrenza (es da A a B), è indicato dalla freccia
lunghezza
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VETTORI LIBERIUn vettore libero (non applicato ad un punto) è l’insieme di tutti i segmenti orientati
equipollenti a un segmento orientato.
Due segmenti orientati AB e CD sono equipollenti se hanno: stessa lunghezza (congruenti); stessa direzione (appartengono a rette parallele); stesso verso.
A
B
C
D
b
a
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VETTORI APPLICATI
Un vettore applicato ad un punto P è un particolare rappresentante del vettore.
Il vettore applicato è definito univocamente dal vettore e dal punto di
applicazione
b
a
a
b
P1
P2
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Simboli per indicare un vettore
a
A
B
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Direzione di un vettore nel pianoConsideriamo un vettore a giacente in un piano.
Fissiamo una retta orientata di riferimento (x):
la direzione del vettore è individuata dall’angolo θ che il vettore forma con la retta orientata di riferimento. Un vettore b con verso opposto formerà un angolo di θ +π
a
b
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Somma di vettoriDati due vettori a e b, il vettore somma s è definito da:
s = a + b = b + a
In modo più semplice:
Si sceglie un punto di applicazione O
Si riporta il vettore a (oppure b)
Si riporta il secondo consecutivo al
al primo
Il vettore s è il terzo lato del triangolo
(verso da O all’estremo di a).
a
b
s
a
b
s
Si sceglie un punto di applicazione O
Si riportano i vettori a e b
Il vettore somma s è la diagonale del
parallelogramma individuato dai due
vettori (regola del parallelogramma).
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EsempioDati i vettori:
a |a| = 10u, θa = 30°
b |b| = 6u , θb = 90°
Trovare il vettore somma s=a+b
ab
x
ba
s
a
bs
b
a
s
O
O O
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Somma di più vettoriDati n vettori a1, a2, … an , la loro somma:
s = a1 + a2 + … + an
Si sceglie un punto di applicazione O
Si riportano i vettori ai consecutivi in
modo da ottenere una poligonale
Il vettore somma s è il lato che
congiunge O con l’ultimo estremo della
poligonale
Se la poligonale si chiude, la somma è nulla.
a1
a3
a2
a4
s
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EsempioDati i vettori:
a |a| = 10u, θa = 30°
b |b| = 6u , θb = 90°
c |c| = 6u , θc = 180°
Trovare il vettore somma s=a+b+c
ab
x
a
b
s
c c
O
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Differenza di vettoriDati due vettori a e b, si definisce differenza tra i due vettori il vettore d che
aggiunto a b riproduce a:
d = a − b
Definiamo l’opposto di b il vettore −b(stesso modulo e direzione, verso opposto)
Quindi:
d = a − b = a + (−b)
Scelto un punto O, si riportano i vettori a e b
Il vettore d chiude il triangolo puntando sull’estremo di a.
ab
a
-b
dO
O
ab
d
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Esempio
Dato il vettore somma s = a + b e il vettore a, trovare il vettore b
s |s| = 13u, θs = 60°
a |a| = 8u , θa = 90°
a s
x
O
O
s -a
s
a
b
b
b = s -a = s + (-a)
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Scomposizione di un vettore secondo due direzioni assegnate
In generale, dati un vettore v e due direzioni r e s, il vettore può
essere scomposto in due vettori che hanno direzioni r e s e per
somma v
v
O
r
C
A
B
s
ab
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Esempio
Dato il vettore somma s = a + b e le direzioni di a e b
s |s| = 10u, θs = 90°
θa = 0° θb = 60°
dir(a)
s
x
s
s
dir(a)
a
a
b
b
dir(a)
O
C
O
C
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Proiezione ortogonale di un vettore
Dato un vettore a=(B−A ) ed una retta r , si dice vettore proiezione
ortogonale di a su r il vettore a’ = (B’ − A’).
B’ e A’ le proiezioni ortogonali dei punti B e A su r
Operativamente:
si conducono dagli estremi B, A i piani
π, π’ perpendicolari alla retta r.
Si trovano le intersezioni B’ e A’
Il segmento (B’−A’) definisce il vettore
proiezione ortogonale su r.
A
B
A’ B’a’
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Componente di un vettore
Consideriamo la retta r orientata.
La componente del vettore a secondo r è il
modulo del vettore a’ = (B’−A’), preso col
segno positivo se concorde con la direzione
di r , negativo se discorde.
A’B’ ≡ ar = |a| cos(a),
dove a è l’angolo formato dal vettore con r.
Esempio:
A
B
A’ B’
a
r
a
|a| = 10u θ = 120°
a
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Versore
A
B
A’ B’
a
ur
Un versore è un vettore di modulo unitario
Il versore associato al vettore a lo indichiamo
con vers(a) oppure ua.
Se ur è il versore con direzione e verso di r,
possiamo esprime il vettore proiezione
come:
𝑣𝑒𝑟𝑠( Ԧ𝑎) =Ԧ𝑎
Ԧ𝑎
Ԧ𝑎′ = 𝑎𝑟 𝑢𝑟
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Componenti cartesiane (nel piano)Dato il piano cartesiano Oxy consideriamo un vettore a. Indichiamo con i il
versore dell’asse x e con j il versore dell’asse y.
Possiamo esprimere il vettore a come somma delle proiezioni ortogonali sugli
assi cartesiani
x
y
O i
j
A
B
a
A’ B’
ay
ax
A’’
B’’
θ
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Esercizi
Dato il vettore aa |a| = 10, θa = 60°
Trovare le sue componenti cartesiane
Dato il vettore b = (-3, 4); rappresentare il vettore nel piano, calcolare il
modulo e l’angolo formato con l’orizzontale.
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Vettori e coordinate cartesiane
x
y
x
z
O
yi
j
k
O
i
j
P (xP, yP, zP)
P (xP, yP)
p
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Somma e differenza
Le componenti cartesiane della somma/differenza sono uguali alla somma/differenza delle componenti dei vettori
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Dati i vettori:a |a| = 10u, θa = 30°
b |b| = 6u , θb = 90°
Trovare il vettore somma s = a + b
Trovare il vettore differenza d = a - b
Esercizi
Dato il vettore somma s = a + b e il vettore a
s |s|= 13u, θs = 60°
a |a| = 8u , θa = 90°
Trovare il vettore b
Dati i vettori:a |a| = 5u, θa = 30°
b |b| = 10u , θb = 135°
c |c| = 4u , θc = 90°
Trovare il vettore somma s = a + b + c
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Prodotto di un vettore per uno scalare
Dato un vettore a e un numero reale l
il prodotto l per a è un vettore
direzione: stessa di a,
modulo: uguale al prodotto del valore assoluto di l per il modulo di a
verso: di a se l>0 , opposto se l<0
a 0.5 a -1 a
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Prodotto scalare
aa
b
Il prodotto scalare di due vettori a e b è uno scalare:
Ԧ𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ Ԧ𝑎 = Ԧ𝑎 𝑏 cos(a)
L’angolo a tra i due vettori determina il segno del prodotto:
è massimo quando i vettori sono allineati, nullo quando sono ortogonali,
minimo quando sono opposti
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Esercizio
a
b
x
y
Dati i vettori:a |a| = 10u, θa = 45°
b |b| = 6u , θb = -90°
Calcolare il prodotto scalare:
Ԧ𝑎 ∙ 𝑏
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Esercizio
a
r
x
y
Dato il vettore:a = (5, 10)
E la retta orientata r (angolo di 30°)
Calcolare la componete di a su r
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Prodotto vettoriale
a
b
c = a x b
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… Prodotto vettoriale
a
b
x
z
O
y
i
jk
Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 × 𝑏
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Esempi
a
b
x
y
Dati i vettori:a |a| = 10u , θa = 180°
b |b| = 6u , θb = 45°
Calcolare il prodotto vettoriale:
Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 × 𝑏