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Il candidato risolva, a sua scelta, almeno due dei seguenti quesiti.
In un piano riferito ad un sistema cartesiano ortogonale Oxy, si rappresenti la
curva di equazione y xx
=−+
11
Condotta poi per il punto ( )−1 1, la retta di coefficiente angolare m, si dica per
quali valori di m una delle sue intersezioni con la curva appartiene al primo o al
quarto o al terzo quadrante.
Si determini inoltre la lunghezza della corda minima intercettata sulla retta dalla
curva e si dica qual è il rapporto, maggiore di 1 ,fra le aree dei triangoli che le
tangenti negli estremi di tale corda formano con gli assi coordinati.
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( )
−=−++=++=
##11
1212
11
22
xxmyymmxymmxy
a
xx ∆=− 12
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2PP x x y y x x m x x m
a a∆ ∆
= − + − = − + − = + ⋅ =
( )mmm
mmm
m 22222
22 −+
−=
−⋅+
−=
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Tra i coni circolari retti inscritti in una sfera di raggio r, determinare quello per
il quale è massima l'area della superficie totale, dopo averne trovata
l'espressione in funzione della semiapertura x di un generico cono.
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A
B C
D
•O
H
xx
a
h
y
AH h= = altezza del cono
AC a= = apotema del cono
AO r= = raggio della sferar
HC y= = raggio del cono
C A H x∧= = semiapertura del cono
ACCHCHSt ⋅⋅⋅+⋅= ππ 2212
▀ L'area St della superficie totale del cono , in funzione della sua semiapertura x, è determinabile
mediante la seguente formula : S CH CH ACt = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅π π2 1
22
Pongo : AH h= = altezza del cono , AC a= = apotema del cono
AO r= = raggio della sfera , HC y= = raggio del cono , C A H x∧
= = semiapertura del cono
S y yat = + ⋅ ⋅π π2 12
2 = ( )πy a y+ = area della superficie totale del cono
AC AD x= ⋅cos ⇒ a r x= 2 cos , HC AC sin x= ⋅ ⇒ y sin x rsin x x rsin x= = =2 2cos
( )S rsin x r x rsin xt = +π 2 2 2cos = ( )πr sin x x sin x2 2 2 2cos + = ( )4 12 2πr sin x x sin xcos + =
= ( )4 2 4 3 2πr sin x sin x sin x sin x− − + +
Il massimo della funzione St coincide col massimo della funzione
( ) ( )f x Sr
sin x x sin xt= = +4
122
πcos = − − + +sin x sin x sin x sin x4 3 2 con 0 90° < < °x .
( ) ( ) ( )′ = + − + +f x x sin x sin x x sin x sin x xcos cos cos3 2 31 2 1 =
= ( ) ( )cos cos cos cos3 2 21 2 1x sin x sin x x sin x sin x x x+ − + + =
= ( ) ( )[ ]cos cosx sin x x sin x sin x sin x1 2 12 2+ − + − =
= ( )[ ]cos x sin x sin x sin x sin x sin x1 1 22 2 2+ − − + −
( ) ( )( )′ = + − + +f x x sin x sin x sin xcos 1 4 12
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( )′ = − − + +f x sin x x sin x x sin x x x4 3 23 2cos cos cos cos
( ) ( )′ = − − + +f x x sin x sin x sin xcos 4 3 2 13 2
( )′ =f x 0 ⇒ ( )( )cos x sin x sin x sin x1 4 1 02+ − + + = ⇒ cos x = 0 , sin x = −1
sin x =−
≅ −1 17
80 4, , sin x =
+≅
1 178
0 64,
x arcsino =+1 17
8 punto di massimo assoluto
cos2 21x sin xo o= − = 1 1 17 2 1764
−+ + = 46 2 17
64− = 23 17
32−
( )S x rt o = ⋅−
⋅+
++
4 23 17
321 17
81 1 17
82π = 4 23 17
321 17
89 17
82πr ⋅
−⋅
+⋅
+
( ) ( )S x rt o = = +
π 2
128107 51 17
cosx
sinx
xo
+
+
-
-
+
--
+
+ +
- -
segno della funzione
o
− + +4 12sin x sinx
sin x =−1 17
8
sin x =+1 17
8
0 90°
xxo
cosx(1+cosx)
− + +4 12sin x sinx
( )′f xO
O
+ +
+ -
+ -
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rh16
1723 +=
21723
2+
=ra
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Si studi il grafico della funzione y sin x sin x= + 2 nell'intervallo [ , ]0 2π
Calcolare l’area S della regione finita di piano delimitata dal grafico della
funzione e dalle tangenti al grafico della funzione rispettivamente nei punti di
ascissa 0x= e 3
x π= . Dire se esiste un punto A dell’asse delle ascisse rispetto al
quale il grafico della funzione è simmetrico.
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Si può accettare solo la soluzione x π= Il punto richiesto è: ( )C π;0
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⋅4 Si esamini la posizione delle radici dell’equazione in x :
( ) ( )2m -1 x - m +1 x+ 2m -1=0 rispetto all’intervallo ( )1;1− .
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