Il muro di sostegno in cemento armato è maggiormente utilizzato per altezze di terrapieno superiore a 3 m, in quanto le elevate caratteristiche di resistenza del materiale impiegato (conglomerato cementizio armato) permettono di ottenere spessori notevolmente minori di quelli necessari per il muro a gravità.

DIMENSIONAMENTO MURO IN C.A. Mentre i muri di sostegno a gravità sono dimensionati, mediante la formula di verifica a ribaltamento, imponendo che il momento resistente MR sia maggiore del 50% rispetto al momento

spingente MS, i muri di sostegno in cemento armato sono dimensionati con criteri empirici.

Al dimensionamento di massima fa seguito il procedimento di calcolo delle armature metalliche nella parete verticale, con relative verifiche a flessione e taglio. ARMATURE PARETE VERTICALE Come detto, la parete verticale viene studiata come una mensola incastrata alla base e soggetta al carico rappresentato dal diagramma delle pressioni del terrapieno.

È formato da una parete verticale e da un solettone di base e proprio quest’ultimo elemento, per effetto del contributo fornito dal peso della terra gravante sulla porzione a monte del solettone, assicura la stabilità al ribaltamento dell’intero manufatto. La parete verticale risulta incastrata alla base sul solettone e, quindi, soggetta a flessione e taglio; pertanto occorre posizionare armature metalliche nella parte tesa della parete. Il solettone di base viene scomposto in: - solettone interno, incastrato sulla parete verticale, soggetto al peso

della terra sovrastante e alla reazione del terreno sottostante, per effetto dell’azione di schiacciamento. Potendo prevalere sia il carico superiore sia la reazione inferiore, il solettone interno è progettato con armatura doppia simmetrica;

- solettone esterno, anch’esso incastrato sulla parete verticale, soggetto alla sola reazione del terreno sottostante, risulta teso esclusivamente nella zona inferiore.

spessore parete in sommita: a ≅ 20 cm spessore parete alla base: bp ≅ 1/10 h

lunghezza solettone di base: s ≅ 1/2 h lunghezza solettone interno: si ≅ 1/3 h

lunghezza solettone esterno: se ≅ s-si-bp

spessore solettone: hs ≅ bp+5 cm

altezza parete verticale: hp ≅ h-hs

Per semplicità, gli sforzi di taglio T e di momento flettente M sono calcolati prendendo in esame alcune sezioni caratteristiche (il numero è in relazione all’altezza della parete, comunque almeno tre, compresa la sezione di attacco sul solettone). Sulla parete si individuano le sezioni: B-B alla base della parete C-C a circa 1/3 hp dalla base

D-D a circa 2/3 hp dalla base

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In seguito si calcolano le spinte sulla parete di altezza AB – AC – AD rispettivamente e i relativi punti di applicazione mediante le note formule:

Ottenendo, così:

Imponendo le caratteristiche dei materiali Rck e FeB, nonché la tipologia di armatura semplice, in

queste sezioni si calcolano le armature necessarie a flessione, non prima di aver determinato il coefficiente r ed il relativo coefficiente t tabellati, necessari per applicare le seguenti formule:

ricordando di non scendere sotto la quantità minima di acciaio, pari allo 0.15% della sezione di conglomerato. Lungo la parete deve essere sempre prevista un’armatura trasversale di ripartizione, almeno pari al 20% dell’armatura longitudinale necessaria. Si procede, quindi, alle usuali operazioni di verifica a flessione e taglio:

A-A in sommità della parete

)

21)(

2

90(

2122

h

htghS t +

−=

ϕγintensità della spinta di un terrapieno con sovraccarico

1

1

2

3

3 hh

hhhy

+

+= distanza del punto d’applicazione della spinta dalla base

Spinta S (KN/m) Distanza y (m) Taglio T (KN)

Momento flettente M

(KNm)

)

21)(

2

90(

2122

AB

AB

t

ABh

htghS +

−=

ϕγ

1

1

2

3

3 hh

hhhy

AB

ABAB

AB+

+= ABB ST = ABABB ySM =

)

21)(

2

90(

2122

AC

AC

t

ACh

htghS +

−=

ϕγ

1

1

2

3

3 hh

hhhy

AC

ACAC

AC+

+= ACC ST = ACACC ySM =

)

21)(

2

90(

2122

AD

AD

t

ADh

htghS +

−=

ϕγ

1

1

2

3

3 hh

hhhy

AD

ADAD

AD+

+= ADD ST = ADADD ySM =

Dati coefficiente r coefficiente t Area acciaio teso

(cm2) h spessore utile parete nella sezione b 1 m di profondità della parete M momento flettente nella sezione

b

M

hr = t (letto in

tabella) MbtAa =

)

211(

a

a

nA

bh

b

nAy ++−= distanza dell’asse neutro dal lembo compresso

verifica a flessione nel calcestruzzo compresso

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VERIFICHE DI STABILITÀ DEL MURO Prima di procedere al calcolo delle armature nel solettone di base, verifichiamo a ribaltamento, scorrimento e schiacciamento l’intera opera di sostegno. Calcoliamo dapprima la spinta del terrapieno sul paramento verticale fittizio passante per il punto D a monte del solettone interno:

Possiamo, ora, calcolare il momento spingente MS e il momento resistente MR

Controlliamo se risulta:

Nel caso in cui non fosse verificato il ribaltamento, occorre far crescere il momento resistente MRaumentando la lunghezza del solettone esterno oppure, se ciò non fosse possibile, aumentando la lunghezza del solettone interno, per avere una maggiore collaborazione dal peso della terra sovrastante. Nel caso opposto in cui il ribaltamento fosse troppo verificato, con rapporto MR/MS>>2, occorre

diminuire la lunghezza del solettone interno in modo da far diminuire il peso della terra collaborante,

cc yhby

Mσσ ≤

−

=

)3

(

2max

a

a

a yhA

Mσσ ≤

−

=

)3

(max verifica a flessione nell’acciaio teso

0max 9.0 cc

bh

Tττ ≤= verifica a taglio nel calcestruzzo compresso

)2

1)(2

90(

2122

h

htghS t +

−=

ϕγ

1

1

2

3

3 hh

hhhy

+

+=

essendo h l’altezza complessiva del muro comprendente l’altezza della parete e del solettone di base.

scomponendo la sezione del muro, otteniamo i pesi: P1 peso della parte rettangolare della parete

P2 peso della parte triangolare della parete

P3 peso dell’intero solettone di base

P4 peso della terra gravante sul solettone interno

P5 peso dell’eventuale sovraccarico sul solettone interno

la distanza di ciascun peso dal punto R di ribaltamento sono: d1 distanza di P1

d2 distanza di P2

d3 distanza di P3

d4 distanza di P4

d5 distanza di P5

5544332211 dPdPdPdPdPM R ++++= Momento resistente

SyM S = Momento spingente

54321 PPPPPP ++++=Σ Sommatoria dei pesi

50.1≥

S

R

M

M verifica a ribaltamento del muro di sostegno

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permettendo l’insorgenza del congruo cedimento in avanti, eliminando così il rischio della spinta iniziale di quiete, come dimostrato dalla teoria di Coulomb. Passiamo, ora, al controllo dello scorrimento che deve risultare

Se la condizione è soddisfatta, si passa direttamente alla verifica a schiacciamento, altrimenti occorre intervenire realizzando un dente nella parte interna del solettone di base. Ma prima di procedere in questo senso, è consigliabile verificare a schiacciamento. La stabilità a schiacciamento è accettabile quando

Occorre innanzitutto determinare la posizione del centro di pressione, ricavando la sua distanza u dal punto a valle del solettone, e confrontare se la posizione di C è esterna o interna al nocciolo centrale d’inerzia della sezione di base.

Nel caso non fosse verificato lo schiacciamento, occorre aumentare la lunghezza del solettone soprattutto nella parte esterna. Prendiamo ora in esame la realizzazione del dente nel solettone

30.1≥

Σ

S

Pf verifica a scorrimento del muro di sostegno

tt σσ ≤maxverifica a schiacciamento del muro di sostegno

P

MMu SR

Σ

−=

us

e −=2

relazione posizione del punto C formula di verifica

su

3

1< centro di pressione esterno al terzo medio

tt

u

Pσσ ≤

Σ=

*100*3

2max

su

3

1≥ centro di pressione interno al terzo medio

tt

s

e

s

Pσσ ≤−

Σ= )

61(

100*minmax, m

l’altezza del dente è fissata dal progettista in funzione del risultato della verifica a scorrimento: - l’altezza hd sarà tanto

maggiore quanto minore risulta il rapporto fΣP/S rispetto al valore 1.30;

- la larghezza do deve essere almeno 1.5*hd

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Lo scorrimento avviene lungo un piano in parte orizzontale (do) e in larga parte inclinata (di). Dividiamo, in parte percentuale a queste lunghezze, la sommatoria dei pesi ΣP e la spinta S del terrapieno

Lungo il piano inclinato il coefficiente d’attrito ft è dato dal valore della tangente dell’angolo

d’attrito ϕ, essendo terra – terra i due materiali a contatto

Occorre, ora, scomporre le azioni ΣPI e SI lungo le direzioni perpendicolari e parallele al piano

inclinato dell’angolo i.

La formula di verifica a scorrimento diventa

ARMATURE METALLICHE SOLETTONE DI BASE La verifica a schiacciamento fornisce la tensione massima σR in corrispondenza del punto R a valle

ma, nel caso di centro di pressione C esterno al terzo medio della sezione di base, non abbiamo né il valore della tensione σD nel punto D a monte né la posizione dell’asse neutro.

s

dPP o

H Σ=Σpercentuale della sommatoria dei pesi che compete alla parte orizzontale

HI PPP Σ−Σ=Σpercentuale della sommatoria dei pesi che compete alla parte inclinata

s

dSS o

H =percentuale della spinta che compete alla parte orizzontale

HI SSS −=percentuale della spinta che compete alla parte inclinata

di

hdarctgi = angolo d’inclinazione i del piano di scorrimento

1***2

1hddiP tt γ=

peso della terra racchiusa tra il piano inclinato e la base del solettone

ϕtgf t = coefficiente d’attrito lungo il piano inclinato

scomposizione della sommatoria ΣPI lungo la retta perpendicolare e parallela al piano inclinato dell’angolo i

scomposizione della spinta SI lungo la

retta perpendicolare e parallela al piano inclinato dell’angolo i

( )[ ]30.1

)cos()()(

)()cos(≥

++Σ−

++Σ+Σ

iSisenPPS

isenSiPPfPf

ItIH

ItItHformula di verifica a scorrimento nel solettone con dente di fondazione

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Determiniamo la posizione dell’asse neutro N attraverso la sua distanza x dal baricentro G della sezione di base; applicando la relazione esistente tra eccentricità del centro di pressione C e distanza dell’asse neutro, scriviamo

Dopo aver ricavato la distanza GN=x, ricaviamo la distanza NZ=z

La tensione nel punto D, a monte del solettone, si ottiene applicando le proprietà di similitudine tra i due triangoli STN e VZN

SOLETTONE INTERNO

yixe 2* = in cui

12100

10012

12

23

2 s

s

s

A

Ii

us

e

yy ===

−=

pertanto

)

2(12

22

us

s

e

ix

y

−

==distanza dell’asse neutro dal baricentro della sezione

xs

z −=2

NZSNVZST :: = in cui

zNZ

xs

SN

VZ

ST

D

R

=

+=

=

=

2

σ

σ

e quindi

x

s

zR

D

+

=

2

*σσ

tensione nel punto D a monte del solettone

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Il solettone interno risulta incastrato, nella sezione B, alla parete verticale e caricato, dall’alto, dal peso della terra e dell’eventuale sovraccarico e, dal basso, dalla reazione del terreno .

Il taglio TB e il momento flettente MB nel punto d’incastro B del solettone interno valgono:

Occorre, ora, determinare il punto in cui il diagramma risultante di carico passa per zero. Dalla similitudine tra i triangoli ABE e CDE, otteniamo

Quindi, possiamo scrivere:

Si richiama l’attenzione sull’utilizzo delle unità di misura!

Le tensioni agenti dall’alto sul solettone interno valgono:

Le tensioni agenti dal basso sul solettone interno dipendono dalla porzione di diagramma di reazione del terreno σt; pertanto ricaviamo la tensione nel punto B

d’incastro mediante la similitudine dei triangoli:

Il diagramma risultante si ricava sommando algebricamente le tensioni nel punto D e nel punto B:

)/(100*

24 cmKNs

P

i

T =σ

)/(100*

25 cmKNs

P

i

Q =σ

zzsiDB :)(: −=σσ

z

zsiD

B

)( −=

σσ

DQTD σσσσ ++=

BQTB σσσσ −+=

2211

21

dRdRM

RRT

B

B

−=

+−=essendo

R1 risultante delle tensioni nel prisma triangolare

ABE R2 risultante delle tensioni nel prisma triangolare

CDE d1 distanza di R1 dalla sezione d’incastro

d2 distanza di R2 dalla sezione d’incastro

ECAECDAB :: = poniamo

nsEC

nAE

CD

AB

i

D

B

−=

=

=

=

σ

σ

e sostituiamo

)(:: nsn iDB −=σσ

applicando la proprietà del comporre nnsn iBDB :)(:)( −+=+ σσσ

DB

iB sn

σσ

σ

+=

1*

2

)(

1*2

*

2

1

nsR

nR

iD

B

−=

=

σ

σ

3

3

1

2

1

nssd

nd

i

i

−−=

=

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Determinato il momento MB nel punto d’incastro, possiamo ricavare l’armatura in questa sezione,

avendo anche stabilito di utilizzare armatura doppia simmetrica, con le usuali procedere di calcolo

L’armatura di ripartizione, da disporre sia nel lembo superiore sia in quello inferiore, si ricava calcolando il 20% della sezione d’acciaio longitudinale:

SOLETTONE ESTERNO Anche il solettone esterno risulta incastrato, nella sezione E, alla parete verticale e caricato dal basso dal diagramma di reazione del terreno

determiniamo la tensione nel punto E d’incastro scrivendo la relazione tra i triangoli simili STN e PQN:

e sostituendo

otteniamo

Il diagramma di carico trapezoidale si scompone in due parti:

Le due risultanti R1 e R2 distano dall’incastro E

Dati coefficiente r’ coefficiente t’

Area acciaio teso e compresso (cm2)

h spessore utile solettone b 1 m di profondità solettone M momento flettente

b

M

hr =′

(letto in tabella)

MbtAa′=

aa AA =′

aarip AA 20.0= armatura di ripartizione trasversale

PNSNPQST :: =

)(:)(: eER szszs −−−=σσ

zs

szs eR

E−

−−=

)(σσ

parte rettangolare la cui risultante vale

1**2 eE sR σ=

parte triangolare la cui risultante vale

1**)(2

11 eER sR σσ −=

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Per cui il taglio e il momento flettente nell’incastro E valgono:

Nel solettone esterno possiamo utilizzare la tipologia ad armatura semplice, essendo certi che la zona tesa è la zona inferiore della soletta, e scriviamo le usuali formule di progetto:

L’armatura di ripartizione, pari al 20% di quella longitudinale, è disposta sul lembo inferiore del solettone. VERIFICHE SOLETTONE DI BASE Il solettone interno, essendo stato progettato ad armatura doppia simmetrica, è verificato con le seguenti formule

in cui

Il solettone esterno, progettato a semplice armatura, si verifica con le formule

esd

3

11 =

esd

2

12=

21 RRTE += 2211 dRdRM E +=

Dati coefficiente r coefficiente t Area acciaio teso

(cm2) h spessore utile solettone b 1 m di profondità solettone M momento flettente

b

M

hr =

(letto in tabella) MbtAa =

Formule di verifica a flessione e taglio nel solettone interno

( )( )

+

′+++−=

β

β

1

211

aT

aT

nA

hhb

b

nAy distanza dell’asse neutro dal lembo compresso

c

n

cI

Myσσ ≤=max verifica a flessione nel calcestruzzo compresso

a

n

aI

yhnMσσ ≤

−=

)(max verifica a flessione nell’acciaio teso

a

n

aI

hynMσσ ≤

′−=′

)(max verifica a flessione nell’acciaio compresso

coc

bh

Tττ ≤=

9.0max verifica al taglio nel calcestruzzo compresso

mb 1=

aaaT AAA ′+= hh *10.0=′

1=

′=

a

a

A

Aβ

Formule di verifica a flessione e taglio nel solettone esterno

++−=

a

a

nA

bh

b

nAy

211 distanza dell’asse neutro dal lembo compresso

ccy

hby

Mσσ ≤

−

=

3

2max

verifica a flessione nel calcestruzzo compresso

verifica a flessione nell’acciaio teso

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dove b = 1 m SCHEMA ARMATURE METALLICHE

a

a

ay

hA

Mσσ ≤

−

=

3

max

coc

bh

Tττ ≤=

9.0max verifica al taglio nel calcestruzzo compresso

Sulla parete verticale disponiamo l’armatura solamente in zona tesa, rispettando la sezione minima d’acciaio, pari allo 0.15% della sezione di calcestruzzo, e piegando a 45° i tondini non più necessari. Sul solettone di base disponiamo armatura doppia simmetrica nella zona della mensola interna, mentre è sufficiente posizionare armatura semplice in corrispondenza della mensola esterna. Lungo la parete verticale e lungo il solettone di base posizioniamo l’armatura trasversale di ripartizione in misura pari al 20% della sezione dei ferri longitudinali.

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