Esercizi svolti su successioni e serie di funzioni

Esercizio 1. Calcolare il limite puntuale di

f

n

(x) =x

x

2 + 1n

, x 2 [0, +1).

Dimostrare che non si ha convergenza uniforme su (0,+1), mentre si ha convergenza uniforme su [a,+1)per ogni a > 0.

Svolgimento. Per ogni x 6= 0 si ha

limn!+1

f

n

(x) = limn!+1

x

x

2 + 1n

=1x

,

mentre per x = 0 si halim

n!+1f

n

(0) = 0.

Dunque il limite puntuale e

f(x) =

(1x

se x 6= 00 se x = 0.

Non puo esserci convergenza uniforme su [0, +1) perche f e discontinua in x = 0.Si ha invece convergenza uniforme su ogni semiretta [a,+1) con a > 0: infatti, si ha 8x 2 [a,+1)

(1) |fn

(x)° f(x)| =ØØØØ

x

x

2 + 1n

° 1x

ØØØØ =ØØØØ

x

x

2 + 1n

° 1x

ØØØØ =

ØØØØØ° 1

n

x

°x

2 + 1n

¢ØØØØØ ∑

1na

3

dove, per concludere l’ultima disuguaglianza, e stato usato il fatto che

x

µx

2 +1n

∂∏ x

3 ∏ a

3 8x 2 [a,+1).

Segue allora da (1) che

supx2[a,+1)

|fn

(x)° f(x)| ∑ 1na

3! 0 per n!1.

Esercizio 2. Calcolare il limite puntuale su [0,+1) di

f

n

(x) = 1 + n sinµ

x arctan(x) ln(x2 + 1)n

2

∂.

Il limite e anche uniforme?

Svolgimento. Convergenza puntuale. Si osservi che per ogni x ∏ 0 si ha

x arctan(x) ln(x2 + 1)n

2! 0 per n! +1,

quindi, ricordando che sin(z) ª z per z ! 0, abbiamo

sinµ

x arctan(x) ln(x2 + 1)n

2

∂ª x arctan(x) ln(x2 + 1)

n

2

1

e si ha

limn!+1

n sinµ

x arctan(x) ln(x2 + 1)n

2

∂= lim

n!+1n

x arctan(x) ln(x2 + 1)n

2= 0.

Dunquef

n

! 1 puntualmente.

| Strategia generale per provare che

f

n

NON converge uniformemente al limite puntuale f su I

• mostrare che esiste una successione {xn

} Ω I tale che

|fn

(xn

)° f(xn

)| 6! 0 per n!1.

• Allora non puo esserci convergenza uniforme su I, perche si ha

supx2I

|fn

(x)° f(x)| ∏ |fn

(xn

)° f(xn

)| 6! 0!

| Studio della Convergenza uniforme. Mostriamo che la convergenza di {fn

} non e uniforme. Consideriamoi punti x

n

tali che

(2) sinµ

x

n

arctan(xn

) ln(x2n

+ 1)n

2

∂= 1.

Per questi punti si haf

n

(xn

)° 1 = 1 + n° 1 = n! +1

e dunquesup

x2[0,+1)|f

n

(x)° 1| ∏ |fn

(xn

)° 1| = n! +1.

Per ottenere la (2), possiamo ad esempio cercare punti x

n

che soddisfino

(3) x

n

arctan(xn

) ln(x2n

+ 1) =º

2n

2 8n ∏ 1.

L’esistenza di una successione {xn

} per la quale valga la (3) e garantita dal teorema dei valori intermedi, inquanto la funzione continua

g(x) = x arctan(x) ln(x2 + 1)

e tale che g(0) = 0 e limx!+1 g(x) = +1. Quindi per ogni n ∏ 1 esiste x

n

con g(xn

) = º

2 n

2.

Esercizio 3. Dimostrare che la serie1X

n=1

(°1)n

ln(n2x) sin(3nx)pn

3 + 7x

2, x 2 (0,+1)

converge uniformemente sugli intervalli [a, b], per ogni 0 < a < b.

2

Svolgimento. • E facile vedere che

limn!+1

(°1)n

ln(n2x) sin(3nx)pn

3 + 7x

2= 0 8x > 0,

cosicche e verificata la condizione necessaria per la convergenza puntuale della serie su (0, +1).• Dimostriamo la convergenza assoluta su (0, +1). Si ha per ogni x 2 (0,+1)

|fn

(x)| =|2 ln(n) + ln(x)|| sin(3nx)|p

n

3 + 7x

2∑ 2 ln(n) + | ln(x)|

n

3/2.

Poiche le serie1X

n=1

ln(n)n

3/2, ln(x)

1X

n=1

1n

3/2convergono

per il crit. confronto concludiamo che

+1X

n=1

(°1)n

ln(n2x) sin(3nx)pn

3 + 7x

2converge assolutamente su (0, +1).

• Convergenza totale su [a, b]. Si ha

supx2[a,b]

|fn

(x)| ∑ supx2[a,b]

2 ln n + | lnx|pn

3 + 7x

2∑ 2 ln n + | ln a| + | ln b|

n

3/2.

Siccome X 2 lnn + | ln a| + | ln b|n

3/2converge

su [a, b], si ha convergenza totale su [a, b] ) uniforme su [a, b] per ogni 0 < a < b.

Esercizio 4. Determinare l’insieme di convergenza puntuale della serie

+1X

n=2

n(n + 2)x

n+2

(x + 4)n

per x 2 R \ {°4}.

Svolgimento. • Condizione necessaria per la convergenza: bisogna verificare per quali x 2 R\{°4} si ha

f

n

(x) = n(n + 2)x2

µx

x + 4

∂n

! 0 per n!1.

Si noti che l’andamento di f

n

(x) per n! +1 dipende dalla quantita z = x

x+4 .Si ha

limn!+1

n(n + 2)zn

8<

:

= 0 se |z| < 1,= +1 se z ∏ 1,@ se z ∑ °1.

Quindi

1. Se x

x+4 ∏ 1, cioe x < °4, si ha

limn!+1

f

n

(x) = +1 ) serie non converge.

2. Se x

x+4 ∑ °1, cioe °4 < x ∑ °2, allora

limn!+1

f

n

(x) non esiste.

3

3. Se °1 <

x

x+4 < 1, cioe x > °2, si halim

n!+1f

n

(x) = 0.

Concludiamo che+1X

n=2

n(n + 2)x

n+2

(x + 4)n

non converge in (°1,°2] \ {°4}.

Studio della convergenza puntuale. La serie converge assolutamente su (°2, +1). Infatti la serie deimoduli

+1X

n=0

|fn

(x)| =+1X

n=0

n(n + 2)x2

ØØØØx

x + 4

ØØØØn

• per x = 0 converge.

• per x 2 (°2, +1) \ {0}, la serie e a termini positivi, e posso applicare il criterio del rapporto:

|fn+1(x)||f

n

(x)| =(n + 1)(n + 3)

n(n + 2)

ØØØØx

x + 4

ØØØØ

da cui

limn!+1

|fn+1(x)||f

n

(x)| =ØØØØ

x

x + 4

ØØØØ < 1 su (°2,+1).

Dunque si hasu (°2, +1) convergenza assoluta ) puntuale.

Osservazione. Lo studio della convergenza puntuale/assoluta/uniforme/totale della serie puo essere alter-nativamente sviluppato sulla base della teoria delle serie di potenze, dacche

+1X

n=2

n(n + 2)x2

µx

x + 4

∂n

puo essere studiata come serie di potenze (con il cambiamento di variabile z = x

x+4 . Esercizio: adottandoquesto nuovo punto di vista, riottenere i risultati summenzionati.

Esercizio 5. Sia

g(x) =

(12 ° |x| se |x| ∑ 1

2 ,

0 altrimenti .

Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie

+1X

n=1

1pn

g(x° n)

Svolgimento. Poniamo

u

n

(x) =1pn

g(x° n).

Convergenza puntuale: con un semplice ragionamento grafico si vede che 8x 2 R esiste al piu un indicen0 = n0(x) 2 N tale che u

n0(x) 6= 0. Quindi

+1X

n=1

u

n

(x) = u

n0(x)

Percio si ha convergenza puntuale in R ad una certa funzione f =+1Pn=1

u

n

.

4

Convergenza uniforme. Per ogni n ∏ 1 si consideri la successione delle somme parziali fino all’indice n

f

n

=nX

k=1

u

k

La serie+1Pn=1

u

n

converge uniformemente ad f in R se e solo se {fn

}n∏1 converge ad f uniformemente in R,

ovvero se e solo se

limn!+1

supx2R

|fn

(x)° f(x)| = limn!+1

supx2R

ØØØØØ

nX

k=1

u

k

(x)°+1X

k=1

u

k

(x)

ØØØØØ = limn!+1

supx2R

ØØØØØ

+1X

k=n+1

u

k

(x)

ØØØØØ = 0.

Ora, per n ∏ 1 fissato si calcola

supx2R

ØØØØØ

+1X

k=n+1

u

k

(x)

ØØØØØ =1

2p

n + 1

Allora

limn!+1

supx2R

ØØØØØ

+1X

k=n+1

u

k

(x)

ØØØØØ = 0 ) si ha convergenza uniforme in R .

Esercizio 6. Determinare l’insieme di convergenza puntuale di

+1X

n=1

sin≥

x

n

3

¥.

Il limite e continuo sull’insieme di convergenza della serie?

Svolgimento. Ricordiamo che | sin(Æ)| ∑ |Æ|, percio si haØØØsin

≥x

n

3

¥ØØØ ∑|x|n

3.

Siccome la serieP 1

n

3 e convergente, concludiamo che la serie di funzioni converge assolutamente e dunquepuntualmente su R.Continuita del limite. Si potrebbe cercare di vedere che la serie converge totalmente su R. Ma si ha

supx2R

ØØØsin≥

x

n

3

¥ØØØ = 1

e percio non si puo avere convergenza totale su R. Si puo pero osservare che la continuita e una proprietalocale: quindi basta dimostrare che la funzione f , somma della serie, e continua su ogni intervallo limitato diR per concludere la continuita su tutto R. Allora, e su±ciente dimostrare la convergenza totale su intervallilimitati. In eÆetti, su ogni intervallo della forma [°M, M ] si ha

supx2[°M,M ]

|fn

(x)| ∑ M

n

3

conP 1

n

3 convergente. Quindi abbiamo convergenza totale e dunque uniforme su [°M.M ]. Poiche M earbitrario, si deduce che il limite f e continuo su tutto R.

Esercizio 6. Verificare che la serie+1X

n=1

∑x

n

n

° x

n+1

n + 1

∏

e uniformemente convergente su [°1, 1].

5

Svolgimento. Per ogni x 2 [°1, 1] la serie e telescopica della formaX

(gn

(x)° g

n+1(x)), con g

n

(x) =x

n

n

.

Quindi possiamo calcolare esplicitamente la successione delle somme parziali: si ha

S

k

(x) =kX

n=1

(gn

(x)° g

n+1(x))

= g1(x)° g

k+1(x) = x° x

k+1

k + 18x 2 [°1, 1].

Il problema si riduce quindi a studiare la convergenza uniforme della successione {Sk

}k∏1 su [°1, 1].

Basta allora osservare che

supx2[°1,1]

ØØØØx

k+1

k + 1

ØØØØ =1

k + 1! 0 per k !1

cosicche concludiamoS

k

(x)! x uniformemente su [°1, 1].

Esercizio 7. Determinare l’insieme di convergenza puntuale di+1X

n=1

µ1° exp

µ° sin2(x)

n

2

∂∂

Il limite e continuo? E derivabile? In caso aÆermativo, calcolare f

0(º/2).

Svolgimento. Per ogni x 2 R, la serie e a termini positivi. Inoltre si ha∑1° exp

µ° sin2(x)

n

2

∂∏ª 1°

µ1° sin2(x)

n

2

∂=

sin2(x)n

2.

Osservando che la serie

sin2(x)+1X

n=1

1n

2e convergente

concludiamo per il criterio del confronto asintotico che la serie+1X

n=1

µ1° exp

µ° sin2(x)

n

2

∂∂converge puntualmente su R.

Ora osserviamo che le funzioni f

n

(x) = 1 ° exp≥° sin2(x)

n

2

¥sono derivabili su R e verifichiamo che la serie

delle derivate converge uniformemente su R: se cio e vero, il teorema di derivazione per serie ci assicura chela funzione somma della serie e derivabile e quindi anche continua su tutto R. Si ha

f

0n

(x) = °2 sin x cos x

n

2exp

µ° sin2

x

n

2

∂

da cuisupx2R

|f 0n

(x)| ∑ 2n

2

conP+1

n=11

n

2 convergente. Allora la serie delle derivateP1

n=0 f

0n

(x) converge totalmente e dunque uniforme-mente su R.Si ha

f

0(º/2) =+1X

n=1

f

0n

(º/2) = 0.

6

Serie di funzioni: esercizi svolti

Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di di±colta mag-

giore.

Esercizio 1. Studiare la convergenza normale, uniforme, assoluta e puntuale delle

seguenti serie di funzioni:

a)1X

n=1

n

°2

p1° x

2n

, x 2 [°1, 1] [converge normalmente]

b)1X

n=1

1n

2(1 + n

2

x

2), x 2 R [converge normalmente]

c)1X

n=0

11 + n

2

x

2

, |x| ∏ a > 0 [converge normalmente in (°1,°a] [ [a,+1)]

d)1X

n=1

12n°1

p1 + nx

, x ∏ 0 [converge normalmente]

e)1X

n=1

µnx

1 + nx

2

° (n° 1)x1 + (n° 1)x2

∂, x 2 R

2

666664

converge puntualmente a

f(x) =

( 0 se x = 0,1

x

se x 6= 0,

converge assolutamente a |f(x)|

3

777775

f)1X

n=0

(°1)n

x

n

, x 2 [°1, 1] [converge assolutamente in (°1, 1)]

*g)1X

n=1

log (1 + nx)nx

n

, x ∏ a > 1 [converge normalmente in [a,+1)]

h)1X

n=1

≥arctan (nx)° arctan [(n° 1)x]

¥, x 2 R

2

6666666664

converge puntualmente a

f(x) =

8>><

>>:

°º

2

se x < 0,

0 se x = 0,º

2

se x > 0

e assolutamente a |f(x)|

3

7777777775

1

2 Serie di funzioni: esercizi svolti

i)1X

n=1

cos nx

n(n + 1), x 2 R [converge normalmente]

l)1X

n=1

(°1)n°1

2n(sinx)2n

n + 1, x 2

∑°º

6,

º

6

∏[converge normalmente]

Svolgimento

a) La serie1X

n=1

n

°2

p1° x

2n e una serie di funzioni continue su [°1, 1]. Per ogni n ∏ 1

poniamo f

n

(x) = n

°2

p1° x

2n.

Consideriamo inizialmente la convergenza normale, ossia la convergenza della serie

numerica1X

n=1

kfn

k1. Si ha che

kfn

k1 = supx2[°1,1]

|fn

(x)| = maxx2[°1,1]

|fn

(x)| = maxx2[°1,1]

≥n

°2

p1° x

2n

¥=

1n

2

.

Quindi la serie1X

n=1

kfn

k1 =1X

n=1

1n

2

e convergente. Ne segue che la serie data con-

verge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e puntualmente

in [°1, 1].

b) La serie1X

n=1

1n

2(1 + n

2

x

2)e una serie di funzioni continue su R. Per ogni n ∏ 1

poniamo f

n

(x) = 1

n

2(1+n

2x

2)

.

Consideriamo inizialmente la convergenza normale, ossia la convergenza della serie

numerica1X

n=1

kfn

k1. Si ha che

kfn

k1 = supx2R

|fn

(x)| = supx2R

µ1

n

2(1 + n

2

x

2)

∂=

1n

2

.

Quindi la serie1X

n=1

kfn

k1 =1X

n=1

1n

2

e convergente. Ne segue che la serie data con-

verge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e puntualmente

in R.

c) La serie1X

n=0

11 + n

2

x

2

e una serie di funzioni continue su (°1,°a][ [a,+1). Per

ogni n ∏ 0 poniamo f

n

(x) = 1

1+n

2x

2 .

Serie di funzioni: esercizi svolti 3

Consideriamo inizialmente la convergenza normale, ossia la convergenza della serie

numerica1X

n=0

kfn

k1. Si ha che

kfn

k1 = sup|x|∏a

|fn

(x)| = sup|x|∏a

µ1

1 + n

2

x

2

∂=

11 + n

2

a

2

.

Quindi la serie1X

n=0

kfn

k1 =1X

n=0

11 + n

2

a

2

e convergente. Ne segue che la serie

data converge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e pun-

tualmente in (°1,°a] [ [a, +1).

d) La serie1X

n=1

12n°1

p1 + nx

e una serie di funzioni continue su [0, +1). Per ogni

n ∏ 1 poniamo f

n

(x) = 1

2

n°1p

1+nx

.

Consideriamo inizialmente la convergenza normale, ossia la convergenza della serie

numerica1X

n=1

kfn

k1. Si ha che

kfn

k1 = supx∏0

|fn

(x)| = supx∏0

µ1

2n°1

p1 + nx

∂=

12n°1

.

Quindi la serie1X

n=1

kfn

k1 =1X

n=1

12n°1

e convergente. Ne segue che la serie data con-

verge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e puntualmente

in [0,+1).

e) La serie1X

n=1

µnx

1 + nx

2

° (n° 1)x1 + (n° 1)x2

∂e una serie di funzioni continue su R. Per

ogni n ∏ 1 poniamo f

n

(x) = nx

1+nx

2 ° (n°1)x

1+(n°1)x

2 .

Osserviamo che la serie data e telescopica. Consideriamo inizialmente la conver-

genza puntuale. La somma parziale n-esima della serie e

S

n

(x) =nX

k=1

f

k

(x) =nX

k=1

µkx

1 + kx

2

° (k ° 1)x1 + (k ° 1)x2

∂=

=x

1 + x

2

+2x

1 + 4x

2

° x

1 + x

2

+ · · · +nx

1 + nx

2

° (n° 1)x1 + (n° 1)x2

=

=nx

1 + nx

2

.

Quindi la somma della serie e

S(x) = limn

S

n

(x) = limn

nx

1 + nx

2

=

( 0 se x = 0,1

x

se x 6= 0.

4 Serie di funzioni: esercizi svolti

Quindi la serie converge puntualmente in R alla funzione S. Essendo f

n

continua su

R, anche S

n

e continua su R, mentre S non e continua in 0. Quindi la successione

(Sn

) non converge uniformemente a S in R e di conseguenza la serie data non

converge uniformemente e normalmente in R.

Infine consideriamo la convergenza assoluta. Osserviamo che

f

n

(x) =nx

1 + nx

2

° (n° 1)x1 + (n° 1)x2

=x

(1 + nx

2)[1 + (n° 1)x2].

Quindi f

n

(x) ∏ 0 se e solo se x ∏ 0. Inoltre f

n

e dispari. Ne segue che se x ∏ 0,

allora la serie1X

n=1

|fn

(x)| converge a S(x); se x < 0, allora la serie1X

n=1

|fn

(x)| =

1X

n=1

f

n

(°x) converge a S(°x) = ° 1

x

. Quindi la serie data converge assolutamente

in R a

T (x) =

( 0 se x = 0,1

|x| se x 6= 0.

Osservazione

Si ha che T (x) = |S(x)|. In generale non e detto che se una serie converge pun-

tualmente ad una funzione S, allora converge assolutamente a |S|.

f) La serie1X

n=0

(°1)n

x

n e una serie di funzioni continue su [°1, 1]. Per ogni n ∏ 0

poniamo f

n

(x) = (°1)n

x

n = (°x)n. Quindi la serie data e una serie geometrica

con ragione °x. Pertanto converge puntualmente se e solo se | ° x| < 1, cioe per

x 2 (°1, 1) ed in tal caso la somma della serie e S(x) = 1

1+x

. Osserviamo inoltre

che per x 2 (°1, 1) la serie1X

n=0

|(°1)n

x

n| =1X

n=0

|x|n converge a T (x) = 1

1°|x| .

Quindi la serie data converge assolutamente in (°1, 1) a T (x) = 1

1°|x| .

Consideriamo ora la convergenza normale, ossia la convergenza della serie numerica1X

n=0

kfn

k1. Si ha che

kfn

k1 = supx2(°1,1)

|fn

(x)| = supx2(°1,1)

|x|n = 1.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della

serie, la serie1X

n=0

kfn

k1 diverge. Ne segue che la serie data non converge normal-

mente in (°1, 1).

Serie di funzioni: esercizi svolti 5

Infine consideriamo la convergenza uniforme. Poiche la somma della serie S non e

limitata su (°1, 1), allora la serie data non converge uniformemente in (°1, 1).

Osservazione

Si ha che T (x) 6= |S(x)|. Infatti, non e detto che se una serie converge puntualmente

ad una funzione S, allora converge assolutamente a |S|.

*g) La serie1X

n=1

log (1 + nx)nx

n

e una serie di funzioni continue su [a,+1). Per ogni

n ∏ 1 poniamo f

n

(x) = log (1+nx)

nx

n .

Consideriamo inizialmente la convergenza normale, ossia la convergenza della serie

numerica1X

n=1

kfn

k1. Si ha che

kfn

k1 = supx∏a

|fn

(x)| = supx∏a

log (1 + nx)nx

n

.

Determiniamo quindi supx∏a

f

n

(x). Si ha che

f

0n

(x) =x

1+nx

° log (1 + nx)x

n+1

.

Dobbiamo studiare il segno del numeratore di f

0n

. Osserviamo che se x ∏ 1 e n ∏ 1

nx

1 + nx

∑ log (1 + nx).(1.1)

Infatti, se si considera la funzione g(t) = t

1+t

° log (1 + t), si ha che g e derivabile

su [1, +1) con g

0(t) = ° t

(1+t)

2 < 0. Ne segue che g e decrescente su [1,+1).

Quindi per ogni t ∏ 1 si ha g(t) ∑ g(1) = 1

2

° log 2 < 0, da cui t

1+t

∑ log (1 + t).

Pertanto si ha chenx

1 + nx

∑ log (1 + nx).

Ne segue chex

1 + nx

∑ nx

1 + nx

∑ log (1 + nx),

in particolarex

1 + nx

° log (1 + nx) ∑ 0

da cui segue che f

0n

(x) ∑ 0 per ogni x ∏ a. Quindi f

n

e decrescente su [a, +1) e

di conseguenza

supx∏a

f

n

(x) = f

n

(a) =log (1 + na)

na

n

.

6 Serie di funzioni: esercizi svolti

Quindi la serie da studiare e1X

n=1

kfn

k1 =1X

n=1

log (1 + na)na

n

. Osserviamo che per

ogni t ∏ 0 si ha che log (1 + t) ∑ t. Infatti, se si considera la funzione h(t) =

log (1 + t)° t, si ha che h e derivabile su [0,+1) con h

0(t) = ° t

1+t

∑ 0. Ne segue

che h e decrescente su [0, +1). Quindi per ogni t ∏ 0 si ha h(t) ∑ h(0) = 0, da

cui log (1 + t) ∑ t. Pertanto si ha che

log (1 + na) ∑ na =) log (1 + na)na

n

∑ 1a

n°1

.

Essendo a > 1 la serie geometrica1X

n=1

1a

n°1

converge. Quindi per il criterio del

confronto anche la serie1X

n=1

kfn

k1 =1X

n=1

log (1 + na)na

n

converge. Ne segue che la

serie data converge normalmente e quindi anche uniformemente, assolutamente e

puntualmente in [a,+1).

h) La serie1X

n=1

≥arctan (nx)° arctan [(n° 1)x]

¥e una serie di funzioni continue su R.

Per ogni n ∏ 1 poniamo f

n

(x) = arctan (nx)° arctan [(n° 1)x].

Osserviamo che la serie data e telescopica. Consideriamo inizialmente la conver-

genza puntuale. La somma parziale n-esima della serie e

S

n

(x) =nX

k=1

f

k

(x) =nX

k=1

≥arctan (kx)° arctan [(k ° 1)x]

¥=

= arctanx + arctan 2x° arctanx + · · · +

+arctan (nx)° arctan [(n° 1)x] =

= arctan (nx).

Quindi la somma della serie e

S(x) = limn

S

n

(x) = limn

arctan (nx) =

8>><

>>:

°º

2

se x < 0,

0 se x = 0,º

2

se x > 0.

Quindi la serie converge puntualmente in R alla funzione S. Essendo f

n

continua su

R, anche S

n

e continua su R, mentre S non e continua in 0. Quindi la successione

(Sn

) non converge uniformemente a S in R e di conseguenza la serie data non

converge uniformemente e normalmente in R.

Infine consideriamo la convergenza assoluta. Osserviamo che f

n

(x) ∏ 0 se e solo

se x ∏ 0. Inoltre f

n

e dispari. Ne segue che se x ∏ 0, allora la serie1X

n=1

|fn

(x)|

Serie di funzioni: esercizi svolti 7

converge a S(x); se x < 0, allora la serie1X

n=1

|fn

(x)| =1X

n=1

f

n

(°x) converge a

S(°x) = º

2

. Quindi la serie data converge assolutamente in R a

T (x) =

( 0 se x = 0,º

2

se x 6= 0.

i) La serie1X

n=1

cos nx

n(n + 1)e una serie di funzioni continue su R. Per ogni n ∏ 1 poniamo

f

n

(x) = cos nx

n(n+1)

.

Consideriamo inizialmente la convergenza normale, ossia la convergenza della serie

numerica1X

n=1

kfn

k1. Poiche | cos nx| ∑ 1, si ha che per ogni x 2 R

|fn

(x)| =ØØØØ

cos nx

n(n + 1)

ØØØØ ∑1n

2

e quindi

kfn

k1 = supx2R

|fn

(x)| ∑ 1n

2

.

Poiche la serie1X

n=1

1n

2

e convergente, per il criterio del confronto anche la serie

1X

n=1

kfn

k1 converge. Ne segue che la serie data converge normalmente e quindi

anche uniformemente, assolutamente e puntualmente in R.

l) La serie1X

n=1

(°1)n°1

2n(sinx)2n

n + 1e una serie di funzioni continue su

£°º

6

,

º

6

§. Per

ogni n ∏ 1 poniamo f

n

(x) = (°1)n°1

2

n(sin x)

2n

n+1

= (°1)n°1

(2 sin

2x)

n

n+1

. Consideri-

amo inizialmente la convergenza normale, ossia la convergenza della serie numerica1X

n=1

kfn

k1. Poiche per ogni x 2£°º

6

,

º

6

§si ha 2 sin2

x ∑ 1

2

, si ha che

|fn

(x)| =

ØØØØØ(°1)n°1

(2 sin2

x)n

n + 1

ØØØØØ ∑12n

e quindi

kfn

k1 = supx2[°º

6 ,

º6 ]

|fn

(x)| ∑ 12n

.

Poiche la serie1X

n=1

12n

e convergente, per il criterio del confronto anche la serie

1X

n=1

kfn

k1 converge. Ne segue che la serie data converge normalmente e quindi

anche uniformemente, assolutamente e puntualmente in£°º

6

,

º

6

§.