1. PREMESSA 1

INTEGRALI DI SUPERFICIE

Umberto Marconi

Dipartimento di Matematica – Universita di Padova

1 Premessa

Nella seguente esposizione le definizioni non saranno molto rigorose e sara posta maggioreattenzione a un punto di vista operativo.

L’ambiente in cui lavoreremo sono gli spazi orientati a dimensione finita Rn con fissata labase ortonormale canonica e1, e2, . . . , en. Se v ∈ Rn, scriviamo v se lo pensiamo comevettore differenza di due punti v = y − x = v − 0; in ogni caso gli elementi di Rn potrannoessere pensati come punti e come vettori, anche se scritti senza freccina (il significato sarachiaro dal contesto).

2 Raggio vettore e sfere

Fissiamo un punto ξ ∈ Rn, che sara pensato come centro di simmetria sferica:

ξ = (ξ1, . . . , ξn).

Per ogni punto x ∈ Rn \ ξ poniamo r = x− ξ e chiamiamo r raggio vettore di origine ξ.Il modulo del raggio vettore lo scriviamo con il simbolo:

r = (r · r)12 =

√(x1 − ξ1)2 + · · ·+ (xn − ξn)2

Il versore associato a r viene indicato con ν = rr .

Osserviamo che la i-esima componente del versore e data da:

νi =xi − ξi√

(x1 − ξ1)2 + · · ·+ (xn − ξn)2=

∂r

∂xi

per cui

ν = ∇r =

(∂r

∂x1, . . . ,

∂r

∂xn

)e il gradiente di r.

L’insieme dei versori ν forma la sfera (n − 1)-dimensionale Sn−1 = ∂Bn, superficie checostituisce la frontiera della palla unitaria Bn.

Con Bρ e ∂Bρ indichiamo la palla e la sfera di raggio ρ e centro ξ, cioe Bρ = ξ + ρBn e∂Bρ = ξ + ρSn−1.

La sfera unitaria puo essere parametrizzata con le due rappresentazioni cartesiane:

(x1, x2, . . . , xn−1,±

√1− (x21 + · · ·+ x2n−1)

)

2

Se vogliamo una sola rappresentazione, dobbiamo introdurre n − 1 parametri angolariϑ = (ϑ1, . . . , ϑn−1) in modo da poter scrivere x = ν(ϑ). Se scriviamo la rappresentazioneangolare con le coordinate avremo:

(⋆)

x1 = ν1(ϑ1, . . . , ϑn−1)

x2 = ν2(ϑ1, . . . , ϑn−1)...

xn = νn(ϑ1, . . . , ϑn−1)

La matrice jacobiana della funzione e:

(∂νi∂ϑj

)1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ n− 1

=

∂ν1∂ϑ1

. . . ∂ν1∂ϑj

. . . ∂ν1∂ϑn−1

......

...∂νi∂ϑ1

. . . ∂νi∂ϑj

. . . ∂νi∂ϑn−1

......

...∂νn∂ϑ1

. . . ∂νn∂ϑj

. . . ∂νn∂ϑn−1

Nella matrice a volte scriviamo xi al posto di νi, cioe

∂xi∂ϑj

invece di ∂νi∂ϑj

.

Osservazione 1 Osserviamo che:

• la j-esima colonna rappresenta la derivata parziale rispetto alla componente j-esima,cioe ∂ν

∂ϑj= ∂x

∂ϑj;

• la i-esima riga rappresenta invece ∇νi = ∇xi, cioe il gradiente della i-esima compo-nente;

• poiche il gradiente e il vettore riga associato al differenziale, indicheremo la i-esimariga con dxi.

Questa osservazione vale naturalmente per tutte le matrici jacobiane.

Poiche ν · ν = 1, derivando rispetto a ϑj otteniamo:

2ν · ∂ν

∂ϑj= 0

per cui, nel caso della sfera, i vettori ∂ν∂ϑj

sono ortogonali al raggio vettore.

Noi sappiamo che lo spazio vettoriale generato da ∂ν∂ϑ1

, . . . , ∂ν∂ϑn−1

e lo spazio vettoria-

le tangente alla sfera (e il suo traslato nel punto ν(ϑ) e l’iperpiano affine tangente);di conseguenza per la sfera abbiamo che il versore del raggio vettore e ortogonale allasuperficie.Cerchiamo ora un metodo induttivo per ricavare la rappresentazione angolare x = ν(ϑ).Pensiamo Rn = Rn−1 × R e Rn−1 = Rn−1 × 0; poiche Sn−2 ⊆ Rn−1, possiamo scrivere:

Sn−2 = Sn−2 × 0 = Sn−1 ∩ (Rn−1 × 0) = Sn−1 ∩ xn = 0

Supponiamo di conoscere la parametrizzazione angolare dell’equatore Sn−2×0 chiamia-mola u = u(ϑ1, . . . , ϑn−2).La funzione u ha l’ultima componente nulla, cioe u = (u1, . . . , un−1, 0).

2. RAGGIO VETTORE E SFERE 3

Consideriamo sopra l’iperpiano xn = 0 il versore en ; fissato u ∈ Sn−2 × 0, vogliamoscrivere un punto ν appartenente al meridiano passante per u e con estremi ±en. Essosara combinazione lineare dei vettori u ed en tramite seno e coseno, cioe:

(⋆⋆) ν(ϑn−1) = cos(ϑn−1)en + sin(ϑn−1)u

ove ϑn−1 ∈ [0, π] (se ci piace l’intervallo aperto, escludiamo i poli).

Poiche u e funzione di (ϑ1, . . . , ϑn−2), avremo che ν e funzione di (ϑ1, . . . , ϑn−2, ϑn−1).Con le coordinate, possiamo scrivere:

x1 = u1(ϑ1, . . . , ϑn−2) sinϑn−1

x2 = u2(ϑ1, . . . , ϑn−2) sinϑn−1...xn−1 = un−1(ϑ1, . . . , ϑn−2) sinϑn−1

xn = cosϑn−1

Procedendo induttivamente abbiamo:

• n = 2, cioe S1:x1 = sinϑ1

x2 = cosϑ1

qui ϑ1 ∈ [0, 2π](per evitare la sconnessione in due pezzi che viene dal caso n = 1)

• n = 3, cioe S2: x1 = sinϑ1 sinϑ2

x2 = cosϑ1 sinϑ2

x3 = cosϑ2

ϑ1 ∈ [0, 2π]ϑ2 ∈ [0, π]

• n = 4, cioe S3: x1 = sinϑ1 sinϑ2 sinϑ3

x2 = cosϑ1 sinϑ2 sinϑ3

x3 = cosϑ2 sinϑ3

x4 = cosϑ3

ϑ1 ∈ [0, 2π]ϑi ∈ [0, π]

• n qualsiasi, cioe Sn−1:

x1 = sinϑ1 sinϑ2 sinϑ3 · · · sinϑn−1

x2 = cosϑ1 sinϑ2 sinϑ3 · · · sinϑn−1

x3 = cosϑ2 sinϑ3 · · · sinϑn−1...xn−1 = cosϑn−2 sinϑn−1

xn = cosϑn−1

ϑ1 ∈ [0, 2π]ϑi ∈ [0, π]

Raramente scriveremo questa parametrizzazione esplicita, mentre la useremo molto nellaforma (⋆) e (⋆⋆).

D’ora in poi ν sara sempre pensato come funzione di ϑ, ove ϑ varia nel dominio aperto Ωdelle coordinate angolari dato da 0 < ϑ1 < 2π, 0 < ϑi < π per i > 1. Con questarestrizione ν diventa un diffeomorfismo sulla propria immagine, pero viene esclusa l’inter-sezione di Sn−1 con il mezzo iperpiano x1 = 0 ∩ x2 ≥ 0. Se non mettiamo limitazionisui parametri angolari, avremo un diffeomorfismo locale tra Rn−1 e Sn−1.

4

3 Coordinate sferiche

La trasformazione coordinate sferiche di centro ξ e la seguente:

(r, ν) 7−→ ξ + rν

ove r > 0 e ν ∈ Sn−1.L’inversa, definita su Rn \ ξ, sara:

x 7−→ (|x− ξ|, x− ξ

|x− ξ|)

Poiche ν e funzione delle coordinate angolari ϑ = (ϑ1, . . . , ϑn−1), cioe ν = ν(ϑ), chiamere-mo trasformazione coordinate sferiche anche la seguente:

(r, ϑ) 7−→ ξ + rν(ϑ)

cioe:

x = Φ(r, ϑ) = ξ + rν(ϑ), ove ϑ = (ϑ1, . . . , ϑn−1)

In questo caso, se ϑ appartiene al dominio aperto Ω delle coordinate angolari verra esclusoun mezzo iperpiano.

Esplicitando le coordinate, la trasformazione si scrive:x1 = ξ1 + rν1(ϑ1, . . . , ϑn−1)

x2 = ξ2 + rν2(ϑ1, . . . , ϑn−1)...

xn = ξn + rνn(ϑ1, . . . , ϑn−1)

La matrice jacobiana JacΦ(r, ϑ) e:

ν1 r ∂ν1∂ϑ1

. . . r ∂ν1∂ϑj

. . . r ∂ν1∂ϑn−1

......

......

νi r ∂νi∂ϑ1

. . . r ∂νi∂ϑj

. . . r ∂νi∂ϑn−1

......

......

νn r ∂νn∂ϑ1

. . . r ∂νn∂ϑj

. . . r ∂νn∂ϑn−1

(1)

Osserviamo che la prima colonna e il versore ν, mentre la (j + 1)-esima colonna e r ∂ν∂ϑj

.

Se abbiamo una funzione scalare u(x) = u(x1, . . . , xn), potrebbe essere piu agevole scriverlain coordinate sferiche:

u(r, ϑ) = u(ξ + rν(ϑ))

Calcoliamo le derivate rispetto a r e rispetto a ϑj :

∂u

∂r= ∇u(ξ + rν) · ∂

∂r(ξ + rν) = ∇u(ξ + rν) · ν = (∇u) · ν =

∂u

∂ν

Nella derivata rispetto a ν abbiamo tolto la freccetta per alleggerire la scrittura. Abbiamodunque:

∂

∂r=

∂

∂ν

4. NABLA 5

cioe la derivata rispetto a r dell’espressione in coordinate sferiche coincide con la derivatarispetto al versore ν della funzione in coordinate cartesiane, calcolata in x = ξ + rν.

∂u

∂ϑj= ∇u(ξ + rν(ϑ)) · ∂

∂ϑj(ξ + rν(ϑ)) = ∇u(ξ + rν) · r ∂ν

∂ϑj= r(∇u) ·

(∂ν

∂ϑj

)= r∂ ∂ν

∂ϑj

u

cioe:∂

∂ϑj= r∂ ∂ν

∂ϑj

Quindi la derivata secondo un parametro angolare (in coordinate sferiche) e una derivatasecondo un vettore dello spazio tangente (ortogonale al raggio vettore).

Vogliamo ora occuparci dei campi scalari a simmetria sferica, cioe quelli che dipendonosolo dal modulo del raggio vettore e non dal parametro angolare ϑ; essi sono del tipo:

x 7−→ u(|x− ξ|) = u(r)

ove u e una funzione scalare di variabile reale. Calcoliamone alcuni operatori differenziali.

∇u = u′(r)∇r = u′(r)r

r= u′(r)ν

∂u

∂ν=

∂u

∂r= u′(r)

Poiche ∂u∂ϑj

= 0 per ogni j, per ogni vettore v ortogonale al raggio vettore, si ha ∂u∂v = 0 (v

e combinazione dei vettori ∂ν∂ϑj

).

4 Nabla

Nel seguito non dichiareremo il dominio e la regolarita delle funzioni, che saranno quellirichiesti dal contesto.

Indichiamo con x = (x1, . . . , xn) le coordinate del dominio.Con il simbolo ∇ (leggi ≪nabla≫) indichiamo il vettore formale che ha per componenti lederivate parziali prime, cioe:

∇ =

(∂

∂x1,

∂

∂x2, . . . ,

∂

∂xn

)Abbiamo usato questo simbolo per indicare il gradiente di un campo scalare, nel senso chese u = u(x) = u(x1, . . . , xn), allora

gradu = ∇u =

(∂u

∂x1,∂u

∂x2, . . . ,

∂u

∂xn

)cioe il gradiente si ottiene moltiplicando formalmente il “vettore ∇ per la funzione scala-re u.

Consideriamo ora un campo vettoriale, cioe una funzione F da Rn a Rn:

xF7−→ y

6

L’equazione del grafico e y = F (x), cioe con le coordinate:

y1 = F1(x1, . . . , xj , . . . , xn)...

yi = Fi(x1, . . . , xj , . . . , xn)...

yn = Fn(x1, . . . , xj , . . . , xn)

ove Fi e la i-esima componente di F .La matrice jacobiana e:

(∂yi∂xj

)1≤i,j≤n

=

∂y1∂x1

· · · ∂y1∂xj

· · · ∂y1∂xn

......

...∂yi∂x1

· · · ∂yi∂xj

· · · ∂yi∂xn

......

...∂yn∂x1

· · · ∂yn∂xj

· · · ∂yn∂xn

La j-esima colonna e la derivata parziale ∂y

∂xje la i-esima riga e il gradiente della i-esima

componente, cioe ∇yi = dyi.

Se prendiamo la traccia della matrice jacobiana, otteniamo ∂y1∂x1

+ ∂y2∂x2

+ · · ·+ ∂yn∂xn

, ovvero:

∂F1

∂x1+

∂F2

∂x2+ · · ·+ ∂Fn

∂xn

Questo campo scalare si chiama divergenza di F , si indica con div F o anche come prodottoscalare formale di ∇ con F :

div F = ∇ · F =

(∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn

)· (F1, . . . , Fn)

cioe

∇ · F =∂F1

∂x1+

∂F2

∂x2+ · · ·+ ∂Fn

∂xn

Sembra una definizione bizzarra, ma ne vedremo piu avanti il significato.Per ora dimostriamo un’utile formula che servira nei calcoli. Qui u e un campo scalare eF e un campo vettoriale:

∇ · (uF ) = (∇u) · F + u(∇ · F ) (2)

La dimostrazione si ottiene sommando rispetto a i nella seguente relazione:

∂

∂xi(uFi) =

(∂u

∂xi

)Fi + u

∂Fi

∂xi

4.1 Calcoli

∇ · r = ∇ · (x1, . . . , xn) =∂x1∂x1

+ · · ·+ ∂xn∂xn

= 1 + · · ·+ 1 = n

4. NABLA 7

∇ · ν = ∇ · 1rr = (∇1

r) · r + 1

r(∇ · r) = − 1

r2r

r· r + n

r=

n− 1

r

Riassumendo:

∇ · r = n ∇ · rr=

n− 1

r

In questo contesto la scrittura rr e meno ambigua di ν, sia perche e piu esplicito il legame

con il centro di simmetria ξ, sia perche in seguito ν indichera il versore normale a unasuperficie.

Si dice che un campo vettoriale e a simmetria sferica se il suo modulo dipende solo dalmodulo del raggio vettore e la sua direzione (ma non il verso) coincide con quella del raggiovettore. Un tale campo in coordinate sferiche ha la forma:

φ(r)r

r

ove φ e funzione scalare di variabile reale.Calcoliamone la divergenza:

∇ · (φ(r) rr) = (∇φ(r)) · r

r+ φ(r)

(∇ · r

r

)= φ′(r)

r

r· rr+ φ(r)

n− 1

r

da cui:

∇ · (φ(r) rr) = φ′(r) +

n− 1

rφ(r)

Si chiamano solenoidali i campi a divergenza nulla, cioe quelli che soddisfano l’equazione:

∇ · F = 0

Cerchiamo i campi solenoidali a simmetria sferica (naturalmente con n > 1):

∇ · (φ(r) rr) = φ′(r) +

n− 1

rφ(r) = 0

Moltiplicando per il fattore integrante rn−1 si ottiene:

rn−1φ′(r) + (n− 1)rn−2φ(r) = 0

(rn−1φ(r))′ = 0

rn−1φ(r) = A ∈ R

φ(r) =A

rn−1

I campi solenoidali a simmetria sferica sono proporzionali al campo:

1

rn−1

r

r(3)

Il campo (3) sara detto campo vettoriale dell’angolo solido.

8

5 Le superficie

Consideriamo una superficie parametrica in Rn, cioe una funzione da Rn−1 a Rn. Indi-chiamo con u = (u1, . . . , un−1) il parametro del dominio e con x = (x1, . . . , xn) il puntovariabile del codominio. La superficie s e una funzione:

us7−→ x

Spesso identifichiamo s con la sua immagine S, tenendo presente che ai fini dell’orienta-mento del versore normale e importante conoscere la parametrizzazione.Richiederemo inoltre che s sia iniettiva e che le derivate parziali siano linearmente indi-pendenti, a parte un insieme trascurabile di punti. Vogliamo anche che S sia una varietadifferenziale di dimensione n− 1, a parte un po’ di punti.Chiamiamo dom s il dominio dei parametri.Con le coordinate possiamo scrivere:

x1 = x1(u1, . . . , un−1)x2 = x2(u1, . . . , un−1)...xn = xn(u1, . . . , un−1)

Un esempio e la parametrizzazione della sfera unitaria tramite i parametri angolari.

Scriviamo la matrice jacobiana, che ha per i-esima riga dxi = ∇xi e per j-esima colon-na ∂x

∂uj, ove 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n− 1:

∂x1∂u1

. . . ∂x1∂uj

. . . ∂x1∂un−1

......

...∂xi∂u1

. . . ∂xi∂uj

. . . ∂xi∂un−1

......

...∂xn∂u1

. . . ∂xn∂uj

. . . ∂xn∂un−1

dx1...

dxi...

dxn

∂x∂u1

. . . ∂x∂uj

. . . ∂x∂un−1

Gli n−1 vettori linearmente indipendenti ∂x∂u1

, . . . , ∂x∂un−1

definiscono un (n−1)-paralleloto-

po, immagine del cubo unitario di Rn−1 tramite l’applicazione lineare s ′(u). Tale paralle-lotopo e costituito dai punti (vettori) del tipo:

∑tj

∂x

∂ujcon tj ∈ [0, 1] ∀j (4)

Chiameremo area la misura (n− 1)-dimensionale e volume la misura n-dimensionale.

Ricordiamo che gli n− 1 vettori ∂x∂u1

, . . . , ∂x∂un−1

generano lo spazio vettoriale tangente alla

superficie nel punto s(u). Vogliamo utilizzarli per definire vettore normale e area dellasuperficie.

Definiamo il seguente funzionale su Rn:

h 7−→ det(h,∂x

∂u1, . . . ,

∂x

∂un−1)

5. LE SUPERFICIE 9

ove gli elementi tra parentesi sono vettori colonna. Tale funzionale e il volume con segnodel parallelotopo n-dimensionale generato dagli n vettori h, ∂x

∂u1, . . . , ∂x

∂un−1.

Poiche gli n− 1 vettori ∂x∂uj

sono linearmente indipendenti, tale funzionale e non nullo.

Siccome ogni funzionale lineare e prodotto scalare per un preassegnato vettore, esiste ununico vettore non nullo w tale che per ogni h ∈ Rn si ha:

w · h = det(h,∂x

∂u1, . . . ,

∂x

∂un−1)

Tale w viene indicato con il simbolo:

w =∂x

∂u1∧ ∂x

∂u2∧ · · · ∧ ∂x

∂un−1

e si chiama prodotto vettoriale degli n− 1 vettori ∂x∂u1

, . . . , ∂x∂un−1

.

Mostriamo che w e ortogonale a ∂x∂uj

per ogni j, e quindi allo spazio tangente.

w · ∂x

∂uj= det(

∂x

∂uj,∂x

∂u1, . . . ,

∂x

∂uj, . . . ,

∂x

∂un−1) = 0

perche ci sono due colonne uguali. Dunque w e ortogonale alla superficie nel punto s(u).Cerchiamo le componenti di w.

w · eicolonne====== det(ei,

∂x

∂u1, . . . ,

∂x

∂uj, . . . ,

∂x

∂un−1) =

righe===== det

0 dx1...

...1 dxi...

...0 dxn

= (−1)i−1 dx1 . . . dxi . . . dxn

dove dx1 . . . dxi . . . dxn e il minore che si ottiene dalla jacobiana di s cancellando lai-esima riga, cioe cancellando dxi (in questo modo viene il determinante di una matricequadrata di ordine n− 1).Nel precedente calcolo la matrice e stata scritta una volta per colonne e una volta perrighe.Si ha dunque:

w =∂x

∂u1∧ · · · ∧ ∂x

∂un−1=

n∑i=1

(−1)i−1dx1 . . . dxi . . . dxnei

Dobbiamo ora parlare del significato del modulo di w = ∂x∂u1

∧ · · · ∧ ∂x∂un−1

.Osserviamo che

|w| = w

|w|· w = det

(w

|w|,∂x

∂u1, . . . ,

∂x

∂un−1

)L’ultimo determinante e il volume del parallelotopo n-dimensionale generato da:

w

|w|,∂x

∂u1, . . . ,

∂x

∂un−1

10

Poiche w|w| e un versore ortogonale a ∂x

∂ujper ogni j, si ha che tale volume |w| e uguale alla

misura (n− 1)-dimensionale del parallelotopo generato dai vettori ∂x∂uj

.

Abbiamo pertanto che l’area del parallelotopo di lati ∂x∂u1

, . . . , ∂x∂un−1

e data da:

∣∣ ∂x∂u1

∧ · · · ∧ ∂x

∂un−1

∣∣ =√√√√ n∑

i=1

(dx1 . . . dxi . . . dxn)2

Se ora in Rn−1 abbiamo degli incrementi infinitesimi du1, . . . , dun−1 lungo le direzioni deglielementi della base canonica di Rn−1, l’area del parallelotopo rettangolo da essi individuatoe:

du = du1 · · · dun−1

L’area del trasformato tramite s ′(u) si ottiene moltiplicando du per l’area del parallelotopo(4):

∣∣ ∂x∂u1

∧ · · · ∧ ∂x

∂un−1

∣∣ du1 · · · dun−1 =

√√√√ n∑i=1

(dx1 . . . dxi . . . dxn)2 du1 · · · dun−1

Chiamiamo questo elemento differenziale d’area dσ e poniamo:

dσ = dσ(u) =∣∣ ∂x∂u1

∧ · · · ∧ ∂x

∂un−1

∣∣ du =

√√√√ n∑i=1

(dx1 . . . dxi . . . dxn)2 du1 · · · dun−1

Definiamo l’area della duperficie s come:

area di s =

∫sdσ =

∫dom s

dσ(u) =

∫dom s

√√√√ n∑i=1

(dx1 . . . dxi . . . dxn)2 du1 · · · dun−1

Il versore normale νs alla superficie s e dato da:

νs =

∂x∂u1

∧ · · · ∧ ∂x∂un−1∣∣ ∂x

∂u1∧ · · · ∧ ∂x

∂un−1

∣∣Attenzione: non confondere il versore normale νs con il versore r

r (se non ci sara confu-sione tralasceremo l’indice s). Solo se s = s(ϑ) e la parametrizzazione della sfera si ha cheνs e r

r oppure − rr .

Esercizio. Verificare che se n = 2, cioe la superficie e una curva, allora dσ = ds, cioe il

differenziale d’arco. Infatti il prodotto vettoriale del singolo vettore colonna

(x′(t)y′(t)

)e il

vettore y′(t)e1 − x′(t)e2.

Osservazione 2 Per altre espressioni di dσ si veda il testo G. De Marco, Analisi Due.

5. LE SUPERFICIE 11

5.1 Area delle sfere

Siano:

dx1 · · · dxndifferenziale di volumeo elemento di volume,

dσ =

√∑ni=1(dx1 . . . dxi . . . dxn)2 du1 · · · dun−1

differenziale d’areao elemento d’area.

Poniamo:

wn = volume di Bn =

∫Bn

dx

sn−1 = area di Sn−1 =

∫Sn−1

dσ

Fissiamo ρ > 0. Poiche la palla di raggio ρ e ρBn e l’omotetia di rapporto ρ ha determi-nante jacobiano uguale a ρn, abbiamo:

volume di ρBn = ρnwn

La sfera di raggio ρ e ρSn−1. Se s(ϑ1, . . . , ϑn−1) e la parametrizzazione angolare della sferaunitaria, allora ρs(ϑ1, . . . , ϑn−1) e la parametrizzazione della sfera di raggio ρ. La matricejacobiana di quest’ultima e: ρ∂x1

∂ϑ1. . . ρ ∂x1

∂ϑn−1

......

ρ∂xn∂ϑ1

. . . ρ ∂xn∂ϑn−1

Rispetto alla jacobiana della sfera unitaria, i minori di ordine n− 1 vengono moltiplicatiper ρn−1; il dominio dei parametri angolari e lo stesso. Abbiamo dunque (indicando condσρ il differenziale d’area della sfera di raggio ρ e con dσ il differenziale d’area della sferaunitaria):

dσρ = ρn−1dσ

area di ρSn−1 =

∫ρSn−1

dσρ =

∫dom s

ρn−1dσ = ρn−1sn−1

A questo punto e interessante calcolare il dσ della sfera unitaria. Utilizziamo (⋆⋆), nellaforma:

s(ϑ1, . . . , ϑn−2, ϑn−1) = (cosϑn−1)en + (sinϑn−1)u(ϑ1, . . . , ϑn−2) (5)

ove u(ϑ1, . . . , ϑn−2) e la parametrizzazione di Sn−2 × 0 e quindi l’n-esima componentedi u e nulla.

Ricordiamo che le derivate parziali di una funzione a valori in un sottospazio di dimensionefinita stanno nel sottospazio stesso (perche?).

La derivata parziale ∂s∂ϑn−1

= − sinϑn−1en + cosϑn−1u e un versore che appartiene al sot-

tospazio ⟨en, u⟩. Sia ora j < n− 1. Poiche u ∈ e⊥n , la derivata parziale ∂s

∂ϑj= sinϑn−1

∂u∂ϑj

appartiene a e⊥n ; poiche u e un versore, ∂u

∂ϑje ortogonale a u; quindi ∂s

∂ϑj∈ ⟨en, u⟩⊥.

Di conseguenza ∂s∂ϑn−1

e ortogonale a ∂s∂ϑj

per ogni j < n− 1.

Procedendo a ritroso si ottiene che ∂s∂ϑn−2

e ortogonale a ∂s∂ϑj

per ogni j < n− 2; poi ∂s∂ϑn−3

. . . , in conclusione:

12

le colonne della matrice jacobiana di s, cioe i vettori ∂s∂ϑj

,

sono tra loro ortogonali.

Per calcolare l’area del parallelotopo generato dai vettori ∂s∂ϑj

, calcoliamo il determinante

della matrice di Gram dei vettori ∂s∂ϑ1

, . . . ∂s∂ϑn−1

che e la matrice:

(( ∂s

∂ϑi· ∂s

∂ϑj

)1≤i,j≤n−1

)(6)

Per l’ortogonalita dei vettori, la matrice (6) e una matrice diagonale i cui elementi in

diagonale sono∣∣∣ ∂s∂ϑj

∣∣∣2.La radice quadrata del determinante gramiano e dunque:∣∣∣∣ ∂s∂ϑ1

∧ · · · ∧ ∂s

∂ϑn−1

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∂s∂ϑ1

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∂s∂ϑ2

∣∣∣∣ · · ·∣∣∣∣ ∂s

∂ϑn−1

∣∣∣∣A questo punto, da (5) si ottiene facilmente:∣∣∣∣ ∂s

∂ϑn−1

∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ ∂s

∂ϑn−2

∣∣∣∣ = sinϑn−1∣∣∣∣ ∂s

∂ϑn−3

∣∣∣∣ = sinϑn−1 sinϑn−2

· · · = · · ·· · · = · · ·∣∣∣∣ ∂s∂ϑ1

∣∣∣∣ = sinϑn−1 sinϑn−2 · · · sinϑ2

da cui si ottiene:∣∣∣∣ ∂s∂ϑ1∧ · · · ∧ ∂s

∂ϑn−1

∣∣∣∣ = (sinϑ2)(sinϑ3)2 · · · (sinϑn−2)

n−3(sinϑn−1)n−2

e il differenziale d’area e dunque:

dσn−1 = (sinϑ2)(sinϑ3)2 · · · (sinϑn−2)

n−3(sinϑn−1)n−2dϑ1dϑ2 . . . dϑn−1

dove 0 ≤ ϑ1 ≤ 2π e 0 ≤ ϑi ≤ π.

L’area della sfera risulta:

sn−1 =

∫Sn−1

dσ =

∫ 2π

0dϑ1 ·

∫ π

0sinϑ2dϑ2 ·

∫ π

0sin2 ϑ3dϑ3 · · ·

∫ π

0sinn−2 ϑn−1dϑn−1

Applicando le formule per gli integrali delle potenze del seno, tramite le funzioni eulerianesi ottiene:

sn−1 = 2(√π)n

Γ(n2 )

6. INTEGRALI IN Dσ E INTEGRAZIONE PER SFERE 13

6 Integrali in dσ e integrazione per sfere

Se f e una funzione, S una superficie e domS e il dominio di una parametrizzazione x(u)di S, definiamo l’integrale di f in dσ come:∫

Sf dσ =

∫domS

f(x(u)) dσ(u) =

=

∫domS

f(x(u))

√√√√ n∑i=1

(dx1 . . . dxi . . . dxn)2 du1 · · · dun−1

Vogliamo ora capire come si utilizzano le coordinate sferiche nel calcolo dell’integrale divolume. A questo scopo calcoliamo il modulo del determinante jacobiano della trasforma-zione coordinate sferiche x = Φ(r, ϑ) = ξ + rν(ϑ).Riscriviamo la matrice jacobiana (1) per colonne:(

ν r ∂ν∂ϑ1

. . . r ∂ν∂ϑj

. . . r ∂ν∂ϑn−1

)Per definizione di prodotto vettoriale, il determinante e:

rn−1ν ·(

∂ν

∂ϑ1∧ · · · ∧ ∂ν

∂ϑn−1

)Poiche siamo in una sfera, abbiamo:

ν = ±∂ν∂ϑ1

∧ · · · ∧ ∂ν∂ϑn−1∣∣ ∂ν

∂ϑ1∧ · · · ∧ ∂ν

∂ϑn−1

∣∣e dunque il modulo del determinante jacobiano vale:

rn−1∣∣ ∂ν∂ϑ1

∧ · · · ∧ ∂ν

∂ϑn−1

∣∣ = rn−1 sinϑ2 sin2 ϑ3 · · · sinn−2 ϑn−1

Se usiamo il cambiamento di variabili con la trasformazione coordinate sferiche, il diffe-renziale di volume diventa ∣∣detΦ′∣∣ dr dϑ1 . . . ϑn−1

cioe:

rn−1∣∣ ∂ν∂ϑ1

∧ · · · ∧ ∂ν

∂ϑn−1

∣∣ dr dϑ1 . . . dϑn−1 = rn−1∣∣ ∂ν∂ϑ1

∧ · · · ∧ ∂ν

∂ϑn−1

∣∣ dr dϑ = rn−1 dr dσ

Qui r > 0 e ϑ varia nel dominio aperto Ω delle coordinate angolari dato da 0 < ϑ1 < 2π,0 < ϑi < π per i > 1.Il teorema del cambiamento di variabili fornisce la formula:∫

Rn

f(x) dx =

∫r > 0ϑ ∈ Ω

rn−1f(ξ + rν(ϑ)) dr dσ(ϑ) dϑ

cioe la formula di integrazione per sfere :∫Rn

f(x) dx =

∫ +∞

0rn−1

∫Ωf(ξ + rν(ϑ)) dσ(ϑ)dϑ dr =

∫ +∞

0rn−1

∫Sn−1

f(ξ + rν) dσ dr

14

A titolo di esempio, cerchiamo la relazione fra il volume wn della palla unitaria e l’area sn−1

della sfera unitaria.Se f e la funzione caratteristica della palla unitaria si ha:

wn =

∫Bn

1 dx =

∫Rn

f(x) dx =

∫ +∞

0rn−1

∫Sn−1

f(rν) dσdr =

poiche f(rν) vale 0 per r > 1 e vale 1 per r ≤ 1, otteniamo:

=

∫ 1

0rn−1

∫Sn−1

1 dσdr = sn−1

∫ 1

0rn−1dr =

sn−1

n

Percio:

sn−1 = nwn

Abbiamo dunque:

volume di Bρ = wnρn, area di ∂Bρ = nwnρ

n−1

Esercizio. Osservare che wn = πn2

Γ(n2+1) , formula che si puo dimostrare anche direttamente

[DM, pag. 327 e 9.26.3].

6.1 Applicazioni

Osservazione 3 Se la formula di integrazione per sfere da un risultato finito per |f |,allora f e sommabile e la formula stessa si applica anche a f .

Proposizione 4 Se f(x) = g(|x|) = g(r) per qualche funzione g su ]0,+∞[ (cioe fdipende solo dalla distanza dall’origine), allora f e sommabile su Rn se e solo se rn−1g(r)e sommabile su ]0,+∞[ e si ha:∫

Rn

f(x) dx = sn−1

∫ +∞

0rn−1g(r) dr

Dimostrazione. Applicando la formula di integrazione per sfere (nel caso in cui f siapositiva e nel caso qualunque se f e sommabile) si ha:∫

Rn

f(x) dx =

∫ +∞

0rn−1

∫Ωf(rν(ϑ))dσ(ϑ) dr =

=

∫ +∞

0rn−1

∫Ωg(r)dσ(ϑ) dr =

∫ +∞

0rn−1g(r)dr

∫Ωdσ(ϑ) =

= sn−1

∫ +∞

0rn−1g(r)dr

ove la penultima uguaglianza discende dal fatto che g(r) non dipende dai parametriangolari.

Corollario 5 Siano ρ > 0 e Bρ la palla di Rn di centro l’origine e raggio ρ.

• Se |f(x)| ≤ C|x|−α su Bρ per qualche C > 0 e α < n, allora f ∈ L1(Bρ).Se |f(x)| ≥ C|x|−n su Bρ per qualche C > 0, allora f ∈ L1(Bρ).

6. INTEGRALI IN Dσ E INTEGRAZIONE PER SFERE 15

• Se |f(x)| ≤ C|x|−α su Rn \Bρ per qualche C > 0 e α > n, allora f ∈ L1(Rn \Bρ).Se |f(x)| ≥ C|x|−n su Rn \Bρ per qualche C > 0, allora f ∈ L1(Rn \Bρ).

Dimostrazione. Applicare la Prop. 4 alle funzioni:

|x|−αχBρ , |x|−αχRn\Bρ

Esercizio 1 (Esercizio importante.) Siano a > 0 e x = (x1, . . . , xn) variabile in Rn.Si ha: ∫

Rn

e−a|x|2 dx =

∫Rn

e−a(x21+···+x2

n) dx1 . . . dxn =(πa

)n2

Soluzione.Poiche la funzione integranda e positiva, possiamo calcolarlo come integrale iterato:∫

Rn

e−ax21e−ax2

2 · · · e−ax2n dx1 . . . dxn =

(∫ +∞

−∞e−ax2

1dx1

)· · ·

(∫ +∞

−∞e−ax2

ndxn

)Poiche tutti i fattori valgono∫ +∞

−∞e−at2dt

u=√at

======

∫ +∞

−∞

1√ae−u2

du =

√π

a

si ottiene la conclusione.

Dalla Prop. 4 e dall’es. 1 si ottiene:

Proposizione 6 Siano sn−1 e wn le misure della superficie e del volume della pallaunitaria di Rn. Si ha:

sn−1 = 2π

n2

Γ(n2

) wn =π

n2

Γ(n2 + 1

)Dimostrazione. Si ha:

πn2 =

∫Rn

e−|x|2dx = sn−1

∫ +∞

0rn−1e−r2dr

t=r2====

1

2sn−1

∫ +∞

0tn2−1e−tdt =

1

2sn−1Γ

(n2

)da cui l’espressione per l’area della superficie.Per la misura del volume basta ricordare che:

wn =1

nsn−1,

n

2Γ(n2

)= Γ

(n2+ 1

)6.2 Medie

Sia f una funzione continua definita su Bρ, palla di centro ξ e raggio ρ > 0, e sia Sρ = ∂Bρ

la superficie di tale palla, che indicheremo anche con il simbolo r = ρ.

Definiamo la media dell’integrale di superficie di f su Sρ il rapporto:

mρ(f) =

∫Sρ

f dσ

areadiSρ=

∫r=ρ f dσ

σn−1ρn−1(7)

Proposizione 7 Allo stesso modo che in una variabile reale si dimostrano i seguenti fatti.

16

Fatto 1: La media e compresa fra il minimo e il massimo di f su ∂Bρ (la dimostrazionesegue dall’isotonia dell’integrale e dal fatto che la media di una costante e la costantestessa).

Fatto 2: esiste ηρ ∈ ∂Bρ tale che:

mρ(f) = f(ηρ)

(la dimostrazione segue dalla connessione di ∂Bρ e dal teorema di tutti i valori perle funzioni continue).

Fatto 3:

limρ→0+

mρ(f) = f(ξ)

(la dimostrazione si ottiene passando al limite nel fatto 2.

Fatto 4: se f ≤ k ∈ R e f non e costante su ∂Bρ allora:

mρ(f) < k

(la dimostrazione segue dal fatto che per le funzioni continue l’integrale conserva ledisuguaglianze strette in qualche punto).

Nota 8 Gli stessi fatti sussistono per la media degli integrali di volume:

Mρ(f) =

∫Bρ

f dx

wnρn(8)

7 Flussi

Sia F un campo vettoriale dipendente dalla variabile x ∈ Rn e sia S una superficie (n −1)-dimensionale immersa in Rn, il cui versore normale dipende dalla parametrizzazionex(u), con u ∈ Rn−1. Con domS indichiamo il dominio della parametrizzazione e condu = du1 . . . dun−1 la misura su Rn−1.

Detto ν =∂x∂u1

∧···∧ ∂x∂un−1∣∣ ∂x

∂u1∧···∧ ∂x

∂un−1

∣∣ , si definisce flusso di F attraverso S:

∫SF · ν dσ =

∫domS

F (x(u)) ·∂x∂u1

∧ · · · ∧ ∂x∂un−1∣∣ ∂x

∂u1∧ · · · ∧ ∂x

∂un−1

∣∣ ∣∣ ∂x∂u1∧ · · · ∧ ∂x

∂un−1

∣∣ duSemplificando si ottiene la formula per il flusso:∫

SF (x) · ν(x) dσ(x) =

∫domS

F (x(u)) · ( ∂x∂u1

∧ · · · ∧ ∂x

∂un−1) du =

=

∫domS

det(F (x(u)) ∂x

∂u1. . . ∂x

∂un−1

)du

Possiamo anche scrivere:∫SF · ν dσ =

∫S

n∑i=1

(−1)i−1Fi(x) dx1 . . . dxi . . . dxn

7. FLUSSI 17

Esempio. SiaM una varieta (n−2)-dimensionale contenuta in ∂B = ξ+Sn−1 e supponiamoche M sia diffeomorfa a Sn−2.Consideriamo il cono formato dalle semirette di vertice ξ e passanti per punti di M :

C = ξ + t(γ − ξ) : t ≥ 0, γ ∈ M

Diamo per scontati i seguenti fatti:

i) ∂B \M si spezza in due componenti connesse (tipo calotte);

ii) Rn \C si spezza in due aperti connessi che sono i due angoli solidi che hano C comefrontiera.

Sia V uno dei due aperti connessi per cui ∂V = C e sia Pρ = V ∩ ∂Bρ la porzione sfericadi raggio ρ intercettata dall’angolo solido.Calcoliamo il flusso di (3) attraverso Pρ.A questo scopo sia ΩV il dominio dei parametri angolari ϑ per cui x = ξ+ρν(ϑ) appartienea Pρ. Osserviamo che ΩV non dipende da ρ. Inoltre il raggio versore r

r = ν coincide conil versore normale ν(ϑ) uscente da ∂Bρ e dσρ = ρn−1dσn−1.∫

Pρ

F · ν dσ =

∫ΩV

F (ξ + ρν(ϑ)) · ν(ϑ)ρn−1dσn−1 =

=

∫P1

F (ξ + ρν) · νρn−1dσn−1 =

=

∫P1

1

ρn−1ν · νρn−1dσn−1 =

=

∫P1

dσn−1 = areadiP1

Pertanto abbiamo dimostrato che il flusso del campo 1rn−1

rr uscente dalla superficie sferica

intercettata dall’angolo solido non dipende dal raggio della sfera e coincide con l’area dellaporzione intercettata sulla sfera unitaria. Tale area si chiama misura dell’angolo solido.

7.1 Teorema della divergenza

D’ora in poi D indica un sottoinsieme di Rn con le seguenti proprieta (dette molto allabuona):

l’insieme D e un aperto limitato e connesso di Rn racchiuso da una superficieche coincide con la frontiera di D, cioe tale che

∂D = frontiera di D in Rn

sia una superficie; supponiamo inoltre che ∂D sia orientabile, nel senso che sipossa definire in modo continuo un versore normale uscente da D.

Prendiamo un campo vettoriale F , definito su un aperto contenente D = D ∪ ∂D.Il teorema della divergenza e dato dalla formula:∫

∂DF · νe dσ =

∫D∇ · F dx (9)

ove νe = normale uscente.In parole:

18

il flusso di un campo vettoriale uscente da una superficie chiusa e ugualeall’integrale della divergenza del campo sul volume racchiuso.

Bisogna fare attenzione che D sia tutto contenuto nel dominio del campo. Per esempio,il campo dell’angolo solido e solenoidale, pero il flusso uscente da una sfera di centro ξcoincide con l’area sn−1 della sfera unitaria, perche il centro di simmetria e punto singolareper il campo.

Per la dimostrazione della formula della divergenza si rimanda ai testi di Analisi.

Per i campi solenoidali abbiamo la seguente conseguenza:

Corollario 9 Il flusso di un campo solenoidale attraverso una superficie chiusa e nullo.

Esercizio. Riottenere la misura dell’angolo solido usando il teorema della divergenza.

Vogliamo dimostrare e dare un senso alla seguente affermazione:la divergenza di un campo vettoriale F in un punto ξ e il limite del rapporto tra flussouscente da ∂Bρ e volume di Bρ quando ρ tende a 0.

Infatti si ha: ∫∂Bρ

F · νe dσvolumediBρ

=

∫Bρ

∇ · F dx

volumediBρ

ρ→0−−−−−→ ∇ · F (ξ)

dove l’ultimo limite discende dal Fatto 4 per la media dell’integrale di volume.

8 Funzioni armoniche

Se u = u(x) e un campo scalare (da Rn a R), possiamo considerare il campo vettoriale ∇ue poi effettuare la divergenza di quest’ultimo:

∇ · (∇u) = ∇2u = ∆u

L’operatore ∆ si chiama laplaciano; scriviamolo esplicitamente:

∆u = ∇ ·(

∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn

)=

∂2u

∂x12+

∂2u

∂x22+ · · ·+ ∂2u

∂xn2

Una funzione si dice armonica se ha laplaciano nullo, cioe se soddisfa l’equazione differen-ziale:

∆u = 0

Ricordiamo che in R2 una funzione e armonica se e solo se e parte reale di una funzioneolomorfa.

Cerchiamo le funzioni a simmetria sferica che sono armoniche.A simmetria sferica vuol dire del tipo u(r), ove r = |x− ξ|.Avere laplaciano nullo significa che il gradiente e solenoidale, cioe proporzionale al campo(3):

A

rn−1

r

r

Poiche ∇u(r) = u′(r) rr , si dovra avere:

u′(r) =A

rn−1

8. FUNZIONI ARMONICHE 19

e e quindi

u(r)=A

2− n

1

rn−2+B per n > 2

u(r)= −A log1

r+B per n = 2

sono le uniche funzioni armoniche a simmetria sferica. Fra di esse consideriamo le se-guenti, corrispondenti ai valori B = 0 e A = − 1

sn−1, ricordando che r = |x − ξ| e

sn−1 = areadi Sn−1:

S= S(x, ξ) = S(r) =1

(n− 2)sn−1

1

rn−2per n > 2

S= S(x, ξ) = S(r) =1

2πlog

1

rper n = 2

Osserviamo che:

∇S(r) = − 1

sn−1rn−1

r

r

Se ν = rr abbiamo dunque:

∂S

∂ν= ∇S · ν = S′(r) =

−1

sn−1rn−1

Osserviamo che S e armonica a simmetria sferica con ξ come punto singolare. Inoltre valeil seguente comportamento al limite:

limr→0

rn−1∂S

∂ν=

−1

sn−1limr→0

rn−1S = 0. (10)

Gli stessi valori limite sussistono se ad S viene aggiunta una qualsiasi funzione uS che siaC1 in un intorno completo di ξ.

8.1 Problema di Dirichlet

Data una funzione continua f su ∂D, il problema di Dirichlet consiste nel determinareuna funzione u armonica su D e continua su D tale che u = f su ∂D. In simboli taleproblema si scrive:

∆u = 0

u∂D = f

Discutiamo un problema piu semplice.Sia H lo spazio lineare delle funzioni reali continue su D e armoniche su D e sia C

lo spazio lineare delle funzioni continue su ∂D. L’operatore lineare HT7−→ C definito da

Tu = f = u∂D ha un’immagineR(T ). Dal principio di massimo per le funzioni armoniche,che dimostreremo piu avanti, si ha che T e iniettivo. Di conseguenza T−1 esiste.

Ci occuperemo di determinare un nucleo integrale che permetta di ricostruire T−1f in unpunto ξ ∈ D.Sia S(x, ξ) il campo scalare precedentemente definito. Si dimostra che se esiste una fun-zione uS(x, ξ) armonica su tutto D tale che uS(x, ξ) = S(x, ξ) per ogni x ∈ ∂D allora,posto

G(x, ξ) = S(x, ξ)− uS(x, ξ)

20

si ha la seguente formula integrale per T−1:

T−1f(ξ) = u(ξ) =

∫∂D

f(x)∂G

∂ν(x, ξ) dσ(x) =

∫∂D

f(x)(∇xG(x, ξ)) · ν(x) dσ(x)

ove ν(x) e il versore normale entrante.La funzione G(x, ξ) si chiama funzione di Green di D.L’esistenza della funzione di Green dipende dall’esistenza della funzione uS(x, ξ), armonicasu tutto D e coincidente su ∂D con la funzione G(x, ξ), che ha invece una singolarita in ξ,il cui carattere dipende da (10).

Dimostriamo alcuni fatti sulle funzioni armoniche.

Proposizione 10 Il valore di una funzione armonica u(x) in un punto ξ e la mediaintegrale su qualsiasi sfera ∂Bρ di centro ξ.

Dimostrazione. Per il Fatto 3 si ha:

u(ξ) = limρ→0+

mρ(u) = limρ→0+

∫∂Bρ

u dσρ

sn−1ρn−1

Se dimostriamo che mρ e costante rispetto a ρ abbiamo concluso.Teniamo presente che dσρ = ρn−1dσn−1. Abbiamo:

mρ =

∫∂Bρ

u(ξ + ρν) dσρ

sn−1ρn−1=

∫Sn−1 u(ξ + ρν)ρn−1dσn−1

sn−1ρn−1

Semplificando la costante ρn−1 si ottiene:

m(ρ) = mρ(u) =1

sn−1

∫Sn−1

u(ξ + ρν) dσn−1

Se deriviamo rispetto a ρ sotto il segno di integrale otteniamo:

m′(ρ) =1

sn−1

∫Sn−1

∇u(ξ + ρν) · ν dσn−1

Osserviamo che ν = rr e il versore normale uscente sia da Sn−1 sia da ∂Bρ, a parita

di parametri angolari. Tenendo presente che dσn−1 =1

ρn−1dσρ, possiamo scrivere m′(ρ)secondo la formula:

m′(ρ) =1

ρn−1sn−1

∫∂Bρ

∇u · ν dσρ

L’ultimo integrale e un flusso uscente da una superficie sferica e possiamo applicare ilteorema della divergenza per le sfere, tenendo presente che ∇ · ∇ = ∆ :

m′(ρ) =1

ρn−1sn−1

∫Bρ

∆u dx = 0

perche u e armonica. Pertanto la dimostrazione e conclusa perche m(ρ) risulta costante.

Il seguente corollario mostra che l’operatore Tu = u∂D e iniettivo sulle funzioni armoniche.

8. FUNZIONI ARMONICHE 21

Corollario 11 Sia u una funzione continua su D e armonica su D. Se M e un valoreestremo assoluto di u, allora M non puo essere assunto in D, a meno che u sia costante.Di conseguenza u assume massimo e minimo su ∂D. Se u e nulla su ∂D, allora u eidenticamente nulla.

Dimostrazione. L’insieme EM = ξ ∈ D : u(ξ) = M e chiuso in D; se dimostriamoche e aperto, la connessione di D assicura che se EM = ∅ allora u vale costantemente M .Sia ξ ∈ EM e sia Bρ una palla chiusa di centro ξ tutta contenuta in D. Poiche per ogniε ≤ ρ la media integrale di u su ∂Bε e uguale a u(ξ) = M , per il fatto 4 la funzione uassume valore costantemente uguale a M su tutti i punti di ∂Bε; pertanto u assume valorecostante M su tutti i punti di Bρ ed EM e aperto.

8.2 Identita di Green

Siano u e v funzioni di classe C1 su D e di classe C2 su D. Sia νe il versore normale uscenteda ∂D. Si ha:∫

∂Du∂v

∂νedσ =

∫∂D

(u∇v) · νe dσdivergenza========

∫D(∇u) · (∇v) dx+

∫Du(∆v) dx

Dall’uguaglianza fra il primo e l’ultimo termine, indicando con νι il versore normaleentrante, si ottiene l’identita di Green:

−∫D(∇u) · (∇v) dx =

∫Du(∆v) dx+

∫∂D

u∂v

∂νιdσ (11)

Scambiando i ruoli di u e v in (11) si ha:

−∫D(∇u) · (∇v) dx =

∫Dv(∆u) dx+

∫∂D

v∂u

∂νιdσ

Sottraendo termine a termine, otteniamo la seguente uguaglianza detta anch’essa identitadi Green: ∫

D[u∆v − v∆u]dx+

∫∂D

[u∂v

∂ν− v

∂u

∂ν

]dσ = 0

ove ν e il versore normale entrante.

Versione riveduta maggio 2013 – c⃝ 2009-2013 Umberto Marconi

BIBLIOGRAFIA

[DM] G. De Marco, Analisi Due, Decibel Zanichelli.