NUMERI RAZIONALI

Prof.ssa Sara Di Giulio

NUMERI RAZIONALI

FRAZIONE

Dati due numeri a e b con b ≠ 0, per indicare il loro quoziente a:b, si scrive una

frazione che ha come numeratore a e

come denominatore b

5:3= 5

3 4:9=

4

9 14:7=

14

7

NUMERI RAZIONALI

NUMERI RAZIONALI

Un numero razionale è il valore comune di tutte le infinite frazioni equivalenti a una frazione data 2

3è 𝑖𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑛𝑒𝑙𝑙′𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒

2

3,4

6,6

9,8

12, …

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INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI - Q

L’insieme Q dei numeri razionali comprende tutti i numeri frazionari.

Esso è un ampliamento dell’insieme N dei numeri naturali in quanto tutti i numeri naturali possono essere scritti come frazioni apparenti

2 = 2

1;4

2;6

3;8

4;10

5; … .

Quindi un numero naturale è anche un numero razionale

NUMERI RAZIONALI

INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI - Q

Quindi un numero naturale è anche un numero razionale

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NUMERI RAZIONALI E NUMERI DECIMALI

Un numero razionale può essere scritto come

frazione o come numero decimale

1

4= 0,25

2

3= 0,666…

15

7= 2,142857142…

Un numero intero si può scrivere in forma decimale

con soli zeri dopo la virgola

2=2,0000…

NUMERI RAZIONALI

NUMERI DECIMALI FINITI

Un numero decimale si dice FINITO se ha un

numero finito di cifre decimali.

3

8= 0,75

5

2= 2,5

1

4= 0,25

Questo si verifica quando la divisione tra

numeratore e denominatore, ad un certo punto

finisce, in quanto si arriva a resto uguale a zero

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NUMERI DECIMALI PERIODICI

Un numero decimale si dice PERIODICO se ha un

numero infinito di cifre decimali che si ripetono

2

3= 0,666…

2

15= 0,1333…

O Le cifre decimali che si ripetono si chiamano PERIODO

O Le cifre decimali che non si ripetono si dicono

ANTIPERIODO

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NUMERI DECIMALI PERIODICI

O Un numero decimale periodico che non

presenta antiperiodo si chiama

PERIODICO SEMPLICE

O Un numero decimale periodico che

presenta antiperiodo si chiama

PERIODICO MISTO

NUMERI RAZIONALI

ESAME DEL DENOMINATORE

Per capire se un numero razionale

corrisponde ad un numero decimale finito,

ad un numero decimale periodico semplice

o un numero decimale periodico misto,

occorre esaminare il denominatore della

frazione generatrice

7

40

18

11

15

22

NUMERI RAZIONALI

ESAME DEL DENOMINATORE

Denominatore con SOLI FATTORI 2 e 5

7

40=

7

23 ∙ 5=

7 ∙ 25

23 ∙ 5 ∙ 25=

175

1000= 0,175

9

20=

9

22 ∙ 5=

9 ∙ 5

22 ∙ 5 ∙ 5=

45

100= 0,45

DECIMALE LIMITATO

NUMERI RAZIONALI

ESAME DEL DENOMINATORE

Denominatore SENZA FATTORI 2 e 5

18

11= 1, 63

2

3= 0, 3

DECIMALE PERIODICO SEMPLICE

NUMERI RAZIONALI

ESAME DEL DENOMINATORE

Denominatore con FATTORI 2 e 5 e ALTRI

15

22=

15

2 ∙ 110,681

5

12=

5

22 ∙ 3= 0,416

DECIMALE PERIODICO MISTO

NUMERI RAZIONALI

FRAZIONE GENERATRICE

,

Dato un numero decimale (limitato o

periodico) è sempre possibile trovare la

frazione che lo ha generato, cioè la

frazione il cui valore è proprio quel numero

decimale.

NUMERI RAZIONALI

FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE FINITO

,

La frazione generatrice di un numero

decimale finito è sempre una FRAZIONE

DECIMALE, cioè una frazione il cui

denominatore è una POTENZA DI 10

0,7 =7

10 5,46 =

546

100

NUMERI RAZIONALI

FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE FINITO

,

La frazione generatrice di un numero

decimale ha:

O Al NUMERATORE il numero dato senza la

virgola

O Al DENOMINATORE l’unità seguita da tanti

zeri quante sono le cifre decimali

NUMERI RAZIONALI

FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE PERIODICO

,

La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice ha:

O Al NUMERATORE la differenza tra il numero dato, privato della virgola, e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo

O Al DENOMINATORE il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo

NUMERI RAZIONALI

FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE PERIODICO

,

2,146 =2146 − 214

900=

1932

900=

161

75

22, 3 =223 − 22

9=

201

9=

67

3

0,03 =3

90=

1

30