Prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Quesiti per lEsame di Stato Il coefficiente binomiale.

prof. Fabio Bonoli 6 maggio 2009

Quesiti per l’Esame di Stato

Il coefficiente binomiale


Sommario

IL COEFFICIENTE BINOMIALE

1. Permutazioni e fattoriale

2. Il coefficiente binomiale

3. Il binomio di Newton

4. Quesiti sul coefficiente binomiale


Permutazioni e fattoriale: Quanti siano tutti i possibili anagrammi (anche privi di senso) di una

data parola? con 3 lettere, per esempio ape, otteniamo i seguenti 6 anagrammi:

ape, aep, pae, pea, eap, epa

Con 4 lettere il numero di anagrammi cresce: rosa, roas, rsoa, rsao, raos, raso, orsa, oras, osra, osar, oars, oasr,

sroa, srao, sora, soar, sarò, saor, aros, arso, aors, aosr, asro, asor.

Sono 24. Se provassimo con 5 lettere otterremmo 120


Perché?

n scelte possibili per la prima lettera, a questo

punto restano n-1 scelte possibili per la

seconda, n-2 scelte possibili per la terza e cosi

via….

n! 1...)2()1( nnn


Definizione ricorsiva di n!

II fattoriale di un numero n può essere definito in modo ricorsivo:

1!=1

n! = n·(n-1)!

Il fattoriale cresce molto rapidamente: 10! =3 628 000 e 70! è un numero di 101 cifre.

Risulta utile definire anche 0!; si pone per definizione 0!=1

e allora la definizione ricorsiva si modifica nel seguente modo:

0!=1

n! = n·(n-1)!


Il coefficiente binomiale e il teorema del binomio: Sappiamo che (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3.

Nel primo caso i coefficienti dello sviluppo sono (1, 2, 1), nel secondo caso (1, 3, 3, 1).

Proseguendo nel calcolo delle successive potenze del binomio (a + b) otteniamo:

(a + b)4 =a4+4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 =a5+5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3+ 5ab4 + b5.

Sorge l'esigenza di generalizzare: qual è lo sviluppo di (a + b)n?


Poniamo un problema che apparentemente è molto lontano da questo.

Dato un insieme A che contiene n elementi; vogliamo sapere quanti sono i sottoinsiemi distinti di A che contengono k elementi, per ogni k compreso tra 0 e n.

Cominciamo a considerare un insieme di 2 elementi, per esempio {a,b}:

- il numero di sottoinsiemi che hanno O elementi è 1: - il numero di sottoinsiemi che hanno 1 elemento è 2: {a}, {b}; - il numero di sottoinsiemi che hanno 2 elementi è 1: {a,b}.

Ritroviamo i numeri 1, 2, 1;


Vediamo cosa accade per gli insiemi di 3 elementi, come {a, b, c}: - il numero di sottoinsiemi che hanno O elementi è 1: - il numero di sottoinsiemi che hanno 1 elemento è 3: {a}, {b}, {c} - il numero di sottoinsiemi che hanno 2 elementi è 3: {a,b} {a,c}

{b,c}; - il numero di sottoinsiemi che hanno 3 elementi è 1: {a,b,c}.

Ritroviamo la sequenza (1, 3, 3, 1), la stessa dello sviluppo di (a + b)3.

Non è difficile proseguire, e scoprire che anche per insiemi di 4 elementi si ritrovano le sequenze (1, 4, 6, 4, 1).

Le stesse sequenze si ottengono in due problemi differenti; è probabile che ci sia per entrambi la stessa spiegazione.

Il coefficiente di a2b2 nello sviluppo di (a+b)4 è 6; il numero di sottoinsiemi, aventi 2 elementi, di un insieme di 4

elementi, per esempio A = {a, b, c, d}, è anch'esso 6. {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b, d}, {c, d}.


Guardiamo questo esempio da un altro punto di vista.

In quanti diversi modi possiamo selezionare 2 elementi dall’insieme A = {a, b, c, d}?

Abbiamo 4 scelte per il primo elemento,

e 3 per il secondo,

quindi 4 • 3 = 12 scelte.

Questo sarebbe il numero di differenti scelte ordinate di 2 elementi presi da un insieme di 4 elementi. Ma a noi non interessa l’ordinamento: il sottoinsieme che contiene, per esempio, gli elementi a, d, è stato così contato più volte (2 volte):

{a,d,}, {d,a}.


Dunque dovremo dividere 12 per il numero dei diversi possibili ordinamenti di 2 elementi, cioè, come abbiamo visto, per il numero di permutazioni di 2 elementi, che è 2 ! = 2. In conclusione:

come ci aspettavamo.

Quanti sono i sottoinsiemi di 4 elementi di un insieme di 6 elementi? Ci sono 6 scelte possibili per il primo elemento, 5 per il secondo, 4 per il terzo, 3 per il quarto, quindi 6 • 5 • 4 • 3 scelte ordinate, che dobbiamo dividere per 4 ! :

6!2

34

15!4

3456


Possiamo concludere che il numero di sottoinsiemi aventi k elementi di un insieme di n elementi oppure il numero di modi in cui seleziono k elementi da un insieme di n oggetti è

Naturalmente il numero di sottoinsiemi aventi 0 elementi è sempre 1, cioè l'insieme vuoto; il corrispondente coefficiente binomiale sarebbe

Questo risultato giustifica la precedente definizione: 0! = 1.

)!(!

!

knk

n

k

n

0)!0(!0

!1

n

n

n


Torniamo al problema dello sviluppo di (a + b)n e mostriamo che è del tutto equivalente al problema appena considerato. Che cosa significa calcolare lo sviluppo di (a + b)n? Dobbiamo calcolare il prodotto di n fattori

(a+b)(a+b) ... (a+b).

Se fosse n = 3, dovremmo moltiplicare ogni termine del primo monomio per ogni termine del secondo, e ciascun risultato per ogni termine del terzo; in tutto 8 monomi.

Ovvero da ogni binomio (a + b) prendiamo a caso un termine, ottenendo così una terna di lettere, e facciamo questo in tutti i modi possibili, che sono appunto 23 =8. Nel risultato, non ci interessa l’ordine con cui si susseguono a e b, importa soltanto quante volte compare a .

C'è un solo modo di ottenere aaa, ci sono invece 3 scelte diverse per a2b: aab, aba, baa.


Ma questo è del tutto equivalente a determinare quanti sottoinsiemi di 2 elementi abbia un insieme di 3 elementi

Ed è del tutto equivalente a determinare in quanti modi posso selezionare 2 elementi da un insieme che ne contiene 3.

Esempio: Determinare i coefficienti dello sviluppo di (a +b)6.

Quest'ultimo esempio mette in evidenza la simmetria dei coefficienti, precedentemente osservata.

1615201561 Quindi

203!23

3!456

!3!3

!6

3

6 15;

4!2

4!56

!2!4

!6

4

6 15;

4!2

4!56

!4!2

!6

2

6

; 1!6

!6

6

6 ; 6

5!

5!6

!1!5

!6

5

6 6;

5!

5!6

!5!1

!6

1

6 ; 1

0

6

6542332456 babbabababaa


Il coefficiente binomiale I numeri

vengono anche detti “coefficienti binomiali”

Il coefficiente binomiale risponde alle domande:1. "dati n oggetti, in quanti modi ne posso scegliere k?“2. "dato un insieme di n oggetti, quanti sono i sottoinsiemi

composti da k elementi?“3. “dato (a+b)n qual è il coefficiente di bk ?”

Proprietà

k

n

knk

nC kn )!(!

!,

1

1

1

; ; 1 ; 1

; 1

; 10

k

n

k

n

k

n

kn

n

k

n

n

nn

n

nn

nn


Teoremi

Vale inoltre il seguente teorema relativo alla somma di coefficienti

binomiali:

Dimostrazione La somma di tutti i coefficienti binomiali è uguale al numero di tutti i sottoinsiemi di un insieme A di n elementi. Ragioniamo in termini di scelte: un sottoinsieme S di A può essere costruito scegliendo, per ogni elemento dell’insieme, se esso appartenga oppure non appartenga a S; abbiamo 2 possibili scelte per ciascun elemento di A, perciò 2n è il numero dei sottoinsiemi di A.

kn

n

k

nnkNk

n

n

n

n

n

n

nnnn

nn-

nnn

212210

12

2

1


Il binomio di Newton Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo sviluppo dell'n-esima

potenza di un binomio.

Per ogni n>1 risulta:

Una conseguenza immediata del teorema del binomio è una

dimostrazione alternativa del teorema sulla somma dei coefficienti

binomiali

1

21

0

0

1221

kknn

k

nnnnnn

bak

n

bn

nba

n

nba

nba

na

nba

n

n

n

n

n

n

nnnn2)11(

122102


interpretiamo ogni numero per mezzo del corrispondente coefficiente binomiale: per esempio consideriamo il numero 6 nell’ultima riga e i due elementi della precedenti riga che gli «stanno sopra»:

6 =3 +3,

allora

Questa apparente regolarità è effettivamente una proprietà dei

coefficienti binomiali, che possono essere definiti in termini di

coefficienti binomiali «più piccoli».

2

3

1

3

2

4


Teorema

Dimostrazione E’ sufficiente utilizzare la definizione di coefficiente

binomiale:

1

1

1 2n , 0k

k

n

k

n

k

n

)!(!

!

)!(!

)()!1(

)!()!(

)()!1()!1(

)!1()!(

)!1(

)!()!1(

)!1(1

1

1

k

n

knk

n

knk

knkn

kkn

knnkn

knk

n

knk

n

k

n

k

n


Abbiamo visto che il coefficiente binomiale ci indica il numero di

sottoinsiemi composti da k elementi presi da un insieme che ne

contiene n.

Nel primo addendo si considerano i sottoinsiemi composti da k

elementi nei quali non c’è l’elemento contrassegnato.

Il secondo addendo considera i sottoinsiemi composti da k elementi nei

quali c’è anche l’elemento contrassegnato.

1

11

k

n

k

n

k

n


2007 – Scientifico tradizionale

61006016)4(15

15)4()!5(!3

)!2(15

)!5()4(!34

)!2()1(4

)!5(!3

)!2(15

)!4(!4

!45,

3

215

44

22

2

nnnnnnn

n

nn

n

n

nn

nnn

n

n

n

nnNn

nn

2007 – Scientifico PNI supplettiva

4342

10492

2310155)1()2()2()1(5

)!1(!3

!)1()2(

)!1(!3

)2()1(!5

)!1(!3

)!2(

)!3(!3

!53,

3

2

35

2

22

xxxxx

xxxxxxxx

x

xxx

x

xxx

x

x

x

xxNx

xx


2008 – Scientifico tradizionale

2008 – Scientifico tradizionale – Scuole italiane all’estero (Europa)Quale significato attribuisci al simbolo

Esiste un valore k per cui ?

7...2

)1(

6

)2()1(

2

)1(

2312

n? di valoreil è qual ,aritmetica neprogressioin sono 3ncon 3

,2

,1

Se

nnnnnn

nnnnnnn

nnn

k

n

2

1010

kk

6...)!10()11()12()!2()!10()!2()1(

)!12()!2()!10(!)!12()!2(

!10

)!10(!

!10

2

1010

kkkkkkkkk

kkkkkkkkkk


Oppure ricordando che

2008 – Scientifico tradizionale – Scuole italiane all’estero (Americhe)

Quante diagonali ha un poligono di 2008 lati?

kn

n

k

nnkNk

62102

10

10

10

kkkkk

20130202

20052008

2

)3( diagonali 3)-(n partono vericeogni da

oppure

201302020082

200720082008

!20062

!20082008

2

20082,

nn

nCn


2007 – Scientifico tradizionale – Scuole italiane all’estero (Europa)

Quante cifre ha 760 ?Considero i numeri di 4 cifre, ad esempio, da 1000 a 9999. Le cifre

sono 4 in quanto il numero è (una cifra per le unità, una per le decine, una per le centinaia e una per

le migliaia).

Pertanto Quindi il numero di cifre è 51.

2006 – Scientifico tradizionale Si dimostri che che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a+b)n è uguale a 2n .

43 1010 e

)int(log14 10 n7.507log60

10log

60

10log

7log7log 10

77

60760

10

n

n

n

n

n

n

nnnn2)11(

122102


2006 – Scientifico PNIBruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del

secolo scorso, del quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda: “che cos’è la probabilità?” era solito rispondere: “la probabilità non esiste!”. Quale significato puoi attribuire a tale risposta? E’ possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?

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