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autore: Gabriella Bucciarelli Pagina 1 16/07/2009
Disequazioni irrazionali
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
1. definizione e procedimento risolutivo di base
2. disequazione con radicale con indice dispari
3. disequazione con radicale con indice pari
1. DEFINIZIONE E PROCEDIMENTO RISOLUTIVO DI BASE
Si definisce disequazione irrazionale una disequazione in cui l’incognita appare sotto il segno di
radice.
Tutte le disequazioni irrazionali si risolvono inizialmente isolando il radicale accertandosi che sia
preceduto dal segno positivo.
2. DISEQUAZIONE CON UN RADICALE CON INDICE DISPARI
Se l’indice di radice è dispari, dopo aver isolato il radicale, si procede all’elevamento a potenza con
esponente uguale all’indice di radice, senza porre nessuna condizione per il radicando dato che la
radice in questione si può sempre calcolare per ogni x. Si procede come segue:
( ) ( )
3
1
13
3
3
12
3
342
0143
133
1
1
1
2
1
2,1
2
233
33
3 3
3 3
3 3
−=
−=−=
=±−
=−±−
=
>++
+++<−
+<−
+<−
<−−
x
x
x
xx
xxxxx
xxx
xxx
xxx
Se la disequazione contiene più di un radicale si isola prima un radicale, si eleva a potenza e poi si
isola il nuovo radicale che si formerà per elevarlo a potenza:
( ) ( )
( ) ( )3579
333
3
33
33
39
33 3
93 3
331
1
1
1
1
1
xxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
−+−>+
−>+
−>+
+<−
+<−
+<−
disequazione di 9° grado eventualmente da scomporre con Ruffini dopo averla ordinata.
3. DISEQUAZIONE CON RADICALE CON INDICE PARI
Se l’indice di radice è pari, dopo aver isolato il radicale si presentano due casi:
a) il radicale è < di un polinomio (eventualmente monomio o semplice numero)
b) il radicale è > di un polinomio (eventualmente monomio o semplice numero)
autore: Gabriella Bucciarelli Pagina 2 16/07/2009
Disequazioni irrazionali
Analizziamo i due casi con alcuni esempi:
a) Esempio 1
73 <−x
In questo caso il radicale quadratico ha bisogno di una condizione di esistenza C.E. in quanto la
radice quadrata si può calcolare solo se il radicando è positivo o uguale a 0, quindi una prima
condizione è che
03 ≥−x (1)
Poiché poi il radicale è preceduto da un segno sottointeso positivo, la disequazione rimane
soddisfatta se eleviamo alla seconda entrambi i membri
( )493
73 22
<−
<−
x
x
(2)
Pertanto la disequazione è soddisfatta se si verificano entrambe le condizioni (1) e (2)
<−
≥−
493
03
x
x
sistema da risolvere cercando l’intervallo comune alle due disequazioni:
<
≥
52
3
x
x
quindi
523 <≤ x
Esempio 2
71 −<−x
In questo caso è vero che la C.E. per il radicando dice
x 1≥
ma il secondo membro della disequazione è negativo e pertanto il radicale che rappresenta un
numero positivo non può essere minore di un numero negativo, perciò la disequazione è
impossibile.
Esempio 3
xxx −<+− 5342
In questo caso per la realtà del radicale occorre che
0342≥+− xx (3)
ed essendo il radicale positivo, perché la disuguaglianza abbia senso, occorre che anche il secondo
membro sia positivo:
05 >− x (4)
ed infine affinchè la disequazione abbia soluzione occorre eliminare la radice elevando entrambi i
membri alla seconda
( ) ( )22
2 534 xxx −<+− (5)
Pertanto la disequazione ha bisogno che siano verificate la (3), la (4) e la (5):
+−<+−
>−
≥+−
22
2
102534
05
034
xxxx
x
xx
Con questi 3 esempi abbiamo esaurito tutti i casi in cui un radicale quadratico è minore di una certa
espressione e si può generalizzare così:
autore: Gabriella Bucciarelli Pagina 3 16/07/2009
Disequazioni irrazionali
la disequazione )()( xgxf < equivale al sistema
<
≥
>
)()(
0)(
0)(
2xgxf
xf
xg
b) Esempio 4
122
−>− xx
Per la realtà del radicale occorre che
022≥− xx (6)
e poiché il radicale è positivo sarà sempre maggiore del membro di destra che è negativo, pertanto è
sufficiente elevare alla seconda entrambi i membri
12
)1()2(
2
222
>−
−>−
xx
xx
(7)
Allora questa disequazione è soddisfatta quando sono soddisfatte la (6) e la (7)
>−
≥−
12
02
2
2
xx
xx
Notate che in questo esempio il radicale era maggiore di una quantità negativa.
Esempio 5
24 −>− xx
In questo caso il membro di destra può essere negativo ma anche positivo, pertanto i casi da
considerare insieme sono due
≥−
<−
04
02
x
x e
( ) ( )
−>−
>−
≥−
22
24
04
02
xx
x
x
Nel sistema di sinistra se l’espressione di destra è negativa, essendo il radicale positivo è sufficiente
aggiungere la realtà del radicale.
Nel sistema di destra se l’espressione di destra è positiva (o uguale a 0) oltre alla condizione di
realtà per soddisfare la disequazione occorre elevare entrambi i membri.
e’ interessante vedere il significato della e fra i due sistemi. Il primo sistema ha come soluzione x<2
ed il secondo 32 <≤ x . Ebbene questi due intervalli vanno addizionati, quindi la soluzione finale è
x<3
grazie al fatto che il punto di congiunzione 2 è incluso.
Generalizziamo il caso b):
risolvere la disequazione )()( xgxf >
equivale a risolvere i sistemi
≥
<
0)(
0)(
xf
xg e
>
>
≥
)()(
0)(
0)(
2xgxf
xf
xg