Operazioni musicali nel sistema di rappresentazione binomiale Lezione 5 Programmazione per la Musica...

Operazioni musicali nel sistema di rappresentazione binomiale

Lezione 5

Programmazione per la Musica | Prof. Luca A. Ludovico

Coppie <pc,nc> ammissibili

Sulle colonne sono disposte le note con lo stesso nome e diverso stato di alterazione (sempre 5), sulle righe le enarmonie (sempre 3, ad eccezione di G#/Ab).

Quante sono le possibili combinazioni?

Teoricamente 12 ∙ 7 = 84, ossia tutte le celle nella tabella a fianco

In pratica, considerando al più le doppie alterazioni, 7 ∙ 5 = 35.Fino ad alterazioni quintuple non ci sarebbe ambiguità (vedi colonna C).

Programmazione per la Musica - Prof. Luca A. Ludovico5. Rappresentazione binomiale: operazioni musicali

pc nc 0 1 2 3 4 5 6

0 C Dbb B#

1 C# Db Bx

2 Cx D Ebb

3 Cx# D# Eb Fbb

4 Cxx Dx E Fb

5 Cxx# E# F Gbb

6 ? Ex F# Gb

7 Cbbbbb

Fx G Abb

8 Cbbbb G# Ab

9 Cbbb Gx A Bbb

10 Cbb A# Bb

11 Cb Ax B

Rappresentazione binomiale degli intervalli

nc specifica l’ampiezza dell’intervallo generico, e pc la dimensione in semitoni.

Sulle colonne si trovano intervalli la cui dimensione generica è uguale (ad es., le terze, le quarte, ecc.) mentre sulle righe si trovano gli intervalli omofoni.

Il sistema non è ambiguo fino agli intervalli quintuplamente eccedenti (5A) o diminuiti (5d).


pc nc 0 1 2 3 4 5 6

0 P1 d2 (3d)3

A7

1 A1 m2 (2d)3

2 (2A)1

M2 d3

3 (3A)1

A2 m3

4 (4A)1

(2A)2

M3 d4

5 (5A)1

(3A)2

A3 P4

6?

(4A)2

(2A)3

A4 d5

7 (5d)1

(5A)2

(3A)3

P5 d6

8 (4d)1

(5d)2

(4A)3

A5 m6

9 (3d)1

(4d)2

(5A)3

M6 d7

10 (2d)1

(3d)2

(5d)3

A6 m7

11 d1 (2d)2

(4d)3

M7

Legenda: …, d = diminuito (diminished), m = minore (minor), P = giusto (perfect), M = maggiore (major), A = eccedente (augmented), …

Operatori musicali: trasposizione

• Tutte le operazioni viste nei sistemi pc e nc sono possibili anche in rappresentazione binomiale: vengono eseguite separatamente sulle componenti pc in modulo 12 e nc in modulo 7.

• La trasposizione corrisponde all’addizione. Trasporre una nota <a,b> di un intervallo <c,d> significa:

<a,b> + <c,d> = <(a + c) mod 12, (b + d) mod 7>

• Esempio: trasporre D (Re naturale) di una terza maggiore

<2,1> + <4,2> = <6,3>

D + M3 = F#

• La trasposizione può avvenire in senso discendente. Trasporre di una terza maggiore discendente implica sommare <-4,-2>


Proprietà della trasposizione nel sistema binomiale

• Sia U l’insieme universo costituito dalle 84 classi di altezze binomiali, ottenibili come combinazione dei 7 valori ammessi per nc e dei 12 valori ammessi per pc.Siano A, B e C tre binomi qualsiasi U.

• (A + B) U• A + B = B + A la somma è commutativa• (A + B) + C = A + (B + C) la somma è associativa• <0,0> è l’elemento neutro per l’addizione, in quanto A + <0,0> = A• Per ogni A esiste un inverso A’ tale che A’ + A = <0,0>

L’inversione di <a,b> è <a,b>’ = <12,7> - <a,b> = <(12 – a) mod 12, (7 – b) mod 7>


Operatori musicali: calcolo dell’intervallo

• Per determinare l’intervallo tra due note, si sottrae la prima nota dalla seconda. Tale calcolo corrisponde all’operazione di sottrazione.

• Calcolare l’intervallo tra le note <c,d> e <a,b> significa:<a,b> - <c,d> = <(a - c) mod 12, (b - d) mod 7>

• Esempio: l’intervallo tra Eb (Mi bemolle) e A (La naturale) è<9,5> - <3,2> = <6,3>

A - Eb = A4 [quarta eccedente]

• Invertendo gli estremi dell’intervallo:<3,2> - <9,5> = <6,4>Eb – A = d5 [quinta diminuita]


Operatori musicali: inversione dell’intervallo

• Come specificato sopra, l’inversione di un generico intervallo <a,b> è

<a,b>’ = <12,7> - <a,b> = <(12 – a) mod 12, (7 – b) mod 7>

• Attenzione: apparentemente l’operazione è simile al calcolo di un intervallo, in quanto implica la differenza tra due binomi. In questo caso però la rappresentazione binomiale codifica intervalli e non altezze delle note.

• Esempio: l’inversione di una quarta giusta è<12,7> - <5,3> = <7,4>

P4 [4a giusta] P5 [5a giusta]


Operatori musicali: inversione melodica

• L’inversione melodica di una sequenza è la sottrazione di ciascuna nota della sequenza da una costante binomiale

• Esempio: inversione melodica rispetto alla costante <4,2>

• Si osservi che se la costante binomiale è il doppio di una data nota (espressa come binomio), ha luogo inversione rispetto a quella nota. Nel caso sopra, si tratta della prima nota della sequenza.


D E F# A C

<2,1> <4,2> <6,3> <9,5> <0,0>

<4,2> - <4,2> - <4,2> - <4,2> - <4,2> -

<2,1> = <4,2> = <6,3> = <9,5> = <0,0> =

<2,1> <0,0> <10,6> <7,4> <4,2>

D C Bb G E

Operatori musicali: prodotto

• Si definisca ora l’operatore×nel seguente modo:<a,b> × <c,d> = <(a × c) mod 12, (b × d) mod 7>

• (A x B) U• A×B = B×A il prodotto è commutativo• (A×B)×C = A×(B×C) il prodotto è associativo• <1,1> è l’elemento neutro per il prodotto, in quanto A×<1,1> = A• La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

A×(B + C) = (A×B) + (A×C)(A + B) ×C = (A×C) + (B×C)

• Le proprietà qui elencate, più le proprietà della somma, sono sufficienti per dimostrare che si tratta di un anello commutativo con identità.


ESEMPI

CbrStats.javaIl software legge in ingresso una sequenza di valori numerici interi codificati come Continuous Binomial Representation, e calcola:•la frequenza (espressa in Hz) del pitch più acuto•la frequenza (espressa in Hz) del pitch più grave•la frequenza media dei pitch.

Osservazione: ci si sta concentrando sull’aspetto acustico delle note (le frequenze in Hertz)


ESERCIZIO

Si scriva un programma che richieda in ingresso una sequenza di pitch, espressi come cbr, e produca in uscita (in formato cbr):•una trasposizione diatonica, ossia di un certo numero di gradi della scala

• es.: T3(C#3, A5, B4, G#6) = E#3, C6, D5, B#6

•una trasposizione cromatica, ossia di un certo numero di semitoni• es.: Tm3(C#3, A5, B4, G#6) = E3, C6, D5, B6

•una qualsiasi scrittura enarmonica • es.: E(C#3, A5, B4, G#6) = Db3, Bbb5, Cb5, Ab6

•l’inversione speculare della sequenza melodica rispetto all’ultima nota della sequenza • es.: I(C#3, A5, B4, G#6) = ?3, ?5, ?4, G#6


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