4 Analisi Dei Carichi e Casi Di Dimension Amen To Di Solaio in Legno(1)
Dimension Amen To Di Un Muro in Cemento Armato
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Il muro di sostegno in cemento armato è maggiormente utilizzato per altezze di terrapieno superiore a 3 m, in quanto le elevate caratteristiche di resistenza del materiale impiegato (conglomerato cementizio armato) permettono di ottenere spessori notevolmente minori di quelli necessari per il muro a gravità.
DIMENSIONAMENTO MURO IN C.A. Mentre i muri di sostegno a gravità sono dimensionati, mediante la formula di verifica a ribaltamento, imponendo che il momento resistente MR sia maggiore del 50% rispetto al momento
spingente MS, i muri di sostegno in cemento armato sono dimensionati con criteri empirici.
Al dimensionamento di massima fa seguito il procedimento di calcolo delle armature metalliche nella parete verticale, con relative verifiche a flessione e taglio. ARMATURE PARETE VERTICALE Come detto, la parete verticale viene studiata come una mensola incastrata alla base e soggetta al carico rappresentato dal diagramma delle pressioni del terrapieno.
È formato da una parete verticale e da un solettone di base e proprio quest’ultimo elemento, per effetto del contributo fornito dal peso della terra gravante sulla porzione a monte del solettone, assicura la stabilità al ribaltamento dell’intero manufatto. La parete verticale risulta incastrata alla base sul solettone e, quindi, soggetta a flessione e taglio; pertanto occorre posizionare armature metalliche nella parte tesa della parete. Il solettone di base viene scomposto in: - solettone interno, incastrato sulla parete verticale, soggetto al peso
della terra sovrastante e alla reazione del terreno sottostante, per effetto dell’azione di schiacciamento. Potendo prevalere sia il carico superiore sia la reazione inferiore, il solettone interno è progettato con armatura doppia simmetrica;
- solettone esterno, anch’esso incastrato sulla parete verticale, soggetto alla sola reazione del terreno sottostante, risulta teso esclusivamente nella zona inferiore.
spessore parete in sommita: a ≅ 20 cm spessore parete alla base: bp ≅ 1/10 h
lunghezza solettone di base: s ≅ 1/2 h lunghezza solettone interno: si ≅ 1/3 h
lunghezza solettone esterno: se ≅ s-si-bp
spessore solettone: hs ≅ bp+5 cm
altezza parete verticale: hp ≅ h-hs
Per semplicità, gli sforzi di taglio T e di momento flettente M sono calcolati prendendo in esame alcune sezioni caratteristiche (il numero è in relazione all’altezza della parete, comunque almeno tre, compresa la sezione di attacco sul solettone). Sulla parete si individuano le sezioni: B-B alla base della parete C-C a circa 1/3 hp dalla base
D-D a circa 2/3 hp dalla base
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28/07/2010http://web.tiscali.it/docentinervi/murocemarm.htm
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In seguito si calcolano le spinte sulla parete di altezza AB – AC – AD rispettivamente e i relativi punti di applicazione mediante le note formule:
Ottenendo, così:
Imponendo le caratteristiche dei materiali Rck e FeB, nonché la tipologia di armatura semplice, in
queste sezioni si calcolano le armature necessarie a flessione, non prima di aver determinato il coefficiente r ed il relativo coefficiente t tabellati, necessari per applicare le seguenti formule:
ricordando di non scendere sotto la quantità minima di acciaio, pari allo 0.15% della sezione di conglomerato. Lungo la parete deve essere sempre prevista un’armatura trasversale di ripartizione, almeno pari al 20% dell’armatura longitudinale necessaria. Si procede, quindi, alle usuali operazioni di verifica a flessione e taglio:
A-A in sommità della parete
)
21)(
2
90(
2122
h
htghS t +
−=
ϕγintensità della spinta di un terrapieno con sovraccarico
1
1
2
3
3 hh
hhhy
+
+= distanza del punto d’applicazione della spinta dalla base
Spinta S (KN/m) Distanza y (m) Taglio T (KN)
Momento flettente M
(KNm)
)
21)(
2
90(
2122
AB
AB
t
ABh
htghS +
−=
ϕγ
1
1
2
3
3 hh
hhhy
AB
ABAB
AB+
+= ABB ST = ABABB ySM =
)
21)(
2
90(
2122
AC
AC
t
ACh
htghS +
−=
ϕγ
1
1
2
3
3 hh
hhhy
AC
ACAC
AC+
+= ACC ST = ACACC ySM =
)
21)(
2
90(
2122
AD
AD
t
ADh
htghS +
−=
ϕγ
1
1
2
3
3 hh
hhhy
AD
ADAD
AD+
+= ADD ST = ADADD ySM =
Dati coefficiente r coefficiente t Area acciaio teso
(cm2) h spessore utile parete nella sezione b 1 m di profondità della parete M momento flettente nella sezione
b
M
hr = t (letto in
tabella) MbtAa =
)
211(
a
a
nA
bh
b
nAy ++−= distanza dell’asse neutro dal lembo compresso
verifica a flessione nel calcestruzzo compresso
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VERIFICHE DI STABILITÀ DEL MURO Prima di procedere al calcolo delle armature nel solettone di base, verifichiamo a ribaltamento, scorrimento e schiacciamento l’intera opera di sostegno. Calcoliamo dapprima la spinta del terrapieno sul paramento verticale fittizio passante per il punto D a monte del solettone interno:
Possiamo, ora, calcolare il momento spingente MS e il momento resistente MR
Controlliamo se risulta:
Nel caso in cui non fosse verificato il ribaltamento, occorre far crescere il momento resistente MRaumentando la lunghezza del solettone esterno oppure, se ciò non fosse possibile, aumentando la lunghezza del solettone interno, per avere una maggiore collaborazione dal peso della terra sovrastante. Nel caso opposto in cui il ribaltamento fosse troppo verificato, con rapporto MR/MS>>2, occorre
diminuire la lunghezza del solettone interno in modo da far diminuire il peso della terra collaborante,
cc yhby
Mσσ ≤
−
=
)3
(
2max
a
a
a yhA
Mσσ ≤
−
=
)3
(max verifica a flessione nell’acciaio teso
0max 9.0 cc
bh
Tττ ≤= verifica a taglio nel calcestruzzo compresso
)2
1)(2
90(
2122
h
htghS t +
−=
ϕγ
1
1
2
3
3 hh
hhhy
+
+=
essendo h l’altezza complessiva del muro comprendente l’altezza della parete e del solettone di base.
scomponendo la sezione del muro, otteniamo i pesi: P1 peso della parte rettangolare della parete
P2 peso della parte triangolare della parete
P3 peso dell’intero solettone di base
P4 peso della terra gravante sul solettone interno
P5 peso dell’eventuale sovraccarico sul solettone interno
la distanza di ciascun peso dal punto R di ribaltamento sono: d1 distanza di P1
d2 distanza di P2
d3 distanza di P3
d4 distanza di P4
d5 distanza di P5
5544332211 dPdPdPdPdPM R ++++= Momento resistente
SyM S = Momento spingente
54321 PPPPPP ++++=Σ Sommatoria dei pesi
50.1≥
S
R
M
M verifica a ribaltamento del muro di sostegno
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permettendo l’insorgenza del congruo cedimento in avanti, eliminando così il rischio della spinta iniziale di quiete, come dimostrato dalla teoria di Coulomb. Passiamo, ora, al controllo dello scorrimento che deve risultare
Se la condizione è soddisfatta, si passa direttamente alla verifica a schiacciamento, altrimenti occorre intervenire realizzando un dente nella parte interna del solettone di base. Ma prima di procedere in questo senso, è consigliabile verificare a schiacciamento. La stabilità a schiacciamento è accettabile quando
Occorre innanzitutto determinare la posizione del centro di pressione, ricavando la sua distanza u dal punto a valle del solettone, e confrontare se la posizione di C è esterna o interna al nocciolo centrale d’inerzia della sezione di base.
Nel caso non fosse verificato lo schiacciamento, occorre aumentare la lunghezza del solettone soprattutto nella parte esterna. Prendiamo ora in esame la realizzazione del dente nel solettone
30.1≥
Σ
S
Pf verifica a scorrimento del muro di sostegno
tt σσ ≤maxverifica a schiacciamento del muro di sostegno
P
MMu SR
Σ
−=
us
e −=2
relazione posizione del punto C formula di verifica
su
3
1< centro di pressione esterno al terzo medio
tt
u
Pσσ ≤
Σ=
*100*3
2max
su
3
1≥ centro di pressione interno al terzo medio
tt
s
e
s
Pσσ ≤−
Σ= )
61(
100*minmax, m
l’altezza del dente è fissata dal progettista in funzione del risultato della verifica a scorrimento: - l’altezza hd sarà tanto
maggiore quanto minore risulta il rapporto fΣP/S rispetto al valore 1.30;
- la larghezza do deve essere almeno 1.5*hd
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Lo scorrimento avviene lungo un piano in parte orizzontale (do) e in larga parte inclinata (di). Dividiamo, in parte percentuale a queste lunghezze, la sommatoria dei pesi ΣP e la spinta S del terrapieno
Lungo il piano inclinato il coefficiente d’attrito ft è dato dal valore della tangente dell’angolo
d’attrito ϕ, essendo terra – terra i due materiali a contatto
Occorre, ora, scomporre le azioni ΣPI e SI lungo le direzioni perpendicolari e parallele al piano
inclinato dell’angolo i.
La formula di verifica a scorrimento diventa
ARMATURE METALLICHE SOLETTONE DI BASE La verifica a schiacciamento fornisce la tensione massima σR in corrispondenza del punto R a valle
ma, nel caso di centro di pressione C esterno al terzo medio della sezione di base, non abbiamo né il valore della tensione σD nel punto D a monte né la posizione dell’asse neutro.
s
dPP o
H Σ=Σpercentuale della sommatoria dei pesi che compete alla parte orizzontale
HI PPP Σ−Σ=Σpercentuale della sommatoria dei pesi che compete alla parte inclinata
s
dSS o
H =percentuale della spinta che compete alla parte orizzontale
HI SSS −=percentuale della spinta che compete alla parte inclinata
di
hdarctgi = angolo d’inclinazione i del piano di scorrimento
1***2
1hddiP tt γ=
peso della terra racchiusa tra il piano inclinato e la base del solettone
ϕtgf t = coefficiente d’attrito lungo il piano inclinato
scomposizione della sommatoria ΣPI lungo la retta perpendicolare e parallela al piano inclinato dell’angolo i
scomposizione della spinta SI lungo la
retta perpendicolare e parallela al piano inclinato dell’angolo i
( )[ ]30.1
)cos()()(
)()cos(≥
++Σ−
++Σ+Σ
iSisenPPS
isenSiPPfPf
ItIH
ItItHformula di verifica a scorrimento nel solettone con dente di fondazione
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Determiniamo la posizione dell’asse neutro N attraverso la sua distanza x dal baricentro G della sezione di base; applicando la relazione esistente tra eccentricità del centro di pressione C e distanza dell’asse neutro, scriviamo
Dopo aver ricavato la distanza GN=x, ricaviamo la distanza NZ=z
La tensione nel punto D, a monte del solettone, si ottiene applicando le proprietà di similitudine tra i due triangoli STN e VZN
SOLETTONE INTERNO
yixe 2* = in cui
12100
10012
12
23
2 s
s
s
A
Ii
us
e
yy ===
−=
pertanto
)
2(12
22
us
s
e
ix
y
−
==distanza dell’asse neutro dal baricentro della sezione
xs
z −=2
NZSNVZST :: = in cui
zNZ
xs
SN
VZ
ST
D
R
=
+=
=
=
2
σ
σ
e quindi
x
s
zR
D
+
=
2
*σσ
tensione nel punto D a monte del solettone
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Il solettone interno risulta incastrato, nella sezione B, alla parete verticale e caricato, dall’alto, dal peso della terra e dell’eventuale sovraccarico e, dal basso, dalla reazione del terreno .
Il taglio TB e il momento flettente MB nel punto d’incastro B del solettone interno valgono:
Occorre, ora, determinare il punto in cui il diagramma risultante di carico passa per zero. Dalla similitudine tra i triangoli ABE e CDE, otteniamo
Quindi, possiamo scrivere:
Si richiama l’attenzione sull’utilizzo delle unità di misura!
Le tensioni agenti dall’alto sul solettone interno valgono:
Le tensioni agenti dal basso sul solettone interno dipendono dalla porzione di diagramma di reazione del terreno σt; pertanto ricaviamo la tensione nel punto B
d’incastro mediante la similitudine dei triangoli:
Il diagramma risultante si ricava sommando algebricamente le tensioni nel punto D e nel punto B:
)/(100*
24 cmKNs
P
i
T =σ
)/(100*
25 cmKNs
P
i
Q =σ
zzsiDB :)(: −=σσ
z
zsiD
B
)( −=
σσ
DQTD σσσσ ++=
BQTB σσσσ −+=
2211
21
dRdRM
RRT
B
B
−=
+−=essendo
R1 risultante delle tensioni nel prisma triangolare
ABE R2 risultante delle tensioni nel prisma triangolare
CDE d1 distanza di R1 dalla sezione d’incastro
d2 distanza di R2 dalla sezione d’incastro
ECAECDAB :: = poniamo
nsEC
nAE
CD
AB
i
D
B
−=
=
=
=
σ
σ
e sostituiamo
)(:: nsn iDB −=σσ
applicando la proprietà del comporre nnsn iBDB :)(:)( −+=+ σσσ
DB
iB sn
σσ
σ
+=
1*
2
)(
1*2
*
2
1
nsR
nR
iD
B
−=
=
σ
σ
3
3
1
2
1
nssd
nd
i
i
−−=
=
Pagina 7 di 10MURO DI SOSTEGNO IN CEMENTO ARMATO
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Determinato il momento MB nel punto d’incastro, possiamo ricavare l’armatura in questa sezione,
avendo anche stabilito di utilizzare armatura doppia simmetrica, con le usuali procedere di calcolo
L’armatura di ripartizione, da disporre sia nel lembo superiore sia in quello inferiore, si ricava calcolando il 20% della sezione d’acciaio longitudinale:
SOLETTONE ESTERNO Anche il solettone esterno risulta incastrato, nella sezione E, alla parete verticale e caricato dal basso dal diagramma di reazione del terreno
determiniamo la tensione nel punto E d’incastro scrivendo la relazione tra i triangoli simili STN e PQN:
e sostituendo
otteniamo
Il diagramma di carico trapezoidale si scompone in due parti:
Le due risultanti R1 e R2 distano dall’incastro E
Dati coefficiente r’ coefficiente t’
Area acciaio teso e compresso (cm2)
h spessore utile solettone b 1 m di profondità solettone M momento flettente
b
M
hr =′
(letto in tabella)
MbtAa′=
aa AA =′
aarip AA 20.0= armatura di ripartizione trasversale
PNSNPQST :: =
)(:)(: eER szszs −−−=σσ
zs
szs eR
E−
−−=
)(σσ
parte rettangolare la cui risultante vale
1**2 eE sR σ=
parte triangolare la cui risultante vale
1**)(2
11 eER sR σσ −=
Pagina 8 di 10MURO DI SOSTEGNO IN CEMENTO ARMATO
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Per cui il taglio e il momento flettente nell’incastro E valgono:
Nel solettone esterno possiamo utilizzare la tipologia ad armatura semplice, essendo certi che la zona tesa è la zona inferiore della soletta, e scriviamo le usuali formule di progetto:
L’armatura di ripartizione, pari al 20% di quella longitudinale, è disposta sul lembo inferiore del solettone. VERIFICHE SOLETTONE DI BASE Il solettone interno, essendo stato progettato ad armatura doppia simmetrica, è verificato con le seguenti formule
in cui
Il solettone esterno, progettato a semplice armatura, si verifica con le formule
esd
3
11 =
esd
2
12=
21 RRTE += 2211 dRdRM E +=
Dati coefficiente r coefficiente t Area acciaio teso
(cm2) h spessore utile solettone b 1 m di profondità solettone M momento flettente
b
M
hr =
(letto in tabella) MbtAa =
Formule di verifica a flessione e taglio nel solettone interno
( )( )
+
′+++−=
β
β
1
211
aT
aT
nA
hhb
b
nAy distanza dell’asse neutro dal lembo compresso
c
n
cI
Myσσ ≤=max verifica a flessione nel calcestruzzo compresso
a
n
aI
yhnMσσ ≤
−=
)(max verifica a flessione nell’acciaio teso
a
n
aI
hynMσσ ≤
′−=′
)(max verifica a flessione nell’acciaio compresso
coc
bh
Tττ ≤=
9.0max verifica al taglio nel calcestruzzo compresso
mb 1=
aaaT AAA ′+= hh *10.0=′
1=
′=
a
a
A
Aβ
Formule di verifica a flessione e taglio nel solettone esterno
++−=
a
a
nA
bh
b
nAy
211 distanza dell’asse neutro dal lembo compresso
ccy
hby
Mσσ ≤
−
=
3
2max
verifica a flessione nel calcestruzzo compresso
verifica a flessione nell’acciaio teso
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dove b = 1 m SCHEMA ARMATURE METALLICHE
a
a
ay
hA
Mσσ ≤
−
=
3
max
coc
bh
Tττ ≤=
9.0max verifica al taglio nel calcestruzzo compresso
Sulla parete verticale disponiamo l’armatura solamente in zona tesa, rispettando la sezione minima d’acciaio, pari allo 0.15% della sezione di calcestruzzo, e piegando a 45° i tondini non più necessari. Sul solettone di base disponiamo armatura doppia simmetrica nella zona della mensola interna, mentre è sufficiente posizionare armatura semplice in corrispondenza della mensola esterna. Lungo la parete verticale e lungo il solettone di base posizioniamo l’armatura trasversale di ripartizione in misura pari al 20% della sezione dei ferri longitudinali.
Pagina 10 di 10MURO DI SOSTEGNO IN CEMENTO ARMATO
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