Studio delle caratteristiche degli strumenti usati ... · Limite della binomiale quando p → 0 e n...

SOMMARIO DELLE MISURE DIRETTE

Studio delle caratteristiche degli strumenti usati, evidenziare possibilierrori sistematici, correggerli.

– p. 1/21



Effettuare misure ripetute, se possibile. Trattazione statisticadell’indeterminazione.

– p. 1/21




Se non è possibile, assumere come indeterminazione l’inverso dellasensibilità dello strumento.

– p. 1/21





Applicare il criterio del 3σ per l’eventuale rigetto di dati anomali.

– p. 1/21






Stima più attendibile della grandezza misurata: x

– p. 1/21







Stima dell’interminazione: σx.

– p. 1/21







Stima dell’interminazione: σx.

Significato statistico: semiampiezza dell’intervallo di confidenzacentrato sulla media e avente probabilità di includere il valore veropari al 68%

– p. 1/21

LA DISTRIBUZIONE DI POISSONDistribuzione discreta detta degli eventi rari.

– p. 2/21


Limite della binomiale quando p → 0 e n → ∞, tale per cui λ = np

rimane finito.

– p. 2/21



rimane finito.

Corrisponde a realizzare un grandissimo numero di provebernoulliane, ove la probabilità di successo della singola prova èestremamente bassa.

– p. 2/21



rimane finito.


Si applica alle misure di conteggio, ovvero allo studio di fenomeni(nello spazio o nel tempo) di cui siamo interessati al numero dioccorrenze, indipendentemente dall’ordine. Fenomeniintrinsecamente discreti, soggetti a fluttuazioni.

– p. 2/21



rimane finito.


Si applica alle misure di conteggio, ovvero allo studio di fenomeni(nello spazio o nel tempo) di cui siamo interessati al numero dioccorrenze, indipendentemente dall’ordine. Fenomeniintrinsecamente discreti, soggetti a fluttuazioni.

Esempio 1: decadimento radioattivo di un nucleo instabile. Il numerodi nuclei che potenzialmente possono decadere è molto grande (peruna mole di materiale radioattivo il numero di nuclei è dell’ordine di1023, numero di Avogadro). La probabilità di"successo" (decadimento) per ogni nucleo è molto piccola.Esempio 2: conteggi di fotoni provenienti da una sorgente celeste permezzo di un fotorivelatore (ad es: CCD) – p. 2/21

Distribuzione di Poisson:MODELLO CONCETTUALE

La distribuzione di Poisson può essere anche derivata direttamentein un modo che mostra come essa possa essere applicata asituazioni reali.

– p. 3/21



Consideriamo un rivelatore in grado di contare il numero di fotoniprovenienti da una sorgente celeste (stella, galassia) nell’intervallo ditempo ∆t.

– p. 3/21




La distribuzione di Poisson si basa su tre assunzioni di base,elencate nella diapositiva che segue.

– p. 3/21




La distribuzione di Poisson si basa su tre assunzioni di base,elencate nella diapositiva che segue.

La generalità delle assunzione permette di utilizzare questo tipo dimodello per analizzare diversi sistemi reali.

– p. 3/21


Si assumano le seguenti ipotesi:

1. La Probabilità di contare un fotone in ∆t è proporzionale a ∆t

quando ∆t è infinitesimo:

P (1; dt) = λ dt

– p. 4/21





P (1; dt) = λ dt

2. La probabilità di osservare più di un fotone in intervallo infinitesimo dt

sia trascurabile rispetto a quella che ne arrivi esattamente uno. Inaltre parole, o contiamo un fotone o non ne contiamo nessuno.

P (1; dt) + P (0; dt) = 1 se l’intervallo di tempo dt è infinitesimo.

– p. 4/21





P (1; dt) = λ dt




3. Il numero di fotoni che arrivano in un intervallo finito sia indipendentedal numero di fotoni che arrivano in un altro intervallo disgiunto →eventi compatibili indipendenti.

– p. 4/21





P (1; dt) = λ dt




3. Il numero di fotoni che arrivano in un intervallo finito sia indipendentedal numero di fotoni che arrivano in un altro intervallo disgiunto →eventi compatibili indipendenti.

Problema: Qual è la probabilità che in un intervallo di tempo t ilfotorivelatore conti esattamente un numero prefissato x di fotoni ?

– p. 4/21


Dalle ipotesi assunte si ha:

P (1; dt) = λ dt =⇒ P (0; dt) = 1 − λ dt

– p. 5/21



P (1; dt) = λ dt =⇒ P (0; dt) = 1 − λ dt

Qual è la probabilità che in un intervallo di tempo t si osservino x = 0

fotoni ?

– p. 5/21



P (1; dt) = λ dt =⇒ P (0; dt) = 1 − λ dt


fotoni ?

Essa è pari alla probabilità composta che zero fotoni arrivino in t − dt

e zero fotoni arrivino nel successivo intervallo dt. Poichè i dueintervalli temporali non sono sovrapposti, gli eventi sono compatibiliindipendenti:

P (0; t) = P (0; t − dt) P (0; dt)

– p. 5/21



P (1; dt) = λ dt =⇒ P (0; dt) = 1 − λ dt


fotoni ?

Essa è pari alla probabilità composta che zero fotoni arrivino in t − dt

e zero fotoni arrivino nel successivo intervallo dt. Poichè i dueintervalli temporali non sono sovrapposti, gli eventi sono compatibiliindipendenti:

P (0; t) = P (0; t − dt) P (0; dt)

Utilizzando le assunzioni 1. e 2. si ha:P (0; t) = P (0; t − dt) [1 − P (1; dt)] = P (0; t − dt) [1 − λdt], da cui

P (0; t) − P (0; t − dt)

dt= −λP (0; t − dt)

– p. 5/21

LA DISTRIBUZIONE DI POISSON

Questa corrisponde all’equazione differenziale:

d

dtP (0; t) = −λP (0; t) −→ P (0; t) = e−λt + cost.

– p. 6/21


Questa corrisponde all’equazione differenziale:

d

dtP (0; t) = −λP (0; t) −→ P (0; t) = e−λt + cost.

Da P (0; 0) = 1 si ottiene la costante di integrazione cost = 0

– p. 6/21


Consideriamo la probabilità che x fotoni arrivino nell’intervallo t + dt.In base alle assunzioni fatte ci sono solo due possibilità:

– p. 7/21



1. x fotoni arrivano in t e 0 arrivano in dt.

– p. 7/21




2. x − 1 fotoni arrivano in t e 1 arrivano in dt

– p. 7/21




2. x − 1 fotoni arrivano in t e 1 arrivano in dt

Poichè le due combinazioni sono incompatibili si deve applicare ilteorema della probabilità totale; e ricordando le relazioniP (1; dt) = λ dt

P (x; t + dt) = P (x − 1; t) · P (1; dt) + P (x; t) · P (0; dt)

= P (x − 1; t) λ dt + P (x; t) (1 − λ dt)

Quindi si ottiene l’equazione differenziale:

P (x; t + dt) − P (x; t)

dt≡

d

dtP (x; t) = −λP (x; t) + λP (x − 1; t)

– p. 7/21


Si tratta di un’equazione differenziale recursiva che lega P (x; t) aP (x − 1; t). Riscriviamola nella forma:

d

dtP (x; t) + λP (x; t) = λP (x − 1; t)

– p. 8/21



d

dtP (x; t) + λP (x; t) = λP (x − 1; t)

Moltiplichiamo tutti i termini per eλt:

eλt d

dtP (x; t) + λ eλt P (x; t) = λ eλt P (x − 1; t)

– p. 8/21



d

dtP (x; t) + λP (x; t) = λP (x − 1; t)

Moltiplichiamo tutti i termini per eλt:

eλt d

dtP (x; t) + λ eλt P (x; t) = λ eλt P (x − 1; t)

Il membro di sinistra può essere espresso come una derivata totale:

d

dt

[

eλtP (x; t)]

= λ eλt P (x − 1; t)

– p. 8/21


d

dt

[

eλtP (x; t)]

= λ eλt P (x − 1; t)

Integriamo rispetto a t:

eλtP (x; t) =

∫ t

0

λ eλτ P (x − 1; τ)dτ + cost.

– p. 9/21


d

dt

[

eλtP (x; t)]

= λ eλt P (x − 1; t)

Integriamo rispetto a t:

eλtP (x; t) =

∫ t

0

λ eλτ P (x − 1; τ)dτ + cost.

Si noti che per t = 0 −→ P (x; 0) = 0, l’integrale è identicamentenullo per cui la costante di integrazione è pure cost = 0. Otteniamoquindi:

P (x; t) = λe−λt

∫ t

0

eλτ P (x − 1; τ)dτ

– p. 9/21


Applichiamo la relazione recursiva per x = 1 per ottenere P (1; t).

P (1; t) = λ e−λt

∫ t

0

eλτ P (0; τ)dτ

= λ e−λt

∫ t

0

eλτ e−λτdτ

= λ e−λt

∫ t

0

dτ

= λ t e−λt

– p. 10/21



P (1; t) = λ e−λt

∫ t

0

eλτ P (0; τ)dτ

= λ e−λt

∫ t

0

eλτ e−λτdτ

= λ e−λt

∫ t

0

dτ

= λ t e−λt

Quindi applichiamo la formula recursiva per x = 2 per ottenereP (2; t); poi per x = 3 per ottenere P (3; t) e così via.

– p. 10/21



P (1; t) = λ e−λt

∫ t

0

eλτ P (0; τ)dτ

= λ e−λt

∫ t

0

eλτ e−λτdτ

= λ e−λt

∫ t

0

dτ

= λ t e−λt

Quindi applichiamo la formula recursiva per x = 2 per ottenereP (2; t); poi per x = 3 per ottenere P (3; t) e così via.

Infine, per un valore arbitrario si ha:

P (x; t) =(λt)x

x!e−λt

– p. 10/21

DISTR. DI POISSON: VALORE DI ASPETTAZIONE

x è la variabile casuale discreta, e λ è un parametro, il cui significatoè quello di rate o tasso medio di arrivo dei fotoni nell’unità di tempo(in unità di [ fotoni /s]).

– p. 11/21



Per comprendere meglio, valutiamo il valore di aspettazione, ovvero ilnumero atteso di fotoni nell’intervallo di tempo t

– p. 11/21



Per comprendere meglio, valutiamo il valore di aspettazione, ovvero ilnumero atteso di fotoni nell’intervallo di tempo t

Ponendo µ = λt, otteniamo:

P (x; µ) =µx

x!e−µ

– p. 11/21

DIST. DI POISSON VALORE DI ASPETTAZIONE

E(x) =+∞∑

x=0

xµx

x!e−µ

=+∞∑

x=1

xµx

x!e−µ

= µ e−µ

+∞∑

x=1

µx−1

(x − 1)!

= µ e−µ

+∞∑

y=0

µy

y!

= µ e−µeµ

= µE(x) = µ = λt da cui si comprende che λ rappresenta il tasso mediodi arrivo dei fotoni.

– p. 12/21

DIST. DI POISSON VALORE DI ASPETTAZIONE

E(x) =+∞∑

x=0

xµx

x!e−µ

=+∞∑

x=1

xµx

x!e−µ

= µ e−µ

+∞∑

x=1

µx−1

(x − 1)!

= µ e−µ

+∞∑

y=0

µy

y!

= µ e−µeµ

= µE(x) = µ = λt da cui si comprende che λ rappresenta il tasso mediodi arrivo dei fotoni.

Si noti che λt corrisponde al parametro n p della distribuzionebinomiale.

– p. 12/21

DISTRIBUZIONE DI POISSON: VARIANZA

E(x2) =+∞∑

x=0

x2 µx

x!e−µ

= µ+∞∑

x=1

xµx−1

(x − 1)!e−µ

= µ+∞∑

x=1

[

(x − 1) + 1] µx−1

(x − 1)!e−µ

= µ

[

+∞∑

y=0

yµy

y!e−µ +

+∞∑

y=0

µy

y!e−µ

]

= µ

[

+∞∑

y=0

y P (y) +

+∞∑

y=0

P (y)

]

= µ (µ + 1)

V ar(x) = E(

x2)

−[

E(x)]2

= µ (µ + 1) − µ2 = µ coincide E(x).

– p. 13/21


– p. 14/21


link: Come dipende la dist. di Poisson dal parametro µ

All’aumentare di µ la poissoniana diventa sempre piùsimmetrica fino a convergere verso a distribuzione diGauss.

– p. 15/21

http://ideal.stat.wvu.edu:8080/ideal/resource/modules/1/Poisson/poisson.html


link: Come dipende la dist. di Poisson dal parametro µ

All’aumentare di µ la poissoniana diventa sempre piùsimmetrica fino a convergere verso a distribuzione diGauss.

La poissoniana può essere utilizzata per approssimarela binomiale nel caso in cui il numero di prove n → ∞ ep → 0, in modo tale che n p sia finito. La poissonianacorrispondente è quella definita dal parametro µ = np.

P (x; n) =n!

x! (n − x)!pxqn−x =

n!

x! (n − x)!

µ

n

x(

1 −µ

n

)n−x

≈µx

x!e−µ

– p. 15/21

http://ideal.stat.wvu.edu:8080/ideal/resource/modules/1/Poisson/poisson.html

Una tipica applicazione astronomicaIn Astronomia un tipico fenomeno rappresentato dalla statistica diPoisson è il conteggio di dei fotoni provenienti da una sorgenteluminosa su di un dispositivo fotorivelatore.

– p. 16/21


Anche assumendo che il sensore sia esposto ad una sorgenteuniforme, la risposta che ne deriva non è uniforme: ogni elementorivelatore, detto pixel, registrerà un numero di fotoni incidentileggermente diverso e l’aspetto globale dell’immagine astronomica èquello di un’immagine granulosa, rumorosa, che varia senza alcunapossibilità di previsione da un pixel all’altro e in funzione del tempo.

– p. 16/21


Anche assumendo che il sensore sia esposto ad una sorgenteuniforme, la risposta che ne deriva non è uniforme: ogni elementorivelatore, detto pixel, registrerà un numero di fotoni incidentileggermente diverso e l’aspetto globale dell’immagine astronomica èquello di un’immagine granulosa, rumorosa, che varia senza alcunapossibilità di previsione da un pixel all’altro e in funzione del tempo.

Il numero di fotoni che giungono in un intervallo di tempo (o dispazio) sul singolo pixel segue la statistica di Poisson, poichè i) ilnumero di fotoni totali è enorme, ii) mentre è bassa la probabilitàdiincidenza, iii) ed essi sono eventi indipendenti l’uno dall’altro.

– p. 16/21

Una tipica applicazione astronomica

Dunque se n è il numero di fotoni conteggiati da un certo pixel(convenzionalmente si parla di segnale S = n), l’indeterminazione sulconteggio (convenzionalmente si parla di rumore N - dall’inglesenoise) è N =

√n, per cui il parametro “rapporto segnale-rumore”, è

dato da S/N =√

n.

– p. 17/21




dato da S/N =√

n.

Maggior numero di fotoni, migliore è la qualità dell’immagineastronomica.

– p. 17/21




dato da S/N =√

n.

Maggior numero di fotoni, migliore è la qualità dell’immagineastronomica.

Grande apertura dei telescopi (collecting area) / lunghi tempi diesposizione.

– p. 17/21


Pannello sinistro: immagine uniformemente illuminataPannello destro: immagine con rumore di Poisson.

a): Immagine simulata di galassie e stelleb): Immagine simulata con aggiunta di rumore poissoniano.

– p. 18/21

LA DISTRIBUZIONE UNIFORME CONTINUA

La variabile casuale x solo valori in [a, b], tuttiequiprobabili.

– p. 19/21



La densità di probabilità f(x) =cost in [a, b], nullaesternamente all’intervallo.

– p. 19/21



La densità di probabilità f(x) =cost in [a, b], nullaesternamente all’intervallo.

la cost. deriva dalla condizione di normalizzazione.

f(x) = 0 per x < a e per x > b;

f(x) =1

b − a= cost. per a ≤ x ≤ b.

– p. 19/21


– p. 20/21


Valore di aspettazione E(x) =a + b

2

– p. 21/21



2

Varianza V ar(x) =(b − a)2

12

– p. 21/21



2


12

σ =b − a√

12≈ 0.3(b − a)

– p. 21/21



2


12

σ =b − a√

12≈ 0.3(b − a)

Usata per trattare gli errori ogni qual volta si sa consicurezza che una certa variabile è contenuta in uncerto intervallo, ma non si ha alcun motivo per ritenerealcuni valori più plausibili di altri.

– p. 21/21

Studio delle caratteristiche degli strumenti usati ... · Limite della binomiale quando p → 0 e n...

Documents

Transcript of Studio delle caratteristiche degli strumenti usati ... · Limite della binomiale quando p → 0 e n...