Frazioni, decimali, razionali (2)

Anna Paola Longo

12 dicembre 2017

FARE MATEMATICA FARE MATEMATICA

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Frazioni: difficoltà e ostacoli

Per una trattazione completa si consulti il cap.7 di Fandiño Pinilla M.I., 2005;

L’autrice elenca gli errori tipici rilevati dalla letteratura internazionale, aggiungendo proposte didattiche; successivamente ne cerca una collocazione all’interno dei temi fondamentali della Didattica della Matematica

a) Linguaggio

b) Il simbolo a/b, una coppia di amici inseparabili

c) Parti uguali: si possono davvero fare? Uguali o «quasi uguali»?

d) Modello ideale

e) Uguali o equivalenti? Figure geometriche «equiestese»

f) Un numero razionale non ha una sola rappresentazione

g) Gestione dello zero

h) operazioni

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Gli errori sono sintomi, utili per approfondire;

la valutazione deve suggerire una via per il lavoro.

Si constata che non serve ripetere la spiegazione!

Occorre far emergere, per modificarle, le immagini e le convinzioni di ciascuno studente. Può essere un lavoro lungo.

Occorre assicurarsi del possesso del senso, di modelli mentali, dei collegamenti.

Partiamo dall’osservazione di un disegno

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Inizio anno in una prima liceo scientifico Durante il ripasso iniziale, viene posta la domanda: rappresentare alcune frazioni con lo stesso numeratore e denominatori diversi.

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Un allievo risponde con questo disegno

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Primo tempo

impressione: l’autore non ha capito niente sulle frazioni

Secondo tempo

Osservazione: sul disegno, si nota una modularità che richiama una

suddivisione, in cui

è scambiata la funzione di numeratore e denominatore.

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Nota.

Il linguaggio matematico è legato al linguaggio comune,

l’insegnante di matematica sollecita la comprensione del

linguaggio specifico, e quindi del concetto, chiarendo la

derivazione dei termini matematici

Il recupero ha avuto successo, questo il ragazzo è arrivato presto alla sufficienza piena.

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Ancora sul linguaggio

Cosa vuol dire dividere una totalità in parti uguali? L’aggettivo «uguali»

va interpretato di volta in volta, l’uso acritico provoca danni.

A volte vuol dire «parti ugualmente numerose»,

a volte vuol dire «parti equiestese»

Ho trovato insegnanti che, rispettosi di quel «parti

uguali» della definizione non ammettevano che

ciascuna parte della figura è un quarto del

rettangolo di partenza*

*Fandiño Pinilla M.I., 2005, Le frazioni, aspetti concettuali e

didattici, Pitagora

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Un errore tipico: eseguire la somma di frazioni sommando separatamente i numeratori ed i denominatori: ? 3/4 + 5/3 = 8/7 ? tentativo acritico di estendere la somma tra naturali, dimenticando che il simbolo di frazione a/b rappresenta un unico numero. Forse la formula precedente è proposta dallo studente perché potrebbe andare bene all’insegnante (contratto didattico).

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Ma lui cosa ne pensa?

Lo studente, invece di preoccuparsi di decifrare il significato che ha per lui la domanda, si preoccupa di cosa desidera sentirsi dire l’insegnate.

«La ricerca didattica è riuscita a mettere in evidenza il fatto che bisogna dare sempre senso a quel che si sta facendo…*»

*Fandiño Pinilla M.I., 2005, Le frazioni, aspetti concettuali e didattici, Pitagora

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Contratto didattico: termine di Guy Brousseau

«Si intende, in prima approssimazione, l’insieme di tutto ciò che regola il comportamento degli allievi, ma anche dell’insegnante, in base alle attese che ciascuno di essi ha nei confronti dell’altro e della matematica. … Lo studente non si fa carico personale responsabile degli apprendimenti che sta costruendo, non osa mettere in gioco il proprio sapere. Soprattutto…cerca di …rispondere sulla base di quel che ritiene che l’insegnante si aspetti da lui (il discorso è reciproco).

Risposte che a prima vista non hanno una logica,…sono in realtà pesantemente decise dal contratto didattico che vige in aula»*

*D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I, 2009, Zero. Aspetti concettuali e didattici, Erickson, Gardolo (Tn)

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Cosa è la somma? Esiste una solo somma, «la somma»?

Fino a «ieri» esisteva (conoscevamo solo i naturali)

«Oggi» non esiste più (conosciamo anche altri numeri)

Di seguito incontreremo la somma di numeri negativi

la somma di numeri complessi

la somma di funzioni, ecc.

Ciascuna somma ha una sua propria definizione, che vale

solo per gli elementi di un particolare insieme.

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Dunque descriviamo una nuova somma:

somma di frazioni

Aspetto insiemistico: è l’unione di «¾ di» e di «5/3 di»

Aspetto linguistico: l’unione è espressa come unica frazione di U

(unità a cui ci si sta riferendo)

Conseguenza:

Sommare frazioni con lo stesso denominatore: è un conteggio

Sommare frazioni con denominatori diversi: va riportato al primo caso

usando l’equivalenza

¾+ 5/3= ? Nuovo denominatore: prodotto dei due, 4*3 =12

¾ = 9/12; 5/3 = 20 /12 ; somma (9+20) /12

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Noi tutti ricordiamo una definizione più complessa, il denominatore non è semplicemente il prodotto ma è il «minimo comune multiplo» dei due denominatori.

Questa non è intuitiva, non chiarisce la continuità e la differenza rispetto alla somma di naturali.

Allora perché si complica la definizione? Si può e si deve scoprirlo nel lavoro….

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Attenzione a tutte le altre operazioni!

Metodo:

da una necessità concreta alla definizione operativa, astratta.

«Per partire si dovrà necessariamente far uso di modelli concreti; ma sarebbe bene spiegare esplicitamente che il modello concreto è solo un…modello concreto , mentre quel che si sta apprendendo è teorico ed astratto, per far sì che lo studente non leghi troppo il suo apprendimento all’oggetto proposto»*

* Fandiño Pinilla, 2005, Le frazioni, aspetti concettuali e didattici, Pitagora

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Una difficoltà sotterranea: cambiare forma ad un numero

Vale anche per i razionali quello che G.Vergnaud* dice per i naturali:

«Non bisogna confondere il numero con la sua rappresentazione scritta. Il numero nove può essere scritto in molti modi: 9 in cifre arabe, IX in scrittura romana, 21 in base 4, ecc…

Queste scritture rappresentano lo stesso numero con le stesse proprietà (cardinale degli insiemi a 9 elementi, numero dispari, multiplo di tre, successivo di otto, ecc…)

Il numero è un concetto di cui esistono più possibili sistemi di scrittura. La numerazione posizionale in base 10 è uno di questi sistemi».

* Vergnaud G., 1994,Il bambino, la matematica, la realtà, Armando, Roma

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[…] «Il sistema di numerazione è un supporto della concettualizzazione

e sarebbe un’impresa parlare dei numeri grandi o dei numeri decimali

senza l’aiuto della loro rappresentazione scritta…

Se la scrittura del numero è subito associata al numero stesso,

si confonde spesso l’una con l’altro.

Occorre distinguerli con cura, se si vogliono studiare a fondo i diversi

ostacoli da superare»

Vergnaud, 1994, pag. 123; Numero e scrittura del numero

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Passiamo al problema «inverso»:

3/7 di un numero è 36,quale è il numero?

Pericolo: applicando lo schema precedente (p.diretto), considerare ancora 7 come denominatore e quindi dividere il numero 36 per 7.

Ma la struttura della nuova situazione è diversa: le parti uguali a cui si riferisce il numero 36 sono 3 e quindi per conoscere il contenuto di una parte occorre dividere 36 per 3; 36:3 = 12;

Ci sono in questione due diversi riferimenti

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L’oggetto unitario che si vuole identificare è composto da 7 parti uguali e quindi il numero cercato è: 12*7 = 84

La stessa cosa in geometria; questa è una lunghezza:

--------.--------.-------- (3S)

Se inoltre questo segmento è 3/4di A, quale è il segmento A?

Il segmento disegnato (sopra) è costituito da 3 parti uguali (S), ciascuna composta da 8 trattini. La grandezza A contiene 4 di questi segmenti:

A = 4*8= 32 : --------.--------.--------.-------- (A)

Cosa è mancato? L’abitudine a gestire autonomamente schemi, figure, modelli, a riconoscere varie unità, la difficoltà è legata al metodo didattico, non è stata sollecitata una creatività libera.

La soluzione diventerà in algebra: 3/7 x =36; x = 36 *7:3; sarà utile avere in mente la soluzione grafica vista

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Ostacolo

«Ostacolo è un’idea che, al momento della formazione di un concetto, pur essendo stata efficace per affrontare alcuni problemi precedenti, si rivela fallimentare se applicata ad un problema nuovo… Talvolta si tende a conservare un’idea già acquisita e comprovata e, nonostante il fallimento, si cerca di salvarla; questo fatto finisce con l’essere una barriera verso successivi apprendimenti» *(pag.41 e seg.)

*D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I., Marazzani I., Sbaragli S., 2008, La didattica e le difficoltà di apprendimento, Erickson, Gardolo (TN)

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«Un ostacolo è un errore ricorrente basato su una conoscenza precedente, che si continua ad utilizzare senza accorgersi che non è più valida: è possibile non averne paura, ma usarlo per fare avanzare la conoscenza di ciascuno»*

Un ostacolo non deve farci rassegnare. La paura dell’errore è un segnale di involuzione, in molti casi coinvolge l’abitudine ad una valutazione meccanica, non formativa. Nel bambino è sintomo di disagio nel rapporto con la scuola, con i genitori.

* ChamorroC.,2003, Didactica de las mathematicas para primaria, Pearson, Madrid

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Dai naturali alle frazioni

I bambini conoscono bene le regole per lavorare con i numeri naturali.

Quando entrano nel campo delle frazioni, dei decimali e dei numeri

razionali continuano ad applicarle, non sentono il bisogno di cambiare.

Il tentativo inconsapevole ed acritico di estensione a campi impropri,

provoca errori persistenti o perdita di senso (ostacoli).

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Ecco cosa ci chiedono i nostri alunni:

Per favore, voi che siete esperti, avvisateci della diversità tra il campo dei numeri naturali e il campo dei numeri razionali!

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Proprietà dell’insieme delle frazioni

1) Le frazioni sono un insieme «numerabile», cioè si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali:

1;

2, 1/2;

3, 2/2, 1/3;

4, 3/2, 2/3, ¼;

5, 4/2, 3/3, 2/4, 1/5;….

Considerando gli interi come frazioni di denominatore 1, su ciascuna riga ci sono i razionali che hanno fissa la somma di numeratore e denominatore: n+m = k . In questo modo si esauriscono le frazioni.

Rappresentiamo ora le frazioni su una tabella:

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2) Le frazioni sono un insieme «denso»

cioè tra due frazioni qualsiasi, esistono sempre altre infinite frazioni. Invece in qualsiasi intervallo (n, n+1) non esistono elementi di N, questo si esprime con un termine specifico: l’insieme N è discreto. In N ogni numero ha un successivo, questo non è vero per le frazioni e per i razionali

Descrivo i passi: si considerano i numeri rappresentati su un segmento AB; per gli assiomi della geometria, esiste il punto medio M del segmento; si ottengono i due segmenti AM ed MB. Su ciascuno di essi si ripete la suddivisione in parti uguali. Questa operazione non ha termine. Ciascun punto rappresenta un numero razionale.

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Altre proprietà Moltiplicazione e ordinamento

Tra numeri naturali (cioè interi positivi), per due qualsiasi numeri a e b, il prodotto

c = ab è sempre maggiore di ciascuno dei due fattori a, b:

25 × 4 = 100, in cui è 100 > 25 e 100 > 4.

Per i razionali notiamo che 10 × 0,5 = 10 × 1/2 = 10 : 2 = 5 ed è 5 < 10.

Questo è un contro-esempio, che dimostra l’impossibilità di estendere ai razionali la regolarità vista per i naturali.

Nota. 0,5 e ½ sono due diverse rappresentazioni dello stesso numero

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Divisione e ordinamento

Una sorpresa analoga si ha per la divisione.

Tra numeri naturali, se c = a : b, è anche c < a

Ad esempio 21 : 7 = 3; 3 < 21.

Invece per i razionali notiamo:

10 : 0,5 = 10 : 1/2 = 10 × 2 = 20.

Anche questo è un contro-esempio.

Una esperienza didattica in classe quinta, Scuola Il Seme, Castione

Insegnante Danila Miserotti

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Una esperienza didattica in classe quinta, Scuola Il Seme, Castione

Insegnante Danila Miserotti,

Ad anno scolastico da poco iniziato, io e la collega della classe parallela abbiamo dedicato tempo al calcolo sia orale che scritto (algoritmi) per esplicitare i meccanismi che ogni bambino da sempre utilizzava e li abbiamo chiamati col loro nome: proprietà delle operazioni.

Arrivati alla divisione, abbiamo ripassato la proprietà invariantiva incontrata l’anno scorso. Abbiamo poi ripreso l’algoritmo della divisione: Dopo diversi tipi di divisione coi numeri interi, siamo passati ai numeri decimali, estendendo il procedimento. Insieme alla collega, ci siamo proposte di dare senso a questo caso.

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Particolarmente interessante è stato il caso 22,5 : 0,25 = 90

Ho chiesto ai ragazzi di eseguire la divisione. Hanno applicato la proprietà invariantiva moltiplicando dividendo e divisore x 100, che fin dall’anno scorso avevamo utilizzato.

Quando hanno ottenuto il risultato 90, ho chiesto loro di osservare il quoto. Una bimba ha esclamato: “Ma è impossibile! È più grande del divisore! Non l’abbiamo mai visto nelle altre divisioni!”

Richiamo una situazioni tra interi: “ho 18 caramelle da distribuire a 6 bambini, quante ne dò a ciascuno?», in cui si ottiene 3, che non può essere maggiore di 18. Chiedo se nel nostro caso sarà proprio impossibile. Molti bambini pensavano di si.

Per chiarire, pongo la domanda: cosa significa 0,25? Che numero è?

Rispondono “è il divisore” oppure “è un numero decimale” , risposte giuste ma piuttosto vaghe ...... io incalzo : “Dove lo potete trovare ?” Dopo un attimo di imbarazzo qualcuno ipotizza “sul righello, sono 2 mm e mezzo

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“Perchè 0,....?”

Risposta: “perchè è 0 cm e 2 mm e mezzo”

Incalzo: “Nell’esercizio però non si parla di cm ....”

Risposta: “è un n° minore di 1!”

Domanda: “Di quanto ?”

“Di 0,75!” Ma a questo punto qualcuno intuisce che potrebbe essere ¼ di 1.

Giunti a questo punto, siamo arrivati a dire che 0,25 x 4 = 1 , quindi la proprietà invariantiva si poteva applicare moltiplicando entrambi i termini della divisione x 4 e non solo x100 come tutti avevano fatto prima.

Quindi: 22,5 : 0,25 = (22,5 x 4) : (0,25 x 4) = 90 : 1 = 90

Rimaneva però la domanda: “perchè il quoto viene maggiore del divisore?” A questo punto qualcuno ha intuito che se in 1 , ¼ ci sta 4 volte, in 22,5 le volte erano 90.

Nella lezione successiva ho chiesto di inventare problemi che si potessero risolvere con la stessa operazione : 22,5 : 0,25 = 90

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ABBIAMO 22 TAVOLETTE DI CIOCCOLATO E MEZZO, PER DARNE A TUTTI I BAMBINI DI UNA SCUOLA MATERNA DOBBIAMO DIVIDERE LE CIOCCOLATE INTERE IN 4 PARTI. QUANTI SONO I BAMBINI CHE NE MANGERANNO?

“ Ma tu, per risolvere questo problema, scriveresti questa operazione?” “No” è stata la risposta corale (e non solo sua!).

“Come lo risolvereste allora?”

Risposta “Questo problema è meglio risolverlo col disegno e le frazioni”

Sofia interviene dicendo che forse è meglio parlare di soldi e di rate da versare, ed ecco il secondo testo:

GIULIA DEVE PAGARE UNA SOMMA DI 22,5 € , QUANTE RATE DI 0,25 € DOVRÀ VERSARE?

li incalzo: “Questo lo risolveresti con un’operazione scritta come sopra?”

“Si” è la risposta corale. “Ne siete proprio sicuri, cosa mi dicono quei numeri?” Finalmente qualcuno mi dice che ci vogliono le marche, altrimenti non si capisce di cosa si parla e serve anche la rispostina”

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Li elogio e mi diverto:

“Ma nella realtà è possibile che per una somma di 22,5 € si debbano fare delle rate?”

Ridono: “Nooooo!”

Arriviamo ad un nuovo testo e alla soluzione, completa di marche :

HO A DISPOSIZIONE UNA SOMMA DI 22,5 €. QUANTE CARAMELLE DA 0,25 € POSSO ACQUISTARE?

€22,5 : €0,25 = 90 C. Caramelle da acquistare.

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Lo zero, ostacolo epistemologico

«Per moltiplicare un numero per 10, basta aggiungere uno zero a destra Prova: 12*10 = 120; 35*10 = 350»*

(ma non è una prova, perché non ci assicura su tutte le possibilità)

«Questa regola funziona in N, ma non in Q (razionali):

1,2* 10 = 1,20 ?? 0,35*10 = 350?? Non funziona!»*

Occorre distinguere le scritture con e senza virgola:

Se non c’è la virgola, va bene la frase precedente

Se c’è la virgola, occorre spostare la virgola di un posto a destra.

«Perfino negli anni finali della scuola superiore abbiamo sentito ragazzi accontentarsi della prima regola»*

* ) D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I, 2009, Zero. Aspetti concettuali e didattici, Erickson, Gardolo (Tn)

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Problema sulle frazioni

In una scuola secondaria di primo grado i 2/5 di tutti gli scolari

frequentano la prima classe, 1/3 la seconda e 68 la terza. Quanti sono

gli alunni della prima e quanti quelli della seconda?

svolgimento

2/5 = scolari che frequentano la prima classe

1/3 = scolari che frequentano la seconda classe

68 = alunni che frequentano la terza classe

? = quanti sono gli alunni della prima e della seconda?

Nota: i dati hanno tutti la stessa natura?

(68 : 5) * 2 = 13 * 2 = 26 prima classe

(68 : 3) *1 = 22 * 1 = 22 seconda classe

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Commento

La scrittura dei dati è scorretta: le frazioni assegnate non sono numeri ma

operatori, è indispensabile indicare l’oggetto su cui ciascuna di esse opera.

Senza questa indicazione si scivola nell’errore: le frazioni sono state

applicate non al numero complessivo degli scolari (che essendo incognito,

rende impossibile un procedimento diretto), ma all’unico numero presente

(allievi di terza).

Il bambino applica il procedimento diretto, in cui desidera incapsulare il

problema. Forse non si rende conto di non rispettare la situazione proposta

dal testo o forse non si preoccupa del significato, gli basta trovare una via per

fare delle operazioni (contratto didattico)

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Dopo la svista fatta, dimostra di mancare di strumenti di controllo sul testo.

La consapevolezza diminuisce anche perché il bambino non scrive esplicitamente

i motivi dei passi del suo procedimento. Questo rende fragile la sua riflessione e

carente il controllo sul percorso che sta elaborando. Potremmo dire che la

mancanza di accuratezza nel linguaggio lo priva di riflessione metacognitiva.

La rappresentazione e la spiegazione dei passi fatti avrebbero facilitato il

riconoscimento dell’oggetto considerato come unitario ed il conseguente

controllo sul procedimento.

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Occorreva pensare non solo ai dati numerici, ma alle informazioni nella loro completezza. Lo avrebbe avviato per la giusta via una rappresentazione qualitativa della situazione, che è una partizione di un insieme. Ad esempio:

--------------*-------------*-------------------- numero complessivo di scolari

prima parte: classe prima (2/5 di tutti)

seconda parte: classe seconda (1/3 di tutti)

terza parte: classe terza (68 scolari)

Scopo: conoscere la quantità numerica della parte rossa, insieme complementare dell’ultima parte (nota). Per fare questo bisogna identificare un’opportuna suddivisione di tutto l’insieme in parti frazionarie.

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Prevenire gli errori

Compito dell’insegnante:

prevenire gli errori più comuni sottoponendo all’attenzione dei bambini

esempi che mettano in evidenza la diversità della struttura dei nuovi

insiemi di numeri ed i diversi significati coinvolti.

Utilizzare problemi, rappresentazioni, narrazione, discussione.

Alternare il lavoro comune e il lavoro singolo.

Chiedere di esplicitare le ragioni dei passaggi eseguiti.

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Bibliografia

1) Baruk S., 1998, Dizionario di matematica elementare, Zanichelli

2) C.Chamorro 2003, Didactica de las mathematicas para primaria, Pearson, Madrid

3) D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I., Marazzani I., Sbaragli S., 2008, La didattica e le difficoltà di apprendimento, Erickson, Gardolo (TN)

4) D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I, 2009, Zero. Aspetti concettuali e didattici, Erickson, Gardolo (Tn)

5) Fandiño Pinilla M.I., 2005, Le frazioni, aspetti concettuali e didattici, Pitagora

6) Fañdino Pinilla M.I., 2008, Santi G., Sbaragli S., Insegnamento e apprendimento delle frazioni in aula. Ricerche, prospettive ed esperienze, Archetipolibri, Bologna

7) Kline M., 1985, Matematica, la perdita della certezza, Mondadori, Milano

8) Llinares S., Fracciones, decimales y razòn, 2003, in C.Chamorro 2003,

9) Longo A.P.,2005, L’insegnamento delle frazioni, in Roletto E., La scuola dell’apprendimento(didattiche disciplinari, modelli e applicazioni operative), Erickson, Trento, pag.235-261

10) Moreschi M., Questioni storiche e didattiche connesse alle frazioni. Tesi di laurea in matematica, Università di Bologna, 2011-2012 Relatore prof. Giorgio Bolondi

11) Pellerey M., 2003, Matematica per competenze. Algebra, SEI, Torino

12) Vergnaud G., 1994,Il bambino, la matematica, la realtà, Armando, Roma

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