num06raz e 121. - s.deascuola.it · n Frazioni [p. 121] n Numeri razionali [p. 125] n Operazioni...

n Frazioni [p. 121]

n Numeri razionali [p. 125]

n Operazioni con i numeri razionali [p. 127]

n Potenze dei numeri razionali [p. 135]

n Esercizi di riepilogo sulle operazioni con i numeri razionali [p. 145]

n Frazioni e numeri decimali [p. 150]

n Proporzioni [p. 157]

n Percentuali [p. 162]

Frazioni

RICORDIAMO LA TEORIA

n Frazione: e un’espressione del tipo nd

o n=d che indica il risultato della divisione tra i numeri interi

relativi n e d, con d 6¼ 0.

n Termini di una frazione

numeratore

denominatore

nd

con d 6¼ 0

n Frazioni equivalenti: ab¼ c

dse c � b ¼ a � d

Frazioni equivalenti rappresentano lo stesso quoto �! 26¼ 1

3�! ¼

n Proprieta invariantiva delle frazioni

Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero diverso da zero, siottiene una frazione equivalente a quella data:

ab¼ a � c

b � c ¼a : cb : c

c 6¼ 0

n Riduzione ai minimi termini

Una frazione e ridotta ai minimi termini o irriducibile se il MCD dei valori assoluti dei suoi termini e 1.Per ridurre una frazione ai minimi termini si dividono entrambi i suoi termini per il MCD dei loro valoriassoluti.

n Riduzione al minimo comune denominatore

Il minimo comune denominatore di due o piu frazioni, ridotte ai minimi termini, e il mcm dei loro de-nominatori. Per ridurre due o piu frazioni al minimo comune denominatore occorre

A ridurre le frazioni ai minimi termini, se possibile;

B calcolare il mcm dei denominatori, che e appunto il minimo comune denominatore;

C moltiplicare il numeratore di ciascuna frazione ridotta per il quoto tra il minimo comune denomi-natore e il corrispondente denominatore.

I NUMERI

121

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI

Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi – & 2010 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara

QUESITI

1 Che cosa rappresenta una frazione? Come si chiamano i termini di una frazione?

2 Quando si dice che due frazioni sono equivalenti?

3 Enuncia la proprieta invariantiva delle frazioni.

4 Come si procede per ridurre una frazione ai minimi termini? Quale proprieta si applica?

5 Che cos’e il minimo comune denominatore di due o piu frazioni?

6 Come devi procedere per ridurre due frazioni al minimo comune denominatore?

COMPLETARE...

7 �23¼

:::5�8¼

:::�15�4

¼:::

þ85¼

:::�7þ4¼

:::

8þ4þ9¼

:::�7�10

¼:::

�11þ5

¼:::

þ21�4

¼:::

13�2¼

:::

9 2025¼ 20 : 5

25 : 5¼

:::� 18

24¼ � 18 : 6

24 : 6¼

:::45¼ 4 � 3

5 � 3 ¼ :::

10 � 26¼ � 2 � 5

6 � 5 ¼ :::15¼ 1 � 7

5 � 7 ¼ :::5

12¼ 5 � :::

12 � ::: ¼1536

11 � 1624¼ � 16 : :::

24 : :::¼ � 4

:::� 10

15¼ � 10 : :::

15 : :::¼ � 2

:::34¼ 3 � :::

4 � ::: ¼:::36

12 � 87¼ � 8 � :::

7 � ::: ¼ �:::21

3630¼ 36 : :::

30 : :::¼ :::

5104¼ 10 : :::

4 : :::¼ 5

:::

13 � 13¼ � 1 � :::

3 � ::: ¼ �8:::

�23¼ ::: 2 � :::

3 � ::: ¼ ::::::27

2030¼ 2

:::

14 45¼ 8

:::� 32

20¼ � :::

557¼ :::

14� 12

16¼ � 3

:::1215¼ :::

5

15 � 512¼ � :::

36� 24

18¼ � :::

95

10¼ :::

2¼ 4

:::1218¼ 4

:::¼ :::

24

16 68¼ 30

:::¼ :::

204

10¼ :::

5¼ :::

1513¼ 2

:::¼ :::

18208¼ :::

2¼ 15

:::

17 � 4836¼ � :::

6¼ � 4

:::�3228¼ ::: :::

7¼ ::: :::

35� 33

9¼ �11

:::¼ :::�6

18 7520¼ :::

4¼ 45

:::4256¼ :::

8¼ 3

:::� 54

36¼ � :::

12¼ � 3

:::

19 Riduci ai minimi termini la frazione 5621

:

MCDð56 ; 21Þ ¼ ::: 5621¼ 56 : :::

21 : :::¼ :::

:::

20 Riduci ai minimi termini la frazione � 3048

:

MCDð30 ; 48Þ ¼ ::: � 3048¼ � 30 : :::

48 : :::¼ � :::

:::

21 Riduci ai minimi termini la frazione 360150

:

MCDð360 ; 150Þ ¼ ::: 360150

¼ 360 : :::150 : :::

¼ ::::::

122 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi – & 2010 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara

I NUMERI

22 Riduciamo al minimo comune denominatore le frazioni 1512

e 1620

.

n Riduciamo ai .......................................... le due frazioni:

MCDð15 ; 12Þ ¼ 3; 1512¼ 15 : 3

12 : 3¼ 5

4MCDð16 ; 20Þ ¼ 4; 16

20¼ 16 : 4

20 : 4¼ 4

5

n Determiniamo il minimo comune denominatore tra i denominatori delle frazioni ridotte:

mcmð4 ; 5Þ ¼ 20

n Dividiamo il ................... comune denominatore 20 per il denominatore di ciascuna frazione ridotta,

quindi moltiplichiamo entrambi i termini di ciascuna frazione per il rispettivo quoto:

54�! 20 : 4 ¼ ::: �! 5

4¼ 5 � :::

4 � ::: ¼::::::

45�! 20 : 5 ¼ ::: �! 4

5¼ 4 � :::

5 � ::: ¼::::::

23 Riduciamo al minimo comune denominatore le frazioni 414

; 742

; 1512

.

n Riduciamo le tre frazioni ai minimi termini:

MCDð4 ; 14Þ ¼ :::; 414¼ 4 : :::

14 : :::¼ :::

:::

MCDð8 ; 42Þ ¼ :::; 842¼ 8 : :::

42 : :::¼ :::

:::

MCDð15 ; 12Þ ¼ :::; 1512¼ 15 : :::

12 : :::¼ :::

:::

n Determiniamo il ......................................................................... tra i denominatori delle nuove frazioni:

mcmð::: ; ::: ; :::Þ ¼ :::

n Dopo aver diviso il mcm per i nuovi denominatori delle tre frazioni, moltiplichiamo i ......................

ottenuti ciascuno per il rispettivo numeratore delle frazioni ridotte:

..........................................................................................................................................................................

QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA

24 Una frazione si dice apparente se

&a il numeratore e minore del denominatore

&b il numeratore e maggiore del denominatore

&c numeratore e denominatore sono uguali

&d il numeratore e multiplo del denominatore

&e il denominatore e 1

25 Due frazioni si dicono equivalenti se

&a rappresentano lo stesso quoto

&b hanno lo stesso denominatore

&c hanno lo stesso numeratore

&d hanno i termini rispettivamente uguali

26 Una frazione e irriducibile se

&a il denominatore e multiplo del numeratore

&b il numeratore e multiplo del denominatore

&c numeratore e denominatore sono uguali

&d il MCD di numeratore e denominatore e 1

27 Il minimo comune denominatore di due o piu frazioni irriducibili e

&a il massimo comune divisore dei denominatori

&b il minimo comune multiplo dei denominatori

&c il prodotto dei denominatori

&d la somma dei denominatori

28 Quale delle seguenti e una frazione apparente? &a 14

&b � 14

&c 84

&d � 54

29 Quale delle seguenti frazioni e irriducibile? &a � 1236

&b 2010

&c 12

&d � 4542

123

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


30 Quale delle seguenti frazioni non e irriducibile? &a 1552

&b 2115

&c � 13

&d � 41

31 Quale delle seguenti frazioni e uguale a 5? &a 61

&b 51

&c 15

&d 105

32 Quale delle seguenti frazioni e uguale a �3? &a �3�1

&b � 52

&c � 93

&d � 13

33 Riducendo ai minimi termini la frazione 7028

ottieni

&a 3514

&b 104

&c 410

&d 52

34 Il minimo comune denominatore delle frazioni 215

e 718

e

&a 15 � 18 ¼ 270 &b 18 &c 15þ 18 ¼ 33 &d 90

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni.

35 2545

; 12133

; 5481

; 108

; � 4864

; � 2845

; � 3280

; 159

�59

; 113

; 23

; 54

; � 34

;� 2845

;� 25

; 53

�

36 8127

; � 305

; 4816

; � 5418

; 46

; � 9636

; 4045

; 280105

�3; �6; 3; �3; 2

3; � 8

3; 8

9; 8

3

�

37 15045

; 72162

; 6040

; 5244

; 3684

; � 270450

; � 48108

; 37111

�103

; 49

; 32

; 1311

; 37

; � 35

; � 49

; 13

�

Quali tra le seguenti frazioni sono equivalenti tra loro?

38 128

; 96

; 1520

; 300200

; 3045

; 4560

�128¼ 9

6¼ 300

200; 15

20¼ 45

60

�

39 2835

; 140100

; 2115

; 810

; 2025

; 8460

�2835¼ 8

10¼ 20

25; 140

100¼ 21

15¼ 84

60

�

40 2470

; 206

; 36105

; 144420

; 17051

; 108315

�2470¼ 36

105¼ 144

420¼ 108

315; 20

6¼ 170

51

�

Riduci al minimo comune denominatore le frazioni dei seguenti gruppi.

41

�38

; 96

� �5

24; 11

20; 16

18

� �38

; 128

�;

�75

360; 198

360; 320

360

��

42

�143

; 129

; 2835

� ��2; 4

5; � 2

45

� �7015

; 2015

; 1215

�;

�� 90

45; 36

45; � 2

45

��

43

�1036

; 627

; 2124

� �2

20; 3

11; 15

25; 170

110

� ��2072

; 1672

; 6372

�;

�11

110; 30

110; 66

110; 170

110

��

44

�1236

; 510

; 716

; 1618

� ��48

144; 72

144; 63

144; 128

144

��

45

�� 7

5; 8

27; 1

90; � 3

50

� �� 1890

1350; 400

1350; 15

1350; � 81

1350

��

46

�5; � 8

13; 4

121; � 3

143

� ��78651573

; � 9681573

; 521573

; � 331573

��


I NUMERI

Numeri razionali


n Numero razionale: e l’insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione. Per indicare un nu-mero razionale si utilizza una frazione di tale insieme, preferibilmente quella irriducibile.

n Insieme dei numeri razionali

L’insieme dei numeri razionali si indica con il simbolo Q.L’insieme Z dei numeri interi e l’insieme N dei numeri na-turali sono sottoinsiemi di Q:

N � Z � Q

n Opposto di un numero razionale

L’opposto di un numero razionale a si indica con �a ed e ilnumero che si ottiene cambiando il segno di a:

a > 0 �! � a < 0 a < 0 �! � a > 0

n Valore assoluto di un numero razionale

Il valore assoluto di un numero razionale a si indica con jaj ed e cosı definito:

jaj ¼ a se a � 0

�a se a < 0

�

n Confronto tra numeri razionali

Per confrontare due numeri razionali concordi occorre esprimerli come frazioni con lo stesso denomi-natore positivo. Si confrontano quindi i loro numeratori, considerando negativi i numeratori delle fra-zioni negative.

n Proprieta dell’insieme dei numeri razionali

� L’insieme dei numeri razionali e infinito.

� L’insieme dei numeri razionali non ha un elemento minimo.

� L’insieme dei numeri razionali non ha un elemento massimo.

� Tra due numeri razionali sono compresi infiniti numeri razionali (Q e denso).

QUESITI

47 Che cos’e un numero razionale?

48 Quale frazione e preferibile scegliere per rappresentare un numero razionale?

49 Esiste un numero razionale uguale al suo opposto? E se esiste, qual e?

50 In quale caso un numero razionale e uguale al suo valore assoluto?

51 Spiega come si possono rappresentare su una retta i numeri razionali.

52 Perche il concetto di successivo non ha senso nell’insieme dei numeri razionali?

53 Esponi le proprieta dell’insieme dei numeri razionali.

COMPLETARE...

54 L’insieme A ¼ 45

; 810

; 1215

; 1620

; :::n o

rappresenta un numero razionale perche tutte le frazioni che

appartengono ad A sono tra loro ......................

Per rappresentare questo numero razionale si sceglie preferibilmente la frazione:::::

perche e ................

............................................

Tale numero razionale e positivo perche le frazioni di A sono ...............

55 L’insieme B ¼ � 43

; � 86

; � 129

; � 1612

; :::n o

rappresenta un numero razionale perche tutte le fra-

zioni che appartengono a B sono tra loro ......................

Per rappresentare questo numero razionale si sceglie preferibilmente la frazione:::::

perche e ................

............................................

Tale numero razionale e ....................... perche le frazioni di B sono ....................

125

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


56 L’insieme C ¼ 23

; 34

; 45

; 56

; :::n o

non rappresenta un numero razionale perche le frazioni che ap-

partengono a C non sono ......................

57 L’opposto di 79

e:::::::::

; l’opposto di � 1522

e:::::::::

; l’opposto di 0 e .....

58 þ 27

�� ¼ ::::::

35

�� ¼ ::::::

� 29

�� ¼ ::::::

0j j ¼ :::

59a 9

10� 1

2� 18

12105

a

�a �a 13

� 126

jaj jaj

�jaj �jaj

j � aj j � aj

�ð�aÞ �ð�aÞ � 34

2530

�j � aj �j � aj


60 Un numero razionale e

&a una frazione

&b una frazione irriducibile

&c un qualsiasi insieme di frazioni

&d un insieme di frazioni tra loro equivalenti

&e una frazione apparente

61 Un numero razionale e positivo se e costituito da un insieme di frazioni

&a positive

&b concordi

&c apparenti

&d irriducibili

&e delle quali almeno una e positiva

COMPLETARE...

Scrivi il simbolo < oppure > al posto dei puntini.

62 12::: 1; �2 :::� 5

4; 95

21:::� 76

19; 9

8::: 7

8; 11

10::: 111

100

63 � 76:::� 11

6; 2

3::: 3

2; � 2

3:::� 3

2; 5

12::: 0; 0 :::� 25

81; � 23

10:::� 231

100


64 Quale tra i seguenti numeri razionali e il minore? &a 32

&b 43

&c 85

&d 53

65 Quale tra i seguenti numeri razionali e il maggiore? &a � 12

&b � 13

&c � 14

&d � 15

66 Quale dei seguenti numeri razionali e compreso tra 13

e 23

?

&a 14

&b 34

&c 12

&d 32

67 Quale dei seguenti numeri razionali e compreso tra � 54

e � 34

?

&a �2 &b �1 &c � 32

&d � 12


I NUMERI

68 Scrivi in ordine crescente i numeri 75

; 1; 23

; 2; 1310

.

69 Scrivi in ordine crescente i numeri �3; � 125

; � 103

; �2; � 176

; � 45

.

70 Scrivi in ordine decrescente i numeri �3; � 12

; � 45

; � 23

; � 103

; � 72

.

71 Scrivi in ordine decrescente i numeri � 175

; 134

; � 157

; �1; 75

; � 74

.

72 Quanti e quali sono i numeri interi relativi compresi tra � 72

e þ 114

?

Rappresenta su una stessa retta orientata i seguenti numeri razionali.

73 25

; � 35

; � 15

; 1; �1

74 23

; � 23

; 1; 53

; 52

75 � 12

; 14

; 74

; � 54

; 32

76 � 32

; � 14

; 2; 52

; �1

Operazioni con i numeri razionali


n Addizione

La somma di due frazioni con lo stesso denominatore positivo e la frazione che ha per denominatore lostesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma algebrica dei numeratori.In generale, per sommare due o piu frazioni e necessario prima ridurle allo stesso denominatore, che disolito e il minimo comune denominatore.

n Sottrazione

La differenza di due frazioni e la somma della prima con l’opposta della seconda.

n Moltiplicazione

Il prodotto di due frazioni e la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per deno-minatore il prodotto dei denominatori.Per eseguire la moltiplicazione e opportuno, quando sia possibile, ridurre ai minimi termini le frazionied eseguire le cosiddette semplificazioni in croce: il numeratore di una frazione e il denominatore diun’altra possono essere divisi entrambi per il loro massimo comune divisore.

n Reciproci

Due numeri razionali si dicono reciproci se il loro prodotto e 1.

Il reciproco di a, con a 6¼ 0, si puo indicare con 1a

.

n Divisione

Il quoto di due numeri razionali, il secondo dei quali diverso da 0, e il prodotto del primo per il reci-proco del secondo.

Ricordiamo che la linea di frazione puo essere utilizzata per indicare una divisione.

QUESITI

77 Si possono sommare due frazioni che non hanno lo stesso denominatore? E come si ottiene la loro somma?

78 Che cosa e la differenza di due frazioni?

79 Si possono moltiplicare due frazioni che hanno denominatori diversi? E come si ottiene il loro prodotto?

80 Come si esegue la divisione tra due frazioni?

81 Qual e il reciproco di �3? E il reciproco di � 76

? Esiste il reciproco di 0?

127

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


Addizione, sottrazione e somma algebrica

VERO O FALSO?

82 a. La somma di due frazioni si esegue sommandone sia i numeratori sia i denominatori.

b. Se due frazioni hanno denominatori diversi non si possono sommare.

c. La differenza di due frazioni e la somma della prima con l’opposta della seconda.

d. La somma di due frazioni puo essere un numero intero.

83 a. 12þ 1

2¼ 2

4

b. 35þ 2

5¼ 1

c. 12� 1

3¼ 1

6

d. 78� � 7

8

� �¼ 0


84 In quale caso la somma di due numeri razionali e 0?

&a Quando i due addendi sono opposti.

&b Quando i due addendi sono discordi.

&c Quando i due addendi sono concordi.

&d Quando uno dei due addendi e 0.

85 La differenza tra due razionali relativi e 0 quando

&a sottraendo e minuendo sono concordi

&b sottraendo e minuendo sono opposti

&c sottraendo e minuendo sono discordi

&d il sottraendo e uguale al minuendo

86 310þ 2

10¼ &a 1

2&b 5

20&c 5

100&d 5

87 12þ 1

4¼ &a 2

6&b 1

6&c 3

4&d 3

2

88 56þ 2

9¼ &a 5þ 2

6þ 9&b 5þ 2

6 � 9 &c 5þ 218

&d 5 � 3þ 2 � 218

&e 5 � 9þ 2 � 618

89 310� 2

5¼ &a 1

5&b � 1

10&c 1

10&d � 5

10

COMPLETARE...

90 56þ 1

6¼ :::þ :::

6¼ :::

6¼ :::

91 53þ 1

2¼ :::

6þ :::

6¼ :::þ :::

6¼ :::

65

10� 3

10¼ :::� :::

10¼ :::

10¼ :::

5

92 310þ 1

15¼ :::

30þ :::

30¼ :::þ :::

30¼ :::

3074� 8

3¼ :::

12� :::

12¼ :::� :::

12¼ � :::

12

93 37þ :::

7¼ 5

79

11� :::

11¼ 6

117

19� :::

19¼ � 3

19� 3

5� :::

5¼ � 9

5

94 38þ :::

8¼ 3

47

12� :::

12¼ 1

229� :::

9¼ � 1

3� 5

6� :::

6¼ � 5

3

95 1910þ :::

10¼ 2 23

6� :::

6¼ 3 2

3� :::

3¼ �2 � 5

8� :::

8¼ �1

96 38þ ::::::¼ 1 1

2� ::::::¼ 1

65

18� ::::::¼ � 5

9� 5

8� ::::::¼ � 11

12

97 1þ ::::::¼ 5

33� :::

:::¼ 4

52� :::

:::¼ � 1

2�3� :::

:::¼ � 10

3

98 2�:::¼ � 3

4�2þ

:::þ 1

2¼ 0 3�

:::þ:::¼ 7

3

99 3� :::2þ 7:::¼ 13

4:::50� 3:::þ :::

25¼ � 48

50¼

:::::


I NUMERI

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

ESERCIZI SVOLTI

100 75þ 2

5¼ 7þ 2

5¼ 9

57

12� 3

12¼ 7� 3

12¼ 41

12 3

¼ 13

101 � 824þ 2

12¼ � 8 1

24 3

þ 21

12 6

¼ � 13þ 1

6¼ � 2

6þ 1

6¼ �2þ 1

6¼ � 1

6

102 125þ 7

5134� 7

4�2þ 3

523� 5

6

�195

; 32

; � 75

; � 16

�

103 25� 3

4� 1

7� 3

4�1� 12

16� 5

6þ 2

�� 7

20; � 25

28; � 7

4; 7

6

�

104 134þ 1

61514� 5

21� 12

9� 2

3� 1

4þ 5

6� 8

18

�4112

; 56

; �2; 536

�

105 � 422� 8

3þ 5

3367� 2þ 13

2134þ 1

2� 6

5

�� 89

33; � 11

21; 1

20

�

ESERCIZI SVOLTI

106 74� 2

5�

12� 2

5

¼ 7

4� 2

5� 1

2þ 2

5¼ 7

4� 2

4¼ 7� 2

4¼ 5

4

107 � 38þ

34� 2

3

��

56�

34þ 2

3

�¼ � 3

8þ 3

4� 2

3� 5

6þ

34þ 2

3

¼

¼ � 38þ 3

4� 2

3� 5

6þ 3

4þ 2

3¼ �9þ 18� 20þ 18

24¼ 7

24

108 35�� 1

2þ 2

��

45�

13þ 1

2

�¼ 3

5� �1þ 4

2��

45� 2þ 3

6

�¼ 3

5� 3

2�

45� 5

6

¼

¼ 35� 3

2� 24� 25

30¼ 3

5� 3

2þ 1

30¼ 18� 45þ 1

30¼ � 13

15

109 3�� 1

2þ 2

þ

14� 3

2

12��

1�

13� 2

9

� �14

; � 718

�

110

59� 1þ 2

3

��

16� 1

3

�

23þ 5

6� 2

9

�� 2

9

�139

�

111 �2þ�

25�

1� 12

þ� 3

4þ 1

2

��

15� 2

�� 11

20

�

112

34� 5

2

��

1� 16

��

23� 5

4

��1� 2

3þ 5

6

�� 7

3

�

113 35�

1� 23

��1þ 2

3

þ�

25� 1

5�

45� 2

10

��

1� 13

�� 7

15

�

114

158� 1

4

��

89þ�

54�

19� 1

2

�

1� 54

��

18� 1

�� 5

18

�

115 �

54� 3

2þ 1

þ��

2� 34

þ

12� 1

3

��þ

32� 4

3

� 7

3

� �13

�

116 ��

4þ��3�

2þ 1

2

��

12þ 1

3

�� 3

2þ 4

3

��þ�2þ 1

2

½1�

117 �3 2 �

23� 1

��5�

13þ 1

2� 1

��

5þ 56

�� 29

3

�

129

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


In ciascuno dei seguenti esercizi, individua il passaggio in cui e stato commesso un errore ecorreggilo.

118 54þ 6

7¼ 5þ 6

4þ 7¼ 11

11¼ 1

119 75� 2 ¼ 7� 2

5� 2¼ 5

3

120 � 34� 4

3¼ �3� 4

12¼ �7

12

121 2þ 13þ 1

6¼ 2þ 1þ 1

6¼ 4

6¼ 2

3

122 � 43þ

1� 14

¼ � 4

3þ 3

4¼ �4þ 3

12¼ � 1

12

123 5� 103��

12�

1� 52

�¼ � 5

3� 1

2þ 1� 5

2¼ �10� 3þ 1� 15

6¼ � 27

6¼ � 9

2

Moltiplicazione e divisione

VERO O FALSO?

124 a. Il prodotto di due frazioni puo essere un numero intero.

b. Il prodotto di due frazioni concordi e una frazione positiva.

c. Il reciproco di un numero razionale si ottiene cambiando il segno di numeratore e de-

nominatore.

d. Per dividere due frazioni si moltiplica la prima per il reciproco della seconda.

125 a. 13� 1

2¼ 1

5

b. 35

: 25¼ 3

5� 5

2

c. Il reciproco di 52

e � 25

d. 625

: � 23

� �¼ � 6

25� 3

2

126 a. 53� 3

5¼ �1

b. 78� � 8

7

� �¼ �1

c. 23� 2 ¼ 4

6

d. 611

: � 611

� �¼ �1


127 Il prodotto di due numeri razionali e uguale a 1 solo se

&a entrambi i fattori sono uguali a 1

&b almeno uno dei due fattori e uguale a 1

&c i due fattori sono reciproci

&d i due fattori sono uguali

128 Il quoto di due numeri razionali diversi da zero e uguale a 1 solo se

&a entrambi i numeri sono uguali a 1

&b almeno uno dei due numeri e uguale a 1

&c i due numeri sono reciproci

&d i due numeri sono uguali

129 34� � 5

7

� �¼ &a 3� 5

4 � 7 &b 3 � 7� 5 � 428

&c � 3 � 54 � 7 &d 3 � 5

4 � 7

130 57� �3ð Þ ¼ &a 2

7&b � 15

7&c � 15

21&d � 5

21

131 54� 8 ¼ &a 40

32&b 5

32&c 10 &d � 5

21

132 � 710� 0 ¼ &a � 7

10&b 7

10&c 0 &d � 7

10

�� 133 Il reciproco di 5

12e &a 12

5&b � 12

5&c � 5

12&d 5

12� 1

134 Il reciproco di �5 e &a þ5 &b 15

&c � 15

&d �ð�5Þ


I NUMERI

135 85

: 56¼ &a 8

5� � 5

6

� �&b 8

6&c 8

5� 6

5&d 8 � 6� 5 � 5

30

136 12

: 2 ¼ &a 1 &b 14

&c 2 &d �1

137 6 : � 13

� �¼ &a 3 &b �2 &c 2 &d �18

COMPLETARE...

138 35� 2

7¼ 3 � :::

5 � ::: ¼ :::� 7

12

� �� 5

2¼ � ::: � 5

::: � 2 ¼ :::29� � 4

3

� �¼ � ::: � 4

9 � ::: ¼ :::

139 � 34

� �� 9

10

� �¼ 3 � :::

::: � 10¼

:::29� 3 ¼ 2

93

� 31 ¼:::

� 104

� �� 8 ¼ � 10

4:::� 8 ::: ¼ :::

140 38� 5

6¼ 3:::

8� 5

6:::¼ ::: � 5

8 � ::: ¼ :::1225� 10

7¼ 12

25:::� 10 :::

7¼ 12 � :::

::: � 7 ¼ :::

141 � 2435

� �� 1

2¼ � 24

35� 1

2¼

:::� 9

4

� �� 8

3

� �¼ 9

4� 8

3¼ ::: � :::

::: � ::: ¼ :::

142 34� 1

5� 7

2¼ 3 � ::: � 7

::: � 5 � ::: ¼ :::23� 3

4� 4

5� 5

6¼ 2

3� 3

4� 4

5� 5

6¼

:::

143 � 43

� �� 4

5� �2ð Þ ¼ 4 � ::: � 2

::: � 5 ¼:::

ð�2Þ � 32� � 4

3

� �� 5

4

� �¼ �2 � 3

2� 4

3� 5

4¼ :::

144 8081� 36

25¼ 2 4 � 5

3 4� 2 2 � 3 2

5 2¼ 2 :::

3 ::: � 5 ¼ :::� 18

50

� �� 105

98¼ � 2 � 3 2

2 � 5 ::: �5 � 3 � 72 � 7 ::: ¼ :::

145 49

: 57¼ 4

9� 7

5¼

:::32

: 910¼ 3

2� 10

9¼

:::8

15: 4 ¼ 8

15� 1

4¼

:::

146 15 : 14¼ 15 � ::: ¼ ::: 27

40: �18ð Þ ¼ � 27

40� ::::::¼

:::� 24

5

� �: 36 ¼ � 24

5� ::::::¼

:::

147 �16ð Þ : � 43

� �¼ 16 � :::

:::¼ :::

:::¼ ::: �15ð Þ : � 1

10

� �¼ 15 � ::: ¼ :::

123537

¼ 1235� ::::::¼

:::

148

109

� 512

¼ 109�� ::::::

¼

:::�12

92

¼ �12 � ::::::¼

:::

� 815�12

¼ 815� ::::::¼

:::


ESERCIZI SVOLTI

149 73� 5

6¼ 7 � 5

3 � 6 ¼3518

� 38

� �� 5

4¼ � 3 � 5

8 � 4 ¼ �1532

3 � 821¼ 3 � 8

21¼ 24

21¼ 8

7

150 � 13

� �� 2

5

� �� 14

11

� �¼ � 1 � 2 � 14

3 � 5 � 11¼ � 28

1651855� 25

81¼

218

1155� 255

819

¼ 211� 5

9¼ 10

99

151 25144

�� 54

100

¼ � 52

24 � 32� 2 � 33

22 � 52¼ � 52

24 � 32� 2 � 33

22 � 52¼ � 3

24 � 2 ¼ �3

25¼ � 3

32

152 23�� 16

5

� 3

4� 5

2� 8

15� 5 12

7�� 3

5

�� 32

15; � 15

8; � 8

3; � 36

35

�

153 ð�2Þ �� 2

3

� 5

612� 4

3� 9

5167�� 49

12

� 4

5�� 1

2

� 1

3

�109

; 65

; � 283

; 215

�

154 � 67�� 21

2

�� 5

3

32�� 4

3

�� 3

5

36

125�� 25

9

��15; 6

5; � 4

5

�

155 1825�� 15

24

�� 5

3

� 3

4�� 1

9

�� 1

2

� 8

3� 4

3�� 27

16

�34

; � 124

; 6

�

131

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


ESERCIZI SVOLTI

156 1� 29� 5

Dobbiamo rispettare le priorita delle operazioni; eseguiamo la moltiplicazione prima della sottrazione:

1� 29� 5 ¼ 1� 2 � 5

9¼ 1� 10

9

Eseguiamo ora la sottrazione; riduciamo al minimo comune denominatore, ricordando che 1 ¼ 11

:

1� 109¼ 9

9� 10

9¼ 9� 10

9¼ � 1

9

157 203� 9

10þ 3

4� 5

6

� �� 24.

In questo caso, oltre a rispettare le priorita delle operazioni, occorre tenere conto delle parentesi:

2203� 9 3

10þ 3 � 3� 5 � 2

12� 24 ¼ 6þ

� 1

12

� 24 ¼ 6� 1

12� 242 ¼ 6� 2 ¼ 4

158 2þ 35� ð�2Þ �3� 2

3�� 9

4

� 3

2� 4

5þ� 1

3

� ð�9Þ

�45

; � 32

; 95

�

159 � 12�� 2

3þ 1

4

þ� 2

3

��3þ 1

4

23�� 15

4

þ

12� 2

�� 8

9

�4924

; � 76

�

160 � 311��1� 1

10

�� 5

18

�4� 2

3

�� 3

7

�� 1

2þ 1

4

�� 1

12; � 1

2

�

161 � 125� 25

4þ

32� 1

5

�� 20

13

1þ 1

3

þ 16

27�� 9

20

�� 5

2

½�17; 2�

162

�� 1

2þ 3�

25� 1

2

��

2�

1� 23

� 2� 1

3

�

1þ 12

��

2þ 34�� 20

9

� �133

; 136

�

163 �� 1

5þ 3

2þ� 13

5

�þ 1

2

�� 1

4þ 3 �

1� 3

4

�½0�

164

��

1þ 13

þ 10

3�þ 1

2

��

25� 1

2

þ� 1

10

�þ 4

3

�� 1

6

�

165 Scrivi i reciproci dei seguenti numeri:þ 1

2þ 1

3� 3

� 1

5þ 3

7

25� 3

4

� 4

5� 2

3

�� 6

13; 35

8; � 20

7; � 15

22

�


ESERCIZI SVOLTI

166 23

: 45¼ 2

3� 5

42

¼ 56

�5 :

� 20

7

¼ �5 1 �

� 7

204

¼ þ 7

4

167

� 12

55

: 32

11: 3 ¼ � 12

55� 11

32: 3 ¼ � 22 � 3

5 � 11� 11

25 3� 1

3¼ � 3

5 � 23� 1

3¼ � 1

40

168

� 3

4

:

� 1

2þ 1

3

� 1

6¼� 3

4

: �3þ 2

6� 1

6¼� 3

4

:

� 1

6

� 1

6¼ þ 3

4� 6 � 1

6¼ 3

4

169 43

:

� 2

9

� 15

7:

� 5

14

þ 2

5

:

� 4

5

� 3

4

:

� 4

5

��6; 6; � 1

2; 15

16

�

170 1 :

� 5

4

� 6

5

: 27

1034� 16

5:

� 2

5

4 : 2

3�� 1

8

�� 4

5; � 4

9; �6; � 3

4

�


I NUMERI

171 �11 :

� 11

2

:

� 3

4

125

:

� 3

10

:

� 1

9

� 6

35�� 28

9

:

� 2

15

�� 8

3; 72; �4

�

172

23þ 1

:

� 1

6þ 2

� 1

2� 1

3

:

�1þ 1

6

�1011

; 1

�

173 65

:

� 3

5þ 4

5

� 3

5þ 1

4

:

� 5

2þ 1

�6; 7

30

�

174

14� 1

2� 1

:

�2þ 3

4

� 8

5:

� 5

2þ 5

3

�1; 48

25

�

175

�3þ 1

2

��5þ 9

2

:

�12þ� 2

3� 1

6

� �� 15

4

�

176

� 49

3� 21

2þ 14

5

: ð�7Þ þ 2 �

� 5

7

: ð�5Þ

�781210

�

177

13þ 1

6

:

32� 1

:

2þ 1

3� 5

2

½�6�

178

�13� 2þ 5þ 3�4þ 11

þ �4þ 1�5þ 4

:

1� 3

2

½�4�

179

14� 3

2þ 1

6

:

13þ 3

4

37� 2

5þ 3

35

:

13� 1

7

��1; 3

5

�

180

58� 3

2

:

14� 5

2

þ� 4

3� 1

2

:

56� 1þ 5

3

�� 5

6

�

181

37� 1

:

5

14� 1

þ

518� 1

3

� 2

3

þ

15� 2

9

: 3

5

�89

�

182

�12� 2

5

:

25� 1

4

�

23� 3

5

:

2

15� 4

5

� 3

10

�: 7

15½1�

183

13� 2

:

� 1

6� 2

3

:

14� 5

6

þ

514� 7

2

:

14þ 5

2

�� 32

7

�

184

�25� 1

2

:

12� 2

5

þ

35þ 1

2

:

32� 2

5

�:

38� 1

½0�

185

�14� 1

12þ 5

3

:

16� 5

3

�

25� 1

3

:

4

15� 2

5

�:

� 13

6

�13

�

186

�34

:

34� 5

2

� 5

14:

32þ 1

�:

�� 2

5:

13� 1

5

þ 5

7

� �14

�

187

�139

:

� 13

5

þ 2

3

�:

�� 2

5þ�1þ 3

5

: 2 2

5

� �� 10

81

�

188

�23�

3� 16

�:

��2

1� 1

2

þ 3

�1� 1

2

� �1333

�

189

� 1

2� 1

3

�25�� 1

2þ 1

þ 2

5

�:

��

43� 4

þ 1

3

� �� 1

12

�

190

�12� 3

4

:

� 1

2

�:

�2�3 2

:

16� 1

3

�þ 5 : ½�ð�2Þ3� ½1�

Individua il passaggio in cui e stato commesso un errore e correggilo.

191 54� 3 ¼ 5 � 3

4 � 3 ¼1512

192 12� 55

¼ 12� 5 1

51

¼ 12� 11

¼ 11

193

34� 2

� 8 ¼

3

4� 2

� 8 2 ¼ ð3� 2Þ � 2 ¼ 1 � 2 ¼ 2

194 Il reciproco di

35þ 5

2

e 5

3þ 2

5¼ 31

15.

195 34

:

12� 1

3

¼ 3

4� ð2� 3Þ ¼ 3

4� ð�1Þ ¼ � 3

4

133

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI



ESERCIZIO SVOLTO

1965� 5

61

12� 1

18

n Dobbiamo ricordare che la linea di frazione rappresenta una divisione:

5� 56

112� 1

18

¼ 5� 56

� �: 1

12� 1

18

� �¼ 30� 5

6: 3� 2

36¼ 25

6: 1

36¼ 25

6� 366 ¼ 25 � 6 ¼ 150

n I calcoli si possono anche svolgere in questo modo:

5� 56

112� 1

18

¼30� 5

63� 2

36

¼2561

36

¼ 256� 366 ¼ 25 � 6 ¼ 150

197

34� 2

12� 1

3

1þ 12� 1

343� 1

6

þ 45þ 2

115� 1

20

� 165

�3� 15

�� 15

2; 1; 168; 1

�

198

15þ 1

383� 2

3

�8 :

� 4

5

103

1þ 34þ 1

235

: 45

12�� 2

3

� 13þ 1

4

�4

15; 3; 3; �14

�

199

12�� 2

3

� 13þ 3

2

�� 2

3�� 1

3

2

� 1

4

þ� 3

2

: ðþ9Þ

2þ 34� 1

2

35

:

1� 1

5

�12

; 3

�

200

�2þ 1

2

��

310�

1þ 12

þ

15� 1

3

�52�

8� 14

�

1� 45

12�

2þ 12

:

�1� 1

4

34� 1

2� 1

8

�� 1

2; 20

�

201

34� 1

1235þ 1

þ13þ 1

523� 6

5

þ56� 1

223� 1

2

0B@

1CA � 22

17� 2

þ 1

23

�� 3

22

�54

�

202

23� 4

537� 1

40

:

53� 7

4

3� 16

�

1þ 1312

þ� 1

3

: ð�8Þ � 1

17: ð�3Þ

264

375 ½l’espressione non ha significato�

2031� 1

3þ

234

23þ 2

34

� 12

:

1� 2

3

:

23� 3

:

1� 12

1þ 12� 2

34

�� 30

17

�


20410� 1

2

10� 23

¼10� 1

2

10� 23

¼� 1

2

� 23

¼� 1

2

:

� 2

3

¼� 1

2

�� 3

2

¼ 3

4

205 525� 1

3

¼ 5 :

25� 1

3

¼ 5 �

52� 3

¼ 5 � 5� 6

2¼ 5 �

� 1

2

¼ � 5

2


I NUMERI

Potenze dei numeri razionali


n Potenze con esponente naturale

� an ¼ a � a � ::: � a; in particolare 1n ¼ 1; 0n ¼ 0 (per n 6¼ 0)

n fattori

� a1 ¼ a; a0 ¼ 1 (per a 6¼ 0); 00 non ha significato

� Se il numeratore e il denominatore sono due numeri naturali m, n ðn 6¼ 0Þmn

q

¼ mq

nqðq numero naturaleÞ

� m

n

d

¼ � md

ndðd dispariÞ

� m

n

p

¼ þ mp

npðp pariÞ

n Proprieta delle potenze

� am � an ¼ amþn � am : an ¼ am�n � ðamÞn ¼ am�n

� am � bm ¼ ða � bÞm � am : bm ¼ ða : bÞm

n Potenze con esponente intero negativo

a�n ¼ 1an

pq

�n

¼

qp

n � p

q

�n

¼� q

p

n

a; p; q 6¼ 0

QUESITI

206 Come si calcola la potenza di una frazione?

207 La potenza di una frazione negativa e sempre negativa?

208 Qual e il valore di

19992000

0

? E di

� 1000

999

1

? E di

1414� 25

25

0

?

209 Enuncia le proprieta delle potenze.

210 Che cosa significa a�n? Per quali valori di a e di n ha significato?

211 Qual e il segno di

� 45

56

�15

? E di

� 99

100

�100

?

212 Qual e il valore di 1�1? E di ð�1Þ�1? E di 0�1?

Potenze con esponente naturale


213 La potenza di una frazione puo essere 0 se

&a l’esponente e 0 &b il denominatore e 0 &c il numeratore e 0 &d l’esponente e 1

214 La potenza di una frazione m

ne 1 se

&a l’esponente e 1 &b il denominatore e 1 &c il numeratore e 1 &d m ¼ n 6¼ 0

215 La potenza di un numero razionale e �1 se

&a la base e negativa &b la base e �1 &c la base e 1 &d la base e �1 e l’esponente e dispari

216 Quale delle seguenti espressioni e uguale a 1?

&a

56

0

&b 5 0

6&c

56

1

&d �

56

0

135

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


217 Quale delle seguenti espressioni e uguale a �1?

&a� 3

10

0

&b � 3 0

10&c �

� 3

10

0

&d �

310

1

218 La potenza di un numero razionale e negativa se

&a la base e negativa

&b la base e negativa e l’esponente e pari

&c la base e negativa e l’esponente e dispari

&d la base e positiva e l’esponente e pari

219

� 2

5

2

¼ &a þ 425

&b � 425

&c � 45

&d þ 410

&e � 410

220 � 2 2

5¼ &a þ 4

25&b � 4

25&c � 4

5&d þ 4

5&e � 4

10

221

� 3

2

3

¼ &a � 278

&b þ 278

&c þ 272

&d � 272

&e � 92

222

� 7

8

0

¼ &a � 78

&b þ 78

&c 0 &d 1 &e �1

223

þ 8

7

0

¼ &a þ 87

&b 1 &c �1 &d � 87

&e 0

224 7 0

5¼ &a 1 &b �1 &c 0 &d 7

5&e 1

5

COMPLETARE...

225

29

2

¼ 2 2

:::¼

:::

� 2

3

3

¼ � 2 :::

3 :::¼

:::

� 3

2

4

¼ þ 3 4

:::¼

:::

226

� 3

10

3

¼ ::: 3 3

10 3¼ ::: 27

1000

� 4

3

4

¼ ::: 4 4

3 4¼ ::: 256

81�

12

4

¼ ::: :::2 4¼

:::

227

::: ::::::

3

¼ � 278

� 1

3

:::¼ þ 1

81

:::::

3

¼ þ 278

228

� ::::::

4

¼ þ 1681

� 5

2

:::¼ 625

16

þ ::::::

4

¼ þ 1681

229

253356

0

¼ ::: �

53

:::¼ �1

� 101

1010

0

¼ :::� 3

5

:::¼ � 3

5

230

199201

1

¼:::

32

101

:::¼ 1

� 201

199

1

¼:::

� 17

9

:::¼ 1

Calcola il valore delle seguenti potenze.

231

23

4

;

� 4

3

3

;

� 5

2

2

;

� 1

2

5

; �þ 1

3

4 �1681

; � 6427

; :::

�

232

� 1

2

2

;

� 2

3

2

;

� 3

2

3

;

þ 1

2

4

; �� 1

2

3 �14

; 49

; :::

�

233

� 2

3

4

;

12

5

;

� 1

4

3

;

� 1

2

3

; �� 2

5

2 �1681

; 132

; :::

�

Calcola, applicando le proprieta delle potenze.

ESERCIZI SVOLTI

234

56

4

�

56

5

¼

56

4þ5

¼

56

9


I NUMERI

235

34

6

�� 3

4

7

Le potenze da moltiplicare non hanno la stessa base, ma l’esponente della prima e un numero pari;quindi e

34

6

¼� 3

4

6

Possiamo procedere in questo modo:34

6

�� 3

4

7

¼� 3

4

6

�� 3

4

7

¼� 3

4

6þ7

¼� 3

4

13

Il risultato puo indifferentemente essere espresso in una delle tre forme� 3

4

13

�

34

13

� 313

413

236 23�

23

2

;

� 2

3

�� 2

3

3

;

� 2

5

2

�� 2

5

;

13

10

�

13

58

27; 16

81; � 8

125;

13

15" #

237 � 13�� 1

3

2

�� 1

3

5

;

� 4

5

4

�� 4

5

2

�� 4

5

3 �1

3 8; � 4 9

5 9

�

238

� 3

7

2

�

37

3

;

� 1

2

3

�

12

2

;

� 2

3

3

�þ 2

3

4 37

5

; � 132

; �

23

7" #

239

� 4

3

2

�� 4

3

3

�

43

4

; �� 5

2

3

�

52

4

�� 5

2

�

43

9

; �

52

8" #

ESERCIZIO SVOLTO

240

1þ 1

2

5

�

32

7

¼

2þ 12

5

�

32

7

¼

32

5

�

32

7

¼

32

5þ7

¼

32

12

241

2� 1

2

3

�

32

2

;

� 6

5

4

�

1þ 15

3

;

� 1

4

3

�

1� 34

3 32

5

;

65

7

; �

14

6" #

242 �3 3 �� 5

3

�� 5

3

2

;

� 1

4

4

�

14

3

�� 1

4

5 �125; � 1

4 12

�

243

2� 3

5

2

�� 7

5

3

;

67

2

�

17� 1

5

; �

12þ 1

3

4

�� 5

6

3

� 7 5

5 5; �

67

7

;

56

7" #

ESERCIZIO SVOLTO

244

� 31

21

7

:

� 31

21

2

¼� 31

21

7�2

¼� 31

21

5

¼ �

3121

5

245

� 7

5

7

:

� 7

5

6

;

23

6

:

� 2

3

3

;

� 4

3

5

:

þ 4

3

3 �� 7

5; � 8

27; � 16

9

�

246

� 13

7

10

:

� 13

7

7

;

� 3

7

8

:

� 3

7

3

;

� 2

3

8

:

23

6 ��

137

3

; �

37

5

; 49

�

247

� 1

5

5

: 15

; �� 2

5

4

:

25

3

;

35

8

:

� 3

5

6

;

� 7

11

9

:

� 7

11

7 �� 1

5 4; � 2

5; 9

25; 49

121

�

ESERCIZIO SVOLTO

248

�� 3

20

7�5

¼� 3

20

7�5¼� 3

20

35

¼ �

320

35

¼ � 335

2035

137

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


249

�� 2

3

2�3

;

�� 1

2

2�3

; �� 2

3

2�3 23

6

; �

12

6

; �

23

6" #

250

�� 2

5

3�3

;

��

25

3�4

;

�� 2

3

3�3

�

25

9

;

25

12

;

23

9" #

251

�� 4

7

3�2

;

�� 4

7

3�2

;

�� 7

5

3�3 47

6

;

47

6

; �

75

9" #

252

�� 2

3

3�2�4

;

�� 2

3

3�3�3

;

�� 2

3

3�3�3 23

24

;

23

27

; �

23

27" #


253 �

49

9

¼

&a

� 2

3

4

�� 2

3

5

&b

� 2

3

3

�� 2

3

3

&c

� 4

9

4

�� 4

9

5

&d

� 4

9

3

�� 4

9

3

254

2516

36

¼

&a

� 25

16

31

�� 25

16

5

&b

2516

6

�

2516

6

&c

� 5

4

30

�� 5

4

6

&d

54

6

�

54

6

255

117

8

¼

&a

� 11

7

14

:

� 11

7

6

&b

þ 11

7

16

:

þ 11

7

2

&c ð�11Þ16 : 7 8 &d ð�11Þ16 : 7 2

256

�� 1

2

3�4

¼ &a� 1

2

7

&b 12 12

&c � 12 7

&d � 12 12

&e� 1

2

81

COMPLETARE...

257

158

10

�

158

:::¼

158

10

;

� 7

10

5

�� 7

10

:::¼� 7

10

9

;

� 20

21

3

�� 20

21

:::¼ � 209

219

258

� 5

16

5

�� 5

16

:::¼ þ 5 10

1610

� 15

11

:::�þ 15

11

4

¼� 15

11

:::�� 15

11

4

¼� 15

11

9

259

� 18

5

10

:

� 18

5

5

¼� 18

5

:::;

3524

12

:

3524

:::¼

3524

4

;

� 3

4

::::

� 3

4

8

¼� 3

4

5

260

2

15

::::

2

15

8

¼ 215

15

32

:

15

:::¼ 1

5

� 1

4

10

:

� 1

4

:::¼ � 1

4

261

� 1

2

::::

� 1

2

5

¼ þ 14

� 2

3

::::

� 2

3

3

¼ 2 8

3 8

� 3

4

6

:

::: 3

4

:::¼ � 3

4

262

�89

3�4

¼

89

:::;

� 2

3

::::

� 2

3

3

¼ �

23

5

;

�� 5

6

:::�3

¼

56

18

;

�� 43

41

7�:::¼ 1

263

49

5

¼�

23

2�5

¼

23

::: 278

7

¼�

::::::

3�7

¼::::::

::: �þ 9

10

:::�5

¼ 1

264

� 16

9

7

¼ �

169

7

¼ ��

43

:::�7

¼ �

43

:::

265

� 8

27

8

¼þ 8

27

8

¼�þ 2

3

:::�8

¼þ 2

3

:::


I NUMERI

Calcola.

ESERCIZI SVOLTI

266

� 2

3

8

�� 9

4

8

¼�� 2

3

�� 9

4

�8

¼þ 3

2

8

¼ 38

28

267

38

10

:

54

10

¼

38

: 54

10

¼

38� 4

5

10

¼

310

10

268

� 3

4

7

�

25

7

;

45

4

�� 5

2

4

�� 1

2

4

;

1021

5

:

� 5

3

5 �� 3

10

7

; 1; �

27

5�

269 �

34

5

�� 16

3

5

:

� 8

9

5

�þ 4

27

5

;

� 36

25

7

:

� 9

5

7 ��

23

5

¼ � 32243

;

45

7�

270

� 8

5

4

�� 5

2

4

:

2

25

4

�� 2

5

2�2

: ½ð�20Þ2�2 ½1�

COMPLETARE...

271

� 1

2

9

�� 5

3

9

¼::: 5:::

9 � 3

4

5

�

45

5

¼::: ::::::

5 :::

6

�

815

6

¼ 1

272

� 5

3

11

�:::

11

¼� 10

9

11 � 7

6

9

�:::

9

¼þ 35

18

9

273

:::

5

�

34

5

¼

35

5 :::::

9

�� 20

21

9

¼þ 2

3

9 � 27

40

3

�:::::

3

¼ 3 3

274

� 1

2

9

:

� 5

3

9

¼::: 3:::

9 � 4

3

8

:

45

8

¼:::::

8 2536

15

:

:::::

15

¼ �1

275

� 4

3

11

:

:::

11

¼� 8

9

11 :::

21

:

� 1

2

21

¼þ 12

5

21 � 19

26

33

:

:::::

33

¼ 1

Applicando le proprieta delle potenze, calcola il valore delle seguenti espressioni.

276

�� 2

3�� 2

3

2

�� 2

3

3�2

:

�� 2

3

4�2 �1681

�

277

� 1

2

3

�� 1

2

5

:

þ 1

2

2 � 1

2

3

�� 1

2

4

:

þ 1

2

5 �1

64; � 1

4

�

278

�23�� 2

3

2�2

:

þ 2

3

3 �� 1

10

2

�� 1

10

3

:

� 1

10

�2 �8

27; 1

108

�

279

�� 1

3

2�2

�� 1

3

3

:

�� 1

3

2�3 �� 1

2

2�2�2 �� 1

3; 1

2 8

�

280

�� 3

4

2�6

:

� 3

4

3�2

:

�� 3

4

2�3

�� 3

4

4 �3 16

4 16

�

281

� 2

5

3

�� 2

5

4

�� 2

5

2�2:

� 2

5

2

�� 2

5

� 4

3

2

�� 9

16

2

� ð�16Þ2�

425

; 144

�

282

� 4

25

3

:

þ 2

5

3

�� 25

8

3

ð�2Þ5 :

þ 8

3

5 � 4

3

3

:

� 2

9

3 �54

3

; � 3 5

4 5; 6 3

�

283

� 27

4

4

:

�� 4

9

4

�þ 81

16

4� 23

6

:

� 4

9

3

½3 4; �1�

139

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


284

� 2

3

5

�þ 27

4

5

:

þ 6

5

5

�� 2

5

5 �3 5

2 5

�


285

12þ 1

3

2

¼ 14þ 1

9¼ 9þ 4

36¼ 13

36

34

3

�

34

5

¼

34

3�5¼

34

15

286

1� 1

2

2

þ� 1

3

2

¼ 1þ 14þ 1

9¼ 36þ 9þ 4

36¼ 49

36

287

� 3

4

2

�� 3

4

4

:

� 1

4

2

�� 1

4

3

¼� 3

4

6

:

� 1

4

5

¼ 3 6

4 6� ð�4 5Þ


288

�� 1

2

2�3�2

¼ &a

� 1

2

7

&b

12

12

&c 12 7

&d � 12 12

289

�2þ 1

2

2

¼ &a 4þ 14

&b �þ 3

2

2

&c 94

&d � 94

290

�� 2

3

16

:

� 2

3

9

�� 2

3

5�2

¼ &a 2 24

3 24&b

� 2

3

4

&c � 1681

&d �

23

24


ESERCIZIO SVOLTO

291

�5

12�

12

2�2

�

65

2

¼

512� 1

4

2

� 3625¼

5� 312

2

� 3625¼

212

2

� 3625¼

¼

16

2

� 3625¼ 1

36� 36

25¼ 1

25

292

�114�� 3

2

2�2

� 45

1� 1

3

2

:

2þ 1

3

2

�� 1

5

2

� 2

� �15

; � 425

�

293

�� 3

2�� 1

3

2�2

:

�� 1

6

2

�

1þ 15

2� �2536

�

294

�1� 1

2

2

:

2� 1

2

2

� 29

�2

:

� 1

3

3

�

32

2 �� 3

4

�

295

�� 1

2

2�3

:

�1þ 1

2

�

1� 12

�2

þ 2 �� 1

3

2 �14

�

296

�� 1

2

2�3

:

1þ 1

2

2

þ� 1

3

2

þ� 1

2

3 �� 1

48

�

297

�1

2 3

1� 1

3

2

� 13 2

�� ð�3 2Þ þ

�� 2

3�

1� 13

3�:

� 2

3

4 �� 1

2

�

298

�� 1

3 2:

� 1

3

3

� 2

�4

:

2� 1

3

2�:

� 1

5

2

½9�

299

��2 3 : ð�2Þ2 þ

� 1

3

3

:

� 1

3

2

� 12 2

:

� 1

2

3�:

� 1

3

3

½9�

300

�� 2

5

7

� 25�� 2

5

4�3

:

�� 2

5

4�5

:

�� 2

5

3

�� 2

5

2�3 �� 2

5

�

301

��2 2 :

1þ 1

4

2�2

:

� 4

5

4

��5 :

1þ 2

3

�3

�

13

3

½17�


I NUMERI

302

��

1� 23

213� 1

2

:

� 1

3

3

� 19

�: 11

5�� 2

3

2 �19

�

303

�23��

12þ 1

2 2� ð�2Þ �

�1� 1

2

�2

þ 38

�:

� 5

2

3 �1

30

�

304

�1þ 1

2

4

�

2� 12

4�2

:

�� 3

2

5�3

� 1

2

2

�þ 4

3

2

�� 3

4

3

�� 1

3þ� 2

3

3

:

� 2

3

2�8

: 38

�2

�3� 4

3:

2� 2

3

�6

�8; 1

9

�

305

�1�

� 1

2

2�3

:

� 3

4

2

�2�

23� 1

4

:

13

3�5

:

� 5

3

4� 1

5

�14

�

Potenze con esponente intero negativo


306 5�1 ¼ &a �5 &b 15

&c � 15

&d 4

307

� 2

3

�3

¼ &a� 3

2

3

&b � 23� 3 &c

þ 2

3

3

&d� 2

3

� ð�3Þ

308

13

�1

¼ &a 13� 1 &b � 1

3&c �3 &d 3

309

� 5

9

�2

¼ &a

59

2

&b 1018

&c 8125

&d � 8125

310

� 4

5

�1

¼ &a 45

&b 54

&c � 54

&d � 45

311 13�2

¼ &a

13

2

&b � 19

&c 3�2 &d 9

COMPLETARE...

312

29

�2

¼::::::

2

5�3 ¼::::::

3 53

�6

¼

35

::: 1

38

�5

¼ 38 :::

313

8

11

:::¼

118

2

2 ::: ¼ 18

::::::

�4

¼

310

4 ::::::

�7

¼ 15 7

314 4�8 ¼ 14 :::

15

2

¼ 5 :::

14

�2

¼ 4 :::

35

:::¼� 5

3

41

a�n¼ a :::

315a �2 þ6 �4 � 1

234

� 12

b �3 �1 �2 0 �1 �4

ab

141

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


316a �2 1

22 � 5

3� 1

3

b �1 �3 �5

ab 8 �27 925

81

ð�aÞ�b

317 ba

0 �1 �2 �3

�1 ab ¼ ::: ab ¼ ::: ab ¼ ::: ab ¼ :::

1 ab ¼ ::: ab ¼ ::: ab ¼ ::: ab ¼ :::

13

ab ¼ ::: ab ¼ ::: ab ¼ ::: ab ¼ :::

Calcola le seguenti potenze con esponente negativo.

318 ð�2Þ�3; ðþ4Þ�1; ð�3Þ�2; ð�5Þ�3; 5�2

�� 1

8; 1

4; 1

9; � 1

125; 1

25

�

319 ðþ1Þ�4; ð�1Þ�5; 4�3; ð�4Þ�3

�1; �1; 1

64; � 1

64

�

320 ð�2Þ�2; ðþ2Þ�2; ð�2Þ�5; ðþ2Þ�5

�14

; 14

; � 132

; 132

�

321 ð�5Þ�1; ð�3Þ�3; ðþ3Þ�3; ð�1Þ�6

�� 1

5; � 1

27; 1

27; 1

�

322

� 2

3

�1

;

� 3

2

�2

;

35

�1

;

� 5

3

�2 �� 3

2; þ 4

9; 5

3; 9

25

�

323

� 1

2

�3

;

� 1

3

�2

;

� 3

4

�2

;

þ 1

3

�2

;

23

�4 ��8; 9; 16

9; 9; 81

16

�

324 3�4;

� 3

5

�2

;

� 3

5

�3

;

52

�2 �1

81; 25

9; � 125

27; 4

25

�

325

� 5

2

�2

;

� 2

5

�3

;

� 1

5

�2

;

15

�2 �4

25; � 125

8; 25; 25

�

Scrivi le seguenti espressioni sotto forma di potenze di un numero intero.

ESERCIZIO SVOLTO

326 14¼ 1

22¼ 2�2

� 1

8

�3

¼ ð�8Þ3

327 13

;

þ 1

2

3

;

� 1

5

4

; 17 3

½3�1; 2�3; ð�5Þ�4 ¼ 5�4; 7�3�

328 � 1

ð�3Þ2; 1

9; 1�3�2

; 110 4

½�3�2; 3�2; �3 2; 10�4�


I NUMERI

Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprieta delle potenze.

ESERCIZI SVOLTI

329 7�3 � 7�5 ¼ 7�3þð�5Þ ¼ 7�8 ¼ 178

� 2

3

�2

�� 2

3

4

¼� 2

3

�2þ4

¼� 2

3

2

¼ 49

330

13

5

� 3�7 ¼

13

5

�

13

7

¼

13

5þ7

¼

13

12

¼ 1312

oppure13

5

� 3�7 ¼ 135� 3�7 ¼ 3�5 � 3�7 ¼ 3�5�7 ¼ 3�12 ¼ 1

312

331 415 : 4�10 ¼ 415�ð�10Þ ¼ 415þ10 ¼ 425 oppure 415 : 4�10 ¼ 415 � 410 ¼ 415þ10 ¼ 425

332 ð2�5Þ�6 ¼ 2�5�ð�6Þ ¼ 230

�23

�3�4

¼

23

�3�4¼

23

�12

¼

32

12

333

15

�7

�

15

�4

�

15

3

¼

15

�7þð�4Þþ3

¼

15

�8

¼ 58

334

� 2

3

10

:

� 2

3

�5

:

� 2

3

�4

�� 2

3

7

¼� 2

3

10�ð�5Þ�ð�4Þþ7

¼� 2

3

10þ5þ4þ7

¼

¼� 2

3

26

¼

23

26

335

� 2

3

2

�� 2

3

�2

�� 2

3

�3 � 1

2

�3

:

� 1

2

�2 �� 27

8; �2

�

336

� 1

5

3

�� 1

5

�3

�� 1

5

�4 � 2

3

2

:

� 2

3

�3

�� 2

3

�5

½5 4; 1�

337

�� 3

4

�2

:

� 3

4

3

�� 3

4

4��1 ��

15

2��3��1 �� 2

3

�2�2 �� 3

4; 1

5 6; 81

16

�

338

�� 1

2

�2

� ð�2Þ�3

�4

:

�14

�4

:

� 1

4

�3�2

f½ð�1Þ�2��3gþ2

�1

2 8; 1

�

339 ½ð�3Þ�1�2�þ 1

2

�2��2 �þ 3

2

�3��1 �� 1

3

�2��1 �19

; 116

; 278

; 19

�

340

�� 1

5

�1��2��3

f½ð�2Þ�2��1g�2 ½ð�2Þ2��3 f½ð�3Þ�1�2g�2

�5 6; 1

16; 1

64; 81

�

341 f�½�ð�2Þ�1��2g�2

�� 1

10

2��3�3 �� 1

10

�2��1��2 �1

16; �1018; 10 4

�

342 2�3 �� 1

2

4

: ð�2Þ�5

15

�1

� 2�3 � 5 4 :

� 5

2

3 �� 1

4; �25

�

343

�� 3

2

�1��3

:

� 2

3

�4 � 2

3

4

:

� 3

2

�3

þ 14

:

� 1

2

2

� ð�3Þ�2

�� 2

3; � 5

9

�

344 ��

5�1 �� 1

2

�1�� 2

5

�2��3

�� 2

5

�4��1

;

� 3

4

�2

: ð1�1þ 2�2Þ :

� 5

2

�3 �2 11

5 11; � 200

9

�

345

23

4

:

23

�7

:

32

�5

� 3 6

�15

�8��2

: 5�4 �

15

�4

: 5 12

�64; 1

5 20

�

143

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


Individua l’errore e correggilo.

346

� 2

3

�2

�þ 2

3

3

¼ � 23

2�2 þ 2�3 ¼ 2�5 5 3 � 5 2

ð5� 3Þ2¼ 5

43�2 � 3�5 ¼ 3 10

347

� 1

3

�2

� ð�3Þ3 ¼þ 1

3

5 � 1

3

�2

� ð�3Þ3 ¼ �3�5

� 1

2

�2

� 2 5 ¼ 2�2 � 2 5 ¼ 2 3

COMPLETARE...

348 8 ::: : 8 10 ¼ 8�3 7 ::: � 7 5 ¼ 7�2

349 ð5 :::Þ�3 ¼

15

6 �19

�2�3

¼ 3 :::

350

�� 2

7

:::�6

¼

72

12 �� 3

4

3�:::¼ �

43

15

351 3 2 � 5 � 7 3

3 � 5 3 � 7 5¼ 3 ::: � 5 ::: � 7 ::: 103 � 5 2 � 6:::

104 � 5 3 � 6 3¼ 10 ::: � 5 ::: � 6�1

352 4�3 � 5 ::: � 7�4

4 2 � 5�4 � 7 ::: ¼ 4 ::: � 5 5 � 7�1 ð2 � 3 � 5 2Þ�2

3�2 � 5 3¼ 2 ::: � 5 :::

353

� 2

3

�2

�

32

:::¼

23

5 � 7

4

::::

::: 4

7

�5

¼ 1649

354

��3 �

� 1

3

�3�:::¼ 3 12

�::: 2

5

�� 5

2

2�3

¼ �

25

:::

Applicando le opportune proprieta delle potenze, calcola il valore delle seguenti espressioni.

ESERCIZI SVOLTI

355ð85 � 23Þ4 : 44

85 � 16�2¼ ½ð2

3Þ5 � 23�4 : ð22Þ4

ð23Þ5 � ð24Þ�2¼ ð2

15þ3Þ4 : 28

215 � 2�8¼ 218�4 : 28

27¼ 272�8�7 ¼ 257

356ð34 : 27�3Þ3 : 2433

ð27 : 3�4Þ2¼ ½3

4 : ð33Þ�3�3 : ð35Þ3

ð33 : 3�4Þ2¼ ð3

4 : 3�9Þ3 : 315

ð33þ4Þ2¼ 313�3 : 315

314¼ 339�15

314¼

¼ 324�14 ¼ 310

357ð4 3 � 2 5Þ3 � 4�5

2�3 : 2�4

272 : ð�3Þ5 � 9�3

81�4 � ð�3Þ2½2 22; �3 9�

358

�ð5�3Þ2 � ð�25Þ�2 :

15

�3��

1� 45

�2�5 �1

125

�

359

12

2

�

18

3

:

14

2

14

5

:

12

3

23

3

:

23

�4

�

49

3

94

4

�1;

23

21�

360

�13

5

�

19

7�3

:

1

27

3

3 4 : 3 7

�49

:

� 2

3

�4

:

� 3

2

�3

ð�2Þ2 � ð�3Þ�2

�13

45

; � 32

�

361

�15

�2��3

: 125

� 125

�2

:

15

�1

�35

�3��2

:

35

�8

�35

�1

�

35

�14�2�

12527

�10 �1

5 7;

35

74�


I NUMERI

362

�4 2 �� 1

4

�3

: ð�4Þ5 þ

1� 32

2

�

2� 25

�

34

�8

�� 4

3

6

:

� 3

4

�11�� 3

4

�2780

�

363 2�3 : 2�8

8�1 : 32�3� 2 7 þ

13

5

� 9 4

� 1

27

�4

: 3�11

: 3�20

26664

37775

5

½32�

ESERCIZIO SVOLTO

364 64 � 12�51

18

3

Possiamo scrivere l’espressione data nella forma

64 � 12�5 :

1

18

3

¼ 64 � 12�5 � 183

Ora conviene scomporre in fattori primi le basi delle potenze e applicare le varie proprieta delle po-tenze. L’espressione considerata diventa cosı

ð2 � 3Þ4 � ð22 � 3Þ�5 � ð2 � 32Þ3 ¼ 24 �34 � 2�10 �3�5 � 23 �36 ¼ 24þð�10Þþ3 � 34þð�5Þþ6 ¼ 2�3 � 35

Il risultato dell’espressione data puo essere scritto anche

35

23oppure 243

8

365 126 � 243 � 18�4 183 � 12�1

24�46 4 : 12�5 � 183 ½2 17 � 3; 2 13 � 3 9; 2 17 � 3 15�

366 123 � 18�2 : 24�1 6�3 � ð�36Þ�3 :

�6þ

� 1

18

�1��3

� 27

�128; 1

216

�

367

14420 : 18�11 :

� 1

12

�4

365

�75 : ð�5Þ�3 � 27�21

25

�4

�2 73 � 3 48; 1

3 5 � 5 3

�

368

�� 2

3

�7

�� 3

2

�4

:

32

�2�� 2 4

3 5

�3 2 � 181

: 6�2 þ 2 3 : 2 5 : 2�3; 123 : 18�2

6�4�

24 6 � 3 5

2 3

2 3

0@

1A

0 �14

; non ha significato

�

ESERCIZI DI RIEPILOGO SULLE OPERAZIONI CON I NUMERI RAZIONALI

369 Indica e poi calcola il quoziente tra il reciproco di �15 e l’opposto della somma tra � 13

e 15

.

�� 1

2

�

370 Indica e calcola la somma tra il quadrato dell’opposto di 23

e il reciproco della differenza tra 2 e 14

.

6463

� �

371 Traduci in un’espressione le seguenti operazioni: dividere l’opposto della somma tra il quadrato di � 14

e il cubo di 12

per il reciproco della differenza tra

�1þ 1

3

2

e il cubo di

1þ 1

3

. Calcola poi il va-

lore dell’espressione ottenuta.

�1336

�

145

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


372 Verifica se l’uguaglianza

2þ 1

4

�1

¼ 12þ 4 e vera o falsa e giustifica la risposta. ½falsa�

373 Moltiplica il reciproco del quadrato della somma di 10 con il cubo di �3 per la somma del quadrato di �7

con il prodotto di 15 per la quarta potenza di �2. Calcola il valore dell’espressione che traduce le ope-

razioni indicate. ½1�

374 Il quadrato della differenza fra þ3 e þ2 deve essere sottratto dal cubo del reciproco di �3; il risultato

deve essere diviso per l’opposto del quadrato di

1� 1

3

. Calcola il valore dell’espressione che traduce

le operazioni indicate.

�73

�

375 Aggiungi al quadrato della differenza tra �3 e �5 la differenza tra il quadrato di �3 e il quadrato di �5;

moltiplica il reciproco del risultato per l’opposto del cubo di

�1� 1

2

. Calcola il valore dell’espressio-

ne ottenuta.

�� 9

32

�

376 Il reciproco del cubo dell’opposto di

�1� 1

2

deve essere sottratto dall’opposto del cubo di

þ3� 13

; il risultato deve essere diviso per il prodotto di þ13 per il quadrato di

� 2

3

. Calcola

il valore dell’espressione che traduce le operazioni indicate.

�� 10

3

�

377 La somma di 35

con l’opposto di 34

deve essere sottratta dal cubo di 23

; il risultato deve essere molti-

plicato per il quadrato di � 32

. Che numero si ottiene?

�241240

�

378 La differenza tra il reciproco di 45

e il quadrato di � 12

deve essere sottratta dal reciproco del quadrato

della differenza tra 2 e 13

. Scrivi l’espressione che traduce le operazioni indicate e calcolane il valore.�� 16

25

�

379 La somma del quadrato di 34

con il cubo di � 12

deve essere sottratta dal prodotto di 56

per l’opposto di

920

; il risultato deve essere diviso per la differenza tra il quadrato di 5 e il reciproco di 237

. Scrivi l’e-

spressione che traduce le operazioni indicate e calcolane il valore.

�� 1

8

�

380 Scrivi l’espressione che traduce le seguenti operazioni e calcolane il valore: la somma di 35

con l’opposto

di 27

viene elevata a ð�2Þ e il risultato viene diviso per il triplo della differenza tra il cubo di

� 1

3

e il

quadrato del reciproco di

� 3

4

.

�� 225

121

�


381

�32

�1

� 2 2

�2

: 259þ

2þ 15

�

1þ 110

�1

½6�

382

�� 3

4

2�3

�

14� 1

5

:

�� 3

4

5�2

� ð�2Þ�3

�� 5

8

�

383 ½2 5 : ð2�3 � 2 6Þ��2 �� 1

3

�1�2

�� 4

3

�2

½0�


I NUMERI

384

��1� 1

3

2

��1þ 1

3

�2

�

1þ 14

:

1� 1

4

�2

:

�35

�1

� 2 2

�2

½1�

385 ð�2Þ�2 þ

12� 4

3� 1

6

2

:

�12�� 2

3

2

þ 12� 3�2

�2 �54

�

386

�25

: 12�� 5

2

2

þ 1

�� 1

2� 2

3

��2� 1

3

�2 �� 9

7

�

387 15

:

�12�� 2

5

2�� 1

2þ�2� 1

2

�1� �175

�

388

�35þ� 2

3

1� 2

5

�:

�15� 1

10

� 2

3

:

� 1

3

2� �14

�

389

16� 2

3þ 1

4

:

�13� 5

6�� 1

2

2��

1� 13

2

:

1þ 1

3

2 �1

12

�

390

�1� 1

2

3

�� 1

3 2þ�� 1

6

:

� 7

6

þ 6

7:

12� 1

� 3

7

�� 2�1

� �154

�

391 �2�2

��65� 3

4

45þ 1

5

� 1

3:

76� 3

4

�:

35þ 1

3

þ ð�2Þ�3

�� 4

3

�2 �� 7

16

�

392

�� 1

3

�3�4

�� 1

3

�4��2

þ ð�3Þ2�

: ½�5 � ð�3Þ2� þ ½ð�2Þ3��1

�� 17

8

�

393

�� 1

3

6

�

13

2

:

� 1

3

7�3

:

� 1

3

2

�� 1

2

� 2�3

�� 1

3

0

�� 3

7

�1

½0�

394 �4 �� 2

3

�2

��

15� 1

6

:

7

30� 5

12

�

53� 3

2

:

� 3

2

�:

1þ 4

7

�1

½1�

395 34

:

�1þ 5

3� 6�

73� 3 : 9

2

þ�� 1þ

2� 1

2

�� 1

3�

1� 13

��

1136

�

396

��65� 5

6

:

76� 4

5

�

1þ 13

�2

:

1þ 1

2

2�:

14� 3

2

��1 �� 5

3

�

397

� 3

4þ 1

5

�� 3

11� 1

2

:

� 1

4� 3

10� 2

:

�� 1

2

�6�4

� 12 25

�� 1

2 24

�

398 �3 2 þ 13 � 2�3

:

�� 4

3

2�� 2 �

1þ 1

3

�1

½�12�

399

72�� 1

14

�

2� 35

� 28

3

� 25� 2þ ð�2Þ �

� 1

6

� ð�2Þ3 �� 3

31

½2�

400

� 43þ 1

3:

� 1

2

3

�2þ 13

�� 3

2þ 2�3 �

1þ 1

3

� 7

12

2

�� 5

7

þ 10835

½0�

401� 1

2� 3

4

�3þ 34

þ� 1

2� 3

5

�3þ� 1

2

2

26664

37775� 3

2

2

� 4320

½0�

147

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


402

� 4

3

�2

�

3þ 12�2

�� 1

2

2

þ 5� 23

þ 12��2� 1

3

�1 �34

�

403

�

2� 12

�3

��

23

1� 1

4

1þ 1

5

��1

��2 3

�1�

� 1

2

2

�

1þ 12

2�� 9

��3½�53�

404

½ð�2Þ2 � ð�2Þ�1� ��2�

� 5

2

�1�3

ð�2Þ2� ð�2Þ�2 � ð�2Þ3

� ð�5Þ�1 ½5�

405

1þ 2

3

� ½3þ ð�2Þ�2� :

3� 2

5

� 5

2

2" #�3

:

� 2

5

2

�� 2

5

3" # �

� 2

5

3 �13

�

406

5

2�1 þ 3�1� 1

3�1 � 4�1

�

12�1 � 3�1

� 73�1 þ 4�1

�

56� 1

2

½1�

407

2�4 �

15� 1

2

�2

�

13þ 1

2

�2

ð3�2 � 3�1Þ2�

814

�

408

�� 4

3

�1

�� 4

3

2

þ 79

�:

�ð�3Þ�1 : ð�3Þ�2 þ 1

2

�� 3�2

½ð�3 4Þ : ð�3 2Þ��1½1�

409 1� 1

3 � ð�2Þ�2

� ��ð�3Þ2 :

� 3

5

ð�5Þ2 :

� 5

3

�� 1

3

�

410

ð2�3 � 2�2Þ � ð�2Þ3 þ�

5�2 �

13

2�:

� 4

15

2

�5 2 �

1þ 23

�2½0�

411

� 1

3� 1

�

13þ 1

�� 3

2

�2

�� 1

3

�1

�� 2

3

2

� 2�2 �� 1

3

�3

�� 4

27

�

412 11� 2

3

2� 2

þ �2

�� 5

2

�2

� 1

:

7þ 1

4

�1 �332

�

413ð�3Þ4 : ð�3Þ3 þ 2�1 : 2

ð�3Þ9 : ð�3Þ8 þ 2�1þ �3 3 : ð�3Þ2 þ 3 : 3�1 þ 1

½�ð�2Þ�2 : ð�2Þ3��1�

327

�1 �1110

�


I NUMERI

414

�4

� 2

3

�2

��

15� 1

6

:

7

30� 5

12

�

53� 3

2

:

� 3

2

�

35� 1

3

�

14� 1

��2 2

3� 1

2

þ 2

3þ 1

2

� �5

22

�

415

��

1� 23

2

�

13� 1

2

:

� 1

3

3

� 19

�: 11

5�� 2

3

2

25�� 2

5

7

� 25�� 2

5

4�3

:

�� 2

5

4�5

:

�� 2

5

3

�� 2

5

2�3½non ha significato�

416

��2 3 : ð�2Þ2 þ

� 1

3

3

:

� 1

3

2

� 122

:

� 1

2

3�:

� 1

3

3

�� 1

3 2:

� 1

3

3

� 2

�4

:

2� 1

3

2�:

� 1

5

2½1�

417

17� 1

5

��3 4 :

� 3

2

2

þ�

1� 13

3

: ð�2 3Þ�ð�3 3Þ

��

12 3

�1� 1

3

2

� 13 2

�ð�3 2Þ

½�2�

418

�� 1

3þ� 2

3

3

:

� 2

3

2�8

: 38

�2

�3� 4

3:

2� 2

3

�6� ð�3Þ2 þ

1� 12

1þ 12

:

�1� 1

2

�1 �12

�

419

�� 2

3

2

:

� 2

3

�4

:

� 2

3

3

þ

12

2

:

12� 1

2

�1�

� 1

2

2�3

:

� 3

4

2

:

��2�

23� 1

4

:

13

3�5

:

� 5

3

4� :

� 2

3

2 �53

�

420

�� 5

8

�4þ 1

2

ð�7Þ�2 þ ð�2Þ�4 þ 3

4ðþ7Þ�1

��6� 2

3

4�1 �

12� 1

3

: ð�5Þ�1 :

�� 3

2

2

þ ð�2Þ�3

�:

2þ 3

7

�1½6�

421

� 12 2

2� 1

2

:

1þ 1

2

2

þ�

3� 12

1þ 1

5

� 2�1 : 3�2

�

�2

�1þ 1

4

:

2� 3

4

�� 1

2

2

:

� 1

3

2�þ

15� 1

�1

�� 4

3

�

422

�1� 1

3ð�2Þ�2

��ð�3Þ2 :

� 3

5

ð�5Þ2 :

� 5

3

þ 13 � 2�3

:

�� 4

3

2� �� 11

6

�

423

ð2�3 � 2�2Þð�2Þ3 þ�

5�2 �� 1

3

2�:

� 4

15

2

� 1

3� 1

13þ 1

�� 3

2

�2� 1

3

�1

þ 49

½non ha significato�

424

�� 5

8��4þ 1

2

� ð�7Þ�2 þ ð�2Þ�4 þ 3

4� 7�1

��6� 2

3

4�1 �

12� 1

3

: ð�5Þ�1 :

�� 3

2

2

þ ð�2Þ�3

� � 1097

8>>><>>>:

9>>>=>>>;

19

½�1�

149

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


425ð�12Þ4 : ð�36Þ8

29

�3

� 183

122

;

�2 8 :

� 1

3

�7

ð12�5 : 8�4Þ�3 : ð�36Þ�4

�1

2 4 � 3 22; 2 6

3 30

�

426ð4�3 : 16�2Þ�8�

132

3�2

:

�12

�2��4:

�1

27

2�3

:

�13

�2��4

ð9�4 : 27�2Þ�6½2 6 � 3 22�

427

�1812 � 128 : 249

3 23� ð27�4 : 9 4Þ�2 : 81�3

3 51

�251

;

� 1

2

6

:

� 1

2

�12

� 2 45

3 31274

3

:

8

81

�12

:

29

4� 3

26664

37775

157

½�1; �1�

428 Calcola il valore dell’espressione A ¼ 1812 � 128 : 249

4 � 3 36e, successivamente, quello dell’espressione

B ¼ Aþ 12 � 3 13

. ½A ¼ 2�1 � 3�13; B ¼ 3�13�

Spiega perche le seguenti espressioni non hanno significato.

429

2�1 þ 32 2

1� 1

3

� 2�2 :

1� 1

4

ð�3Þ�3ð�3Þ2 : ð�3Þ�1 � 22 2 þ 1

ð2þ 2�1Þ

�5 2 � �2 3 � 2�2

3� ð�2Þ3 : ð�2Þ2

ð3 2 þ 1Þ2 � 10�1 � ð2 2 þ 1Þ � 2�3 � ð�2Þ4

430½�2 2 � ð�2Þ2ð�2Þ�3 : ð1� 2�2Þ��1 � 3 : ½ð�2Þ�1ð2 2 þ 1Þ�1��1

ð�3 3Þ�2 : ð�3Þ�5 þ 3�1

Frazioni e numeri decimali


n Frazione decimale: e una frazione che ha per denominatore una potenza di 10.

n Numero decimale 123;4567

n Per trasformare una frazione in numero decimale si divide il numeratore per il denominatore.

n Per trasformare un numero decimale finito in frazione si scrivono al numeratore le cifre del nu-mero, senza la virgola, e al denominatore si scrive 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre che se-guono la virgola.

n Per trasformare un numero decimale periodico in frazione si procede cosı.

� Si esegue la sottrazione tra il numero intero formato dalle cifre del numero dato, scritto senza vir-gola, e il numero intero formato dalle cifre che precedono il periodo; quindi si scrive al numeratorela differenza ottenuta.

� Si scrive al denominatore un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguito datanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.

n Notazione esponenziale

Un numero e espresso in forma esponenziale quando e scritto come prodotto di un numero decimalefinito (parte significativa) per una potenza di 10.

n Notazione scientifica

La notazione scientifica e un caso particolare di notazione esponenziale, in cui il valore assoluto dellaparte significativa e maggiore o uguale a 1 e minore di 10.


I NUMERI

QUESITI

431 Indica la parte intera e la parte frazionaria del numero 15,74.

432 Come si trasforma una frazione in numero decimale? Quando si puo dire che il numero ottenuto e de-

cimale finito?

433 Che cos’e un numero decimale periodico?

434 Che cosa s’intende per periodo e per antiperiodo di un numero periodico?

435 Quando un numero periodico e detto periodico semplice? Quando periodico misto?

436 Quali tipi di numero decimale sono generati dalle frazioni 12

, 13

, 111

, 115

?

437 Spiega perche il numero 12;34 � 10�25 non e espresso in notazione scientifica.

VERO O FALSO?

438 a. Una frazione decimale e una frazione che ha 10 al numeratore.

b. La parte intera di un numero decimale e quella che precede la virgola.

c. Una frazione che ha denominatore uguale a 100 genera un numero decimale finito.

d. La frazione generatrice di un numero periodico ha al denominatore un numero le cui

cifre sono tutte uguali a 9.

439 a. Il numero 5000, scritto in notazione scientifica, e 0;5 � 104.

b. Un numero si puo scrivere in un solo modo in notazione scientifica.

c. Forma esponenziale e notazione scientifica sono la stessa cosa.

d. I numeri negativi non si possono scrivere in forma esponenziale.


440 25¼ &a 2,5 &b 5,2 &c 0; 4 &d 20,5

441 23¼ &a 0;6 &b 0,6666667 &c 2,3 &d 3,2

442 10080¼ &a 0,8 &b 100,80 &c 80,100 &d 1,25

443 555100

¼ &a 5,55 &b 555,100 &c 100,555 &d 5;5 &e 0;5

444 5;2 ¼ &a 52

&b 25

&c 265

&d 502

445 0;5 ¼ &a 510

&b 559

&c 55100

&d 59

446 0;15 ¼ &a 159

&b 15100

&c 15� 199

&d 1599

&e 15� 190

447 3;3 ¼ &a 103

&b 3310

&c 33

&d 33� 390

&e 33100

448 2;13 ¼ &a 213� 2190

&b 213� 390

&c 213� 399

&d 213� 2199

&e 213

&f 213

449 700:000 ¼ &a 7 5 &b 7 � 106 &c 0;7 � 105 &d 7 � 105

450 5:500:000 ¼ &a 55 � 105 &b 5;5 � 105 &c 5;5 6 &d 0;55 � 106

451 0;0000012 ¼ &a 12 � 105 &b 1;2 � 10�6 &c 1;2 � 106 &d 12 � 10�5

452 0;000098 ¼ &a 9;8 � 105 &b 98 � 10�5 &c 9;8 � 10�5 &d 9;8 � 10�6

Trasforma le seguenti frazioni decimali in numeri decimali.

453 3100

; 11000

; 1710

; 710:000

; 31100

; 7239100:000

; 9731000

½0;03; 0;001; 1;7; 0;0007; :::�

151

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


454 510

; 4100

; 1310

; 21100

; 731000

; 18200

½:::; 0;073; 0;09�

455 315100

; 121000

; 7100

; 14310

; 24400

; 1911000

; 21000

½3;15; :::; 0;002�

Scrivi i seguenti numeri decimali sotto forma di frazioni decimali.

456 0,012; 127,3; 6,274; 13,22; 2,007; 0,97040

�12

1000; 1273

10; 6274

1000; :::

�

457 1,009; 9,703; 0,00837; 0,00007; 460,1; 0,00085

�:::; 4601

10; 85

100:000

�

458 4,131; 0,0049; 0,0095; 0,005; 0,70705; 128,08

�41311000

; :::; 12:808100

�

Calcola i numeri decimali finiti o periodici generati dalle seguenti frazioni.

459 43

; 34

; 1524

; 13

; 37

; 56

; 49

; 1015

; 411

; 1213

½1;3; 0;75; 0;625; 0;3; 0;428571; :::�

460 112

; 327

; 348

; 5633

; 2511

; 10024

; 5524

; 12139

; 113920

½0;083; 0;1; 0;0625; :::; 56;95�

Determina le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali.

461 1,3; 0,02; 13,40; 2,008; 0,0004; 2,0023

�1310

; 150

; 675

; 251125

; 12500

; 20:02310:000

�

462 0,0001; 0,005; 7,328; 12,42; 6,34; 9,702

�:::; 317

50; 4851

500

�

463 2;3; 1;2; 0;4; 0;7; 0;8; 0;1

�73

; 119

; 49

; :::

�

464 0;05; 1;06; 4;7; 5;36; 5;36; 1;12

�1

18; 16

15; :::

�

465 13;234; 1;765; 0;4802; 0;4802; 0;08; 1;4

�6551495

; 1589900

; 21614500

; :::

�

466 8;31; 1;025; 0;12; 2;071; 0;03; 243;34

�37445

; :::; 21:90190

�

Esegui le seguenti operazioni con i numeri decimali.

467 ð1;23� 0;54Þ � 2 ð7;43� 8;561Þ : 3 ½1;38; �0;377�

468 ð9;5� 2;4þ 0;6Þ � 0;2 ð4;6þ 0;03� 5;25Þ : 0;2 ½1;54; �3;1�

469 ð1;08� 2;8 : 0;4Þ : 1;6 1;6 � ð2� 0;9 � 2Þ ½�3;7; 0;32�

470 ð0;02 � 12þ 7;26Þ � ð2;2� 0;3 � 4Þ ½7;5�

471 0;2 � 3� 1;02 � 6þ 2 � ð3� 0;28Þ ½�0;08�

472 2þ 10 � ð4� 3;7Þ þ ð2;42þ 0;18Þ : ð3 2 þ 2 2Þ � 0;6 ½5;12�

473 ð3;5� 2;3Þ � 0;6þ 2;7 � 0;4þ 0;4 � 1;1 : 0;2 ½4�

Calcola il valore delle seguenti espressioni sostituendo alle frazioni decimali i numeri de-cimali corrispondenti.

474 410� 8� 3 � 1

100þ 0;24 : 4

100� 2 � 3

10� 5;7 � 1

10½8�

475 410�

12� 2 � 15100

þ 13

10� 0;5 � 2

10þ 84 � 1

100½6;72�


I NUMERI

476 2100

� 12þ 4þ�

810þ

4� 1610� 0;2

��

2;2� 4 � 310

½8;72�

477

152

1000� 3

10þ 0;31

� 400þ 0;2 2 ½142;28�

Esegui le seguenti operazioni con i numeri decimali e verifica i risultati eseguendo le stesseoperazioni dopo aver trasformato i numeri decimali in frazioni decimali.

478 2;4 : 0;02 12;25 � 0;1 0;3 : 0;4 0;08 : 0;04 24 : 0;04

479 0;2 2 1;2 2 0;03 2 0;2 3 1;1 2 � 0;1 2 24 : 0;6 1;8 : 0;12

480 2;5 : 0;01 0;4 2 : 0;2 3 0;3 3 � 1;2 2 2;5 2 : 0;1 3

COMPLETARE...

481 4;3 ¼ 43� ::::::

¼:::

4;23 ¼ 423� ::::::

¼:::

482 0;1þ 0;51 :

1� 1

3

2

¼ 1:::þ 51� :::

90� 9:::¼

:::þ :::

20¼ 5

:::

483 ð0;6� :::::Þ :

12� 4

¼ 0 3;75 : ð�1;5þ ::::::Þ ¼ 1

484

0;8� 1

2

�� 4

5þ ::::::

¼ 0 ð0;5� :::::Þ � 0;5 ¼ 0


485 4;6þ ð18� 10;4Þ � ½4;2þ ð6� 5;4Þ þ 2;8� : 2 ½8;4�

486 2 � ð0;99 : 0;1þ 0;9 : ð7� 6;9ÞÞ � ð9;5� 2;8 : 0;4Þ � 5 ½25;3�

487 8;5� 0;6 � ½2;5 : 0;4� ð1;6 : 0;4� 0;8 � 0;2Þ� : 0;3 ½3;68�

488 0;02 � 12þ 4þ f0;8þ ½4� 1;6 � ð2� 0;9 � 2Þ�g � ð2;2� 4 � 0;3Þ ½8;72�

489 fð3;5� 2;3Þ þ ð0;01þ 1;92Þ � ½2� ð1;3þ 0;5Þ�g : 10�2 ½293�

490 4;2 � 53� 1;2þ 3;6 � 6

5� ð1� 0;8Þ : ð0;1þ 0;1Þ2 ½27;4�

491 ½12;4þ 0;2 � 3� 1;02 � 6� 2 � ð3� 0;28Þ� � ð0;5� 0;2Þ�2 ½16�

492 1;4 � 2 � ð1� 0;85Þ þ 2;4 � ð10� 7;6Þ : 3;6 ½2;02�

493 2þ 10 � ð4� 3;7Þ þ ð2;42þ 0;18Þ : ð3 2 þ 2 2Þ � 5 ½6�

494

10;5 : 7

10þ 0;5 2 � 3 � 2 2

3� 1;5 � 2

3þ 0;08 : 0;2

: 7;7 ½2�

495

� 2

7

�

1;25� 103� 2

þ ð�2þ 0;9� 0;7Þ �

� 20

3

�796

�

496

12� 0;1þ 0;2

�� 10

9

: ð1;2� 0;3Þ : ð�0;3Þ2

�� 20

3

�

497 ð�0;25þ 0;4 2Þ : 0;3 2 þ ð5;2� 3;3Þ : 1;7

�19

�

498

0;3� 2

3

2

� ð6;6� 0;75þ 1;05Þ � 1;02

�� 23

90

�

499

1;3� 5

9

��

0;4� 34þ 0;85

� ð0;3� 0;4Þ �

76� 2

5

� �� 28

45

�

500

1317� 0;6

��

58� 0;25

�

1þ 13

�

0;16� 0;2þ 215

� 2

3

� �� 1

18

�

153

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


501 ð�0;5� 0;3Þ�

25� ð�0;5þ 1Þ þ 0;4

�: ½�ð1� 2 2Þ�

�� 1

12

�

502

��2 � ð�2Þ�2 þ ð�2Þ

�:

� 1

2

�1�:

� 5

2þ 7;7

�� 9

38

�

503 ½3;5� 7 � ð�3Þ�2� :�

45� 5

4� 3

20

: ð0;3þ 0;6Þ þ 1;2

�½5�

504

ð0;1Þ2 :

25

2

� ð2 2Þ223þ 0;5 : 3

�

1þ 15

ð2;3þ 1;2� 0;5Þ � ð2;4� 0;8Þ1;2 2 : 0;6 2 þ ð1� 0;5Þ2

�1; 96

85

�

505

23þ 1

2� 0;5

0;2� 0;8 � 18

� 0;2 �

3þ 13

1;2þ 34� 1;5 : 0;25

13þ 1

2� 5

12

�

23þ 3

5

�6; 54

5

�

506

�2;3þ

1;04 � 7

13� 0;3 2

� 0;2þ 3;226

�� 0;25

�257180

�

507 0;3 ��

32� ð0;8 : 2;3þ 0;75Þ

�þ 17

14�

103

�1 �12

�

508 0;28 : ð0;6� 0;2Þ2 þ 34� ð2� 1;16Þ � 2 3

�447

�

509

�ð0;3� 0;1Þ2 þ

�1� 2

3

3

�

13

2

:

56� 2

5

4�2�:

1� 2 3

5 2

�29

�

510

�0;12þ 3 :

�0;2þ

12

3�� 3

11�

52

2�: 0;3� 3 3

�19311

�

511 f0;3þ 1þ 1;25 : ½1� 0;3 � 0;5þ 0;125 : ð0;4Þ2�g : 1;7

�147124

�

512 2þ 12�

12

0;3þ 0;2

1� 15

:

12� 2 � 2�3

½2�

513

ð1;6þ 3Þ � ð1þ 0;6Þ �� 6

19

�2

� 1;5 2

�0;3 � 2;6þ 6 : 0;4

½ð�0;3Þ4 : ð0;5Þ8�3 �

3281

2

½ð0;6Þ�2��4 : ð0;6Þ�3� ð1;5Þ16 ½0; 6 7�

514

�2;8� 3;5

2;1� 1;4

4

�

1;8� 1;5

1;3� 0;7

2�1þ 1

3

� ð�0;3Þ5 : ð�0;3Þ4 þ 0;2

ð�0;2Þ3 : ð�0;2Þ2 þ 0;1½0�

515

1þ 1

2

3

11� 1

2

: ð0;318� 1Þ �

13þ 1

�

16� 1

�1

�ð�0;5Þ2 �

� 1

3

2�: ð�0;83Þ2

� 3 2

8>>><>>>:

9>>>=>>>;

½1�

516

½0;ð6Þ�4 �� 2

3

�2

:

� 4

81

�4��3

12�3 : 18�4

6�3 : 24�4 � ½0;ð8Þ�3�� 8

9

�4

:

� 3

16

�2��2

�3 33

2 12; 3 15

2 22

�

517 496þ

132þ

1213

� 113

� 6;83

0B@

1CA

4

þ

1� 12

17

: ð0;5Þ15 þ12� 1

717þ 1

264

375 � 1;7þ 1 : 2 �

13þ 1

4

�3124

�


I NUMERI

518

�157

2��

2� 13

:

45þ 0;7

� 1

4þ 1

4

�: ð0;4þ 1;3Þ þ 0;25

��

1þ 2

3

�1

4;8½3�

519

��0;16þ 1;5 :

23� 3

4

þ

512� 7

4

18� 5

2

�:

�� 5

4� 7

3:

13� 3

2

�

�

15� 2

3

:

1

30� 1

2

��

2;5�

34� 2

3

:

0;416� 1

3

� ½8�

520 0;2045�

�ð0;3þ 0;16Þ :

32� 2

�7

þ ð�2Þ�7 � ð�2Þ6

�3 2 �� 2

3

5

:

� 2

3

3

þ ð1;5Þ�1 �

12� 1

�2½0�

521

1þ 212� 3

2� 0;5

1þ 0;5

: 0;75þ23� 1

16þ 1;6

: 0;36

0B@

1CA : 2;083 : 24 3

5 6

�2596

�

522

�35

�2��4

: ð0;6Þ8

ð0;36Þ�1þ 105 : 100 2

125�� 25

4

�1

8><>:

9>=>;

3

þ 0;784�2;3742� 1567

66010 10

½1�

523

ð1;6þ 3Þ � ð1þ 0;6Þ ��

196

2

� 1;5 2

�0;3 � 2;6þ 6 : 0;4�

ð0;4þ 1Þ �

1� 811

þ 0;5

�: 0;32 :

1þ 3

8

� 11

47

0;9� 0;34þ 0;3 : 0;13� 0;2

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;

�2

½non ha significato�

524

�� 1

3

2�3

: ½ð0;3Þ�2��4 � 3�1 � 6

9�4 : 27�2 � ð1� 3�2Þ �

�23

6

:

23

�8�2

� ð1;5Þ27

94

�3

:

32

�7½�4�

Notazione esponenziale e notazione scientifica

525 Di ciascuno dei seguenti numeri, scritti in forma esponenziale, indica qual e la parte significativa:

92;3 � 10�3 7 � 109 138 � 105 0;024 � 1011 1;32 � 10�7

I seguenti numeri sono scritti in forma esponenziale; riscrivili sotto forma di numero deci-male e, quando e possibile, anche sotto forma di frazione decimale.

526 13;7 � 103; 0;08 � 10�2; 3;45 � 105

�13:700; 0;0008 ¼ 8

10:000; 345:000

�527 0;00008 � 103; 0;012 � 104; 153;02 � 10�5

528 0;0000048 � 106; 0;0084 � 105; 2;7 � 10�7

529 359 � 104; 359 � 10�4; 0;91 � 10�5

Scrivi i seguenti numeri in forma esponenziale con due cifre intere nella parte significativa.

530 1;48 � 103; 0;047 � 10�3; 145;1 � 10�2 ½14;8 � 102; 47 � 10�6; 14;51 � 10�1�

531 237;4 � 102; 0;000473 � 102; 0;000473 � 10�2

155

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


532 Scrivi i seguenti numeri in notazione esponenziale in modo che la parte significativa sia minore di 1 e

maggiore di un decimo:

2;23 � 104 0;04 � 105 0;03 � 10�3 75;12 � 102 2;32 � 10�4 ½0;223 � 105; 0;4 � 104; :::�

Esprimi ciascuno dei seguenti numeri in almeno tre notazioni esponenziali diverse.

533 0,00784; 97.000.000; 10,0009; 235,74; 0,02145; 10,008

534 91,34; 0,04513; 6,142; 300.000.000; 0,000837; 4.310.000

Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri.

535 8730 18:000 0;075 10:321 69;31 ½8;73 � 103; 1;8 � 104; :::�

536 41;303 200:000 215 � 103 71;03 0;081 ½4;1303 � 101; 2 � 105; :::�

537 813;7 � 10�5 2407 � 10�4 0;0000018 41 � 107 ½8;137 � 10�3; 2;407 � 10�1; :::�

538 93;8 � 10�3 0;305 � 10�6 21;003 � 10�4 193 � 10 4 ½9;38 � 10�2; 3;05 � 10�7; :::�

Esegui le seguenti operazioni ed esprimi poi il risultato in notazione scientifica.

ESERCIZI SVOLTI

539 2;3 � 1012 � 5;6 � 1012

Per la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione, risulta

ð2;3� 5;6Þ � 1012 ¼ 2;3 � 1012 � 5;6 � 1012

e quindi, leggendo tale uguaglianza da destra a sinistra, possiamo scrivere:

2;3 � 1012 � 5;6 � 1012 ¼ ð2;3� 5;6Þ � 1012 ¼ �3;3 � 1012

540 1;5 � 10�20 � 8;6 � 10�21

Nell’esercizio precedente abbiamo potuto applicare la proprieta distributiva perche in entrambi i ter-mini era presente lo stesso fattore 1012. In questo caso cio non accade, ma possiamo trasformare ilsecondo termine spostando a sinistra di un posto la virgola della parte significativa e sommando 1 al-l’esponente di 10. In questo modo in entrambi i termini si presenta il fattore 10�20 e potremo quindiapplicare la proprieta distributiva:

1;5 � 10�20 � 8;6 � 10�21 ¼ 1;5 � 10�20 � 0;86 � 10�20 ¼ ð1;5� 0;86Þ � 10�20 ¼ 0;64 � 10�20

Se vogliamo esprimere il risultato in notazione scientifica, possiamo ora spostare a destra la virgola diun posto e sottrarre 1 all’esponente di 10:

0;64 � 10�20 ¼ 6;4 � 10�20�1 ¼ 6;4 � 10�21

541 ð3;1 � 10�30Þ � ð7;5 � 1042ÞApplichiamo le proprieta associativa e commutativa della moltiplicazione e le proprieta delle potenze:

ð3;1 � 10�30Þ � ð7;5 � 1042Þ ¼ 3;1 � 10�30 � 7;5 � 1042 ¼ 3;1 � 7;5 � 10�30 � 1042 ¼¼ ð3;1 � 7;5Þ � 10�30þ42 ¼ 23;25 � 1012

Per esprimere il risultato in notazione scientifica spostiamo la virgola della parte significativa a sinistradi una posizione, aggiungendo 1 all’esponente di 10:

23;25 � 1012 ¼ 2;325 � 1012þ1 ¼ 2;325 � 1013

542 4;3 � 105 þ 7 � 105 5;6 � 10�7 � 6;7 � 10�7 ½11;3 � 10 5 ¼ 1;13 � 10 6; �1;1 � 10�7�

543 �8;51 � 106 þ 13;01 � 106 �23;003 � 10�9 � 1;045 � 10�9 ½4;5 � 106; �2;4048 � 10�8�

544 121;7 � 104 þ 13 � 10 6 3;8 � 10�3 þ 1;12 � 10�2 ½1;4217 � 107; 1;5 � 10�2�

545 4;3 � 10�3 þ 7;2 � 10�5 0;025 � 104 � 10;32 � 10 ½4;372 � 10�3; 1;468 � 102�

546 0;0129 � 10 6 � 0;0009 � 10 5 0;0237 � 102 � 14;5 � 10�1 ½1;281 � 104; 9;2 � 10�1�


I NUMERI

547 640;7 � 10�2 þ 0;2307 � 10� 97 � 10�2 ½7;744 � 100 ¼ 7;744�

548 0;0074 � 0;0003; ð�13;41Þ � 1:200:000; 143;007 � ð�0;00093Þ ½2;22 � 10�6; �1;6092 � 107; :::�

549 0;00018 : 0;0009; �33;8 : ð�0;0000026Þ; 0;000000048 : ð�1600Þ ½2 � 10�1; 1;3 � 107; �3 � 10�11�

550 ð�0;0003Þ2; ðþ1;0001Þ2; 0;132; 0;043; 0;0014; 200:0005 ½9 � 10�8; 1;00020001; 1;69 � 10�2; :::�

551 ð�0;002Þ5; ð�1;2Þ3; 0;00053592 : ð0;0011 � 0;2Þ ½�3;2 � 10�14; �1;728 � 100; 2;436 � 100�

552 14;7 � 103 � 0;08 1;25 � ð93;5 � 10�3Þ ½1;176 � 10 3; 1;16875 � 10�1�

553 0;49 � 10�3 : 0;0064 0;002 � 63 : 0;00081 ½7;65625 � 10�2; 1;5 � 102�

554 142 � 105 � ð0;5 : 0;0025Þ 0;183 � ð0;0007 � 10�1Þ ½2;84 � 109; 1;281 � 10�5�

555 37:212 : ð0;06 : 0;001Þ 171 � 1;2 � 10�4 ½6;202 � 102; 2;052 � 10�2�

556 Esprimi in notazione scientifica il numero di secondi che costituiscono un anno non bisestile.

557 Scrivi in notazione scientifica la distanza minima della Terra dal Sole, di circa 147 miliardi di metri.

558 Scrivi in notazione scientifica il diametro equatoriale della Terra, di circa 12.756.777 metri.

559 Esprimi in millimetri i seguenti ordini di grandezza, espressi in metri: 10 7; 10�8; 10�12.

Proporzioni


n Rapporto tra due numeri, di cui il secondo diverso da zero: e il quoto della divisione del primo per ilsecondo.

n Proporzione: e un’uguaglianza di due rapporti.

n Termini di una proporzione

20 : 32 ¼ 30 : 48 48 e il quarto proporzionale dopo 20, 32 e 30

n Proporzione continua: e una proporzione i cui termini medi sono uguali.Il termine medio si chiama medio proporzionale tra i due termini estremi.L’ultimo termine si chiama terzo proporzionale dopo i primi due.

n Proprieta delle proporzioni

� Proprieta fondamentale: il prodotto dei medi e uguale al prodotto degli estremi.

� Proprieta del permutare: se si scambiano tra loro i termini medi o i termini estremi, si ottiene unanuova proporzione.

� Proprieta dell’invertire: se si scambia ogni antecedente con il rispettivo conseguente, si ottieneuna nuova proporzione.

� Proprieta del comporre: la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la som-ma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto).

� Proprieta dello scomporre: la differenza dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come ladifferenza degli altri due termini sta al terzo (o al quarto).

Dalla proprieta fondamentale si deduce che

� un estremo e uguale al rapporto tra il prodotto dei medi e l’altro estremo;

� un medio e uguale al rapporto tra il prodotto degli estremi e l’altro medio.

157

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


VERO O FALSO?

560 a. La proporzione 1 : 2 ¼ 4 : 8 e continua.

b. Nella proporzione 9 : 12 ¼ 12 : 16 il medio proporzionale e 12.

c. Nella proporzione 9 : 12 ¼ 12 : 16 il terzo proporzionale e 12.

d. Il quarto proporzionale dopo 1, 2 e 3 e 4.

561 In una proporzione

a. il prodotto degli antecedenti e uguale al prodotto dei conseguenti

b. si possono scambiare tra loro i termini medi, ottenendo una nuova proporzione

c. la differenza dei primi due termini sta al primo come la differenza degli altri due termini

sta al quarto

d. il primo e il quarto termine sono detti estremi

562 Se a : b ¼ c : d allora

a. a : c ¼ b : d

b. b : a ¼ c : d

c. d : a ¼ c : b

d. d : b ¼ c : a

e. ðaþ bÞ : b ¼ ðcþ dÞ : d

f. ða� bÞ : a ¼ ðc� dÞ : d

Determina il valore del termine x nelle seguenti proporzioni.

ESERCIZIO SVOLTO

563 35

: x ¼ 2 : 53

Ricordando che un medio e uguale al prodotto degli estremi diviso l’altro medio, otteniamo

x ¼35� 5

32

�! x ¼ 12

564 5 : 7 ¼ 20 : x 12 : 9 ¼ x : 15 ½28; 20�

565 13

: 4 ¼ 12

: x x : 60 ¼ 3 : 4 ½6; 45�

566 2 : x ¼ 3 : 24 3 : 5 ¼ x : ð�30Þ ½16; �18�

567 0;3 : 4 ¼ x : 84 x : 13 ¼ 18 : 3 ½6;3; 78�

568 0;3 : x ¼ 2 : 245

18

: 23¼ 9

16: x

�45

; 3

�

569

2þ 1

2

: 2

3¼

1� 13

: x ð1� 0;25Þ : ð1� 0;5Þ ¼ 1 : x

�8

45; 2

3

�

570

2� 3

4

: x ¼ 1 : 3

21;2 : x ¼ 0;5 : 2;2

�158

; 44081

�

571 x : 34¼ 3

5:

12� 1

4

x :

1� 1

3

¼ 4

3:

32

2 �95

; 3281

�

572

2þ 4

3

: 2

1þ 12

¼ x :

1� 1

2

21

1þ 34

: 17¼ x :

23

3 �58

; 3227

�

ESERCIZIO SVOLTO

573 Determiniamo il medio proporzionale tra 5 e 20, sapendo che esso e un numero negativo.

Dobbiamo determinare il termine x nella proporzione 5 : x ¼ x : 20.Ricordando che il prodotto dei medi e uguale al prodotto degli estremi, si ha

x 2 ¼ 5 � 20 �! x 2 ¼ 100

Quindi x potrebbe essere 10 oppure �10; poiche e richiesto che x sia negativo, avremo x ¼ �10.


I NUMERI

574 36 : x ¼ x : 4, con x > 0 4 : x ¼ x : 9, con x < 0 ½12; �6�

575 2 : x ¼ x : 72, con x < 0 16 : x ¼ x : 4, con x > 0 ½�12; 8�

576 827

: x ¼ x : 32

825

: x ¼ x : 92

�� 2

3; � 6

5

�

Calcola il terzo proporzionale dopo i numeri delle seguenti coppie.

ESERCIZIO SVOLTO

577 94

e 38

Dobbiamo determinare il termine x nella proporzione continua

94

: 38¼ 3

8: x �! x ¼

38� 3

894

¼ 964� 4

9¼ 1

16

578 5 e 2 6 e 23

34

e 13

�45

; 227

; 427

�

579 98

e 3 0;7 e 2;3 1;1 e 23

�8; 70

9; 2

5

�

580

2þ 1

2

e

13þ 1

2

2� 1

5

e

1þ 1

5

�5

18; 4

5

�

5816þ 1

2

2� 17

e5þ 1

2� 3

5

2þ 13

1� 11

21

e

1� 5

7

�6350

; 635

�


582 Il quarto proporzionale dopo 3, 6 e 9 e &a 12 &b 18 &c 54 &d 2

583 Il medio proporzionale positivo tra 2 e 8 e &a 4 &b 5 &c 6 &d 16

584 3 : 12 ¼ 12 : x &a x ¼ 6 &b x ¼ 36 &c x ¼ 18 &d x ¼ 48

585 10 : 15 ¼ 20 : x &a x ¼ 25 &b x ¼ 40 &c x ¼ 300 &d x ¼ 30

586 4 : x ¼ x : 16 (x > 0) &a x ¼ 10 &b x ¼ 64 &c x ¼ 8 &d x ¼ 12

587 Il medio proporzionale positivo tra 18 e 98 e &a 63 &b 42 &c 48029

&d 16249

588 Il terzo proporzionale dopo 132

e 52

e &a 3258

&b 132

&c 16910

&d 2526

589 Il quarto proporzionale dopo 12

,

1� 2

5

,

2� 3

4

2

e &a 12596

&b 24125

&c 158

&d 1532

Applicando la proprieta del comporre o dello scomporre, trova il termine x nelle proporzio-ni seguenti.

ESERCIZIO SVOLTO

590

15� x

: x ¼ 10 : 5

Applichiamo la proprieta del comporre:15� x þ x

: x ¼ ð10þ 5Þ : 5 �! 1

5: x ¼ 15 : 5

Quindi si ha x ¼15� 5

15�! x ¼ 1

15

159

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


591

15� x

: x ¼ 1

3: 1

6

23þ x

: x ¼ 5

2: 5

3

�1

15; 4

3

�

592 ð8� xÞ : x ¼ 7 : 3 12 : 10 ¼ ð5þ xÞ : x ½2;4; 25�

593 ð3þ xÞ : x ¼ 2 : 5 4 : 10 ¼ ðxþ 5Þ : x

��5; � 25

3

�

594 ð3� xÞ : 4 ¼ x : 7 x : 2 ¼ ð5� xÞ : 12

�2111

; 57

�

595

13þ x

: x ¼ 5

2: 3

5

x� 4

5

: x ¼ 8

5: 9

4

�2

19; 36

13

�

596

2þ 1

3

:

13� 1

6

¼

12þ x

: x ð8þ xÞ : x ¼ 4

3: 1

3

�1

26; 8

3

�

597 ð3þ xÞ : 8 ¼ x : 12

34� x

: 5

8¼ x : 5

4

�15

; 12

�

598 x : ð6� xÞ ¼ 79

: 13

57

: 13¼ ð20þ xÞ : x

�215

; 352

�

599

158� x

: x ¼

x� 3

10

: 3

10ð10� xÞ : x ¼ x : ð12� xÞ

�� 3

4; 60

11

�

600

2 � 1

3� 1

4þ x

: x ¼

xþ 5

3

:

1þ 2

3

ð9� xÞ : x ¼ ðx� 25Þ : 25

�� 5

6; �15

�

Applicando opportunamente le proprieta del comporre o dello scomporre, determina i va-lori di x e di y nelle seguenti proporzioni.

601 x : y ¼ 7 : 2, sapendo che xþ y ¼ 144. ½112; 32�

602 x : y ¼ 15 : 8, sapendo che x� y ¼ 42. ½90; 48�

603 x : 12 ¼ y : 5, sapendo che xþ y ¼ 73

.

�2817

; 3551

�

604 x : 135¼ y : 2

3, sapendo che x� y ¼ 29

2.

�392

; 5

�

ESERCIZI SVOLTI

605 Dividiamo il numero 65 in due parti proporzionali a 6 e a 7.

Indicando con x e con y le due parti, si ha la proporzione x : y ¼ 6 : 7.Sappiamo, inoltre, che e x þ y ¼ 65; possiamo quindi applicare la proprieta del comporre, ottenendo

ðx þ yÞ : y ¼ ð6þ 7Þ : 7 �! 65 : y ¼ 13 : 7

oppureðx þ yÞ : x ¼ ð6þ 7Þ : 6 �! 65 : x ¼ 13 : 6

Dalle due proporzioni ricaviamo, rispettivamente,

y ¼ 65 � 713

¼ 35 e x ¼ 65 � 613

¼ 30

Le due parti richieste sono quindi 30 e 35.

606 Determiniamo due numeri il cui rapporto e 43

, sapendo che la loro differenza e 7.

Indichiamo rispettivamente con x e con y i due numeri richiesti di cui sappiamo che xy¼ 4

3, cioe che

x : y ¼ 4 : 3

Sappiamo, inoltre, che x � y ¼ 7 e, quindi, applicando la proprieta dello scomporre, otteniamo

ðx � yÞ : x ¼ ð4� 3Þ : 4 cioe 7 : x ¼ 1 : 4


I NUMERI

da cui risulta

x ¼ 7 � 41

�! x ¼ 28

Applicando ancora la proprieta dello scomporre alla proporzione x : y ¼ 4 : 3 potremmo ricavare y.Tale valore, pero, si puo anche determinare, piu facilmente, dalla relazione x � y ¼ 7; se in essa sosti-tuiamo 28 al posto di x, otteniamo 28� y ¼ 7, da cui y ¼ 21.Risulta cosı che i due numeri richiesti sono 28 e 21.

607 Trova due numeri il cui rapporto e 35

e la cui somma e 192. ½72; 120�

608 Determina due numeri proporzionali a 7 e a 3, sapendo che la loro differenza e 256. ½448; 192�

Risolvi i seguenti problemi.

ESERCIZIO SVOLTO

609 La ricetta di una torta per 4 persone prevede che si utilizzino, oltre ad altri ingredienti, 180 g di farinae 140 g di zucchero. Quanta farina occorre per preparare la stessa torta per 6 persone?

Occorre che gli ingredienti siano proporzionali al numero di porzioni che si vuole preparare. Percio,visto che per 4 persone occorrono 180 g di farina, per calcolare quanta ne occorre per 6 persone,risolviamo questa proporzione:

180 : 4 ¼ x : 6 �! x ¼ 180 � 64

�! x ¼ 270

Procediamo allo stesso modo per calcolare la quantita di zucchero necessaria:

140 : 4 ¼ x : 6 �! x ¼ 140 � 64

�! x ¼ 210

Quindi per 6 persone occorreranno 270 g di farina e 210 g di zucchero.

610 Per trattare l’acqua di una piscina contenente 2000 m3 di acqua occorrono 12 litri di cloro. Quanti ne

occorrono per una piscina di 800 m3? ½4;8�

611 Se con 210 g di farina si fanno 280 g di pane, quanta farina occorrera per produrre 5 kg di pane?

½3;75 kg�

612 Compro 1,5 kg di mele, spendendo 3;60 E; quanto avrei speso se, nello stesso giorno, avessi comprato

4 kg di mele della stessa qualita? ½9;60 E�

613 Spendo 7;20 E per acquistare 6 quaderni; quanto spenderei se ne comprassi 9? ½10;80 E�

614 Con 32 grammi di bozzoli si ottengono 4 grammi di seta pura. Quanti kg di seta si otterranno con 144 kg

di bozzoli? ½18 kg�

615 Per ottenere 225 kg di calce viva si adoperano 0,5 tonnellate di calcare; quanta calce viva si ottiene con

200 tonnellate di calcare? ½90 t�

616 Nella fabbricazione del gas di illuminazione, 50 t di carbone fossile danno 1,25 t di catrame. Quanto car-

bone fossile si deve lavorare per ottenere 10 t di catrame? ½400 t�

617 Con 3 kg di filo si tessono 18 m di tela alta 90 cm. Quanto filo occorrera per tessere 1440 m di tela alta

1,20 m? ½320 kg�

618 Se con 10 kg di caffe crudo si possono ottenere 8 kg di caffe tostato, quanti kilogrammi di caffe crudo

bisogna tostare per ottenere 10,4 kg di caffe tostato? ½13�

161

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

LI


Percentuali


n Per cento

x e il p% di A �! x : A ¼ p : 100 ossia x ¼ A � p100

e anche p ¼ xA� 100

n Per mille

x e il p% di A �! x : A ¼ p : 1000 ossia x ¼ A � p1000

e anche p ¼ xA� 1000

VERO O FALSO?

619 a. Il 50% di un numero e la sua meta.

b. Per ottenere il 10% di un numero e sufficiente dividere il numero per dieci.

c. Il 5% di 200 e 40.

d. Il 20% equivale al 2%.

620 a. Il 5% di 5000 e 25.

b. Il 9% equivale allo 0,9%.

c. Il 10% del 20% equivale al 2%.

d. 30 e il 20% di 150.

Risolvi i seguenti problemi (nei problemi di carattere finanziario applica le formule vistenel PARAGRAFO 41, relative al regime d’interesse semplice).

ESERCIZI SVOLTI

621 Una giacca, del prezzo di 120 E, viene venduta in saldo con uno sconto del 30%. Al prezzo scontato sideve pero aggiungere l’IVA del 20%. Quanto si paghera per quella giacca?

Lo sconto del 30% ammonta a

120 � 30

100

E ¼ 36 E. Il prezzo scontato, in euro, e percio

120� 36 ¼ 84. L’IVA del 20% dev’essere calcolata rispetto a questo prezzo scontato e percio am-

monta, in euro, a 84 � 20100

¼ 16;80. Quindi si dovranno pagare ð84þ 16;80Þ E ¼ 100;80 E.

622 Compro un libro con lo sconto del 20%, spendendo 24 E. Quanto avrei speso se non avessi goduto dialcuno sconto?

Avere lo sconto del 20%, cioe di 20 euro ogni 100 euro, significa anche che ogni 100 euro di spesa nepago solo 80, cioe pago solo l’80%.Indicando con x il costo del libro senza lo sconto, si ha quindi la proporzione

100 : 80 ¼ x : 24 �! x ¼ 100 � 2480

¼ 30

Dunque senza lo sconto avrei speso 30 E.

623 Calcola il 25% di 3200, di 44.800 e di 15.000. ½800; 11:200; :::�

624 Calcola il 15% del 18% di 7200, di 12.000 e di 81.000. ½194;4; 324; :::�

625 Il 15% di una certa somma equivale a 3000 E; qual e la somma? ½20:000 E�

626 Su 500 pezzi prodotti in una fabbrica, 15 sono inutilizzabili, 25 sono difettosi, i rimanenti sono perfetti.

Calcola le rispettive percentuali. ½3%; 5%; 92%�

627 Un certo vino ha la gradazione alcolica del 12%; quanto alcol si puo ricavare da 4000 litri di quel vino?

½480 litri�

628 Un certo sapone contiene l’8% di potassio, il 42% di materie grasse e il 50% di acqua. Quanti grammi di

ciascuna sostanza si trovano in 5,4 kg di quel sapone? ½432; 2268; 2700�


I NUMERI

629 A un esame erano iscritti 200 candidati; se ne presentarono 186 e solo 124 superarono la prova. Calcola

la percentuale dei candidati presenti e la percentuale di quelli promossi sia rispetto agli iscritti sia ri-

spetto ai presenti. ½93%; 62%; 66;6%�

630 Compro della merce con il 35% di sconto spendendo 520 E; quanto avrei speso se non avessi goduto di

alcuno sconto? ½800 E�

631 Una lega di ottone e formata da rame per il 65% del suo peso e per il resto da zinco. Determina la quan-

tita di rame contenuto in un blocco di ottone che contiene 8,4 kg di zinco. ½15;6 kg�

632 Calcola quale interesse frutta un capitale di 180:000 E investito per 3 anni al tasso annuo del 4,5%.

½24:300 E�

633 Calcola a quale tasso si deve investire il capitale di 9000 E per avere l’interesse annuo di 630 E.

½7%�

634 Quale capitale bisogna investire al 3% per avere in 2 anni e 8 mesi un interesse di 3600 E?

½45:000 E�

635 Calcola a quale tasso si deve investire il capitale di 120:000 E per avere l’interesse annuo di 7200 E.

E di 5400 E? ½6%; 4;5%�

636 Un capitale di 27:000 E e stato investito per 2 anni e 5 mesi, fruttando 2610 E; calcola il tasso al quale e

stato investito. ½4%�

637 Per quanto tempo occorre investire la somma di 144:000 E al 3% per avere un interesse di 17:280 E?

½4 anni�

638 Un capitale di 9000 E, investito al tasso del 4%, frutta 208 E. Determina il tempo dell’investimento.

(Nelle applicazioni commerciali l’anno si considera formato da 12 mesi di 30 giorni e quindi da 360

giorni). ½6 mesi e 28 giorni�

639 Calcola il capitale che in 8 mesi frutta 115 E, se e investito al 5%. ½3450 E�

640 A quale tasso la somma di 3720 E frutta l’interesse di 117;18 E in 270 giorni? (Ricorda che l’anno fi-

nanziario si considera di 360 giorni). ½4;2%�

641 Il Consiglio di Istituto di una scuola secondaria di secondo grado decide, se non ci saranno sovvenzioni

da parte di alcun ente, di operare dei tagli sulle spese abolendo alcune attivita pomeridiane. Il criterio

che viene adottato e quello di sostenere le attivita che percentualmente sono state frequentate dal mag-

gior numero di ragazzi: il corso di cinematografia, aperto a 363 studenti, ha avuto 33 adesioni; il corso di

teatro, aperto a 880 studenti, ha avuto 55 adesioni; il corso di fotografia, aperto a 278 studenti, ha avuto

solo 23 adesioni; il corso di pittura, rivolto a 378 studenti, ne ha visti partecipare 25. Qual e il primo

corso che sara abolito se non arrivera alcuna sovvenzione? (Approssima a meno di un centesimo).

½teatro con 6;25%�

642 In una localita di montagna l’Azienda Turistica organizza una serata musicale alla quale partecipano,

oltre agli abitanti del luogo e a numerosi villeggianti, 15 clienti dell’albergo Dolomiti, 37 dell’Hotel Ar-

cobaleno e 12 del Residence Belvedere. Considerando che nelle tre strutture alberghiere sono ospitate

rispettivamente 83, 122, 44 persone, determina la percentuale (approssimata a meno dell’unita) di ade-

sione all’iniziativa di ciascuna di esse e la percentuale (sempre approssimata a meno dell’unita) degli

ospiti che non hanno accolto l’invito. ½18%; 30%; 27%; 74%�

643 Giulio, una volta giunto al Centro Commerciale, si accorge di aver dimenticato a casa la carta di credito.

Disposto a spendere anche tutti i soldi che ha nel portafogli e nel portamonete, che ammontano a

71;85 E, decide di comperare alcuni articoli in vendita promozionale. Cerca dunque di scegliere, fra

cio che gli serve, quegli articoli che gli sembrano piu convenienti, cioe maggiormente scontati. Le offer-

te dei prodotti che deve acquistare sono le seguenti: kit scrittoio porta PC 35;84 E (invece di 56 E),

giubbotto in pelle scamosciata 59;85 E (invece di 79;80 E), zaino tempo libero 20;01 E (invece di

29 E), polo manica lunga 26;23 E (invece di 30;50 E), cartone con 6 bottiglie di vino 10;36 E (invece

di 18;50 E), cartone di 6 confezioni, da 1 litro, di latte parzialmente scremato 3;64 E (invece di

5;60 E). Che cosa comprera Giulio? E che cifra gli rimarra nel portamonete?

½Giulio non comprera ne giubbotto ne polo; gli rimarranno 2 E�

163

U3.

NU

ME

RI

RA

ZIO

NA

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644 Un’agenzia specializzata ha effettuato un sondaggio su un campione di 800 persone di eta superiore ai

14 anni chiedendo di rispondere alle due domande «Qual e la cosa piu importante per il tuo benes-

sere? » e «Qual e il livello di soddisfazione sul tuo benessere personale? ». Alla prima domanda le

risposte sono state di vario tipo e quindi sono state raggruppate in 13 categorie; ne citiamo solo alcune:

165 persone hanno risposto «Salute», 160 «Serenita, pace, tranquillita», solo 13 hanno risposto «Cura

dell’aspetto fisico» e sempre 13 hanno risposto «Leggere». Alla seconda domanda le risposte sono state

meno varie: il 5,5% degli intervistati ha dichiarato di essere «Per niente soddisfatto», l’11,8% «Poco

soddisfatto», il 67% «Abbastanza soddisfatto» e il 15,7% «Molto soddisfatto». Qual e la percentuale de-

gli intervistati che ha dichiarato «Serenita, pace, tranquillita»? Quale quella di coloro che hanno rispo-

sto «Leggere» alla prima domanda? Quanti sono coloro che hanno risposto «Abbastanza soddisfatto»

alla seconda domanda? E quanti coloro che hanno risposto «Per niente soddisfatto»?

½20%; 1;6%; 536; 44�

645 Due amiche vanno da un dietologo che, sentite le loro abitudini alimentari e il loro stile di vita, dopo una

visita accurata, dispone che la prima mantenga il proprio peso entro limiti, superiori o inferiori, del 6%

rispetto a quello attuale, che e di 48 kg, e che la seconda, che pesa 72 kg, perda 9 kg. Fra quali due

valori puo oscillare il peso della prima? E, percentualmente, di quanto deve diminuire la seconda?

½45;12 kg e 50;88 kg; 12;5%�

646 In una pensione con una capienza di 125 ospiti, 82 hanno scelto il trattamento pernottamento þ prima

colazione; 14 hanno optato per il trattamento di mezza pensione e i restanti per quello di pensione

completa. Qual e la percentuale di ospiti che ha scelto il trattamento di pensione completa? E quale la

percentuale di quelli che hanno scelto di consumare almeno un pasto in pensione? (La percentuale e da

intendersi a meno dell’unita). ½23%; 34%�

647 In una comunita nel 2006 furono spesi 110:500 E per la cucina e 11:000 E per le spese sanitarie; nel

2007 furono spesi 87:800 E per la cucina e 8900 E per le spese sanitarie. Quanto ha inciso ciascuna

di queste spese sul bilancio della comunita se il totale delle spese in ciascuno dei due anni fu rispettiva-

mente 440:750 E e 375:220 E? Quale delle due spese percentualmente e scesa maggiormente? (Calcola

la percentuale a meno di un centesimo). ½nel 2006: 25,07%, 2,49%; nel 2007: 23,39%, 2,37%�

648 Secondo studi recenti, l’essere umano ricorda il 20% di cio che ascolta e il 70% di cio che ha discusso

con altri, ma dopo 5 giorni l’80% delle informazioni apprese per essere usate a breve termine svani-

sce. Se dunque uno studente ha semplicemente assistito a una lezione senza prendere appunti e sen-

za nemmeno aprire il libro di testo, quanto ricordera di quanto e stato spiegato dall’insegnante dopo

una settimana? E nel caso, invece, in cui lo studente abbia discusso l’argomento con i compagni e con

il docente? ½4%; 14%�

649 Un’opera caritativa assistenziale puo contare su un crescente numero di volontari per i vari servizi of-

ferti; nel 2006 i volontari furono 315 e nel 2007 ben 369. Fra costoro, nel 2006: 89 prestarono il loro

servizio alla Mensa per i Poveri, 48 alle docce/guardaroba, 34 al Segretariato Sociale, 29 al Centro Rac-

colta, 115 al Poliambulatorio in qualita di medici e infermieri; nel 2007 nei vari settori furono rispetti-

vamente, 110, 54, 36, 27, 142. Qual e il settore che percentualmente ha visto crescere maggiormente il

numero dei volontari e quale quello nel quale c’e stata minore motivazione? (Calcola la percentuale a

meno di un decimo). ½mensa ðþ1;6%Þ; centro raccolta ð�1;9%Þ�

650 Una signora ultranovantenne alla sua morte lascia 1=8 del suo patrimonio, cioe 10:000 E, a un’amica

ricoverata in una casa di riposo, 1=4 del patrimonio a una Fondazione che promuove ricerca contro

il cancro e devolve i restanti 5=8 del patrimonio a favore di una casa di accoglienza per bambini orfani

e abbandonati. A quanto ammontava il patrimonio della signora? Qual e la percentuale di esso lasciata

alla casa di accoglienza per bambini? ½80:000 E; 62;5%�

651 L’apporto di calorie di una tazzina di caffe amaro e mediamente pari a 2; se pero al caffe vengono ag-

giunti 10 g di latte, le calorie diventano 10. Se invece il caffe viene dolcificato con un cucchiaino di zuc-

chero, le calorie diventano 20. Di quanto aumenta, in termini di percentuale, il valore energetico (in

calorie) di una tazzina di caffe se si aggiungono al caffe amaro sia 5 g di latte sia mezzo cucchiaino

di zucchero? L’aggiunta di un cucchiaino di zucchero in una tazzina di caffe di quanto fa aumentare

percentualmente le calorie? ½650%; 900%�


I NUMERI

652 Una Societa sportiva di scherma ha 240 iscritti, suddivisi, a seconda dell’eta, in otto categorie: prima

lama (fino alla 5ª classe della scuola primaria), bambini, ragazzi, allievi, rispettivamente della 1ª, 2ª, 3ª

classe della scuola secondaria di primo grado, cadetti (dai 14 ai 17 anni), giovani (dai 17 ai 20 anni),

assoluti (dai 20 ai 50 anni), master (di eta superiore ai 50 anni). Le categorie prima lama, bambini,

giovani hanno lo stesso numero di iscritti: 30. I ragazzi rappresentano il 10%, gli allievi l’8,75% e cosı

pure gli assoluti; i cadetti sono 36. Quante sono le persone che hanno superato i 50 anni? Quanti co-

loro che non frequentano ancora la scuola secondaria di secondo grado? I cadetti che percentuale

rappresentano? ½48; 105; 15%�

653 Secondo i dati forniti nella primavera 2002 dall’ISTAT, il quattordicesimo censimento della popolazione

italiana ha rilevato che nella penisola risiedono 56.305.568 persone. Questa cifra non si discosta molto

da quelle emerse nei censimenti degli anni 1981 e 1991; pero, tornando indietro nel tempo di 140 anni,

ci si rende conto che la situazione e cambiata parecchio. Infatti nel 1861 la popolazione italiana era co-

stituita da 22.176.000 persone. In questi 140 anni quale aumento percentuale ha subito la popolazione

italiana? Qual e la percentuale attuale della popolazione maschile e di quella femminile se dal censimen-

to risulto che la popolazione femminile superava quella maschile di 1.783.662 unita? (Calcola le percen-

tuali a meno di un decimo). ½153;9%; 48;4%; 51;6%�

654 In una tavola calda vengono cucinati Pomodori ripieni di tonno per 60 persone; la ricetta (riferita a 4

persone) prevede i seguenti ingredienti: 8 pomodori tutti uguali, 250 g di ventresca di tonno, 100 g di

olive nere, 100 g di funghetti sott’olio, 50 g di filetti di acciughe, una manciata di prezzemolo, 1 uovo, 1

limone, mezzo bicchiere di olio, sale. Considerando che nel frigorifero ci sono 150 pomodori, 8 kg di

ventresca di tonno, 3 kg di olive nere, 4 kg di funghetti sott’olio, 5 kg di filetti di acciughe, 6 dozzine

di uova, 45 limoni, qual e la percentuale di tonno e di acciughe che rimane in frigorifero? Quale quella

di pomodori e uova che viene consumata? (Calcola le percentuali a meno dell’unita).

½53%; 85%; 80%; 21%�

655 A un’assemblea di condominio, in seconda convocazione, partecipano 15 condomini su 22 per comples-

sivi 586 millesimi. I condomini sono chiamati a deliberare sulla trasformazione dei solai in mansarde e si

esprimono nel modo seguente: 4 sono assolutamente contrari, 5 si astengono dalla votazione, 6 si dichia-

rano favorevoli alla trasformazione. Qual e la percentuale dei condomini che hanno partecipato all’as-

semblea? Quale quella di coloro che si sono dichiarati non contrari all’innovazione? E se coloro che sono

contrari rappresentano 142 millesimi, qual e stata la percentuale, riferita ai millesimi, dei contrari?

½68%; 73%; 24,23%�

165

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