L’ERRORE DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA

Errore di misura = risultato – “valore vero”

Definizione inesatta o incompleta

Errori casuali

Errori sistematici

Errori sistematici

Modello minimo del misurando

-Rappresentativita’-definizione, campionamento

-Bias-variazione delle condizioni ambientali, calibrazione,

posizione dello strumento

-Presentazione-arrotondamenti, trattamento dei dati

Errori casuali

onepresentazibias'ativitarappresentrandom EEEyy +++=

Errori casuali Errori sistematici

INCERTEZZA DI MISURA

L’ERRORE DI MISURA

Non ne si conosce l’origine poiche’, appunto, casuale

Accuratezza: grado di concordanza tra il risultato di una misurazione

ed un valore vero del misurando

Precisione: grado di concordanza tra i risultati di successive

misurazioni dello stesso misurando effettuate nelle stesse condizioni

di misura

Valore vero

Valore misurato

Errore sistematico

Errore casuale

INCERTEZZA DI MISURA

Se identificato puo’ essere corretto

fenomeno

statistico:

puo’ essere

ridotto

aumentando

il numero di

osservazioni

L’ERRORE DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA

2

43

1

L’ERRORE DI MISURA

Precisione

Accuratezza

Modello minimo del misurando

onepresentazibias'ativitarappresentrandom CCCyy +++=

Categoria A:

componenti valutate

mediante metodi

statistici

Categoria B:

componenti valutate

mediante altri metodi

INCERTEZZA DI MISURA

L’INCERTEZZA DI MISURA

L’incertezza non fa riferimento ad un “valore vero” � non conoscibile

ma esprime proprio questa non-conoscibilita’ del valore della grandezza

misurabile (misurando) o, in altre parole, l’attendibilita’ del risultato

definizioni secondo ISO GUM: Guide to the Expression of Uncertainty in

Measurement

Metodi statistici per variabili aleatorie

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA

Variabile discreta:

∫ −=

b

a

dX)X(p)XX()X( 22σ

∫=b

a

dX)X(XpX

∑=

−=N

i

i )XX(N

)X(1

22 1σ

Valore medio

∑=

=N

i

iXN

X1

1

Varianza

Variabile continua:

Valore medio

Varianza

Metodi statistici per variabili aleatorie

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA

∑=

−−

=N

i

ik )XX(N

)X(s1

22

1

1

N

)X(s)X(s i

2

2 =

stima campionaria dicreta

Valore medio

Varianza

del valor medio stimato

Varianza

∑=

=N

i

iXN

X1

1

Distribuzioni di particolare interesse nelle misure meccaniche e

termiche:

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA

Distribuzione rettangolare uniforme continua

Distribuzione di Gauss

Valutazione di categoria A dell’incertezza tipo (Errori casuali):

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA

grandezza di ingresso

n osservazioni ripetute indipendenti

stima della grandezza

incertezza tipo della stima

iX

ikX

ii Xx =

)X(s)x(u ii =

Valutazione di categoria B dell’incertezza tipo (Errori sistematici):

grandezza di ingresso senza osservazioni ripetute

stima della grandezza

incertezza tipo della stima valutata tramite

giudizio scientifico

iX

)x(u i

ix

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA

L’obiettivo e’ esprimere la misura e la sua incertezza in uno dei seguenti modi:

stima ed incertezza tipo

stima ed incertezza estesa

k e’ il fattore di copertura legato al livello di fiducia p

)X(s)x(u ii =ii Xx =

)y(ukU c⋅=UyYUy +≤≤−

2222

onepresentazibias'ativitarappresentrandomc uuuu)y(u +++=

Valutazione dell’incertezza tipo composta:

SISTEMI DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA

Fattore di coperturak

Livello di fiduciap

1 54,74

1,65 95

1,71 99

>=1,73 100

Distribuzione rettangolare simmetrica

ab)X(p

−=

1

12

2

2 )ab( −=σ

)bX,aX( ><

0=)X(p )bXa( <<

Valore medio

Varianza

2

baX

+=

SISTEMI DI MISURA

Distribuzione normale

Fattore di coperturak

Livello di fiduciap

1 68,27

1,645 90

1,960 95

2 95,45

2,576 99

3 99,73

INCERTEZZA DI MISURA

)X( +∞<<−∞

∫ −=

b

a

dX)X(p)XX()X( 22σ

∫=b

a

dX)X(XpX

2

2

2

2

1σ

πσ

)XX(

e)X(p

−−

=

Valore medio

Varianza

SISTEMI DI MISURA

Esercizio 1: prove ripetute

un operatore ha ottenuto 7 valori di temperatura, in ºC, dell’acqua contenuta in un

recipiente, in condizioni di ripetibilita’:

32,5 32,8 32,1 33,1 32,7 32,9 32,3

tra le specifiche del termometro si legge: accuratezza ±0,5 ºC

Esprimere il risultato e la relativa incertezza

Soluzione:

Stima dell’incertezza composta:

t = 32,6 ± 0,32 ºC

Stima dell’incertezza estesa:

t ± U(t) = 32,6 ± 0,63 ºC (k=1,96, p=0,95)

INCERTEZZA DI MISURA

SISTEMI DI MISURA

Esercizio 2: prove ripetute

Si vuole determinare la lunghezza effettiva di un componente meccanico, la cui

lunghezza nominale e’ 150 mm.

Si esegue una misura diretta con uno strumento che ha un errore sistematico noto di

-0,06 mm, con incertezza trascurabile sull’errore stesso.

Esprimere il risultato e la sua incertezza.

Soluzione:

Incertezza composta:

L=150,03 ± 0,026 mm

Incertezza estesa:

L ± U(L) = 150,03 ± 0,051 mm (k=1,96, p=0,95)

N L,mm

1 150,14

2 150,04

3 149,97

4 150,08

5 149,93

6 149,99

7 150,13

8 150,09

9 149,89

10 150,01

INCERTEZZA DI MISURA

SISTEMI DI MISURA

Esercizio 3: misura indiretta di una grandezza

La portata in massa di un fluido, Γ, e’ misurata con un dispositivo di strozzamento e

calcolata con la relazione

INCERTEZZA DI MISURA

p∆ραΓ =

dove:4

10−=α 2m %2±

310=ρ

3m

kg%2±

510=p∆ Pa %,50±

livello di

confidenza = 68%

ipotizzando le variabili indipendenti, calcolare la deviazione standard che compete a Γ

Soluzione: Γ = 1 ± 0,023 kg/s (k=1, p=0,68)