fine

Questioni

sull’INFINITO

I numeri naturali sono infiniti.

Anche i numeri razionali sono infiniti.

Beh, allora, se parliamo d’infinito, in una retta ci

sono infiniti punti

… e in un segmento?

Attenzione. L’infinito é un campo in cui si deve entrare con precauzione.

Molti matematici e filosofi hanno disquisito su questo soggetto.

fine

Quando si parla dell’infinitoin matematica

occorre fare attenzione.Leggiamo che cosa ne pensava

Galileo Galilei

Discorsi e dimostrazioni

matematiche, Giornata Prima (1638)Simplicio Salviati

Qui nasce subito il dubbio, che mi pare insolubile: ed è, che sendo noi sicuri trovarsi linee una maggior dell'altra, tutta volta che amendue contenghino punti infiniti bisogna confessare trovarsi nel medesimo genere una cosa maggior dell'infinito, perché la infinità de i punti della linea maggiore eccederà l'infinità de i punti della minore. Ora questo darsi un infinito maggior dell'infinito mi par concetto da non poter esser capito in verun modo.

fine

Simplicio Salviati

Qui nasce subito il dubbio, che mi pare insolubile: ed è, che sendo noi sicuri trovarsi linee una maggior dell'altra, tutta volta che amendue contenghino punti infiniti bisogna confessare trovarsi nel medesimo genere una cosa maggior dell'infinito, perché la infinità de i punti della linea maggiore eccederà l'infinità de i punti della minore. Ora questo darsi un infinito maggior dell'infinito mi par concetto da non poter esser capito in verun modo.

fine

Euclide

Discorsi e dimostrazioni

matematiche, Giornata Prima (1638)

Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl'infiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente, perché stimo che questi attributi di maggioranza, minorità ed egualità non convenghino a gl'infiniti, de i quali non si può dire, uno esser maggiore o minore o eguale all'altro.

(…)

Discutendo su quanti sono i quadrati e le radici, rispetto a tutti i numeri

fine

Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl'infiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente, perché stimo che questi attributi di maggioranza, minorità ed egualità non convenghino a gl'infiniti, de i quali non si può dire, uno esser maggiore o minore o eguale all'altro.

(…)

Discutendo su quanti sono i quadrati e le radici, rispetto a tutti i numeri

fine

Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano quante tutti i numeri, (…)

e pur da principio dicemmo, tutti i numeri esser assai più che tutti i quadrati, essendo la maggior parte non quadrati. (…)

e pur nel numero infinito, se concepir lo potessimo, bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati quanti tutti i numeri insieme.

fine

Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano quante tutti i numeri, (…)

e pur da principio dicemmo, tutti i numeri esser assai più che tutti i quadrati, essendo la maggior parte non quadrati. (…)

e pur nel numero infinito, se concepir lo potessimo, bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati quanti tutti i numeri insieme.

fine

Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, (…)

E però quando il Sig. Simplicio mi propone più linee diseguali, e mi domanda come possa essere che nelle maggiori non siano più punti che nelle minori, io gli rispondo che non ve ne sono né più né manco né altrettanti, ma in ciascheduna infiniti.

fine

Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, (…)E però quando il Sig. Simplicio mi propone più linee diseguali, e mi domanda come possa essere che nelle maggiori non siano più punti che nelle minori, io gli rispondo che non ve ne sono né più né manco né altrettanti, ma in ciascheduna infiniti.

fine

fine

Il tutto uguale ad una parte?

I quadrati sono tantiquanti i numeri?

Ma cos’é l’infinitoin matematica?

Sono stato io, Dedekind, a fine ottocento a fornire la

definizione di infinito …

fine

… era necessario dar una definizione per evitare i

paradossi

Richard Dedekind

Un insieme S si dice infinito se é equipotente a

una sua parte propria, altrimenti si dice finito

equipotente

fine

Richard Dedekind

fine

riprendiamo il discorso di Salviati « tanti essere i

quadrati quanti i numeri insieme » e cerchiamo di

capire cosa intendeva esprimere …

con « i numeri insieme » si riferiva ai numeri naturali

consideriamo allora l’insieme dei numeri naturali N e

l’insieme dei qudrati dei numeri naturali, QUAD

… e costruiamo una corrispondenza biunivoca tra

questi due insiemi …

Richard Dedekind

fine

1 2 3 4 5 6 7 8…

1 4 9 16 25 36 49 64…

… gli insiemi N e QUAD sono equipotenti … N è un insieme

infinito.

… provate voi con l’insieme dei numeri naturali pari P ...

fine

… costruiamo una tabella di tutte le frazioni … come questa

E’ un’idea del mio collega Georg Cantor

(primo metodo diagonale)

… facciamo un altro esempio: consideriamo l’insieme di tutte

le frazioni...

fine

… e iniziamo a mettere in fila le frazioni … secondo un ordine

conveniente … in modo da non saltarne nessuna ...

31

371 3 4 10 11 21 22 36

6 8 34

7 14

2615

16

17

18

27

28

29

30

32

42

41

40

39

2 5 9 12 20 23 35 38

1913 24

3325

fine

Ogni volta che ritroviamo una frazione ‘ equivalente ’ ad una già considerata, la saltiamo.

Così, saltiamo2 ; 4 ; 3 ; 2 ; eccetera2 2 3 4 …………..

31

371 3 4 10 11 21 22 36

6 8 34

7 14

2615

16

17

18

27

28

29

30

32

42

41

40

39

2 5 9 12 20 23 35 38

1913 24

3325

fine

… mantenendo sempre lo stesso ordine ….

fine

31

371 3 4 10 11 21 22 36

6 8 34

7 14

2615

16

17

18

27

28

29

30

32

42

41

40

39

2 5 9 12 20 23 35 38

1913 24

3325

1

2

3 4

5

6

7

8

9 10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

22

23

24

25

26

27 28

29

31

371 3 4 10 11 21 22 36

6 8 34

7 14

2615

16

17

18

27

28

29

30

32

42

41

40

39

2 5 9 12 20 23 35 38

1913 24

3325

fine

1

2

3 4

5

6

7

8

9 10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

22

23

24

25

26

27 28

29

Le frazioni sono quindiordinate così.

3 4

31

371 3 4 10 11 21 22 36

6 8 34

7 14

2615

16

17

18

27

28

29

30

32

42

41

40

39

2 5 9 12 20 23 35 38

1913 24

3325

1

2

3 4

5

6

7

8

9 10

11

12

13

14

15

16

17 18

19

20

21

22

23

24

25

26

27 28

29

fine

28abbiamo così stabilito una

corrispondenza biunivoca tra N e Q … allora l’insieme Q è

infinito.

… meglio, l’insieme delle frazioni è numerabile ...

… il procedimento seguito ci assicura che nessuna frazione

può essere dimenticata … e nell’ordinamento fatto non

possiamo inserire nessun’altra nuova frazione

Attenzione:

Naturalmente l’ordine in cui sono scritte le frazioni

è un ordine convenzionale!

non è il consueto ordinamento espresso dalla relazione ‘minore di’

<

La possibilità di stabilire una corrispondenza biunivoca tra N e Q può sembrare paradossale.Infatti, date in Q due frazioni

a/b < c/d

Posso sempre trovare una frazione compresa tra esse.

Si può dimostrare facilmente che:

a/b < (a+c)/(b+d) < c/d

Questa proprietà si esprime dicendo che l’insieme Q dei razionali è denso.

Questa proprietà è ovviamente falsa per l’insieme N dei naturali: quale naturale posso inserire tra 2 e 3?

fine

Allora tutti gli insiemiinfiniti sono equipotenti

a N?

Esistono insiemi infiniti non equipotenti

fine

la situazione è un po ’ più complessa ...

ho dimostrato che l’insieme N e l’insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1 non sono equipotentiVediamo questo metodo

(secondo metodo diagonale)Georg Cantor

0,0,0,0,0,

fine

Ciascuno di voi mi detteràun numero decimale

compreso tra zero e uno.

0,0,0,0,0,

fine

Ciascuno di voi mi detteràun numero decimale

compreso tra zero e uno.

Scriverò le prime dieci cifre, ma voi pensate

di andare avanti quanto volete.

0,0,0,0,0, 0,4412034567…..

fine

0,4412034567…..0,0,0,0,

fine

0,2650134210…..

0,4412034567…..0,2650134210…..0,0,0, 0,1342500049….

fine

0,4412034567…..0,2650134210…..0,1342500049….0,0,

fine

0,4444555320…

0,4412034567…..0,2650134210…..0,1342500049….0,4444555320…0,

0,4444555320…

0,1234567890...

fine

0,4412034567…..0,2650134210…..0,1342500049….0,4444555320…0,1234567890...

fine

0,4412034567…..0,2650134210…..0,1342500049….0,4444555320…0,1234567890...

fine

Eccetera …...Ammettiamo ora di

avere scritto in questo modotutti i numeri decimali

infiniti (compresi tra 0 e 1)in un certoordine, scelto da voi.

Ora, con il vostro aiuto,scriverò un numero

che sicuramente sfuggea questo ordinamento.

0,4412034567…..0,2650134210…..0,1342500049….0,4444555320…0,1234567890...

0,3 5 3 3

4….

fine

ho scritto in blu una cifra diversa

da quella indicata in rosso nella stessa

riga

0,4412034567…..0,2650134210…..0,1342500049….0,4444555320…0,1234567890...0,35334…

fine

Il numero scritto in blu

non compare tra quelli che mi avete dettato.

Perché?

0,4412034567…..0,2650134210…..0,1342500049….0,4444555320…0,1234567890...0,35334…

fine

E’ chiaro?

Perché ha la prima cifra diversa da quella del primo numero;la seconda diversa da quella del secondo;

la terza diversa da quella del terzo;eccetera ….

0,4412034567…..0,2650134210…..0,1342500049….0,4444555320…0,1234567890...0,35334…

Qualunque sia l’ordine in cuivoi dettate i numeri,

potrò sempre – in questo modo –trovarne

uno che “sfugge” alvostro elenco.

fine

fine

Ho deciso di indicare il cardinale di N con 0

e il cardinale di [0,1] con 1

cardinale

Quanto abbiamo detto si riassume nella relazione

0 < 1

Georg Cantor

Qui nasce subito il dubbio, che mi pare insolubile: ed è, che sendo noi sicuri trovarsi linee una maggior dell'altra, tutta volta che amendue contenghino punti infiniti bisogna confessare trovarsi nel medesimo genere una cosa maggior dell'infinito, perché la infinità de i punti della linea maggiore eccederà la infinità de i punti della minore. Ora questo darsi un infinito maggior dell'infinito mi par concetto da non poter esser capito in verun modo. Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno agl'infiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente, perché stimo che questi attributi di maggioranza, minorità ed egualità non convenghino a gl'infiniti, de i quali non si può dire, uno esser maggiore o minore o eguale all'altro. Per prova di che già mi sovvenne un sì fatto discorso, il quale per più chiara esplicazione proporrò per interrogazioni al Sig. Simplicio, che ha mossa la difficoltà. Io suppongo che voi benissimo sappiate quali sono i numeri quadrati, e quali i non quadrati.

Discorsi e dimostrazioni matematiche, Giornata Prima

So benissimo che il numero quadrato è quello che nasce dalla moltiplicazione d'un altro numero in sé medesimo: e così il quattro, il nove, etc., son numeri quadrati, nascendo quello dal dua, e questo dal tre, in sé medesimi moltiplicati

Benissimo: e sapete ancora, che sì come i prodotti si dimandano quadrati, i producenti, cioè quelli che si multiplicano, si chiamano lati o radici; gli altri poi, che non nascono da numeri multiplicati in sé stessi, non sono altrimenti quadrati. Onde se io ti dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?

Non si può dir altrimenti.

Discorsi e dimostrazioni matematiche, Giornata Prima

Interrogando io di poi, quanti siano i numeri quadrati, si può con verità rispondere, loro esser tanti quante sono le proprie radici, avvenga che ogni quadrato ha la sua radice, ogni radice il suo quadrato, né quadrato alcuno ha più di una sola radice, né radice alcuna più d'un quadrato solo.

Così sta.

Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano quante tutti i numeri, poiché non vi è numero alcuno che non sia radice di qualche quadrato; e stante questo, converrà dire che i numeri quadrati siano quanti tutti i numeri, poiché tanti sono quante le lor radici, e radici sono tutti i numeri: e pur da principio dicemmo, tutti i numeri esser assai più che tutti i quadrati, essendo la maggior parte non quadrati. E pur tuttavia si va la moltitudine de i quadrati sempre con maggior proporzione diminuendo, quanto a maggior numeri si trapassa; perché sino a cento vi sono dieci quadrati, che è quanto a dire la decima parte esser quadrati; in dieci mila solo la centesima parte son quadrati, in un millione solo la millesima: e pur nel numero infinito, se concepir lo potessimo, bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati quanti tutti i numeri insieme.

Discorsi e dimostrazioni matematiche, Giornata Prima

Che dunque si ha da determinare in questa occasione?

Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, né la moltitudine de' quadrati esser minore di quella di tutti i numeri, né questa maggior di quella, ed in ultima conclusione, gli attributi di eguale maggiore e minore non aver luogo ne gl'infiniti, ma solo nelle quantità terminate. E però quando il Sig. Simplicio mi propone più linee diseguali, e mi domanda come possa essere che nelle maggiori non siano più punti che nelle minori, io gli rispondo che non ve ne sono né più né manco né altrettanti, ma in ciascheduna infiniti.

Discorsi e dimostrazioni matematiche, Giornata Prima

G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

Sagredo

Due insiemi M e N sono equipotenti se esiste

una corrispondenza biunivoca di M in N

Quando due insiemi sono equipotenti, di dice

che hanno lo stesso cardinale