Temi d'esame Fondamenti di meccanica teorica e applicata

Fondamenti di Meccanica

Seconda prova in itinere - 06 febbraio 2004 Es. 1) Il sistema articolato riportato in figura 1, disposto nel piano verticale, è risolto, dal punto di vista cinematico, con l’equazione di chiusura riportata in figura 2.

e

B

O

A

C

J

b ca

dD

E

DG

FB

O

A

M C

D

Cm

Fig. 1 Fig. 2 Ipotizzando che il baricentro del corsoio coincida con il punto C, determinare:

1. La coppia Cm applicata alla manovella per garantire la condizione assegnata di moto, in assenza di attrito radente tra corsoio e telaio;

2. La coppia Cm applicata alla manovella per garantire la condizione assegnata di moto, in presenza di attrito radente tra corsoio e telaio;

3. Le reazioni vincolari nella cerniera A nella condizione dinamica del punto 2.

a = 32 m D =

3S 1 D rad/s 5.0 D rad/s2

b = 2.0 m E = 0 rad/s rad/s56.0 E 44.0 E 2

c = 0.5 m J = S47 m/s m/s0.1 d 96.1 d 2

d = 0.5 m G = 4S

e = 2.4 m M = 10 kg F = 100 N fd = 0.3

Es. 2)

d Lc

A

Hc G

L

a

Hv h Rc, Jrc

Rv, Jrv

Mc Mv v

G

Un'autovettura procede con velocità ed accelerazione note trainando un carrello. Si chiede di determinare, in presenza di attrito volvente e di resistenza aerodinamica agente sulla vettura e sul carrello: 1. il momento motore Mm a regime; 2. l'accelerazione della vettura nel caso in cui la coppia erogata dal motore sia tre volte quella

calcolata al punto precedente; 3. le reazioni vincolari in A nella condizione di moto del punto 2. 4. eseguire la verifica di aderenza nella condizione di moto del punto 2, sapendo che la trazione è

posteriore. Dati inerziali: Mv = 1040 kg Jrc = 0.05 kg m2 (per ruota)

Mc = 250 kg Jrv = 0.08 kg m2 (per ruota) Jm = 0.28 kg m2

Dati geometrici: a = 1.15 m Hv = 0.55 m Hc = 0.3 m

L = 2.35 m h = 0.35 m Lc = 1.5 m Rv = 0.25 m Rc = 0.25 m d = 0.5 m considerare la distanza orizzontale del baricentro del carrello dal punto di

traino A uguale ad Lc = 1.5 m

Dati aerodinamici: Crv = 0.38 Crc = 0.2 U = 1.25 kg/m3 Sv = 1.65 m2 Sc = 0.6 m2

considerare il centro delle pressioni del veicolo e del carrello alla stessa quota dei rispettivi baricentri

Dati generali: fv = 0.013 Wp = 0.2193 Wc = 1.27 fa = 1.3 Kp = 0.9 Kc = 0.97

v = 25 m/s

ĲP, ȘP Jm

Ruote motrici

ĲC, ȘC

Differenziale

Cambio

Motore

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O. II prova in itinere del 02/02/2005.

ESERCIZIO Del sistema rappresentato in figura sono note geometria, masse e curva caratteristica del motore.

M T

10D q

JmJ1, R1

J2, R2, m2

J3, R3, m3

A

B

C

D

E F

H

Cr

v,a

, ,r dK K W

Cm

mZmsZ

Cm0

45q

fv, fa

Dati: m3=30 kg R3=0.5 m J3=4.125 kgm2

J1=J2=1 kgm2 R1=R2=0.3 m m2=10 kg D =10° Cr=50 Nm Jm=2 kgm2

dK = rK =0.9 W =1/3 fv=0.02 fa=0.5 Cm0=34 Nm

msZ =200 rad/s Determinare: 1. coppia motrice a regime con il disco 3 in discesa (verso di a, v assegnati) 2. velocità angolare del motore a regime 3. accelerazione allo spunto del disco 3 in discesa 4. tiri nelle funi nei rami AB e CD nelle condizioni di moto del punto 3 5. reazioni vincolari delle cerniere in E e F nelle condizioni di moto del punto 3 6. verifica di aderenza in H nelle condizioni di moto del punto 3

Cognome, nome, matricola e firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O.

II prova in itinere del 2 febbraio 2005.

Meccanica Razionale: domanda di teoria

Si enunci l’equazione simbolica della statica e si ricavi a partire da essa l’espres-sione delle Qk (componenti della sollecitazione attiva secondo le coordinate libere qk)per un sistema olonomo.



II prova in itinere del 2 febbraio 2005.

Meccanica Razionale: esercizio

Il sistema di figura e posto in un piano

PSfrag replacements

O

A

B

!

"

C1

m, l

m, l

m, l

verticale. L’asta OA e incernierata a terranell’estremo O. L’asta AB e collegata allaprima asta con una cerniera mobile nell’e-stremo A. Entrambe le aste hanno massam e lunghezza l. Sull’asta OA agisce unacoppia di momento C1.

1. Si scrivano le equazioni di Lagrangeper il sistema.

2. Si determini la coppia C1 (funzione del tempo) in modo che le velocita angolaridelle aste ! e " siano costanti nel tempo e con ! = 2".

3. In tale situazione determinare la velocita angolare ! dell’asta OA.

Fondamenti di meccanica teorica ed applicata

Prova in itinere 16/02/2005

Dell’autoveicolo di figura sono note dimensioni geometriche e caratteristiche inerziali:

1 1 mp distanza del baricentro dall’asse anteriore del veicolo; 2 1.5 mp distanza del baricentro dall’asse posteriore del veicolo;

h 0.6 m altezza del baricentro rispetto al suolo; H 0.8 m altezza rispetto al suolo del centro delle pressioni; R 0.25 m raggio di rotolamento delle ruote; M = 800 kg massa veicolo; JR= 0.5 kgm2 momento d’inerzia di una singola ruota; S = 2 m2 sezione maestra del veicolo;

0.40XC coefficiente di resistenza aerodinamica;

p1 p2

h

G H R

JR

M

Į = 10°

v

P1

P2

JR

H

h

Į=10°

M, G

R

Sono inoltre noti i dati relativi alla linea di trasmissione: Jm=0.2 kgm2 momento d’inerzia masse rotanti lato motore; Ĳp = 0.5 rapporto al ponte; Șp = 0.85 rendimento del differenziale;

(C C marcia)W W = 0.8 rapporto di trasmissione degli ingranaggi del cambio; (C C marcia)K K = 0.95 rendimento della trasmissione;

Sez. A-A CambioĲC, ȘC Differenziale Jm ĲP, ȘP

Motore Ruote motrici

Si chiede di determinare: 1) coppia motrice Cm a regime per garantire una velocità v = 30 [m/s]; 2) accelerazione a con Cm’= 2*Cm di regime (punto 1) alla stessa velocità v di avanzamento; 3) verificare l’aderenza del punto 2; 4) coppia all’albero in corrispondenza della sezione A-A; 5) accelerazione a con Cm’’= - C * (sempre alla medesima v);

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno Recupero I del 16 febbraio 2005

ESERCIZIO Del sistema articolato, posto nel piano verticale, rappresentato in figura sono completamente note le caratteristiche geometriche ed inerziali

/ 6D S

JD, R, M

P

H

CmZ

fv, fa

/ 4S

3L

JA, L, m

RO

A

B

Cr

Dati: L=0.2 m R=0.1 m P=400 N

fv=0.01 fa=0.5 M=10 kg JD=0.05 kgm2 m=2 kg JA=0.1 kgm2 Cr=10 Nm Considerando la velocità angolare della asta OA costante e D=S determinare:

1. La velocità e l’accelerazione del punto B 2. Velocità ed accelerazione angolare del disco di centro B 3. La coppia motrice in assenza di attrito 4. Reazioni vincolari in O



Recupero della I prova in itinere del 16 febbraio 2005.

Meccanica Razionale: domanda di teoria

Definire il momento d’inerzia e il momento delle quantita di moto per un sistemameccanico. Ricavare l’espressione del momento delle quantita di moto per un atto dimoto rigido piano.



Recupero della I prova in itinere del 16 febbraio 2005.

Meccanica Razionale: esercizio

Il sistema di figura giace in un piano ver-

PSfrag replacements

R

M, 2R

H

m2

m1

ticale ed e costituito da due punti materialidi masse rispettive m1 e m2 = 9

4m1 vincolati

a scorrere senza attrito in direzione vertica-le, da un disco di massa M = 2m1 e raggio2R che rotola senza strisciare su di un asseorizzontale, e da un disco di raggio R privodi massa concentrico al primo disco e saldato su di esso.

Un filo si avvolge senza strisciare intorno al primo disco, scorre senza attrito sudi un piolo fisso e reca all’estremo libero il punto materiale di massa m2. Un altrofilo si avvolge senza strisciare intorno al secondo disco, scorre senza attrito su di unpiolo fisso e reca all’estremo libero il punto materiale di massa m1. I tratti liberi deifili sono tutti orizzontali o verticali.1. Determinare l’accelerazione angolare dei dischi.2. Determinare le tensioni nei fili e le reazioni vincolari nel punto H di contatto delprimo disco con l’asse di appoggio.

Allievi MECC. II Anno N.O.

Corso di Fondamenti di Meccanica

Meccanica Razionale

Appello del 5 luglio 2005

Domanda di teoria:

Definire l’equazione simbolica della dinamica, spiegandone il significato. Ricavare,illustrando i passaggi, l’espressione della componente generalizzata dell’oppposto delleforze d’inerzia (!n) in funzione dell’energia cinetica per un sistema olonomo.

Esercizio.

In un piano verticale un disco di

PSfrag replacements

A

C

M, RB Dm, l

!

massa M e raggio R ha il proprio cen-tro A vincolato a scorrere senza attritolungo una guida orizzontale. Un’astadi massa m e lunghezza l e vincolataa cerniera sulla circonferenza nel suoestremo B. L’altro estremo D dell’a-sta e vincolato mediante un pattino ascorrere senza attrito lungo una guida verticale. L’asta si mantiene sempre orizzontalein virtu del pattino D.

Usando come coordinata libera l’angolo " di rotazione del disco:1. Determinare la velocita dell’asta e del centro A.2. Scrivere l’energia cinetica del sistema.3. Scrivere la quantita di moto del sistema.4. Determinare la coppia C in modo da mantenere

."= costante.

5. Nella situazione del punto 4 (." costante), determinare la reazione vincolare

esterna in A.

Esercizio n° 2 L’impianto di sollevamento rappresentato in figura è costituito da un motore con volano (momento di inerzia Jm), da due trasmissioni in serie, di cui la seconda del tipo vite senza fine – ruota elicoidale, da una puleggia di raggio R su cui si avvolge una fune, supposte inestensibile, priva di massa e perfettamente aderente alla puleggia, da un contrappeso di massa m e da una pressa di massa M.

Si chiede di determinare:

1. la coppia che il motore deve applicare per sollevare la pressa a regime; 2. l’accelerazione della pressa nel caso in cui il motore applichi una coppia doppia rispetto a quella calcolata al

punto precedente; 3. il tiro della fune nel ramo BC, nelle condizioni di moto del punto 2); 4. la coppia che il motore deve applicare affinchè la pressa scenda con velocità costante; 5. l’accelerazione della pressa nel caso in cui la coppia del motore sia nulla; 6. facoltativamente, la massima accelerazione con cui può scendere la pressa nella condizione limite in cui la

fune nel ramo BC va in bando (ossia quando il tiro nel ramo BC si annulla). Determinare inoltre la coppia che deve fornire il motore per garantire questa condizione di moto e il momento torcente agente nella sezione A-A.

Dati numerici: R = 1 m τ1 = 0.1 J = 200 kgm2 η1d = 0.9 Jm = 0.1 kgm2 η1r = 0.8 M = 1000 kg τ2 = 0.2 m = 200 kg η2d = 0.8 η2r = 0.7

M

J, R

m

τ1, η1d, η1r

τ2, η2d, η2r A

A

Jm

B

C



Meccanica Razionale


Domanda di teoria.

A partire dalla definizione di quantita di moto e di momento delle quantita di motoper un sistema di punti materiali, ricavare le formule di queste quantita per l’atto dimoto piano di un corpo rigido.

Esercizio.

Il sistema di figura e posto in

PSfrag replacements

A

C

B

m, l

C1C2

un piano verticale. L’asta AC epriva di massa mentre l’asta BC

e omogenea di massa m e lun-ghezza l. Gli estremi A e B del-le due aste scorrono senza attritolungo due guide rispettivamenteverticale ed orizzontale.

Determinare le coppie ester-ne C1(t) e C2(t) da applicare sul-le due aste in modo che esse abbiano velocita angolari !1 e !2 costanti nel tempo.

Fondamenti di meccanica teorica ed applicata

Prova in itinere 19/07/2005

Della trattrice di figura sono note dimensioni geometriche e caratteristiche inerziali:

p = 2 m distanza del baricentro dall’asse

posteriore del veicolo;

Jm= 0.1 kgm2

momento d’inerzia del motore

(asse longitudinale);

a = 1.5 m distanza del baricentro dall’asse

anteriore del veicolo;

Jp= 2.5 kgm2

momento d’inerzia singola ruota

posteriore;

H = 1 m altezza del baricentro rispetto al

suolo;

Ja=0.5 kgm2

momento d’inerzia singola ruota

anteriore;

h = 0.5 m altezza del gancio di traino rispetto

all’asse posteriore;

c,d = p,d = 0.95 rendimento diretto del cambio e

del ponte;

Rp = 1 m raggio di rotolamento delle ruote

posteriori;

c,r = p,r = 0.9 rendimento retrogrado del

cambio e del ponte;

Ra = 0.5 m raggio di rotolamento delle ruote

anteriori;

c = 0.3 rapporto di trasmissione del

cambio;

M = 7000 kg massa veicolo; p = 0.1 rapporto di trasmissione del

ponte;

F = 5000 N forza trainata -min = 500 giri/min regime minimo del motore;

fv = 0.02 coeff. di attrito volvente; -max = 2000 giri/min regime massimo del motore;

fa = 0.9 coeff. di aderenza; = 10° inclinazione della strada


1) coppia motrice Cm a regime in salita;

2) accelerazione del trattore con coppia motrice pari a 1,5 volte quella del punto 1;

3) verifica di aderenza della condizione di moto del punto 2;

4) verifica di ribaltamento della condizione di moto del punto 2;

5) coppia frenante da applicare a tutte e 4 le ruote per avere una decelerazione del trattore pari a -3 m/s2,

imponendo Cm = -200 Nm e F = 0 N;

6) velocità di avanzamento del trattore minima e massima, conoscendo il campo di funzionamento del motore.



Meccanica Razionale

Appello del 21 settembre 2005

Domanda di teoria.

Ricavare per il moto piano del corpo rigido l’espressione dell’energia cinetica in funzio-ne della velocita angolare e della velocita del baricentro, e l’espressione della potenzadelle forze in funzione della risultante e del momento risultante. Enunciare quindi ilteorema dell’energia cinetica per un corpo rigido.

Esercizio.

Il sistema di figura e po-

PSfrag replacements

O M,RC

r

A

G m, rH

!

sto in un piano verticale. Ildisco di centro G, massa me raggio r rotola senza stri-sciare sul profilo inclinatodi un angolo !. Un filo ine-stendibile di massa trascu-rabile e attaccato in G, siappoggia senza attrito sul-la carrucola A e si avvolgesenza strisciare sul disco O di massa M e raggio R. Un profilo circolare di raggio rprivo di massa e saldato sul disco O e concentrico con esso. Detto profilo circolarerotola senza strisciare su una guida orizzontale.

Il centro G del disco di massa m ha inizialmente una velocita V0. Calcolare il valoredella coppia C da applicare sul disco O a!nche il centro G si muova con velocitacostante V0. In tali circostanze calcolare le reazioni vincolari in H e la tensione nelfilo.

Esercizio n° 2 L’impianto di sollevamento rappresentato in figura è costituito da un motore con volano (momento di inerzia Jm), da una trasmissione del tipo vite senza fine – ruota elicoidale, da una puleggia di raggio RP su cui si avvolge una fune, supposta inestensibile, priva di massa e perfettamente aderente alla puleggia, da un contrappeso di massa m che striscia lungo un piano inclinato, e da un carrello di massa M che porta un carico di massa Mc.


1. la coppia che il motore deve applicare per sollevare il carrello a regime; 2. l’accelerazione del carrello nel caso in cui il motore applichi una coppia il 50% superiore a

quella calcolata al punto precedente; 3. il tiro della fune nei due rami AB e CD, nelle condizioni di moto del punto 2; 4. la coppia che il motore deve applicare per sollevare il carrello a regime, nel caso in cui il

carrello sia privo di carico Mc; 5. la massima coppia che il motore deve applicare affinché la fune nel tratto CD rimanga

sempre in tensione, una volta che il sistema è stato avviato. In questa condizione di moto, verificare che il carico Mc non cada dal carrello.

Dati numerici: RP = 0.5 m = 0.1JP = 10 kgm2 d = 0.8Jm = 0.02 kgm2 r = 0.6JR = 0.05 kgm2 fs = 0.6 M = 200 kg fd = 0.5; Mc = 100 kg fv = 0.01; r = 0.1 m = 20 deg m = 120 kg = 60 deg

JP, RP

m

, d, r

A

Jm

BC

JR, r M

MC

D

fd

fv

fs

Corso di Fondamenti di Meccanica – Allievi MECC. II Anno N.O.

I Prova in itinere del 21/11/2005 ESERCIZIO 1 Il sistema rappresentato in figura, disposto nel piano verticale, è costituito da due dischi omogenei, incernierati a terra rispettivamente in O1 e O2, di raggio R e 2R e massa m1 e m2. Sui due dischi rotola senza strisciare un’asta omogenea AB di massa M e lunghezza L. Conoscendo la velocità angolare Z1=Dt del disco 1 in funzione del tempo:

1) determinare la velocità angolare Z2 del disco 2 in funzione del tempo; 2) calcolare il vettore accelerazione del baricentro dell’asta AB; 3) sapendo che la configurazione in figura rappresenta la condizione iniziale di moto (contatto

tra disco 2 e asta in corrispondenza dell’estremo B dell’asta) calcolare il tempo dopo il quale il punto A dell’asta coincide con il punto di contatto con il disco 1;

4) calcolare la coppia Cm in grado di garantire il moto; 5) nella configurazione di moto iniziale, calcolare le reazioni vincolari nei punti di contatto tra

asta e dischi.

A

O1 O2

m1, R

m2, 2R

B

d

Cm

Z1

Z2

M, L

ESERCIZIO 2

Il sistema articolato rappresentato in figura si muove nel piano verticale. Il solo disco (saldato all’asta OD) è dotato di massa.

Note la geometria del sistema (a=L, b=3L, x=2L e D , R) e la massa del disco M si chiede di:

1. Scrivere le relazioni tra le velocità angolari delle aste (determinare E in funzione di D , E ed D ).

2. Scrivere la potenza delle forze e coppie applicate al sistema.

3. Calcolare la coppia C (funzione di D ,E , D , E e E ) in modo che la velocità angolare dell’asta AB sia costante.

4. Determinare in funzione della posizione le reazioni vincolari agenti sull’asta AB (in A ed in B).

ȕ

, ,D D D

M,R

Ȗ c

b

x

a

O

A

B

D

C



II prova in itinere del 31 gennaio 2006

Esercizio di Meccanica Razionale

Un parallelogramma articolato ABCD

PSfrag replacements

A

B C

D

l

l, m

lM, R

C1

E k

!

C2

s

posto in un piano verticale e incernierato aterra in A e D (con A e D alla stessa quo-ta). Tutte le aste hanno pari lunghezza l,ma solo l’asta BC e pesante con massa m.La cerniera B e collegata ad una molla dicostante elastica k, il cui estremo E scorresu una guida verticale fissa e liscia passanteper A (la molla si mantiene sempre orizzon-tale). Sull’asta BC rotola senza strisciareun disco omogeneo di massa M e raggio R.

Sul disco e sull’asta CD agiscono duecoppie di momento rispettivamente C1 e C2.

1) Scrivere le equazioni di Lagrange peril sistema.

2) Nelle condizioni iniziali l’angolo ! di figura e nullo. Determinare C1(t) e C2(t)in modo che durante il moto la velocita angolare dell’asta AB sia costante e ches(t) = l

2(1 ! sin "t).

Esame di fondamenti di meccanica 31 gennaio 2006 AA 2005-06

Il veicolo in figura è mosso da un motore (momento di inerzia Jm) con asse longitudinale, che eroga una coppia Cm=Co(1-Zm/Zo), ed aziona le ruote posteriore mediante due trasmissioni in serie (vedi riquadro) aventi rapporto di trasmissione e rendimento rispettivamente W1,K1, e W2,K2. M1 ed M2 sono le masse del veicolo (baricentro G1) e della pala (baricentro G2), incernierata al corpo centrale in O, posto a sua volta sulla verticale rispetto all’asse delle ruote anteriori, e alla stessa altezza del baricentro G1. J1 e J2 sono i momenti di inerzia di ciascuna ruota anteriore e posteriore rispetto al proprio asse di rotazione. F è una forza resistente nota applicata alla pala. Siano fv il coefficiente di attrito volvente delle ruote sul terreno, fa il coefficiente di attrito di aderenza ruota-terreno e fd il coefficiente di attrito radente tra pala e terreno. Si consideri dapprima la cerniera in O bloccata (ossia agente come un incastro), e la pala non a contatto con il terreno, ma con la forza F applicata. In tale configurazione ricavare:

1) l’espressione dell’accelerazione a del veicolo allo spunto; 2) la coppia motrice necessaria a regime; 3) la corrispondente velocità V del veicolo a regime 4) nella condizione del punto 1 ), effettuare la verifica di aderenza alle ruote posteriori;

Si consideri ora la condizione in cui la cerniera in O è sbloccata (agisce quindi come cerniera effettiva) con la pala a contatto con il terreno (coefficiente fd agente) nel punto A. In tale configurazione calcolare:

5) la coppia richiesta a regime 6) le reazioni vincolari nella cerniera O

RP = 0.6 m Ra = 0.3 m M1 = 2500 kg M2 = 500 kg JP = 9 kgm2 Ja = 1 kgm2 Jm = 0.05 kgm2W1 1/6 W2 1/2 K1 = 0.9 K2 = 0.9 fd = 0.3 fv = 0.01 fs = 0.6 L = 3.5 m L1 = 1.5 m L2 = 2 m L3 = 0.4 m h0 = 1 m h1 = 0.3 m F = 1000 N C0 = 100 Nm Z0 = 476 rad/s

Rp Ra

V,a

F ho

G1 O

fv, fa fv, fa

M1

J1

J2

L1

L L2

Jm

W1, K1 W2, K2 Jm

G2

fd

M2

L3

A

h

Fondamenti di Meccanica Prova Scritta 14/2/2006

ESERCIZIO 1

Il sistema meccanico in figura, posto nel piano verticale, è formato dalle aste AC e AB, prive di massa, dal corsoio di massa M vincolato a muoversi sulla guida orizzontale e dal disco di centro B che rotola senza strisciare sulla guida verticale. Il sistema è movimentato dalla coppia C che agisce sull’asta AC. Nota la geometria del sistema e l’angolo D si chiede di:

1. determinare la relazione analitica tra la velocità del punto A ed D 2. determinare la relazione analitica tra la velocità angolare del disco ed D 3. scrivere potenza delle forze e coppie applicate al sistema 4. calcolare la coppia C in modo tale che D =cost. 5. calcolare le reazioni vincolari in K

C

ESERCIZIO 2

In un piano verticale un filo è avvolto su una carrucola di massa m e raggio R incernierata a terra. Un estremo del filo è attaccato ad una lamina quadrata di massa M e lato L che scorre su una guida verticale fissa e liscia. L'altro estremo del filo si avvolge su una scanalatura circolare di raggio R/2 concentrica e saldata ad un disco di massa 2m e raggio 2R incernierato a terra nel suo centro. Un secondo filo si avvolge sulla periferia di questo secondo disco ed al suo estremo libero è applicata una forza verticale F costante.

1. Determinare il rapporto tra le velocità angolari dei dischi. 2. Determinare la velocità della lamina in funzione del tempo. 3. Calcolare durante il moto le reazioni vincolari agenti sulla lamina nei punti A e B

Corso di Fondamenti di Meccanica – Allievi MECC. II Anno N.O.

14/02/2006 ESERCIZIO 4

s

CM,R

m

2RFZ

In un piano verticale, un disco di massa M e raggio R rotola senza strisciare su una

guida orizzontale. Un’asta di lunghezza 2R e massa trascurabile è vincolata a cerniera

in un suo estremo al centro del disco e nell’altro estremo a un carrello che scorre

senza attrito sulla guida. Un anellino di massa m scorre senza attrito sull’asta.

Sul disco viene applicata una coppia di momento C(t) e sull’anellino una forza F(t)

parallela all’asta.

Si chiede di:

1. Scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema.

2. Il sistema viene fatto partire dando al disco una velocità angolare Ȧ0 e

all’anellino una velocità di scorrimento rispetto al centro del disco pari a

0s 0 =v . Determinare C(t) e F(t) in modo che il modo si mantenga con Ȧ(t)=

Ȧ0 e s(t)=v0·t.

3. Determinare le reazioni vincolari esterne.

Esercizio 1

D

B

R

O

F A

H

C

, ,M M M

m, r

30°

M

, costx x

AB = a BD = b

Il sistema rappresentato in figura giace nel piano verticale. Il disco di massa m e raggio r rotola senza strisciare su una guida ad arco di circonferenza avente raggio R. Determinare, in assenza di perdite per rotolamento tra disco e guida,

1. la velocità angolare del disco in funzione di x 2. l’accelerazione angolare del disco in funzione di x 3. la potenza della forze/coppie attive 4. la forza F che garantisce il moto 5. le reazioni vincolari in H

Determinare quindi, in presenza di perdite per rotolamento,

6. la forza F che garantisce il moto 7. e verificare l’aderenza tra disco e guida

Esercizio 2




Nel sistema di figura il carrello ha massa m

A

P

M, R

m

F(t)

e scorre senza attrito sulla guida orizzontale.Su di esso rotola senza strisciare un disco dimassa M e raggio R. Un filo inestendibile siavvolge senza strisciare sul disco e scorre senzaattrito su un piolo fisso P . All’estremo A delfilo viene applicata una forza verticale F(t).

1) Scegliere le coordinate libere ed esprime-re l’energia cinetica del sistema in funzione diesse.

2) Calcolare le componenti della sollecitazione attiva F(t) secondo le coordinatelibere.

3) Determinare la forza F(t) a!nche l’accelerazione del carrello abbia un valorecostante prefissato a.

Fondamenti di Meccanica Appello del 4 luglio 2006

Il sistema articolato rappresentato in figura, disposto nel piano verticale, è costituito da una

manovella OA priva di massa che ruota con velocità angolare costante, da un glifo AB (massa M e

momento d’inerzia baricentrico Jg) e da un corsoio incernierato a terra in O1 (momento d’inerzia

baricentrico Jc). Nell’istante considerato il glifo è orizzontale. Sapendo che il baricentro del corsoio

coincide con la cerniera O1, determinare, nell’istante considerato:

1) la velocità angolare del glifo;

2) la velocità del baricentro del glifo;

3) l’accelerazione angolare del glifo;

4) l’accelerazione del baricentro del glifo;

5) la potenza delle forze e coppie esterne applicate al sistema;

6) la coppia motrice applicata alla manovella, in assenza di attrito radente tra glifo e

corsoio, che garantisce il moto;

7) le reazioni vincolari nella cerniera O.

8) la coppia motrice applicata alla manovella, in presenza di attrito radente tra glifo e

corsoio, che garantisce il moto;

Dati geometrici:

OA = r

AG = 1.5 r

OO1 = 3 r

As

M, JgJc

Cr

60° 30°

B

O

O1

G

Cm

&



Meccanica Razionale

Appello dell’8 settembre 2006

Il sistema di figura e posto in un

m

M, R

Q

A

H

F

x

piano verticale. La lamina a formadi triangolo equilatero ha massa m escorre senza attrito su di una guidaorizzontale. Il disco di massa M e rag-gio R rotola senza strisciare lungo unlato della lamina.Un filo inestendibile e di massa tra-scurabile si avvolge senza strisciare suldisco. I due tratti liberi del filo HQe QA sono paralleli ai lati della lami-na; il piolo liscio Q e solidale con lalamina.Sull’estremo A del filo viene esercitatala forza F come in figura.

1. Scegliere le coordinate libere del sistema e scrivere l’espressione dell’energia cineticain funzione di esse.

2. Scrivere le componenti delle sollecitazioni attive secondo le coordinate libere.

3. Scrivere le equazioni di Lagrange del sistema.

4. Determinare F a!nche il disco salga con un’accelerazione angolare..

!0 costanteassegnata. In tale situazione determinare il moto della lamina.

Esame di fondamenti di meccanica

8 settembre 2006. AA 2005-06

Il sistema in figura, posto nel piano verticale, è costituito da un motore che, mediante un riduttore ad assi ortogonali, aziona un disco ed una leva considerati privi di massa e rigidamente connessi all’albero di uscita del riduttore. La leva muove a sua volta un corsoio di massa M e baricentro G, attraverso il punto D che si impegna in una guida rettilinea solidale con la leva. L’elemento di massa M è vincolato ad una guida rettilinea verticale mediante due carrelli nei punti A e B. Determinare, per un angolo generico T:

1) il legame, in termini di funzione, tra la velocità angolare Zm del motore e la velocità V del corsoio di baricentro G.

2) Il legame, in termini di funzione, l’accelerazione angolare del motore e l’accelerazione e la velocità del corsoio di baricentro G.

Si consideri ora il sistema nella posizione in figura (T= 30°) e nella condizione allo spunto; determinare, nota l’accelerazione a della massa M:

3) la coppia motrice Cm necessaria; 4) le corrispondenti reazioni vincolari in A e B.

Si consideri ora il sistema nella stessa posizione, ma con velocità V non nulla diretta verso l’alto e in presenza di attrito radente fd nei contatti con la guida in A e B:

5) calcolare le reazioni vincolari in A e B; 6) calcolare la coppia motrice Cm necessaria in questa nuova condizione.

A

B

b1 b2 b3 Jm Zm W, K

G

D

h/2 h h/2

T=30°

M

Motore Riduttore ad assi ortogonali

leva

,V a

Esame di fondamenti di meccanica 20 novembre 2006 AA 2006-07

Es1

Il sistema meccanico rappresentato in figura giace nel piano verticale ed è costituito da due corsoi e da un glifo privo di massa. Il primo corsoio è incernierato a terra, il secondo trasla lungo una guida orizzontale, il glifo è incernierato ad una sua estremità al centro del secondo corsoio e può scorrere lungo il primo. Determinare:

1. la velocità del secondo corsoio in funzione della velocità angolare del glifo; 2. l'energia cinetica e la potenza delle forze e delle coppie applicate; 3. la coppia applicata al primo corsoio che permette il moto nella configurazione assegnata; 4. la reazione vincolare nella cerniera A nella configurazione data.

M1 = 1 kg M2 = 2 kg D S/6 J1 = 0.2 kgm2 H = 0.4 m srad /3 D 2/3 srad D s1 = 0.01 m s2 = 0.05 m F = 10 N

M1 ,J1

C

DDD ,,

FA

O

M2 s2

s1

H

Es2

s A B

Cm

Rr

H

F

Un disco omogeneo di massa m e raggio R, posto nel piano verticale, rotola senza strisciare su una guida orizzontale e fissa. Un secondo disco di massa m e raggio r (con r<R) e' RIGIDAMENTE saldato nel centro del primo disco. Un'asta AB di massa M e lunghezza L è vincolata in A mediante un carrello ad una guida orizzontale, ed è appoggiata con vincolo di puro rotolamento sulla circonferenza del secondo disco. Una coppia oraria di momento Cm costante e nota è applicata al primo disco e una forza F costante e nota è applicata nell’estremo B dell’asta. Inizialmente il sistema è in quiete. Si chiede di:

1. determinare la relazione tra la velocità assoluta dell'asta e la velocità angolare dei dischi; 2. scrivere l'espressione dell'energia cinetica del sistema e la potenza delle forze agenti; 3. determinare il moto del sistema; 4. calcolare il tempo necessario all’asta per compiere uno spostamento s = L/2.

T

Fondamenti di Meccanica 13 febbraio 2007

Si vuole studiare il comportamento dinamico del sistema meccanico rappresentato in figura posto

nel piano verticale e azionato da un cilindro idraulico che può traslare solo in direzione verticale e

che si sta sfilando con velocità y costante. Gli unici corpi dotati di massa sono:

- il corsoio di massa m e altezza 2s vincolato all’estremo A della asta AC;

- il disco omogeneo di raggio R vincolato alla seconda estremità C dell’asta.

Nota la lunghezza delle aste (AB = a, BC = b, BD = H), si chiede di determinare:

Caso A: recupero I prova itinere:

1. la velocità di A in funzione di e di y ;

2. l’accelerazione di A in funzione di e di y ;

3. la velocità di C;

4. l’accelerazione di C;

5. l’energia cinetica del sistema;

6. la pressione necessaria a garantire l’atto di moto assegnato nel caso di vincolo liscio tra

corsoio e piano orizzontale;

7. le reazioni vincolari nella cerniera B.

Caso B: recupero II prova itinere (nota la cinematica del sistema):


2. la pressione necessaria a garantire l’atto di moto assegnato nel caso di vincolo scabro tra

corsoio e piano inclinato, con coefficiente fd noto;

3. le reazioni vincolari nella cerniera B;

4. il valore della massa M che porta al distacco del corsoio dal piano orizzontale.

Caso C: appello:

1. la velocità di A in funzione di e di y ;

2. l’accelerazione di A in funzione di e di y ;

3. la velocità di C;

4. l’accelerazione di C;


6. la pressione necessaria a garantire l’atto di moto assegnato nel caso di vincolo scabro tra

corsoio e piano inclinato, con coefficiente fd noto.

H

D

B

C

A

p, A

m, 2s

M, R

F

y,y corsoio

FONDAMENTI DI MECCANICACompito del 13-2-2007

Come recupero della prima prova si svolga l’esercizio 1.Come recupero della seconda prova si svolgano i punti 1,2,3 dell’esercizio 2.Per il compito d’esame si svolga l’esercizio 2 completamente.

Esercizio 1

Nel sistema di figura, posto in un piano verticale,

m,r

C

A

θ

Bmy

l

un disco omogeneo di massa m e raggio r rotola senzastrisciare su una guida orizzontale fissa. Un’asta dimassa trascurabile e lunghezza l, ha l’estremo A in-cernierato nel centro del disco, mentre l’estremo B

scorre su una guida verticale fissa e liscia. Nell’estremoB e concentrata una massa m. Al disco e applicatauna coppia di momento C.

1) Esprimere la velocita angolare del disco in fun-zione di ! e !.

2) Determinare il valore della coppia C a!nchedurante il moto sia ! = "t con " costante nota.

3) Calcolare l’azione dell’asta sul disco durante il moto.4) Calcolare le reazioni vincolari della guida sul disco durante il moto.

Esercizio 2

Nel sistema di figura, posto in un pi-

m,rB

A

Q

Pm

x

s

m,l

ano verticale, un carrello di massa m elunghezza l scorre su una guida orizzontalefissa e liscia. Un disco omogeneo di massam e raggio r rotola senza strisciare sul car-rello. Una molla di costante elastica k col-lega il centro A del disco al punto medioB del carrello. Un filo inestensibile e dimassa trascurabile si avvolge sul disco e passa sopra un piolo Q puntiforme, fisso e liscio. All’estremodel filo e attaccato un contrappeso P di massa m. I tratti liberi di filo rimangono rispettivamenteorizzontali e verticali durante il moto.

Inizialmente il sistema si trova in quiete con il disco appoggiato nel punto medio del carrello.1) Scrivere l’energia cinetica ed il potenziale del sistema.2) Scrivere le equazioni di moto.3) Determinare il moto del sistema.4) Calcolare il valore minimo della costante elastica k a!nche il disco non cada dal carrello

durante il moto.5) Calcolare la tensione nel filo.

FONDAMENTI DI MECCANICA Appello straordinario, venerdì 13 Aprile 2007

Esercizio 1

Il sistema meccanico rappresentato in figura è un manovellismo deviato. Sia la manovella OA che la biella AB sono prive di massa. Il disco indeformabile (fv = 0) incernierato in B, di massa M e raggio RD, rotola senza strisciare su una guida piana. Si chiede di determinare: 1. Z = velocità angolare del disco in funzione di ,D D (rispettivamente posizione e velocità angolare della manovella OA ); 2. la coppia motrice Cm da applicare alla manovella OA affinché D = costante; 3. la reazione vincolare T tangenziale scambiata tra disco e guida nella condizione del punto 2.

Esercizio 2

L’impianto di sollevamento raffigurato è azionato da un motore di inerzia ridotta al volano Jm e da due trasmissioni in serie. L’albero motore entra nella prima trasmissione di rendimento diretto (retrogrado) d rK e rapporto di

trasmissione W . La seconda trasmissione è costituita da due ruote di frizione: la prima (massa M1 e momento d’inerzia baricentrico J1) ha il centro O1 incernierato a terra, la seconda (massa M2 e momento d’inerzia baricentrico J2) ha il centro O2 vincolato a terra con un carrello che scorre su una guida inclinata di 45°. Ogni ruota di frizione è composta da due dischi coassiali (raggi R1 ed R2 per la prima puleggia, R3 ed R4 per la seconda). Si assuma che la trasmissione del moto tra i dischi di raggio R2 ed R3 avvenga in condizioni ideali (rendimento unitario e assenza di strisciamento) e che il contatto tra i due dischi sia assicurato dal peso M2g della seconda ruota. Una fune inestensibile collega le due trasmissioni avvolgendosi senza strisciare sulla ruota di raggio Rp (uscita della prima trasmissione) e sul disco di raggio R1 (ingresso della seconda trasmissione). Sul disco di raggio R4 si avvolge senza strisciare una seconda fune inestensibile vincolata ad una massa m che striscia su un piano inclinato. Si richiede di determinare: A) nel caso in cui il piano inclinato sia scabro (coefficiente di attrito dinamico fd):

1. la coppia motrice MR necessaria per sollevare la massa m con velocità V2 costante; 2. l’accelerazione della massa m con coppia motrice = 1,5* MR; 3. il tiro nella sezione A-A nelle condizioni di moto del punto 2; 4. la reazione vincolare del carrello O2 nelle condizioni di moto del punto 2; 5. il momento motore per far scendere la massa m con velocità V2 costante.

B) nel caso in cui il piano inclinato sia liscio (assenza di attrito): 6. il valore della massa che striscia sul piano inclinato che porta al distacco i dischi di raggio R2 ed R3 della

seconda trasmissione, in condizioni statiche.

Cognome, nome e matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Prova d’esame del 3/7/2007.

Nel sistema di figura, posto in un piano verticale, un disco omogeneo di massam e raggio R puo’ ruotare attorno al suo centro G che e’ vincolato a scorrere suuna guida orizzontale fissa e liscia. Un’astaAB, di massa trascurabile e lunghezzapari a R, ha l’estremo A incernierato sulla periferia del disco, mentre l’estremo Bpuo’ scorrere sulla guida orizzontale. Nell’estremo B e’ concentrata una massam. Sul disco agisce una coppia di momento C(t) ed al punto B è applicata unaforza orizzontale F(t).1) Si scriva l’energia cinetica del sistema in funzione delle coordinate x e ! di

figura.2) Si scrivano le componenti lagrangianeQx eQ! delle forze attive secondo le

coordinate libere x e !.3) Si scrivano le equazioni differenziali del moto.4) Si determininoC(t) eF(t) inmodo che x = a e ! = "0t, con a e"0 costanti.

x

(t)Cm,R

G

A

R

Bm F(t)!

Figure 1:

Esercizio 1

Esercizio 2

Nello schema proposto è raffigurato un impianto di sollevamento. La massa M striscia su di un piano inclinato Į di coefficiente di attrito dinamica fd. La stessa massa è trainata da una fune inestensibile avvolta in una prima puleggia di rinvio di raggio R1 e momento d’inerzia baricentrico J1. Una seconda puleggia di raggio R2 e momento d’inerzia baricentrico J2 è direttamente calettata sull’albero uscente dalla trasmissione T ed azionato dal motore di caratteristica Cm(Ȧ) (come mostrato rispettivamente nella vista laterale e nel grafico sottostante). Si chiede di determinare:

1- la coppia motrice necessaria per sollevare a regime la massa M; 2- nella condizione del punto precedente, la velocità di salita della massa M; 3- l’accelerazione allo spunto in salita della massa M; 4- il tiro della fune nel tratto A-B nella condizione del punto precedente; 5- le reazioni vincolari nella cerniera di vincolo della puleggia di raggio R1 nella condizione

del punto 3.

Ȧ

Cm

Cm0

Ȧs

m

R1, J1 R2, J2

fd

T Cm

Jm

Vista laterale Į

A BM

R2, J2

Cognome, nome e matricola ……………………………………………………………………………….

Corso di Fondamenti di meccanica, allievi meccanici II anno N.O.

Prova d’esame del 29/1/2008

Motore 2, 2

M

JmJtJp, Rp

Jd, Rd

1, 1

VISTA LATERALE VISTA FRONTALE

Il sistema meccanico rappresentato in figura sintetizza un impianto di sollevamento. La coppia motrice è erogata da un motore elettrico di inerzia Jm . L’andamento della coppia motrice Mm in funzione della velocità di rotazione dell’albero motore #m è di tipo parabolico ed assegnata. A valle del motore sono posizionate due trasmissioni in sere di inerzia ridotta Jv a rapporto cinematico e rendimento noto. L’albero in uscita dalla trasmissione mette in rotazione una puleggia di inerzia Jp eraggio Rp su cui una fune inestensibile si avvolge senza strisciare. La massa M sollevata è incernierata nel centro di una seconda puleggia di inerzia JD e raggio RD, collegata alla puleggia di uscita dalla trasmissione ed alla travatura di sostegno attraverso la fune come rappresentato in figura. Si richiede di determinare: 1.La coppia motrice “Mm,reg” a regime. 2.La velocità angolare “#m” dell’albero motore a regime. 3.L’accelerazione “a” verticale della massa M con Mm=2*Mm,reg trovata al punto 1. 4.Il tiro della fune inestensibile nelle sezioni 1-1 e 2-2 nella condizione di moto del punto 3. 5.La coppia motrice Mm necessaria affinché la massa M scenda con velocità di modulo v costante.

Cognome, nome e matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Prova d’esame del 29/01/2008.

Nel sistema di figura, un disco omogeneo di massam e raggio 2r rotola senzastrisciare su una guida orizzontale e fissa. Nel suo centro O é incernierato (manon solidale ad esso) un secondo disco di massa pari ad 1/4m e raggio r. Unfilo inestensibile si avvolge sul primo disco, passa su un piolo C puntiforme, fissoe liscio, e regge all’estremitá libera un peso A di massa M1 = 1/4m. Un altrofilo si avvolge sul secondo disco, passa sul piolo D e regge il peso B di massaM2 = 1/2m.Inizialmente il sistema é in quiete.1) Si scrivano le velocitá di A e di B in funzione delle coordinate libere.2) Si scriva l’energia cinetica del sistema in funzione delle coordinate libere.3) Si scrivano le equazioni differenziali del moto.4) Si determini il moto del sistema.5) Si calcolino le tensioni nei fili.

m,2r

1/4mr

M

M

O

2

1A

B

D

C

Figure 1:

Cm

!m!s

Cm0

Cm

Jm

", #D, #R

M, JM

m, Jcar

mR, JR, R

a bc

d

$$

mR, JR, R

mR, JR, R

h

h

h

2

%

fv

fs

POLITECNICO DI MILANO FONDAMENTI DI MECCANICA – ALLIEVI MECCANICI

Esame del 2 luglio 2008 - A.A. 2007/08 Esercizio 2

Il sistema in figura è posto nel piano verticale. L’asta AB è collegata rigidamente in A ad un disco di raggio R, massa M e momento di inerzia rispetto al baricentro Jg. Il disco rotola senza strisciare su un piano orizzontale. Una massa m di altezza h pari ad R trasla in direzione orizzontale ed è appoggiata, inizialmente in assenza di attrito, nei punti D ed E. Una biella BC collega l’asta AB e la massa m. Si suppongano note tutte le dimensioni di interesse e trascurabili tutte le masse non esplicitamente indicate in figura. Una forza F costante e nota è applicata alla massa m a quota h/2. Considerando il sistema nella posizione rappresentata in figura, in assenza di attrito, ed assumendo Į come coordinata libera, si chiede di determinare le espressioni per: 1) la velocità della massa m; 2) l’accelerazione della massa m; 3) la coppia motrice C da applicare al disco per garantire il moto. Inoltre, in presenza di attrito radente tra massa m e piano orizzontale (nei punti di contatto D ed E) si chiede di determinare: 4) la coppia motrice C da applicare al disco per garantire il moto in questa nuova condizione; 5) le reazioni vincolari nei punti D ed E; 6) discutere infine sulla possibilità di ribaltamento della massa m.

MECCANICA RAZIONALE

Prova scritta del 2 luglio 2008

DINAMICA

!

A

B

m, R

m, R

m, R

Il sistema di figura e posto in unpiano verticale. I tre dischi sono omo-

genei e hanno uguale massa m e raggioR. I dischi di centri A e B rotolano

senza strisciare su una guida inclina-ta di un angolo !. Un’asta di mas-sa trascurabile e appoggiata sui due

dischi con vincolo di puro rotolamen-to. Il terzo disco rotola senza strisciaresopra l’asta.

1. Scrivere l’energia cinetica del siste-ma e il potenziale delle forze attive in

funzione delle coordinate libere.2. Calcolare il movimento del sistema a partire dalla quiete.

Politecnico di Milano

Fondamenti di Meccanica– Esame del 10.02.2009

1. In un piano verticale un’asta omogenea AB, di lunghezza ! e massa m, ha l’estremoA vincolato a scorrere senza attrito su una guida verticale. Una forza verticale F agiscesu tale estremo.(i) Determinare come deve dipendere F dall’angolo " che l’asta forma con l’asse verticale

a!nche la velocita angolare dell’asta sia costante, pari a #0.(ii) Calcolare in tali condizioni la reazione vincolare agente in A sull’asta.

F

A

B

!, m

1

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Allievi meccanici AA.2008-2009 prova del 08-07-2009

1

Problema N.1

Il sistema articolato in figura, posto nel piano verticale, è composto dall’asta OB (massa M e momento di inerzia baricentrico JA) e dall’asta AC (priva di massa) collegata ad OB mediante una cerniera in A. All’estremo B dell’asta OB agisce in direzione verticale la forza nota FB. All’estremo C dell’asta AC agisce una forza incognita FC ed è posta una massa concentrata MC. La guida orizzontale del punto C è caratterizzata da un coefficiente di attrito di strisciamento fD. Sia assegnata la posizione angolare dell’asta OB, espressa tramite l’angolo . Sono altresì assegnate la velocità VC e l’accelerazione aC del punto C, con i versi indicati in figura. Si richiede di ricavare: velocità ed accelerazione angolare dell’asta OB; la forza Fc corrispondente al moto assegnato; la reazione vincolare in corrispondenza della cerniera O.

Problema N.2

Il sistema in figura è costituito da un motore (caratterizzato da una coppia Cm di cui è fornita l’espressione della curva caratteristica e da un momento di inerzia JM), che aziona una puleggia di raggio R tramite una trasmissione (rapporto di trasmissione e rendimenti D e R). Sulla puleggia si impegna una fune considerata inestensibile, priva di massa e di diametro trascurabile, alle cui estremità sono connessi da un lato un disco (raggio R2 massa M2 e momento di inerzia baricentrico J2), e dal lato opposto una massa M3, secondo lo schema di figura, con M2 sin > M3. Il disco rotola senza strisciare su un piano inclinato dell’angolo , ed il contatto con il piano è caratterizzato da una resistenza al rotolamento (parametro fv), mentre fD e fA sono rispettivamente i coefficienti di attrito di strisciamento e di aderenza tra disco e piano inclinato. Al centro del disco è applicata una forza F. Si richiede di ricavare: l’accelerazione del disco allo spunto, in salita;

Mc

M, JA

ac Vc

O

A

B

FB

FC

OB=2L OA=AC=L

C fD

M3

H H

F

R, , D, R JM

fv, fD, fA

Cm

M

1 mm o

o

C C

2 3sinM M

R2, M2, J2


2

per la condizione precedente, la tensione nella fune in corrispondenza della sezione H-H; la velocità di regime del centro del disco, sempre in salita; il tempo necessario affinché il sistema abbia velocità nulla, a partire dalla condizione di regime,

in cui si annulli la coppia motrice. Problema N.3

Il sistema vibrante sopra raffigurato è costituito da due dischi tra loro solidali, aventi rispettivamente raggi R1 e R2, mentre M e J sono rispettivamente la massa ed il momento di inerzia dell’insieme dei due dischi. Due molle di rigidezza k1 e k2 sono collegate al corpo tramite fili inestensibili, privi di massa e di diametro trascurabile che si avvolgono sulle circonferenze dei due dischi. Sul disco è applicata una coppia nota pari a C=C0cos( t). Si richiede di ricavare, utilizzando i legami indicati a lato nella figura e nell’ipotesi di puro rotolamento senza resistenza (parametro fv=0): la pulsazione naturale o del sistema; l’ampiezza del moto a regime.

M, J k1

R1 R2

k2 R1 = 2R2 =2R k1 = 2k2 = 2k J = (1/2)MR1

2 =2 o

C


1

Problema N.1

AB=BC=CD

= cost.

Il meccanismo in figura è posizionato nel piano verticale, la sola piastra BC è dotata di massa. Una coppia resistente Mr è applicata all’asta CD. Per la posizione del sistema assegnata si chiede di determinare: i) la velocità del baricentro G e la velocità angolare della piastra BC;

ii) l’accelerazione del baricentro G e l’accelerazione angolare della piastra BC;

iii) la coppia Mm da applicare alla manovella AB per garantire il moto.

Problema N.2

Del veicolo in figura è nota la massa totale M, il raggio ed il momento d’inerzia di ogni singola ruota (2 ruote per asse) ed il momento d’inerzia di un volano oltre alle dimensioni indicate in figura. Il volano è collegato all’asse delle ruote posteriori attraverso una trasmissione a cinghia di rendimento /D R e rapporto di riduzione 2 3/ 2 /1 assegnati. Il piano inclinato è scabro ed il


2

contatto è caratterizzato da un coefficiente di attrito statico, radente e volvente rispettivamente fs, fr ed fv. Supponendo di trascurare la resistenza aerodinamica si chiede di: i) calcolare l’accelerazione del veicolo in discesa. ii) verificare l’aderenza delle ruote posteriori. Problema N.3

Il sistema in figura si trova nella sua posizione di equilibrio. Un’asta di massa m e lunghezza L è appoggiata su due dischi omogenei di raggio R. Nel punto di contatto tra asta e disco non vi è strisciamento. L’asta è collegata a terra con un elemento elastico-dissipativo di caratteristiche note. Inoltre sul disco di centro O’ è avvolta una fune che non può strisciare ed è collegata a terra con un secondo elemento elastico dissipativo. Al disco di centro O è applicata una coppia nota di espressione pari a 0 cosC C t Assumendo la rotazione come coordinata libera si chiede di determinare: i) l’equazione di moto del sistema

ii) la frequenza del moto libero non smorzato

iii) la risposta a regime.


Problema N.1 Del sistema meccanico riportato in figura sono note tutte le quantità geometriche riportate, ed è posizionato nel piano verticale. Il disco omogeneo di centro C rotola senza strisciare sulla guida curvilinea, tale disco è il solo corpo dotato di massa M e momento di inerzia baricentrico J. Si consideri il sistema nell’istante in cui l’asta AB è in posizione orizzontale, nota la portata in ingresso nella camera del cilindro QIN=cost, si richiede:

1. determinare velocità e accelerazione del centro del disco C; 2. determinare tramite un bilancio di potenze la pressione nel cilindro necessaria a garantire il

moto del sistema; 3. calcolare le reazioni vincolari in A.

Problema N.2 L’impianto di sollevamento riportato in figura è posto nel piano verticale. Le dimensioni geometriche note sono quelle indicate in figura, inoltre sono note masse e momenti d’inerzia di tutti i corpi. La curva caratteristica del motore è di tipo lineare, con equazione Cm=Co(1- m/ s). Si richiede di:

4. determinare l’accelerazione allo spunto della massa m2 in salita, sotto l’ipotesi di moto diretto;

5. determinare la velocità della massa m1 in salita a regime; 6. calcolare il tiro della fune nella sezione h-h, nella condizione del punto 1; 7. indicare quale relazione deve sussistere tra la massa m1 e la massa m2 affinché il moto sia

retrogrado a regime, con m1 in salita.

Problema N.3 Il sistema in figura si trova nella sua posizione di equilibrio, sono note le masse e la geometria del sistema. Assumendo la rotazione della puleggia p come coordinata libera, si richiede di determinare:

8. l’equazione di moto del sistema 9. la frequenza del moto libero; 10. la risposta a regime essendo C(t)=C0eiΩt.

h h

C(t)

Temi d'esame Fondamenti di meccanica teorica e applicata

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