4 Analisi Dei Carichi e Casi Di Dimension Amen To Di Solaio in Legno(1)

5/11/2018 4 Analisi Dei Carichi e Casi Di Dimension Amen To Di Solaio in Legno(1) - slidepdf.com

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ANALISI DEI CARICHI,ESEMPI DI DIMENSIONAMENTO DI ELEMENTI STRUTTURALI SOGGETTI A FLESSIONE

Corso di TPCS 2, prof. DARIO CORONELLI 1

APPUNTI SULL’ANALISI DEI CARICHI

DIFFERENTI ESEMPI DI DIMENSIONAMENTO DI ELEMENTI

STRUTTURALI SOGGETTI A FLESSIONE

ANALISI DEI CARICHI

Concetti fondamentali generali

Carico per unità di superficie W Si esprime in KN/m2, è il carico esercitato da una unità di superficie di elemento strutturale:

1. W= γmateriale x 1 x 1 x t W= γmateriale x t KN/m2

Carico per unità di lunghezza p

Si esprime in KN/m, è il carico esercitato da una unità di lunghezza di elemento strutturale:

2. p= γmateriale x 1 x Aelemento p= γmateriale x Aelemento KN/m

volume

volume

A elementoArea sezioneelemento





I carichi che interessano una struttura sono riassumibili in due grandi categorie: i carichi statici

(ossia i carichi la cui azione è costante nel tempo) e i carichi dinamici (ossia i carichi la cui azionenon è costante e altresì può essere occasionale, come l’azione del vento e del sisma). In questoriassunto considereremo solamente i carichi statici.In generale appartengono alla categoria dei carichi statici il peso proprio della struttura, i carichi

permanenti ed i carichi accidentali.• Il peso proprio della struttura è ovviamene il carico che il peso della struttura stessa

esercita su se stessa. Dipende quindi dal volume dell’elemento strutturale e dal materiale concui è realizzata, in particolare dal suo peso specifico.

• Il carico permanente è il carico esercitato sull’elemento strutturale dagli elementicostruttivi fissi che esso deve sorreggere. Esso quindi dipende dal numero di elementi fissiche la struttura deve reggere e dal materiale con cui essi sono realizzati.

• Il carico accidentale è il carico relativo all’utilizzo a cui è sottoposta la struttura: essi possono essere o meno presenti ed attivi sulla struttura stessa ( ad esempio gli spettatori inuna sala cinematografica, una colonna di tir su un viadotto) nonché i carichi di origineambientale a cui essa potrebbe essere soggetta (come il carico da neve nel caso di unastruttura a capriata portante di una copertura).

Ci sono inoltre due ulteriori casi di carichi che rientrano nei carichi statici: sono gli effetti dovuti aicedimenti vincolari (cedimenti del terreno di fondazione) o alle azioni termiche (variazioni ditemperatura, ad esempio nelle travi delle coperture).

Ipotizziamo di voler calcolare il carico agente su una travetto portante di un solaio (caso in esamenegli esempi successivi). Per fare questa operazione occorre calcolare il peso proprio del travetto(ppt) espresso in termini di carico al metro lineare nel modo seguente:

• ppt = γtravetto x Atravetto KN/m (vedi 2)

E’ necessario quindi calcolare il carico complessivo gravante sul travetto, carico derivante dallasomma dei pesi degli elementi costruttivi fissi del solaio e del carico accidentale specifico per latipologia di struttura oggetto del progetto.

• Wtot = W perm tot + Wacc

Calcoliamo quindi il carico permanente totale, risultato della somma dei carichi permanenti di tuttigli n elementi componenti il solaio:

• Wperm tot = Wperm strato 1 + W perm strato 2 + … + W perm strato n

Il carico permanente del singolo strato componente il solaio è dato da:

• Wperm strato considerato = γmateriale x t strato considerato KN/m2 (vedi 1)





Il carico accidentale è stimato sulla base dell’utilizzo della struttura, e rintracciato nelle tabelleapposite (cfr. Schodek, Strutture, pg 99).

Una volta calcolato Wtot = W perm tot + Wacc abbiamo determiniamo il carico di tutto il

pacchetto del solaio per unità di superficie (KN/m2).Ora è necessario calcolare il carico al metro lineare del solaio che grava sul travetto relativoall’area di pertinenza del travetto stesso.

Per fare questa operazione è necessario moltiplicare il carico totale per unità di superficie trovato precedentemente per la larghezza della striscia di carico del travetto at:

• Wtot x at (KN/m) = carico per unità di lunghezza della porzione di solaio di pertinenzadel travetto

Quindi, in sintesi, il carico totale agente sul travetto Ptot è il risultato della somma fra il peso

proprio del travetto per unità di lunghezza ed il peso proprio della soletta per unità di lunghezza:

Ptot = ppt + (Wtot x at ) (KN/m)

Ptot = γtravetto x Atravetto + (W perm tot + Wacc ) x at (KN/m)

Questa è la formula necessaria per ricavare il carico totale per unità di lunghezza gravante sultravetto, carico necessario per dimensionare il travetto stesso.





ESEMPI DI DIMENSIONAMENTO DI ELEMENTI STRUTTURALI

SOGGETTI A FLESSIONE

Oggetto dell’esercitazione è il dimensionamento dei travetti portanti di un solaio in legno del qualedi volta in volta cambieranno alcuni parametri di progetto.In questo modo, pur all’interno della medesima tipologia strutturale, si evidenzierà come i diversi

parametri progettuali influiscano sul progetto della sezione.

Dati progettuali di base:γ legno: 10 KN/m3 γ cls: 25 KN/m3 σ amm legno: 12 MpaWpavimento: 2 KN/m2

In tutti i casi il travetto è schematizzabile come un trave cerniera carrello sottoposta a carico

distribuito, le cui azioni interne sono: M

L pl2/8

Azione interna di momento flettente nel punto del travetto più sollecitato:M max = pl2/8

ESEMPIO 1

Dati:at: 0,5 mW acc: 2 KN/m2 l = 5m

• Predimensionamento sezione travetto:

h sezione = 1/20 luce h sezione = 0,25 m b = ½ h = 0,125 marea travetto predimensionato: 0,031 m2

• Calcolo del carico permanente per unità di superficie

W perm = W assito + W cls + W pav

W assito = 10 KN/ m3 x 0,01 m = 0,1 KN/m2 W cls = 25 KN/m3 x 0,1 m = 2,5 KN/m2

W pav = 2 KN/ m2

pt





W perm = 0.1 KN/m2 + 2,5 KN/m2 +2 KN m2 = 4,6 KN/m2

• Calcolo del carico complessivo per unità di lunghezza gravante sul travetto

Ptot = γtravetto x Atravetto + (W perm tot + Wacc ) x at

Ptot = 10 KN/m3 x 0,031 m2 + ( 4,6 KN/m2 + 2 KN/m2) x 0,5 m

Ptot = 3.61 KN/m

DIMENSIONAMENTO:

Determiniamo W (modulo di resistenza flessionale)

W = M max / σ amm legno

M max = pl2/8 = (3,61 KN/m x 52 m2)/8 = 11,28 KN/m

W = 11,28 x 106

Nmm/ 12 Mpa = 940000 mm3

Progettiamo la sezione scegliendo una sezione con b = ½ h

W = b h2/6 con b = ½ h W = h3/ 12

h (altezza della sezione) = 3 12W = 3 394000012 mm⋅ = 225 mm

b = ½ h = 113 mmArea sezione = 0,025 m2 W sezione = 953437,5 mm3

VERIFICA

Per verificare la sezione è necessario ricalcolare il peso per unità di lunghezza gravante sul solaiocorreggendo il contributo del peso proprio del travetto ricalcolato sostituendo nella formulappt = γtravetto x Atravetto l’area derivata dal dimensionamento stesso. I contributi del carico

permanente totale e del carico accidentale ovviamente non cambiano nella verifica.

La verifica è positiva se gli sforzi determinati nella sezione più sollecitata dall’azione di momentoflettente dovuto al carico sono inferiori al valore ammissibile.



Ptot = 3,55 KN/m

M = pl2/8 = (3,55 KN/m x 52 m2)/8 = 11,09 KN/m

225 mm

113 mm





σ = M / W = 11,09 x 10

6Nmm / 953437,5 mm

3= 11,63 Mpa < σ amm OK!

ESEMPIO 2Dati:at: 1 mW acc: 2 KN/m2 (raddoppia l’area di pertinenzadel travetto)l = 5m






W pav = 2 KN/ m2




Ptot = 10 KN/m3 x 0,031 m2 + ( 4,6 KN/m2 + 2 KN/m2) x 1 m

Ptot = 6,91 KN/m

DIMENSIONAMENTO:



M max = pl2/8 = (6,91 KN/m x 52 m2)/8 = 21,6 KN/m

W = 6,91 x 106

Nmm/ 12 Mpa = 1800000 mm3






W = b h2/6 con b = ½ h W = h3/ 12



VERIFICA



Ptot = 10 KN/m3 x 0,39 m2 + ( 4,6 KN/m2 + 2 KN/m2) x 0,5 mPtot = 7 KN/m

M = pl2/8 = (7 KN/m x 52 m2)/8 = 21,9 KN/m

σ = M / W = 21,9 x 106

Nmm / 1829333,3 mm3

= 11,9 Mpa < σ amm OK!

Nota: Mantenendo invariate le condizioni di carico ma raddoppiando l’interasse fra i travetti ilcarico totale agente sul singolo travetto quasi raddoppia (3.61 KN/m caso 1, 6,91 KN/m caso 2) ela sezione dimensionata ovviamente vede incrementate notevolmente le proprie dimensioni (pur mantenedo un uguale rapporto base/altezza rispetto al caso 1).

ESEMPIO 3

Dati:

at: 0,5 mW acc: 5 KN/m2

(carico accidentale ambienti di uso comune,da Schodek, Strutture, pg 99)l = 5m


h sezione = 1/20 luce h sezione = 0,25 m b = ½ h = 0,125 m

area travetto predimensionato: 0,031 m2

280 mm

140 mm








W pav = 2 KN/ m2




Ptot = 10 KN/m3

x 0,031 m2

+ ( 4,6 KN/m2

+ 5 KN/m2

) x 0,5 m

Ptot = 5,11 KN/m

DIMENSIONAMENTO:



M max = pl2/8 = (5,11 KN/m x 52 m2)/8 = 16 KN/m

W = 16 x 106

Nmm/ 12 Mpa = 1333333,3 mm3


W = b h2/6 con b = ½ h W = h3/ 12

h (altezza della sezione) = 3 12W = 3 33,133333312 mm⋅ = 252 mm b = ½ h = 126 mmArea sezione = 0,031 m2 W sezione = 1333584 mm3

VERIFICA


252 mm

126 mm






Ptot = 10 KN/m3 x 0,31 m2 + ( 4,6 KN/m2 + 5 KN/m2) x 0,5 mPtot = 5,11 KN/m

M = pl2/8 = (5,11 KN/m x 52 m2)/8 = 16 KN/m

σ = M / W = 16 x 106

Nmm / 1333584 mm3

= 11,9 Mpa < σ amm OK!

ESEMPIO 4

Dati:at: 0,5 mW acc: 2 KN/m2

l = 7 m






W pav = 2 KN/ m2





Ptot = 3.91 KN/m

DIMENSIONAMENTO:







M max = pl2/8 = (3.91 KN/m x 72 m2)/8 = 23,95 KN/m

W = 23,95 x 106

Nmm/ 12 Mpa = 1995833,3 mm3

Progettiamo la sezione scegliendo una sezione con b = 1/3 h

W = b h2/6 con b = 1/3 h W = h3/ 18

h (altezza della sezione) = 3 18W = 3 33,199583318 mm⋅ = 330 mm

b = ½ h = 110 mmArea sezione = 0,036 m2 W sezione = 1996500 mm3

VERIFICA



Ptot = 10 KN/m3 x 0,36m2 + ( 4,6 KN/m2 + 2 KN/m2) x 0,5 mPtot = 5,66 KN/m

M = pl2/8 = (3,66 KN/m x 72 m2)/8 = 22,41 KN/m

σ = M / W = 22,41 x 106

Nmm / 1996500 mm3

= 11,22 Mpa < σ amm OK!

Nota: nel caso 4 si è scelto un diverso rapporto fra base e altezza della trave, in particolare si èscelta una base b = 1/3 h. Questa scelta progettuale è motivata da una considerazione: poichérispetto al caso standard (I caso) il momento di progetto è quasi raddoppiato è necessario che latrave sia più alta affinché gli sforzi nella sezione si mantengano al di sotto del valore ammissibile.Per questo si è scelta una altezza della trave uguale a 3 volte la base (sezione più “snella”). In

questo modo la sezione incrementa la sua inerzia flessionale.Progettare una sezione più “alta” significa che il momento della coppia interna riesce ad equilibrareil momento esterno dovuto al carico in virtù dell’incremento del braccio della coppia stessa, che, sela sezione è alta, sarà maggiore del corrispondente braccio in una sezione di uguale area ma con undiverso rapporto h/b (sezione di minore altezza).Il momento interno infatti è pari a T x d e questo momento deve equilibrare un momento esternomolto più grande dovuto all’incremento della luce coperta dall’elemento strutturale rispetto a quellodel primo caso.Incrementando d (poiché aumenta h), il momento della coppia interna equilibra il momento esternosenza che T, risultante degli sforzi di trazione superi il valore ammissibile, In questo modo lasezione è in sicurezza.

330 mm





ESEMPIO 5a

Dati:at: 0,3 mW acc: 7,2 KN/m2

(carico accidentale biblioteche,da Schodek, Strutture, pg 99)l = 5m






W pav = 2 KN/ m2




Ptot = 10 KN/m3 x 0,031 m2 + ( 4,6 KN/m2 + 7,2 KN/m2) x 0,3 m

Ptot = 3,85 KN/m

DIMENSIONAMENTO:



M max = pl2/8 = (5,11 KN/m x 52 m2)/8 = 12,03 KN/m

W = 12,03 x 106

Nmm/ 12 Mpa = 1002500 mm3


W = b h2/6 con b = ½ h W = h3/ 12







VERIFICA


Ptot = γtravetto x Atravetto + (W perm tot + Wacc ) x atPtot = 10 KN/m3 x 0,026 m2 + ( 4,6 KN/m2 + 7,2 KN/m2) x 0,3 mPtot = 3,79 KN/m

M = pl2/8 = (3,79 KN/m x 52 m2)/8 = 11,84 KN/m

σ = M / W = 11,84 x 106

Nmm / 1013916,66 mm3

= 11,68 Mpa < σ amm OK!

ESEMPIO 5b

Dati:at: 0,5 mW acc: 7,2 KN/m2

(carico accidentale biblioteche,da Schodek, Strutture, pg 99)l = 5m






W pav = 2 KN/ m2


230 mm

115 mm







Ptot = 10 KN/m3 x 0,031 m2 + ( 4,6 KN/m2 + 7,2 KN/m2) x 0,5 m

Ptot = 6,21 KN/m

DIMENSIONAMENTO:



M max = pl2/8 = (6,21 KN/m x 52 m2)/8 = 19,4 KN/m

W = 19,4 x 106

Nmm/ 12 Mpa = 1617187,5 mm3


W = b h2/6 con b = ½ h W = h3/ 12

h (altezza della sezione) = 3 12W = 3 35,161718712 mm⋅ = 270 mm

b = ½ h = 135 mmArea sezione = 0,036 m2 W sezione = 1640250 mm3

VERIFICA



Ptot = 10 KN/m3 x 0,036 m2 + ( 4,6 KN/m2 + 7,2 KN/m2) x 0,5 mPtot = 6,26 KN/m

M = pl2/8 = (6,26 KN/m x 52 m2)/8 = 19,56 KN/m

σ = M / W = 19,56 x 106 Nmm / 1640250 mm3 = 11,92 Mpa < σ amm OK!

270 mm

135 mm





Nota: raffrontando gli ultimi due esempi con l precedente esempio 4 si coglie l’importanza, per il progetto degli elementi inflessi del parametro luce dell’elemento strutturale.

Il parametro di progetto fondamentale per gli elementi strutturali quali le travi snelle (lucedell’elemento “grande” se confrontata con l’altezza della sezione) affrontate nei casi precedenti

infatti è ovviamente il momento flettente nel punto dell’elemento strutturale in cui esso ha lamassima intensità.

Poiché il momento flettente è proporzionale al quadrato della luce dell’elemento è evidente che, seraddoppia la luce il momento incrementa il proprio valore di 4 volte, e quindi, di conseguenza, lasezione resistente dovrà avere dimensioni sufficientemente “grandi” da resistere all’intensità diquella sollecitazione interna.

Diversamente, invece, al raddoppio del carico non segue un quadruplicamento dell’intensità delmomento, solo un suo raddoppio. Per questo variazioni di carico incidono di meno sulle dimensionidella sezione rispetto alle variazioni della luce dell’elemento strutturale stesso.

Tutto questo lo si coglie dal confronto degli esempi 4 e 5b.

Nell’esempio 4, un aumento della luce pari a neanche la metà della luce iniziale dal travetto ( 7mcontro 5m) comporta un significativo incremento dell’altezza della sezione ed un diverso rapportofra base ed altezza di essa (b=1/3h con h=330 mm, b=110 mm).

Nell’esempio 5b invece a parità di interasse dei travetti un triplicamento del carico accidentaleagente (7.2 KN/m contro i 2 KN/m) che comporta un incremento di poco meno del doppio delcarico totale agente sul travetto (6.21 KN/m contro i 3.91 KN/m) determina dimensioni dellasezione resistente molto inferiori a quelle dell’esempio 4, con rapporti “standard” fra h e b (b=1/2h).È evidente quindi il ruolo fondamentale, nel progetto degli elementi strutturali soggetti a flessione,giocato dalla luce dell’elemento rispetto agli altri parametri progettuali.

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