Equazioni di secondo grado

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- Prof. R. Fantini1

Nota storicaPer secoli l’algebra (dall’arabo al-Jabr che significa “aggiustamento” il lavoro tipico dei medici sulle ossa fratturate dei pazienti) ha cercato metodi meccanici (algoritmi) per risolvere le equazioni.In questa ricerca si sono distinti il matematico arabo Al-Khwarizmi (IX secolo d.C.) che ha trovato la formula risolutiva delle eq. di 2° grado e gli italiani: Scipione del Ferro, Nicolò Tartaglia, Gerolamo Cardano (dal 1500 al 1570), per quelle di 3° grado e Ludovico Ferrari per quelle di 4°.

- Prof. R. Fantini2

Problemi antichi1700 a. C. : BabiloniaHo sommato 7 volte il lato di un quadrato con 11 volte la sua area e ho trovato 6.25. Quanto è lungo il lato?

Moltiplica 11 per 6.25 e trovi 68.75 .Dimezza 7 e moltiplica il risultato per se stesso. Sommalo con 68.75 e trovi 81, la cui radice quadrata è 9. Sottrai 7/2 da 9 e hai 5.5. Per che cosa moltiplico 11 per avere 5.5? Per 0.5: QUESTO E’ IL LATO !

Soluzione

- Prof. R. Fantini3

Equazioni: richiami.Un’equazione è una uguaglianza fra due espressioni letterali che risulta VERA (soddisfatta) per particolari valori assunti dalle lettere.

Es. 43 4 0 3

x x

0ax b 0a Eq. di 1° grado

Sol. bxa

43 4 03

Verifica:

- Prof. R. Fantini4

Equazioni di secondo grado

La più generale equazione di 2° grado si può scrivere:

Es. 23 4 6 0x x

2 0ax bx c 0a

- Prof. R. Fantini5

Equazione PURAConsideriamo l’equazione di 2° grado con b=0b=0:

2 0 ax c 1,20

0

c cxa ac impossibilea

Es. 21,216 0 16 4x x

L’equazione pura, se non è impossibile, ha due radici reali e opposte.

2 cxa

21,281 0 81 impossibile!x x

- Prof. R. Fantini6

Equazione SPURIAConsideriamo l’equazione di 2° grado con c=0c=0:

Es.

2 0 ( ) 0ax bx x ax b Per la legge di annullamento del prodotto, questa equazione può essere soddisfatta annullando uno o l’altro fattore.

1 2bx 0 xa

Si ha dunque:

L’equazione spuria ha sempre due radici reali di cui una nulla.

21 2

83x 8x 0 x 3x 8 0 x 0 x3

- Prof. R. Fantini7

Equazione COMPLETA2 0ax bx c

0444 22 acabxxa

•Moltiplicando ambo i membri per 4a si ottiene:

•Aggiungiamo ora b^2 e sottraiamo 4ac ad ambo i membri dell’equazione:

acbbabxxa 444 2222 •Il primo membro è il quadrato di un binomio

2 2 2

22

1,2

(2 ) 4 (2 ) 4

2 4 42

ax b b ac ax b b ac

ax b b ac b b acxa

- Prof. R. Fantini8

EsempiRisolvere le seguenti equazioni:

22 9 5 0x x a=2; b=9; c=-5

2 1

1,2

2

9 121 59 81 4 2 ( 5)4 42 4 9 121 1

4 2

xb b acx

ax

23 2 0x x a=3; b=-1; c=-2

2 1

1,2

2

1 25 21 1 4 3 ( 2)4 6 3

2 6 1 25 16

xb b acx

ax

Le soluzioni (radici) sono

reali e distinte.

- Prof. R. Fantini9

Un ultimo esempioRisolvere la seguente equazione:

22 3 0x x a=2; b=-1; c=3

2

1,24 1 1 4 2 3 1 23 ...???

2 4 4b b acx

a

E’ di fondamentale importanza stabilire il segno della quantità:

2 4b ac

Non esistono soluzioni reali !!

- Prof. R. Fantini10

E’ l’espressione che nella formula risolutiva figura sotto il segno di radice si chiama discriminante dell’ equazione e si indica con la lettera DELTA

> 0

= 0

< 0

SI?

SI?

SI?Vai al

diagramma di flusso

Discriminante DELTA2b 4ac

- Prof. R. Fantini11

Il radicale che compare nella formula risolutiva, è un numero reale e l’equazione data ha allora due soluzioni reali e distinte

∆ > 0

Vediamolo graficamente con Excel

L’equazione ammette due radici reali e distinte.

- Prof. R. Fantini12

0x y-3 2-2 -2-1 -40 -41 -22 23 8

y

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = x2 + x - 4

x

y

∆∆>0>0

Soluzioni reali e distinte

Vai al ∆

1x 2x

Delta = 1+16=17

2 4 0x x

- Prof. R. Fantini13

La formula risolutiva dà per x 2 valori reali coincidenti

1,20

2bxa

abxx

221

∆ = 0

Vediamolo graficamente con Excel

L’equazione ammette due radici reali e coincidentiEs. 2 6 9 0x x

2b 4ac 36 4 9 0 1,2

6 0 32

x

- Prof. R. Fantini14

0x y-3 1-2 0-1 10 41 92 163 25

y

0

5

10

15

20

25

30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = x2 + 4x + 4

Soluzioni coincidenti

∆∆=0=0

Vai al ∆

1 2x x

Delta = 16-16=0

2 4 4 0x x

- Prof. R. Fantini15

∆ < 0

Vediamolo graficamente con Excel

L’equazione non ha soluzioni reali

In questo caso il radicale non ha valore nel campo dei numeri reali

e l’equazione è impossibile in R

- Prof. R. Fantini16

∆∆<0<0

x y-3 11-2 6 0-1 30 21 32 63 11

11

6

32

3

6

11

0

2

4

6

8

10

12

-4 -2 0 2 4

x

y = x2+ 2

Nessuna Soluzione !

Vai al ∆

Delta = 0-8=-8

2 2 0x

- Prof. R. Fantini17

a, b, c

Si calcoli

L’equazione ha due

radici reali e distinte

0

0

< 0 l’equazione è impossibile in R

2

1

2

2

42

42

b b acxa

b b acxa

1 2 2bx xa

L’equazione

ha due radici reali

e coincidenti

si

sino

no

Torna al delta

Riepilogando 1

- Prof. R. Fantini19

Esercizio 2Risolvere le seguenti equazioni:2 4 0x Equazione PURA

(b=0)2

1,24 4 2x x

2 6 0x x Equazione SPURIA (c=0)

1 2( 6) 0 0; 6x x x x

Legge dell’annullamento del prodotto

21,2

1 22 1 0 2 2

x x

- Prof. R. Fantini20

Esercizio 3Risolvere la seguente equazione:

22 5 3 0x x Equazione COMPLETA

2 4 25 24 49 0b ac

21

1,2

2

14 5 49

22 4 3

xb b acxa x

- Prof. R. Fantini21

Se b è un numero pari con opportune semplificazioni si ottiene la seguente formula

risolutiva:

2

1,22 2b b ac

xa

Es. 21,2

2 4 33 4 1 0 3

x x x

1 21 , 13

x x

Formula ridotta

2

1,2

42

2

bb ac

xa

2

1,2

22

2

bb acx

a

4

- Prof. R. Fantini22

Esercizio 4Risolvere la seguente equazione:

29 6 8 0x x Equazione COMPLETA con coefficiente b pari

2

9 72 81 04 2

b ac

2

1

1,2

2

42 2 3 81 3

293

b b ac xx

a x

- Prof. R. Fantini23

Esercizio 5(equazioni parametriche o letterali)

Determinare per quali valori di K la seguente equazione ha due soluzioni reali coincidenti:2 (1 ) 3 0kx k x

2 24 1 2 12 0b ac k k k 2 10 1 0 k k

1,2 5 25 1 5 2 6k

- Prof. R. Fantini24

Relazione fra i coefficienti di un’equazione di II grado

(a,b,c) e le sue radici (x1 e x2)

- Prof. R. Fantini25

Somma delle soluzioni2

14

2b b acx

a

1 2bs x xa

2

24

2b b acx

a

2

1 24b acbx x

2 4b acb 2a

- Prof. R. Fantini26

Prodotto delle soluzioni

1 2cp x xa

Prodotto notevole somma x differenza

2

14

2b b acx

a

2

24

2b b acx

a

2

2

2

1 2( 4 )4

b b acx xa

- Prof. R. Fantini27

Un altro modo di scrivere l’eq. di II grado

2 0ax bx c Dividiamo per a:

2 0b cx xa a

Ricordandoci s e p:

2 0x sx p

1 2bs x xa

1 2cp x xa

- Prof. R. Fantini28

Esempio• Trovare due numeri la cui somma

sia 4 ed il cui prodotto sia –21.

2 0x sx p 2 4 21 0x x 2

1,22 2b b ac

xa

1

2

32 4 21

7xx

4 -21

- Prof. R. Fantini29

Esempi su s e p• Trovare per quale valore di k l’equazione:

(k-1)x^2 + (k+4)x + 3 = 0 ha: 1) Soluzioni opposte; 2) Soluzioni reciproche; 3) Una soluzione x1 = 2;

1) x1 =- x2 =>

4 0 41

k kk

x1 + x2 = 0 => s = 0 =>

2) x1 =1/x2 =>x1 x2 = 1 => p = 1 => 3 1 31

kk

3) x1 = 2 deve soddisfare l’equazione =>( 1) 4 ( 4) 2 3 0k k 76

k

- Prof. R. Fantini30

2 21 2x x 2 2

1 2 1 2( ) 2 2x x x x s p

1 2

1 1x x

2 1

1 2

x x sx x p

3 31 2 ???x x

Sottigliezze …

- Prof. R. Fantini31

Scomposizione del trinomio di II grado

21 2 1 2( )a x x x x x x Moltiplicando e

raccogliendo:

2 2 b cax bx c a x xa a

1 2( )( )a x x x x Ossia:

21 2( )( )ax bx c a x x x x

- Prof. R. Fantini32

Esempio di scomposizione di un trinomio di II grado

Scomporre il trinomio:

22 5 3x x

1. Equazione associata:

22 5 3 0x x 2. Soluzioni dell’equazione:

1 23; 1/ 2;x x 3. Scomposizione del

trinomio:

2 12 5 3 2( 3)2

x x x x

- Prof. R. Fantini33

Disegnare una parabola

• Abbiamo visto che il grafico di una funzione quadratica è una PARABOLA.

• Come si fa a disegnarla conoscendo la sua espressione algebrica?

- Prof. R. Fantini34

Dall’equazione al grafico

• Problema: disegnare la parabola:2 2 3y x x

1. Troviamo dove interseca l’asse delle x, ossia risolviamo il sistema:

22

1 2

2 3 2 3 0 3; 1

0y x x

x x x xy

Otteniamo quindi i punti A(-3,0); B(1,0).

Asse x Parabola

- Prof. R. Fantini35

Dall’equazione al grafico

2. Troviamo dove interseca l’asse delle y, ossia risolviamo il sistema:

2 2 3 3

0y x x

yx

Otteniamo quindi il punto P(0,-3).

- Prof. R. Fantini36

Dall’equazione al grafico

3. Troviamo il VERTICE della parabola. Il modo più semplice è pensare che la sua ascissa Vx è il punto medio delle ascisse dei punti in cui la parabola interseca l’asse X.

Occorre cioè fare la media delle radici x1 e x2. Si ottiene:

1 2

2 2xx x bV

a

Nel nostro caso Vx = -1. Per Vy basta sostituire Vx. Si ottiene Vy =-4

V(-1,-4)

- Prof. R. Fantini37

Finalmente il graficoUNIAMO i punti: A(-3,0) B(1,0) P(0,-3) V(-1,-4).

y = x^2+2x-3

-8

-4

0

4

8

12

16

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

A B

PV

x y-5 12-4 5-3 0-2 -3-1 -40 -31 02 53 12

A

VPB

- Prof. R. Fantini38

RicapitolandoData la parabola di

equazione:2y ax bx c

Il Vertice: ,2 4bVa a

Intersezione con l’asse y (x=0):

0,P c

Intersezione con l’asse x (y=0):

1 2,0 B ,0A x x

La concavità della parabola dipende dal segno di a: a > 0 concava; a < 0 convessa.

- Prof. R. Fantini39

Disequazioni di II grado• La disequazione di 2° grado più

generale è della forma:2 0ax bx c

• Per risolverla, troviamo i punti x1 e x2 (x1 < x2) in cui il trinomio si annulla. Allora la soluzione sarà:

1x x oppure 2x x

• Consideriamo per comodità a>0.

- Prof. R. Fantini40

Esempio• Risolvi la seguente disequazione:

2 2 8 0x x

Soluzioni dell’equazione associata: x1 = -2 x2 = 4

2x oppure 4x

a>0

- Prof. R. Fantini41

Risoluzione grafica di una disequazione di II grado

• Risolviamo la stessa disequazione graficamente:

2 2 8 0x x

Disegnamo la parabola associata:2 2 8y x x

- Prof. R. Fantini42

Risoluzione grafica di una disequazione di II grado

y=x^2-2x-8

-10-8-6-4-202468

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6X

Y

X1

X2

2x 4x oppureY>0

2 2 8 0x x

- Prof. R. Fantini43

Risoluzione grafica di una disequazione di II grado

y=x^2-2x-8

-10-8-6-4-202468

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6X

Y

X1

X2

2 4x Y< 0

2 2 8 0x x

- Prof. R. Fantini44