Limite di x sen(1/x) - Capitolo 14: Altri limiti. Regole di calcolo - pagina 123 - p. 1/4

Limite di x sen(1/x)Materiale integrativo del

Corso integrato di

Matematica

per le scienze naturali ed applicate

Paolo Baiti, Lorenzo Freddi

Limite finito perx → x0Esempio

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Limite finito per x → x0

Sianof :]a, b[\{x0} → R ex0 ∈]a, b[.

Si dice chef ha limiteℓ ∈ R perx tendenteax0, e si scrive

limx→x0

f(x) = ℓ

se e solo se per ogniε > 0 esisteδ > 0tale cheℓ − ε < f(x) < ℓ + ε per ognix ∈]a, b[\{x0} tale chex0 − δ < x < x0 + δ

Limite finito perx → x0Esempio

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Limite finito perx → x0Esempio

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Datoε > 0

bε

b

−ε

Limite finito perx → x0Esempio

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Datoε > 0

esisteδ > 0

bε

b

−ε

bb

−δ δ

Limite finito perx → x0Esempio

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Datoε > 0

esisteδ > 0 tale che sex0 − δ < x < x0 + δ

bε

b

−ε

bb

−δ δ

Limite finito perx → x0Esempio

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Datoε > 0

esisteδ > 0 tale che sex0 − δ < x < x0 + δ

alloraℓ − ε < f(x) < ℓ + ε

conℓ = 0 ex0 = 0

bε

b

−ε

bb

−δ δ

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Cambiandoε > 0

bε

b

−ε

Limite finito perx → x0Esempio

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Cambiandoε > 0

si trova un altro corri-spondenteδ

bε

b

−ε

b b−δ δ

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Cambiandoε > 0

si trova un altro corri-spondenteδcon analoghe proprietà

bε

b

−ε

b b−δ δ

Limite finito perx → x0Esempio

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Questo dev’essere veroper ogniε > 0 !

ε

−ε

−δ δ

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Questo dev’essere veroper ogniε > 0 !

ε

−ε

−δ δ

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Questo dev’essere veroper ogniε > 0 ! ε

−ε

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0

ε

−ε

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0

si riesce a trovare unδ ε

−ε

−δ δ

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0

si riesce a trovare unδtale che se−δ < x < δ

il grafico della funzio-ne stia tutto nella regionetratteggiata

ε

−ε

−δ δ

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0

si riesce a trovare unδtale che se−δ < x < δ

il grafico della funzio-ne stia tutto nella regionetratteggiata

ε

−ε

−δ δ

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Esempio

Illustriamo la definizione col seguente esempio

limx→0

x sen1

x= 0

Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0

si riesce a trovare unδtale che se−δ < x < δ

il grafico della funzio-ne stia tutto nella regionetratteggiata

ε

−ε

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

Limite finito perx → x0Esempio

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε,

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora

Limite finito perx → x0Esempio

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1< ε

Limite finito perx → x0Esempio

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1< ε

Ricapitolando

Limite finito perx → x0Esempio

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione,fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1< ε

Ricapitolando

Limite finito perx → x0Esempio

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Verifica

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione,fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1< ε

Ricapitolando

Limite finito perx → x0Esempio

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Limite di x sen(1/x) - Capitolo 14: Altri limiti. Regole di calcolo - pagina 123 - p. 4/4

Verifica

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione,fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1< ε

Ricapitolando

Limite finito perx → x0Esempio

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Verifica

Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione,fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1< ε

Ricapitolando

Limite finito perx → x0Esempio

Verifica

Limite di x sen(1/x) - Capitolo 14: Altri limiti. Regole di calcolo - pagina 123 - p. 4/4

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Verifichiamo che

limx→0

x sen1

x= 0

Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che

x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1

x< ε

ovvero che0 < |x| < δ =⇒

∣

∣x sen 1

x

∣

∣ < ε

Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣

∣

∣x sen

1

x

∣

∣

∣= |x| ·

∣

∣

∣sen

1

x

∣

∣

∣≤ |x| · 1< ε

Ricapitolando. Quindi, per definizione