TEMPUS PECUNIA EST

COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHEFINANZIARIE E AZIENDALI

Direttore

Beatrice VUniversità degli Studi di Cagliari

Comitato scientifico

Umberto NUniversity of Maryland

Russel Allan JUniversità degli Studi di Firenze

Gian Italo BUniversità degli Studi di Urbino

Giuseppe AUniversità degli Studi di Cagliari

TEMPUS PECUNIA EST

COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHEFINANZIARIE E AZIENDALI

Al suo livello più profondo la realtà è la matematica della natura.

P

Questa collana nasce dall’esigenza di offrire al lettore dei trattati cheaiutino la comprensione e l’approfondimento dei concetti matema-tici che caratterizzano le discipline dei corsi proposti nelle facoltà diScienze economiche, finanziarie e aziendali.

Alessandro Ramponi

Lezioni di Finanza Matematica

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via Quarto Negroni, Ariccia (RM)

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II edizione: ottobre

Indice

Prefazione

Prefazione II Edizione

Capitolo IConcetti base della Matematica Finanziaria

.. Interessi, – ... Interesse semplice, – ... Interesse composto perio-dicamente, – ... Interesse composto continuamente, – .. Valore tem-porale del denaro e flussi di cassa, – ... Valore attuale, – ... Valorefuturo, – ... Equivalenza di flussi di cassa e TIR, – .. Un’estensione:il tasso di interesse dipendente dal tempo, – .. Alcuni meccanismi:vendita allo scoperto e speculazione, – .. Rendimenti, arbitraggio eportafogli, .

Capitolo IISecurity markets

.. Il modello matematico di mercato: arbitraggio e prezzi, – .. Leobbligazioni, – ... Rendimenti e la struttura a termine dei tassi, –... Obbligazioni con cedole, – ... Duration e duration modificata., – ... La determinazione della struttura a termine dei tassi d’interesse: ilmetodo bootstrap., .

Capitolo IIIProdotti derivati: forward, futures ed opzioni

.. Contratti Forward e Futures, – .. Contratti di opzione, –... Opzione call, – ... Opzione put, – .. Proprietà delle op-zioni, – ... Limiti sul valore dei premi, – ... Put–Call parity, – .. Alcune strategie di mercato, – ... Uso dei derivati: hedgers especulatori, – ... Alcune strategie, – ... Effetto leva, – .. Op-zioni esotiche, – .. Complementi ed esercizi, – ... Proprietàdelle opzioni, – ... Contratti Forward con costo di mantenimento (ostoccaggio), – ... Esercizi, – ... Swaps, .

Indice

Capitolo IVValutazione dei derivati: dalla formula CRR alla formula di Black–Scholes

.. Il modello binomiale uniperiodale, – .. Il modello binomia-le multiperiodale di Cox, Ross e Rubinstein, – .. La formula diBlack–Scholes, – ... Il modello dinamico a tempo continuo e la va-lutazione neutrale al rischio, – ... Le lettere greche e l’equazione diBlack–Scholes, – .. Complementi ed esercizi: alberi binomiali, –... Esercizi, .

Capitolo VRischio di credito

.. Misure coerenti di rischio, – ... Il Value–at–Risk, – ... Ex-pected shortfall, – .. Il rischio di credito, – .. Il modello diMerton, – .. Il modello ASRF, – ... La distribuzione delle perdi-te: il modello asintotico, – .. Complementi ed esercizi: il Credit ValueAdjustment–CVA, – ... Esercizi, .

Capitolo VICalcolo delle probabilità

.. Eventi e probabilità, – ... Probabilità condizionate, indipendenzae Formula di Bayes, – ... Ancora sulle probabilità condizionate, –.. Variabili aleatorie, – ... Variabile discrete, – ... Variabi-li continue, – .. Leggi congiunte di variabili aleatorie, probabilitàcondizionate e indipendenza, – ... Il caso discreto, – ... Il casocontinuo, – ... Ancora sul valore atteso condizionato: un punto di vistapiù generale, – ... Funzioni di variabili aleatorie, – ... VariabiliNormali Multivariate, – .. Funzioni caratteristiche, – .. Con-vergenze di variabili aleatorie, – ... La Legge dei Grandi Numeri, – ... Il Teorema Limite Centrale, – .. Processi stocastici, filtrazionie martingale., – .. Il moto Browiano o processo di Wiener, .

Bibliografia

Prefazione

Questo libro nasce dalla volontà di organizzare una serie di note/appuntiraccolti nel corso degli anni per le lezioni del corso di Modelli Matematiciper la Finanza (o per il Mercato Finanziario) che ho tenuto a partire dal, sia per il corso di laurea specialistica in Matematica, all’Università diRoma Tre, che per quella in Economia (attualmente Economia dei Mercati edegli Intermediari Finanziari), all’Università di Roma “Tor Vergata”. Le notesi sono quindi sviluppate e adattate di volta in volta per venire incontroalle esigenze di studenti con differenti livelli di preparazione. Questocontinuo sviluppo mi ha però permesso di mettere a fuoco, o di cercaredi farlo, alcune idee e tecniche alla base di alcuni dei principali argomentidella moderna Finanza Matematica: mercati a reddito fisso, analisi delrischio e valutazione di derivati. Ho ritenuto dunque necessario, per avereun insieme organico di nozioni, di includere sia una parte introduttivaai concetti base della Matematica Finanziaria (composizione dei tassi diinteresse, flussi di cassa, attualizzazione, arbitraggio ...) sia un riepilogodei principali strumenti del Calcolo delle Probabilità (spazi di probabilità,variabili aleatorie... ed in particolare i concetti di valore atteso condizionatoe di martingala). Il denominatore comune è stato quello di utilizzaresolo tecniche matematiche in quello che ritengo sia (o debba essere)bagaglio culturale comune agli studenti di indirizzo economico/scientifico:calcolo differenziale e integrale, algebra lineare e calcolo delle probabilità,evitando quindi l’uso dei processi stocastici e del calcolo ad essi associato edell’analisi funzionale. Le lezioni si prestano quindi all’uso per un corso diFinanza Matematica di uno o due moduli di / crediti ognuno, sia perstudenti che non hanno ancora affrontato in modo organico argomenti dimatematica finanziaria (p.e. matematica o ingegneria) sia per studenti conuna preparazione economico/finanziaria ma meno orientata a certi aspettidel calcolo delle probabilità. Concludo con un doveroso e opportunoringraziamento ai colleghi, ed amici, Fabio Antonelli e Sergio Scarlatti,senza i quali queste lezioni non sarebbero mai state né tenute né scritte.

Alessandro Ramponi

Prefazione II Edizione

La seconda edizione del volume comprende dei cambiamenti nellastruttura dei capitoli ed alcuni aggiornamenti del materiale presentato.In particolare ho ampliato la sezione Calcolo delle Probabilità, inclu-dendo la descrizione del moto Browniano e le sue principali proprietà;il Capitolo , con la descrizione di derivati esotici; nel capitolo dedicatoal Rischio di Credito ho aggiunto una sezione che introduce il CreditValue Adjustment come collegamento ulteriore e di recente interessetra la parte relativa alla valutazione dei derivati ed appunto il rischio dicredito. Nuovi esempi ed esercizi sono infine presenti nei vari capitoli,elaborati a partire dalle osservazioni e dai commenti che gli studentihanno espresso seguendo pazientemente lo svolgimento delle lezioni.

Alessandro Ramponi

Capitolo I

Concetti base della Matematica Finanziaria

In questo capitolo presenteremo alcune nozioni elementari della ma-tematica finanziaria. Introdurremo in particolare la composizioneperiodale e continua degli interessi, il valore presente e futuro di unflusso di cassa ed alcune importanti “strategie” con cui si opera neimercati finanziari. Per approfondimenti si veda ad esempio [].

.. Interessi

La variazione nel tempo del valore di una quantità monetaria dispo-nibile oggi a seguito di un’operazione finanziaria è descritta dalleleggi di composizione degli interessi. Possiamo immaginare di averea disposizione oggi una quantità di denaro X e di investirla, p.e. de-positandola su un conto corrente bancario (che supporremo privo dispese) o prestandola allo Stato od a qualche azienda privata (si parlain questo caso di Obbligazioni), con la promessa di riavere alla finedel periodo considerato, che indichiamo con T > , il capitale inizialepiù una certa quantità, XT = X + I. In generale si può assumere chela quantità I sia una percentuale del valore iniziale, ovvero I = rX

dove r ∈ (, ). A tale valore ci si riferisce genericamente come tasso diinteresse.

... Interesse semplice

Si consideri il caso di un orizzonte temporale di un anno, ovvero T = .Supponiamo di depositare oggi un capitale su un conto corrente (c/c)

Lezioni di Finanza Matematica

che paga un certo interesse annuo r:

t = (oggi)X = (capitale iniziale)r = % (interesse annuo–tasso).

Allora un anno dopo:

t = (un anno dopo)X̃ = X + rX (nuovo capitale)

= +

= .

Se indichiamo con r il tasso di interesse su base annua, supponendoche rimanga invariato nel corso del tempo considerato, l’interesse sidice semplice se nell’anno successivo l’interesse che si matura è sulcapitale iniziale depositato, e non su quanto guadagnato (supponendodi non fare prelievi):

t = (due anni dopo)X̃ = X̃ + rX

= +

=

⇒ X̃ = X( + r).

Dunque, dopo n anni

X̃n = X( + nr)

conX = capitale inizialeX̃n = capitale finale dopo n anni

Quindi l’interesse semplice aggiunge di anno in anno gli interessisempre e solo sul capitale iniziale.

... Interesse composto periodicamente

L’interesse composto è l’interesse che matura anche su quanto guada-gnato di anno in anno. Definendo r il tasso di interesse su base annuae supponendo che rimanga invariato per tutto il tempo considerato,

. Concetti base della Matematica Finanziaria

è chiaro che non c’è differenza tra l’interesse semplice e l’interessecomposto solo nel primo anno:

t = (oggi)X = (capitale iniziale)r = % (interesse annuo–tasso)

t = (un anno dopo)X = X + rX (nuovo capitale)

= +

= .

t = (due anni dopo)X = X + rX (nuovo capitale)

= +

= .

(quindi dopo il secondo anno abbiamo con l’interesse composto e inpiù rispetto all’interesse semplice). Cerchiamo una formula generale:

X = capitale inizialer = interesse annuo–tasso

t = annoX = X + rX = X( + r)

t = anniX = X + rX = X( + r) = X( + r)

...t = n anni

Xn = Xn− + rXn− = Xn−( + r) = X( + r)n

Dunque, dopo n anniXn = X( + r)n

conX = capitale inizialeXn = capitale finale dopo n anni

Finora l’interesse era composto annualmente. Chiediamo ora inve-ce alla banca di pagare sempre il % di interesse annuo, ma composto

Lezioni di Finanza Matematica

semestralmente:

t = (oggi)X = (capitale iniziale)r = % (interesse annuo–tasso)

t = / (semestre dopo)

X/ = X + rX = X( + r

)

= +

= .

Alla fine del primo anno (e quindi del secondo semestre) riapplicol’interesse composto semestralmente sul capitale finora maturato:

t = un anno = semestri

X = X/ + rX/ = X( + r

)

= ( +

) = ( + .) = ..

Si osservi che la composizione semestrale degli interessi ha pro-dotto dopo un anno un capitale maggiore che con la composizioneannuale: infatti

( +r

) > ( + r).

Dunque, dopo n anni, cioè h = n semestri

Xn = X( +r

)h = X( +

r

)n.

Quindi componendo semestralmente guadagno di più rispetto ad

. Concetti base della Matematica Finanziaria

una composizione annuale. Se allora componessi giornalmente:

t = / (un giorno dopo)

X/ = X + r

X = X( + r

)

= +

=

...t = un anno = (giorni dopo)

X = X/ + r

X/ = X( + r

)

= ( +

) = .

Dunque, dopo n anni, ovvero h = n giorni

Xn = X( +r

)h = X( +

r

) n.

In generale, suddividendo l’intervallo temporale di un anno in ksottointervalli di ampiezza∆t = /k, il capitale alla fine dell’anno concomposizione dell’interesse r sui sottointervalli∆t è dato da

X = X( +r

k)k = X( +∆t r)/∆t.

Sia infine T > un dato istante di tempo, che assumiamo essere unmultiplo di∆t, T = h∆t = h/k: il capitale maturato al tempo T concomposizione dell’interesse r sui sottointervalli di ampiezza∆t è

XT = X( +r

k)h = X( +

r

k)k T = X( +∆t r)T/∆t. (.)

Esempio .. Sia X il capitale posseduto oggi. Se r = %, quanti anni civogliono per raddoppiare il capitale, assumendo una composizione annuale

. Possiamo assumere che un giorno corrisponda alla ◦ parte dell’anno. Le conven-zioni attuariali per il calcolo degli interessi su differenti basi temporali variano da mercatoa mercato.

Lezioni di Finanza Matematica

degli interessi? Se aspetto anni quanto deve valere r per conseguire ilraddoppio del capitale?

Poiché Xn = X( + r)n = X( + .)n, per ottenere il raddoppio delcapitale deve essere Xn = X, ovvero X( + .)n = X. Dunque n devesoddisfare la condizione ( + .)n = da cui

n =log

log .= ..

In base alla stessa relazione Xn = X( + r)n = X, ma risolvendolarispetto ad r con n = , otteniamo

= ( + r)⇐⇒ r = /− = ..

Sia r il tasso di interesse su base annua che componiamo sui sot-toperiodi∆t = /k e sia X il capitale iniziale. In particolare r è dettotasso nominale. Dopo un anno avremo

X = X( +r

k)k.

Si definisce tasso di interesse semplice effettivo, ref f (k) equivalente altasso r composto su k periodi quel tasso di interesse che permette diottenere lo stesso capitale alla fine dell’anno, ovvero X = X(+ref f (k)).Dalla relazione ( + ref f (k)) = ( + r

k )k si ha quindi

ref f (k) = ( +r

k)k− ⇐⇒ r = k

�

( + ref f (k))/k− �

... Interesse composto continuamente

Nell’interesse composto periodicamente, più è piccolo il periodo ditempo rispetto al quale si compone l’interesse, maggiore è il guadagno.Siamo allora interessati ad intervalli di tempo∆t sempre più piccoli,ovvero al limite per∆t→ : il capitale dopo un anno è dunque

X = lim∆t→

X( +∆t r)/∆t = limk→+∞

X( +r

k)k = Xer,

. Concetti base della Matematica Finanziaria

o considerando più generalmente un arbitrario istante di tempo T >

XT = lim∆t→

X( +∆t r)T/∆t = limk→+∞

X( +r

k)k T = Xer T.

Dunque il capitale maturato al tempo T se l’interesse fosse compostocontinuamente è

XT = Xer T. (.)

Esempio .. Sia X = e il capitale iniziale e r = % l’interesseannuale: allora il capitale dopo un anno con composizione continua degliinteressi è

X = Xer = e. = .

Osserviamo che poiché ( + x/k)k↗ ex, la composizione continuadegli interessi è sicuramente la più vantaggiosa per chi riceve gliinteressi e di conseguenza la meno vantaggiosa per chi invece li devepagare.

Anche in questo caso possiamo definire dei tassi effettivi equivalen-ti: dalle relazioni X = Xerc = X( + ref f (k)/k)k otteniamo

rc = k log( + ref f (k)/k)⇐⇒ ref f (k) = k(erc/k− ).

.. Valore temporale del denaro e flussi di cassa

Supponiamo che un deposito su un c/c paghi r = % annuo (interessesemplice) e supponiamo che r sia certo (ossia la banca paga l’interessesicuramente, non fallisce!). Se X = e è il capitale iniziale, alloracon certezza dopo un anno il nuovo capitale è X = e.

Quindi, il valore attuale o presente di e tra un anno, che definia-mo PV(), è e disponibili subito. In altri termini, avere edisponibili subito o avere e disponibili tra un anno è la stessa cosa(se c’è un investimento certo):

X = PV(X).

Lezioni di Finanza Matematica

Analogamente, il valore futuro di e disponibili subito tra unanno, in simboli FV(), è e:

X = FV(X).

poiché X = X( + r) è immediato osservare che

PV(X) = X =X

+ r, FV(X) = X = X( + r).

Assumendo invece una capitalizzazione continua degli interessi allafine dell’anno si ha

PV(X) = Xe−r, FV(X) = Xer.

Consideriamo un vettore a due componenti v ∈R con v = (x, x):interpretiamo le componenti del vettore come delle quantità mone-tarie disponibili a certi istanti di tempo fissati (p.e. t = e t = ) sulnostro c/c. Se xi > si parla di entrate mentre se xi < si parla di uscite.Il vettore v è detto cashflow o flusso di cassa. I flussi di cassa possonoessere positivi o negativi.

Esempio .. Il vettore v = (, ) indica la disponibilità di e oggi e die con certezza tra un anno.

Il vettore v = (,−) indica invece la disponibilità di e oggi e ilpagamento di e che dovrò con certezza effettuare tra un anno.

Più in generale possiamo definire un flusso di cassa su n istantitemporali noti ≤ t < t < · · · < tn come un vettore v ∈ Rn, v =(x, x, . . . , xn), dove xi è una quantità monetaria certamente disponibile(in entrata o in uscita) al tempo ti.

... Valore attuale

Vogliamo definire il valore attuale ed il valore futuro di un flusso dicassa v.

Consideriamo ad esempio il flusso di cassa definito dal vettorev = (, ) che rappresenta la disponibilità di e oggi e di e tra un