Cenni di teoria degli errori

Il risultato di una misura sperimentale su una grandezza fisica è sempre affetto da un’incertezza, per quanto accurata possa essere la misura.

La differenza tra il valore autentico della grandezza in esame e il suo valore misurato è chiamato errore della misura

Indicato con x* il valore autentico e con x quello misurato, si ottiene quindi:

Err = x =x-x*

E’ evidente che se conoscessimo l’errore esatto della misura, dalla formula precedente si ricaverebbe immediatamente il valore autentico!

L’errore è ignoto, ma possiamo fornirne una stima

La questione è: Come fornire questa stima (e fare in modo che sia attendibile)?

Ad es.: misura della lunghezza di un tavolo con metro a nastro.

Risultati:

L=110.5 cmL=110.6 cmL=110.4 cmL=110.4 cmL=110.5 cmL=110.3 cm………….

Sperimentalmente si osserva che la ripetizione della misura di una grandezza fisica, nelle medesime condizioni sperimentali, conduce spesso a risultati diversi

I risultati differenti suggeriscono che le condizioni di misura non sono esattamente le stesse, entro la precisione del nostro strumento (il metro a nastro).Ad es. potremmo non avere steso bene il metro, oppure non averlo allineato accuratamente al lato del tavolo fra una misura e l’altra.

Se ripetessimo molte volte questa misurazione, potremmo verificare, ad esempio, che il valore minimo misurato è 110.3 cm, ed il valore massimo misurato è 110.6 cm. Potremmo quindi aspettarci ragionevolmente che il valore autentico cada nell’intervallo [110.3, 110.6]. La misura migliore sarebbe probabilmente nel mezzo: 110.45 con errore massimo 0.15 (in eccesso o difetto)

L=110.5 cmL=110.6 cmL=110.4 cm………….…………L=110.4 cmL=110.5 cmL=110.3 cm………….

N= 100

In forma compatta, possiamo scrivere la nostra misura nella forma

110.45 ± 0.15 cm

L’incertezza che deriva da fluttuazioni non prevedibili delle condizioni di misura è chiamata errore casuale.L’errore casuale cambia da misura a misura quando la misura viene ripetuta.

Supponiamo ora che il nostro metro a nastro si sia “ristretto” (un cattivo lavaggio?): esso risulterà scalibrato, e per una lunghezza reale di un metro indicherà (supponiamo) 110 cm. Tutte le misure ripetute che faremo saranno comunque in eccesso di ca. 10 cm rispetto alla lunghezza del tavolo. Questo errore si ripeterà sempre uguale ad ogni misura, e non vi è quindi modo di scovarlo da misure ripetute. Questo insidioso errore è detto errore sistematico

Importanza di metodi di misura molto diversi di una stessa grandezza!!

Accuratezza e precisione

Accuratezza: rappresenta la vicinanza della misura (o della media di misure, per misure ripetute) al valore vero

Precisione: rappresenta l’ampiezza della distribuzione di valori in un gruppo di misure ripetute. Maggiore la precisione, minore l’ampiezza della distribuzione.

A: Preciso e accurato; B: Preciso, poco accurato; C: Accurato, poco preciso; D: Poco accurato, poco preciso

L’accuratezza non può essere appurata dall’applicazione di misure ripetute, poiché non si possono stimare in tal modo gli errori sistematici

La precisione viene invece stimata sulla base di misure ripetute. Maggiore la precisione, migliore la riproducibilità del dato.

Per valutare l’accuratezza è importante disporre di metodi differenti e indipendenti di misura della stessa grandezza fisica!

Propagazione degli errori

Grandezze derivate: grandezze fisiche definite come funzione di altre grandezze

G = f(x,y)

x, y = grandezze misurate direttamente

G = grandezza derivata, calcolata mediante una formula

Es. : area del rettangolo a partire da misure dei latiA = a b

x, y = grandezze affette da errori sperimentali

x+x

In una data misura:

y+y

G+ G = f(x+x, y+y)

x+x

y+yrisultati della misura

Assumendo che gli errori siano piccoli rispetto al valore delle misure x e y, possiamo espandere la funzione f(x,y) in serie di Taylor, fermandoci al termine al primo ordine

G+ G = f(x+x, y+y)

G = f(x, y)

Grandezze correlate e grandezze indipendenti

Un aspetto fondamentale è rappresentato dalla relazione esistente fra le grandezze dirette oggetto dalle misure.In generale, sia x che y possono essere funzioni di un medesimo parametro (es., la temperatura). In questo caso, se l’errore su x e y è legato a fluttuazioni del parametro (o dei parametri) comuni alle grandezze, x e y si dicono correlate, ai fini del calcolo dell’errore. In questo caso, gli errori su x e y saranno «in fase».

Se l’errore sulle grandezze x e y non è determinato da parametri comuni, allora gli errori su x e y non sono legati, in generale, fra loro. Le grandezze x e y possono essere considerate indipendenti, ai fini del calcolo dell’errore

Propagazione dell’errore per grandezze indipendenti

Per grandezze indipendenti ci si aspetta che gli errori associati alle misure avvengano sia in positivo che in negativo indipendentemente per le due grandezze. Ad es., su quattro misure, più probabilmente otterremmo una distribuzione del tipo:

x+|x| y+|y|

x-|x| y+|y|

x+|x| y-|y|

x-|x| y-|y|

Quindi, solo nel 50% dei casi abbiamo gli errori «in fase», entrambi positivi o negativi

L’errore massimo nella misura di G, grandezza derivata, sarebbe dato da:

Ma questa incertezza appare largamente sovrastimata, poiché nel 50% dei casi gli errori su x e y si compenseranno. Questo significa che per molte misure l’incertezza effettiva è minore dell’errore massimo: ampiezza effettiva della distribuzione minore = precisione maggiore Si può dimostrare che, se x e y sono errori casuali con distribuzione normale, una stima migliore della precisione delle nostre misure è data da:

Più in generale, vale la:

formula di propagazione dell’errore per grandezze indipendenti

Propagazione dell’errore per grandezze correlate

Per grandezze correlate, gli errori saranno «in fase». Ad es., su quattro misure, otterremo (nel caso che sia x che y siano entrambi funzioni crescenti del parametro «fluttuante»)

x+|x| y+|y|

x-|x| y-|y|

Quindi, in generale, la grandezza derivata oscillerà fra combinazioni a massimo o a minimo. Se sappiamo che x e y sono correlate, ma non sappiamo come, è più affidabile fare ricorso alla formula per gli errori massimi

Come abbiamo visto, l’errore massimo nella misura di G, grandezza derivata, è dato

e più in generale, vale la:

formula di propagazione dell’errore per grandezze correlate

La formula si applica anche se gli errori sulle grandezze dirette sono la stima basata su una singola (o poche: due o tre) misura