APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI I numeri ... · 3 L’insieme Q dei numeri razionali 61...

APPUNTI DI MATEMATICA

GLI INSIEMI NUMERICI

• I numeri naturali

• I numeri interi

• I numeri razionali

• Teoria degli insiemi (cenni)

ALESSANDRO BOCCONI

Indice

1 L’insieme N dei numeri naturali 4

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Caratteristiche dell’insieme N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 L’addizione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 La moltiplicazione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 La sottrazione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 La divisione nei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Confronti e considerazioni sulle quattro operazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8 La priorita delle operazioni e le parentesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9 L’uso delle lettere, e la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma. 14

1.10 Le potenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.11 Divisori, multipli, e numeri primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.12 Criteri di divisibilita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.13 Il Massimo comun Divisore e il minimo comune multiplo. . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.14 Il sistema di numerazione posizionale in base dieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.15 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.16 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.17 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 L’insieme Z dei numeri interi 39

2.1 La nascita dei numeri interi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Caratteristiche dell’insieme Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Le operazioni coi numeri interi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4 L’addizione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 La sottrazione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6 La moltiplicazione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7 La divisione nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.8 Le potenze nei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

2.9 La priorita delle operazioni, le parentesi e le espressioni . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.10 Identificazione fra i numeri interi non negativi e i numeri naturali . . . . . . . . . . . 55

2.11 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 L’insieme Q dei numeri razionali 61

3.1 L’insieme delle frazioni di numeri Naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Significato “descrittivo” delle frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Frazioni equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Frazioni ridotte ai minimi termini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5 Addizioni e sottrazioni fra frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6 Frazione di numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7 La moltiplicazione fra frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.8 La divisione fra frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.9 La potenza di frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.10 Espressioni con le frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.11 Semplificazioni fra potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.12 Potenze con esponente negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.13 La notatazione scientifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.14 Le frazioni e i numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.15 Le proporzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.16 Le percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.17 Le frazioni e i numeri decimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.18 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.19 Errore assoluto, errore relativo e errore percentuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.20 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.21 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4 Gli insiemi (cenni) 106

4.1 Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2 Rappresentazione degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3 Cardinalita di un insieme, l’insieme vuoto e l’insieme Universo . . . . . . . . . . . . 108

4.4 I sottoinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5 Operazioni fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.6 Rappresentazione delle operazioni fra insiemi tramite i diagrammi di Eulero-Venn . . 112

4.7 Alcuni risultati importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2

4.8 Il prodotto cartesiano fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.9 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Capitolo 1

L’insieme N dei numeri naturali

1.1 Introduzione

L’esigenza di contare e quantificare e presente nella vita quotidiana sin dalle origini dell’umanita:il concetto di numero ha sempre accompagnato l’uomo durante la sua evoluzione. Le proprieta,le notazioni e i risultati che incontreremo sono frutto del lavoro di studiosi nel corso dei secoli.Quanto ci apprestiamo ad affrontare e una sintesi di una parte di questo lungo e paziente lavoroed ha lo scopo di porre le basi di una scienza in continua evoluzione: la matematica.

1.2 Caratteristiche dell’insieme N

L’insieme dei numeri naturali e costituito da:

N = {0; 1; 2; 3; 4; .......}

Evidenziamo alcune caratteristiche dell’insieme N:

1. L’insieme N ammette naturalmente una relazione d’ordine, cioe un criterio che ci permettedi stabilire, presa una qualunque coppia di elementi di N, quale elemento viene prima. Larelazione d’ordine in questo caso e: essere minore di.... Ad esempio, scelti gli elementi 3 e 27,l’elemento 3 viene prima dell’elemento 27 in quanto 3 e minore di 27;

2. L’insieme N e costituito da infiniti elementi.

3. L’insieme N e illimitato, cioe non esiste un elemento di N che non e minore di nessun altroelemento di N.

Osservazione. In base alle caratteristiche di N possiamo affermare che esiste il primo elementodell’insieme (cioe lo zero che e minore di tutti gli altri) ma non esiste l’ultimo.

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Osservazione. La migliore rappresentazione grafica dell’insieme N e, in base alle sue caratteristi-che, una semiretta orientata (cioe che ha un ordine in cui cresce indicato dalla freccia) come quellarappresentata in figura 1.1.

Alessandro Bocconi 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Figura 1.1: La semiretta dei numeri Naturali

1.3 L’addizione nei numeri naturali

Il concetto di addizione di due numeri naturali e cosı intuitivo che, darne qui una definizione,risulterebbe soltanto un inutile appesantimento. Quindi non spiegheremo ad esempio cosa vuoldire 3 + 5 e perche il suo risultato sia 8, lasciando a queste domande l’intuitiva risposta che illettore puo darsi.Ci soffermeremo pero sulla terminologia: il risultato di un’addizione si dice somma, e i due numeriche compongono l’addizione si dicono addendi. Prendendo ad esempio l’addizione 3 + 5; 3 e 5sono addendi, e 8 e la somma.

Anche se l’addizione e un’operazione fra due numeri, si utilizza spesso l’espressione somma di piunumeri. Con tale espressione si intende il risultato che si ottiene sommando i primi due addendi,al risultato si somma il terzo e cosı via.

Proprieta dell’addizione:

1. Proprieta commutativa: scambiando fra di loro i due addendi la somma non cambia (Esempiola somma di 3+5 e uguale alla somma di 5+3)

2. Proprieta associativa: La somma di piu numeri non cambia, cambiando l’ordine in cui leaddizioni vengono eseguite.

Esempio:3 + 7 + 5

Eseguiamo prima l’addizione fra 3 e 7 che ha risultato 10:

3 + 7 + 5 = 10 + 5 = 15

Adesso eseguiamo prima la seconda addizione (fra 7 e 5) che ha come risultato 12:

3 + 7 + 5 = 3 + 12 = 15

Si osserva che il risultato finale non cambia e conferma la proprieta associativa dell’addizione.

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Osservazione. La proprieta associativa puo risultare estremamente utile per facilitare il calcolodi una somma. Si consideri ad esempio:

49 + 97 + 3


Effettuare, come viene naturale, prima la somma fra 49 e 97 non e molto semplice soprattutto sedobbiamo eseguirla a mente. Molto piu semplice e determinare 97 + 3 = 100 e poi effettuare lasomma con 49: 49 + 100 = 149.

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Osservazione. Se in un’addizione uno dei due addendi e zero la somma e l’altro addendo.

Esempi:5 + 0 = 5; 0 + 5 = 5

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1.4 La moltiplicazione nei numeri naturali

Chiariamo con un esempio l’espressione “sommare un numero piu volte” che ci servira per ladefinizione di moltiplicazione: sommare 4 volte il numero 3 significa:

3 + 3 + 3 + 3︸︷︷︸4 volte

La definizione di moltiplicazione deriva dall’addizione:

Definizione di moltiplicazione: moltiplicare fra loro due numeri vuol dire sommare il primonumero tante volte quanto e il secondo numero.

Esempi:5 · 3 = 5 + 5 + 5︸︷︷︸

3 volte

= 15 7 · 6 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7︸︷︷︸6 volte

= 42

I due numeri che compongono una moltiplicazione si chiamano fattori, mentre il risultato di unamoltiplicazione si dice prodotto. Nel primo esempio 5 e 3 sono i fattori mentre 15 e il prodotto.

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Problema

Mettendo delle palline una sopra l’altra abbiamo formato delle colonne costituite da queste palline(supponiamo che le palline stiano in equilibrio una sull’altra). Ciascuna colonna e formata da 3palline, e le colonne sono 5 (figura 1.2). Quante palline ci sono in tutto?

La risposta e molto semplice: 3 palline nella prima colonna, piu 3 palline nella seconda e cosı viafino ad arrivare alla quinta. Quindi:

numero di palline = 3 + 3 + 3 + 3 + 3︸︷︷︸5 colonne

= 15

Ma sommare 5 volte il numero 3 e, per definizione, il prodotto 3 · 5. Quindi il problema e risoltomoltiplicando il numero delle palline in ciascuna colonna (primo fattore) col numero delle colonne(secondo fattore).

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.

.

Figura 1.2: 3 palline per ciascuna delle 5 colonne

Osservazione importante. La definizione di moltiplicazione perde chiarezza nei casi in cui ilsecondo fattore e 1, oppure 0. L’esempio delle palline messe in colonna ci aiuta ad analizzare questidue casi:

• Secondo fattore uguale a 1. Il prodotto e equivalente al seguente problema: abbiamo uncerto numero di palline (primo fattore) messe in un’unica colonna (secondo fattore). Quantepalline abbiamo in tutto? Ovviamente la risposta e che abbiamo tante palline quante ci sononell’unica colonna. Quindi il prodotto di due fattori di cui il secondo e 1 e uguale al primofattore.

Esempio: 8 · 1 = 8

• Secondo fattore uguale a 0. Considerando come prima le palline e le colonne, in questocaso, dato che il secondo fattore e 0, non abbiamo nessuna colonna. Se non ci sono colonnenon ci sono neppure palline (cioe 0 palline), e quindi il prodotto e uguale a 0.

Esempio: 8 · 0 = 0

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Come per la somma, definiamo il prodotto di piu fattori, come il risultato che si ottiene moltipli-cando i primi due fattori fra loro, al risultato si moltiplica il terzo e cosı via.

Proprieta della moltiplicazione:

1. Proprieta commutativa: scambiando fra di loro i due fattori il prodotto non cambia.

Verifichiamolo ancora con l’aiuto delle palline: in figura 1.2 abbiamo messo 3 palline inciascuna delle 5 colonne, e abbiamo visto che il numero totale di palline e data dal prodotto3 · 5.

Supponiamo adesso di ruotare il rettangolo dove sono contenute le palline, in modo daappoggiarlo sul lato piu corto (figura 1.3).

Adesso abbiamo 5 palline per ciascuna colonna, e le colonne sono 3. Quante sono le palline?La risposta e data dal prodotto 5 · 3. Ma ovviamente il numero delle palline e rimasto lostesso nelle due figure, e quindi i due prodotti devono dare lo stesso risultato, quindi:

3 · 5 = 5 · 3

Considerando che tale procedimento e indipendente dalla scelta del numero delle palline edelle colonne, abbiamo verificato la proprieta commutativa della moltiplicazione.


. .

Figura 1.3: 5 palline per ciascuna delle 3 colonne

2. Proprieta associativa: il prodotto di piu fattori non cambia, cambiando l’ordine con cui lemoltiplicazioni vengono eseguite.

Verifichiamolo con un esempio: ad un istruttore viene commissionato un corso che gli verraretribuito 20 euro all’ora, e dovra lavorare per 5 ore al giorno, per 3 giorni. Quanto guadagneral’istruttore?

Riscriviamo l’accordo con l’istruttore:

20 euro all’ora per 5 ore al giorno per 3 giorni.

Il problema si traduce quindi in20 · 5 · 3

In realta a noi non interessa quanto guadagna, ma che allo stesso risultato possiamo arrivarciin (almeno) 2 modi diversi.

(a) Calcoliamo quanto guadagna al giorno e poi si moltiplica per il numero dei giorni: vistoche guadagna 20 euro all’ora e lavora 5 ore in un giorno, al giorno guadagna 20 · 5 = 100euro. I giorni di lavoro sono 3 quindi il guadagno totale e 100 · 3 = 300.

(b) Calcoliamo quante ore di lavoro effettua nei 3 giorni, e poi moltiplichiamo per il compensoorario: visto che lavora 5 ore al giorno per 3 giorni, il numero di ore lavorative e 5 ·3 = 15ore. Dal momento che riceve 20 euro all’ora, il guadagno totale e 20 · 15 = 300.

Nel primo caso abbiamo effettuato prima la prima moltiplicazione (20 · 5) e poi abbiamomoltiplicato il risultato per 3. Nel secondo caso abbiamo effettuato prima la seconda molti-plicazione (5 · 3) e poi abbiamo moltiplicato il risultato per 20. Dal momento che il risultatoe lo stesso nei 2 casi (e non potrebbe essere altrimenti visto che il compenso finale deve esserelo stesso comunque lo si calcoli), abbiamo dimostrato che il risultato non cambia, cambiandol’ordine in cui vengono effettuate le moltiplicazioni.

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Osservazione. Come gia visto per l’addizione, la proprieta associativa puo risultare estremamenteutile anche per calcolare un prodotto. Si consideri ad esempio:

79 · 5 · 2


Effettuare, come viene naturale, prima il prodotto fra 79 e 5 non e molto semplice soprattutto sedobbiamo eseguirlo a mente. Molto piu semplice e determinare 5 ·2 = 10 e poi effettuare il prodottocon 79: 79 · 10 = 790.

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Tenuto conto dell’osservazione importante e della proprieta commutativa della moltiplicazionepossiamo affermare che:

1. Se uno dei due fattori di una moltiplicazione e 1, il prodotto e uguale all’altro fattore.

2. Se uno dei due fattori di una moltiplicazione e 0, il prodotto e 0.

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1.5 La sottrazione nei numeri naturali

Anche la definizione di sottrazione deriva dall’addizione:

Definizione di sottrazione: eseguire una sottrazione fra due numeri vuol dire determinare quelnumero che sommato al secondo dei due, ha come risultato il primo.

Esempio: eseguire la sottrazione 10-6 vuol dire determinare quel numero la cui somma con 6 euguale a 10. E corretto quindi affermare che il motivo per cui 10 − 6 = 4 e dato dal fatto che4 + 6 = 10.

Il primo numero di una sottrazione si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultatodifferenza. Nell’esempio precedente 10 e il minuendo, 6 il sottraendo e 4 la differenza.

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Esempi7− 2 = 5 infatti 2 + 5 = 7;

6− 6 = 0 infatti 6 + 0 = 6;

9− 0 = 9 infatti 0 + 9 = 9;

5−8 non si puo fare perche non esiste nessun numero naturale che sommato a 8 ha come risultato 5.

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Dall’ultimo esempio si ricava la seguente importante:

Osservazione. Si puo eseguire una sottrazione nei numeri naturali solo se il minuendo non eminore del sottraendo.

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Per la sottrazione non valgono ne la proprieta commutativa, ne quella associativa.Verifichiamolo con degli esempi:

• 7− 5 = 2, se valesse la proprieta commutativa dovrebbe risultare che, invertendo il minuendocol sottraendo, la differenza rimane la stessa, mentre invece 5− 7 non ha nessun risultato.


• Per vedere che non vale la proprieta associativa consideriamo

11− 5− 2

se eseguiamo prima la prima sottrazione (11− 5 = 6) otteniamo:

11− 5− 2 = 6− 2 = 4

Se valesse la proprieta associativa il risultato finale non dovrebbe cambiare invertendo l’ordinedelle sottrazioni, mentre invece eseguendo prima la seconda sottrazione (5− 2 = 3) si ottiene

11− 5− 2 = 11− 3 = 8

che e un risultato finale diverso dal precedente.

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1.6 La divisione nei numeri naturali

La definizione di divisione deriva dalla moltiplicazione (che, come ricorderemo, a sua volta derivavadall’addizione):

Definizione di divisione: Eseguire una divisione fra due numeri vuol dire determinare quelnumero che moltiplicato al secondo dei due, ha come risultato il primo.

Esempio: eseguire la divisione 10 : 5 vuol dire determinare quel numero che moltiplicato per 5 hacome risultato 10. E corretto quindi affermare che il motivo per cui 10 : 5 = 2 e dato dal fatto che2 · 5 = 10.

Il primo numero di una divisione si chiama dividendo, il secondo divisore e il risultato quoziente.Nell’esempio precedente 10 e il dividendo, 5 il divisore e 2 il quoziente.

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Osservazione: E importante notare che, come per la sottrazione, non sempre e possibile effettuarela divisione fra due numeri: ad esempio 8 : 3 non ha alcun risultato nei numeri naturali, in quantonon esiste un numero naturale che moltiplicato per 3 ha come risultato 8.

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Esempi

1. 15 : 3 = 5, infatti 3 · 5 = 15

2. 9 : 9 = 1, infatti 9 · 1 = 9

3. 8 : 1 = 8, infatti 1 · 8 = 8

4. 0 : 5 = 0, infatti 5 · 0 = 0

5. 16 : 5 non ha risultato perche non esiste un numero che moltiplicato per 5 ha come risultato16

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Osservazioni. Dalla definizione di divisione possiamo concludere che:

• La divisione di un numero (diverso da 0) per se stesso ha sempre quoziente 1 (secondoesempio).

• La divisione di un numero per 1 ha sempre come quoziente il numero stesso (terzo esempio).

• 0 diviso qualunque numero (diverso da 0) ha sempre come quoziente 0 (quarto esempio).

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La divisione per zero.

• Consideriamo adesso una divisione in cui il dividendo sia diverso da zero e il divisore ugualea zero, ad esempio 5 : 0. Il quoziente di questa divisione, se esistesse, dovrebbe essere unnumero che moltiplicato per 0 ha come risultato 5, mentre sappiamo che qualunque numeronaturale moltiplicato per 0 ha come risultato 0 (vedi paragrafo 1.4).

• Studiamo ora il caso in cui anche il dividendo e 0, cioe la divisione 0 : 0. In questo caso siamodi fronte a una forma indeterminata: infatti potremmo affermare che 0 : 0 = 1 infatti 0 ·1 = 0,ma potremmo anche dire che 0 : 0 = 2 infatti 0 · 2 = 0, oppure 0 : 0 = 18 infatti 0 · 18 = 0,oppure 0 : 0 = 0 infatti 0 · 0 = 0 e cosı via per tutti i numeri naturali. In altre parole ladivisione 0 : 0 non ha un unico risultato ma ne ha infiniti. Per questo viene chiamata formaindeterminata: perche non e possibile determinare un’unica soluzione dato che qualunquenumero e soluzione di quella divisione.

In ogni caso quindi non e mai possibile eseguire una divisione in cui il divisore sia 0.

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Per la divisione, come per la sottrazione, non valgono ne la proprieta commutativa,ne quella associativa. Verifichiamolo con degli esempi:

• 16 : 2 = 8, se valesse la proprieta commutativa dovrebbe risultare che, invertendo il dividendocol divisore, il quoziente rimane lo stesso, mentre invece 2 : 16 non ha nessun risultato.

• Per vedere che non vale la proprieta associativa consideriamo

24 : 6 : 2

se eseguiamo prima la prima divisione (24 : 6 = 4) otteniamo

24 : 6 : 2 = 4 : 2 = 2

Se valesse la proprieta associativa il risultato finale non dovrebbe cambiare invertendo l’ordinedelle divisioni, mentre invece eseguendo prima 6 : 2 = 3 si ottiene:

24 : 6 : 2 = 24 : 3 = 8

cioe un risultato finale diverso dal precedente.

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1.7 Confronti e considerazioni sulle quattro operazioni.

E utile effettuare un confronto fra le varie caratteristiche e proprieta che hanno le quattro operazioni.

• Innanzitutto presa una qualunque coppia di numeri naturali e sempre possibile effettuare laloro addizione e la loro moltiplicazione. Lo stesso non si puo dire per la sottrazione e ledivisione in quanto esistono coppie di numeri per le quali non esiste ne la differenza ne ilquoziente.

• Inoltre la moltiplicazione e l’addizione godono sia della proprieta commutativa che quellaassociativa, a differenza della divisione e della sottrazione che non godono di nessuna delledue. Si osservi a tal proposito che per l’addizione e la moltiplicazione i due numeri si chiamanoallo stesso modo (addendi per l’addizione e fattori per la moltiplicazione), mentre per lasottrazione e la divisione il primo numero ha un nome diverso dal secondo (minuendo esottraendo per la sottrazione e dividendo e divisore per la divisione). Cio e dovuto al fattoche, godendo della proprieta commutativa, i termini della moltiplicazione e dell’addizionepossono essere scambiati, mentre quelli della divisione e sottrazione no.

• Se ad un numero addizioniamo o sottraiamo 0 il numero rimane invariato. Per questo sidice che 0 e l’elemento neutro per l’addizione e la sottrazione.

• Se moltiplichiamo o dividiamo un numero per 1 il numero rimane invariato. Per questo sidice che 1 e l’elemento neutro per la moltiplicazione e la divisione.

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1.8 La priorita delle operazioni e le parentesi.

Chiameremo espressione numerica, una serie di numeri legati fra di loro da delle operazioni.

Affrontiamo ora il caso di dover risolvere un’espressione, partendo da un esempio:

5 + 3 · 4− 1

E facile osservare che il risultato di tale espressione cambia a seconda dell’ordine in cui effettuiamole singole operazioni; se ad esempio scegliamo di partre da sinistra a destra si ottiene:

5 + 3 · 4− 1 = 8 · 4− 1 = 32− 1 = 31

Se invece scegliamo l’ordine inverso otteniamo:

5 + 3 · 4− 1 = 5 + 3 · 3 = 5 + 9 = 14

E avremmo ottenuto ancora un risultato diverso se avessimo scelto un ordine differente rispetto aidue precedenti (ad esempio prima la moltiplicazione poi la sottrazione e infine l’addizione). Dalmomento che in matematica le espressioni devono avere un unico risultato (altrimenti perderebberosenso), si e reso necessario fissare una priorita delle operazioni, cioe una classifica dell’ordine in cuile operazioni devono venire effettuate. E questa e la classifica:

• Primo posto: moltiplicazione e divisione a pari merito.


• Secondo posto: addizione e sottrazione a pari merito.

Con la regola che, se due operatori hanno la stessa priorita (cioe lo stesso posto in classifica) sieffettua prima quello piu a sinistra. Quindi per risolvere un’espressione si risolvono prima tuttele moltiplicazioni e le divisioni presenti, una per ogni passaggio, partendo da sinistra a destra.Quando non ci sono piu ne moltiplicazioni ne divisioni si passa alle addizioni e sottrazioni, sempreuna per volta, e sempre da sinistra a destra.

Esempi

. Risolvere la seguente espressione:

5 + 3 · 4− 1 =

c’e un’unica moltiplicazione che ha priorita maggiore degli altri operatori e quindi si svolge perprima:

5 + 12− 1 =

ci sono due operatori di uguale priorita, si effettua quindi per primo quello piu a sinistra:

17− 1 = 16

Quindi il risultato finale e 16.

. Risolvere la seguente espressione:18− 8 : 2 · 4 =

Le moltiplicazioni e le divisioni hanno priorita maggiore, si effettua in questo caso prima la divisioneperche e piu a sinistra:

18− 4 · 4 =

Adesso la moltiplicazione:18− 16 = 2


. Risolvere le seguenti espressioni:

1. 20− 12− 4 + 320− 12− 4 + 3 = 8− 4 + 3 = 4 + 3 = 7

2. 10 + 16 : 4 : 210 + 16 : 4 : 2 = 10 + 4 : 2 = 10 + 2 = 12

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Per cambiare l’ordine delle operazioni, l’unico strumento che esiste e l’uso delle pa-rentesi. Infatti se un’espressione contiene delle parentesi, prima si risolvono le parti di espressionedentro le parentesi fino a che non rimane solo un numero. A quel punto si tolgono le parentesi e siprocede come prima.

Esempio Risolvere la seguente espressione:

6 + (7− 2 · 3) · 4 =


prima si risolve la parte di espressione dentro le parentesi, ricordando che, all’interno di unaparentesi valgono le priorita descritte in precedenza, quindi:

6 + (7− 6) · 4 = 6 + (1) · 4

dentro le parentesi e rimasto solo un numero e quindi possono essere tolte:

6 + 1 · 4 = 6 + 4 = 10


�

Puo essere necessario, all’interno di una parentesi aprirne e chiuderne altre. In questo caso, perevitare confusione, si usano parentesi diverse da quelle tonde, e precisamente le parentesi quadre e,se necessario, le parentesi graffe. Per convenzione le parentesi tonde stanno dentro le quadre che aloro volta stanno dentro le graffe. In un’espressione con parentesi graffe, quadre e tonde, prima sirisolvono tutte le tonde, poi tutte le quadre, e in ultimo tutte le graffe.

Esempio Risolvere la seguente espressione:

12 + {20 : [(7− 5) · 8− 6] + 4 · 3} : 7 =

12 + {20 : [(2) · 8− 6] + 4 · 3} : 7 =

12 + {20 : [2 · 8− 6] + 4 · 3} : 7 =

12 + {20 : [16− 6] + 4 · 3} : 7 =

12 + {20 : [10] + 4 · 3} : 7 =

12 + {20 : 10 + 4 · 3} : 7 =

12 + {2 + 4 · 3} : 7 =

12 + {2 + 12} : 7 =

12 + {14} : 7 =

12 + 14 : 7 =

12 + 2 =

14.

�

1.9 L’uso delle lettere, e la proprieta distributiva della moltipli-cazione rispetto alla somma.

In matematica si usano molto frequentemente le lettere al posto dei numeri. Il motivo risiede nelfatto che con le lettere possiamo effettuare delle affermazioni che hanno carattere generale, cosanon possibile usando invece i numeri.Chiariamo quanto detto con un esempio: presi i numeri 3 e 5 vale che:

3 · 5 = 5 · 3

Quanto appena scritto afferma che la moltiplicazione gode della proprieta commutativa? La rispostae no, perche si potrebbe obiettare che cio che vale per i numeri 3 e 5, non necessariamente devevalere per tutti i numeri.


Se invece scriviamo: siano a e b due numeri naturali qualunque. Vale che:

a · b = b · a

In questo modo abbiamo enunciato la proprieta commutativa della moltiplicazione, in quanto a eb sono due qualunque numeri naturali, e quindi l’uguaglianza vale per tutti i numeri naturali.

Tale esempio dimostra quanto puo essere conveniente usare le lettere al posto dei numeri.

Possiamo adesso enunciare una proprieta estremamente importante che lega la moltiplicazione conl’addizione:

La proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: il prodotto di unasomma per un fattore e equivalente alla somma dei prodotti fra ciascun addendo e il fattore stesso.In formule:

(a + b + c + ....) · k = a · k + b · k + c · k...

dove i puntini stanno a significare che la somma puo essere composta da un qualsiasi numero diaddendi.

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Chiariamo, e verifichiamo, questa proprieta tramite un esempio.

Esempio(5 + 2 + 8) · 4

(si noti che tale espressione deriva dalla formula letterale scritta sopra, scegliendo al posto di a ilnumero 5, al posto di b il numero 2, al posto di c il numero 8 e al posto di k il numero 4).

Per la proprieta distributiva deve valere che il risultato della precedente espressione e uguale aquello della seguente espressione:

5 · 4 + 2 · 4 + 8 · 4

(cioe, riprendendo sempre la formula letterale, a · k + b · k + c · k).

Verifichiamolo:(5 + 2 + 8) · 4 = 15 · 4 = 60

5 · 4 + 2 · 4 + 8 · 4 = 20 + 8 + 32 = 60

e quindi la proprieta e verificata.

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1.10 Le potenze.

Consideriamo la seguente espressione:

2 · 2 · 2 · 2 · 2︸︷︷︸5 volte

Osserviamo che si tratta di un prodotto in cui i fattori sono tutti 2. E possibile, e preferibile,scrivere tale espressione in forma piu compatta che prende il nome di potenza, cioe 25. Si dice che25 e una potenza di base 2 ed esponente 5.

Il concetto di potenza e fondamentale nella matematica, ed e cosı definito:


Definizione di potenza nei numeri naturali: sia a un numero naturale e n un numero naturalemaggiore di zero. Con l’espressione an (che si legge a elevato ad enne, o piu semplicemente a allaenne) si intende una potenza di base a ed esponente n, che equivale a:

an = a · a · a · a....︸︷︷︸n volte

Esempi:

1. 34 e una potenza di base 3 ed esponente 4, si legge tre alla quarta ed equivale a:34 = 3 · 3 · 3 · 3︸︷︷︸

4 volte

= 81

2. 72 e una potenza di base 7 ed esponente 2, si legge sette alla seconda ed equivale a:72 = 7 · 7︸︷︷︸

2 volte

= 49

3. 14 e una potenza di base 1 ed esponente 4, si legge uno alla quarta ed equivale a:14 = 1 · 1 · 1 · 1︸︷︷︸

4 volte

= 1

4. 05 e una potenza di base 0 ed esponente 5, si legge zero alla quinta ed equivale a:05 = 0 · 0 · 0 · 0 · 0︸︷︷︸

5 volte

= 0

5. 81 e una potenza di base 8 ed esponente 1, si legge otto alla prima ed equivale a:81 = 8︸︷︷︸

1 volta

= 8

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Osservazioni: Dalla definizione di potenza e dagli esempi possiamo facilmente osservare che:

• Qualsiasi numero naturale elevato alla prima equivale al numero stesso (vedi esempio 5).Quindi qualsiasi numero naturale puo essere visto come una potenza avente come base ilnumero stesso e come esponente uno (ad esempio 7 e equivalente alla potenza 71).

• Zero elevato a qualunque numero maggiore di zero e uguale a zero (vedi quarto esempio).

• Uno elevato a qualunque numero maggiore di zero e uguale a uno (terzo esempio).

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Si noti inoltre che tramite le potenze possiamo esprimere con numeri relativamente piccoli, anchenumeri molto elevati, ad esempio: 67 = 279936. A tal proposito si legga con attenzione il seguenteracconto.

La nascita degli scacchi e i chicchi di riso. Narra la leggenda che gli scacchi furono inventatiin India da un bramino (un sacerdote) di nome Sissa. Egli era cosı orgoglioso della sua invenzioneche la porto in dono al suo sovrano. Anche il sovrano rimase entusiasta del nuovo gioco e, perricompensare il bramino, disse che avrebbe potuto chiedergli in dono qualunque cosa: denaro,stoffe preziose, terre, gemme ecc.

Il bramino fece una richiesta piuttosto insolita: “mio sovrano per determinare la mia ricompensadovra essere messo un chicco di riso nella prima casella della scacchiera, 2 nella seconda, 4 nella


terza, 8 nella quarta e cosı via fino all’ultima casella. Quello che ti chiedo e di darmi il contenutodell’ultima casella”

Il re rise a quell’insolita richiesta pensando di essersela cavata con pochi chicchi di riso. Quandopero i suoi consiglieri determinarono la quantita di riso che spettava al bramino non ebbe piu alcunavoglia di sorridere: per esaudire la richiesta non sarebbero state sufficienti le scorte di riso di tuttoil regno.

Vediamo perche: innanzitutto sappiamo che le caselle di una scacchiera sono 64. La richiesta delbramino era di un chicco sulla prima casella, 2 sulla seconda, 4 sulla terza e cosı via. Mettiamoquesti dati in tabella:

casella numero di chicchi

1 12 23 44 85 16. .. .. .

Si osserva che nell colonna a destra sono tutte potenze del 2 (a cominciare da 1 che e 20 comevedremo nel prossimo paragrafo) quindi possiamo riscrivere la tabella come:

casella numero di chicchi

1 20

2 21

3 22

4 23

5 24

. .

. .

. .63 262

64 263

quindi la 64-esima casella corrisponde a 263 chicchi di riso cioe 9.223.372.036.854.775.808 chic-chi. Per rendersi conto dell’enormita di tale numero si pensi che un chicco di riso pesa circa unquarantacinquesimo di grammo, quindi il peso di tutti quei chicchi e superiore a 200 miliardi ditonnellate.

Considerando che nel 2006 la produzione annuale di riso del pianeta e stata di 636 milioni ditonnellate ci sarebbero voluti piu di 300 anni per produrre una tale quantita di riso!!

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Capiamo bene quindi che se dovessimo effettuare il prodotto 67 · 610 calcolando prima 67 poi 610, epoi moltiplicando fra loro i numeri ottenuti, avremmo come minimo bisogno di una calcolatrice (eanche piuttosto potente). Per questo ci vengono in aiuto le fondamentali proprieta delle potenze.

Le proprieta delle potenze.

1. Il prodotto fra due potenze aventi la stessa base e una potenza che ha per base la stessa basee per esponente la somma degli esponenti.

Verifichiamo tale proprieta con un esempio:


35 · 32 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3︸︷︷︸5 volte

· 3 · 3︸︷︷︸2 volte

= 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3︸︷︷︸7 volte

= 37

Quindi il risultato ha la stessa base dei fattori (cioe 3) e come esponente la somma degliesponenti (cioe 5 + 2 = 7).

2. Il quoziente fra due potenze aventi la stessa base, in cui la prima (dividendo) deve averel’esponente maggiore della seconda (divisore), e una potenza che ha per base la stessa base eper esponente la differenza degli esponenti.

Verifichiamo con un esempio: 57 : 54

Dal momento che il quoziente e quel numero che moltiplicato per il divisore ha come risultatoil dividendo, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 54 ha come risultato 57. Graziealla prima proprieta possiamo affermare che 53 · 54 = 57, e quindi 53 e il risultato cercato.Quindi il risultato ha la stessa base del dividendo e del divisore (cioe 5) e come esponente ladifferenza degli esponenti (cioe 7− 4 = 3).

3. La potenza di una potenza e una potenza che ha per base la stessa base e per esponente ilprodotto degli esponenti.


(35)2 = 35 · 35︸︷︷︸2 volte

= per la prima proprieta = 35+5 = 310

dove la parentesi iniziale sta a indicare che prima si determina 35 e poi si eleva alla seconda.

Quindi il risultato ha la stessa base iniziale (cioe 3) e come esponente il prodotto degliesponenti (cioe 5 · 2 = 10).

4. Il prodotto fra due potenze aventi lo stesso esponente e una potenza che ha per esponente lostesso esponente e per base il prodotto delle basi.


24 · 34 = 2 · 2 · 2 · 2︸︷︷︸4 volte

· 3 · 3 · 3 · 3︸︷︷︸4 volte

= per la proprieta commutativa della moltiplicazione

= (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3) · (2 · 3)︸︷︷︸4 volte

= 6 · 6 · 6 · 6︸︷︷︸4 volte

= 64

Quindi il risultato ha la stesso esponente dei fattori (cioe 4) e come base il prodotto delle basi(cioe 2 · 3 = 6).

5. Il quoziente fra due potenze aventi lo stesso esponente e una potenza che ha per esponente lostesso esponente e per base il quoziente delle basi.

Verifichiamo con un esempio: 87 : 27

Dal momento che il quoziente e quel numero che moltiplicato per il divisore ha come risultatoil dividendo, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 27 ha come risultato 87. Graziealla quarta proprieta possiamo affermare che 47 · 27 = 87, e quindi 47 e il risultato cercato.Quindi il risultato ha lo stesso esponente del dividendo e del divisore (cioe 7) e come base ilquoziente delle basi (cioe 8 : 2 = 4).

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Potenza con esponente zero. Dalla definizione che abbiamo dato di potenza risulta che nonha senso una potenza con esponente zero: infatti, nella stessa definizione, abbiamo specificato chel’esponente fosse un numero naturale maggiore di zero. Risulta pero estremamente utile dare unsignificato, e quindi un valore, ad una potenza, di base maggiore di zero, il cui esponente e zero.


Si e deciso di adottare la seguente convenzione:

Convenzione. La potenza avente come esponente 0 e come base un qualunque numero naturalemaggiore di 0 vale 1.

Esempi50 = 1; 30 = 1; 10 = 1

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Osservazione. La scelta di attribuire il valore 1, ad una potenza di esponente 0 e, come giadetto, una convenzione. Risulta pero estremamente utile osservare che, fra tutti i valori che avrem-mo potuto attribuire, 1 risulta la scelta migliore per conservare alcune proprieta delle potenzeestendendole all’esponente 0.

Chiariamo quanto detto con due esempi.

. Ammettiamo l’esistenza di una potenza ad esponente 0, ad esempio 30, e consideriamo ilseguente prodotto:

35 · 30

applicando la prima proprieta delle potenze risulta:

35 · 30 = 35+0 = 35

quindi 35 (ma avrebbe funzionato con qualunque potenza del 3) moltiplicata per 30 resta 35, quindi30 funziona come elemento neutro della moltiplicazione. Allora, essendo 1 l’unico elemento neutrodella moltiplicazione, deve risultare che 30 = 1.

. Come secondo esempio consideriamo la divisione 25 : 25. La divisione fra due numeri uguali(siano essi potenze o meno), ha come risultato 1 (vedi paragrafo 1.6). Quindi deve risultare:

25 : 25 = 1

Ma se vogliamo estendere la seconda proprieta delle potenze al fatto che dividendo e divisorepossano avere lo stesso esponente deve risultare che:

25 : 25 = 25−5 = 20

Quindi la divisione 25 : 25 ha come risultato sia 1, sia 20. Dal momento che il risultato deve essereunico, l’unica possibilita per non entrare in contraddizione e che 20 = 1, in accordo con la nostraconvenzione.

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0 elevato a 0. Attribuire un valore a 00, qualunque esso sia, porterebbe a delle contraddizionicon altri risultati della matematica (purtroppo non abbiamo strumenti sufficienti per dimostrarequesta affermazione e dobbiamo prenderla per buona). Per questo si e stabilito che:

00 non ha significato (cioe non vale nessun numero).

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Osservazioni sulle proprieta delle potenze.

Analizziamo adesso alcuni casi.

Di fronte alla addizione: 35 + 34, possiamo usare la prima proprieta delle potenze e affermare che ilrisultato e 39? La risposta e ovviamente no, perche tutte le proprieta delle potenze riguardano lamoltiplicazione o la divisione o l’elevamento a potenza e non sono quindi applicabili per l’addizionee la sottrazione.

Di fronte alla precedente addizione ci sono quindi due sole possibilita: o si calcolano le due potenze(in questo caso, dato che 35 = 243 e 34 = 81, si ottiene 35 + 34 = 243 + 81 = 324), oppure si lasciacosı com’e (quest’ultima ipotesi e senz’altro da preferire se siamo di fronte a potenze grandi).

Consideriamo la moltiplicazione: 35 · 26, possiamo applicare qualche proprieta delle potenze? Larisposta e ancora no, perche in una moltiplicazione si puo applicare la prima proprieta se le basisono uguali, e la quarta proprieta se sono uguali gli esponenti, ma in questo caso non si verificanessuna delle due condizioni. Quindi o si calcolano le potenze e poi si esegue il prodotto, oppure silascia cosı com’e.

Lo stesso discorso appena fatto per la moltiplicazione si puo applicare alla divisione

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Osservazione. Consideriamo la divisione: 85 : 35. Avendo uguali gli esponenti si potrebbeapplicare la quinta proprieta. Ma in questo caso si osserva che 8 : 3 e una divisione che non haquoziente nei numeri naturali, e quindi non si puo applicare la proprieta citata, e scriveremo chetale divisione non ha risultato nei numeri naturali.

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Le potenze all’interno delle espressioni. Nel paragrafo precedente abbiamo stabilito un ordinedi priorita per le quattro operazioni all’interno di un’espressione. La domanda che ci poniamo ecome si colloca l’elevamento a potenza nella classifica delle priorita. La risposta e che l’elevamentoa potenza ha priorita maggiore di tutte le altre operazioni.

Esempio

3 + 12 : 22 · 5 =

Prima di tutto l’elevamento a potenza, quindi:

3 + 12 : 22 · 5 = 3 + 12 : 4 · 5 =

Poi si prosegue come gia visto nel paragrafo precedente:

= 3 + 3 · 5 = 3 + 15 = 18

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Anche in caso di espressioni con le potenze, le parentesi possono cambiare l’ordine delle operazioni:

Esempio

(1 + 2)4 =

La parentesi ci impone di effettuare prima la somma, e poi l’elevamento a potenza:

(1 + 2)4 = 34 = 81

Si osservi che senza le parentesi l’espressione precedente diventa:


1 + 24

ed in questo caso dovremmo effettuare prima l’elevamento a potenza e poi la somma ottenendo unrisultato diverso.

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Osservazione importante. Quando e possibile bisogna sempre applicare la proprieta delle po-tenze invece di calcolarsi la potenza: questo semplifica e velocizza notevolmente lo svolgimento diun’espressione.

Esempio

Risolvere la seguente espressione: 4 + 57 : 55.

E da considerare sbagliato (anche se formalmente non lo e) calcolarsi 57 e 55 e poi effettuare ladivisione, in quanto e possibile applicare la seconda proprieta delle potenze che ci permette dicalcolare con estrema semplicita, il quoziente di quella divisione che e 52. Quindi

4 + 57 : 55 = 4 + 52 = 4 + 25 = 29

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1.11 Divisori, multipli, e numeri primi.

Torniamo all’operazone della divisione vista al paragrafo 1.6.Abbiamo osservato che non tutte le divisioni hanno un risultato; ad esempio non esiste il quozientedi 9 : 5, mentre la divisione 15 : 3 ha come quoziente 5.Possiamo adesso definire:

Definizione di multiplo e di divisore. Un numero a e multiplo di un numero b (e allo stessotempo b e divisore di a), se la divisione a : b ha un quoziente.

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E facile osservare che fra i divisori di un numero ci sono sempre uno e il numero stesso. Possiamoadesso dare una fondamentale definizione:

Definizione di numero primo. Un numero maggiore di 1 si dice primo se ha come divisorisoltanto 1 e se stesso.

�

Si osservi che il numero uno ha come divisore soltanto uno, e quindi “avrebbe diritto” ad essereconsiderato un numero primo. Per convenienza e stato scelto di escluderlo dai numeri primi,inserendo nella definizione che il numero deve essere maggiore di uno.

Scopriamo i primi numeri primi:

Divisori di 2: 1; 2 quindi 2 e un numero primoDivisori di 3: 1; 3 quindi 3 e un numero primoDivisori di 4: 1; 2; 4 quindi 4 non e un numero primo perche fra i divisori c’e anche 2 che non e ne1 ne il numero stessoDivisori di 5: 1; 5 quindi 5 e un numero primo


Divisori di 6: 1; 2; 3; 6 quindi 6 non e un numero primo perche fra i divisori ci sono anche 2 e 3che non sono ne 1 ne il numero stesso

I primi numeri primi (che conviene imparare a memoria) sono:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 23; 29....

Due caratteristiche dei numeri primi:

1. I numeri primi sono infiniti.

2. I numeri primi diventano sempre piu rari al crescere dei numeri stessi (si osservi ad esempioche nei primi 10 numeri naturali ci sono ben 4 numeri primi, mentre fra 110 e 120 ce n’esoltanto uno).

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Significato di scomposizione in fattori primi: Scomporre un numero in fattori primi vuoldire scriverlo come un prodotto di fattori che sono numeri primi, o potenze di numeri primi, e talescomposizione e unica.Chiariamo quanto detto con un esempio: il numero 18 puo essere scomposto come 18 = 2 · 32. Ilfatto che tale scomposizione e unica significa che il numero 18 non puo essere scomposto in fattoriprimi diversi da quelli trovati.

Come si scompone un numero in fattori primi. Si traccia una linea verticale e in alto asinistra della linea scriviamo il numero da scomporre. Accanto a tale numero, dalla parte destradella linea, cerchiamo un numero primo che sia divisore del numero da scomporre. Conviene partiredal primo numero primo, cioe 2. Se il numero da scomporre e divisibile per 2, scriviamo 2, e sottoil numero da scomporre scriviamo il quoziente fra il numero da scomporre e 2. Se non e divisibileper 2, proviamo con 3 e cosı via finche non troviamo un numero primo divisore del numero dascomporre. Si ripete quindi il procedimento considerando questa volta il quoziente appena trovato,e cercando un numero primo che gli sia divisore; in questa ricerca si parte dall’ultimo numeroprimo utilizzato nella precedente divisione. Il procedimento termina quando il quoziente e 1. Lascomposizione del numero e data dal prodotto di tutti i fattori primi a destra della linea.

Chiariamo con alcuni esempi.

. Scomporre il numero 18:

18

18 e divisibile per 2 che e il primo dei numeri primi. Scriviamo quindi 2 nella colonna a destraaccanto a 18; e sotto 18 il numero 9 che e il risultato della divisione 18:2.

18 29

Si considera adesso il numero 9. 9 non e divisibile per 2, si prova quindi col numero primo successivocioe 3; 9 e divisibile per 3, e si scrive 3 nella colonna a destra accanto al 9, e sotto 9 il numero 3che e il risultato della divisione 9:3.


18 29 33

Il numero 3 e divisibile per 3. Quindi scriviamo 3 nella colonna a destra, accanto al numero 3, esotto il 3 il numero 1 che e il risultato della divisione 3:3.

18 29 33 31

quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina.

Nella colonna a destra compare il 2 una volta e il 3 due volte. La scomposizione risulta esserequindi 18 = 2 · 32


175

175 non e divisibile ne per 2 ne per 3. E divisibile per 5; scriviamo quindi 5 nella colonna a destra,accanto a 175. Sotto 175 scriviamo 35 che e il risultato della divisione 175:5.

175 535

35 e ancora divisibile per 5; scriviamo quindi 5 nella colonna a destra, accanto a 35. Sotto 35scriviamo 7 che e il risultato della divisione 35:5.

175 535 57

7 non e divisibile per 5, ma per 7 che e il numero primo successivo; scriviamo quindi 7 nella colonnaa destra, accanto a 7. Sotto 7 scriviamo 1 che e il risultato della divisione 7:7.

175 535 57 71

quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina.

Nella colonna a destra compare il 5 due volte e il 7 una volta. La scomposizione risulta esserequindi 175 = 52 · 7


176


176 e divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 176. Sotto 176 scriviamo88 che e il risultato della divisione 176:2.

176 288

88 e ancora divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 88. Sotto 88scriviamo 44 che e il risultato della divisione 88:2.

176 288 244 2


176 288 244 222


176 288 244 222 211

11 non e divisibile ne per 2 ne per 3 ne per 5 ne per 7; e divisibile per 11. Scriviamo quindi 11 nellacolonna a destra, accanto a 11. Sotto 11 scriviamo 1 che e il risultato della divisione 11:11.

176 288 244 222 211 111

Quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina.

Nella colonna a destra compare il 2 quattro volte e 11 una volta. La scomposizione risulta esserequindi 176 = 24 · 11


13 e un numero primo quindi e gia scomposto

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Osservazione. Nella colonna a destra devono comparire soltanto numeri primi.

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1.12 Criteri di divisibilita.

Come abbiamo visto, puo essere molto utile sapere se un numero e divisibile o meno per un altro.Scopo di questo paragrafo e quello di fornire dei criteri per stabilire se un numero e divisibile perqualche numero primo.Innanzitutto effettuiamo alcune precisazioni: se consideriamo il numero 735, 735 e appunto il nu-mero, mentre 7, 3 e 5 sono le cifre che compongono il numero. Per convenzione il numero, comele parole, si legge da sinistra a destra, quindi, in questo caso, 7 e la prima cifra, 3 e la seconda e5 e la terza e ultima (allo stesso modo nella parola cane, c e la prima lettera, a la seconda e cosı via).

Quando si dice di sommare le cifre di un numero fino a ottenere un numero di una sola cifra siintende il seguente procedimento: prendiamo sempre ad esempio il numero 735: sommare le suecifre vuol dire ottenere: 7+3+5 = 15. 15 ha due cifre quindi ripetiamo il procedimento: 1+5 = 6.6 ha una sola cifra e quindi ci fermiamo.

Fatte queste precisazione introduciamo i seguenti criteri di divisibilita:

Un numero e divisibile per 2 se la sua ultima cifra e 0 o 2 o 4 o 6 o 8.

Esempi

. 2754 e divisibile per 2 perche la sua ultima cifra e 4.

. 739 non e divisibile per 2 perche la sua ultima cifra e 9 (e quindi non e ne 0, ne 2, ne 4, ne 6,ne 8).

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Definizione di numero pari e di numero dispari. Un numero si dice pari se e divisibile per2. Si dice dispari se non e pari.

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Un numero e divisibile per 3 se sommando le cifre del numero fino a ottenere un numero diuna sola cifra, tale numero e 3 o 6 o 9.

Esempi

. 2754 e divisibile per 3 perche se sommiamo le sue cifre fino ad ottenere un numero di una solacifra otteniamo: 2 + 7 + 5 + 4 = 18; 1 + 8 = 9;

. 791 non e divisibile per 3 perche se sommiamo le sue cifre fino ad ottenere un numero di unasola cifra otteniamo: 7 + 9 + 1 = 17; 1 + 7 = 8.

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Un numero e divisibile per 5 se la sua ultima cifra e 0 o 5.

Esempi

. 2725 e divisibile per 5 perche la sua ultima cifra e 5.


. 659 non e divisibile per 5 perche la sua ultima cifra e 9 (e quindi non e ne 0, ne 5).

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Prima del successivo criterio di divisibilita chiariamo che una cifra all’interno di un numero e diposto dispari se e la prima o la terza o la quinta o la settima (e cosı via) cifra del numero. Si diceche e di posto pari se e la seconda, o la quarta, o la sesta (e cosı via) cifra del numero.

Per verificare se un numero e divisibile per 11 si procede nel seguente modo: si sommanofra loro le cifre di posto pari, e fra loro le cifre di posto dispari. Si calcola la differenza fra lasomma maggiore e quella minore. Se tale differenza e un numero con piu di una cifra si ripete ilprocedimento. Al termine se la differenza e 0, il numero e divisibile per 11.

Esempi

. 92818 e divisibile per 11: infatti sommando le cifre di posto dispari otteniamo: 9 + 8 + 8 = 25;sommando le cifre di posto pari otteniamo: 2+1 = 3. Si effettua la differenza fra la somma maggiore(25) e quella minore (3) e otteniamo: 25 − 3 = 22. 22 ha due cifre e si ripete il procedimento:abbiamo una sola cifra di posto dispari che e 2 (e quindi la somma delle cifre di posto dispari eovviamente 2) e abbiamo una sola cifra di posto pari che e 2 (e quindi la somma delle cifre di postopari e ovviamente 2). Calcoliamo la differenza 2− 2 che e 0 e quindi il numero iniziale e divisibileper 11.

. 792630 non e divisibile per 11: infatti sommando le cifre di posto dispari otteniamo: 7+2+3 =12; sommando le cifre di posto pari otteniamo: 9+6+0 = 15. Si effettua la differenza fra la sommamaggiore (15) e quella minore (12) e otteniamo: 15− 12 = 3. Il numero quindi non e divisibile per11, perche la differenza non e 0.

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1.13 Il Massimo comun Divisore e il minimo comune multiplo.

Supponiamo di dover risolvere il seguente problema: abbiamo 36 cioccolatini al latte e 60 cioccola-tini fondente. Con questi cioccolatini vogliamo riempire dei sacchetti con queste condizioni:

1. I sacchetti devono contenere cioccolatini di un solo tipo (o fondente o al latte)

2. Tutti i sacchetti contengono lo stesso numero di cioccolatini

3. Non deve avanzare nessun cioccolatino

4. Vogliamo mettere piu cioccolatini possibile in ciascun sacchetto

La domanda e: quanti cioccolatini dobbiamo mettere in ciascun sacchetto?

Ovviamente il numero che cerchiamo dovra essere un divisore sia dei cioccolatini al latte (quindi di36) sia di quelli fondente (quindi di 60), perche se cosı non fosse non potremmo mettere lo stessonumero di cioccolatini in ciascun sacchetto senza farne avanzare nessuno. In pratica il numero checerchiamo deve essere un divisore comune a entrambi i numeri.Abbiamo quindi ristretto il campo. Proviamo allora a elencare tutti i divisori di 36 e di 60:

Divisori di 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36;

Divisori di 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 20, 30, 60;


Per soddisfare anche la quarta richiesta dobbiamo individuare il divisore comune piu grande (perchein ciascun sacchetto vogliamo mettere il maggior numero di cioccolatini) che in questo caso e 12.Il problema e quindi risolto mettendo in ciascun sacchetto 12 cioccolatini.

Possiamo ora dare la seguente definizione:

Definizione di Massimo Comun Divisore MCD. Il massimo comun divisore fra due o piunumeri e il piu grande fra i divisori comuni a tali numeri.

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Il problema precedente e quindi risolto determinando il MCD fra 36 e 60. Il problema e che non emolto agevole trovare tutti i divisori di un numero, confrontarli e poi individuare quello piu grande.Molto piu efficace e il seguente:

Metodo per la determinazione del Massimo Comun Divisore. Per determinare il MCD fradue o piu numeri, si scompongono tali numeri in fattori primi. Il MCD si ottiene dal prodotto deifattori primi comuni a tutte le scomposizioni, presi con l’esponente minore.

Osservazione importante. Dal momento che tutti i numeri sono divisibili per 1, e quindi hanno1 come divisore, il massimo comun divisore esiste sempre (al minimo e 1).E quindi sbagliato dire che non esiste il massimo comun divisore fra due o piu numeri.

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Esempi.

. Determinare il MCD fra 36 e 60 (si indica con MCD(36;60).

La scomposizione di 36 (effettuata col metodo descritto nel precedente paragrafo) e: 36 = 22 · 32,mentre quella di 60: 60 = 22 · 3 · 5.Seguendo il metodo indicato si prendono i fattori primi presenti in entrambe le scomposizioni (equindi 2 e 3, visto che 5 e presente solo nella seconda scomposizione), con l’esponente minore: il 2e alla seconda in entrambe le scomposizioni, mentre il 3 e alla seconda nella prima scomposizionee alla prima nella seconda scomposizione. Dovendo prendere l’esponente minore prendiamo 31 cioe3.

Quindi MCD(36; 60) = 22 · 3 = 12.

. Determinare MCD(1200; 1760).

Scomponendo in fattori primi otteniamo:

1200 = 24 · 3 · 52; 1760 = 25 · 5 · 11

quindi MCD(1200; 1760) = 24 · 5 = 80

. Determinare MCD(50;63).


50 = 2 · 52; 63 = 32 · 7

Non c’e nessun fattore comune nelle scomposizioni e quindi MCD(50; 63) = 1.

. Determinare MCD(36; 54; 40).


36 = 22 · 32; 54 = 2 · 33; 40 = 23 · 5; quindi MCD(36; 54; 40) = 2

�


Supponiamo di dover risolvere adesso il seguente problema: due amici fiorentini lavorano fuori daFirenze. Uno ritorna a casa ogni 20 giorni, e l’altro ogni 25 giorni. Dal momento che si sonoincontrati oggi, fra quanti giorni si riincontreranno nuovamente a Firenze la prossima volta?

Il primo amico ritorna dopo 20 giorni, poi dopo 40, dopo 60 eccetera. Il secondo amico ritornadopo 25 giorni, poi dopo 50, dopo 75 eccetera. In pratica il primo amico ritorna ogni multiplo di 20giorni e il secondo ogni multiplo di 25 giorni. Per scoprire quando si riincontrano bisogna trovareun multiplo comune di questi 2 numeri e, dal momento che a noi interessa la prossima volta che siincontrano (e non tra 10 anni), ci interessa il piu piccolo fra i multipli comuni. Scriviamo adessoalcuni dei multipli dei due numeri:

Multipli di 20 : 20; 40; 60; 80; 100; 120; ...Multipli di 25 : 25; 50; 75; 100; 125; 150; ...

I puntini in fondo significano che i multipli di un numero sono infiniti (a differenza dei divisori chesono sempre un numero finito).Il multiplo comune piu piccolo e 100, e i due amici si riincontreranno fra 100 giorni.

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Possiamo ora dare la seguente definizione:

Definizione di minimo comune multiplo (mcm). Il minimo comune multiplo fra due o piunumeri e il piu piccolo fra i multipli comuni a tali numeri.

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Il problema precedente e quindi risolto determinando il mcm fra 20 e 25. Il problema e che none molto agevole trovare un certo numero di multipli sufficientemente grande da trovarne uno incomune e poi individuare quello piu piccolo. Molto piu efficace e il seguente:

Metodo per la determinazione del minimo comune multiplo. Per determinare il mcm fradue o piu numeri, si scompongono tali numeri in fattori primi. Il mcm si ottiene dal prodotto deifattori primi presenti in almeno una delle scomposizioni, presi con l’esponente maggiore.

�

Osservazione importante. Dal momento che il prodotto di due o piu numeri e un multiplocomune dei numeri che abbiamo moltiplicato, il minimo comune multiplo esiste sempre (al massimoe proprio il prodotto fra tali numeri).

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Esempi

. Determinare il minimo comune multiplo fra 36 e 60 (si indica con mcm(36; 60).

La scomposizione di 36 e: 36 = 22 · 32, mentre quella di 60: 60 = 22 · 3 · 5.Seguendo il metodo indicato si prendono i fattori primi presenti in almeno una delle due scomposi-zioni (e quindi 2, 3 e 5), con l’esponente maggiore: il 2 e alla seconda in entrambe le scomposizioni,mentre il 3 e alla seconda nella prima scomposizione e alla prima nella seconda scomposizione. Do-vendo prendere l’esponente maggiore prendiamo 32. 5 e presente solo nella seconda scomposizionecon esponente 1 e quindi prendiamo 51 cioe 5.

Quindi mcm(36; 60) = 22 · 32 · 5 = 180.


. Determinare mcm(56; 98).


56 = 23 · 7; 147 = 3 · 72

quindi mcm(56, 98) = 23 ·3·72 (quando i numeri sono molto alti possiamo lasciare il mcm scompostoin fattori primi).

. Determinare mcm(50; 63).


50 = 2 · 52; 63 = 32 · 7

quindi mcm(50, 63) = 2 · 32 · 52 · 7

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Osservazione. Non bisogna stupirsi del fatto che per il Massimo Comun Divisore prendiamo gliesponenti minori, mentre per il minimo comune multiplo gli esponenti maggiori. Possiamo darci unaspiegazione osservando che un multiplo comune di 2 numeri (diversi fra loro) e sempre maggiore diun divisore comune degli stessi 2 numeri. Quindi per determinare il mcm consideriamo gli esponentimaggiori che individueranno quindi un numero maggiore, mentre per il MCD consideriamo gliesponenti minori che quindi individueranno un numero minore.

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1.14 Il sistema di numerazione posizionale in base dieci

Siamo cosı abituati ad usare il nostro sistema di numerazione che spesso ci e difficile immaginareche ne esistono altri. In questo paragrafo analizzeremo alcune caratteristiche del nostro sistemaconfrontandole con quelle di altri sistemi di numerazione diversi.

Un sistema numerico posizionale. Il sistema di numerazione che adottiamo e un sistema dinumerazione posizionale in base dieci. L’aggettivo posizionale indica che le cifre all’interno di unnumero hanno un significato diverso a seconda della loro posizione, e quindi due numeri compostidalle stesse cifre ma messe in posizioni diverse, sono diversi.Prendiamo ad esempio 835 e 358: entrambi i numeri sono composti dalle stesse cifre (3; 5 e 8) main posizione diversa, e i due numeri sono ovviamente diversi.

Tale considerazione puo apparire ovvia ma non lo e se teniamo conto del fatto che esistono sistemidi numerazione non posizionali: prendiamo ad esempio un pastore che rappresenta con una | unapecora e con � cinque pecore. Se ha 13 pecore potrebbe rappresentarle con:

��|||

infatti 5 + 5 + 1 + 1 + 1 = 13.

Ma il risultato non cambierebbe se si cambiassero le posizioni dei simboli. Ad esempio:

|�||�

Rappresenta sempre 13 pecore.

Il sistema numerico del pastore non e quindi posizionale. (E facile osservare che il nostro sistemadi numerazione e piu evoluto di quello del pastore: si immagini ad esempio le difficolta a definireed eseguire le varie operazioni col sistema del pastore, rispetto ad eseguirle col nostro).


Il “cubettino”

Il “lungo”

Il piatto

Figura 1.4: Gli oggetti per imparare a contare

Un sistema numerico in base dieci. Un tempo, per imparare a contare, si usavano degli oggettidi legno: un “cubettino” che rappresentava un’unita, un “lungo”, che era una barretta costituitada 10 cubettini, un “piatto” che era un quadrato costituito da 10 lunghi, e un “blocco” che era uncubo costituito da 10 piatti (figura 1.4).

Per rappresentare il numero cinque, si prendono 5 cubettini; per rappresentare il numero sei siprendono 6 cubettini e cosı via fino al numero nove. Arrivati a rappresentare il numero dieci non siprendono 10 cubettini, ma un lungo e nessun cubettino. Il vantaggio e evidente: per rappresentaredieci in questo modo e sufficiente un solo oggetto e non dieci.A questo punto se aggiungiamo al lungo un cubettino otteniamo il numero undici, se ne aggiungiamoun altro otteniamo dodici e cosı via fino al numero diciannove. Per ottenere il numero venti sitolgono tutti i cubettini e si prende un altro lungo.Si deduce allora che al decimo cubettino si tolgono tutti i cubettini (quindi ne rimangono zero)e si aggiunge un lungo. Lo stesso vale per i lunghi rispetto ai piatti: arrivati al decimo lungo sitolgono tutti i lunghi e si aggiunge un piatto. E cosı per i piatti rispetto ai blocchi. Quindi nellarappresentazione di un numero non ci sono mai dieci oggetti uguali, perche arrivati al decimo sitolgono tutti e al loro posto si mette l’oggetto “superiore” (il lungo al posto di dieci cubettini, ilpiatto al posto di dieci lunghi e cosı via).Cio avviene sempre ogni dieci oggetti uguali e per questo il sistema di numerazione ein base dieci.

Un sistema numerico posizionale in base dieci L’uso dei cubettini, lunghi, piatti e blocchi esenz’altro istruttivo per imparare il procedimento sopra descritto. Non e tuttavia molto pratico, eper numeri grandi diventa ingestibile: si pensi che dopo il blocco non c’e un oggetto che rappresentidieci blocchi e quindi ci sarebbe impossibile rappresentare, con le regole viste, ad esempio il numeroventottomilasettecentocinquantatre.Molto piu agevole e ovviamente usare i numeri come facciamo abitualmente. Osserviamo che essen-do un sistema in base dieci sono necessari, e sufficienti, dieci simboli per rappresentare qualunquenumero: i dieci simboli sono, come ben noto, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Si osservi che, ad esempio 10


non e un nuovo simbolo ma la combinazione del simbolo 1 col simbolo 0. Il cubettino di legnoviene sostituito dalle unita, il lungo dalle decine (perche un lungo contiene 10 cubettini), il piattodalle centinaia (perche un piatto contiene 100 cubettini) e il blocco dalle migliaia (perche un bloccocontiene 1000 cubettini).Il numero 3864 e quindi costituito da 3 migliaia, 8 centinaia, 6 decine e 4 unita. Ma dato che 3migliaia vuol dire 3 volte mille, cioe 3 moltiplicato mille, il numero 3864 e uguale a:

3864 = 3 · 1000 + 8 · 100 + 6 · 10 + 4 · 1

il numero 28753 e uguale a:

28753 = 2 · 10000 + 8 · 1000 + 7 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1

La notazione polinomiale L’uso delle potenze ci permette di evidenziare ulteriormente che questosistema di numerazione e in base 10. Infatti osservando che:

10000 = 104; 1000 = 103; 100 = 102, ed inoltre, riguardando il paragrafo sulle potenze, 10 = 101; 1 =100 possiamo riscrivere il numero precedente in quella che viene definita notazione polinomiale,cioe:

28753 = 2 · 104 + 8 · 103 + 7 · 102 + 5 · 101 + 3 · 100

Sistemi di numerazione con basi diverse da 10. La notazione appena vista ci permette didare qualche accenno a sistemi di numerazione con basi diverse: abbiamo visto che nel sistema dinumerazione in base dieci, sono utilizzati dieci simboli, e nella notazione polinomiale compaiono lepotenze del dieci. Se prendiamo ad esempio un sistema in base cinque (qualunque numero naturalemaggiore di uno puo essere base di un sistema di numerazione), ci aspettiamo di trovare cinquesimboli, e nella notazione polinomiale le potenze del cinque. Tale aspettativa e giusta. Quindinel sistema di numerazione in base cinque abbiamo i simboli: 0, 1, 2, 3, 4. Consideriamo adesso unqualunque numero in base cinque, quindi composto unicamente da 0, 1, 2, 3, 4, ad esempio 241 (chenon va letto duecentoquarantuno, perche tale lettura presume che la base sia dieci; va letto: duequattro uno). Il numero 241 in base cinque (scritto piu sinteticamente (241)5), non rappresenta,ovviamente, lo stesso numero in base dieci. Chiariamolo scrivendo (241)5 in notazione polinomiale:

241 = 2 · 52 + 4 · 51 + 1 · 50

Se calcoliamo l’espressione a destra dell’uguale con i metodi che conosciamo (e quindi in base dieci),otteniamo l’equivalente in base dieci di (241)5. Dato che: 2 · 52 + 4 · 51 + 1 · 50 = 50 + 20 + 1 = 71possiamo affermare che:

(241)5 = 71(in base 10).

Esempi

. Determiniamo l’equivalente in base 10 di (3572)8 (cioe 3572 in base 8).

Scriviamo (3572)8 in notazione polinomiale:

3572 = 3 · 83 + 5 · 82 + 7 · 81 + 2 · 80 = 1536 + 320 + 56 + 2 = 1914

quindi l’equivalente in base 10 di (3572)8 e 1914.

. Determiniamo l’equivalente in base 10 di (10010110)2.

Scriviamo (10010110)2 in notazione polinomiale:

10010110 = 1 · 27 + 0 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 128 + 16 + 4 + 2 = 150

quindi l’equivalente in base 10 di (10010110)2 e 150.

Il sistema in base due e detto binario, ed e il sistema con cui lavorano tutti gli elaboratori elettronici.

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Osservazione. E giusto chiedersi come mai, fra tutte le basi possibili, e stato scelto, a livellointernazionale, di adottare la base 10. La risposta ci viene contando le dita delle nostre mani: conesse impariamo a contare e ad eseguire le prime operazioni, e tale modo di procedere e correttoproprio perche il sistema che adottiamo ha la base uguale al numero delle dita delle nostre mani.

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Concludiamo questo paragrafo con una considerazione: ad un certo punto della trattazione abbiamoabbandonato gli oggetti di legno per passare ai simboli numerici, quasi fosse una libera scelta fra duepossibilita sempre esistite. Come abbiamo detto nell’introduzione, l’esigenza di contare e sempreesistita nella storia dell’uomo, e i metodi con cui farlo sono invenzioni e conquiste dell’evoluzioneumana. I primi metodi erano estremamente rudimentali (anche se spesso sufficienti per gli scopi acui dovevano servire): si veda ad esempio il sistema del pastore. La scoperta dei moderni sistemidi numerazione cosı come li conosciamo ai giorni nostri e dovuta agli arabi ed e arrivata a noi dopoil mille dopo Cristo: centinaia di anni dopo le prime civilta evolute della storia.

Tale scoperta viene considerata come una di quelle che maggiormente ha influito nella storiadell’uomo.

1.15 Domande

Paragrafo 1.2

1. Esiste una relazione d’ordine nei numeri naturali? Quale?

2. Perche l’insieme dei naturali e illimitato?

3. Qual’e il primo elemento di N?

Paragrafo 1.3

4. Come si chiamano i numeri che compongono l’addizione?

5. Come si chiama il risultato di un’addizione?

6. Di quali proprieta gode l’addizione?

7. Enuncia la proprieta commutativa dell’addizione.

8. Enuncia la proprieta associativa dell’addizione.

9. Quanto e la somma di due addendi di cui uno e 0?

Paragrafo 1.4

10. Cosa vuol dire moltiplicare fra loro due numeri?

11. Come si chiamano i numeri che compongono la moltiplicazione?

12. Come si chiama il risultato di una moltiplicazione?

13. Quanto e il prodotto di due fattori di cui uno e 0?

14. Quanto e il prodotto di due fattori di cui uno e 1?

15. Di quali proprieta gode la moltiplicazione?


16. Enuncia la proprieta commutativa della moltiplicazione.

17. Enuncia la proprieta associativa della moltiplicazione.

Paragrafo 1.5

18. Cosa vuol dire eseguire una sottrazione fra due numeri?

19. Quando non e possibile eseguire una sottrazione?

20. Mostra con un esempio che per la sottrazione non vale la proprieta commutativa.

21. Mostra con un esempio che per la sottrazione non vale la proprieta associativa.

Paragrafo 1.6

22. Cosa vuol dire eseguire una divisione fra due numeri?

23. Mostra con un esempio che non sempre e possibile eseguire una divisione.

24. Come si chiamano i numeri che compongono la divisione?

25. Come si chiama il risultato di una divisione?

26. Quanto e il quoziente di un numero diviso per se stesso?

27. Quanto e il quoziente di un numero diviso per 1?

28. Quanto e il quoziente di 0 diviso un numero (diverso da 0)?

29. Perche non e possibile eseguire una divisione in cui il dividendo e diverso da 0 e il divisoreuguale a 0?

30. Perche non e possibile eseguire una divisione in cui sia il dividendo che il divisore sono ugualia 0?

31. Mostra con un esempio che per la divisione non vale la proprieta commutativa.

32. Mostra con un esempio che per la divisione non vale la proprieta associativa.

Paragrafo 1.7

33. Quali operazioni nei numeri naturali possono sempre essere eseguite?

34. Perche lo 0 e l’elemento neutro della addizione e della sottrazione?

35. Perche 1 e l’elemento neutro della moltiplicazione e della divisione?

Paragrafo 1.8

36. Quale e la priorita delle operazioni?

37. Quale e l’unico strumento per cambiare la priorita delle operazioni?

Paragrafo 1.9

38. Perche in matematica talvolta si usano le lettere al posto dei numeri?


39. Enuncia la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

Paragrafo 1.10

40. Come e definita la potenza dei numeri naturali?

41. A cosa equivale un numero elevato alla prima?

42. A cosa equivale un numero maggiore di zero elevato alla zero?

43. A cosa equivale uno elevato a qualunque numero?

44. Enuncia le cinque proprieta delle potenze.

45. Perche si e scelto che un numero elevato a zero sia uno?

46. Quanto fa zero elevato a zero?

47. E possibile usare le proprieta delle potenze in un’addizione fra potenze?

48. Come si colloca la potenza nelle priorita delle operazioni?

Paragrafo 1.11

Qual’e la definizione di multiplo e di divisore?

49. Quando un numero si dice primo?

50. Scrivi i primi dieci numeri primi.

51. Cosa vuol dire scomporre un numero in fattori primi?

Paragrafo 1.12

52. Enuncia il criterio di divisibilita per 2.




Paragrafo 1.13

56. Definisci il Massimo Comun Divisore.

57. Come si determina il Massimo Comun Divisore.

58. Perche esiste sempre il Massimo Comun Divisore fra due numeri?

59. Definisci il minimo comune multiplo.

60. Come si determina il minimo comune multiplo.

61. Perche esiste sempre il minimo comune multiplo fra due numeri?

62. Presi 2 numeri qualunque, e possibile che il loro MCD sia maggiore del loro mcm?

Paragrafo 1.14

63. Perche il nostro e un sistema numerico posizionale?

64. Perche il nostro e un sistema numerico in base 10?


1.16 Esercizi

Paragrafo 1.2

1. Determinare un numero naturale che precede 2.

2. Determinare un numero naturale successivo a 1231.

3. Determinare cinque numeri naturali che precedono 5.

4. Determinare una coppia di naturali di cui uno precede e l’altro e successivo al numero 3.

Paragrafo 1.3

Verificare la proprieta associativa per le somme:

5. 5 + 1 + 19; 12 + 4 + 1

Eseguire le seguenti addizioni:

6. 0 + 4; 0 + 0; 7 + 0; 1 + 1; 86 + 196 + 4

Paragrafo 1.4

Verificare la proprieta associativa per i prodotti:

7. 5 · 2 · 4; 1 · 6 · 2Eseguire le seguenti moltiplicazioni:

8. 0 · 4; 0 · 0; 7 · 0; 15 · 1

9. 1 · 92; 15 · 10; 10 · 15; 41 · 25 · 4

Paragrafo 1.5

Svolgere le seguenti sottrazioni:

10. 18− 18; 1− 0; 4− 6; 20− 2− 5; 8− 5− 3; 7− 0− 6

Paragrafo 1.6

Svolgere le seguenti divisioni:

11. 18 : 2; 0 : 5; 6 : 6; 20 : 1; 14 : 5

12. 8 : 0; 0 : 0; 8 : 4 : 2; 36 : 3 : 3 64 : 8 : 4 : 2

Paragrafo 1.8

Svolgi le seguenti espressioni:

13. 2 · 6 + 50− 2 + 8 · 5− 5 · 7− 2 · 4 : 2 + 11 [72]

14. 1 + 8 · 6 + 35 : 7− 5− 15 + 10 : 5− 2 + 4 [38]

15. 15 : 3− 5 + 10 · 2− 16 + 2− 3 · 2 [0]

16. 100− 70− 25 + 5 · 4 : 10 · 3 + 11 [22]

17. 20 : 4 · 8 : 10 : 2 · 5 : 1 [10]


18. 0 : 8 · 65 + 50− 42 + 8 [16]

19. 7 + 28 : 4 · 3− 7 · 4 + 2 · 3 · 5− 4 · 6 [6]

20. (4 + 2 · 5) : (0 + 7) + (1 + 3 · 2) [9]

21. (10− 2 · 3) · (13− 5 · 2) : (0 + 3 · 2) [2]

22. 2 · 6 + 50 + 30− (2 + 8 · 5) + 5 · (7− 1 · 4)− (3 + 3 · 2 · 2) · 4 [5]

23. 36 : 6 : (1 + 5) + 39− 5 · 4 · (8− 7) · (7 · 6− 5 · 8) [0]

24. (14 + 4 · 5− 4) : 10 + 10 : (5 + 5) + 2 · (7− 3 · 2) [6]

25. [(4 · 1 + 1) · 3 · (7− 2 · 2 + 1)− 10] : [3 · 16− (2 · 3 + 1) + (2 + 1) · 3] [1]

26. 13− {8 + [20− (4 + 3) · (1 + 17 : 17)] : 3} [3]

Paragrafo 1.9

Svolgi le seguenti espressioni sia utilizzando la proprieta distributiva sia non utilizzandola everifica che il risultato non cambia.

27. (3 + 1 + 10) · 5

28. 3 · (6 + 2)

29. (2 + 1 + 3 + 1 + 10) · 4

30. 7 · (4 + 0 + 8)

Paragrafo 1.10

Calcola le seguenti potenze:

31. 25; 31; 14; 54; 02; 70

Risolvi le seguenti brevi espressioni

32. 1 · 32; 25 · 0; 0 + 43; 26 + 2

33. 164 : 24 : 44; 25 · 23 : 22 : 26; [(32)3]4; 104 : 34

Esegui le seguenti operazioni usando quando possibile le proprieta delle potenze:

34. 34 · 39; 57 : 56; (31)3; 272 : 92; 72 · 70; 32 + 33

Risolvi le seguenti espressioni usando quando possibile le proprieta delle potenze:

35. 43 : 42 − 1 + 2 · 22 · 23 : 24 − (4 · 3− 5) [0]

36. {(4 + 1) · [60 · 22 − 7 · 2 + 4 · (35 : 35)− 5 · (23 · 2− 22)]− 10 · 80} : 50 [1]

37. [2 + (2 · 22)2 : (23)2]3 : [(3)4 : 33]2 [3]

38. {1 + 14− [3 + 36 : 33 : 32 · (34 : 33)2] : [(32)2 : 33]} · 2− 23 [2]

39. (24 · 74 · 34) : (23 · 73 · 33)− 25 − [(32)2]2 : 36 [1]

40. 4 · 7 + (26 : 24)0 − 252 : 52 + (3 · 7− 4 · 5) · (53 : 52) [9]

41. [(52 − 32) · 43 : 28 + 10] : [32 − 5 + 22 − 14] [2]

42. 3 · 5 · [(122 : 32) : 22]− [(2)2]2 + 20 + 1− (206 : 46)0 − 213 : 73 [37]


43. [(62)3 : 36 : 24] + {(32 · 34)3 : [(32)3]2} : 35 − 7 + 1 [1]

44. {[(2 + 5− 4)6]2 : 39 + 3} : {[(102 · 10)3 : (5 · 2)7 : 10]}+ 10− 7 + 1 [7]

45. {[(24 − 22) : 22 − 30]2 − 1}3 − {(122 : 62 − 1) · [(34)3 : (36)2]5}2 [18]

46. 4 · {[(34)2 : (32)3 + 54 : 52 + 2] : (72 − 52 − 3 · 5)} − [11 · (114 · 113) : 116 : 11] [5]

47. (2− 1)7 + [(3 · 2)5 : 25 · 34]4 : (23 − 5)35 − 22 [0]

Paragrafo 1.11

Determina tutti i divisori, e almeno 4 multipli dei seguenti numeri:

48. 10; 16; 23; 4; 9; 1

Scomporre in fattori primi i seguenti numeri:

49. 96; 54; 17; 39

50. 110; 66; 14; 243

51. 24; 68; 1000; 121

Paragrafo 1.13

Determina il Massimo Comun Divisore e il minimo comune multiplo dei seguenti gruppi dinumeri:

52. 8, 12; 4, 6, 12; 22, 44; 15, 9, 24

53. 16, 16; 5, 10, 20; 81, 18; 100, 90, 40

54. 1, 25; 10, 5, 2; 8, 15; 16, 32, 24

Paragrafo 1.14

Scrivere in notazione polinomiale in base 10 i seguenti numeri:

55. 293; 12444; 35; 9876; 4; 1000

Trasformare in base 10 i seguenti numeri (la cui base e indicata dal numero in basso fuoridalla parentesi)

56. (142)5; (13212)4; (1001110)2; (6543)7; (1202)3

1.17 Problemi

Dei seguenti problemi, imposta l’espressione corrispondente e risolvila.

1. Uno scalatore parte da un’altezza di 200 metri. Sale di 15 metri, poi si ferma, sale di altri 3metri poi si ferma e infine sale di altri 25 metri. A che altezza si trova lo scalatore?

2. Uno scalatore parte da un’altezza di 200 metri. Sale di 15 metri, poi scende di 40 metri, poisale di 1 metro poi sale ancora di 11 metri infine scende di 24 metri. A che altezza si trova loscalatore?

3. Mario esce di casa con 30 euro, fa un bancomat dove prende 100 euro, compra due magliettedal valore ciascuna di 22 euro, presta 16 euro ad un amico e compra 3 ricariche telefonicheciascuna da 5 euro. Con quanti soldi torna a casa Mario?


4. Ad un muratore viene commissionato un lavoro retribuito 22 euro all’ora, e dovra lavorareper 8 ore al giorno per 7 giorni. Quanto riceve il muratore per questo lavoro?

5. 8 amici vanno a cena fuori e spendono in tutto 126 euro. Uno di loro si e dimenticato a casail portafoglio e quindi gli altri devono coprire anche la sua quota. Quanto spende ciascuno diloro?

6. In una casa ci sono 7 stanze. In ciascuna stanza ci sono 7 scatole e in ciascuna scatola ci sono7 palline. Tutte le palline vanno distribuite in ugual misura fra 7 bambini. Quante pallinetoccano a ciascun bambino?

7. Un imbianchino deve imbiancare 5 case. Tre di queste case hanno 5 stanze e le altre 2 nehanno 4. Per ogni stanza imbiancata viene pagato 450 euro. Quanto guadagna l’imbianchino?

8. Un coniglio femmina fa 3 cucciolate l’anno ciascuna composta da 8 coniglietti. Quanticoniglietti partorisce in 5 anni?

9. Tre amici vanno a cena fuori. Dal momento che il proprietario del ristorante li conosce decidedi regalargli la cena. Quanto spende ciascuno dei 3?

10. Sette amici vanno a cena fuori. Il conto e di 91 euro, ma al momento di pagare scappanotutti. Come si risolve il problema?

11. Ci sono 72 tifosi juventini e 96 tifosi della Fiorentina. Bisogna dividerli tutti in gruppi ugualifra loro (ovviamente nello stesso gruppo non possono stare tifosi di squadre diverse), in modoche ciascun gruppo abbia il maggior numero possibile di persone . Quanti tifosi ci sono inciascun gruppo?

12. In un anno un signore ha comprato un gratta e vinci da 3 euro, 5 volte alla settimana per 50settimane all’anno. In tutto l’anno ha vinto una volta 45 euro e una volta 70 euro. Alla finedell’anno quanti soldi in piu avrebbe se non avesse comprato nessun gratta e vinci?

13. Una ragazza fuma 10 sigarette al giorno tranne nei 10 giorni in cui e in vacanza dove fuma20 sigarette al giorno e nel giorno di Natale che non fuma. Considerando che in un anno cisono 365 giorni e che un pacchetto di sigarette costa 4 euro e contiene 20 sigarette, quantisoldi “brucia” in sigarette all’anno?

14. Due grattacieli verranno costruiti uno accanto all’altro. Un grattacielo avra ciascun pianoalto 10 metri, mentre l’altro avra ciascun piano alto 12 metri. A che altezza minima dal suoloil soffito del primo grattacielo sara allineato col soffitto del secondo?

15. Da quante caselle e composta una scacchiera?

16. Un cinema ha 18 file composte da 20 poltrone ciascuna, e 10 file composte da 12 poltroneciascuna. Quanti posti a sedere ha questo cinema?

17. Un motorino percorre 16 km con un litro di benzina. Il suo serbatoio contiene 5 litri. Quantichilometri fa con un pieno?

Capitolo 2

L’insieme Z dei numeri interi

2.1 La nascita dei numeri interi.

Nel precedente capitolo abbiamo visto che non tutte le sottrazioni, nei numeri naturali, possonoessere effettuate. Questa limitazione risulta essere molto pesante e quindi, nel corso degli anni,si e cercato di dare una soluzione ad una sottrazione che avesse il sottraendo (secondo termine)maggiore del minuendo (primo termine).Si consideri ad esempio la sottrazione 2 − 5, che, per quanto ne sappiamo adesso, non ha alcunrisultato. Cambiamo adesso prospettiva e supponiamo invece che 2− 5 abbia un risultato anche seper ora non sappiamo qual’e ne tantomeno come scriverlo. Per darci una risposta consideriamo ilseguente:

Esempio

Un commerciante possiede 2 monete, e, per un accordo precedente, deve dare 5 monete ad unbanchiere. Il problema cosı come e posto non ammette soluzione, e in effetti non ne ha se il banchierevuole essere pagato immediatamente. Ma se consideriamo la possibilita che il banchiere concedaqualche giorno al commerciante si possono trovare delle soluzioni: innanzitutto il commerciantesegna sul libro contabile (dove annota il suo patrimonio) quanto deve al banchiere: 2 monete le harestituite, per saldare il debito ne mancano 3, e quindi segna 3. Il giorno dopo il commercianteconclude un affare che gli frutta 6 monete: puo cosı saldare il debito e gli rimangono 3 monete.Sul suo libro contabile segna nuovamente 3. Appare evidente che il 3 del giorno prima non ha lostesso significato del 3 che segna il giorno dopo: nel primo caso gli mancavano 3 monete mentre nelsecondo possiede 3 monete.Per poter effettuare tale distinzione, nascono i numeri col segno: il commerciante il primo giornosegnera ad esempio −3 per distinguerlo dal secondo giorno quando segnera +3.

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Coi numeri col segno possiamo quindi effettuare qualunque sottrazione, anche quellein cui il minuendo e minore del sottraendo.

La precedente affermazione si basa sul fatto che abbiamo creato un nuovo insieme numerico in cuiogni numero (eccetto lo 0 ma lo vedremo dopo) ha un segno: tale insieme e chiamato l’insiemedegli interi Z; ed e cosı costituito:

Z = {.......;−3;−2;−1; 0; +1; +2; +3; .........}

Definizione di numeri negativi e numeri positivi. I numeri preceduti dal segno meno si


dicono negativi, quelli preceduti dal segno piu si dicono positivi.

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Osservazione. Il numero 5 non appartiene ai numeri interi in quanto sprovvisto di segno. Ainumeri interi appartengono i numeri −5 e +5. L’unico elemento di Z sprovvisto del segno e 0.

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Definizione di valore assoluto. Il valore assoluto di un numero intero e il numero privato delsegno.

Esempi: il valore assoluto di +7 e 7, di −3 e 3, di 0 e 0.

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Definizione di numeri concordi e discordi. Due numeri con lo stesso segno si dicono concordifra loro, due numeri con segno diverso si dicono discordi.

Esempi: −2 e −11 sono concordi, +7 e −10 sono discordi.

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2.2 Caratteristiche dell’insieme Z.

Enunciamo le principali caratteristiche dell’insieme Z:

• Anche l’insieme Z ammette una relazione d’ordine, cioe un criterio che ci permette di stabilire,presa una qualunque coppia di elementi, quale elemento viene prima. La relazione d’ordinee: essere minore di.... Si deve tenere conto del fatto che:

1. Ogni numero negativo e minore di qualunque numero positivo.

2. Ogni numero negativo e minore di 0, che a sua volta e minore di ogni numero positivo.

3. presi due numeri negativi e minore quello che ha il valore assoluto maggiore (ad esempio−7 e minore di −3).

4. presi due numeri positivi e minore quello che ha il valore assoluto minore.

• Z ha infiniti elementi.

• Z e illimitato.

.

Osservazione. In base alle caratteristiche di Z possiamo affermare che non esiste ne il primoelemento dell’insieme (mentre nei numeri naturali era lo 0), ne l’ultimo.

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Osservazione 2: la migliore rappresentazione grafica dell’insieme Z e, in base alle sue caratteri-stiche, una retta orientata come quella rappresentata in figura 2.1.


-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

Figura 2.1: La retta dei numeri interi

2.3 Le operazioni coi numeri interi.

In modo simile a come abbiamo fatto per i numeri naturali, definiamo nell’insieme dei numeri interile varie operazioni.

Osservazione importantissima. Nel definire le operazioni e fondamentale tenere conto di unaspetto: abbiamo creato i numeri interi per poter effettuare qualunque tipo di sottrazione. Nonvogliamo pero, a fronte di questo indiscutibile vantaggio, perdere le proprieta che erano valideper i numeri naturali (la proprieta commutativa e la proprieta associativa per l’addizione e lamoltiplicazione, e la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione). Se cosı nonfosse avremmo ottenuto un miglioramento da una parte (il poter effettuare qualunque sottrazione)ma un peggioramento da un’altra (la perdita delle proprieta citate sopra).

Nei prossimi paragrafi vedremo che tale pericolo e scongiurato.

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2.4 L’addizione nei numeri interi

Regola per l’addizione di due numeri concordi. La somma di due numeri concordi e unnumero intero che ha lo stesso segno degli addendi e come valore assoluto la somma dei valoriassoluti.

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Esempi

.(+4) + (+8)

sono entrambi positivi, quindi la somma ha segno positivo e valore assoluto 12 in quanto sommandoil valore assoluto del primo addendo (4) col valore assoluto del secondo addendo (8), si ottiene 12.Quindi:

(+4) + (+8) = +12

.(−3) + (−6)

sono entrambi negativi, quindi la somma ha segno negativo e valore assoluto 9 in quanto sommandoil valore assoluto del primo addendo (3) col valore assoluto del secondo addendo (6), si ottiene 9.


Quindi:(−3) + (−6) = −9

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Regola per l’addizione di due numeri discordi. La somma di due numeri discordi e unnumero intero che ha il segno dell’addendo in valore assoluto maggiore, e come valore assoluto ladifferenza fra il valore assoluto maggiore il valore assoluto minore.

Esempi

.(+4) + (−7)

l’addendo che ha il valore assoluto maggiore e −7, quindi la somma ha segno negativo e valoreassoluto 3 in quanto la differenza fra il valore assoluto maggiore (7) e il valore assoluto minore (4),e 3. Quindi:

(+4) + (−7) = −3

.(−5) + (+11)

l’addendo che ha il valore assoluto maggiore e +11, quindi la somma ha segno positivo e valoreassoluto 6 in quanto la differenza fra il valore assoluto maggiore (11) e il valore assoluto minore(5), e 6. Quindi:

(−5) + (+11) = +6

.(−3) + (+3)

In questo caso i due addendi hanno uguale valore assoluto e segno diverso. Tali numeri si diconoopposti e la loro somma e 0. Quindi:

(−3) + (+3) = 0

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Dagli esempi ci accorgiamo che:

• La notazione e piu pesante di quella in uso per i numeri naturali, e cio e ovviamente dovutoal fatto che i numeri interi sono numeri con il segno. Si confronti un’addizione nei numerinaturali, ad esempio 3 + 5, con una nei numeri interi (+3) + (−8) e si osservi quanti simboliin piu si sono resi necessari per la seconda somma.

• E necessaria una distinzione: nella somma sopra considerata compare due volte il simbolo +,ma con significati diversi: il + dentro la parentesi rappresenta il segno del numero intero +3,mentre l’altro e il consueto operatore dell’addizione, che indica che il contenuto della primaparentesi va sommato col contenuto della seconda.

• Le parentesi sono obbligatorie: in particolare non deve mai accadere che due simboli dioperazioni (+;−; ·; :) si trovino accanto: devono essere separati da una parentesi.

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Un buon metodo per comprendere (e ricordare) la somma di due numeri interi e quello di utilizzarela rappresentazione di Z di figura 2.1. Si osservi che i numeri positivi sono a destra dello 0, mentrei negativi sono a sinistra dello 0. Per determinare la somma di due numeri interi associamo unospostamento a destra se l’addendo e positivo, e uno spostamento a sinistra se l’addendo e negativo.Il punto di partenza e lo 0, il punto di arrivo e il risultato. Chiariamo quanto detto con degliesempi:

.(+2) + (+5)

Il primo addendo e positivo, ci spostiamo quindi a destra di 2, arrivando a +2. Da qui, visto cheanche il secondo addendo e positivo, continuiamo a spostarci a destra di 5, arrivando a +7 che e ilrisultato dell’addizione.

.(−3) + (−7)

Il primo addendo e negativo, ci spostiamo quindi a sinistra di 3, arrivando a −3. Da qui, visto cheanche il secondo addendo e negativo, continuiamo a spostarci a sinistra di 7, arrivando a −10 chee il risultato dell’addizione.

.(+4) + (−6)

Il primo addendo e positivo, ci spostiamo quindi a destra di 4, arrivando a +4. Da qui, vistoche il secondo addendo e negativo, ci spostiamo a sinistra di 6, arrivando a −2 che e il risultatodell’addizione.

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Osservazione. Il metodo appena descritto diventa meno praticabile se i numeri sono elevati: adesempio (+89) + (−147). In questo caso diventa estremamente laborioso disegnare una retta chearrivi almeno fino a +89 e poi contare gli spostamenti.

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Per come e stata definita l’addizione nei numeri interi, risultano ancora valide le seguenti:

Proprieta dell’addizione nei numeri interi.

• Proprieta commutativa. Cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia. Verifichia-molo con degli esempi: .

(+3) + (+4) = +7; (+4) + (+3) = +7

.(−5) + (−4) = −9; (−4) + (−5) = −9

.(−5) + (+8) = +3; (+8) + (−5) = +3

(si verifichi con le regole imparate in questo paragrafo che tali addizioni sono corrette)

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• Proprieta associativa. La somma di piu numeri non cambia, cambiando l’ordine in cui leaddizioni vengono eseguite. Verifichiamolo con degli esempi:

Esempi

.(+5) + (−3) + (−7)

Effettuiamo prima la prima addizione e poi la seconda:

(+5) + (−3) + (−7) = (+2) + (−7) = −5

Adesso effettuiamo prima la seconda addizione e poi la prima:

(+5) + (−3) + (−7) = (+5) + (−10) = −5

Quindi si ottiene lo stesso risultato (−5).

.(−4) + (−6) + (−5)

Effettuiamo prima la prima addizione e poi la seconda:

(−4) + (−6) + (−5) = (−10) + (−5) = −15

Adesso effettuiamo prima la seconda addizione e poi la prima:

(−4) + (−6) + (−5) = (−4) + (−11) = −15


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2.5 La sottrazione nei numeri interi

Nei numeri interi, la sottrazione “assomiglia” all’addizione. Tale somiglianza emerge dalla seguente:

Regola per la sottrazione. La differenza fra due numeri interi e equivalente alla somma delminuendo (il primo termine) con il sottraendo (secondo termine) cambiato di segno.

Quindi per effettuare una sottrazione la trasformiamo in una addizione cambiando il segno delsottraendo, e poi seguiamo le regole studiate nel precedente paragrafo.

Esempi

.(−4)− (+3)

Trasformiamo la precedente sottrazione in un’addizione, cambiando il segno al sottraendo:

(−4) + (−3)

a questo punto siamo nel caso della somma di due numeri concordi: seguendo le regole gia viste siottiene −7. Quindi:

(−4)− (+3) = (−4) + (−3) = −7

.(−4)− (−8)

Trasformiamo la precedente sottrazione in un’addizione, cambiando il segno al sottraendo:

(−4) + (+8)

a questo punto siamo nel caso della somma di due numeri discordi: seguendo le regole gia viste si


ottiene +4. Quindi:(−4)− (−8) = (−4) + (+8) = +4

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2.6 La moltiplicazione nei numeri interi

Regola per la moltiplicazione di numeri interi. Il prodotto di due numeri interi e un numerointero che ha segno positivo se i due fattori sono concordi, e segno negativo se i due fattori sonodiscordi. Come valore assoluto ha il prodotto dei valori assoluti. Se uno dei due fattori e 0 ilprodotto e 0.

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Riassiumiamo questa regola tramite la seguente tabella:

1o fattore 2o fattore prodotto

+ + +

+ − −− + −− − +

Esempi

.(+7) · (+4)

i due fattori sono concordi (sono entrambi positivi) quindi il prodotto ha segno positivo e comevalore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Quindi, dato che 7 · 4 = 28, risulta:

(+7) · (+4) = +28

.(−6) · (−3)

i due fattori sono concordi (sono entrambi negativi) quindi il prodotto ha segno positivo e comevalore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Quindi, dato che 6 · 3 = 18, risulta:

(−6) · (−3) = +18

.(+4) · (−5)

i due fattori sono discordi (il primo e positivo e il secondo e negativo) quindi il prodotto ha segnonegativo e come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Quindi, dato che 4 · 5 = 20, risulta:

(+4) · (−5) = −20

.(0) · (−5)

uno dei due fattori e 0, quindi e 0 anche il prodotto: (0) · (−5) = 0

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Osservazione. Ci si potrebbe chiedere (e sarebbe estremamente utile farlo) il motivo per cuivale la regola che il prodotto di due numeri concordi e positivo, mentre di due numeri discordi enegativo. In altre parole ci poniamo le seguenti domande:

1. Perche il prodotto di due numeri positivi e positivo?

2. Perche il prodotto di un numero positivo con uno negativo (o viceversa) e negativo?

3. Perche il prodotto di due numeri negativi e positivo?

Per rispondere a queste domande bisogna ricordarsi la proprieta distributiva della moltiplicazionerispetto all’addizione, introdotta nel paragrafo 1.9 per i numeri naturali, e l’osservazione importan-tissima del paragrafo 2.3 per cui noi pretendiamo che le proprieta introdotte nei numeri naturali,siano ancora valide nei numeri interi.

Rimandiamo per adesso la risposta della domanda 1, e prendiamo per buono che il prodotto di duenumeri positivi e positivo.

Con questa premessa le domande 2 e 3 hanno la stessa risposta: perche continui a valere neinumeri interi la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

La dimostrazione di quanto detto si trova nel prossimo (facoltativo) capoverso sulla regola deisegni.La risposta a perche il prodotto di due numeri positivi e positivo (la domanda 1) si trova nelsuccessivo paragrafo 2.10.

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Regola dei segni del prodotto (facoltativa).

Il prodotto di due numeri discordi e negativo (risposta alla domanda 2).

Sappiamo che il prodotto fra 0 e qualunque numero intero e 0. Quindi, ad esempio:

0 · (+5) = 0

Ma sappiamo anche che la somma di due numeri opposti e 0, e quindi deve essere 0 il risultatodella seguente espressione:

[(+3) + (−3)] · (+5)

(infatti [(+3) + (−3)] = 0, quindi [(+3) + (−3)] · (+5) = 0).

Affinche valga la proprieta distributiva, deve risultare che:

[(+3) + (−3)] · (+5) = (+3) · (+5) + (−3) · (+5)

quindi anche (+3) · (+5) + (−3) · (+5) deve essere uguale a 0.

Ma (+3) · (+5) = +15 quindi il prodotto (−3) · (+5) deve essere tale che, sommato a +15 ha comerisultato 0. Ma l’unico numero che sommato a +15 ha risultato 0 e −15. Quindi (−3) ·(+5) = −15.Tale dimostrazione puo essere ripetuta per qualunque numero intero e quindi possiamo affermareche il prodotto di due numeri discordi e negativo.

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Il prodotto di due numeri negativi e positivo (risposta alla domanda 3).

Consideriamo ora l’espressione[(+3) + (−3)] · (−5)

che sappiamo deve avere come risultato 0. Affinche valga la proprieta distributiva, deve risultareche:

[(+3) + (−3)] · (−5) = (+3) · (−5) + (−3) · (−5)

quindi anche (+3) · (−5) + (−3) · (−5) deve essere uguale a 0.

Ma abbiamo visto prima che (+3) · (−5) = −15 quindi il prodotto (−3) · (−5) deve essere tale che,sommato a −15 ha come risultato 0. Ma l’unico numero che sommato a −15 ha risultato 0 e +15.Quindi (−3) · (−5) = +15. Tale dimostrazione puo essere ripetuta per qualunque numero intero equindi possiamo affermare che il prodotto di due numeri negativi e positivo.

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Si osservi che la dimostrazione di entrambe le affermazioni si basa sul fatto che abbiamo sceltoche il prodotto di due numeri positivi e positivo. Come gia detto tale scelta sara giustificata nelparagrafo 2.10.

Concludiamo il paragrafo, evidenziando che, per come e stata definita la moltiplicazione nei numeriinteri, risultano ancora valide le seguenti:

Proprieta della moltiplicazione nei numeri interi.

• Proprieta commutativa. Cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia. Verifichia-molo con degli esempi:

.(+3) · (+4) = +12; (+4) · (+3) = +12

.(−5) · (−4) = +20; (−4) · (−5) = +20

.(−5) · (+8) = −40; (+8) · (−5) = −40

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• Proprieta associativa. Il prodotto di piu fattori non cambia, cambiando l’ordine in cui lemoltiplicazioni vengono eseguite. Verifichiamolo con degli esempi:

.(+5) · (−3) · (−4)

Effettuiamo prima la prima moltiplicazione e poi la seconda:

(+5) · (−3) · (−4) = (−15) · (−4) = +60

Adesso effettuiamo prima la seconda moltiplicazione e poi la prima:

(+5) · (−3) · (−4) = (+5) · (+12) = +60

Quindi si ottiene lo stesso risultato (+60).

.(−2) · (−4) · (−5)


Effettuiamo prima la prima moltiplicazione e poi la seconda:

(−2) · (−4) · (−5) = (+8) · (−5) = −40

Adesso effettuiamo prima la seconda moltiplicazione e poi la prima:

(−2) · (−4) · (−5) = (−2) · (+20) = −40


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2.7 La divisione nei numeri interi

Significato della divisione nei numeri interi. Una divisione fra due numeri interi ha lo stessosignificato che ha nei numeri naturali: infatti anche in questo caso eseguire una divisione vuol diredeterminare quel numero intero che moltiplicato al secondo (il divisore), ha come risultato il primo(dividendo).

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Vale quindi la seguente regola:

Regola della divisione nei numeri interi. Il quoziente della divisione fra due numeri interi eun numero intero che ha segno positivo se i due numeri hanno segno concorde e negativo se i duenumeri hanno segno discorde, e come valore assoluto il quoziente fra i due valori assoluti.

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Osservazione. Si osservi che la regola dei segni valida per la moltiplicazione e identica per ladivisione. Cio e una conseguenza del significato della divisione fra numeri interi. Verifichiamolotramite esempi:

.(+8) : (+2)

dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a +2 ha come risultato +8. Affinche il prodottocon +2 sia positivo, il numero che cerchiamo deve essere positivo (altrimenti, se fosse negativo,moltiplicandolo per +2 darebbe risultato negativo e non potrebbe quindi essere +8). Quindi, datoche il quoziente fra i valori assoluti e 4 (8 : 2 = 4), il risultato e:

(+8) : (+2) = +4

.(+8) : (−2)

dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a −2 ha come risultato +8. Affinche il prodottocon −2 sia positivo, il numero che cerchiamo deve essere negativo (altrimenti, se fosse positivo,moltiplicandolo per −2 darebbe risultato negativo e non potrebbe quindi essere +8). Quindi, datoche il quoziente fra i valori assoluti e 4 (8 : 2 = 4), il risultato e:

(+8) : (−2) = −4

.(−8) : (+2)


dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a +2 ha come risultato −8. Affinche il prodottocon +2 sia negativo, il numero che cerchiamo deve essere negativo (altrimenti, se fosse positivo,moltiplicandolo per +2 darebbe risultato positivo e non potrebbe quindi essere −8). Quindi, datoche il quoziente fra i valori assoluti e 4 (8 : 2 = 4), il risultato e:

(−8) : (+2) = −4

.(−8) : (−2)

dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato a −2 ha come risultato −8. Affinche il prodottocon −2 sia negativo, il numero che cerchiamo deve essere positivo (altrimenti, se fosse negativo,moltiplicandolo per −2 darebbe risultato positivo e non potrebbe quindi essere −8). Quindi, datoche il quoziente fra i valori assoluti e 4 (8 : 2 = 4), il risultato e:

(−8) : (−2) = +4

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Osservazione. Come nei numeri naturali, non tutte le divisioni nei numeri interi hanno un risul-tato. Si prenda ad esempio (−8) : (+3), non esiste nessun numero intero (positivo o negativo) chemoltiplicato per +3 abbia come risultato −8.

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2.8 Le potenze nei numeri interi

Una potenza nei numeri interi ha come base un numero intero e come esponente un numero naturale.La sua definizione e uguale a quella nei numeri naturali. Anche tutte le proprieta delle potenzedefinite nel paragrafo 1.10, restano valide per le potenze dei numeri interi.

Analizziamo alcuni esempi per capire il comportamento delle potenze dei numeri interi.

Esempi

1. Calcolare (+2)4

E una potenza di base +2 ed esponente 4, quindi:

(+2)4 = (+2) · (+2) · (+2) · (+2)︸︷︷︸4 volte

Effettuiamo una alla volta tutte le moltiplicazioni presenti in questo prodotto, tenendo contodella regola dei segni:

(+2)4 = (+2) · (+2) · (+2) · (+2) = (+4) · (+2) · (+2) = (+8) · (+2) = +16

Quindi:(+2)4 = +16

2. Calcolare (+3)3

E una potenza di base +3 ed esponente 3, quindi:

(+3)3 = (+3) · (+3) · (+3)︸︷︷︸3 volte



(+3)3 = (+3) · (+3) · (+3) = (+9) · (+3) = +27

Quindi:(+3)3 = 27

3. Calcolare (−2)4

E una potenza di base −2 ed esponente 4, quindi:

(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2)︸︷︷︸4 volte


(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = (+4) · (−2) · (−2) = (−8) · (−2) = +16

Quindi:(−2)4 = +16

4. Calcolare (−5)3

E una potenza di base −5 ed esponente 3, quindi:

(−5)3 = (−5) · (−5) · (−5)︸︷︷︸3 volte


(−5)3 = (−5) · (−5) · (−5) = (+25) · (−5) = −125

Quindi:(−5)3 = −125

5. Calcolare 04

E una potenza di base 0 ed esponente 4, quindi:

04 = 0 · 0 · 0 · 0︸︷︷︸4 volte

= 0

6. Calcolare (+7)0; (−5)0

Adottiamo la stessa convenzione usata nei numeri naturali, per le potenze ad esponente 0.Quindi:

(+7)0 = +1 (−5)0 = +1

7. 00 non ha significato.

Dai precedenti esempi deduciamo la seguente:

Regola delle potenze dei numeri interi.

• La potenza di un numero intero avente base positiva ha sempre segno positivo (esempi 1 e 2)


• La potenza di un numero intero avente base negativa ha:

– segno positivo se l’esponente e pari (esempio 3)

– segno negativo se l’esponente e dispari (esempio 4)

• La potenza che ha per base 0 e per esponente un numero diverso da 0 e sempre 0 (esempio 5)

• La potenza che ha per base qualunque numero intero diverso da 0 e come esponente 0 esempre (+1) (esempio 6)

• 00 non ha significato (esempio 7)

Osservazione. Nelle regole appena viste abbiamo affermato che qualunque numero intero diversoda zero, elevato a 0, e uguale a +1. Che il valore assoluto sia 1 viene dalle osservazioni fatte perle potenze nei numeri naturali. Ci si potrebbe allora chiedere perche non −1. Una delle possibilirisposte consiste nel fatto che una potenza con esponente pari, qualunque base abbia purche diversada 0, ha segno positivo. Essendo 0 un numero pari, una potenza con esponente 0 deve avere segnopositivo.

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Le proprieta delle potenze dei numeri interi. Le proprieta delle potenze dei numeri naturali(vedi paragrafo 1.10) rimangano invariate nei numeri interi, con la differenza che, in quest’ultimocaso, le basi delle potenze sono numeri interi. Effettuiamo alcuni esempi:

.(+2)4 · (+2)3

Si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi la stessa base. La prima proprieta dellepotenze ci dice che il prodotto fra due potenze aventi la stessa base e una potenza che ha per basela stessa base e come esponente la somma degli esponenti; quindi, dato che 4 + 3 = 7 si ha:

(+2)4 · (+2)3 = (+2)7 = +128

(se la potenza rappresenta un numero elevato si puo lasciare sotto forma di potenza e non enecessario calcolarla. In questo caso quindi possiamo lasciare come risultato (+2)7)

.(−1)2 · (−1)3

Come nell’esempio precedente, si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi la stessa base.Il prodotto e una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti;quindi, dato che 2 + 3 = 5, si ha:

(−1)2 · (−1)3 = (−1)5 = −1

(Osservazione. Si noti che l’ultimo esempio non e in contraddizione con la regola dei segni:infatti all’obiezione che (-1) moltiplicato (-1) ha come risultato (+1), si risponde col fatto che nonva effettuato il prodotto delle basi, ma applicata la prima proprieta delle potenze. Quindi, datoche la base delle due potenze e −1, anche il risultato deve avere la stessa base cioe −1).

.(−5)7 : (−5)5

Si tratta di una divisione fra due potenze aventi la stessa base. La seconda proprieta delle potenzeci dice che il quoziente fra due potenze aventi la stessa base e una potenza che ha per base la stessabase e come esponente la differenza degli esponenti; quindi, dato che 7− 5 = 2 si ha:

(−5)7 : (−5)5 = (−5)2 = +25


.[(−2)3]2

Applicando la terza proprieta delle potenze che dice che una potenza di potenza equivale a unapotenza con la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti, si ottiene:

[(−2)3]2 = (−2)6 = +64

.(+2)3 · (−3)3

Si tratta di una moltiplicazione fra due potenze aventi lo stesso esponente. La quarta proprietadelle potenze ci dice che il prodotto fra due potenze aventi lo stesso esponente e una potenza che haper esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi; quindi, dato che (+2)·(−3) = −6si ha:

(+2)3 · (−3)3 = (−6)3 = −196

(come gia detto, se la potenza rappresenta un numero elevato si puo lasciare sotto forma di potenza)

.(−12)4 : (+4)4

Si tratta di una divisione fra due potenze aventi lo stesso esponente. La quinta proprieta dellepotenze ci dice che il quoziente fra due potenze aventi lo stesso esponente e una potenza che ha peresponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi; quindi, dato che (−12) : (+4) = −3si ha:

(−12)4 : (+4)4 = (−3)4 = +81

�

Osservazione. Da quanto visto e facile osservare che due potenze che hanno lo stesso esponentepari, e basi opposte sono uguali, come emerge dai seguenti esempi:

.(+2)4 = (−2)4

infatti entrambe le potenze sono uguali a +16.

.(−5)2 = (+5)2

infatti entrambe le potenze sono uguali a +25 e cosı via.

�

Chiarito questo, consideriamo adesso il seguente prodotto:

(+2)7 · (−2)4

possiamo applicare le proprieta delle potenze? La risposta e negativa in quanto le due potenzehanno diversi sia la base che l’esponente. Si osserva pero che le basi sono opposte e che una delledue ha esponente pari. Il precedente prodotto e quindi equivalente a:

(+2)7 · (−2)4 = (+2)7 · (+2)4

adesso possiamo applicare la prima proprieta delle potenze ottenendo:

(+2)7 · (−2)4 = (+2)7 · (+2)4 = (+2)11


Possiamo quindi affermare la seguente regola:

Regola del prodotto fra due potenze di basi opposte. Il prodotto fra due potenze aventi basiopposte, di cui almeno una con esponente pari, si effettua cambiando il segno alla base della potenzacon esponente pari, e applicando la prima proprieta delle potenze. Se entrambe le potenze hannoesponente pari, il segno va cambiato ad una sola delle basi (in genere quella di segno negativo).

Esempi

.(+5)6 · (−5)3 = (−5)6 · (−5)3 = (−5)9

.(−3)2 · (+3)4 = (+3)2 · (+3)4 = (+3)6

�

Osservazione. La regola del prodotto fra due potenze aventi basi opposte si applica allo stessomodo per il quoziente.

Esempio(−4)7 : (+4)6 = (−4)7 : (−4)6 = (−4)1 = −4

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2.9 La priorita delle operazioni, le parentesi e le espressioni

Come abbiamo fatto nei numeri naturali, per poter risolvere delle espressioni e necessario definireuna priorita delle operazioni. Come prevedibile, la priorita delle operazioni e la stessa di quelladefinita nei numeri naturali. Quindi:

1. Elevamento a potenza.

2. Moltiplicazione e divisione.

3. Addizione e sottrazione

Fra due operazioni di uguale priorita si effettua prima quella piu a sinistra.

Come per i numeri naturali, l’unico modo di cambiare l’ordine delle operazioni e tramite l’uso delleparentesi.

Esempi

{[(+36) + (−3) · (−4) + (+5)− (+2) · (−5)2]8 : (+3)6} − (+2) · (−1)

Concentriamoci sulla parte di espressione all’interno delle parentesi quadre: in essa c’e un eleva-mento a potenza che va svolto per primo:

= {[(+36) + (−3) · (−4) + (+5)− (+2) · (+25)]8 : (+3)6} − (+2) · (−1) =

Sempre dentro le parentesi quadre ci sono due moltiplicazioni, possiamo svolgerle nello stessopassaggio:


{[(+36) + (+12) + (+5)− (+50)]8 : (+3)6} − (+2) · (−1) =

Adesso nelle parentesi quadre ci sono solo operazioni che hanno la medesima priorita. Svolgiamoleuna per ogni passaggio nell’ordine che va da sinistra a destra:

{[(+48) + (+5)− (+50)]8 : (+3)6} − (+2) · (−1) =

{[(+53)− (+50)]8 : (+3)6} − (+2) · (−1) =

{[(+3)]8 : (+3)6} − (+2) · (−1) =

Le parentesi quadre contengono un solo numero intero, e quindi sono diventate inutili e possiamotoglierle:

{(+3)8 : (+3)6} − (+2) · (−1) =

Invece di elevare a potenza, applichiamo la seconda proprieta delle potenze:

{(+3)2} − (+2) · (−1) =

{(+9)} − (+2) · (−1) =

Le parentesi graffe contengono un solo numero intero, e quindi sono diventate inutili e possiamotoglierle:

(+9)− (+2) · (−1) =

Adesso si effettua il prodotto e infine la sottrazione:

(+9)− (−2) = +11

.{[(−5)2 · (−5)3 : (−5)4]2}3 : [(−5)2]3 =

{[(−5)5 : (−5)4]2}3 : [(−5)2]3 =

{[(−5)1]2}3 : [(−5)2]3 =

{(−5)2}3 : (−5)6 =

(−5)6 : (−5)6 = (−5)0 = +1

�


2.10 Identificazione fra i numeri interi non negativi e i numerinaturali

(Nel titolo del paragrafo abbiamo usato il termine non negativo invece che positivo per potercomprendere anche lo 0).

Come possiamo osservare le espressioni con i numeri interi hanno una notazione piuttosto pesante,con un massiccio uso di parentesi. Per poter alleggerire questa notazione e stata stabilita la seguentecorrispondenza fra i numeri naturali e i numeri interi non negativi:

Corrispondenza fra i numeri naturali e i numeri interi non negativi.

• Ad ogni numero intero positivo corrisponde il numero naturale uguale al suo valore assoluto(Esempio: al numero intero +3, corrisponde il numero naturale 3).

• Ad ogni numero naturale corrisponde il numero intero positivo che ha come valore assolutoquel numero naturale (Esempio: al numero naturale 7, corrisponde il numero intero +7).

• Allo 0 dei numeri interi corrisponde lo 0 dei numeri naturali, e viceversa.

Si osservi che si tratta di una corrispondenza biunivoca, cioe ad ogni numero intero non negativocorrisponde uno e un solo numero naturale e viceversa. Tramite questa corrispondenza abbiamoidentificato l’insieme dei numeri naturali con l’insieme dei numeri interi non negativi.

Prima di procedere, possiamo finalmente spiegare il motivo per cui il prodotto di due numeri interipositivi e positivo.

Il prodotto di due numeri interi positivi e positivo. Supponiamo di dover effettuare ilprodotto (+3) · (+5). Tramite la corrispondenza appena vista possiamo affermare che tale prodottoe equivalente nei numeri naturali a 3 · 5 che ha come risultato 15. Ma il numero naturale 15corrisponde nei numeri interi a +15. Quindi deve risultare che:

(+3) · (+5) = +15

che spiega perche e stato scelto che il prodotto di due numeri positivi sia positivo.

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Alla luce di quanto visto, vediamo come si trasformano le espressioni:

• Se all’intero di una parentesi abbiamo un unico numero intero e la parentesi e preceduta dalsegno + oppure −, si levano le parentesi e come unico segno si segue la regola dei segni delprodotto fra il segno che precede la parentesi e quello all’interno della parentesi.

• Al posto di un numero intero positivo scriviamo il numero naturale formato dal suo valoreassoluto.

• Nel caso di un numero intero negativo all’inizio di un’espressione, si puo scrivere tale numerosenza le parentesi.

Esempi

. (+3) + (+7) = +10 diventa 3 + 7 = 10

. (+3) + (−7) = −4 diventa 3− 7 = −4 (perche +(−7) diventa −7 in quanto, per la regoladei segni del prodotto, “piu per meno uguale meno”).


. (−3)− (−6) = +3 diventa −3 + 6 = 3 (perche −(−6) diventa +6 in quanto, per la regoladei segni del prodotto, “meno per meno uguale piu”).

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Vediamo adesso come si trasforma l’espressione trattata nel paragrafo precedente

{[(+36) + (−3) · (−4) + (+5)− (+2) · (−5)2]8 : (+3)6} − (+2) · (−1)

con le convenzioni sopra descritte:

{[36− 3 · (−4) + 5− 2 · (−5)2)]8 : 36} − 2 · (−1)

Osservazione. Notiamo che la rappresentazione della seconda espressione e certamente menopesante della prima. Questo purtroppo non vuol dire che sia piu facile risolvere la seconda piuttostoche la prima: anzi e necessario prestare maggiore attenzione sia alla regola dei segni, sia alle prioritadelle operazioni.

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Osservazione. Si osservi che nell’espressione abbiamo lasciato la parentesi nel (−5)2. Questascelta e obbligatoria, infatti e diverso scrivere (−5)2 da scrivere −52. Chiariamo perche:

(−5)2 e una potenza di base −5 ed esponente 2. Le parentesi indicano che anche il meno fa partedella base e quindi valgono le regole per le potenze dei numeri interi con esponente pari. Quindirisulta che:

(−5)2 = 25

Invece in −52, non essendoci parentesi, per la priorita delle operazioni va effettuata prima la potenzae poi considerato il segno negativo. Quindi:

−52 = −25

�

Osservazione. Si osservi che nella parte di espressione 3 · (−4) abbiamo lasciato le parentesi alnumero intero −4. Anche in questo caso non possiamo fare altrimenti perche e sempre sbagliatoscrivere due segni di operazione accanto se non separati da parentesi (non possiamo quindi scrivere3 · −4).

�

Dopo queste osservazioni, risolviamo l’espressione:

{[36− 3 · (−4) + 5− 2 · (−5)2)]8 : 36} − 2 · (−1) =

{[36− 3 · (−4) + 5− 2 · 25]8 : 36} − 2 · (−1) =

{[36 + 12 + 5− 50]8 : 36} − 2 · (−1) =

{[48 + 5− 50]8 : 36} − 2 · (−1) =

{[53− 50]8 : 36} − 2 · (−1) =

{[3]8 : 36} − 2 · (−1) =

{38 : 36} − 2 · (−1) =


{32} − 2 · (−1) =

32 − 2 · (−1) =

9− 2 · (−1) =

9 + 2 = 11

�

2.11 Domande

Paragrafo 2.1

1. Cos’e il valore assoluto di un numero intero?

2. Quando 2 numeri interi sono fra loro concordi? Quando discordi?

Paragrafo 2.2

3. Qual’e la relazione d’ordine in Z?

4. Presi 2 numeri negativi come si stabilisce chi e il minore?

5. Z ha un elemento minore di tutti gli altri?

6. Quale numero intero e minore di tutti i numeri positivi e maggiore di tutti i numeri negativi?

Paragrafo 2.3

7. Perche sono stati creati i numeri interi?

8. Quali propirieta che sono valide in N vogliamo che restino valide in Z?

Paragrafo 2.4

9. In un’espressione con i numeri interi il simbolo + puo avere 2 significati. Quali?

10. Come si effettua la somma di 2 numeri concordi?

11. Come si effettua la somma di 2 numeri discordi?

12. Quando 2 numeri si dicono opposti?

13. Di quali proprieta gode l’addizione fra numeri interi?

Paragrafo 2.5

14. A cosa e equivalente la sottrazione di 2 numeri interi?

Paragrafo 2.6

15. Come si determina il segno del prodotto di 2 numeri interi?

16. Come si determina il valore assoluto del prodotto di 2 numeri interi?


17. Supponendo vero che il prodotto di 2 numeri positivi e positivo, si risponda alla domanda:perche il prodotto di un numero positivo con uno negativo e negativo?

18. Di quali proprieta gode la moltiplicazione fra numeri interi?

Paragrafo 2.7

19. Perche la regola dei segni della divisione e uguale a quella della moltiplicazione?

Paragrafo 2.8

20. Quale e il segno di una potenza avente base positiva?

21. Perche una potenza di base negativa ed esponente pari e positiva?

22. Perche una potenza di base negativa ed esponente dispari e negativa?

23. Perche una potenza di base diversa da 0 ed esponente 0 e +1 (e non −1 ad esempio)?

24. Le proprieta delle potenze valide in N valgono anche in Z?

25. In quali casi e possibile applicare le proprieta delle potenze ad un prodotto fra potenze dibasi opposte?

Paragrafo 2.9

26. La priorita delle operazioni in Z e la stessa di N?

Paragrafo 2.10

27. Che corrispondenza e stata stabilita fra N e Z?

28. Che tipo di corrispondenza e?

29. A che scopo e stata creata questa corrispondenza?

30. Perche il prodotto di 2 numeri positivi e positivo?

31. Perche e obbligatoria la parentesi nella potenza (−4)2?

2.12 Esercizi

Paragrafo 2.2

1. Scrivi nell’ordine giusto i seguenti numeri interi: +2;−6;−2; 0; +1

2. Scrivi nell’ordine giusto i seguenti numeri interi: −25;−26;−24;−110; 0

Paragrafo 2.4

Esegui le seguenti addizioni:

3. (+7) + (+7); (−3) + (−4); (−3) + (0); (+5) + (−10)

4. (−2) + (+8); (−4) + (+4); (+7) + (−6); (0) + (−5)

5. (+6) + (−3) + (−4); (−2) + (+1); (−13) + (−4) + (+13); (−3) + (0) + (+4)


6. Determina gli opposti dei seguenti numeri: −100; +14; 0; +9

7. Mostra con un esempio che per l’addizione fra interi vale la proprieta commutativa.

8. Mostra con un esempio che per l’addizione fra interi vale la proprieta associativa.

Paragrafo 2.5

Esegui le seguenti sottrazioni:

9. (+7)− (+7); (−3)− (−5); (−3)− (0); (+2)− (−10)

10. (−4)− (+8); (−4)− (+4); (+9)− (−6); (0)− (−5)

11. (+6)− (−3)− (−4); (−2)− (+1); (−13)− (−4)− (+13); (−3)− (0)− (+4)

12. Mostra con un esempio che per la sottrazione fra interi non vale la proprieta commutativa.

13. Mostra con un esempio che per la sottrazione fra interi non vale la proprieta associativa.

Paragrafo 2.6

Esegui le seguenti moltiplicazioni:

14. (+3) · (+1); (−11) · (−2); (−8) · (0); (−1) · (−1)

15. (+3) · (0) · (+1); (−11) · (+2) · (−2); (+32) · (−8) · (0); (−1) · (−1) · (−1)

16. (−13) · (−1); (0) · (0); (−4) · (+1) · (+1); (−1) · (−11)

Risolvi le seguenti espressioni sia utilizzando la proprieta distributiva sia non utilizzandola everifica che il risultato e uguale:

17. [(+6) + (−3) + (−4)] · (+2); (−4) · [(−2) + (+1)]

18. [(−6) + (−2)− (−4)] · (−2); (−3) · [(−3) + (+3)]

19. [(−13) + (−4) + (+13)] · (−6); (−3) · [(−3) + (0) + (+4)]

20. [(−12)− (−14) + (−2)] · (−5); (0) · [(−3) + (+1) + (+4)]

21. Mostra con un esempio che per la moltiplicazione fra interi vale la proprieta commutativa.

22. Mostra con un esempio che per la moltiplicazione fra interi vale la proprieta associativa.

Paragrafo 2.7

Esegui le seguenti divisioni:

23. (+3) : (+1); (−12) : (−2); (−8) : (0); (−1) : (−1)

24. (+21) : (−7) : (−3); (−24) : (−2) : (−2); (+32) : (−8) : (0); (0) : (−5) : (−10)

25. (+13) : (+4); (0) : (0); (−4) : (+1) : (+1); (0) : (−11)

26. Mostra con un esempio che per la divisione fra interi non vale la proprieta commutativa.

27. Mostra con un esempio che per la divisione fra interi non vale la proprieta associativa.

Paragrafo 2.8

28. Calcolare: (−2)3; (−4)2; (+2)3; (0)5; (−9)0; (+7)0

Effettuare le seguenti operazioni:


29. 05 : (+3)5; (−1)7·(−1)4; (−6)5 : (−2)5; (+2)3+(+2)2; (+7)2 : (0)2; (+4)2·(0)3


30. [(+4)5]1; [(−2)3]2; [(+14)0]9

31. (+4)5 · (−2)5; (+8)2 − (+4)2; (+11)1 · (+11)0


32. (+12)6 · (−12)3; (−2)10 · (+2)7; (−5)4 · (+5)2

33. (−7)5 : (+7)2; (+8)2 : (−8)2; (−2311)0 · (+2311)5

Paragrafo 2.9

Risolvi le seguenti espressioni

34. [(−6) + (+2) · (+5)]2 : (+2)2 − (−8) + (−13) [−1]

35. [(−5) · (+3) + (+15)] · (+127) : (+7)− [(+4)− (−2) · (+1)] : (−1) [+6]

36. (−4) + (+3) · (+5) : {(+7) − [(+4) − (−2) · (+1)]} − {(+15) + (−8) + (+7) · [(+8) : (−4)] −(+4)} [+22]

37. {(−4) + (−3)− [(+9) · (+1)]}+{[(−2) · (−3)] + [(+1) · (−2)]}−{0− [(+6)− (−3)]} [−3]

38. {[(−3)4 · (−3)3 · (−3)2] : [(−3)0 · (−3)4]} : [(−3)2 · (−3)1] [+9]

39. {[(+17)− (+19)] · (−2)2}3 : [(−2)3]2 − [(+3) · (−4)]2 : [(+15)− (−3) · (−1)] [−20]

40. {(+2)3 − [(+1)− (+11)]2 : (−10)2}3 : [(−2)3 + (+1)]2 − [(+7)− 0− (−2) + (−2)] [0]

Paragrafo 2.10

Adottando le convenzioni del paragrafo 2.10 trasforma le seguenti espressioni e poi risolvile

41. {[(+17)− (+19)] · (−2)2}3

42. [(−6) + (+2) · (+5)]2 : (+2)2 − (−8) + (−13)

43. (+3) · (−4) : [(+15)− (−3)− (+16)]


44. 32 · 2− 33 [−9]

45. [(27 · 29) : (−2)14]3 [26]

46. −{(−3) · (−7 + 8) · (−5) + [−2 · (−3) + 4− 8] · (−1)}+ (−5) : 5 [−14]

47. (−2)6 : [3 · (−1)2 + (−4) · (−1)− 32]5 [−2]

48. (−7 + 4− 8) · (−2) + 6 + [−4 · (1 + 7− 5)] [16]

49. {3− 5− [5− (−2)2 · 3 + (−3)2 · (−2)] · (8− 32)7}3 : (−3)7 [9]

50. [−2 · 15 + (−2)2 : 2] : [(−7)2 : 7] [−4]

51. [(−4)3 · 93 : (−36)3 − (8− 11− 22 · 3)]6 : (−4)6 : 45 [4]

52. 34 : (−3)2 + (−2)3 : 22 · [(−3)2 + 3 · (−4)] : (−6)− 2 · (−5) [18]

Capitolo 3

L’insieme Q dei numeri razionali

3.1 L’insieme delle frazioni di numeri Naturali

Nel primo capitolo abbiamo osservato che:

1. non si poteva sempre eseguire la sottrazione fra due numeri naturali (ad esempio 2− 7)

2. non si poteva sempre eseguire la divisione fra due numeri naturali (ad esempio 8 : 3)

Nel secondo capitolo, tramite l’insieme dei numeri interi, abbiamo risolto il primo punto: infatti,nei numeri interi, possiamo eseguire qualunque sottrazione.

E lecito aspettarsi che in questo capitolo si crei un nuovo insieme numerico, quello dei razionaliappunto, in cui si risolva anche il secondo punto e cioe che presi 2 numeri, esista sempre il loroquoziente. Tale aspettativa e giusta (o quasi).

Supponiamo di prendere i numeri 8 e 3, e ci chiediamo quanto e il quoziente 8 : 3. La risposta aquesta domanda ce la siamo gia data nel primo capitolo, ed e che tale quoziente non esiste perchenon esiste un numero naturale (e neppure intero) che moltiplicato per 3 dia come risultato 8. Dalmomento che non esiste lo creiamo noi: il quoziente 8 : 3 e 8

3 (si legge otto terzi).

Quindi 83 e quel numero che moltiplicato per 3 ha risultato 8 (cioe 8

3 ·3 = 8); cosı come, ad esempio,94 e quel numero che moltiplicato per 4 ha risultato 9 (cioe 9

4 · 4 = 9), oppure 27 e quel numero che

moltiplicato per 7 ha risultato 2 (cioe 27 · 7 = 2).

Abbiamo cosı inventato un’infinita di nuovi numeri che racchiudiamo in un insieme chiamato insiemedelle frazioni di numeri Naturali:

F = {ab, con a, b ∈ N, b 6= 0}

Questo modo di scrivere, che comprenderemo meglio nel prossimo capitolo, significa che l’insiemedelle frazioni di numeri Naturali e costituito da oggetti del tipo a

b dove a e b sono due numerinaturali con b diverso da 0.

Nella frazione ab , che si legge a fratto b, a e il numeratore, b il denominatore e la linea orizzontale

che separa a da b e detta linea di frazione.

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Osservazione. Il lettore attento si chiedera perche b deve essere diverso da 0. In effetti dalmomento che abbiamo creato ad esempio 8

3 che e quel numero che moltiplicato per 3 ha comerisultato 8, perche non possiamo creare, sempre ad esempio, il numero 8

0 cioe quel numero che


moltiplicato per 0 ha come risultato 8. La domanda e perfettamente lecita e la risposta e che lanascita del numero 8

0 (o qualunque altra frazione con denominatore 0) invaliderebbe la proprietadistributiva; dal momento che non vogliamo rinunciare a tale proprieta e stato scelto che unafrazione non puo avere denominatore 0. La dimostrazione di questa affermazione e spiegata nelprossimo facoltativo paragrafo.

�

Perche una frazione non puo avere denominatore 0 (facoltativo). Supponiamo che esistala frazione 8

0 cioe quel numero che moltiplicato per 0 ha come risultato 8. Allora varrebbe che:

8

0· 0 = 8

e ovviamente, dato che 0 + 0 = 0 possiamo scrivere che:

8

0· (0 + 0) = 8

Applichiamo adesso la proprieta distributiva all’espressione 80 · (0 + 0). Si ottiene:

8

0· (0 + 0) =

8

0· 0 +

8

0· 0 = 8 + 8 = 16

Cioe un risultato diverso e quindi la proprieta distributiva non risulta valida. Per scongiurarequesto problema, come gia detto nell’osservazione, e stato scelto che una frazione non puo averedenominatore 0.

�

Osservazione. A differenza che al denominatore, una frazione puo avere 0 al numeratore. Dalmomento che 0 diviso qualunque numero ha come risultato 0; una frazione con 0 al numeratore e0.

Esempi

05 = 0; 0

1 = 0; 0123 = 0;

�

Osservazione. Possiamo stabilire una corrispondenza fra l’insieme dei numeri naturali e quellodelle frazioni. Infatti se consideriamo la divisione 8 : 1 il risultato e 8. Se ragioniamo pero dalpunto di vista delle frazioni si ottiene che 8 : 1 = 8

1 . Quindi risulta che 81 = 8. Possiamo quindi

associare ad ogni numero naturale, la frazione che ha al numeratore il numero naturale stesso e aldenominatore 1.

Esempi

. Al numero naturale 5 corrisponde la frazione 51 . Viceversa alla frazione 5

1 corrisponde il numeronaturale 5.

. Al numero naturale 12 corrisponde la frazione 121 . Viceversa alla frazione 12

1 corrisponde ilnumero naturale 12.

�


Figura 3.1: I 25 di una torta

3.2 Significato “descrittivo” delle frazioni

Nelle scuole medie per introdurre il significato delle frazioni spesso vengono fatti degli esempifigurativi. Consideriamo ad esempio una torta e ci chiediamo cosa rappresenta la frazione 2

5 diuna torta: la risposta e che si taglia la torta in 5 fette uguali (perche il denominatore e 5) e se neprendono 2 (perche il numeratore e 2) (figura 3.1).

Se il numeratore e maggiore del denominatore l’esempio entra un po’ in crisi perche, se consideriamoad esempio la frazione 7

6 diventa difficile tagliare una torta in 6 fette e prenderne 7! Si aggira questoinconveniente prendendo piu torte, tagliandole tutte in 6 parti uguali e prendendo alla fine 7 fette.

La domanda che dobbiamo porci adesso e se queste rappresentazioni sono in accordocol significato che abbiamo dato alla frazione nel precedente paragrafo. La risposta eaffermativa e per verificarlo torniamo alla frazione 2

5 : nell’esempio della torta la frazione rappresenta2 fette di una torta tagliata in 5 parti uguali. Nel precedente paragrafo 2

5 rappresenta il risultatodella divisione 2 : 5 ossia quel numero che moltiplicato per 5 ha come risultato 2.

Vediamo allora se 2 : 5 rappresenta anche le 2 fette di una torta tagliata in 5 parti uguali. Perverificarlo prendiamo 2 torte da dividere in 5 parti uguali. La grandezza di ciascuna parte equivaleovviamente al quoziente 2:5. Si tagliano quindi entrambe le torte in 5 fette ciascuna ottenendoin totale 10 fette. Per avere 5 parti uguali dividiamo il numero di fette (10) per il numero delleparti(5). La risposta e quindi 2 fette. Quindi le 2 fette della torta tagliata in 5 parti rappresentanoanche il risultato della divisione 2 : 5, che e quello che volevamo verificare.

�

Poniamoci adesso il seguente problema: 20 persone sono arrivate all’appuntamento. Dopo 5 minutii 34 se ne vanno. Quante persone sono andate via?

La risposta sta nel calcolare i 34 di 20, e per farlo ci comportiamo come nell’esempio della torta:

dividiamo le 20 persone in 4 parti uguali (gruppi), e di questi 4 gruppi ne prendiamo 3. Quindi:

20 : 4 gruppi = 5 persone per gruppo. Prendiamo 3 gruppi, quindi: 5 · 3 = 15. Quindi i 34 di 20

persone sono 15 persone.

Esempi

. Determinare i 49 di 27.

27 : 9 = 3 3 · 4 = 12

quindi 49 di 27 e uguale a 12.


I tre quarti di una torta (indicata dai pallini)

I sei ottavi di una torta (indicata dai pallini)

Figura 3.2: Le 2 frazioni rappresentano la stessa quantita di torta


10 : 2 = 5 5 · 7 = 35



32 : 8 = 4 4 · 5 = 20


�

3.3 Frazioni equivalenti

Consideriamo adesso le seguenti due divisioni: 14 : 7 e 10 : 5. Entrambe hanno lo stesso risultatocioe 2. Dal punto di vista delle frazioni le due divisioni si rappresentano rispettivamente come 14

7 e105 . Dal momento che queste due frazioni rappresentano lo stesso numero ci chiediamo se esiste un

legame fra di loro. La risposta e che queste due frazioni sono equivalenti come appare chiaro dallaseguente definizione.

Definizione di frazioni equivalenti. Due frazioni ab e c

d si dicono equivalenti se a · d = c · b.

�

Significato di frazioni equivalenti. Due frazioni sono equivalenti se rappresentano la stessaquantita.

�

Nella figura 3.2 si osserva che, anche se la prima torta e divisa in 4 parti e la seconda in 8, laquantita di torta rappresentata dalle 2 frazioni e uguale.


Esempi

. Verificare se sono equivalenti le seguenti frazioni: 147 e 10

5 .

Si applica la formula della definizione con a = 14, b = 7, c = 10 e d = 5:

14 · 5 = 70; 10 · 7 = 70

quindi 14 · 5 = 10 · 7 e le frazioni sono equivalenti.


9 .

Si applica la formula della definizione con a = 8, b = 6, c = 12 e d = 9:

8 · 9 = 72; 12 · 6 = 72



3 .

15 · 3 = 45; 5 · 9 = 45



2 .

14 · 2 = 28; 5 · 8 = 40

quindi 14 · 2 6= 5 · 8 e le frazioni non sono equivalenti.

�

Osservazione. Data una frazione se ne possono trovare infinite ad essa equivalenti: infatti bastamoltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero e si ottiene una frazione equivalentea quella assegnata.

Esempi

. Consideriamo la frazione 106 , e moltiplichiamo numeratore e denominatore per uno stesso nu-

mero, ad esempio 2: 10 · 2 = 20, 6 · 2 = 12. Otteniamo cosı la frazione 2012 . Verifichiamo che e

equivalente a 106 :

10 · 12 = 120; 20 · 6 = 120

quindi le frazioni sono equivalenti.

. Consideriamo sempre la frazione 106 , e stavolta moltiplichiamo numeratore e denominatore per

3: 10 · 3 = 30, 6 · 3 = 18. Otteniamo cosı la frazione 3018 . Verifichiamo che e equivalente a 10

6 :

10 · 18 = 180; 30 · 6 = 180


. Consideriamo sempre la frazione 106 , e stavolta moltiplichiamo numeratore e denominatore per

6: 10 · 6 = 60, 6 · 6 = 36. Otteniamo cosı la frazione 6036 . Verifichiamo che e equivalente a 10

6 :

10 · 36 = 360; 60 · 6 = 360


�


Data una frazione, risulta molto utile determinare una frazione ad essa equivalente avente denomi-natore assegnato. Per ottenerla si usa il seguente:

Metodo per determinare una frazione equivalente con denominatore assegnato.

Spieghiamo tale metodo con un esempio: data la frazione 35 determinare una frazione ad essa

equivalente avente denominatore 20.

1. Si esegue il quoziente fra il denominatore assegnato (20) e il denominatore originale (5). Siottiene il numero 4.

2. Si moltiplica il numero trovato (4) per il numeratore (3). E si ottiene 12 che e il numeratoredella frazione equivalente. La frazione cercata risulta quindi: 12

20

Verifichiamo che 35 e equivalente a 12

20 :

3 · 20 = 60 5 · 12 = 60

e quindi le 2 frazioni sono equivalenti.

�

Osservazione. Una frazione equivalente di denominatore assegnato esiste soltanto se il denomi-natore assegnato e un multiplo del denominatore originale.

�

Esempi

. Data la frazione 92 determinare una frazione ad essa equivalente avente denominatore 10.



10




21


Dal momento che 5 non e multiplo di 2, non esiste una frazione equivalente a 92 avente denominatore

5.

�


3.4 Frazioni ridotte ai minimi termini

Definizione di frazione ridotta ai minimi termini. Una frazione si dice ridotta ai minimitermini se il numeratore e il denominatore hanno come unico divisore comune 1.

Esempi

. 103 e una frazione ridotta ai minimi termini perche 10 e 3 hanno come unico divisore 1.

. 156 non e una frazione ridotta ai minimi termini perche 15 e 6 sono entrambi divisibili per 3.

. 205 non e una frazione ridotta ai minimi termini perche 20 e 5 sono entrambi divisibili per 5.

�

Riduzione di una frazione ai minimi termini. Ridurre una frazione ai minimi termini vuoldire determinare una frazione ridotta ai minimi termini equivalente a quella assegnata.

Per ridurre una frazione ai minimi termini si determina il Massimo Comun Divisore fra il numeratoree il denominatore, e si considera la frazione che si ottiene dividendo numeratore e denominatoreper il Massimo comun Divisore trovato. Tale procedimento si chiama semplificazione.

Esempi

. Ridurre ai minimi termini (semplificare) la frazione 1624 .

Il MCD fra 16 e 24 e 8. Dividiamo quindi per 8:

16 : 8 = 2; 24 : 8 = 3

La frazione 1624 ridotta ai minimi termini e 2

3 . Per esercizio verifichiamo che queste due frazioni sonodavvero equivalenti come vuole la definizione.

16 · 3 = 48; 2 · 24 = 48

Quindi le due frazioni sono equivalenti.


Il MCD fra 45 e 27 e 9. Dividiamo quindi per 9:

45 : 9 = 5; 27 : 9 = 3

La frazione 4527 ridotta ai minimi termini e 5

3


Il MCD fra 12 e 7 e 1. Quindi 127 e gia ridotta ai minimi termini.

�

Un altro metodo per ridurre ai minimi termini una frazione. Nonostante il precedente me-todo sia perfettamente valido, in genere per semplificare una frazione si usa il seguente procedimentoche spieghiamo tramite un esempio:

. Semplificare la frazione 3660 .

Si osserva che 36 e 60 sono entrambi divisibili per 2. Effettuiamo quindi la divisione del numeratoree del denominatore per 2:

36 : 2 = 18; 60 : 2 = 30


Otteniamo cosı la frazione 1830 . E ridotta ai minimi termini? No perche numeratore e denominatore

sono ancora divisibili per 2:18 : 2 = 9; 30 : 2 = 15

Otteniamo cosı la frazione 915 . E ridotta ai minimi termini? No perche numeratore e denominatore

sono entrambi divisibili per 3:9 : 3 = 3; 15 : 3 = 5

Otteniamo cosı la frazione 35 che e la frazione di partenza ridotta ai minimi termini.

�

Spesso, quando si effettua una semplificazione si adotta il seguente modo di scrivere:

6

9=662

693=

2

3

Osservazione. Questo metodo e composto da piu passaggi rispetto al precedente. In compensopero consente di non dover calcolare il Massimo Comun Divisore.

�

3.5 Addizioni e sottrazioni fra frazioni

Poniamoci ora il problema di effettuare delle operazioni fra le frazioni, cominciando dall’addizionee la sottrazione. Innanzitutto cerchiamo di capire cosa vuol dire sommare due frazioni tramite unesempio.

Esempio

. Effettuare l’addizione 25 + 1

5

Dal punto di vista della torta la frazione 25 significa tagliare la torta in 5 parti e prenderne 2, mentre

la frazione 15 significa tagliare la torta in 5 parti e prenderne 1. Se sommiamo le fette otteniamo 3

fette di una torta divisa in 5 parti, cioe la frazione 35 . Quindi:

2

5+

1

5=

3

5

�

Possiamo quindi dedurre che la somma di 2 frazioni aventi ugual denominatore e unafrazione che ha lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori.

Esempio

. Effettuare la sottrazione 57 −

37

Dal punto di vista della torta la frazione 57 significa tagliare la torta in 7 parti e prenderne 5, mentre

la frazione 37 significa tagliare la torta in 7 parti e prenderne 3. Se dalle 5 fette ne sottraiamo 3

otteniamo 2 fette di una torta divisa in 7 parti, cioe la frazione 27 . Quindi:

5

7− 3

7=

2

7

�


Possiamo quindi dedurre che la differenza di 2 frazioni aventi ugual denominatoree una frazione che ha lo stesso denominatore e come numeratore la differenza deinumeratori.

Il problema si pone quando sommiamo o sottraiamo frazioni con denominatore differente. Pren-diamo ad esempio la somma

3

10+

5

6Tagliando la torta in 10 parti otteniamo delle fette che sono diverse da quelle ottenute tagliando latorta in 6 parti, e quindi non possiamo sommare fra loro fette diverse.

Per effettuare la somma dobbiamo trasformare le due frazioni in frazioni equivalenti alle originalima con lo stesso denominatore, per poi poter effettuare la somma come nei due esempi precedenti.Scriviamo quindi alcune frazioni equivalenti a 3

10 :

6

20;

9

30;

12

40;

15

50; ...

e facciamo lo stesso per 56 :

10

12;

15

18;

20

24;

25

30;

30

36; ...

Ci accorgiamo che fra le frazioni equivalenti a 310 e quelle equivalenti a 5

6 c’e una coppia che hauguale denominatore: 9

30 e 2530 .

La somma precedente, 310 + 5

6 , e quindi equivalente alla somma:

9

30+

25

30

che sappiamo calcolare in quanto le 2 frazioni hanno uguale denominatore. Quindi:

3

10+

5

6=

9

30+

25

30=

34

30

�

Il lettore si sara accorto che 30 e il minimo comune multiplo fra i denominatori 10 e 6. Questa none una coincidenza e ci fornisce il seguente:

Metodo per l’addizione fra frazioni. Illustriamo il procedimento per passi

1. Se le frazioni non sono ridotte ai minimi termini vanno semplificate

2. Si determina il minimo comune multiplo fra i denominatori

3. Si trasformano tutte le frazioni della somma in frazioni ad esse equivalenti avente come de-nominatore il minimo comune multiplo appena trovato (vedi il metodo per determinare unafrazione equivalente con denominatore assegnato alla fine del paragrafo 3.3).

4. La somma originale e stata trasformata in una somma fra frazioni aventi lo stesso denomina-tore: vanno quindi sommati fra loro i numeratori lasciando al denominatore il minimo comunemultiplo.

�

Applichiamo adesso questo metodo nei seguenti esempi:

Esempi

.2

7+

3

5


1. Le frazioni sono gia ridotte ai minimi termini.

2. Il minimo comune multiplo fra i due denominatori e 35.

3. Si trasforma la prima frazione in una ad essa equivalente avente come denominatore il minimocomune multiplo appena trovato: si ottiene 10

35 .

4. Si ripete il procedimento per la seconda frazione ottenendo: 2135 .

5. La somma originale e stata trasformata in una somma fra frazioni aventi lo stesso denomina-tore:

2

7+

3

5=

10

35+

21

35=

10 + 21

35=

31

35

.6

8+

5

6

1. La prima frazione non e ridotta ai minimi termini, e va quindi semplificata. Si ottiene 34 e la

precedente somma diventa:3

4+

5

6


3. Si trasforma la prima frazione in una ad essa equivalente avente come denominatore il minimocomune multiplo appena trovato: si ottiene 9

12 .

4. Si ripete il procedimento per la seconda frazione ottenendo 1012 .


6

8+

5

6=

3

4+

5

6=

9

12+

10

12=

9 + 10

12=

19

12

.5

2+ 4

Sappiamo che 4 e equivalente a 41 , quindi l’addizione diventa:

5

2+

4

1

1. Le frazioni sono gia ridotte ai minimi termini.


3. Si divide il minimo comune multiplo (2) per il primo denominatore (2) ottenendo 1. Simoltiplica 1 per il primo numeratore (5) ottenendo 5. La frazione equivalente cercata e inquesto caso uguale all’originale cioe 5

2 .

4. Si ripete il procedimento per la seconda frazione: 2 : 1 = 2; 2 · 4 = 8. La frazione equivalentecercata e 8

2 .


5

2+

4

1=

5

2+

8

2=

5 + 8

2=

13

2


.5

10+

3

4

65 1

610 2+

3

4=

1

2+

3

4=

2 + 3

4=

5

4

�

3

8+

1

6+

3

2

3

8+

1

6+

3

2=

9 + 4 + 36

24=

49

24

�

Il metodo per la sottrazione e equivalente a quello dell’addizione, soltanto che all’ultimo puntoinvece di effettuare la somma fra i numeri trovati, si effettua la differenza.

Esempio

3

5− 2

7

3

5− 2

7=

21− 10

35=

11

35

�

3.6 Frazione di numeri interi

Supponiamo adesso che il numeratore ed il denominatore siano numeri interi, cioe numeri dotati disegno.

Esempi

−3

+7;−2

−5;

+9

−2

�

Per convenzione si preferisce scrivere queste frazioni come frazioni di numeri naturali precedute daun segno, usando la regola dei segni vista per il prodotto e il quoziente di numeri interi. Spieghiamocimeglio con degli esempi (negli esempi viene usato spesso il termine “rapporto” che ha lo stessosignificato di quoziente).

Esempi

. La frazione −3+7 e il rapporto fra il numero negativo −3 e il numero positivo +7. Dal momento

che meno diviso piu ha come risultato meno, la frazione −3+7 si scrive in modo equivalente come −37 .


. La frazione −2−5 e il rapporto fra il numero negativo −2 e il numero negativo −5. Dal momento

che meno diviso meno ha come risultato piu, la frazione −2−5 si scrive in modo equivalente come +25

(o piu semplicemente 25).

. La frazione +9−2 e il rapporto fra il numero positivo +9 e il numero negativo −2. Dal momento

che piu diviso meno ha come risultato meno, la frazione +9−2 si scrive in modo equivalente come −9

2 .

. La frazione − 9−2 e il rapporto fra il numero positivo 9 (perche sappiamo che un numero sprov-

visto di segno va considerato positivo) e il numero negativo −2. Dal momento che piu diviso menoha come risultato meno, la frazione 9

−2 ha segno negativo. In questo caso pero la frazione e pre-ceduta dal segno meno. Si applica nuovamente la regola dei segni (il meno che precede la frazionemoltiplicato meno perche la frazione e negativa ha come risultato piu). Quindi − 9

−2 si scrive in

modo equivalente come +92 (o piu semplicemente 9

2).

. La frazione −−5−2 e il rapporto fra il numero negativo −5 e il numero negativo −2. Dal momento

che meno diviso meno ha come risultato piu, la frazione −5−2 ha segno positivo. In questo caso perola frazione e preceduta dal segno meno. Si applica nuovamente la regola dei segni (il meno cheprecede la frazione moltiplicato piu perche la frazione e positiva ha come risultato meno). Quindi−−5−2 si scrive in modo equivalente come −5

2 .

�

Con questa convenzione possiamo applicare in maniera identica alle frazioni di numeri interi, iconcetti di equivalenza, riduzione ai minimi termini, addizione e sottrazione visti per le frazioni dinumeri naturali. Per quanto riguarda le frazioni equivalenti dobbiamo tener conto della seguente:

Osservazione. Due frazioni per essere equivalenti devono avere lo stesso segno (che ovviamentenon vuol dire che due frazioni che hanno lo stesso segno sono per forza equivalenti!!).

Chiariamo quanto appena detto con degli esempi:

Esempi

. Le frazioni − 615 e −10

25 sono equivalenti, infatti:

6 · 25 = 150 15 · 10 = 150

e le due frazioni hanno lo stesso segno.

. Le frazioni −64 e 3

2 non sono equivalenti, infatti, nonostante che:

6 · 2 = 12 4 · 3 = 12

le due frazioni non hanno lo stesso segno e non possono quindi essere equivalenti.

. Le frazioni 64 e 3

5 non sono ovviamente equivalenti anche se hanno lo stesso segno percherisulta:

6 · 5 = 30 4 · 3 = 12

�

3.7 La moltiplicazione fra frazioni

Chiediamoci adesso cosa significa moltiplicare fra loro due frazioni, partendo dal seguente esempio:

Esempio8

3· 2

5


Ipotizziamo che il risultato di questa moltiplicazione sia una frazione il cui numeratore e il prodottodei numeratori e il denominatore e il prodotto dei denominatori. Cioe:

8

3· 2

5=

8 · 23 · 5

=16

15

Quindi, se la nostra ipotesi e giusta, il prodotto delle due frazioni e 1615 , cioe quel numero che,

moltiplicato per 15 ha come risultato 16.

Verifichiamo che e davvero cosı: come ben sappiamo 83 e quel numero che moltiplicato per 3 ha

come risultato 8 cioe 83 · 3 = 8 e 2

5 e quel numero che moltiplicato per 5 ha come risultato 2 cioe25 · 5 = 2. Per verificare che

8

3· 2

5=

16

15

bisogna moltiplicare il prodotto 83 ·

25 per 15; se il risultato e 16 la nostra ipotesi e verificata e

abbiamo quindi trovato cosa significa e come effettuare il prodotto fra frazioni.

8

3· 2

5

Moltiplichiamo per 15:8

3· 2

5· 15

Ma 15 = 3 · 5 quindi:8

3· 2

5· 15 =

8

3· 2

5· 3 · 5

Per la proprieta commutativa della moltiplicazione:

8

3· 2

5· 3 · 5 =

8

3· 3 · 2

5· 5

Ma 83 · 3 ha come risultato 8 mentre 2

5 · 5 ha come risultato 2. Quindi:

8

3· 3 · 2

5· 5 = 8 · 2 = 16

che verifica la nostra ipotesi.

�

Possiamo quindi enunciare la seguente:

Regola per la moltiplicazione fra frazioni. Il prodotto fra 2 o piu frazioni e una frazione il cuinumeratore e il prodotto dei numeratori, ed il denominatore e il prodotto dei denominatori. Se lefrazioni sono dotate del segno, il segno del prodotto segue la stessa regola del prodotto fra numeriinteri.

Esempi

. Eseguire il prodotto: (+85) · (−4

3)

La prima frazione e positiva e la seconda e negativa: per la regola dei segni il prodotto ha segnonegativo, quindi:

(+8

5) · (−4

3) = −8 · 4

5 · 3= −32

15

. Eseguire il prodotto: (−83) · (−5

3)

La prima frazione e negativa e la seconda e negativa: per la regola dei segni il prodotto ha segnopositivo, quindi:

(−8

3) · (−5

3) = +

8 · 53 · 3

= +40

9=

40

9


. Eseguire il prodotto: 83 · (−

25)

La prima frazione e positiva (non avendo il segno e sottinteso che sia positiva) e la seconda enegativa: per la regola dei segni il prodotto ha segno negativo, quindi:

8

3· (−2

5) = −8 · 2

3 · 5= −16

15

. Eseguire il prodotto: 2016 ·

35

La due frazioni sono entrambe positive (non avendo il segno) quindi anche il prodotto e positivo esi puo lasciare il segno sottinteso:

20

16· 3

5=

20 · 316 · 5

=60

80=660 30

680 40=630 15

640 20=615 3

620 4=

3

4

�

Nell’ultimo esempio si osserva che il risultato trovato (6080) non e ridotto ai minimi termini e quindil’abbiamo dovuto semplificare fino ad arrivare a 3

4 .

Questa osservazione ci suggerisce un metodo piu veloce per effettuare le moltiplicazioni fra frazioni:

Metodo per la moltiplicazione di frazioni.

1. Si riducono ai minimi termini le frazioni che costituiscono il prodotto (se ovviamente nonsono gia ridotte ai minimi termini)

2. Si effettuano, se possibile, le semplificazioni fra numeratori e denominatori di frazioni diverse(le cosiddette semplificazioni incrociate)

3. Il prodotto e dato dal prodotto dei numeratori semplificati fratto il prodotto dei denominatorisemplificati

Esempi

. Eseguire il prodotto: 2016 ·

310

1. 2016 non e ridotta ai minimi termini e quindi la semplifichiamo:

20

16=620 10

616 8=610 5

68 4=

5

4

310 e gia ridotta ai minimi termini e quindi si lascia come e. Il prodotto e diventato:

5

4· 3

10

2. Si effettuano le semplificazioni incrociate: il primo numeratore (5) puo essere semplificato colsecondo denominatore (10), ottenendo:

5

4· 3

10=65 1

4· 3

610 2=

1

4· 3

2

3. Il prodotto e dato dal prodotto dei numeratori semplificati fratto il prodotto dei denominatorisemplificati

1

4· 3

2=

1 · 34 · 2

=3

8


(Osservazione. Se possibile e sempre conveniente effettuare le semplificazioni prima di effettuareil prodotto).

.

(−15

7) · 14

5

Le frazioni sono gia ridotte ai minimi termini. Passiamo alle semplificazioni incrociate:

(−15

7) · 14

5= (− 615 3

67 1) · 614 2

65 1= (−3

1) · 2

1

Effettuiamo adesso il prodotto dei numeratori e dei denominatori, e teniamo conto del segno dellefrazioni:

(−3

1) · 2

1= −3 · 2

1 · 1= −6

1= −6

.

(−8

6) · (−7

2)

La prima frazione non e ridotta ai minimi termini e quindi la semplifichiamo:

8

6=68 4

66 3=

4

3

quindi la moltiplicazione diventa:

(−4

3) · (−7

2)

Passiamo alle semplificazioni incrociate:

(−4

3) · (−7

2) = (−64

2

3) · (− 7

62 1) = (−2

3) · (−7

1)

Effettuiamo adesso il prodotto dei numeratori e dei denominatori, e teniamo conto del segno dellefrazioni:

(−2

3) · (−7

1) = +

2 · 73 · 1

= +14

3=

14

3

�

3.8 La divisione fra frazioni

Premettiamo la seguente definizione.

Definizione di reciproco. Il reciproco di un numero, e quel numero che moltiplicato con il primoha come risultato 1.

�

Metodo per la determinazione del reciproco di una frazione. Determinare il reciproco diuna frazione e molto semplice: e infatti sufficiente scambiare fra loro numeratore e denominatoredella frazione, lasciando inalterato il segno.

Esempi

. Il reciproco di 43 e 3

4 . Infatti, dalla definizione di reciproco, il prodotto dei due numeri deveessere 1. Verifichiamolo:

4

3· 3

4=64 1

63 1· 63

1

64 1=

1

1· 1

1=

1 · 11 · 1

=1

1= 1


. Il reciproco di −112 e − 2

11 (verificarlo).

. Il reciproco di 7 e 17 (infatti sappiamo che 7 = 7

1 e quindi il suo reciproco e 17) (verificarlo).

. Il reciproco di − 110 e −10

1 cioe −10 (verificarlo).

�

Consideriamo adesso la divisione 8 : 5 che come sappiamo ha risultato 85 . Se scriviamo la precedente

divisione sostituendo ai numeri 8 e 5 le rispettive frazioni equivalenti 81 e 5

1 si ottiene:

8

1:

5

1=

8

5

ma avremmo trovato lo stesso risultato se avessimo effettuato la moltiplicazione:

8

1· 1

5=

8

5

Questo ci suggerisce la seguente regola per la divisione fra frazioni:

Regola per la divisione fra frazioni. La divisione fra due frazioni e equivalente al prodotto frala prima frazione (il dividendo) e il reciproco della seconda frazione (il divisore). Se le frazioni sonodotate del segno, il segno del quoziente segue la stessa regola del quoziente fra numeri interi.

Esempi

. Effettuare la divisione 43 : 2

5

Il divisore e 25 e il suo reciproco e 5

2 . La precedente divisione e quindi equivalente alla moltiplicazione:

4

3· 5

2=64 2

3· 5

62 1=

2

3· 5

1=

2 · 53 · 1

=10

3

Quindi4

3:

2

5=

10

3

Per verificare che tale risultato e giusto si moltiplica il quoziente ottenuto (103 ) per il divisore (25):se otteniamo 4

3 , la divisione che abbiamo effettuato e esatta:

10

3· 2

5=610 2

3· 2

65 1=

2

3· 2

1=

4

3

. Effettuare la divisione9

10:

12

5

Procedendo come in precedenza

9

10:

12

5=

9

10· 5

12=69 3

610 2· 65

1

612 4=

3

2· 1

4=

3

8

�

3.9 La potenza di frazioni

Consideriamo adesso una potenza la cui base sia una frazione. Vale la seguente:

Regola per determinare le potenze con base frazionaria. Per determinare una potenza lacui base e una frazione si eleva il numeratore e il denominatore all’esponente della potenza. Se la


frazione e dotata di segno, il segno della potenza segue la stessa regola delle potenze dei numeriinteri.

�

Osservazione. E immediato intuire che tale regola deriva dalla regola della moltiplicazione. Siveda il seguente esempio:

(2

3)4 =

2

3· 2

3· 2

3· 2

3︸︷︷︸4 volte

=2 · 2 · 2 · 23 · 3 · 3 · 3

=24

34

�

Esempi

. Determinare (35)2

(3

5)2 =

32

52=

9

25

. Determinare (−23)4

Si tratta di una potenza di base negativa e esponente pari. Il risultato e quindi positivo.

(−2

3)4 = +

24

34= +

16

81=

16

81


Si tratta di una potenza di base negativa e esponente dispari. Il risultato e quindi negativo.

(−2

3)3 = −23

33= − 8

27


Si tratta di una potenza di base negativa e esponente pari (0 e un numero pari). Il risultato equindi positivo.

(−5

9)0 = +

50

90= +

1

1= 1

�

Osservazione. Dall’ultimo esempio si deduce che le potenze con base frazionaria e esponente 0sono sempre uguali a 1.

�

Per le potenze di frazioni valgono le proprieta delle potenze viste nei precedenticapitoli.


3.10 Espressioni con le frazioni

Un’espressione contenente le frazioni va risolta rispettando la stessa priorita delle operazioni giavista per i numeri naturali e numeri interi, come possiamo osservare dai seguenti esempi:

Esempi

. Svolgere la seguente espressione:

2− 1

4+ [

3

4+ (

1

5− 6

10)]− 1 =

Prima di tutto semplifichiamo eventuali frazioni non ridotte ai minimi termini, subito dopo svol-giamo le parentesi tonde:

2− 1

4+ [

3

4+ (

1

5− 66

3

610 5)]− 1 =

2− 1

4+ [

3

4+ (

1− 3

5)]− 1 =

2− 1

4+ [

3

4+ (−2

5)]− 1 =

2− 1

4+ [

3

4− 2

5]− 1 =

2− 1

4+ [

15− 8

20]− 1 =

2− 1

4+ [

7

20]− 1 =

2− 1

4+

7

20− 1 =

40− 5 + 7− 20

20=

35 + 7− 20

20=

42− 20

20=622 11

620 10=

11

10


(2

3− 22)2 :

25

9+ (3− 4

5) · (15

11− 5

11) =

Conviene portare gli interi a frazioni con denominatore 1.

(2

3− 4)2 :

25

9+ (

3

1− 4

5) · (15

11− 5

11) =


(2

3− 4

1)2 :

25

9+ (

3

1− 4

5) · (15

11− 5

11) =

(2− 12

3)2 :

25

9+ (

15− 4

5) · (10

11) =

(−10

3)2 :

25

9+

11

5· 10

11=

100

9:

25

9+611 1

65 1· 610 2

611 1=

6100 4

69 1· 69

1

625 1+

2

1=

4

1+

2

1=

6

1= 6


[(−3

4)3]2 · (5

4− 2)5 : [(−3

4)5]2 − (−1

2)3 =

[−3

4]6 · (5− 8

4)5 : [(−3

4)]10 − (−1

8) =

[−3

4]6 · (−3

4)5 : (−3

4)10 +

1

8=

(−3

4)6 · (−3

4)5 : (−3

4)10 +

1

8=

(−3

4)11 : (−3

4)10 +

1

8= (−3

4)1 +

1

8= −3

4+

1

8=−6 + 1

8=−5

8= −5

8

�

3.11 Semplificazioni fra potenze

Supponiamo di trovarci di fronte ad un’espressione che porti al seguente risultato:

38

32

L’espressione e da considerarsi terminata oppure possiamo effettuare qualche semplificazione? Perrispondere proviamo a riscrivere la precedente frazione in forma estesa:

38

32=

3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 33 · 3


In questa frazione possiamo prendere un 3 del numeratore e un 3 del denominatore e semplificarlifra loro:

38

32=63 1· 63 1 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

63 1· 63 1

Al numeratore sono rimasti 6 fattori uguali a 3 e al denominatore e rimasto 1. Quindi:

38

32=

36

1= 36

�

Possiamo quindi dare la seguente regola:

Regola per la semplificazione di frazioni di potenze. In una frazione avente al numeratore eal denominatore potenze con la stessa base e possibile adottare la seguente semplificazione: al postodella potenza con esponente minore si scrive 1, al posto della potenza con esponente maggiore siriscrive la stessa base e come esponente la differenza fra i 2 esponenti. Se i 2 esponenti sono ugualila frazione e 1.

Esempi

. Semplificare la frazione:

84

87

La potenza con esponente minore e 84: al suo posto scriviamo quindi 1. La potenza con esponentemaggiore e 87: al suo posto scriviamo una potenza con la stessa base (8) e come esponente ladifferenza degli esponenti (7− 4 = 3). Quindi:

84

87=

1

83

Come notazione, per evidenziare il ragionamento, si scrive:

84

87=684

8673=

1

83

. Semplificare la frazione: 56

513

56

513=656 1

5 6137=

1

57


2

26

2=

2665

62 1=

25

1= 25


45

45

45=645

645= 1

. Semplificare la frazione: 42·7445·73

42 · 74

45 · 73=

4 · 4 · 7 · 7 · 7 · 74 · 4 · 4 · 4 · 4 · 7 · 7 · 7

=64 1· 64 1· 67 1· 67 1· 67 1 · 7

64 1· 64 1 · 4 · 4 · 4· 67 1· 67 1· 67 1=

71

43=

7

43


73


Le 2 frazioni hanno basi diverse e non si possono semplificare.


23

Anche in questo caso le 2 frazioni hanno basi diverse: a differenza di prima pero ci accorgiamo chela base del numeratore (4) e uguale alla base del denominatore (2) elevata alla seconda. Riscriviamoallora la frazione precedente mettendo al numeratore 22 al posto di 4:

45

23=

(22)5

23=

210

23=

27

1= 27

�

3.12 Potenze con esponente negativo

Abbiamo introdotto le potenze nel capitolo dei numeri naturali, dando la definizione di potenzacon esponente positivo. Successivamente abbiamo esteso il concetto anche a potenze con esponente0. Proviamo in questo paragrafo ad estendere il concetto anche a potenze con esponente negativo.

La seconda proprieta delle potenze viste nel primo capitolo afferma che il quoziente fra 2 potenzeaventi la stessa base e una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degliesponenti. Per essere valida tale proprieta deve risultare che l’esponente del dividendo non deveessere minore dell’esponente del divisore.

Proviamo a togliere questa limitazione e consideriamo il seguente esempio:

56 : 59

Applicando la seconda proprieta:56 : 59 = 56−9 = 5−3

Che significato diamo a 5−3? Continuiamo a considerare il solito esempio e scriviamo la stessadivisione sotto forma di frazione:

56 : 59 =56

59=

5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 55 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

Ciascun 5 che compare al numeratore puo essere semplificato con un 5 del denominatore:

56 : 59 =65 · 65 · 65 · 65 · 65 · 65

65 · 65 · 65 · 65 · 65 · 65 ·5 · 5 · 5=

1

5 · 5 · 5=

1

53= (

1

5)3

Quindi

5−3 = (1

5)3

�

Sappiamo quindi come definire le potenze ad esponente negativo in modo che continuino a valerele proprieta delle potenze:

Definizione di potenza con esponente negativo. Una potenza con esponente negativo eequivalente a una potenza che ha per base il reciproco della base e esponente uguale in valoreassoluto all’esponente, ma col segno positivo.

Esempi

. Determinare (23)−2


Il reciproco di 23 e 3

2 quindi, dalla definizione di potenza con esponente negativo, otteniamo che:

(2

3)−2 = (

3

2)2 =

9

4

. Determinare 4−3

4−3 = (1

4)3 =

1

64

. Determinare (−25)−2

(−2

5)−2 = (−5

2)2 = +

25

4=

25

4

. Determinare (−13)−3

(−1

3)−3 = (−3

1)3 = −27

1= −27

. Risolvere la seguente espressione:

[(3

4)−3]2 · (5

4− 2)−5 : (−4

3)9

Il primo esponente negativo puo essere subito trasformato:

[(4

3)3]2 · (5− 8

4)−5 : (−4

3)9

(4

3)6 · (−3

4)−5 : (−4

3)9

Adesso anche il secondo:

(4

3)6 · (−4

3)5 : (−4

3)9

Per poter applicare le proprieta delle potenze le basi devono essere uguali. Cambiamo quindi ilsegno alla prima potenza (lo possiamo fare perche ha esponente pari)

(−4

3)6 · (−4

3)5 : (−4

3)9 = (−4

3)11 : (−4

3)9 = (−4

3)2 = (

4

3)2 =

16

9

�

3.13 La notatazione scientifica

Quando si hanno numeri estremamente grandi o estremamente piccoli, risulta molto efficace lanotazione scientifica. Tale notazione consiste nel rappresentare un numero come la moltiplicazionedi un numero compreso fra 1 e 10 e una potenza (positiva o negativa) del 10. Ricordiamo che:

10−1 = 0, 1; 10−2 = 0, 01; 10−3 = 0, 001; 10−4 = 0, 0001; 10−5 = 0, 00001; . . .

quindi il numero 0, 000000001 (1 al nono posto dopo la virgola) si scrive in notazione scientifica:1 · 10−9.

Esempi

. Scrivere in notazione scientifica il numero 60000000 (6 con 7 zeri dopo).

Risulta che:


60000000 = 6 · 10000000 = 6 · 107.

Quindi 60000000 scritto in notazione scientifica e 6 · 107.

. Scrivere in notazione scientifica il numero 374000000.

Abbiamo detto che il numero che moltiplica la potenza del 10 deve essere compreso fra 1 e 10,quindi:

374000000 = 3, 74 · 1000000000 = 3, 74 · 108 (perche 8 sono le cifre che seguono il 3).

Quindi 37400000000 scritto in notazione scientifica e 3, 74 · 108.

. Scrivere in notazione scientifica il numero 0, 0000003 (3 e al settimo posto dopo la virgola).

Risulta che:

0, 0000003 = 3 · 0, 0000001 = 3 · 10−7

Quindi 0, 0000003 scritto in notazione scientifica e 3 · 10−7.

. Scrivere in notazione scientifica il numero 0, 0000258 (il primo numero diverso da zero dopo lavirgola e al quinto posto dopo la virgola).

Risulta che:

0, 0000258 = 2, 58 · 0, 00001 = 2, 58 · 10−5

Quindi 0, 0000258 scritto in notazione scientifica e 2, 58 · 10−5.

�

3.14 Le frazioni e i numeri razionali

Abbiamo intitolato il capitolo “L’insieme dei numeri razionali”, ma finora non abbiamo ancorausato il termine razionale, usando invece l’insieme delle frazioni. E il momento di chiarire il legamefra frazioni e numeri razionali. Per ora sappiamo che per ogni frazione, esistono infinite frazioni adessa equivalenti. Di queste infinite frazioni equivalenti fra loro, una sola e ridotta ai minimitermini. Tramite quest’unica frazione ridotta ai minimi termini possiamo definire l’insieme deinumeri razionali:

Definizione di insieme Q dei numeri razionali. L’insieme dei numeri razionali e l’insieme dellefrazioni fra numeri interi ridotte ai minimi termini. Ciascuna di queste frazioni ridotte ai minimitermini e la rappresentante delle infinite frazioni ad essa equivalenti.

�

Quindi non dobbiamo pensare che una frazione non ridotta ai minimi termini non faccia partedell’insieme dei razionali: quella frazione e rappresentata nell’insieme dei razionali dalla frazionead essa equivalente ma ridotta ai minimi termini. Vale quindi la seguente corrispondenza:

Corrispondenza fra frazioni e numeri razionali. Ad ogni numero razionale (cioe ad ognifrazione ridotta ai minimi termini) corrispondono le infinite frazioni equivalenti a quel numerorazionale. Viceversa ad ogni frazione e associato un numero razionale che si ottiene riducendo aiminimi termini la frazione stessa (figura 3.3).

Esempi

. Consideriamo il numero razionale +34 (o piu semplicemente 3

4). Quali sono le frazioni ad essoassociate?


5 2

2510

34

34

68

912

3040

.

.

.

34

104

156

.

.

.

..

.

Insieme dei razionali Insieme delle frazioni

Figura 3.3: La corrispondenza fra numeri razionali e frazioni

La risposta e: tutte le infinite frazioni equivalenti a 34 , cioe:

68 ; 9

12 ; 1520 ; 30

40 ; etc. etc.

. Consideriamo la frazione −106 . A quale numero razionale corrisponde?

La risposta si ottiene semplificando la frazione:

−106 = − 610

5

663 = −53

quindi il numero razionale corrispondente e −53 .

�

3.15 Le proporzioni

Definizione di vettore. Un vettore e un insieme ordinato di numeri.

Esempi

. L’andamento del prezzo del pane negli ultimi 2 anni e un vettore, infatti supponiamo che nel2008 il prezzo fosse 4 euro al chilo, nel 2009, 6 euro e nel 2010, 7 euro. Il vettore “andamento delprezzo del pane negli ultimi 2 anni” ordinato in senso cronologico e costituito dai 3 numeri: 4; 6; 7.

. Mario ha 2 bambini di 8 e 11 anni. Il vettore “eta dei figli di Mario” ordinato per eta crescentee costituito da 2 numeri: 8; 11.

. Nel mese di Gennaio a Firenze e piovuto per 11 giorni, a Febbraio per 15 giorni, a Marzo per14 giorni e a Aprile per 7 giorni. Il vettore “giorni di pioggia nei primi 4 mesi dell’anno” ordinatoin senso cronologico e costituito dai 4 numeri:11; 15; 14; 7.


�

Definizione di vettori direttamente proporzionali. Due vettori costituiti dallo stesso numerodi valori sono direttamente proporzionali se il rapporto fra i loro valori ordinati e costante.

Esempi

. Si consideri il vettore A costituito dai numeri 15; 18; 48 e il vettore B costituito dai numeri 5;6; 16. Questi 2 vettori sono direttamente proporzionali? Usiamo la seguente tabella:

A B

15 518 648 16

Dalla definizione bisogna determinare il rapporto fra gli elementi ordinati di A e B e vedere se ecostante. Il rapporto fra gli elementi ordinati vuol dire semplicemente dividere il primo elementodi A con il primo di B, il secondo elemento di A con il secondo di B e il terzo di A con il terzodi B. Se tali divisioni danno lo stesso risultato i due vettori sono direttamente proporzionali. Dalmomento che:

15 : 5 = 3; 18 : 6 = 3; 48 : 16 = 3

A e B sono direttamente proporzionali.

. Verificare se i vettori A = 12; 9 e B = 6; 3 sono direttamente proporzionali:

A B

12 69 3

12 : 6 = 2; 9 : 3 = 3

quindi A e B non sono direttamente proporzionali.

(Osservazione. Come ben sappiamo non sempre il rapporto fra numeri interi e un numero interoma una frazione. In questo caso, per verificare se due vettori sono direttamente proporzionali, bastaverificare se le frazioni sono equivalenti).

. Verificare se i vettori A = 8; 18 e B = 12; 27 sono direttamente proporzionali:

A B

8 1218 27

8 : 12 = 812 ; 18 : 27 = 18

27

Verifichiamo se 812 e 18

27 sono equivalenti:

8 · 27 = 216 12 · 18 = 216

quindi le due frazioni sono equivalenti e A e B sono direttamente proporzionali.

�

Possiamo adesso dare la seguente:

Definizione di proporzione. Si dice proporzione l’uguaglianza fra 2 frazioni equivalenti.

Esempio


. Abbiamo appena verificato che 812 e 18

27 sono equivalenti. Quindi, in base alla definizione,l’uguaglianza:

8

12=

18

27

e una proporzione.

�

Se adesso riscriviamo la precedente uguaglianza sostituendo alla linea di frazione la sua operazioneequivalente cioe il diviso, otteniamo:

8 : 12 = 18 : 27

che e la forma in cui si scrive una proporzione. L’espressione precedente si legge: “8 sta a12 come 18 sta a 27”.

Proprieta fondamentale delle proporzioni. 4 numeri: a; b; c; d, formano una proporzione see soltanto se vale la seguente uguaglianza:

a · d = b · c

in tal caso si scrive:a : b = c : d

�

Prima di passare agli esempi, diamo la seguente terminologia. Nella proporzione a : b = c : d sidice che:

• a e d sono gli estremi (infatti stanno alle “estremita”).

• b e c sono i medi (infatti stanno “nel mezzo” accanto all’uguale)

• a e b sono i primi termini (stanno prima dell’uguale)

• c e d sono i secondi termini (stanno dopo l’uguale)

In base a questa terminologia risulta che:

• a e il primo estremo

• b e il primo medio

• c e il secondo medio

• d e il secondo estremo

Esempi

Verificare se i numeri: 14; 21; 6; 9, formano una proporzione e, in caso affermativo individuare ilsecondo medio e il primo estremo.

Usiamo la proprieta fondamentale delle proporzioni:

14 · 9 = 126; 21 · 6 = 126

quindi i 4 numeri formano una proporzione e si scrive:

14 : 21 = 6 : 9

Il secondo medio e 6 e il primo estremo e 14.


�

Osservazione. L’ordine in cui vengono dati i 4 numeri e fondamentale. Questo significa chementre 14; 21; 6; 9 dati in questo ordine formano una proporzione, non e detto che cambiandol’ordine questi numeri formino ancora una proporzione: ad esempio 6; 21; 14; 9, non formano unaproporzione (verificarlo per esercizio).

�

Nonostante quanto appena affermato alcuni “scambi” fra termini di una proporzione sono leciti.In altre parole se 4 numeri formano una proporzione, si ottiene ancora una proporzione:

• Scambiando fra loro i medi.

• Scambiando fra loro gli estremi

• Scambiando fra loro sia i primi termini, sia i secondi termini.

Esempio Consideriamo la seguente proporzione:

3 : 5 = 6 : 10

Si ottiene ancora una proporzione scambiando fra loro i medi:

3 : 6 = 5 : 10

(verificarlo)

Si ottiene ancora una proporzione scambiando fra loro gli estremi:

10 : 5 = 6 : 3

(verificarlo)


Si ottiene ancora una proporzione scambiando fra loro sia i primi termini sia i secondi termini:

5 : 3 = 10 : 6

(verificarlo)

�

Proporzioni con l’incognita. Le proporzioni sono principalmente usate nel seguente proble-ma che ha moltissime applicazioni pratiche: dati 3 numeri, determinare il quarto proporzionale.Affrontiamolo con vari esempi.

Esempi

Determinare x affinche valga la seguente proporzione:

8 : x = 12 : 9

Per soddisfare la proprieta fondamentale delle proporzioni, x deve essere un numero che, moltipli-cato per 12, ha come risultato il prodotto fra 8 e 9 cioe 72. Ma quel numero che moltiplicato per12 ha come risultato 72 si ottiene effettuando 72 : 12 = 6. Quindi 6 e il numero cercato.

�

Questo esempio ci suggerisce la seguente:

Regola per la determinazione del quarto proporzionale. Per determinare il valore incognitoin una proporzione si procede:

• Se il valore incognito e un medio, per determinarlo si effettua il prodotto fra gli estremi e sidivide per l’altro medio.

• Se il valore incognito e un estremo, per determinarlo si effettua il prodotto fra i medi e sidivide per l’altro estremo.

Esempi

. Determinare il valore di x nelle seguenti proporzioni:

1. 20 : x = 15 : 3

2. 6 : 5 = 18 : x

3. x : 3 = 9 : 6

1. in questa proporzione x e il primo medio: per determinare il suo valore dobbiamo effettuareil prodotto degli estremi fratto l’altro medio. In frazioni:

x =20 · 3

15=620 4 · 3615 3

=4 · 3

3=

4· 63 1

63 1=

4 · 11

= 4

quindi x = 4.

2. in questa proporzione x e il secondo estremo: per determinare il suo valore dobbiamo effettuareil prodotto dei medi fratto l’altro estremo. In frazioni:

x =5 · 18

6=

5· 618 3

66 1=

5 · 31

= 15

quindi x = 15.


3. in questa proporzione x e il primo estremo: per determinare il suo valore dobbiamo effettuareil prodotto dei medi fratto l’altro estremo. In frazioni:

x =3 · 9

6=63 1 · 966 2

=1 · 9

2=

9

2

quindi x = 92 .

�

Problemi risolvibili con le proporzioni. Le proporzioni rivestono grande utilita nella risolu-zione di vari quesiti. Si considerino i seguenti esempi:

. Una ricetta di una torta per 10 persone prevede l’utilizzo di 6 uova. Se volessimo preparare latorta per 15 persone, quante uova dobbiamo utilizzare?

L’incognita del problema e il numero di uova per 15 persone. Chiamiamo x tale numero. E utilecostruire la seguente tabella:

uova persone

6 10x 15

Si osservi che 6 e 10 sono sulla stessa riga perche 6 uova sono per 10 persone, e anche x e 15 sonosulla stessa riga perche x uova sono per 15 persone.

Dal momento che il vettore “uova” e il vettore “persone” devono essere direttamente proporzionalideve valere che:

6 : 10 = x : 15

che e una proporzione che sappiamo risolvere:

x =6 · 15

10=

6· 615 3

610 2=66 3 · 362 1

=3 · 3

1= 9

quindi il numero di uova nella ricetta per 15 persone e 9.

. In 2 litri d’acqua sono presenti 46 milligrammi di calcio. Quanti mg di calcio ci sono in 5 litridi acqua?

L’incognita del problema sono i mg di calcio in 5 litri di acqua. Quindi:

acqua (l) calcio (mg)

2 465 x

Dal momento che il rapporto acqua/calcio e costante, risulta:

2 : 46 = 5 : x

Da cui ricaviamo:

x =46 · 5

2=646 23 · 562 1

=23 · 5

1= 115

quindi in 5 litri d’acqua ci sono 115 mg di calcio.

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3.16 Le percentuali

Si consideri il seguente esempio: un prodotto A viene scontato di 20 euro, e un prodotto B vienescontato di 30 euro. Quale dei due prodotti e maggiormente scontato? Rispondere B perche 30euro sono piu di 20 non e una risposta utile ne sotto molti aspetti corretta. Supponiamo infattiche il prodotto A sia un golf del valore di 80 euro e B un motorino del valore commerciale di 3000euro. Ottenere uno sconto di 20 euro su un articolo del valore di 80 euro e un ottimo affare, mentrenon e certo un granche ottenere uno sconto di 30 euro su un valore commerciale di 3000.

La domanda era quindi mal posta perche non ci diceva il prezzo degli articoli ma solo il loro sconto.Tramite le percentuali troviamo uno strumento per valutare i 2 sconti: infatti le percentuali servonoproprio per avere dei dati confrontabili.

Definizione di percentuale. Data una frazione (cioe un rapporto fra 2 numeri) la percentuale ela frazione ad essa equivalente avente 100 al denominatore (cioe un rapporto fra 2 numeri in cui ilsecondo e 100).

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La definizione ci da lo strumento per determinare le percentuali. Si consideri, dall’esempio pre-cedente, lo sconto di 20 euro sul golf di 80. Consideriamo allora la frazione 20

80 : la percentuale euna frazione equivalente a questa col denominatore 100. Dobbiamo determinare il numeratore cheindichiamo con la x. Deve allora valere:

20

80=

x

100

che con il linguaggio delle proporzioni diventa:

20 : 80 = x : 100

da cui

x =20 · 100

80=620 1 · 100

680 4=

1· 6100 25

64 1= 25

Quindi lo sconto in percentuale e di 25 su 100 che si indica con 25%.

Consideriamo adesso l’altro sconto, quello di 30 euro sul motorino che vale 3000 euro, e calcoliamolo sconto in percentuale. Deve valere che:

30

3000=

x

100

che nel linguaggio delle proporzioni diventa:

30 : 3000 = x : 100

da cui:

x =30 · 100

3000=

30· 6100 1

63000 30=630 1 · 1630 1

= 1

e quindi lo sconto e “solo” dell’ 1%

Esempi

. Il partito “Viva la Costituzione” ha ottenuto 810 voti in un paese di 4500 persone. Chepercentuale di voti ha avuto?

Dobbiamo trovare una frazione equivalente a 8104500 avente denominatore 100. Quindi:

810

4500=

x

100


in proporzione:810 : 4500 = x : 100

da cui:

x =810 · 100

4500=

810· 6100 1

64500 45=6810 162 · 1645 9

=6162 54

69 3=654 18

63 1= 18

quindi la percentuale di voti ottenuta dal partito e il 18%.

. Un giubbotto ha il prezzo di 84 euro ma durante i saldi viene scontato del 25%. Quanto costail giubbotto?

Conosciamo lo sconto in percentuale, e dobbiamo trovare a quanti euro corrisponde. Quindil’incognita x questa volta e lo sconto in euro. Quindi:

x

84=

25

100

in proporzione:x : 84 = 25 : 100

da cui:

x =84· 625 1

6100 4=684 21 · 164 1

= 21

Quindi lo sconto e di 21 euro. Per sapere quanto costa il giubbotto basta fare la differenza fra ilprezzo non scontato e lo sconto. Quindi:

Prezzo del giubbotto = 84− 21 = 63 euro.

. Un televisore nel 2009 costa 280 e nel 2010 costa 294 euro. Che aumento percentuale ha avutoil televisore rispetto al prezzo del 2009?

Bisogna innanzitutto vedere l’aumento che ha avuto in euro:

aumento in euro = prezzo del 2010−prezzo del 2009= 294− 280 = 14

Quindi l’aumento in euro e pari a 14. L’incognita x e l’aumento in percentuale, deve allora valere:

14

280=

x

100


Da cui

x =14· 6100 10

6280 28=614 2 · 10

628 4=62 1 · 10

64 2=

1· 61 05

62 1= 5

Quindi l’aumento in percentuale e del 5%.

. Un tavolo del valore di 96 euro viene venduto scontato a 84 euro. Che sconto percentuale estato applicato al tavolo?

Bisogna innanzitutto vedere lo sconto in euro:

sconto in euro = 96− 84 = 12

Quindi lo sconto in euro e pari a 12. L’incognita x e lo sconto in percentuale, deve allora valere:

12

96=

x

100



Da cui

x =12· 6100 25

696 24=612 1 · 25

624 2=

25

2

Quindi lo sconto in percentuale e del 252 % (nel linguaggio quotidiano si preferisce usare la forma

decimale, cioe 12, 5%).

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3.17 Le frazioni e i numeri decimali

Quando eseguiamo una divisione con la calcolatrice puo capitare che il risultato sia un numerointero, oppure che sia un numero decimale con alcune cifre dopo la virgola, oppure che le cifredecimali riempiano tuto il display della calcolatrice: bisogna sapere che, anche se il display fossemolto piu grande e contenesse un numero elevatissimo di cifre, le cifre decimali riempirebbero tuttolo spazio anche del display piu grande. Il motivo e che ci sono numeri decimali che hanno infinitecifre dopo la virgola.

Risulta pertanto utile la seguente classificazione:

Classificazione dei numeri decimali. Possiamo dividere i numeri decimali in 2 categorie:

1. I numeri decimali limitati (quelli che hanno un numero finito di cifre dopo la virgola)

2. I numeri decimali illimitati (quelli che hanno infinite cifre dopo la virgola)

Osservazione sulla rappresentazione dei numeri decimali illimitati. Ovviamente e impos-sibile rappresentare le infinite cifre decimali dopo la virgola di un numero decimale illimitato. Inquesto caso, dopo alcune cifre, metteremo dei puntini di sospensione che stanno a significare che,dopo le cifre indicate, ce ne sono infinite altre.

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A loro volta i numeri decimali illimitati si dividono in 3 categorie a seconda che:

• Dalla prima cifra decimale, un gruppo di cifre si ripete infinitamente. In questo caso si diceche il numero e un numero decimale illimitato periodico puro.

• Dopo un certo numero di cifre decimali, un gruppo di cifre si ripete infinitamente. In questocaso si dice che il numero e un numero decimale illimitato periodico misto.

• Non accade mai che un gruppo di cifre si ripete infinitamente. In questo caso si dice che ilnumero e un numero decimale illimitato non periodico.

Esempi

. Il numero 14, 3754 e un numero decimale limitato (perche ha un numero finito di cifre dopo lavirgola).

. Il numero 8, 373737373737..... e un numero decimale illimitato (i puntini stanno a significare checi sono altre infinite cifre), periodico puro perche le due cifre 3 e 7 si ripetono infinitamente dallaprima cifra decimale.

. Il numero 0, 2395555555555.... e un numero decimale illimitato (i puntini stanno a significareche ci sono altre infinite cifre), periodico misto perche il gruppo di cifre che si ripete infinitamente(in questo caso solo il 5) e preceduto dalle cifre decimali 2, 3 e 9.


. Il numero 2, 356749682164873.... e un numero decimale illimitato non periodico perche nessungruppo di cifre si ripete infinitamente.

�

Definizione di periodo. In un numero decimale illimitato periodico (puro o misto) si definisceperiodo il gruppo di cifre che si ripete infinitamente. In un numero illimitato periodico il periodoe evidenziato da una linea orizzontale sopra di esso.

Esempi

. Il numero 8, 373737373737..... si scrive 8, 37.

. Il numero 0, 2395555555555.... si scrive 0, 2395.

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Definizione di antiperiodo. Le cifre decimali che precedono il periodo costituiscono l’antiperio-do.

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Affrontiamo adesso le regole per trasformare i numeri decimali in frazioni. Come vedremo le regolesono differenti a seconda del tipo di numero decimale. La dimostrazione di tali regole verra dataalla fine del paragrafo.

Trasformazione di un numero decimale limitato in una frazione ad esso equivalente.Un numero decimale limitato e equivalente ad una frazione il cui numeratore e il numero senza lavirgola, e il denominatore e un numero costituito da 1, seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopola virgola.

Esempi

. Determinare la frazione equivalente a 7, 583.

7, 583 e un numero decimale limitato con 3 cifre decimali. Per la regola ora vista e equivalente aduna frazione il cui numeratore e il numero senza la virgola, e quindi 7583 e al denominatore un 1seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola in questo caso 3, e quindi 1000. Quindi:

7, 853 =7853

1000

(si verifichi con la calcolatrice la correttezza di tale uguaglianza).

. Determinare la frazione equivalente a 0, 16.

0, 16 e un numero decimale limitato con 2 cifre decimali. Per la regola ora vista e equivalente aduna frazione il cui numeratore e il numero senza la virgola, e quindi 16 (ovviamente 016 non siscrive), e al denominatore un 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre dopo la virgola in questocaso 2, e quindi 100. Quindi:

0, 16 =616 4

6100 25=

4

25


�

Trasformazione di un numero decimale illimitato periodico puro in una frazione adesso equivalente. Un numero decimale illimitato periodico puro e equivalente ad una frazione


il cui numeratore e la differenza fra il numero senza la virgola e la parte intera del numero, e ildenominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo.

Esempi

. Determinare la frazione equivalente a 1, 5858585858.......

1, 5858585858...... e un numero decimale illimitato periodico puro che si scrive 1, 58. Il numeroscritto senza virgola risulta essere 158 e la sua parte intera (cioe il numero costituito dalle cifreprima della virgola) e 1. Per la regola ora vista questo numero decimale e equivalente ad unafrazione il cui numeratore e la differenza fra il numero senza la virgola (in questo caso 158) e laparte intera del numero (in questo caso 1); e al denominatore un numero costituito da tanti 9quante sono le cifre del periodo (in questo caso 2 cifre e quindi 99). Quindi:

1, 5858585858...... = 1, 58 =158− 1

99=

157

99



372, 4444444444444...... e un numero decimale illimitato periodico puro che si scrive 372, 4. Ilnumero scritto senza virgola risulta essere 3724 e la sua parte intera e 372. Per la regola oravista questo numero decimale e equivalente ad una frazione il cui numeratore e la differenza fra ilnumero senza la virgola (in questo caso 3724) e la parte intera del numero (in questo caso 372); eal denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo (in questo caso 1cifra e quindi 9). Quindi:

372, 44444444444...... = 372, 4 =3724− 372

9=

3352

9


�

Trasformazione di un numero decimale illimitato periodico misto in una frazione adesso equivalente. Un numero decimale illimitato periodico misto e equivalente ad una frazioneil cui numeratore e la differenza fra il numero senza la virgola e il numero costituito dalle cifre cheprecedono il periodo, e il denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre delperiodo, seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.

Esempi


4, 35858585858...... e un numero decimale illimitato periodico misto che si scrive 4, 358. Il numeroscritto senza virgola risulta essere 4358 e il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo e43. Per la regola ora vista questo numero decimale e equivalente ad una frazione il cui numeratore ela differenza fra il numero senza la virgola (in questo caso 4358) e il numero costituito dalle cifre cheprecedono il periodo (in questo caso 43); e al denominatore un numero costituito da tanti 9 quantesono le cifre del periodo (in questo caso 2) seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo(in questo caso 1), e quindi 990. Quindi:

4, 35858585858...... = 4, 358 =4358− 43

990=64315 863

6990 198=

863

198




0, 02777777777...... e un numero decimale illimitato periodico misto che si scrive 0, 027. Il numeroscritto senza virgola risulta essere 27 e il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo e 2.Per la regola ora vista questo numero decimale e equivalente ad una frazione il cui numeratore ela differenza fra il numero senza la virgola (in questo caso 27) e il numero costituito dalle cifre cheprecedono il periodo (in questo caso 2); e al denominatore un numero costituito da tanti 9 quantesono le cifre del periodo (in questo caso 1) seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo(in questo caso 2), e quindi 900. Quindi:

0, 02777777777...... = 0, 027 =27− 2

900=625 1

6900 36=

1

36


�

Dimostrazione della regola della frazione equivalente ad un numero decimale limitato.

Prendiamo ad esempio il numero decimale limitato 2, 153. Per la regola gia vista risulta che:

2, 153 =2153

1000

Mostriamo come tale frazione deriva dal seguente ragionamento.

Sappiamo che moltiplicare un numero decimale per 10, equivale a spostare la virgola di un postoa destra; moltiplicare per 100 equivale a spostare la virgola di due posti a destra, moltiplicare per1000 di 3 posti a destra e cosı via. Dal momento che nel nostro esempio abbiamo un numero con3 cifre decimali, risulta che:

2, 153 · 1000 = 2153

e osserviamo che il risultato non e un numero decimale ma intero. Torniamo adesso al problema dideterminare una frazione equivalente a 2, 153. Innanzitutto vale la seguente uguaglianza:

2, 153 =2, 153

1

(perche un numero e ovviamente uguale al numero stesso diviso per 1).

Il termine a destra non e una vera frazione perche sappiamo che sia il numeratore che il denomina-tore devono essere interi. Nel paragrafo 3.3 abbiamo visto che per trovare una frazione equivalentead una assegnata basta moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero. Ma ab-biamo appena visto che per trasformare 2, 153 in un intero bisogna moltiplicarlo per 1000, quindise moltiplichiamo numeratore e denominatore per 1000 otteniamo una frazione fra numeri interiequivalente a quella ora vista. Cioe:

2, 153

1=

2, 153 · 1000

1 · 1000=

2153

1000

che prova la regola enunciata in precedenza.

�

Dimostrazione della regola della frazione equivalente ad un numero decimale illimitatoperiodico puro(facoltativa).

Consideriamo il numero 1, 4444444444444..... Possiamo scriverlo come 1, 4 e la frazione ad essoequivalente (trovata tramite la regola vista in precedenza) e: 13

9 .


Mostriamo adesso che a tale frazione si puo arrivare tramite il seguente ragionamento: supponiamoche il biglietto di un cinema costi 1, 44444444444..... euro. Se dobbiamo comprare 10 bigliettici vogliono 10 · 1, 44444444444..... euro, cioe 14, 44444444444..... euro. Se adesso effettuiamo ladifferenza fra il costo di 10 biglietti e il costo di un biglietto otteniamo il costo di 9 biglietti. Quindiil costo di 9 biglietti e dato da:

costo di 9 biglietti = costo di 10 biglietti−costo di un biglietto= 14, 44444444444.....− 1, 44444444444..... = 13.

Quindi il costo di 9 biglietti e 13 euro. Per arrivare al costo di ciascun biglietto dobbiamo alloradividere per 9, ottenendo:

costo di un biglietto = 139 .

Ma il costo di un biglietto e 1, 4 euro per cui deve risultare che:

1, 4 =13

9

in accordo con la regola vista.

�

Trasformare i numeri decimali in frazioni puo risultare estremamente utile come vedremo neiseguenti esempi:

Esempi

. Svolgere il seguente prodotto:

0, 02777777777.... · 3, 27272727272727....

scriviamolo con la notazione periodica:

0, 027 · 3, 27

Visto cosı il prodotto non si presenta affatto semplice. Trasformiamo i 2 fattori in frazioni:

0, 027 =1

36; 3, 27 =

6324 36

699 11=

36

11

quindi il precedente prodotto diventa:

1

636 1· 636 1

11=

1

11

. Svolgere la seguente somma:

0, 3636363636.... + 1, 6363636363....

scriviamola con la notazione periodica:

0, 36 + 1, 63

Trasformiamo i 2 addendi in frazioni:

0, 36 =636 4

699 11=

4

11; 1, 63 =

6162 18

699 11=

18

11

quindi la precedente somma diventa:

4

11+

18

11=

4 + 18

11=62 22

61 11= 2

�


3.18 I numeri reali

Osserviamo che nel precedente paragrafo non e stata data una regola per determinare una frazioneequivalente ad un numero decimale illimitato non periodico. La ragione e molto semplice: nonesiste una frazione equivalente ad un numero decimale illimitato non periodico.

Nel paragrafo 3.14 abbiamo definito l’insieme dei numeri razionali come l’insieme delle frazioniridotte ai minimi termini. Ne deduciamo quindi che:

• Un numero decimale limitato, essendo equivalente ad una frazione ridotta ai minimi termini(vedi precedente paragrafo) e un numero razionale.

• Un numero decimale illimitato periodico, sia puro che misto, essendo equivalente ad unafrazione ridotta ai minimi termini (vedi precedente paragrafo) e un numero razionale.

• Un numero decimale illimitato non periodico, non essendo equivalente a nessuna frazione,non e un numero razionale.

Possiamo quindi dare la seguente definizione:

Definizione di insieme dei numeri irrazionali. L’insieme dei numeri decimali illimitati nonperiodici costituisce l’insieme dei numeri irrazionali.

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Possiamo adesso definire:

Definizione di insieme dei numeri reali. L’insieme dei razionali, unito all’insieme degliirrazionali, costituisce l’insieme dei numeri reali (che si indica con R).

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(nel prossimo capitolo capiremo meglio il significato della parola “unito”).

Per i numeri reali vale la seguente importantissima proprieta:

Proprieta di continuita dei numeri reali. Se disegnamo una retta, e possibile stabilire laseguente corrispondenza fra tale retta e i numeri reali:

• ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale;

• ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta ;

per questo motivo, essendo la retta continua (cioe priva di “buchi”), questa proprieta si dice dicontinuita dei numeri reali.

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Osservazione. La proprieta appena vista per i numeri reali non vale ad esempio per i numerinaturali: si pensi infatti alla rappresentazione di figura 1.1: ad ogni numero naturale corrispondeun punto su una retta, ma non e vero che ad ogni punto sulla retta corrisponde un numero naturale(si prenda ad esempio un punto fra 1 e 2 a cui non corrisponde nessun numero naturale).

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3.19 Errore assoluto, errore relativo e errore percentuale

Nell’effettuare delle misurazioni inevitabilmente si commettono degli errori. Risulta estremamenteutile darsi dei parametri per capire l’entita dell’errore commesso. Questi parametri sono l’erroreassoluto, l’errore relativo e l’errore percentuale.

Definizione di errore assoluto. L’errore assoluto e la differenza fra la misura esatta e la misurarealizzata (o osservata). Tale differenza va presa sempre col segno positivo.

Esempio

. Un ingegnere deve realizzare una strada di 200 km. Alla fine la strada risulta lunga 202 km.Che errore assoluto ha commesso l’ingegnere?

misura esatta = 200 km; misura realizzata = 202 km.

differenza = misura esatta − misura realizzata = 200− 202 = −2 km

errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 2 km

�

L’errore assoluto risulta spesso un indicatore poco utile. Per rendersene conto si consideri ilseguente:

Esempio

. Ad un artigiano viene commissionato un tavolo di 3 metri di lunghezza. Al termine del lavoroil tavolo e lungo 2 metri. Che errore assoluto ha commesso l’artigiano?

misura esatta = 3 m; misura realizzata = 2 m.

differenza = misura esatta − misura realizzata = 3− 2 = 1 m

errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 1 m

�

Confrontando i 2 esempi sembra che l’ingegnere abbia commesso un errore molto piu grande inquanto ha sbagliato di 2 km mentre l’artigiano di un “solo” metro. L’errore relativo evidenzierache questo non e vero.

Definizione di errore relativo. L’errore relativo e il rapporto fra l’errore assoluto e la misuraesatta. L’errore relativo non dipende dall’unita di misura

�

Calcoliamoci allora l’errore relativo dell’ingegnere e quello dell’artigiano:

errore relativo ingegnere = errore assolutomisura esatta = 621

6200100 = 1100

errore relativo artigiano = errore assolutomisura esatta = 1

2

Grazie all’errore relativo vediamo che l’artigiano ha commesso un errore notevolmente maggioredell’ingegnere.


Simile all’errore relativo e l’errore percentuale:

Definizione di errore percentuale. L’errore percentuale e uguale all’errore relativo moltiplicatoper 100. Anche L’errore percentuale non dipende dall’unita di misura.

�

Continuiamo con l’esempio precedente e calcoliamoci gli errori percentuali dell’artigiano e dell’in-gegnere:

errore percentuale ingegnere = errore relativo ·100 = 1100 · 100 = 1%

errore percentuale artigiano = errore relativo ·100 = 12 · 100 = 50%

Che conferma che l’artigiano ha commesso un errore notevolmente maggiore dell’ingegnere.

Esempi

. Un microprocessore misura 21, 37 millimetri di lunghezza. Se approssimiamo con 21 millimetri,che errore assoluto, relativo e percentuale commettiamo?

misura esatta = 21, 37 mm; misura approssimata = 21 mm.

differenza = misura esatta − misura approssimata = 21, 37− 21 = 0, 37 mm

errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 0, 37 mm

errore relativo = errore assolutomisura esatta = 0,37

21,37 = 0, 0173...

errore percentuale = errore relativo ·100 = 0, 0173 · 100 = 1, 73%

. Sono stati assegnati 12 esercizi di matematica e Mario ne ha fatti solo 10. Che errore assoluto,relativo e percentuale ha commesso?

misura esatta = 12 esercizi; misura realizzata = 10 esercizi.

differenza = misura esatta − misura realizzata = 12− 10 = 2 esercizi

errore assoluto = differenza presa col segno positivo = 2 esercizi

errore relativo = errore assolutomisura esatta = 2

12 = 16 = 0, 16

errore percentuale = errore relativo ·100 = 0, 16 · 100 = 16, 6%

�

Leggermente diverso il caso in cui bisogna misurare un oggetto o un altro fenomeno (e quindinon abbiamo una misura esatta con la quale confrontarsi). In questi casi, soprattutto se vogliamomisurare con una certa precisione conviene effettuare piu misurazioni. L’errore assoluto e quidefinito come:

errore assoluto = misura maggiore ottenuta − misura minore ottenuta.

mentre per l’errore relativo si calcola la media aritmetica delle misure effettuate (somma di tuttele misure fratto il numero delle misure effettuate) e si calcola:

errore relativo = errore assolutomedia delle misure

L’errore percentuale si ottiene, come in precedenza, moltiplicando per 100 l’errore relativo.

Chiariamo con il seguente


Esempio

. Per misurare la larghezza di un televisore sono state effettuate 3 misurazioni: la prima ha datocome risultato 53,1 cm, la seconda 50 cm la terza 50,4 cm. Determinare errore assoluto, relativo epercentuale.

errore assoluto = misura maggiore ottenuta − misura minore ottenuta = 53, 1− 50 = 3, 1 cm

la media aritmetica delle misure si ottiene sommando fra loro tutte le misure diviso il numero dellemisure effettuate (in questo caso 3). Quindi:

media aritmetica= 53,1+50+50,43 = 153,5

3 = 51, 16

errore relativo = errore assolutomedia delle misure

= 3,151,16

= 0, 06

errore percentuale = errore relativo ∗ 100 = 0, 06 ∗ 100 = 6%.

�

3.20 Esercizi

Paragrafo 3.1

1. Esegui le seguenti moltiplicazioni:95 · 5; 1

7 · 7; 132 · 2; 0

3 · 3; 91 · 1

Paragrafo 3.2

2. Determina i 35 dei seguenti numeri: 20; 5; 35; 40 e 50.



Paragrafo 3.3

Determinare se sono fra loro equivalenti le seguenti frazioni:

5. 129 e 8

6 ; 19 e 3

27 ; 106 e 5

2

6. 102 e 5; 4

5 e 1214 ; 0

3 e 06

7. Determina 5 frazioni equivalenti a 64 .

8. Determina 5 frazioni equivalenti a 03 .

Delle seguenti frazioni, determina, quando possibile, una frazione equivalente avente il deno-minatore indicato nella parentesi

9. 310 (30); 8

6 (24); 75 (10).

10. 32 (5); 6

7 (7); 34 (40).

11. 153 (6); 3

2 (2); 38 (12).

12. 31 (30); 6

8 (12); 35 (45).

Paragrafo 3.4

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:


13. 814 ; 5

20 ; 168 ; 5

3

14. 470 ; 12

4 ; 1015 ; 7

7

15. 1100 ; 2

4 ; 915 ; 17

34

Paragrafo 3.5

Esegui le seguenti somme e differenze di frazioni:

16. 85 + 7

5 ; 85 −

75 ; 3

4 + 114

17. 85 + 7

4 ; 64 −

12 ; 5

16 + 312

18. 1118 + 5

12 ; 32 − 4; 2 + 3

5

19. 725 + 5

100 ; 34 −

52 ; 4

16 −312

Paragrafo 3.6

Trasformare le seguenti frazioni fra numeri interi in frazioni equivalenti fra numeri naturali,precedeute dal segno.

20. +2−7 ; −5

−11 ; +4+8 ; −22

+7

21. −+5−6 ; + −5

−11 ; −−3+8 ; −−22−7

22. − −5−10 ; + 5−7 ; −−38 ; + −2

−17

Paragrafo 3.7

Esegui le seguenti moltiplicazioni di frazioni:

23. 85 ·

75 ; 3

5 · (−75); −20

10 ·114

24. −27 · (−

710); 8

2 · (−716); −3 · 1112

25. −115 · 10; 3

2 · (−633); − 1

10 · 11

26. 215 · (−

87); 13

2 · 10; −72 ·

2021

Paragrafo 3.8

Determina il reciproco delle seguenti frazioni:

27. 85 ; 7

5 ; 38 ; −7

8 ; −2011 ; 1

4

28. 8; −171 ; 1

8 ; −38 ; −20; 4

4

Esegui le seguenti divisioni di frazioni:

29. 85 : 7

5 ; 35 : (−7

6); −3310 : 11

4

30. −27 : (−14

21); 82 : (−16

5 ); −3 : 1112

31. − 511 : 10; 6 : (−8); − 1

10 : 11

32. 215 : (−7

8); 152 : 10; −7

2 : 310


Paragrafo 3.9

Calcola le seguenti potenze:

33. (23)2; (14)3; (−35)2; (−1

2)5; (15)3

Esegui le seguenti operazioni fra potenze di frazioni

34. (23)3 · (23)5; (14)6 : (14)5; [(23)3]4; (43)3 · (38)3; (27)4 : ( 314)4

35. (−23)5 · (−2

3)5; (−14)6 : (14)5; [(−2

3)3]4; (−43)3 · (38)3; (−2

7)4 : (− 314)4

Paragrafo 3.10


36. 6− [(5 + 15 −

34 − 4)− (75 − 7 + 3

4 −12)] + 6

5 − ( 320 + 1

4) [1]

37. 13 −

112 + (18 −

239 )− [38 + (13 −

52)− 1

6 ] + 49 [29 ]

38. [43 ·1512 + (23 −

15) · 32 ] + (53 − 5− 31

30) [−2]

39. (25 −16) · (57 − 5) [−1]

40. {[(43 −117 ) : (27 −

12) · 35 −

23 ] : 2} · 14 −

53 + 3 [43 ]

41. 53 −

32 − [12 + 2

3 + (1 + 14) · 125 ] · 13 + (19 : 3

4) + 1127 −

49 [−10

9 ]

42. 25 + {[(43 −

14) · (−15

13 + 4)− 156 ] : 7

4 −23} ·

35 [15 ]

43. [(2 + 75) : (1 + 9

8)] · (54)− [(23)3 : (23)]− 59 [1]

44. −1 + 12 − (32)2 − 2

24 + [(23 : 415)3 : (52)2] : 3

7 [3]

45. 1 + (74)3 : [(43 −25) · 158 ]− 1

16 [4]

Paragrafo 3.11

Semplifica le seguenti frazioni di potenze

46. 211

25; 72

75; 39

39; (−3)4

35; 52·47

54·42

47. 311

97; 24·72

2·79 ; 39

57; 22·34

65; 55

253

Paragrafo 3.12

Calcola le seguenti potenze

48. (23)−2; (14)−3; (−35)−2; (−1

2)−5; 5−3


49. {[(34)2]−1 · (29)−2} : (16)−3 [4]

50. {[(32)2 : (32)3]−2 · (49)2} : (23)−1 [ 827 ]

51. {[(14)3 · (23)3]−1 · (16)4}−1 : [(54)3 · (25)3]−1 [34 ]

Paragrafo 3.13

Scrivere in notazione scientifica i seguenti numeri:

52. 300000000; 0, 00008; 9000


53. 830000; 0, 0027; 0, 0000000019

54. 434100000000; 0, 00002843; 98100

55. 7650000; 0, 0000111; 0, 0334

Paragrafo 3.14

56. Elenca 5 frazioni associate al numero razionale −35 .

57. Quale numero razionale corrisponde alla frazione 2015?

Paragrafo 3.15

58. Determina se i seguenti vettori sono direttamente proporzionali fra loro

• A = 5; 15; 20 e B = 3; 9; 12.

• A = 12; 9 e B = 4; 3.

• A = 15; 12 e B = 4; 5.

• A = 5; 15; 20; 30 e B = 10; 30; 40; 60.

Determina se le seguenti quaterne di numeri formano una proporzione:

59. (2; 8; 6; 24); (14; 4; 21; 6); (4; 8; 4; 2); (4; 2; 8; 4)

60. Data la quaterna (2; 8; 6; 24), scamba in tutti i modi possibili i termini fra loro in modo chele nuove quaterne formino ancora una proporzione.

Determina l’incognita x nelle seguenti proporzioni:

61. 2 : x = 6 : 24 14 : 4 = 21 : x 4 : 2 = x : 4 x : 16 = 8 : 8

62. 5 : x = 1 : 4 12 : 2 = 24 : x 3 : 2 = x : 3 x : 32 = 8 : 4

Paragrafo 3.16

Determina la percentuale delle seguenti frazioni:

63. 2050 ; 4

5 ; 4560 ; 1

4 ; 320 ; 8

30

Paragrafo 3.17

Determinare le frazioni equivalenti ai seguenti numeri decimali:

64. 1, 35; 5, 3333333 . . . ; 0, 021; 12, 234444444 . . . ; 2, 234234234 . . .

65. 1, 352525252 . . . ; 0, 33 . . . ; 0, 021212121 . . . ; 2, 270707070 . . . ; 1, 0022222222 . . .Risolvi le seguenti espressioni dopo aver trasformato i numeri decimali in frazioni:

66. (0, 83− 0, 16) · 1, 2 [45 ]

67. (0, 27 + 1, 72) : 1, 3 [32 ]

68. 2, 6 · 1, 2− 2, 2 [1]

69. (0, 2916 + 0, 125 + 0, 083) : 0, 16 [3]


3.21 Problemi

1. Una comitiva di 30 persone arriva ad un bivio. I 25 vanno a destra. Quante persone vanno a

sinistra?

2. Dei 1350 euro di premio, Sara ha deciso di devolvere i 29 in beneficienza. Quanti euro da in

beneficienza?

3. Luigi ha dimenticato 40 soldatini su una panchina. Passa Leo e ne porta via i 34 . Dopo passa

Nicco e, dei rimanenti, ne porta via 35 . Quando il povero Luigi ripassa dalla panchina quanti

soldatini trova?

4. In un rettangolo ABCD, AB misura 10 cm e BC i 45 di AB. Determinare perimetro e area

del rettangolo.

Problemi con le proporzioni

5. Una lumaca impiega 2 ore a percorrere 120 metri. Quante ore impiega a percorrere 300 metri?

6. Una lega Nichel-Zinco e composta da 6 grammi di nichel ogni 14 grammi di zinco. Se abbiamo35 grammi di zinco, quanti risultano essere i grammi di nichel?

7. Nel paese di Collecchio nascono 6 femmine ogni 10 nascite. Nel 2009 si sono avute 135 nascite.Quante femmine sono nate?

8. Un macchinario fabbrica 10 chiodi alla volta, ma di questi 3 sono sempre difettosi. Dopo uncerto numero di volte la macchina si ferma: in quell’istante si contano 63 chiodi ben fatti.Quanti chiodi difettosi ci sono?

9. Un gelataio ogni 5 gusti ne mette sempre 2 alla frutta. Un giorno gli viene commissionato ungelato di ben 25 gusti. Quanti gusti alla frutta mettera?

10. Un orologio a pendolo batte 10 rintocchi ogni 3 ore. Quanti rintocchi batte in una giornata?

11. Il deserto avanza di 2 metri ogni 8 mesi. Dopo un anno di quanti metri e avanzato?

Problemi con le percentuali

12. Un paio di scarpe da 60 euro viene scontato del 20%. A quanto viene messo in vendita?

13. Un venditore durante una promozione vende un divano del costo di 800 euro, a 560 euro. Chesconto percentuale ha applicato?

14. Nell’anno 2000, il costo di un biglietto dell’autobus passo da 1500 a 2000 lire. Che aumentopercentuale ebbe?

15. Il 90% del peso di un uomo e dovuto all’acqua. Quanti chili di acqua ci sono in un uomo di90 chili?

16. In una scuola di 160 allievi, 120 non sono stati mai bocciati. Che percentuale c’e di ripetenti?

17. Ad un esame di scuola guida 9 ragazzi vengono bocciati e 21 promossi. Che percentuale dibocciati c’e stata?

Problemi di approssimazione

18. Un insegnante, a occhio, stima che gli allievi in palestra siano 54. In realta sono 50. Cheerrore assoluto, relativo e percentuale ha commesso?

19. Se un prezzo di 14,65 euro viene arrotondato a 15, che errore assoluto, relativo e percentualeviene commesso (consigliato l’uso della calcolatrice).


20. Ad un artigiano viene commissionata una porta alta 225 centimetri. Ala fine del suo lavoro fauna misurazione e scopre di aver costruito una porta alta 234 centimetri. Che errore assoluto,relativo e percentuale ha commesso?

21. Il numero 3,142 viene approssimato a 3. Che errore assoluto, relativo e percentuale vienecommesso (consigliato l’uso della calcolatrice).

22. Per misurare il tempo di caduta di una sfera di ferro vengono fatte 5 misurazioni che dannoi seguenti esiti: 8, 3 secondi; 8, 9 secondi; 7, 9 secondi; 8, 0 secondi; 8, 5 secondi. Che erroreassoluto, relativo e percentuale viene commesso (consigliato l’uso della calcolatrice).

23. Per misurare l’altezza di Maria vengono fatte 4 misurazioni che danno i seguenti esiti: 168cm; 170, 5 cm; 167 cm; 168, 5 cm. Che errore assoluto, relativo e percentuale viene commesso(consigliato l’uso della calcolatrice).

Capitolo 4

Gli insiemi (cenni)

4.1 Notazioni

Dopo aver affrontato 4 insiemi numerici (Naturali, Interi, Razionali, Reali) diamo qualche accennosul concetto di insieme e di teoria degli insiemi. Innanzitutto premettiamo il significato di “concetto(o ente) primitivo”.

Significato di concetto primitivo. Un concetto primitivo e un concetto che non si puo ulterior-mente spiegare e definire, ma viene lasciato come intuitivo.

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Osservazione. Si noti che nel primo capitolo abbiamo lasciato come intuitivo il concetto di somma,e successivamente tramite la somma abbiamo definito le altre operazioni. Nella nostra trattazionequindi la somma e un concetto primitivo mentre, ad esempio, la moltiplicazione no.

�

L’insieme, e gli elementi che appartengono ad un insieme sono concetti primitivi.

�

Notazione. Gli insiemi si rappresentano con la lettera maiuscola, gli elementi di un insieme conla lettera minuscola.

�

Quando si dice: “dato un insieme A” si intende che viene dato un criterio col quale si puounivocamente stabilire se un elemento vi appartiene o meno.

Esempi

. Le persone nate nel 1995 costituiscono un insieme, in quanto il criterio dato (essere nati nel1995) permette di stabilire univocamente se un elemento ci appartiene o no.

. I ragazzi simpatici dell’istituto Gramsci non costituiscono un insieme in quanto “l’essere sim-patico” non e un criterio univoco.

. I numeri naturali pari costituiscono un insieme.

�


4.2 Rappresentazione degli insiemi

Nel paragrafo 1.2, abbiamo definito l’insieme dei numeri naturali, mentre nel paragrafo 3.1, abbiamodefinito l’insieme delle frazioni di numeri naturali. Si osservi la differenza delle due notazioni: inquella dei numeri Naturali, abbiamo indicato alcuni elementi dell’insieme (essendo infinito eraimpossibile indicarli tutti), mentre nell’insieme delle frazioni abbiamo indicato la caratteristica chedeve avere un elemento per appartenere a quell’insieme. Il primo modo si dice rappresentazionetabulare, il secondo rappresentazione caratteristica.

Riassumendo:

• si ha una rappresentazione tabulare quando si elencano (fra parentesi graffe) tutti o alcunielementi dell’insieme.

• si ha una rappresentazione caratteristica quando, fra parentesi graffe, si descrive la caratteri-stica che deve avere un elemento per appartenere all’insieme.

Esempi

. Supponiamo che nella classe II C di un certo istituto ci siano 3 ragazzi con altezza maggioredi 180 cm, che si chiamano Alberto, Francesca e Roberto. Se vogliamo indicare l’insieme di questiragazzi possiamo usare:

• la rappresentazione tabulare: {Alberto; Francesca; Roberto}

• la rappresentazione caratteristica: {I ragazzi della II C piu alti di 180 cm}

. L’insieme dei numeri Naturali pari:

• la rappresentazione tabulare: {0; 2; 4; 6; 8...}

• la rappresentazione caratteristica: {I numeri Naturali pari}

�

Osservazione importante. L’ordine in cui vengono elencati gli elementi di un insieme e indiffe-rente. Ad esempio {a; b; r; s}, e {r; b; s; a} rappresentano lo stesso insieme in quanto costituiti daglistessi elementi anche se in ordine diverso.

�

Una terza rappresentazione degli insiemi e quella di Eulero-Venn, che consiste nel dise-gnare una linea chiusa con all’interno tutti gli elementi (o alcuni) dell’insieme.

Due simboli ricorrenti. Nel linguaggio degli insiemi si usano spesso dei simboli che hanno loscopo di rendere chiaro e sintetico il concetto che si vuole esprimere. Tali simboli sono:

• ∈ che significa “appartenente”, e la sua negazione 6∈ che significa “non appartenente”

• | che significa “tale che”

Esempi

. Nell’esempio dei ragazzi della II C la rappresentazione caratteristica diventa:

{x ∈ IIC|x > 180cm di altezza}

. Se vogliamo rappresentare l’insieme dei numeri naturali minori di 8 possiamo usare:


.

.

1

2

7

5 6

3 4

0

Figura 4.1: La rappresentazione di Eulero-Venn

• la rappresentazione tabulare: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

• la rappresentazione caratteristica: {x ∈ N|x < 8}

• la rappresentazione di Eulero-Venn (figura 4.1).

�

4.3 Cardinalita di un insieme, l’insieme vuoto e l’insieme Universo

Definizione di cardinalita di un insieme. Si definisce cardinalita di un insieme, il numero dielementi che lo costituiscono. Se A e un insieme, la cardinalita di A si indica con |A|.

Esempi

. A = {pippo; pluto; paperino}; |A| = 3

. A = {x ∈ N|x < 10}; |A| = 10

. A = {x ∈ N|x > 10}; |A| =∞

Negli esempi appena visti il simbolo ∞ significa infinito.

�

Definizione di insieme vuoto. Un insieme privo di elementi si dice insieme vuoto e si indica colsimbolo ∅.

Esempi

. L’insieme degli esseri umani piu alti di 3 metri e l’insieme vuoto.

. L’insieme dei maschi in una classe tutta femminile e l’insieme vuoto.

�

Osservazione. L’insieme vuoto ha cardinalita 0.

�


Definizione di insieme Universo. L’insieme Universo e l’insieme formato da tutti gli elementiche stiamo considerando. Generalmente si indica con la lettera U .

Esempi

. L’insieme dei numeri Naturali minori di 7. In questo caso l’insieme universo e costituito da tuttii numeri naturali.

. L’insieme dei ragazzi della II C piu alti di 180 cm. In questo caso l’insieme universo e costituitoda tutti i ragazzi della II C.

. I cittadini di Firenze nati nel 1969. In questo caso l’insieme universo e costituito da tutti icittadini di Firenze.

�

4.4 I sottoinsiemi

Definizione di sottoinsieme. Un insieme B e sottoinsieme di un insieme A se qualunque elementodi B e anche elemento di A. In simboli: B ⊆ A.

Esempi

. Sia A l’insieme dei numeri Naturali e B l’insieme dei numeri naturali pari.

A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7....} B = {0; 2; 4; 6; 8; 10; ...}.

Risulta che B ⊆ A in quanto ogni elemento di B e anche elemento di A.

. Siano A = {a; b; d; e; f ;h; z} e B = {a; b; c}.

Risulta che B non e sottoinsieme di A, in quanto esiste un elemento di B (in questo caso c) chenon appartiene ad A.

�

Osservazione. Dall’ultimo esempio si deduce facilmente che l’insieme vuoto e sottoinsieme diqualunque insieme. Infatti, nell’ultimo esempio, B non e sottoinsieme di A perche esiste un elementodi B che non appartiene ad A, ma questo non puo accadere all’insieme vuoto in quanto non haelementi. Quindi ∅ e sottoinsieme di qualunque insieme.

�

Osservazione. Dalla definizione segue che ogni insieme e sottoinsieme di se stesso.

�

Dalle osservazioni fatte, segue che qualunque insieme A ha sempre almeno 2 sottoinsiemi: l’insiemevuoto e se stesso. Questi 2 sottoinsiemi generalmente non sono considerati interessanti; per evitarlisi e data la definizione di sottoinsieme proprio.

Definizione di sottoinsieme proprio. Un sottoinsieme B di A e un sottoinsieme proprio se:

• B non e vuoto.

• Esiste almeno un elemento appartenente ad A che non appartiene a B.


In simboli, se B e sottoinsieme proprio di A, si scrive: B ⊂ A.

�

Quindi A e sottoinsieme di se stesso, ma non e sottoinsieme proprio di se stesso. L’insieme vuotoe sottoinsieme di qualunque insieme, ma non e sottoinsieme proprio di nessuno.

4.5 Operazioni fra insiemi

Risulta estremamente utile definire alcune operazioni fra insiemi.

Definizione di intersezione fra insiemi. Siano A e B due insiemi, l’intersezione fra A e B, chesi indica con A ∩B, e l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B.

Esempi

. Si considerino gli insiemi:

A = {3; 7; 5; 11; 15; 228} e B = {1; 4; 5; 9; 11; 12}

La loro intersezione e data da:

A ∩B = {5; 11}

�


A = {vocali dell’alfabeto italiano} e B = {d; z; i; b; r}


A ∩B = {i}

�


A = {x ∈ N|x < 22} e B = {x ∈ N|x > 25}


A ∩B = ∅ (infatti A e B non hanno nessun elemento in comune).

Due insiemi che non hanno elementi in comune (come quelli visti nell’ultimo esempio) si diconodisgiunti.

�

Definizione di unione fra insiemi. Siano A e B due insiemi, l’unione fra A e B, che si indicacon A ∪B, e l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno fra A e B.

Esempi


A = {3; 7; 5; 11} e B = {1; 4; 5; 11; 12}


La loro unione e data da:

A ∪B = {3; 7; 5; 11; 1; 4; 12}

�


A = {vocali dell’alfabeto italiano} e B = {e; i; b; r}


A ∪B = {a; e; i; o;u; b; r}

�


A = {roma; torino} e B = {firenze; roma}


A ∪B = {roma; torino; firenze}.

�

Definizione di complementare di un insieme. Sia A un insieme; il complementare di A, chesi indica con A, e l’insieme costituito da tutti gli elementi dell’Universo che non appartengono adA.

Esempi

. Nell’universo dei numeri Naturali si consideri l’insieme A dei numeri pari. Risulta che ilcomplementare di A e l’insieme dei numeri dispari.

. Nell’universo dei numeri Naturali si consideri l’insieme A dei numeri maggiori di 5 cioe:

A = {x ∈ N|x > 5}.

Risulta che:

A = {x ∈ N|x ≤ 5}

(il simbolo ≤ si legge “minore o uguale a” e in questo caso significa che nell’insieme ci sono numeriminori di 5 e anche il 5 stesso. Si osservi che se ci fosse stato solo il minore, 5 non sarebbeappartenuto all’insieme).

�

Definizione di differenza di 2 insiemi. Siano A e B due insiemi, la differenza fra A e B, che siindica con A−B, e l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad A ma non appartengonoa B.

Esempi


A = {3; 7; 5; 11} e B = {1; 4; 5; 11; 12}

La loro differenza e:

A−B = {3; 7}



A = {a; b; e; r} e B = {a; b; s; r; t}


A−B = {e}


A = {16; 22; 23; 1} e B = {2; 3; 4; 5; 6}


A−B = {16; 22; 23; 1}

�


A = {Italia; Francia; Canada} e B = {stati dell’unione europea}


A−B = {Canada}

�


A = {cane; gatto} e B = {stati dell’unione europea}


A−B = {cane; gatto}

�


A = {5; 7; 13} e B = {insieme dei numeri primi}


A−B = {cane; gatto}

�

4.6 Rappresentazione delle operazioni fra insiemi tramite i dia-grammi di Eulero-Venn

In figura 4.2, possiamo osservare le operazioni fra insiemi tramite i diagrammi di Eulero-Venn:


.

.

A

U

_A

AB

A∩BA

B

A∪B

Figura 4.2: Le operazioni fra insiemi tramite Eulero-Venn

4.7 Alcuni risultati importanti

1. Se B ⊂ A allora risulta che A ∩B = B.

Dimostrazione (figura 4.3).

Esempio: Sia A l’insieme degli allievi dell’istituto Gramsci, e sia B l’insieme degli allievi dellaII C dell’istituto Gramsci. Ovviamente B e sottoinsieme di A cioe B ⊂ A. L’intersezioneA∩B e formata dagli allievi che stanno in entrambi gli insiemi, e quindi dagli allievi della IIC, che e l’insieme B.

2. Se B ⊂ A allora risulta che A ∪B = A.

Dimostrazione (figura 4.4).

.

.

B

A

A∩B

Figura 4.3: Se B sottoinsieme di A allora A ∩B = B


.

.

B

A

A∪B

Figura 4.4: Se B sottoinsieme di A allora A ∪B = A

Esempio: Come nell’esempio precedente sia A l’insieme degli allievi dell’istituto Gramsci, eB l’insieme degli allievi della II C dell’istituto Gramsci. Ovviamente B e sottoinsieme di Acioe B ⊂ A. L’unione A∪B e formata dagli allievi che stanno in almeno uno dei 2 insiemi, equindi dagli allievi dell’istituto Gramsci, che e l’insieme A.

3. Il complementare dell’insieme vuoto e l’insieme universo. In simboli: ∅ = U .

Dimostrazione: il complementare di un insieme A e composto da tutti gli elementi dell’Uni-verso escluso quelli che stanno in A. Ma se A e l’insieme vuoto, non contiene nessun elemento,e quindi il suo complementare e l’insieme Universo.

4. Il complementare dell’insieme Universo e l’insieme vuoto. In simboli: U = ∅.Dimostrazione: il complementare dell’insieme Universo e composto da tutti gli elementi del-l’Universo escluso quelli che stanno nell’insieme Universo. Quindi da nessun elemento. Quindiil complementare dell’insieme Universo e l’insieme vuoto.

4.8 Il prodotto cartesiano fra insiemi

Estremamente utile risulta essere il concetto di prodotto cartesiano fra insiemi.

Definizione di prodotto cartesiano fra insiemi. Dati 2 insiemi A e B, si definisce prodottocartesiano fra A e B, l’insieme AXB i cui elementi sono tutte le possibili coppie ordinate in cui ilprimo elemento appartiene a A e il secondo a B.

Esempi


A = {a; b; c} e B = {2; 3}

risulta che AXB = {(a; 2); (a; 3); (b; 2); (b; 3); (c; 2); (c; 3)}


A = {3; 5; 9} e B = {3}

risulta che AXB = {(3; 3); (5; 3); (9; 3)}

�

Osservazione. Abbiamo detto che l’ordine degli elementi e ininfluente. Nell’esempio precedentenon sarebbe cambiato niente se avessimo scritto (9; 3) prima dell’elemento (5; 3). Quello che e


2 4 5 7

3

4..

. . .

. . .

(2;3) (4;3) (5;3) (7;3)

(2;4) (4;4) (5;4) (7;4)

Figura 4.5: Il prodotto cartesiano fra 2 insiemi

importante e l’ordine all’interno della coppia: il primo elemento deve appartenere ad A e il secondoa B e quindi sarebbe sbagliato scrivere, ad esempio, (3; 5) al posto di (5; 3).

�

Osservazione. Dal momento che nel prodotto cartesiano AXB ogni elemento di A forma unacoppia con tutti gli elementi di B, risulta che la cardinalita di AXB equivale al prodotto dellacardinalita di A con la cardinalita di B.

Esempi

. Se A e B sono 2 insiemi tali che |A| = 3 e |B| = 2, risulta che |AXB| = 6.

. Se A e B sono 2 insiemi tali che |A| = 1 e |B| = 5, risulta che |AXB| = 5.

. Se A e B sono 2 insiemi e B = ∅, allora anche AXB = ∅. Cio e in accordo con l’osservazionesulle cardinalita, infatti:

|AXB| = |A| · |B| = |A| · 0 = 0

quindi AXB avendo 0 elementi e l’insieme vuoto.

�

Rappresentazione grafica del prodotto cartesiano di due insiemi. Supponiamo che A e Bsiano 2 insiemi numerici. Costruiamo un piano cartesiano, cioe 2 rette orientate fra loro perpen-dicolari (chiamate assi) che si incontrano in un punto detto origine. Riportiamo ciascun elementodi A sull’asse orizzontale rispettando l’orientamento della retta e riportiamo ciascun elemento di Bsull’asse verticale rispettando l’orientamento della retta. Da ogni elemento di A si tracci una rettaparallela all’asse verticale, e da ogni elemento di B si tracci una retta parallela all’asse orizzontale.Le intersezioni di tali rette rappresentano graficamente gli elementi del prodotto cartesiano fra A eB.

Esempio

. Siano A = {2; 4; 5; 7} e B = {3; 4}.

Rappresentiamo graficamente il prodotto cartesiano fra i 2 insiemi (figura 4.5).

Dalla rappresentazione grafica si deducono gli elementi che compongono AXB:

AXB = {(2; 3); (2; 4); (4; 3); (4; 4); (5; 3); (5; 4); (7; 3); (7; 4)}

�


4.9 Domande

Paragrafo 4.1

1. Cos’e un concetto primitivo?

2. Gli insiemi e gli elementi di un insieme sono concetti primitivi?

3. Cosa si intende con l’affermazione “Dato un insieme A”?

Paragrafo 4.2

4. Illustra i 3 modi di rappresentare un insieme.

5. Quando abbiamo una rappresentazione tabulare?

6. Quando abbiamo una rappresentazione caratteristica?

7. L’ordine in cui vengono scritti gli elementi di un insieme e importante?

Paragrafo 4.3

8. Cos’e la cardinalita di un insieme?

9. Quando un insieme e vuoto?

10. Cos’e l’insieme Universo?

Paragrafo 4.4

11. Definisci il sottoinsieme.

12. Un insieme ha sempre almeno 2 sottoinsiemi. Quali?

13. Definisci il sottoinsieme proprio.

Paragrafo 4.5

14. Definisci l’intersezione fra insiemi.

15. Quando 2 insiemi si dicono disgiunti?

16. Definisci l’unione fra insiemi.

17. Definisci il complementare di un insieme.

18. Definisci la diferenza fra insiemi.

Paragrafo 4.8

19. Definisci il prodotto cartesiano fra insiemi.


4.10 Esercizi

Paragrafo 4.2

1. Rappresenta tramite rappresentazione caratteristica i seguenti insiemi:

• {2; 4; 6; 8; 0}• {−1;−2;−3;−4;−5; ..................}• {a; e; i; u; o}• {Lunedı; Martedı; Mercoledı; Giovedı; Venerdı; Sabato; Domenica}• {Lunedı; Martedı; Mercoledı; Giovedı; Venerdı}

Paragrafo 4.4

2. Scrivi tutti i sottinsiemi dell’insieme {0; 1}

3. Scrivi tutti i sottinsiemi propri dell’insieme {0; 1}

4. Scrivi tutti i sottinsiemi dell’insieme {a; b; c}

5. Scrivi tutti i sottinsiemi propri dell’insieme {a; b; c}

Paragrafo 4.5

Determina l’unione e l’intersezione dei seguenti insiemi:

6. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9};B = {6; 4; 8}

7. A = {20; 31; 16};B = {16}

8. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9};B = ∅

9. A = {2; 3; 6; 9};B = {2; 6; 9; 7; 3}

10. A = { lettere della parola “scale”}; B = {lettere della parola “case”}

11. A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine; gatto; topo}

12. A = { capoluoghi di provincia della Toscana }; B = {Milano; Firenze; Livorno; Pistoia}

Determina i complementari dei seguenti insiemi, dopo aver evidenziato qual’e l’insieme uni-verso:

13. A = { pesci; ariete; vergine}

14. A = { Lunedı; Martedı; Mercoledı; Domenica}

15. A = { Numeri naturali dispari}

16. A = { cittadini di Firenze nati prima del 1969}

17. A = { cittadini di Firenze nati nel 1969}

Determina la differenza A−B fra i seguenti insiemi:

18. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9};B = {6; 4; 8}

19. A = {20; 31; 16};B = {16}


20. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9};B = ∅

21. A = {2; 3; 6; 9};B = {1; 5; 7}

22. A = { lettere della parola “suola”}; B = {lettere della parola “scuola”}

23. A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine}

Paragrafo 4.6

Tramite i diagrammi di Eulero-Venn rappresenta le seguenti operazioni fra insiemi:

24. A ∩B con A = {2; 3; 6; 1; 8; 9};B = {6; 4; 8}

25. A ∩B con A = {20; 31; 16};B = {16}

26. A ∩B con A = { lettere della parola “scale”}; B = {lettere della parola “case”}

27. A ∪B con A = {2; 3; 6; 1; 8; 9};B = ∅

28. A = {2; 3; 6; 9};B = {2; 6; 9; 7; 3}

29. A ∪B con A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine; gatto; topo}

30. A con A = { pesci; ariete; vergine}

31. A con A = { Lunedı; Martedı; Mercoledı; Domenica}

32. A−B con A = {2; 3; 6; 1; 8; 9};B = {6; 4; 8}

33. A−B con A = {20; 31; 16};B = {16}

34. A−B con A = {2; 3; 6; 9};B = {1; 5; 7}

35. A−B con A = { lettere della parola “suola”}; B = {lettere della parola “scuola”}

36. A−B con A = { segno zodiacale }; B = {pesci; ariete; vergine}

Paragrafo 4.8

Determinare il prodotto cartesiano dei seguenti insiemi (dopo aver evidenziato che |A| · |B| =|AXB|)

37. A = {2; 3; 6};B = {6; 4; 8}

38. A = {20; 31; 16};B = {12}

39. A = {2; 3; 6; 1; 8; 9};B = ∅

40. A = {2; 3; 6; 9};B = {2; 6}

41. A = {s; c; i}; B = {d; o}

Sillogismi

Il sillogismo e un tipo di ragionamento deduttivo tale che, date due affermazioni (le premesse), nesegue una terza (la conclusione).

Esempio

Premesse:

1. Tutte le nazioni hanno dei confini.

2. L’Italia e una nazione

Conclusione: L’italia ha dei confini.

�

Dei seguenti sillogismi vengono date le premesse e il lettore dovra fornire la conclusione.

1. (a) Solo il ladro e entrato nella stanza.

(b) Mario e entrato nella stanza

2. (a) Sono state selezionate le ragazze piu alte di un metro e sessanta

(b) Francesca e stata selezionata.

3. (a) Chi pesa di piu di 80 chili sfonda la bilancia

(b) Stefania, pesandosi, non ha sfondato la bilancia.

4. (a) Per leggere quel cartello alla distanza di 20 metri ci vuole una vista perfetta.

(b) Roberto vede quel cartello alla distanza di 20 metri.

5. (a) Francesco e alto come Roberta.

(b) Roberta e alta come Simona.

Sillogismi matematici

6. (a) un numero diverso da 1 moltiplicato per 52 non puo avere come risultato 52

(b) 50 moltiplicato per 52 ha come risultato 52

7. (a) Se un insieme numerico non ha un elemento maggiore di tutti gli altri significa che hainfiniti elementi

(b) N non ha un elemento maggiore di tutti gli altri.

8. (a) Un sistema numerico e posizionale se un numero cambia cambiando l’ordine dei simboliche lo compongono.


(b) Nel sistema numerico del pastore un numero non cambia cambiando l’ordine dei simboli.

9. (a) Un numero e primo se e divisibile solo per 1 e per se stesso.

(b) 112081 e divisibile per 17

10. (a) Due frazioni per essere equivalenti devono avere lo stesso segno.

(b) F e G sono 2 frazioni aventi segno diverso

11. (a) Due frazioni rappresentano lo stesso numero razionale solo se sono equivalenti

(b) F e G sono 2 frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale

12. (a) F e G sono due frazioni fra loro equivalenti

(b) G e H sono due frazioni fra loro equivalenti

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI I numeri ... · 3 L’insieme Q dei numeri razionali 61...

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