Post on 01-May-2015
Integrali di linea,
di superficie,
di volume
Inizio della lezione
5.Integrali di linea
campo di forze
AA
rr
BB
f
f
ff
f
f
f
f
ff
L f rLAVORO
AA
BB
f(A)
f(B)
f(x,y)f(x,y) f(x,y)
AA
BB
f((t1)) f((t 2)) f((t 3
))
f((a))
f((b))L t d t hi i i f ( ( )) ( )( ) L t d t
a
b f ( ( )) ( ) L t t dt
a
b f ( ( )) '( ) L d f ( )X X
INTEGRALE DI LINEA di f lungo la curva
INTEGRALE DI LINEA di f lungo la curva
BB
AA
CC
BB
AA
CC
ADDITIVITA’ :
f f f( ) ( ) ( )X X X X X X d d d
AA
BB
AA
BB
*
f f( ) ( )*
X X X X d d
Esercizi a pag. 428
F : Rn RF : Rn Rn
VICEVERSA :
f : Rn Rndato
esisteF : Rn R
F = F = f f tale che ??
F( dP X XA
P) : ( ) f
AA
P??
F( dP X XA
P) : ( ) f
AA
POCCORRE CHE L’INTEGRALE OCCORRE CHE L’INTEGRALE
SIA INDIPENDENTE SIA INDIPENDENTE
DALLA TRAIETTORIADALLA TRAIETTORIA
AA
B
0 f ( )X Xd
f f( ) ( )*
X X + X X d d
f f( ) ( )X X X X d d
f f( ) ( )X X X X d d
Un’applicazione:Campi di forze conservativied energia potenziale
AA
BB
L d f ( )X XA
B F( F(B A) )
f campo di forze conservativo
V F:energia potenziale
V V( ) ( )A B
f gradiente
f campo di forze conservativo
V F:energia potenziale
L d f ( )X XA
B
Esercizi a pag. 433
6.Integrali di superficiee di volume
n
ffXX
n(X)
f(X)
u
v
R2
x
y
z
RR33RR33
D S
x u v y u v z u v 1 2 3( , ) , ( , ) , ( , )
u :u
v :v
XXu
v
u vn
fuu du du
vv dv dvdS
dS du dv ( ) ( )u vdS dudv u v
FLUSSO FLUSSO ATTRAVERSOATTRAVERSO dSdS ::
d dS f n f n u v dudv f u v( ) dudv
FLUSSO TOTALE ATTRAVERSO FLUSSO TOTALE ATTRAVERSO SS ::
f n dSS
f n dSS
INTEGRALE DI SUPERFICIE
Sx
y
z
RR33RR33
u
v
D
D
idid k
Integrali doppi a pag.439
XXu
v
u vn
uu du du
vv dv dvdS
n u vdS du dv ( ) ( )
x
udu
y
udu
z
udu
x
vdv
y
vdv
z
vdv
u
v
u vn
u du
v dvdS
x
udu
y
udu
x
vdv
y
vdv
dx dy
( , , )dy dz dz dx dx dy
f
f n dS f dy dz f dz dx f dx dy1 2 3
FORMA DIFFERENZIALE BILINEARE
( ) ( ) ( ) ( )X X X X f dx f dy f dz1 2 3
d df dxj jj
n
1
f
xdx
f
xdx
f
xdx dxj j j
jj 1
12
23
31
3
f
xdx dx
f
xdx dx
f
xdx dxj
jj
jj
jj 1
12
23
31
3
f
xdx dx
f
xdx dx
f
xdx dx
f
xdx dx
f
xdx dx
f
xdx dx
f
xdx dx
f
xdx dx
f
xdx dx
1
11 1
1
22 1
1
33 1
2
11 2
2
22 2
2
33 2
3
11 3
3
22 3
3
33 3
f
xdx dx1
21 2
f
xdx dx2
32 3
f
xdx dx3
13 1
f
x
f
xdx dx
f
x
f
xdx dx
f
x
f
xdx dx
2
1
1
21 2
3
2
2
32 3
1
3
3
13 1
f
y
f
zdy dz
f
z
f
xdz dx
f
x
f
ydx dy3 2 1 3 2 1
rot f : , ,
f
y
f
z
f
z
f
x
f
x
f
y3 2 1 3 2 1
ROTORE DI f
d dy dx dx dz dz dx rot f ( , , )rot f n dS
f
y
f
zdy dz
f
z
f
xdz dx
f
x
f
ydx dy3 2 1 3 2 1
rot f : , ,
f
y
f
z
f
z
f
x
f
x
f
y3 2 1 3 2 1
ROTORE DI f
J
f
x
f
y
f
zf
x
f
y
f
zf
x
f
y
f
z
f
1 1 1
2 2 2
3 3 3
rot f 0 f J è simmetrica
f IRROTAZIONALE
rot f 0 f J è simmetrica
f f grad F J HF simmetrica
rot grad( )F 0
f f 0è un gradiente rotTeorema
f dy dz f dz dx f dx dy1 2 3
d df dy dz df dz dx df dx dy 1 2 3
df
xdx dy dz
f
ydy dz dx
f
zdz dx dy
1 2 3
df
x
f
y
f
zdx dy dz
1 2 3
div f :
f
x
f
y
f
z1 2 3
DIVERGENZA DI f d dxdydz div f
f g
rot : , ,
g
y
g
z
g
z
g
x
g
x
g
y3 2 1 3 2 1
div f
x
g
y
g
z y
g
z
g
x z
g
x
g
y3 2 1 3 2 1
div rot( )g 0
f fè un rotore div 0Teorema
dF F d grad Xd d ) dS( f f n X rotd dS) dV(g n g div
rot grad( )F 0 div rot( )f 0
è un differenziale d 0Teorema
chiusa
A
B
SS V
V
dF F( F( B A) )
dS
S
dV
V
grad X B AF d F( F( ) )
rot XS S
f n f dS d
divV V
f f ndV dS
Teorema del gradienteTeorema del gradiente
Teorema del rotore (di Stokes)Teorema del rotore (di Stokes)
Teorema della divergenza (di Gauss)Teorema della divergenza (di Gauss)
Formula di Green a pag. 455
Ricerca di un potenziale
f : Rn Rndato
esisteF : Rn R
F = F = f f tale che ??
Torniamo al problema:
f f 0è un gradiente rotTeorema
è sufficiente ? Teorema delle circuitazioni Teorema delle circuitazioni
f è un gradiente se e solo se:
f ( )X X d
0
f f 0è un gradiente rotTeorema
è sufficiente ? Teorema delle circuitazioni Teorema delle circuitazioni
f è un gradiente se e solo se:
f ( )X X d
0
S
f ( )X X d
rotS
f n dS0 n dSS
0
E
EE
SEMPLICEMENTE CONNESSOTeorema
f f 0è un gradiente rot
Esercizi a pag. 461
FINE DEL CORSO