Esercizio 1. Mat Consideriamo le coppie x;y di numeri ... · due soluzioni (x;y) ... Mat Sia N...

Esercizio 1. Mat Consideriamo le coppie (x, y) di numeri interi ≥ 0 con la proprietache la somma dei due numeri e uguale al loro prodotto (cioe tali che x + y = xy).Ad esempio le coppie (0, 0) e (2, 2) hanno questa proprieta. Quante sono le coppie conquesta proprieta?

(a) 2(b) 3(c) 4(d) infinite

Soluzione. La risposta giusta e la (a). Ci sono vari modi di vederlo. Ad esempionell’equazione x + y = xy si puo ricavare la y in funzione della x, ottenendo y =xx−1 . E questa l’equazione di una facilissima iperbole, aventi gli assi x = 1 e y = 1come asintoti, il cui grafico passa appunto per i punti (0, 0) e (2, 2) (anzi, questisono proprio i due vertici dell’iperbole). Dal disegno si vede immediatamente chenon ci sono altre soluzioni intere, e quindi a maggior ragione ci sono solo questedue soluzioni (x, y) con x e y maggiori o uguali a zero.

1

2

Esercizio 2. Mat Sia N l’insieme dei numeri interi positivi e Q+ l’insieme dei numerirazionali positivi. L’applicazione f : N × N → Q+ definita da f(a, b) = a/b per ognia, b ∈ N e

(a) iniettiva, ma non suriettiva(b) suriettiva, ma non iniettiva(c) biiettiva(d) ne iniettiva ne suriettiva

Soluzione. Inettivita. Siano a, b, a′, b′ ∈ N con f(a, b) = f(a′, b′). Allora a/b = a′/b′.Questo non implica a = a′ e b = b′ (si prenda ad esempio a = b = 1 e a′ = b′ = 2).Quindi f non e iniettiva.

Suriettivita. Ogni razionale positivo si scrive come quoziente di due elementi diN. Quindi f e suriettiva.

La risposta giusta e quindi la (b).

3

Esercizio 3. Mat Sia f : [a, b]→ R una fuzione reale definita su un intervallo chiuso[a, b]. Si supponga f strettamente crescente (cioe per ogni coppia x, x′ di numeri reali,a ≤ x < x′ ≤ b implica f(x) < f(x′). Una funzione g : f([a, b) → [a, b] that cheg(f(x)) = x per ogni x ∈ [a, b] e f(g(y)) = y per ogni y ∈ f([a, b])

(a) esiste sempre ed e sempre strettamente crescente(b) esiste sempre ed e sempre strettamente decrescente(c) esiste sempre, ma none sempre strettamente crescente o sempre strettamente

decrescente(d) non sempre esiste

Soluzione. Strettamente crescente implica iniettiva. Quindi, restringendo il codo-minio di f ad f([a, b]), la funzione f diventa biiettiva e quindi ha un unico inversobilatero g (ossia la funzione g : f([a, b) → [a, b] e definita, per ogni y ∈ f([a, b]),da g(y) = x se e solo se f(x) = y. Per quanto riguarda la crescenza, g e semprecrescente, perche se non lo fosse esisterebbero y < y′ in f [a, b]) con g(y) ≥ g(y′).Posto x = g(y) e x′ = g(y′), si ha che x, x′ ∈ [a, b], x ≤ x′ e f(x) = f(g(f(x)) =f(g(y)) = y < y′ = f(g(y′)) = f(g(f(x′)) = f(x′). In particulare, x 6= x′, quindix > x′ e f(x) < f(x′). Cio contraddice il fatto che f sia strettamente crescente. Larisposta giusta e quindi la (a).

4

Esercizio 4. Dire “A nessun gatto sono odiosi tutti i cani” e lo stesso di dire che:(a) per ogni gatto esiste almeno un cane a cui il gatto non e odioso(b) esiste un gatto a cui sono odiosi tutti i cani(c) tutti i cani non sono odiosi ai gatti(d) c’e un cane che non e odioso a tutti i gatti

Soluzione. La risposta giusta e la (d). Infatti la proposizione originaria equivalechiaramente ad “Esiste un gatto G ed esiste un cane C tale che C non e odioso aG”. Questa e equivalente alla sola (d).

5

Esercizio 5. Sia n ≥ 2 un numero intero e a un numero reale. L’identitan√an = a

(a) e vera per ogni a reale(b) e falsa per ogni a reale(c) e vera quando n e pari e a ≥ −1(d) e vera quando n e dispari e a ≥ −1

Soluzione. E vera per ogni numero reale a per n dispari. Quindi (d) e una rispostagiusta. Per (a), (b) e (c) e facile costruire controesempi (n, a). Ad esempio per(n, a) = (2, 1) l’identita e vera. Quindi (b) non va bene. Per (n, a) = (2,−1)l’identita e falsa. Quindi (a) e (c) non vanno bene.

6

Esercizio 6. Mat All’esame di maturita di una classe di liceo tutti gli studenti vengonopromossi. Esattamente meta degli studenti della classe si iscrivono a biologia, esatta-mente un quarto degli studenti della classe si iscrivono a ingegneria, esattamente unsettimo degli studenti della classe si iscrivono a matematica, tre si iscrivono a fisica, epoi ce ne sono altri che si iscrivono ad altri corsi di laurea. Ma quanti studenti c’eranoin quella classe?

(a) 28(b) 31(c) 55(d) Piu di 55

Soluzione. Il numero n di studenti in quella classe deve essere divisibile per 2, per4 e per 7. Quindi deve essere divisibile per 28. cosi’ si ha subito che le risposte (b)e (c) non vanno bene. Poi pero si deve avere anche che

12n+

14n+

17n+ 3 < n,

che equivale ad n > 28. Quindi n deve essere un numero naturale divisibile per 28e maggiore o uguale a 56. L’unica possibilita restante e quindi la (d).

7

Esercizio 7. Mat Un battello fluviale percorre la distanza fra la citta e il mare in5 ore, andando alla massima velocita possibile. Al ritorno, sempre con i motori almassimo, impiega 7 ore per tornare alla citta. Quante ore impiegherebbe per andaredalla citta al mare, a motori spenti, portato dalla corrente?

(a) 2(b) 35(c) 20(d) 80

Soluzione. La risposta giusta e la (b). Chiamiamo y il tempo (in ore) richiesto, ex il tempo (in ore) che il battello impiegherebbe a coprire la distanza in assenzadi corrente. Allora quando si muove nel verso della corrente il battello copre inun’ora 1/x + 1/y della distanza fra la citta e il porto, mentre quando si muovecontrocorrente copre in un’ora 1/x − 1/y di tale distanza. Otteniamo dunque leequazioni:

1/x+ 1/y = 1/5

1/x− 1/y = 1/7

la cui soluzione e x = 35/6, y = 35.

8

Esercizio 8. Mat Un’automobile percorre la distanza fra Padova e Bologna alla ve-locita media di 120 Km/h. Al ritorno viaggia da Bologna a Padova alla velocita mediadi 80 Km/h. Qual e la velocita media dell’intero viaggio Padova-Bologna-Padova?

(a) 96 Km/h(b) 105 Km/h(c) 94,5 Km/h(d) 100 Km/h

Soluzione. La (a). Infatti se chiamiamo x la velocita media cercata e l la distanzafra Padova e Bologna, abbiamo l’equazione:

2l/x = l/120 + l/80

da cui si ricavax =

21

120 + 180

= 96

9

Esercizio 9. Mat Una squadra di falciatori deve falciare due campi, uno dei qualiha area doppia dell’altro. Nella prima meta della giornata la squadra lavora nelcampo grande, poi nella seconda meta della giornata una meta dei falciatori continuaa lavorare nel campo grande, mentre un’altra meta si dedica al campo piccolo. A serail campo grande e tutto falciato, mentre nel campo piccolo resta una piccola zona nonfalciata: se ne occupa un solo falciatore che impiega tutta la giornata seguente. Quantierano i falciatori?

(a) 100(b) 10(c) 4(d) 8

Soluzione. La risposta giusta e la (d). Forse il modo piu semplice per vederloe aiutarsi con un disegno. Comunque, dalle informazioni che abbiamo sul pratogrande si ricava che la meta della squadra e in grado di falciare in mezza giornata1/3 di tale prato. Dunque a sera la parte falciata e: tutto il campo grande piu2/3 del campo piccolo. Resta una parte del campo piccolo, la cui area e uguale a1/2 − 1/3 = 1/6 del campo grande. A questo punto sappiamo che un falciatore dasolo riesce a falciare in un giorno un’area uguale appunto a 1/6 del campo grande.Ma nel corso della prima giornata e stata falciata un’area che equivale a 8/6 delcampo grande. Dunque i falciatori erano 8.

10

Esercizio 10. Mat Consideriamo la funzione la funzione f : Z × Z → Z data daf((x, y)) = x2 − y2 + 4x+ 12. Tale funzione e:

(a) iniettiva e suriettiva(b) iniettiva ma non suriettiva(c) suriettiva ma non iniettiva(d) ne iniettiva ne suriettiva

Soluzione. La risposta giusta e la (d). Non e suriettiva perche per esempio 2 nonappartiene all’immagine (un modo di vederlo e osservare che, per avere f(x, y) pari,x e y devono essere entrambi pari o entrambi dispari; un quadrato di un numeropari e sempre divisibile per 4, dunque nel caso (pari, pari) f(x, y) risulta esseremultiplo di 4; un quadrato di un numero dispari e sempre della forma 4k + 1 edunque anche nel caso (dispari,dispari) f(x, y) risulta multiplo di 4).

Non e iniettiva, per vederlo basta per esempio notare che il polinomio x2 + 4xha le due radici 0 e −4. Allora per ogni y ∈ Z vale f(0, y) = f(−4, y).

11

Esercizio 11. Mat Quanti sono i numeri naturali m compresi fra 1000 e 10000 taliche m diviso per 7 da resto 2, diviso per 12 da resto 5, diviso per 20 da resto 5?

(a) 40(b) 21(c) 15(d) 10

Soluzione. La (b). I numeri che ci interessano sono infatti quelli del tipo 1325 +420k, al variare di k fra 0 e 20.

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Esercizio 12. Mat Si dispongono otto sottopiatti circolari uguali fra loro su unatavola quadrata il cui lato misura 1 metro, come in figura, in maniera ottimale. Cosa

possiamo dire a riguardo del raggio R di un sottopiatto?(a) R = 100

6 cm.(b) R = 1

2+4 sin( 5π12 )

cm

(c) R = 12+4 sin(π2 ) cm

(d) R = 12+4 sin(π3 ) cm

Soluzione. La (b). Consideriamo i centri A,B,C dei cerchi indicati in figura:L’angolo BAC e di 5π

6 , la lunghezza di BC e 1 − 2R, mentre la lunghezza di AC

e 2R. Il teorema dei seni applicato al triangolo rettangolo formato da A,C e dalpunto medio di BC da:

sin(5π12

) =1− 2R

21

2Rda cui si ottiene la (b). E inoltre facile escludere che la (a) dia anch’essa la rispostagiusta.

13

Esercizio 13. Mat In un’isola ci sono 60 camaleonti di cui 10 rossi, 3 marroni e 47blu. Ogni volta che due di questi si incontrano, se hanno colore diverso simultane-amente il loro colore si trasforma nel terzo colore (per esempio se si incontrano uncamaleonte marrone e uno rosso diventano entrambi blu). Se invece hanno lo stessocolore non accade nulla. Quale delle seguenti affermazioni e corretta?

(a) Puo accadere che i camaleonti diventino tutti blu.(b) I camaleonti blu saranno sempre piu dei camaleonti marroni.(c) Puo accadere che i camaleonti diventino tutti marroni.(d) Non puo mai accadere che nell’isola i camaleonti abbiano tutti lo stesso colore.

Soluzione. La (d). Infatti i resti modulo 3 dei numeri che indicano le tre popo-lazioni all’inizio sono (1, 0, 2), e dopo ogni incontro fra camaleonti diversi tutti i nu-meri in questa tripla cambiano (modulo 3) di +2. Non si potra dunque mai arrivaread una situazione (0,0,0) come sarebbe se avessero tutti lo stesso colore. Inoltrela (b) si esclude con un esempio di una serie di incontri in cui i blu diminuisconosempre.

14

Esercizio 14. Data una scacchiera n×n (con n pari) coperta da n2/2 pedine bianchee da n2/2 pedine nere, si considerano tutte le possibili coppie di pedine: una coppia dipedine vale un punto se le pedine sono di due colori diversi e si trovano o sulla stessariga o sulla stessa colonna. Quanti punti al massimo si possono ottenere disponendoopportunamente le pedine sulla scacchiera?

(a) n2

(b)(2nn

)= (2n)!

n!n!

(c) n3/2(d) n2 + 1

Soluzione. La (c). Infatti, fissata una riga, se ci sono x pedine nere e n−x bianche,i punti che si ottengono da quella riga sono x(n− x). Il massimo si ottiene quandon = n− x ossia n2/4 punti. Visto che ci sono n righe e n colonne si puo ottenere almassimo il punteggio di

2n · n2/4

ossia n3/2. Tale punteggio e effettivamente raggiunto quando si dispongono lepedine accuratamente (per esempio prima riga bianca nera bianca nera etc etc,seconda riga nera bianca nera bianca etc...., terza riga uguale alla prima, quartariga uguale alla seconda...).

15

Esercizio 15. Mat Quale dei seguenti numeri approssima meglio il numero

3√

3√

21 + 8− 3√

3√

21− 8

(a) 1(b) 2

√3

3

(c) 1, 1(d) 0

Soluzione. La (a). Infatti il prodotto fra le due radici cubiche, chiamiamole a e b,che compaiono e uguale a 5. Allora (a − b)3 = 16 − 15(a − b), dunque il numeroche cerchiamo, (a− b), e una radice reale del polinomio x3 + 15x− 16. Ma l’unicaradice reale e 1 (se si divide per 1 si vede che il polinomio di secondo grado non hasoluzioni reali).

16

Esercizio 16. Mat Al tempo t = 0 tre oggetti puntiformiA,B,C si trovano nell’originedi un piano cartesiano e si allontanano con moto rettilineo uniforme, lungo tre di-rezioni diverse, con velocita vA, vB , vC rispettivamente. Al tempo t = 2 l’oggetto Asi trova nel punto (2, 2), l’oggetto B si trova nel punto (6, 4), l’oggetto C si trova nelpunto (4 +

√3, 3− 2

√3). Quale delle seguenti affermazioni e vera?

(a) C’e un solo istante t, con t > 0, in cui i tre punti sono i vertici di un triangoloequilatero.

(b) L’area del triangolo ABC all’istante t = 4 e il doppio dell’area all’istante t = 2.(c) L’angolo ABC diminuisce sempre dall’istante t = 2 in poi.(d) In ogni istante t, con t > 0, i tre punti sono i vertici di un triangolo equilatero.

Soluzione. La (d). Infatti il triangolo a t = 2 e equilatero. Le distanze convoltecrescono tutte linearmente al crescere di t, dunque le lunghezze dei lati cresconolinearmente e rimangono sempre uguali fra loro. L’area cresce invece in manieraquadratica, e questo esclude la (b).

17

Esercizio 17. Mat Siano x e y due numeri reali tali che |x− 10| < 2 e |y − 10| ≤ 3.La stima migliore per |x − y| che si puo ottenere dalle due disequazioni precendenti eallora

(a) |x− y| < 25(b) 1 < |x− y| < 5(c) |x− y| < 5(d) |x− y| ≤ 5

Soluzione. La risposta giusta e la (c).

18

Esercizio 18. Mat Siano x e y due numeri reali tali che |x − 10| < 3 e y ≤ x. Lastima migliore per y che si puo ottenere dalle due disequazioni precendenti e allora

(a) y < 13(b) 7 < y < 13(c) y < 7(d) y ≤ 10

Soluzione. La risposta giusta e la (a) perche 7 < x < 13.

19

Esercizio 19. Mat Sia x un numero reale tale che −1 < x ≤ 2. La stima migliore perx2 che si puo ottenere dalle due disequazioni precendenti e allora

(a) 0 < x2 ≤ 4(b) 0 ≤ x2 ≤ 4(c) 1 < x2 ≤ 4(d) −1 ≤ x2 ≤ 4

Soluzione. La risposta giusta e la (b).

20

Esercizio 20. Mat Quali sono le soluzioni del sistema x− 2y = 3 e −2x+ 4y = −6?(a) x = 1 e y = −2 o x = −2 e y = 4(b) x = y = 0(c) x arbitrario e y = x−3

2

(d) non ci sono soluzioni


21

Esercizio 21. Mat L’identita |x2 − 10x| = x2 − 10x e soddisfatta(a) da tutti gli x in R(b) per x ≤ 0 e x ≥ 10(c) per 0 ≤ x ≤ 10(d) per x = 0 e x = 10


22

Esercizio 22. Mat Siano X e Y due proposizioni. Per dimostrare che l’affermazione”almeno una tra X e Y e vera” e falsa, si deve mostrare che

(a) Y e falsa(b) X e falsa se e solo se Y e vera(c) almeno una tra X e Y e falsa(d) X e Y sono entrambe false

Soluzione. La risposta giusta e la (d).

23

Esercizio 23. Mat Siano X, Y e Z tre proposizioni. Supponiamo di sapere che Ximplica Y e che Y implica Z. Supponiamo inoltre di sapere che X e falsa, cosa possiamoconcludere?

(a) Y e falsa(b) Z e falsa(c) Z implica X(d) nessuna delle precedenti e corretta


24

Esercizio 24. Mat Si consideri la funzione f : R → R definita da f(x) = −|x2 − 4|.Quale tra le seguenti affermazioni e vera?

(a) f non ha punti di minimo perche non e limitata verso il basso(b) f ha due punti di massimo e un punto di minimo(c) f non ha punti di massimo(d) nessuna delle precedenti e vera


25

Esercizio 25. Mat Siano X e Y due insiemi. Cosa significa che x non e un elementodella loro intersezione?

(a) ci sono elementi di X diversi da x e elementi di Y diversi da x(b) x appartiene esattamente a uno dei due insiemi X e Y(c) x non puo appartenere simultaneamente a X e a Y ; puo appartenere a X o a

Y o a nessuno dei due, ma non a entrambi(d) x non appartiene ad X e neanche a Y


26

Esercizio 26. Mat Sia A = sinx : 0 < x < π. Cosa significa che y e un elementodi A?

(a) y e compreso tra 0 e π(b) y e compreso tra sin 0 e sinπ(c) y e uguale a sinx per tutti gli x tra 0 e π(d) y e uguale a sinx per un qualche x tra 0 e π


27

Esercizio 27. Mat Sia P l’affermazione per ogni angolo esiste una semiretta, dettabisettrice, che divide a meta l’angolo. Quale tra le seguenti affermazioni e la negazionedi P?

(a) esiste un angolo ed esiste una semiretta che non divide a meta l’angolo;(b) non esiste un angolo per cui ogni semiretta uscente dal suo vertice divide a

meta l’angolo;(c) esiste un angolo tale che ogni semiretta uscente dal suo vertice non divide

a meta l’angolo;(d) per ogni angolo non esiste alcuna semiretta che lo divide a meta;

Soluzione. La risposta giusta e la (c).La negazione logica di P e: esiste un angolo per cui non esiste alcuna retta che dividaa meta l’angolo. La risposta corretta e dunque la (c). (a) e (b) sono affermazionivere, ma non sono la negazione di P , mentre la (d) e falsa.

28

Esercizio 28. Mat La somma di 100 numeri interi e maggiore di 100. Allora

(a) Almeno uno dei numeri deve essere maggiore o uguale a 2.(b) Se uno dei numeri e minore o uguale di -100 allora almeno uno dei rima-

nenti deve essere maggiore o uguale a 100.(c) Se tra i numeri c’e 99 allora tutti gli altri devono essere maggiori o uguali

a −1.(d) Almeno uno dei numeri deve essere maggiore di 2.

Soluzione. La risposta giusta e la (a).Abbiamo a1 + . . . + a100 > 100. La (a) e vera: se tutti i cento numeri sono minorio eguali a 1, la loro somma non puo essere maggiore di 100. La (b) e falsa (per esa1 = −100, a2 = 99, a3 = 99, a4 = 3, a5 = . . . = a100 = 0). Anche (c) e palesementefalsa, cosı come la (d).

29

Esercizio 29. Mat Di una tabella 2× 2[x y

z w

],

con x, y, z, w in R, si conoscono i valori delle somme delle righe e delle colonne.Cosa si puo dire dei singoli valori della tabella?

(a) Esiste un’unica quaterna (x, y, z, w).(b) Esiste un’unica possibilita se pero si conosce anche la somma di tutti i nu-

meri della tabella.(c) Esiste un’unica possibilita se si sa che i valori della tabella sono interi.(d) Ci sono infinite quaterne (x, y, z, w).

Soluzione. La risposta giusta e (d).Si sa che

x+ y = a,

z + w = b,

x+ z = c,

y + w = d,

⇐⇒

x + y = a,

x + z = c,

y + w = d,

z + w = b.

con a, b, c, d noti. In realta una di queste equazioni e di troppo. Per esempio, facendola seconda piu la terza meno la prima si ottiene

(x+ z) + (y + w)− (x+ y) = c+ d− a, ⇐⇒ z + w = c+ d− a,

Dunque se c + d − a = b, cioe c + d = a + b, l’ultima equazione si puo eliminare.Ma e cosı, perche a + b = c + d =somma di tutti gli elementi della tabella. Quindiil sistema e equivalente a

x+ y = a,

z + w = b,

y + w = d,

che ha infinite soluzioni.

30

Esercizio 30. Mat Sia (an) una successione numerica reale soddisfacente la seguenteproprieta:

per ogni ε > 0 esiste un N ∈ N tale che an ≤ ε, per ogni n ≥ N.

Allora

(a) esiste il limite limn→+∞ an = 0;(b) an >

1100 per un numero finito di indici n;

(c) se il limite limn→+∞ an esiste allora e < 0;(d) an <

1n per n maggiore di un opportuno N .

Soluzione. La risposta giusta e (b).La (a) e evidentemente falsa. La (b), vera, segue dall’ipotesi prendendo ε = 1

100 . La(c) e falsa (basta prendere an = 1

n) cosı come la (d) (an = 2n per esempio).

31

Esercizio 31. Mat Siano x e y due numeri reali strettamente positivi. L’equazionelog(x+ y) = log x+ log y (dove log e il logaritmo naturale, in base e = 2, 78 . . .),

(a) e sempre verificata;(b) non ha soluzioni;(c) non e sempre verificata ma per ogni x > 0 esiste un unico y > 0 tale che la

coppia (x, y) ne sia soluzione;(d) ci sono infinite coppie soluzione nel quadrante x > 1, y > 0.

Soluzione. La risposta giusta e (d).Per le proprieta dei logaritmi

log(x+ y) = log x+ log y, ⇐⇒ log(x+ y) = log(xy), ⇐⇒ x+ y = xy.

Si puo esplicitare y in funzione di x

y(1− x) = −x, ⇐⇒ y =x

x− 1, x 6= 1.

Per x = 1 non ci sono soluzioni evidentemente. Da questo segue che la (d) e quellagiusta.

32

Esercizio 32. Mat In una scacchiera 4× 4 quanti quadrati e possibile formare?

(a) 16(b) 25(c) 29(d) 30

Soluzione. La risposta giusta e la (c).Ci sono 16 quadrati 1 × 1, 9 quadrati 2 × 2, 4 quadrati 3 × 3 e 1 4 × 4. Totale16 + 9 + 4 + 1 = 29.

33

Esercizio 33. Mat Un triangolo viene ritagliato casualmente con una forbice da unfoglio di carta dopodiche si prende un vertice V a caso e si piega il triangolo dimodo che V vada a coincidere col punto medio del lato opposto. Indichiamo cona, b i lati ai quali appartiene il vertice V e con c il lato opposto a V . Allora la figurapiana formata dopo il piegamento

(a) e sempre un trapezio;(b) non puo essere un triangolo;(c) se a ≤ b e a < c

2 allora la figura e un pentagono;(d) se a = c allora la figura e un trapezio.

Soluzione. La risposta giusta e la (c).Fare una figura.

34

Esercizio 34. Mat L’equazione

xx2−7x+12 = 1,

(a) non ha soluzioni.(b) ha una soluzione.(c) ha tre soluzioni.(d) ha quattro soluzioni.

Soluzione. La risposta giusta e la (d).Se x = 1 si ha ovviamente una soluzione. Poi, se x2 − 7x+ 12 = 0 si hanno ancorasoluzioni, cioe x = 3, 4. Infine se x = −1 e x2 − 7x + 12 e pari si ha un’ulterioresoluzione: (−1)2 − 7(−1) + 12 = 1 + 7 + 12 = 20. Non ci sono altre soluzioni.Quindi: quattro soluzioni.

35

Esercizio 35. Mat Dei biologi vogliono studiare una certa popolazione di pesci inun lago. Un giorno gettano una rete nel lago e tirano su 300 pesci, li marcanodopodiche li gettano nel lago. Il giorno dopo rigettano la rete nel lago e tirano su400 pesci di cui 20 di quelli marcati. Supponendo che ogni pesce possa entrarenella rete (a prescindere che sia marcato o meno) con la stessa probabilita deglialtri, cosa si puo dire sul numero totale di pesci nel lago?

(a) niente, le informazioni sono insufficienti.(b) ci sono circa 6000 pesci nello stagno.(c) non ci sono piu di 3000 pesci nello stagno.(d) ci devono essere almeno 10.000 pesci nello stagno.

Soluzione. La risposta giusta e la (b).Sia N il numero di pesci. Dopo la prima pescata, la probabilita di pescare i pescimarcati e 300

N . Poiche la probabilita di pescare un pesce e indipendente dal fattoche sia marcato o meno e nella seconda pescata abbiamo 20 pesci su 400 marcati, sideduce che i pesci marcati sono 20

400 . In altre parole

300N

=20400

, ⇐⇒ N = 6000.

36

Esercizio 36. Mat Si considerino le funzioni f(x) = sinx + log |x3|, definita perx 6= 0, e g(x) = ex. La funzione g(f(x)) e allora

(a) g(f(x)) = esin x log |x3|

(b) g(f(x)) = log(sinx) · e|x3|

(c) g(f(x)) = esin x |x3|(d) g(f(x)) = x3 esin x


37

Esercizio 37. Mat La funzione inversa f−1(x) della funzione f(x) = (x+ 1)1/3 e(a) f−1(x) = 1

(x+1)1/3

(b) f−1(x) = (x+ 1)3

(c) f−1(x) = (x− 1)3

(d) f−1(x) = x3 − 1


38

Esercizio 38. Mat Siano m e n due numeri interi positivi tali che m < n. Quali frale seguenti disuguaglianze e vera?

(a) 2−m < 2−n

(b) 2m−n < 0(c) 2−n < 2−m

(d) 2n−m < 1


39

Esercizio 39. Mat Sia f(x) =√|x|(x2 − 1). Allora il dominio di f e

(a) |x| ≥ 1(b) |x| ≤ 1(c) x < −1, x > 1(d) |x| ≥ 1 ∪ 0


40

Esercizio 40. Mat Siano f(x) = 2x+ 5 e g(x) = 1− x2, allora(a) f(g(2)) = −3(b) f(g(2)) = 1(c) f(g(2)) = −1(d) f(g(2)) = 2


41

Esercizio 41. FIS Una particella cade da ferma da un’altezza h. Il vento, che soffia indirezione orizzontale da O verso E, imprime alla particella un’accelerazione costantepari ad a. La traiettoria della particella e

(a) rettilinea ;(b) parabolica ;(c) circolare ;(d) ellittica .

Soluzione. La risposta giusta e la (a).

42

Esercizio 42. FIS Due corpi di massa diversa, inizialmente fermi, che cadono insiemenel vuoto hanno in ogni istante:

(a) velocita eguale ma diversa energia cinetica ;(b) velocita ed energia cinetica eguali ;(c) velocita ed energia cinetica diverse ;(d) energia cinetica eguale ma velocita diversa .


43

Esercizio 43. FIS La velocita della luce in un mezzo di indice di rifrazione n > 1

(a) puo essere minore della velocita di una particella nello stesso mezzo ;(b) e sempre maggiore della velocita di una particella in quel mezzo ;(c) e la stessa per qualunque valore di n ;(d) cresce al crescere di n .


44

Esercizio 44. FIS Due carri ferroviari vengono agganciati uno all’altro. A causadell’azione dei respingenti, una volta sganciati i due carri si muovono in direzioniopposte. Se m1 e la massa del primo e m2 = 2m1 quella del secondo, il rapporto delleloro accelerazioni a1/a2 e

(a) 1/2(b) 2(c) 4(d) 1/4


45

Esercizio 45. FIS La conservazione dell’energia afferma che la somma dell’energiacinetica e potenziale di un corpo resta costante. Quale delle seguenti affermazioni ecorretta ?

(a) la velocita e massima dove l’energia potenziale e minima ;(b) energia cinetica e potenziale sono entrambe costanti ;(c) dove cresce l’energia cinetica cresce anche l’energia potenziale ;(d) l’energia potenziale e sempre positiva .


46

Esercizio 46. FIS Se ai capi di un conduttore di resistenzaR = 0.10 Ω viene applicatauna differenza di potenziale pari a V = 0.2 V, quale e l’energia E dissipata in untempo t = 0.01 s ?

(a) 4000 J(b) 4 J(c) 4× 10−3 J(d) 4× 10−6 J


47

Esercizio 47. FIS Il gas contenuto in un recipiente puo uscire da due fori circolaril’uno di raggio doppio dell’altro. Per tenere tappati i due fori occorre:

(a) una pressione dall’esterno doppia sul foro piu grande ;(b) una pressione dall’esterno doppia sul foro piu piccolo ;(c) una forza doppia sul foro piu piccolo ;(d) una forza quadrupla sul foro piu grande .


48

Esercizio 48. FIS Due pedoni si muovono uno verso l’altro lungo un rettilineo. Ilprimo ha velocita di 2 m/s il secondo di 3 m/s. Dopo quanto tempo le due persone siincontrano ?

(a) 15 s(b) 5 s(c) 30 s(d) non e possibile rispondere .


49

Esercizio 49. FIS Un pendolo semplice di lunghezza L oscilla con periodo T . Affincheil periodo sia doppio esso deve avere lunghezza:

(a) 4L(b) L/2(c) 2L(d)√

2L


50

Esercizio 50. FIS Un raggio di luce si propaga inizialmente in una lastra di vetro(indice di rifrazione n = 1.5) ad un angolo di 45. Quanto vale l’angolo di rifrazionese il raggio emerge dal vetro in aria ?

(a) 45 ;(b) 28 ;(c) il raggio rifratto non esiste ;(d) 62 .


51

Esercizio 51. FIS Se un oggetto e posto davanti ad una lente positiva (convergente)ad una distanza maggiore di quella focale, si forma un’immagine:

(a) reale e capovolta ;(b) virtuale e capovolta ;(c) reale e diritta ;(d) virtuale e diritta .


52

Esercizio 52. FIS Due vettori a e b hanno modulo pari a 5 e 7 m. Quale dei seguentivalori non puo essere in alcun caso il modulo della risultante a + b ?

(a) 1 m(b) 3 m(c) 4 m(d) 12 m


53

Esercizio 53. FIS Una sferetta di massa m cade da ferma all’interno di un fluidoviscoso. Oltre alla forza peso mg, il corpo e soggetto ad una forza di attrito di modulobv, dove v e la velocita della sfera e b una costante. Assumendo che la spinta idrostaticasia trascurabile, quali delle seguenti affermazioni relative al moto del corpo e corretta:

(a) la sua energia cinetica cresce fino a raggiungere un valore massimo, poi de-cresce a causa della forza frenante;

(b) la sua velocita cresce monotonicamente e tende ad un valore limite che dipendeda b e da m;

(c) la sua velocita cresce monoticamente e tende ad un valore limite che dipendesolo da b;

(d) la sua velocita cresce fino a raggiungere un valore massimo, poi decresce eraggiunge un valore limite.


54

Esercizio 54. FIS Un buco nero e un oggetto cosı compatto che nemmeno la lucepuo sfuggire al suo campo gravitazionale. A quale raggio dovrebbe essere compressa laterra (MT = 5.98× 1024 kg) perche diventi un buco nero ?

(a) 1 µm(b) 1 cm(c) 100 m(d) 10 km


55

Esercizio 55. FIS Un corpo di massa m scivola lungo un piano inclinato scabro(angolo di inclinazione θ e coefficiente di attrito dinamico µ) partendo da fermo daun’altezza h. Se il corpo si muove con velocita costante, qual’e l’energia dissipatadall’attrito quando esso raggiunge la base del piano inclinato ?

(a) mgh/µ

(b) µmgh

(c) µmgh sin θ(d) mgh


56

Esercizio 56. CHIM Considerando la legge dei gas ideali, a parita di pressione etemperatura, quale gas risulta piu denso tra azoto ed ossigeno?

(a) N2

(b) O2

(c) hanno la stessa densita(d) non si puo dire


57

Esercizio 57. CHIM Tenendo presente l’equilibrio CO2−3 + 2H+ H2O + CO2(g),

cosa usereste per rimuovere del calcare (CaCO3 solido)?

(a) un solvente organico ;(b) una base ;(c) un acido ;(d) nessuna delle precedenti .


58

Esercizio 58. CHIM Qual e il pH di una soluzione 10−9M di HCl in acqua?

(a) 7(b) 9(c) 5(d) 1


59

Esercizio 59. CHIM Conoscendo il prodotto di solubilita dell’argento cloruro, [Ag+][Cl−] =1.56x10−10 , qual e la concentrazione di ioni argento (Ag+) in una soluzione saturadi argento cloruro?

(a) 1.25 x 105 mol L−1 ;(b) 1 mol L−1 ;(c) 1.25 x 10−5mol L−1 ;(d) e necessario conoscere il volume della soluzione .


60

Esercizio 60. CHIM Che reazione avviene nel “test del palloncino” per l’alcolemia?

(a) l’etanolo si riduce ad alcano cambiando colore ed il bicromato si ossida;(b) l’etanolo si ossida ad acido ed il bicromato si riduce cambiando colore;(c) l’etanolo si ossida liberando idrogeno;(d) non avviene nessuna reazione chimica.


61

Esercizio 61. CHIM Il gruppo funzionale ammidico che lega gli amminoacidi nelleproteine ha la seguente struttura:

(a) HHO

CHH

O

O

(b)

CHH

O

O

(c)

CHH

NH

O

(d) NH2


62

Esercizio 62. CHIM Quanti grammi di HF (P.M. 20) sono contenuti in 200mL diuna soluzione 0.5M?

(a) 100(b) 50(c) 2(d) 0.2


63

Esercizio 63. CHIM Bilanciare la reazione di combustione del metano indicando icoefficienti stechiometrici x, y e z.

xCH4 + yO2 → CO2 + zH2O

(a) x = 1 , y = 2 , z = 2(b) x = 2 , y = 1 , z = 1(c) x = 1 , y = 1 , z = 2(d) x = 2 , y = 2 , z = 1


64

Esercizio 64. CHIM Il peso molecolare dell’oro e 197 g mol−1. Quanti atomi ci sonoin una mole di oro?

(a) 6.022× 1023 ;(b) 3.06× 1021 ;(c) 1.2× 1026 ;(d) e necessario conoscere la massa in grammi dell’oro .


65

Esercizio 65. CHIM In una reazione l’energia libera diminuisce. Cosa significa?

(a) che la reazione e molto veloce;(b) che la reazione e spontanea;(c) che la reazione e catalizzata;(d) nessuna delle precedenti.


66

Esercizio 66. CHIM Nell’acqua allo stato liquido le molecole

(a) formano fra loro legami covalenti;(b) formano fra loro legami a idrogeno;(c) formano fra loro legami ionici;(d) formano fra loro legami apolari.


67

Esercizio 67. CHIM Per combustione completa di un idrocarburo si ottiene:

(a) H2O + CO2

(b) CO + H2O(c) H2CO(d) CO


68

Esercizio 68. CHIM In seguito all’addizione di acqua ad un alchene si ottiene

(a) un’aldeide;(b) un acido carbossilico;(c) un chetone;(d) un alcol.


69

Esercizio 69. CHIM Le soluzioni tampone sono formate da

(a) un acido forte piu una base forte;(b) un acido debole piu un suo sale;(c) due acidi deboli piu idrogeno;(d) due basi deboli piu idrogeno.


70

Esercizio 70. CHIM Una soluzione acquosa di glucosio presenta un abbassamentocrioscopico (∆tc ) di 3.8 oC; per diminuire tale abbassamento bisogna

(a) aggiungere altro glucosio;(b) ridurre il volume della soluzione;(c) aggiungere altro solvente;(d) riscaldare la soluzione a 3.8 oC


71

Esercizio 71. BIO La cellula vegetale va incontro a plasmolisi:(a) se si trova in ambiente isotonico;(b) mai perche ha la parete;(c) se si trova in ambiente ipertonico;(d) se si trova in ambiente ipotonico.


72

Esercizio 72. BIO Le cellule possono estrarre maggiore energia chimica da:(a) una molecola di NADH ;(b) una molecola di glucosio ;(c) due molecole di CO2 ;(d) quattro molecole di ATP .


73

Esercizio 73. BIO L’insulina:(a) e prodotta dal fegato;(b) e un ormone che stimola il consumo di glucosio da parte dei muscoli;(c) ha l’effetto di aumentare la glicemia;(d) e una proteina globulare dimerica


74

Esercizio 74. BIO Il DNA della cellula eucariote:(a) si trova esclusivamente nel nucleo cellulare;(b) e formato da desossiglucosio;(c) viene replicato due volte durante la meiosi;(d) puo essere contenuto anche in organelli subcellulari.


75

Esercizio 75. BIO I lisosomi sono:(a) organelli coinvolti nella respirazione cellulare;(b) piccole vescicole contenenti acido lattico;(c) organelli intracellulari contenenti enzimi litici;(d) secreti dalle cellule che producono ormoni.


76

Esercizio 76. BIO Il genoma dei procarioti e costituito da:(a) un unico cromosoma circolare;(b) tanti piccoli cromosomi;(c) un unico cromosoma lineare;(d) solo RNA.


77

Esercizio 77. BIO In un sistema circolatorio, il sangue venoso e piu povero di ossigenoperche:

(a) contiene una maggiore quantita di urea;(b) ritorna dai tessuti verso il cuore;(c) e piu povero di zuccheri;(d) scorre entro vasi piu piccoli.


78

Esercizio 78. BIO Se camminando nel Parco di Yellowstone incontrate un orso conintenzioni poco amichevoli:

(a) vi diminuisce la glicemia;(b) vi aumenta l’uremia;(c) vi aumenta il tasso di azoto ematico;(d) vi aumentano le catecolamine plasmatiche.


79

Esercizio 79. BIO Se una cellula e esposta ad una soluzione ipotonica:(a) diminuisce di volume;(b) mantiene inalterato il volume cellulare;(c) aumenta la superficie complessiva;(d) acquista acqua dalla soluzione esterna.


80

Esercizio 80. BIO I metaboliti energetici e l’ossigeno raggiungono il cuore:(a) attraverso la diffusione dalle camere ventricolari;(b) per diffusione dagli atri;(c) mediante i vasi coronarici;(d) dal pericardio.


81

Esercizio 81. BIO La digestione degli alimenti nel tratto gastrointestinale di un or-ganismo:

(a) produce sostanze assorbibili;(b) produce energia;(c) elimina le scorie in eccesso;(d) produce sostanze di riserva.


82

Esercizio 82. BIO L’emoglobina:

(a) e una proteina monomerica che contiene un gruppo eme e contribuisce altrasporto di elettroni nella catena respiratoria;

(b) e una proteina che contiene quattro gruppi eme ed e coinvolta nel trasportodell’ossigeno dai polmoni ai tessuti;

(c) e una proteina che contiene quattro gruppi eme ed e coinvolta nel trasporto dielettroni nella catena respiratoria;

(d) e un enzima presente negli eritrociti che catalizza la riduzione dell’ossigeno adacqua.


83

Esercizio 83. BIO Quale dei seguenti apparati dei vertebrati non si apre nell’ambienteesterno?

(a) apparato digerente;(b) apparato respiratorio;(c) apparato circolatorio;(d) apparato riproduttore.


84

Esercizio 84. BIO Quale delle seguenti condizioni caratterizza la partenogenesi?

(a) un oocita si sviluppa in assenza di fecondazione;(b) gruppi di cellule specializzate di un individuo possono staccarsi e dare origine

a nuovi individui;(c) nel corso della propria vita, un individuo e prima maschio e poi femmina;(d) entrambi i membri di una coppia posseggono organi genitali maschili e fem-

minili.


85

Esercizio 85. BIO La lamella mediana, che cementa tra loro le cellule di un tessutovegetale, e composta di:

(a) acqua e lignina;(b) cellulosa e proteine;(c) acqua e pectine;(d) acqua e cellulosa.


Esercizio 1. Mat Consideriamo le coppie x;y di numeri ... · due soluzioni (x;y) ... Mat Sia N...

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