Introduzione alla fisica • Grandezze fisiche

Misura ed errori di misura. Unità di misura

• Richiami di matematica e geometria Percentuali, potenze, notazione scientifica, proporzioni, conversioni, equazioni di 1o grado.

Angoli, superfici e volumi

• Rappresentazione grafica di relazioni tra grandezze fisiche

• Vettori ed operazioni coi vettori

Grandezze fisiche

Una grandezza fisica è definita quantitativamente attraverso un metodo operativo di misura, che permetta il confronto tra la grandezza in esame e una grandezza omogenea di riferimento (campione)

Definizione operativa di una grandezza fisica:

Espressione di una grandezza fisica:

Numero + unità di misura

Rapporto tra la grandezza e il campione di riferimento

Misura diretta:

Misura indiretta:

Confronto diretto con il campione (es. misura di lunghezza con un metro graduato)

Misura di una grandezza legata a quella da misurare attraverso una relazione nota (es. misura di tempo con una clessidra)

Grandezze fisiche fondamentali e unità di misura

Tutte le grandezze fisiche possono essere espresse in funzione di un insiemelimitato di grandezze fondamentali

Un sistema di unità di misura definisce le grandezze fisiche fondamentalie i corrispondenti campioni unitari (unità di misura)

Sistema Internazionale (S.I.)

Grandezza fisica Unità di misura

Lunghezza [L] metro (m) Tempo [t] secondo (s)Massa [M] chilogrammo (kg)Intensità di corrente [i] ampere (A)Temperatura [T] grado Kelvin (K)

Grandezze fisiche derivate

Le rimanenti grandezze fisiche sono derivate a partire dalle grandezze fondamentali mediante relazioni analitiche

Alcuni esempi:

Superficie (lunghezza)2 [L]2 m2

Volume (lunghezza)3 [L]3 m3

Velocità (lunghezza/tempo) [L][t]-1 m·s-1

Accelerazione (velocità/tempo) [L][t]-2 m·s-2

Forza (massa*accelerazione) [M][L][t]-2kg·m·s-2

Densità (massa/volume) [M][L]-3 kg·m-3

Pressione (forza/superficie) [M][L]-1[t]-2 kg·m-2·s-2

...........

Errori di misura

Errori casuali (statistici):Strumenti di alta sensibilità forniscono risultati differenti su misure ripetute, a causa di perturbazioni ed effetti accidentali di cui l’osservatore non può tenere conto. Errori casuali avvengono sia in eccesso sia in difetto rispetto al valore vero

Errori sistematici:Avvengono sempre o in eccesso o in difetto rispetto al valore vero.Sono causati da errori di misura, da strumenti mal tarati, dall’uso di modelli errati o da perturbazioni importanti di cui non si è tenuto conto

La misura di una grandezza fisica è sempre affetta da errore

Limiti strumentali: Uno strumento permette la misura della grandezza con un’incertezza legata alla sua sensibilità

Errore: stima di quanto la grandezza misurata si discosta dal valore “vero”

Istogramma delle frequenze

Istogramma delle frequenze per la rappresentazione di misure ripetute l1, l2, l3, l4, .....

Esempio: Misura di una lunghezza

2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 cm2,18

l1 2,15 cm

l2 2,14 cm

l3 2,16 cm

l4 2,12 cm

l5 2,14 cm

l6 2,15 cm

l7 2,13 cm

l8 2,15 cm

l9 2,17 cm

l10 2,14 cm

l11 2,15 cm

l12 2,16 cm

l13 2,14 cm

l14 2,15 cm

l15 2,15 cm

l16 2,16 cm

l17 2,14 cm

l18 2,15 cm

l19 2,13 cm

l20 2,14 cm

0

5

1

2

34

6

7N

um

ero

di m

isu

re

Valore medio e deviazione standard

N

l

N

l...llllll

N

1ii

N54321

Valor medio:

N

)l (l

N

)l(l ...)l (l)l (lσ

N

1i

2_

i2_

N2

_

22

_

1

Scarto quadraticomedio (deviazionestandard):

2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 cm2,18

0

5

1

2

34

6

7

Nu

mer

o d

i mis

ure

l = 2,146 cm = 0,012 cm

l

l+l-

Nel nostro esempio:

l = l ± = (2,15 ± 0,01) cm

Approssimando:

Distribuzione gaussianaL’istogramma di frequenze di un numero elevato di misure ripetute affette solo da errori casuali segue una curva tipica a campana (distribuzione gaussiana)

l l+l-l+2l-2

l-3 l+3

ll

2ll

3ll

(~68% dell’area sotto la curva)(~95%)

(~99%)

Distribuzione stretta piccola errore piccolo

Distribuzione larga grande errore grande

Percentuali

1% = 1/100 = 0,01n % = n/100 = 0,01·n

20% di una quantità x : xx 20,0100

20

Le percentuali sono comode per esprimere variazioni (diminuzioni o aumenti) di una quantità nota:

Aumento dell’8% di una quantità x: xxxx %108100

108

100

8

Diminuzione del 15% di P: PPPPP 85,0%85100

85

100

15

•3% di 150 = 3•150/100 = 0,03•150 = 3•1,5 = 4,5 (adimensionale!)

•200% di 1000 euro = 200/100 •1000 = 2000 euro (attenzione alle dimensioni!) (raddoppiare = aumentare del 100% = passare al 200 %)

•“Per mille” : 1 ‰ = 1/1000 = 0,001 = 0,1%•“Parte per milione” : 1 ppm = 1/1000000 = 0,000001 = 0,0001%

Es.:

Errore percentualelll

Errore percentuale:l

Δl(adimenzionale!)

Esempi:

Nota: In mancanza di errore questo si intende sull’ultima cifra significativa!

l = 6,8 m l = (6,8±0,1) ml = 6,80 m l = (6,80±0,01) m

Data una misura espressa nella forma:

m = 1 kg ± 10 g = (1 ± 0,01) kg %11

01,0

m

m

m = 100 kg ± 100 g = (100 ± 0,1) kg 0001

100

1,0

m

m

Potenze

ab=a·a·a·.... (b volte) a=base b=esponenteOperazione dielevamento a potenza:

b1/b aa

Proprietà delle potenze:

a0=1 nn 1/aa

Esempi: (-2)3 = -8; (-8)1 / 3 = 3 -8 = -2100=1 10-3=1/103 = 0,001

• an·am = an+m

• (an)m = an·m

• an·bn = (ab)n

m/nn m aa

• an/am = an-m

•

103·105 = 108 (1000·100000=100000000)

(102)3 = 102·102·102 = 106

106/104=106-4=102 (1000000/10000 = 100)

32·102=(3·10)2

2 24 = 24/2 = 22

Potenze di 10

106 si legge 'dieci alla sesta' è uguale a 1 moltiplicato per 106: 106 = 1*1000000 = 1000000

es. 3,5 * 106 = 3500000 ( si sposta la virgola a destra di 6 posti )

10-6 si legge 'dieci alla meno 6' è uguale a 1 diviso per 106: 10-6 = 1/1000000 = 0,000001

es. 3,5 * 10-6 = 0,0000035 ( si sposta la virgola a sinistra di 6 posti )

Notazione scientifica

In notazione scientifica un numero si esprime come prodotto di una cifra compresa tra 0,1 e 10 x una potenza di 10 5,738 · 103

Esempi: 800 = 8·102 4765 = 4,765·103 0,00097 = 9,7·10-4

l = 345000 m = 3,45·100000 m = 3,45·105 m

l = 0,00038 m = 3,8·0,0001 m = 3,8·10-4 m

Massa della Terra = 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kg = 5,98·1024 kg

Massa di un elettrone = 0,0000000000000000000000000000009109 kg = 9,11·10-31 kg

La notazione scientifica è utile per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli

Es.:

Multipli e sottomultipliMultipli e sottomultipli di una unità di misura possono essere espressi usando prefissi:

Prefisso Simbolo Fattore di

moltiplicazione

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

etto h 102

deca da 101

Prefisso Simbolo Fattore di

moltiplicazione

deci d 10-1

centi c 10-2

milli m 10-3

micro 10-6

nano n 10-9

pico p 10-12

1 km = 103 m1 Mm = 106 m1 Gm = 109 m

1 dm = 10-1 m1 cm = 10-2 m1 mm = 10-3 m

Es: 1 m 1 m = 10-6 m1 nm = 10-9 m1 pm = 10-12m

(1 mm = 1/1000 m = 1/103 m = 10-3 m)

Equazioni

Sommando (sottraendo) una stessa quantità a entrambi i membri Moltiplicando (dividendo) per una stessa quantità entrambi i membri

Equazione = relazione di uguaglianza tra due membri

verificata per particolari valori di una variabile incognita

ax + b = 0 x = -b/a

il risultato non cambia

Es 1: 7x4

3

4

37

4

3x

4

3

4

3-7x

4

25

4

3-28x

Es 2: 7x4

3

3

47

3

4x

4

3

3

47x

3

28

3

47x

Equazioni di primo grado

Esempio:

fe

dcx

b

a cf

e

dccx

b

a

cf

e

dx

b

a

fe

dcx

b

a

bcfe

dxa

a

bcf

e

dx

La variabile incognita compare elevata alla prima potenza: x1 = x

Proporzioni

a : b = c : d

d

c

b

a

dd

cd

b

a bcbd

b

a

a · d = c · bd

c

b

a

Es 1: Conversione tra unità di misura:

euro0.000516Neuro1936,27

1N

lire1936,27

euro1lireN X

euro 1lire N lire 1936,27 euro X euro 1 :lire 1936,27 euro X :lire N

Se N = 30000 lire X=30000·0,000516=15,48 euro

Es 2: Se un corridore percorre a velocità costante 19,2 m in 2 s, quanto impiega a percorrere 100 m?

s10,4 m 19,2

m100 s 2 Xm100 s 2 m 19,2s X s 2: m 19,2 s X : m100

cb

da

Prodotto dei medi = Prodotto degli estremi:

Superfici e Volumi

1 m2 = (1 m)2 = (102 cm)2 = 104 cm2 = 10000 cm2

1 m3 = (1 m)3 = (102 cm)3 = 106 cm3 = 1000000 cm3

1 cm2 = (1 cm)2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2 = 0.0001 m2

1 cm3 = (1 cm)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 = 0.000001 m3

1 litro = 1 dm3 = (1 dm)3 = (10-1 m)3 = 10-3 m3

= (101 cm)3 = 103 cm3

cerchio sfera

quadrato cubo

cilindroparallelepipedo

c=2rr

A=r2 r S=4r2 V=(4/3)r3

P=4l A=l2 S=6l2 V=l3

l l

SS

V = S·l = r2·lV = S·l ll

Equivalenze tra unità di misura:

Equivalenze - Conversioni

Es.2

6,57 l = 6,57 dm3 = 6,57 (10-1 m)3 = 6,57·10-3 m3

sapendo che 1 litro = 1 dm3litro m3

A

3 mmA = (3 mm)2 = 32 mm2 = 9 mm2 = 9 (10-3 m)2 = 9·10-6 m2

Es.1 mm2 m2

Es.3 1h33’20’’ s 1h = 60’ ·60 s = 3600 s33’= 33’·60 s = 1980 s20’’ = 20 s

1h33’20’’ = = (3600+1980+20) s = = 5600 s

Es.4 km/h m/s 1 km/h = 1000 m/3600 s = 0,28 m/s

120 km/h = 120*1000 m/3600 s = 33.6 m/s

Angoli

s

R R

s (rad)α

Unità di misura:• gradi, minuti, secondi 1o=60' 1'=60'' Es: 35o41'12'' • radianti

Angolo giro 360o 2 270o 3/2 piatto 180o retto 90o /2 60o /3 45o /4 30o /6

Angolo giro = 360o = 2R/R = 2 rad

R=1 arco rad

RπR

24

2

se R=12

Es.: angolo retto

Arco:

rad

Conversione gradi radianti

1 rad : x gradi = 2 : 360o2360o

28o rad? 2 : 360o = x : 28o

oo

x

28360

2

0,49 20,078 2360

28 o

o

x

= 3,1415

xo

o 360

228

Triangoli rettangoli

a

b

c

Triangolo rettangolo Teorema di Pitagora

222 cba

22 cba 22 bac

Triangolo rettangolo isoscele

d

l

l ld 2

22 2 ld

45o

Triangolo equilatero

60o

60o

60o

l lh

ll

lh2

3

4

22

l/2l/2

Funzioni e loro rappresentazione grafica

Una funzione analitica può essere rappresentata in modo grafico con una curva su un sistema di assi cartesiani nel piano (x,y)

O

ordinate

ascisse

1 2 3

1

2

3

y

x

Una funzione è una relazione tra due variabili x e y: y=f(x)

Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x.

Es.:y = x

y = 2x

4

Relazioni tra grandezze fisiche:proporzionalità lineare diretta

La relazione tra due grandezze fisiche può essere rappresentata in modo grafico nel piano cartesiano (x,y):

s = v·t

Proporzionalità diretta

O

s (km)

t (h)

ordinate

ascisse

1 2 3

5

10

15

tt

LL

t s

1 h

2 h

3 h

5 km

10 km

15 kmh

km 5 v

rettaEs.:

s direttamente

proporzionale a t

Proporzionalità quadratica diretta

Proporzionalità quadratica

2at2

1s

O t (s)

s (m)

parabola

1 2

1/2

2

22

tt

L]L[

Es.:

t s

1 s

2 s

0.5 m

2 ma = 1 m/s2

s quadraticamente proporzionale a t

Proporzionalità inversa

Proporzionalità inversa

pV = nRT

O V (m3)

Iperboleequilatera

1 2

1

4

3 4

2

3

V

cost p

p (Pa)p inversamente

proporzionale a VEs.:

con nRT = costante

V p

1 m3

2 m3

3 m3

4 Pa

2 Pa

4/3 Pa

cost = 4

Retta 1o grado Iperbole proporz.diretta proporz.inversa y raddoppia al raddoppiare di x y si dimezza

s = v•t PV=k P=k/V = c•T f = c = c/fF = m•aV = R•I

t

s

V

P

Retta Iperbole

Esempi di funzioni in fisica

Parabola 2o grado Fraz. quadr.

proporz.dir.quadr. proporz.inv.quadr.

y quadruplica al raddoppiare di x y si riduce a un quarto

s = ½ a t2 Fg = G•m1m2/r2

Ek = ½ m v2 Fe = K•q1q2/r2

t

s

Parabolar

F

proporz.inv.quadr

Esempi di funzioni in fisica

Grandezze scalari e vettoriali

modulo verso

punto di applicazione

v

direzione

Grandezze scalari: caratterizzate da un numero

Grandezze vettoriali:

Es: tempo, temperatura, massa

caratterizzate da un modulo, una direzione e un verso.

Es: spostamento, velocità, accelerazione

modulo del vettore v : v = | v |

Es: |v| = 100 m/s

Vettori uguali Vettori opposti

Somma di due vettori

Metodo grafico(regola del parallelogramma)

a

b

c

c = vettore risultante di a e b

Es: spostamento da A a C passando per B

A

B

C

AB + BC = AB + AD = AC

D

a + b = c

Differenza tra due vettori

Metodo grafico(regola del parallelogramma) a – b = c

a

cc

b

b + c = a

a

c

b-b

a – b = a + ( -b ) = c

Componenti di un vettore

x

vx = |v| cos vy = |v| sen vx

2 + vy2 =

= v2 cos2 + v2 sen2 == v2 (cos2+sen2) = v2

2y

2x v v v v

v

y

vy

vxo

Nel piano cartesiano bidimensionale (x,y) un vettore può essere scomposto nelle sue due componenti ortogonali vx e vy

Trigonometria di base

O1

1

-1

-1

R=1

cos

sen

cos sen

0o 1 0

30o = /6 1/2

45o = /4

60o = /3 1/2

90o = /2 0 1

180o = -1 0

270o = 3/2 0 -1

2/3

2/2 2/2

2/3

A B

C

AC = CB·sen sen2+cos2=1

AB = CB·cos

θ tgθ cos

θsen

tg cosCB

sen CB

AB

AC

AC = AB·tg

AC2+AB2=CB2(sen2+cos2)=CB2

1 θ cos , θ sen 1-

y

x

Somma e differenza di vettori

v1

v2

o

y

v1x

v1y

v2x

v2y

v3

v3x

v3y

v3 = v1 + v2

v3x = v1x + v2x v3y = v1y + v2y

23y

23x33 vv v v

3x

3y

v

v α tg

Somma di vettori

Differenza di vettori v3 = v1 - v2

v3x = v1x - v2x v3y = v1y - v2y

Prodotto scalare

b

a

b'

a•b = |a||b|cos = |a|b'

b' = |b|cos : componente di b lungo a

= 0o a b = ab cos =ab

ba

= 90°a b = ab cos =0 b

a

= 180° a b = ab cos =– ab

a

b

Es.:

Prodotto vettoriale

a

b

c

b"

c = a b

Modulo di c : |c| = |a||b|sen = |a|b”

b’’: componente di b ortogonale ad a

b” Direzione di c: ortogonale ad a e b

Verso di c: verso di avanzamento di una vite che ruota sovrapponendo a su b

a

bb''