DAI NUMERI NATURALI

AI RAZIONALI E OLTRE

La misura

L'aspetto di misura dei numeri naturali

Un numero (naturale) può esprimere la quantità dei campioni di unità di misura in cui è stata suddivisa o può essere suddivisa, fisicamente o idealmente, una data grandezza.

Nelle scienze sperimentali il risultato della misura non è un numero, ma un numero dimensionato, cioè accompagnato dall'indicazione dell'unità di misura utilizzata. In matematica l’unità è sottintesa e la misura è un numero puro, inteso come rapporto tra la grandezza da misurare e l’unità di misura

La misura è importante

Dal punto di vista applicativo (es. esperienza quotidiana)

MATEMATICA COME LINGUAGGIO DELLE SCIENZE

(in questo caso spesso si parla di Misurazione)

Dal punto di vista teorico(es. esperimenti mentali)

MATEMATICA COME DISCIPLINA AUTONOMA

La misura è importante

Dal punto di vista applicativo

MATEMATICA COME LINGUAGGIO DELLE SCIENZE

Dal punto di vista teorico

MATEMATICA COME DISCIPLINA AUTONOMA

Strumenti(misura indiretta)

Campioni(misura diretta)

Nella scuola si possono (si devono)

intrecciare i due percorsi

MISURAINDIRETTA

(lettura di strumenti)

MISURADIRETTA

(didatticamente: premisura)

Strumenti(misura indiretta)

Campioni(misura diretta)

Nella scuola si possono (si devono)

intrecciare i due percorsi

MISURAINDIRETTA

(lettura di strumenti)

MISURADIRETTA

(didatticamente: premisura)

Campioni(misura diretta)

Strumenti(misura indiretta)

Campioni(misura diretta)

Strumenti(misura indiretta)

Osservazione diOggetti e/o eventi

Individuaz. di proprietàoggetto di misura

Osservaz e uso di strum.di misura del quotidiano

Individuazione di unità Individuazione delle propr. riferite agli strum.

Descrizione dei procedim.:- congiunz. dei campioni- replicaz. dei gesti

Descrizione dei procedim.di uso degli strumenti

Conteggio dei campionio dei gesti

Lettura dei risultati

Scritturadel risultato

Campioni(misura diretta)

Strumenti(misura indiretta)

Osservazione diOggetti e/o eventi

Individuaz. di proprietàoggetto di misura

Osservaz e uso di strum.di misura del quotidiano

Individuazione di unità Individuazione delle propr. riferite agli strum.

Descrizione dei procedim.:- congiunz. dei campioni- replicaz. dei campioni

Descrizione dei procedim.di uso degli strumenti

Conteggio dei campionio dei gesti

Lettura dei risultati

Scritturadel risultato

An

tich

e u

nit

à –

Ru

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del corp

oU

so d

eg

li stru

men

ti scie

ntifi

ci

Approfondimenti: [BB 1992]

Campioni(misura diretta)

Strumenti(misura indiretta)

Costruz. delRisultatoConteggio

dei campioni / gesti(unità di misuracon multipli e sottomultipli)

Lettura delRisultato

numero che dipendedalla

sensibilitàdello strumento

Campioni(misura diretta)

Strumenti(misura indiretta)

Costruz. delRisultatoConteggio

dei campioni / gesti(unità di misuracon multipli e sottomultipli)

Lettura delRisultato

numero che dipendedalla

sensibilitàdello strumento

Che cosa si misura?

NON gli oggettima loro proprietà ovvero grandezze

associate agli oggetti

(es. lunghezza, peso, …)

Campioni(misura diretta)

Strumenti(misura indiretta)

Replicando il campione (multipli e

sottomultipli)si trova

uno e un soloNumeroNumero

(Che tipo di (Che tipo di numero?)numero?)

Lo strumento associa

uno e un solonumero razionale

dimensionato(espresso in forma

decimale)1,5 kg ; 2,8 m; 1°

Data una grandezza

Campioni(misura diretta)

Strumenti(misura indiretta)

Strumenti(misura indiretta)

Per approfondimenti epistemologici, vedi Carnap F., I fondamenti filosofici della fisica, Il Saggiatore

Campioni(misura diretta)

Campioni(misura diretta)

Due problemi

1) Grandezze: come si definiscono le grandezze?

2) Numeri: che numeri si ottengono?

Grandezzecome si definiscono le grandezze?

Partiamo dal caso classico:

LUNGHEZZELUNGHEZZE

Consideriamo l’insieme dei segmenti del piano(o dello spazio)

Partiamo dal caso classico:

LUNGHEZZELUNGHEZZE

Consideriamo l’insieme dei segmenti del piano(o dello spazio)

Uguaglianza (o congruenza)di segmenti.

Due segmenti a e b sonoUguali (o congruenti) a = bquando sono sovrapponibili, cioè tali che trasportando il primo sul secondosia possibile farli coincidere,punto per punto, esattamente.

LUNGHEZZELUNGHEZZE

L’uguaglianza dei segmenti godedelle proprietàRiflessiva a = a

LUNGHEZZELUNGHEZZE

L’uguaglianza dei segmenti godedelle proprietàRiflessiva a = aSimmetrica Se a = b allora b = a

LUNGHEZZELUNGHEZZE

L’uguaglianza dei segmenti godedelle proprietàRiflessiva a = aSimmetrica Se a = b allora b = a

Transitiva Se a = b e b = c Allora a = c

(in breve)E’ una relazione di equivalenza

LUNGHEZZELUNGHEZZE

Si può quindi ripartire l’insieme dei segmenti del piano (spazio) inclassi di equivalenza (congruenza)

Ogni classe contiene tutti e soli isegmenti uguali (congruenti)a un segmento dato

Una rappresentazione (ideale) di tutte le classi è data su unasemiretta di origine O: ogni punto X della semirettaindividua un segmento OX e quindi una classe di equivalenza.

LUNGHEZZELUNGHEZZE

OA

BC

D

Le lunghezze sono le classi di equivalenza

Espressioni linguisticheUn segmento a ha lunghezza A.Un segmento a sta nella classe di lunghezze A.La lunghezza A è rappresentata dal segmento a Due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza Due segmenti non congruenti non hanno la stessa lunghezzae simili …….

Nel seguito indicheremo (senza più dirlo) con la stessa lettera (minuscola o MAIUSCOLA) il segmento a e la sua lunghezza A. Quando servirà indicheremo gli estremi del segmento: a = AB

LUNGHEZZELUNGHEZZE

Ordinamento di segmenti(di lunghezze)

Dati due segmenti diversia e b si diceche a è minore di b o cheb è maggiore di ascrivendo a < b o b > a quando a è uguale ad una parte di b.Si usano le stesse espressioniper le lunghezzeA < B o B > A

LUNGHEZZELUNGHEZZE

a b

Addizione di segmenti(di lunghezze)Dati due segmenti a e b a = AB b = BC(con A, B, C allineati e consecutivi, cioè conB compreso tra A e C)diciamo cheAB + BC = AC(il segmento AC è somma deisegmenti AB e BC)

LUNGHEZZELUNGHEZZE

A CB

Addizione di segmenti(di lunghezze)La somma di due lunghezze A B è la lunghezza C del segmento ACottenuto sommando due segmentiallineati e consecutiviAB con lunghezza A e BC con lunghezza B.

LUNGHEZZELUNGHEZZE

A CB

Alcune proprietà delle lunghezze

ADDIZIONEProprietà commutativa: A + B = B + A

Proprietà associativa A + (B + C) = (A + B) + C

ORDINAMENTOProprietà transitiva se A < B e B < C allora A < C Proprietà di tricotomia:

Date A e B vale una e una sola delle relazioni:A = B A < B B < A

LUNGHEZZELUNGHEZZE

Vediamo un altro caso:

PESIPESI

Consideriamo un insieme di oggettied una bilancia a due piatti

Equivalenza per peso.

Due oggetti a e b sonoequipesanti a bquando, posti sui piatti di una bilancia la mettono in equilibrio.

PESIPESI

L’equivalenza per peso deglioggetti gode delle proprietà

Riflessiva a a

PESIPESI

L’equivalenza per peso deglioggetti gode delle proprietà

Riflessiva a aSimmetricaSe a b allora b a

PESIPESI

L’equivalenza per peso deglioggetti gode delle proprietà

Riflessiva a aSimmetricaSe a b allora b a

TransitivaSe a b e b c Allora a c

PESIPESI

Si può quindi ripartire un insieme di oggetti inclassi di equivalenza (pesi)

e poi procedere come nel caso delle lunghezze ….

… definendo operativamente il confronto (ordinamento) e l’addizioneper mezzo della bilancia. Ad esempio:

PESIPESI

Nella situazione rappresentata dalla figura a lato diremo cheil peso di a è minore del peso di b anche che il peso di b è maggiore del peso di a

PESIPESI

a b

Nella situazione rappresentata dalla figura a lato diremo chela somma del peso di a e del peso b è uguale al peso di c

E così via ….

PESIPESI

a b c

Numeri: che numeri si ottengono?

Un caso storico

Due grandezze G e H sono commensurabili se esiste una grandezza S che è sottomultipla di entrambe, cioè se si può scrivere:

G = m S e H = n S(cioè 1/m G = 1/n H)

In caso contrario, cioè se non esiste un sottomultiplo comune, G e H sono incommensurabili.

Dire che G e H sono commensurabili equivale a dire che H = n / m G

(n / m è una frazione – detta anche numero razionale)

Numeri: che numeri si ottengono?

Un caso storico

Due grandezze G e H sono commensurabili se esiste una grandezza S che è sottomultipla di entrambe, cioè se si può scrivere:

G = m S e H = n S(cioè 1/m G = 1/n H)

In caso contrario, cioè se non esiste un sottomultiplo comune, G e H sono incommensurabili.

Dire che G e H sono incommensurabili equivale a dire che non c’è nessuna frazione – numero razionale – n/m tale che:

H = n / m G

Un esempio

Date due grandezze G e H , rappresentate ad esempio da due segmenti g e h, esiste un sottomultiplo comune?

Vediamo qualche caso:

1. Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u . L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?

C B

A

…. Nel senso comune

1. Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u . L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?Empiricamente: Riportando l’unità u su BC si verifica che

BC = 5 u

C B

A

C’è una argomentazione teorica

1. Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u . L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?Empiricamente: Riportando l’unità u su BC si verifica che

BC = 5 uTeoricamente (Teorema di Pitagora): 32 + 42 = 52

Sonocommensurabili!

C B

A

Un secondo esempio

Date due grandezze G e H , rappresentate ad esempio da due segmenti g e h, esiste un sottomultiplo comune?

Vediamo un altro caso:

2. Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?

C B

A

…. Nel senso comune

2. Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?Empiricamente: supponiamo che u sia il metro; immaginiamo di avere un righello graduato in dm e cm. Otteniamo:AB = AC = 1,00 m e BC = 1,41 m

C B

A

0 1

1,4

…. Nel senso comune

2. Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?Empiricamente: ciò significa che:AB = AC = 100 cm e BC = 141 cme il centimetro (1/100 di metro) è il sottomultiplo comune

C B

A

0 1

1,4

C’è una argomentazione teorica?

2. Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC. L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?

Proviamo a ragionare come nel caso precedente, utilizzando il Teorema di Pitagora.

Se AB (= AC) e BC hanno un sottomultiplo comune sAB = m s e BC = n s.Per il Teorema di PitagoraAB2 + AC2 = BC2

m2 + m2 = n2

2 m2 = n2 …………………… (continua).C B

A

C’è una argomentazione teorica?……………………(segue).2 m2 = n2 cioèn2 è divisibile per 2 (pari) e quindi:n è pure divisibile per 2 (pari)n = 2k e quindi:2 m2 = 4k2 cioè:m2 = 2k2 cioèm2 è divisibile per 2 (pari)m = 2h.Allora sia m che n sono pari, quindi, nella scomposizione in fattori primi, il fattore 2 compare in m2 e in n2 con esponente pari.Dunque nell’uguaglianza: 2 m2 = n2

Il primo membro contiene il fattore 2 con esponente dispari, mentre il secondo membro contiene il fattore 2 con esponente pari.

…. E questo non può accadere!

C’è una argomentazione teorica?

RiassumendoAbbiamo dimostrato che

Se AB e BC (cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele) hanno un sottomultiplo comune s c’è una contraddizione.

Tutto il ragionamento si basa su presupposti solidi ed accettati: il Teorema di Pitagoraele proprietà della divisibilità nell’insieme dei numeri naturali.Dunque la contraddizione dipende dall’avere supposto che:

AB e BC abbiano un sottomultiplo comune

Abbiamo trovato una coppia di grandezzeG ed H

(rappresentate da cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele)

per le quali non c’è nessun numero razionalen / m

che consente di scrivere:H = n/m G

Abbiamo trovato una coppia di grandezzeG ed H

(rappresentate da cateto e ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele)

per le quali non c’è nessun numero razionalen / m

che consente di scrivere:H = n/m G

Possiamo costruire infiniti esempi di segmenti incommensurabili con un segmento dato OA1.Nella figura che segue sono costruiti dei triangoli rettangoli con:

OA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = A5A6 = A6A7 = …..

Per esercizio si può trovare in quali casi l’ipotenusa è commensurabile con OA1.

O A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7