01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella, Mario Scarpino 1 U.D. N.1 :NUMERI NATURALI U.D....

01/12/02Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

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U.D. N.1 :NUMERI NATURALIU.D. N.2 NUMERI INTERI RELATIVIU.D. N.3 NUMERI RAZIONALIU.D. N.4 NUMERI REALIU.D. N.5 NUMERI COMPLESSI

MODULO N.1

GLI INSIEMI NUMERICI FONDAMENTALI

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Fondo giallo: Teoria

Fondo azzurro: Esempi e dimostrazioni

Scritte rosse: Definizioni importanti

Gruppo di lavoroFRANCESCO SGARAMELLA MARIO SCARPINO


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MODULO N.1

GLI INSIEMI NUMERICI FONDAMENTALI

INFORMAZIONI

U.D. N.1 :NUMERI NATURALIU.D. N.2 NUMERI INTERI RELATIVIU.D. N.3 NUMERI RAZIONALIU.D. N.4 NUMERI REALIU.D. N.5 NUMERI COMPLESSI


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UNITA DIDATTICA N.1

I NUMERI NATURALI - 1 Definizioni

Dati due insiemi A e B, contenenti l’uno leoni e l’altro alberi , essi si dicono Equipotenti se si possono associare i loro elementi in modo che a un elemento di uno di essi corrisponda uno ed un solo elemento dell’altro.

I due insiemi si dicono in corrispondenza biunivoca. In tal caso cio’ che hanno in comune i due insiemi e’ un “quid” chiamato Numero Naturale Cardinale . Cosi’, estendendo l’esempio si possono generare tutti i numeri naturali e si ottiene l’insieme dei NUMERI NATURALI N = [ 0, 1, 2, 3, ….n,….] N = [ 1, 2, 3, ……n, …. ]

Operazioni in N


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Operazioni binarie e interne: eseguendo le operazioni di Addizione , Moltiplicazione ed Elevamento a potenza tra due numeri Naturali si ottiene sempre un numero naturale, eseguendo invece l’operazione di Differenza : a - b , se a<b , oppure eseguendo l’operazione di Divisione a: b , se a non è multiplo di b si nota che tali operazioni sono impossibili, in quanto il risultato non è un numero naturale . Per tale motivo è necessario inventare nuovi numeri, cioè procedere all’ampliamento di N , vale a dire gli insiemi :

Z= INTERI RELATIVI e Q= RAZIONALI

L’addizione e la moltiplicazione godono delle proprietà formali : Associativa, Commutativa e distributiva

L’elevamento a potenza si definisce come segue:

Definizioni naturaliUNITA DIDATTICA N.1 I NUMERI NATURALI - 2 Operazioni in N

n)*m ( elevato a n elevato m) elevato (a 4)

n) -(m elevato a n elevato a : m elevato a 3)

n)m ( elevato a n elevato a m elevato a 2)

n volte a*......*a*a*a * a n elevato a 1; a 1)


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Operazioni binarie e interne: eseguendo le operazioni di Addizione , Sottrazione, Moltiplicazione tra due numeri relativi si ottiene sempre un numero relativo, mentre eseguendo l’operazione di Divisione a: b , se a non è multiplo di b si nota che tali operazioni sono impossibili in Z , in quanto il risultato non è un numero relativo . Per tale motivo è necessario inventare nuovi numeri, cioè procedere all’ampliamento di N , vale a dire l’insieme : Z= INTERI RELATIVI

L’addizione e la moltiplicazione godono delle proprietà formali : Associativa, Commutativa e distributiva

L’elevamento a potenza si definisce come segue:

UNITA DIDATTICA N.2 I NUMERI INTERI RELATIVI - Definizioni e Operazioni in Z

n)*m ( elevato a n elevato m) elevato (a 4)

n) -(m elevato a n elevato a : m elevato a 3)

n)m ( elevato a n elevato a m elevato a 2)

n volte a*......*a*a*a * a n elevato a 1; a 1)

Numeri naturali Numeri razionali numeri reali numeri complessi


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L’operazione di divisione, la risoluzione di un problema elementare come quello di trovare un numero che moltiplicato per un altro dia come risultato un numero dato( a * x = b), il problema della misura di un segmento con un altro segmento scelto come unita di misura( il rapporto di due numeri , salvo eccezioni , non appartiene a Z) non sono possibili in N , né in Z; è necessario inventare nuovi numeri.

L’insieme dei numeri razionali , Q , è costituito dalla infinite frazioni ottenute dividendo un numero relativo a per un numero relativo b , con b diverso da 0.

Le quattro operazioni sono interne all’insieme Q , mentre addizione e moltiplicazione godono delle proprietà associativa, commutativa e distributiva.

Ogni numero razionale si può scrivere sotto forma di numero decimale , cioè come numero con la virgola del sistema di numerazione a base 10.

Esempi: numero decimale limitato: 0,28 = 28/100 = 7/25

numero decimale illimitato periodico: 5,(65) = 565 - 5/ 99

numero decimale illimitato periodico misto: 5,2(64) = 5264 -52/990

Numeri naturali Numeri razionali numeri reali

numeri complessi

UNITA DIDATTICA N .3 NUMERI RAZIONALI - 1 Definizioni e operazioni


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Dati due numeri razionali è sempre possibile definire il maggiore tra essi :

a/b < =p/q se e solo se a*q <= b*p

In tal modo si può ordinare l’insieme Q in base alla relazione < o > e quindi ad ogni numero razionale ( che può rappresentare infinite frazioni) , scelta una unità di misura u, si può far corrispondere un punto P di una retta orientata , a partire da P, tale che OP = a/b *u .: Tale retta si chiama RETTA RAZIONALE.

Ad ogni numero razionale corrisponde un solo punto della retta, ma non vale il contrario , in quanto ci sono punti della retta a cui non corrisponde alcun numero razionale: ciò significa che i relativi insiemi non sono equipotenti.

Individuazione del punto corrispondente ad un numero razionale: es. 3/5 . Scelta l’unità di misura si divide in 5 parti e se ne prendono 3.

-3 -2 -1 0 1 2 3

L’insieme q è denso, perché fissati due numeri ne esiste sempre un terzo compreso tra essi : uno è la media aritmetica: ( a/b +p/q)/2


numeri complessi

UNITA DIDATTICA N .3 NUMERI RAZIONALI - 2 Ordinamento e retta razionale


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L’equazione x elevato 2 = p/q con p/q razionale qualsiasi è impossibile in Q tutte le volte che p/q non è un quadrato perfetto.

Es . X^2 = 2 Se la soluzione fosse razionale a/b si avrebbe a^2/b^2 =2 impossibile

Segmenti commensurabili: due seg. sono comm. se il rapporto è razionale p/q= 4/7 in tal caso AB =4/7 CD =4 ( 1/7 CD) ammettono un sottomultiplo comune (1 /7CD) Ci sono segmenti non commensurabili , che non ammettono sottomultipli comuni , e il cui rapporto quindi non è un numero razionale:

Esempio : lato l e diagonale del quadrato: d = Radice 2 x l e d/l = radice 2 non razionale e non ammettono sottomultiplo comune..

Tutte le coppie di segmenti con rapporto uguale alla radice di numeri non quadrati perfetti sono incommensurabili.

Si chiama numero irrazionale ogni numero che non sia possibile esprimere sotto forma di frazione .


numeri complessi

UNITA DIDATTICA N .4 NUMERI REALI - 1 Ampliamento dell’insieme Q


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Si chiama insieme dei numeri reali , l’insieme costituito dall’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e dell’insieme dei numeri irrazionali J


numeri complessi

UNITA DIDATTICA N .4 NUMERI REALI - 1 Numeri irrazionali e numeri reali

difetto.per

e eccessoper razionali numeri di contigue classi due delle separatore

elementol' e' 2 eirrazional numero il e separate sono classi due

.1,415,.... 1,42, 1,5, ,2C

.... 1,414, 1,41, 1,4, 1, C

sotto riportati sono eccesso ed difettoper menterispettiva tiapprossima valoriI

21356 1,414 2 calcoliamo Se

e

d

Tali

J

Q R

Postulato della continuità della retta. Ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta e viceversa. I punti della retta e i numeri reali sono insiemi equipotenti


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Le operazioni di addizione e moltiplicazione , definite in R , godono delle stesse proprietà ( associativa, commutativa e distributiva) definite in Q


numeri complessi

UNITA DIDATTICA N .4 NUMERI REALI - 1 Operazioni con i numeri reali

4,07..2,65 1,42 4,2,2,7 1,5 ,532C

4,05,2,641,41 42,6,1,4 3,21 C 7 2

.2,646,.... 2,65, 2,7, ,3C .1,415,.... 1,42, 1,5, ,2C

..2,645,.... 2,64, 2,6, ,2C .... 1,414, 1,41, 1,4, 1, C

classi le due e in tutte figurano che cifre le prendere possono si quindi

enticorrispond valorii sommando , prodotto o somma numero del classi le quindi e

altrodell' e unodell' teapprossima classi le costruire bisogna 7 2

esempioper . reali numeri due di zionemoltiplica la e somma la eseguirePer

e

d

ee

dd

Potenza del continuo e del numerabile

: Ogni aggregato in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali N si dice che ha la potenza del NUMERABILE., in quanto i suoi elementi si possono contare sia pure indefinitamente. L’insieme Q dei numeri razionali è numerabile.

L’insieme R non è numerabile ed ha la potenza del continuo.Gli insiemi infiniti si possono mettere in C.B. con un sottoinsieme proprio.

.


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numeri complessi

UNITA DIDATTICA N .4 NUMERI REALI - 2 Operazioni con i numeri reali

4/0

3/5 3/4 3/3 3/2 3/1 3/0

4/03/12/2....2/5 2/4 2/3 2/2 2/1 2/0

1/31/22/13/02/01/11/0......1/5 1/4 1/3 1/2 1/1 1/0

'

pari numero ogniin 2n 12 10 8 6 4 2 0 N

entecorrispond il ha naturale numero ogni ...n ...... 6 5 4 3 2 1 0 N

N insiemeL'

p

p

aaa

aaaaaada

eènumerabilinsiemeQL

numerabileè

a

Per esempio l’insieme dei numeri pari Np è numerabile, in quanto si può mettere in C. B. con N. Per l’insieme Qa che è denso e per cui non ha senso il concetto di successivo si dimostra che è pure numerabile.( basta scrivere una matrice con N righe e N colonne con le frazioni aventi il numeratore uguale alla colonna e il denominatore alla riga e poi scorrerla non per riga o colonna, che sono infinite, ma per diagonali a 45 gradi, finite, spostandosi a destra e in basso ogni volta che si raggiunge la prima riga o la prima colonna.


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Le operazioni di addizione e moltiplicazione , definite in R , godono delle stesse proprietà ( associativa, commutativa e distributiva) definite in Q


numeri complessi

UNITA DIDATTICA N .5 NUMERI COMPLESSI - 1 Numeri immaginari e operazioni

C complessi numeri dei insieme chiamato è suddetti numeri dei insiemaL'

bi. aimmaginari

parte una da e a reale parte una da costituiti sono complessi numeri I

complessi. numeri chiamati , R b a,con bi, a

tipodel simboli nuovi da asoddisfatt è equazionel' Dunque

232/)166(x

232/)166(x

: valorii fine alla ricavo ali tradizionmetodi icon risolvo la Se

0136x

2

1

2

i

i

x

Seconsidero l’equazione x ^2 = - 1, mi accorgo che essa è impossibile in R in quanto il primo membro è sempre positivo , il secondo sempre negativo, cioè non esiste in R la radice quadrata di – 1. A questo punto , se voglio comunque risolvere l’equazione devo introdurre la cosiddetta unita immaginaria, la quale viene indicata con “i “ ed ha la proprietà di dare -1 se elevata al quadrato, cioè i^2=-1.

Così operando l’equazione detta ha le radici x1 = +1 e x2 = -1. L’insieme dei numeri b*i con b numero reale qualsiasi è detto insieme dei numeri immaginari. Esistono comunque altre equazioni che non hanno né soluzioni reali né soluzioni puramente immaginarie, ad esempio l’equazione seguente:


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Le operazioni di addizione e moltiplicazione , tra due numeri complessi danno per risultato un numero complesso, e sono quindi binarie ed interne a C.

Esse si eseguono con i comuni metodi dell’algebra considerando la unità immaginaria come una lettera qualsiasi, ed alla fine sostituendo a i^2 il valore -1 ad i^ 3 il valore –i, ad i^4 il valore 1 e così via.

Per tali operazioni continuano a valere le stesse proprietà ( associativa, commutativa e distributiva) definite in R.


numeri complessi

UNITA DIDATTICA N .5 NUMERI COMPLESSI - 2 Numeri complessi e operazioni


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UNITA DIDATTICA N .5 NUMERI COMPLESSI - 2 Numeri complessi e operazioni

)54)(47(

)93()127(

02254x

:esercizi seguenti i Esegui2

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