2.1 Numeri naturali, interi relativi, razionali

DefinizioneL’insieme N = {0, 1, 2, 3, . . . } costituito dallo 0 e dai numeri interi positivi èl’insieme dei numeri naturali.

Se a, b 2 N, alloraa + b 2 N

mentre non è detto che a� b sia un numero naturale.

ProblemaEquazioni del tipo a + x = b possono non avere soluzioni in N.

Esempio

Non esistono numeri naturali x 2 N tali che

3 + x = 2

DefinizioneL’insieme Z = {. . . ,�3,�2,�1, 0, 1, 2, 3, . . . } è l’insieme dei numeri interirelativi.

OsservazioneOgni numero naturale è anche un numero intero relativo, pertanto

N ⇢ Z

Se a, b 2 Z alloraa + b, a� b, ab 2 Z

Non è detto invece che ab (b 6= 0) sia un intero relativo.

ProblemaUna equazione del tipo bx = a con b 6= 0 può non avere soluzioni in Z.

Esempio

Non esistono interi relativi x 2 Z tali che 3x = 5.

DefinizioneUn numero razionale, ovvero una frazione, è il rapporto m

n tra due numeriinteri relativi m e n 6= 0. L’insieme dei numeri razionali viene denotato con

Q = {mn|m 2 Z, n 2 N, n 6= 0}

OsservazioneOgni numero intero può essere riguardato come numero razionale, infatti perogni m 2 Z si ha

m =m1

Dunque N ⇢ Z ⇢ Q.

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Vi è una corrispondenza biunivoca tra i numeri razionali ed i numeri decimaliperiodici

mn ! a, c1c2 . . . ctct+1 . . . ck

(dove se k � t = 1 e ct+1 = 9 allora a, c1c2 . . . ct9 = a, c1c2 . . . (ct + 1)).

Pertanto i numeri razionali possono essere identificati con i numeri decimaliperiodici.

Il numero decimale periodico a, c1c2 . . . ctct+1 . . . ck viene identificato con lafrazione:

di numeratore ac1c2 . . . ck � ac1c2 . . . ct ,

denominatore il numero intero le cui cifre sono tanti 9 quante sono lecifre del periodo e tanti 0 quante sono quelle dell’antiperiodo.

Tale frazione è detta frazione generatrice del numero decimale periodicoconsiderato.

Esempi

La frazione generatricie del numero decimale periodico

3, 7

è370� 37

90=

33390

=3710

quella di�5, 241

è�5241 + 52

990=�5189

990

2.2 Numeri reali e proprietà

Teorema di PitagoraIn un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa coincidecon la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Pertanto, se si considera un quadrato di lato 1, la lunghezza x delladiagonale deve soddisfare l’uguaglianza

x2 = 12 + 12 = 2

quindix =p

2

Tale numero non è razionale.

La misura della diagonale di un quadrato di lato unitario non è esprimibilemediante un numero razionale

Per dimostrarlo supponiamo, "per assurdo", chep

2 sia razionale ovvero che

p2 =

mn

con 0 6= n,m 2 N

Possiamo assumere che la frazione mn sia "ridotta ai minimi termini", cioè che

m e n non abbiano divisori comuni, in particolare m ed n non possono essereentrambi pari. Da p

2 =mn

segue che

2 =⇣m

n

⌘2=

m2

n2

da cuim2 = 2n2

Allora m2 è un multiplo di 2, cioè m2 è pari e questo comporta che m è pari.

Quindim = 2t con t 2 N

e2n2 = m2 = 4t2

da cui, dividendo per 2, si ottiene

n2 = 2t2

cioè,n2 è pari

e quindi n è pari. Dunque m ed n sono entrambi pari, una contraddizione.

Il fatto che la diagonale del quadrato unitario non sia un numero razionalecomporta che i numeri razionali non sono sufficienti per misurare, adesempio, tutti gli enti geometrici.

È dunque necessario ampliare ulteriormente l’insieme dei numeri razionaliintroducendo i numeri reali.

DefinizioneUn numero decimale qualunque, che abbia quindi una espressione decimaleanche infinita e non periodica, è un numero reale.

Un numero reale che non sia razionale, ovvero che abbia una espressionedecimale illimitata e aperiodica, è detto irrazionale.

L’insieme dei numeri reali si indica con R.

OsservazioneDalla definizione discende subito che N ⇢ Z ⇢ Q ⇢ R

Esempi

Il numero realep

2 è irrazionale,

un’altro importante esempio di numero irrazionale si ottiene considerando ilrapporto tra la lunghezza di una circonferenza ed il suo diametro.

Tale rapporto, che non dipende dalla particolare circonferenza considerata, sidenota con ⇡.

Nell’insieme R dei numeri reali sono definite addizione e moltiplicazione;ricordiamone le proprietà.

AddizioneProprietà associativa: per ogni a, b, c 2 R si ha a + (b + c) = (a + b) + c

Proprietà commutativa: per ogni a, b 2 R si ha a + b = b + a

Esistenza dell’elemento neutro: per ogni a 2 R si ha a + 0 = a

Esistenza dell’opposto: per ogni a 2 R si può considerare �a 2 R e�a + a = 0

Moltiplicazione

Proprietà associativa: per ogni a, b, c 2 R si ha a(bc) = (ab)c

Proprietà commutativa: per ogni a, b 2 R si ha ab = ba

Esistenza dell’elemento neutro: per ogni a 2 R si ha a1 = a

Esistenza del reciproco (inverso): per ogni a 2 R, a 6= 0 si puòconsiderare 1

a 2 R e a · 1a = 1

Proprietà distributivaConsiderati comunque i numeri reali a, b, c 2 R, si ha che

a(b + c) = ab + ac

OsservazioneL’insieme dei numeri reali è "totalmente ordinato", e cioè dati a, b 2 R talinumeri possono sempre essere confrontati rispetto ad una relazione d’ordine.

Possiamo sempre dire, cioè, che

a b oppure b a

Diremo poi che a è strettamente minore di b se a b e a 6= b.

Le operazioni tra numeri reali e la relazione d’ordine sono legate comesegue:

Se a b, allora a + c b + c per ogni c 2 R

se a b, allora ac bc per ogni c � 0 e bc ac per ogni c 0; inparticolare �b �a.

Siano ora a, b 2 R, a 6= 0 e b 6= 0, tali che a b; che relazione c’è tra ireciproci 1

a e 1b ?

1 Sia 0 < a b; allora 1b > 0 e questo comporta, per l’osservazione

precedente, cheab 1

da cui, moltiplicando per 1a > 0, segue che

1b 1

a

2 Sia a b < 0; allora moltiplicando per 1b < 0, si ha che

ab� 1

e, moltiplicando per 1a < 0, si ha

1b 1

a

3 Se a < 0 < b, allora 1a < 0, 1

b > 0, pertanto 1a < 1

b .

2.3 Potenze di un numero realeVogliamo adesso definire le potenze di un numero reale positivo adesponente razionale dare cioè significato alla notazione

ar per ogni a 2 R, a > 0 e per ogni r 2 Q

Procediamo per gradi

DefinizioneSe a 2 R e 0 6= n 2 N, denotiamo con an il prodotto di a per sè stesso n volte.Poniamo cioè an = a · · ·n volte · · · a

Per la proprietà associativa della moltiplicazione, per ogni a 2 R e per ognin,m 2 N \ {0} si ha

an · am = (a · · ·n volte · · · a) · (a · · ·m volte · · · a) = a · · ·n+m volte · · · a = an+m

Siano ora a 6= 0 e n,m 2 N \ {0} con n 6= m; allora

an

am = an�m se n > m,

an

am =1

am�n se n < m

Introduciamo dunque le potenze ad esponente intero negativo.

DefinizioneSe a 2 R e 0 6= n 2 N, poniamo

a�n =1an

Dunque1

am�n = a�(m�n) = an�m

e così an

am = an�m per ogni a 2 R \ {0} e per ogni n,m 2 N \ {0} con n 6= m.

OsservazioneSe n = m, allora an

an = 1, pertanto ponendo, per convenzione, a0 = 1, avremoche

an

am = an�m è valida per ogni a 2 R \ {0}, n,m 2 N

Notiamo in oltre che, in questo modo, ha un significato la notazione az perogni a 2 R \ {0} e per ogni z 2 Z.

DefinizioneSiano a 2 R \ {0} e z 2 Z, allora

az =

8<

:

a · · ·zvolte · · · a se z > 01 se z = 0

1a�z = 1

a · · ·�zvolte · · · 1a se z < 0

Notiamo che(an)2 = an · an = an+n = a2n

(an)3 = a3n in generale (an)m = anm per ogni m 2 N

Considerati a 2 R, a > 0 e pq 2 Q, vogliamo attribuire un significato alla

notazione apq in modo che le proprietà

1 an · am = an+m per ogni n,m 2 Z2 (an)m = anm per ogni n,m 2 Z

continuino a sussistere anche se gli esponenti sono numeri razionali.

Supponiamo dunque, in primo luogo, che p = 1 e q > 0; poichè deve valerela seconda proprietà, deve aversi

(a1q )q = a

qq = a1 = a

Si da dunque la seguente

Definizione

Se a 2 R, a > 0 e 0 6= q 2 N, allora a1q è, per definizione, l’unica radice reale

q-esima positiva del numero reale a, ossia l’unico numero reale positivo btale che

bq = a

.

Si pone poia

pq = (a

1q )p per ogni p 2 Z

Osserviamo chea� p

q =1

apq

2.4 La notazione scientifica

DefinizionePer ogni x 2 R, x > 0; esistono un numero reale 1 a < 10 ed un numerointero b 2 Z tali che

x = a · 10b

Una tale scrittura è detta notazione scientifica di x . Il numero reale a è dettomantissa ed in numero intero b esponente di x .

Proviamo che ogni numero reale positivo può essere espresso in notazionescientifica.Sia x 2 R, x � 0, allora x è un numero decimale cioè

x = c1c2 . . . ct ,↵1↵2 . . .↵n . . .

c1c2 . . . ct è la parte intera, t � 1, c1, . . . , ct 2 {0, 1, . . . , 9}; le cifre decimali↵1 . . .↵n . . . sono infinite.

Ricordiamo chex · 10 = c1c2 . . . ct↵1,↵2 . . .↵n . . .

x10

= x · 10�1 = c1c2 . . . ct�1, ct↵1↵2 . . .↵n . . .

Se 1 x < 10, allorax = a · 10k

con a = x e k = 0, cioè x stesso è la mantissa e 0 è l’esponente di x .

Ad esempio 3, 7 ha mantissa 3, 7 ed esponente 0

Occorre dunque esaminare due casi e precisamente 0 < x < 1 e x � 10.Se x � 10, allora

x = c1c2 . . . ct ,↵1↵2 . . .↵n . . .

con t � 2 e c1 6= 0 ovvero c1 2 {1, 2, . . . , 9}. Dunque

1 x10t�1 = c1, c2 . . . ct↵1↵2 . . .↵n · · · < 10

e, posto a = x10t�1 , si ha che x = a · 10t�1 per cui x ha mantissa a ed

esponente t � 1.

Ad esempio se consideriamo 3724, 12, si ha che le cifre della parte interasono t = 4 quindi

3724, 12 = 3, 72412 · 103

Dunque 3724, 12 ha mantissa

3724, 1210t�1 = 3, 72412

ed esponente t � 1 = 3

Sia 0 < x < 1; allorax = 0,↵1↵2 . . .↵n . . .

e, poichè x 6= 0, le cifre decimali non sono tutte nulle.Sia ↵n la "prima" cifra decimale non nulla (supponiamo cioè che x abbia n� 1cifre uguali a 0 dopo la virgola), allora

x · 10n = ↵n,↵n+1 . . .

con ↵n 2 {1, . . . , 9}. Dunque x = x · 10n · 10�n = a · 10�n e x avrà mantissaa = x · 10n ed esponente �n.

Ad esempio consideriamo 0, 000982, la prima cifra decimale non nulla è laquarta, allora

0, 000982 = 9, 82 · 10�4

Dunque la mantissa è 0, 000982 · 104 = 9, 82 e l’esponente è �4.

Un numero reale positivo x ha quindi esponente negativo se 0 < x < 1 ed haesponente maggiore uguale a zero se x � 1.

Esempi

3724 = 3, 724 · 103

0, 00782 = 7, 82 · 10�3

7824, 372 = 7, 824372 · 103

Scrivere un numero reale in notazione scientifica consente di semplificare icalcoli evitando errori.Inoltre la notazione scientifica permette di confrontare facilmente duegrandezze.

DefinizioneDue numeri reali (positivi) hanno lo stesso "ordine di grandezza" se, innotazione scientifica, hanno lo stesso esponente.

2.5 La retta reale. Riferimenti cartesiani del pianoUn modo molto efficace per visualizzare i numeri reali, consiste nelrappresentarli come punti di una retta ovvero nel far corrispondere ad ognipunto di una retta un numero reale e viceversa.

Definire una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti di una rettaequivale alla costruzione di una scala di misura.

I passi sono i seguenti:

1 Scelta dell’origine cioè di un punto della retta a cui si fa corrispondere ilnumero reale 0.

2 Scelta di un’unità di misura ossia di un punto P cui si fa corrispondere ilnumero reale 1. Il segmento OP verrà utilizzato come unità di misura. Inquesta scelta è implicita la scelta dell’orientazione.

3 Considerato un numero reale x 2 R \ {0}, se x è positivo, ad esso si facorrispondere il punto della retta a destra di O avente distanza x da O;se invece x è negativo gli si fa corrispondere il punto della retta a sinistradi O avente da O distanza �x .

OsservazioneSi definisce valore assoluto di un numero reale x 2 R, il numero reale nonnegativo |x | := x se x � 0, se invece x < 0 si pone |x | := �x .

L’identificazione tra numeri reali e punti di una retta ci consente di dare unsignificato geometrico al concetto di valore assoluto.

Infatti |x | non è altro che la distanza di x dall’origine ossia la misura delsegmento che congiunge x ad O.

Così come i numeri reali vengono identificati con i punti di una retta, le coppiedi numeri reali, e quindi gli elementi del prodotto cartesiano R⇥ R = R2,possono essere identificati con i punti di un piano.Si ottiene una corrispondenza biunivoca come segue.

1 Il primo passo consiste nella scelta dell’origine ossia di un punto O delpiano che verrà identificato con la coppia (0, 0).

2 Si sceglie una retta r1 passante per il punto O e si definisce unacorrispondenza biunivoca tra i punti di tale retta ed i numeri reali che a Oassoci 0. Tale retta sarà quella delle ascisse.

3 Si considera l’asse delle ordinate ovvero la retta r2 per O perpendicolaread r1 e anche i punti di tale retta vengono posti in corrispondenzabiunivoca con i numeri reali facendo corrispondere 0 al punto O.

4 Ad ogni coppia (x , y) 2 R2 si associa il punto P del piano intersezionedella retta passante per il punto di r1 associato ad x parallela a r2 con laretta passante per il punto di r2 associato a y parallela ad r1. I numeri xe y sono le cordinate del punto P; x è l’ascissa e y è l’ordinata.

In questo modo viene definito un riferimento cartesiano ortogonale del pianoche vien detto monometrico se sull’asse delle ascisse e su quello delleordinate viene scelta la stessa unità di misura.