I numeri naturali, interi, razionali e reali

Lezione per Studenti di AgrariaUniversita di Bologna

(Universita di Bologna) I numeri naturali, interi, razionali e reali 1 / 19

La matematica che studiamo in questo corso, riguarda e usa le proprietadei numeri reali.

Per capire quanto apprenderemo nel nostro corso si deve dapprima capirecosa diversifica i numeri reali da altri tipi di numeri che si usano ognigiorno.

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La matematica che studiamo in questo corso, riguarda e usa le proprietadei numeri reali.

Per capire quanto apprenderemo nel nostro corso si deve dapprima capirecosa diversifica i numeri reali da altri tipi di numeri che si usano ognigiorno.

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I numeri naturali

I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.

Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeriin successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano leproprieta cruciali dei naturali numeri :

c’e un primo numero naturale,

per ogni numero naturale, c’e il numero naturale successivo, o in altreparole, un successore.

Nessun numero naturale e il suo successore.

Nessun numero naturale ha piu di un successore.

Nessun numero naturale e il successore di piu di un numero naturale.

Solamente il numero 1 non e il successore di alcun numero naturale.

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I numeri naturali

I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeriin successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano leproprieta cruciali dei naturali numeri :

c’e un primo numero naturale,

per ogni numero naturale, c’e il numero naturale successivo, o in altreparole, un successore.

Nessun numero naturale e il suo successore.

Nessun numero naturale ha piu di un successore.

Nessun numero naturale e il successore di piu di un numero naturale.

Solamente il numero 1 non e il successore di alcun numero naturale.

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I numeri naturali

I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeriin successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano leproprieta cruciali dei naturali numeri :

c’e un primo numero naturale,

per ogni numero naturale, c’e il numero naturale successivo, o in altreparole, un successore.

Nessun numero naturale e il suo successore.

Nessun numero naturale ha piu di un successore.

Nessun numero naturale e il successore di piu di un numero naturale.

Solamente il numero 1 non e il successore di alcun numero naturale.

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I numeri naturali

I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeriin successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano leproprieta cruciali dei naturali numeri :

c’e un primo numero naturale,

per ogni numero naturale, c’e il numero naturale successivo, o in altreparole, un successore.

Nessun numero naturale e il suo successore.

Nessun numero naturale ha piu di un successore.

Nessun numero naturale e il successore di piu di un numero naturale.

Solamente il numero 1 non e il successore di alcun numero naturale.

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I numeri naturali

I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeriin successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano leproprieta cruciali dei naturali numeri :

c’e un primo numero naturale,

per ogni numero naturale, c’e il numero naturale successivo, o in altreparole, un successore.

Nessun numero naturale e il suo successore.

Nessun numero naturale ha piu di un successore.

Nessun numero naturale e il successore di piu di un numero naturale.

Solamente il numero 1 non e il successore di alcun numero naturale.

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I numeri naturali

I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeriin successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano leproprieta cruciali dei naturali numeri :

c’e un primo numero naturale,

per ogni numero naturale, c’e il numero naturale successivo, o in altreparole, un successore.

Nessun numero naturale e il suo successore.

Nessun numero naturale ha piu di un successore.

Nessun numero naturale e il successore di piu di un numero naturale.

Solamente il numero 1 non e il successore di alcun numero naturale.

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I numeri naturali

I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeriin successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano leproprieta cruciali dei naturali numeri :

c’e un primo numero naturale,

per ogni numero naturale, c’e il numero naturale successivo, o in altreparole, un successore.

Nessun numero naturale e il suo successore.

Nessun numero naturale ha piu di un successore.

Nessun numero naturale e il successore di piu di un numero naturale.

Solamente il numero 1 non e il successore di alcun numero naturale.

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I numeri naturali

I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo.Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeriin successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano leproprieta cruciali dei naturali numeri :

c’e un primo numero naturale,

per ogni numero naturale, c’e il numero naturale successivo, o in altreparole, un successore.

Nessun numero naturale e il suo successore.

Nessun numero naturale ha piu di un successore.

Nessun numero naturale e il successore di piu di un numero naturale.

Solamente il numero 1 non e il successore di alcun numero naturale.

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I numeri naturali sono come una scala.

Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da ungradino al successivo, allora si puo raggiungere ogni gradino.

Questo e la idea base del principio di induzione, che permette di studiaremolte proprieta dei numeri naturali.

L’insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N

N= {1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

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I numeri naturali sono come una scala.

Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da ungradino al successivo, allora si puo raggiungere ogni gradino.

Questo e la idea base del principio di induzione, che permette di studiaremolte proprieta dei numeri naturali.

L’insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N

N= {1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

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I numeri naturali sono come una scala.

Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da ungradino al successivo, allora si puo raggiungere ogni gradino.

Questo e la idea base del principio di induzione, che permette di studiaremolte proprieta dei numeri naturali.

L’insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N

N= {1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

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I numeri naturali sono come una scala.

Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da ungradino al successivo, allora si puo raggiungere ogni gradino.

Questo e la idea base del principio di induzione, che permette di studiaremolte proprieta dei numeri naturali.

L’insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N

N= {1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

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I numeri naturali sono come una scala.

Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da ungradino al successivo, allora si puo raggiungere ogni gradino.

Questo e la idea base del principio di induzione, che permette di studiaremolte proprieta dei numeri naturali.

L’insieme dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N

N= {1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

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Operazioni tra numeri naturali

Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altronumero naturale.

La sottrazione, invece, non e sempre possibile tra numeri naturali.Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.

Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numeronaturale.

Per la divisione, questo non e sempre vero.Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.

Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturalinon sono adeguati.

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Operazioni tra numeri naturali

Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altronumero naturale.

La sottrazione, invece, non e sempre possibile tra numeri naturali.Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.

Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numeronaturale.

Per la divisione, questo non e sempre vero.Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.

Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturalinon sono adeguati.

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Operazioni tra numeri naturali

Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altronumero naturale.

La sottrazione, invece, non e sempre possibile tra numeri naturali.

Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.

Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numeronaturale.

Per la divisione, questo non e sempre vero.Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.

Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturalinon sono adeguati.

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Operazioni tra numeri naturali

Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altronumero naturale.

La sottrazione, invece, non e sempre possibile tra numeri naturali.Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.

Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numeronaturale.

Per la divisione, questo non e sempre vero.Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.

Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturalinon sono adeguati.

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Operazioni tra numeri naturali

Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altronumero naturale.

La sottrazione, invece, non e sempre possibile tra numeri naturali.Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.

Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numeronaturale.

Per la divisione, questo non e sempre vero.Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.

Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturalinon sono adeguati.

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Operazioni tra numeri naturali

Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altronumero naturale.

La sottrazione, invece, non e sempre possibile tra numeri naturali.Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.

Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numeronaturale.

Per la divisione, questo non e sempre vero.

Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.

Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturalinon sono adeguati.

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Operazioni tra numeri naturali

Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altronumero naturale.

La sottrazione, invece, non e sempre possibile tra numeri naturali.Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.

Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numeronaturale.

Per la divisione, questo non e sempre vero.Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.

Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturalinon sono adeguati.

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Operazioni tra numeri naturali

Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altronumero naturale.

La sottrazione, invece, non e sempre possibile tra numeri naturali.Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale.

Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numeronaturale.

Per la divisione, questo non e sempre vero.Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale.

Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturalinon sono adeguati.

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I numeri interi

Primo rimedio

Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numerinaturali, lo zero e i numeri negativi.

Si ottengono in questo modo i numeri interi.

L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z

Z= {. . . . . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendonofacilmente ai numeri interi.

Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’e piu un primo numero:l’insieme degli interi non ha minimo.Sicuramente pero si puo sottrarre ogni intero da ogni altro intero eottenere ancora come risultato un intero.

Anche se e difficile avere −5 mele, chiunque ha sperimentato unatemperatura inferiore di −3 gradi centigradi.

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I numeri interi

Primo rimedio

Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numerinaturali, lo zero e i numeri negativi.

Si ottengono in questo modo i numeri interi.

L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z

Z= {. . . . . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendonofacilmente ai numeri interi.

Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’e piu un primo numero:l’insieme degli interi non ha minimo.Sicuramente pero si puo sottrarre ogni intero da ogni altro intero eottenere ancora come risultato un intero.

Anche se e difficile avere −5 mele, chiunque ha sperimentato unatemperatura inferiore di −3 gradi centigradi.

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I numeri interi

Primo rimedio

Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numerinaturali, lo zero e i numeri negativi.

Si ottengono in questo modo i numeri interi.

L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z

Z= {. . . . . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendonofacilmente ai numeri interi.

Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’e piu un primo numero:l’insieme degli interi non ha minimo.Sicuramente pero si puo sottrarre ogni intero da ogni altro intero eottenere ancora come risultato un intero.

Anche se e difficile avere −5 mele, chiunque ha sperimentato unatemperatura inferiore di −3 gradi centigradi.

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I numeri interi

Primo rimedio

Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numerinaturali, lo zero e i numeri negativi.

Si ottengono in questo modo i numeri interi.

L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z

Z= {. . . . . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendonofacilmente ai numeri interi.

Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’e piu un primo numero:l’insieme degli interi non ha minimo.Sicuramente pero si puo sottrarre ogni intero da ogni altro intero eottenere ancora come risultato un intero.

Anche se e difficile avere −5 mele, chiunque ha sperimentato unatemperatura inferiore di −3 gradi centigradi.

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I numeri interi

Primo rimedio

Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numerinaturali, lo zero e i numeri negativi.

Si ottengono in questo modo i numeri interi.

L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z

Z= {. . . . . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendonofacilmente ai numeri interi.

Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’e piu un primo numero:l’insieme degli interi non ha minimo.Sicuramente pero si puo sottrarre ogni intero da ogni altro intero eottenere ancora come risultato un intero.

Anche se e difficile avere −5 mele, chiunque ha sperimentato unatemperatura inferiore di −3 gradi centigradi.

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I numeri interi

Primo rimedio

Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numerinaturali, lo zero e i numeri negativi.

Si ottengono in questo modo i numeri interi.

L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z

Z= {. . . . . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendonofacilmente ai numeri interi.

Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’e piu un primo numero:l’insieme degli interi non ha minimo.Sicuramente pero si puo sottrarre ogni intero da ogni altro intero eottenere ancora come risultato un intero.

Anche se e difficile avere −5 mele, chiunque ha sperimentato unatemperatura inferiore di −3 gradi centigradi.

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I numeri interi

Primo rimedio

Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numerinaturali, lo zero e i numeri negativi.

Si ottengono in questo modo i numeri interi.

L’insieme dei numeri interi viene indicato con il simbolo Z

Z= {. . . . . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . ,n, . . . . . .}

L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendonofacilmente ai numeri interi.

Ogni numero ha ancora un successore, ma non c’e piu un primo numero:l’insieme degli interi non ha minimo.Sicuramente pero si puo sottrarre ogni intero da ogni altro intero eottenere ancora come risultato un intero.

Anche se e difficile avere −5 mele, chiunque ha sperimentato unatemperatura inferiore di −3 gradi centigradi.

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I numeri razionali

Secondo rimedio

Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numerirazionali, cioe frazioni (i numeri decimali periodici)

Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione siestendono facilmente a questo sistema espanso.

Dobbiamo pero abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore.

Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale(tranne zero) e ottenere come risultato un razionale .

L’insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q

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I numeri razionali

Secondo rimedio

Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numerirazionali, cioe frazioni (i numeri decimali periodici)

Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione siestendono facilmente a questo sistema espanso.

Dobbiamo pero abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore.

Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale(tranne zero) e ottenere come risultato un razionale .

L’insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q

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I numeri razionali

Secondo rimedio

Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numerirazionali, cioe frazioni (i numeri decimali periodici)

Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione siestendono facilmente a questo sistema espanso.

Dobbiamo pero abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore.

Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale(tranne zero) e ottenere come risultato un razionale .

L’insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q

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I numeri razionali

Secondo rimedio

Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numerirazionali, cioe frazioni (i numeri decimali periodici)

Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione siestendono facilmente a questo sistema espanso.

Dobbiamo pero abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore.

Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale(tranne zero) e ottenere come risultato un razionale .

L’insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q

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I numeri razionali

Secondo rimedio

Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numerirazionali, cioe frazioni (i numeri decimali periodici)

Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione siestendono facilmente a questo sistema espanso.

Dobbiamo pero abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore.

Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale(tranne zero) e ottenere come risultato un razionale .

L’insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q

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I numeri razionali

Secondo rimedio

Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numerirazionali, cioe frazioni (i numeri decimali periodici)

Di nuovo l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione siestendono facilmente a questo sistema espanso.

Dobbiamo pero abbandonare l’idea che ogni numero abbia un successore.

Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale(tranne zero) e ottenere come risultato un razionale .

L’insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q

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Proprieta d’ordine

Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore dio minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estendefacilmente agli interi e ai razionali.

Si puo quindi dire quando un numero e compreso tra altri due.

Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali e un successore dell’altro,ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numerointero tra di essi.

Ma nei razionali c’e un numero tra ogni due numeri razionali distinti, adesempio la loro media aritmetica.Di piu, ce ne sono infiniti.

Questa proprieta e chiamata densita di Q.

Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto viciniquanto si vuole.

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Proprieta d’ordine

Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore dio minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estendefacilmente agli interi e ai razionali.

Si puo quindi dire quando un numero e compreso tra altri due.

Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali e un successore dell’altro,ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numerointero tra di essi.

Ma nei razionali c’e un numero tra ogni due numeri razionali distinti, adesempio la loro media aritmetica.Di piu, ce ne sono infiniti.

Questa proprieta e chiamata densita di Q.

Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto viciniquanto si vuole.

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Proprieta d’ordine

Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore dio minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estendefacilmente agli interi e ai razionali.

Si puo quindi dire quando un numero e compreso tra altri due.

Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali e un successore dell’altro,ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numerointero tra di essi.

Ma nei razionali c’e un numero tra ogni due numeri razionali distinti, adesempio la loro media aritmetica.

Di piu, ce ne sono infiniti.

Questa proprieta e chiamata densita di Q.

Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto viciniquanto si vuole.

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Proprieta d’ordine

Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore dio minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estendefacilmente agli interi e ai razionali.

Si puo quindi dire quando un numero e compreso tra altri due.

Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali e un successore dell’altro,ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numerointero tra di essi.

Ma nei razionali c’e un numero tra ogni due numeri razionali distinti, adesempio la loro media aritmetica.Di piu, ce ne sono infiniti.

Questa proprieta e chiamata densita di Q.

Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto viciniquanto si vuole.

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Proprieta d’ordine

Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore dio minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estendefacilmente agli interi e ai razionali.

Si puo quindi dire quando un numero e compreso tra altri due.

Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali e un successore dell’altro,ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numerointero tra di essi.

Ma nei razionali c’e un numero tra ogni due numeri razionali distinti, adesempio la loro media aritmetica.Di piu, ce ne sono infiniti.

Questa proprieta e chiamata densita di Q.

Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto viciniquanto si vuole.

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Proprieta d’ordine

Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore dio minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estendefacilmente agli interi e ai razionali.

Si puo quindi dire quando un numero e compreso tra altri due.

Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali e un successore dell’altro,ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numerointero tra di essi.

Ma nei razionali c’e un numero tra ogni due numeri razionali distinti, adesempio la loro media aritmetica.Di piu, ce ne sono infiniti.

Questa proprieta e chiamata densita di Q.

Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto viciniquanto si vuole.

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Proprieta d’ordine

Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore dio minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estendefacilmente agli interi e ai razionali.

Si puo quindi dire quando un numero e compreso tra altri due.

Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali e un successore dell’altro,ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numerointero tra di essi.

Ma nei razionali c’e un numero tra ogni due numeri razionali distinti, adesempio la loro media aritmetica.Di piu, ce ne sono infiniti.

Questa proprieta e chiamata densita di Q.

Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto viciniquanto si vuole.

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I numeri razionali non bastano

Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanzautili.

Si puo operare su due razionali con tutte e quattro le operazioni, e conl’eccezione di dividere per zero, si ottiene un altro razionale.

Se si vuole operare con funzioni quali radice quadrata o se si vuolesemplicemente calcolare la lunghezza di una circonferenza o l’area di uncerchio, i razionali non sono piu sufficienti.

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I numeri razionali non bastano

Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanzautili.

Si puo operare su due razionali con tutte e quattro le operazioni, e conl’eccezione di dividere per zero, si ottiene un altro razionale.

Se si vuole operare con funzioni quali radice quadrata o se si vuolesemplicemente calcolare la lunghezza di una circonferenza o l’area di uncerchio, i razionali non sono piu sufficienti.

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I numeri razionali non bastano

Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanzautili.

Si puo operare su due razionali con tutte e quattro le operazioni, e conl’eccezione di dividere per zero, si ottiene un altro razionale.

Se si vuole operare con funzioni quali radice quadrata o se si vuolesemplicemente calcolare la lunghezza di una circonferenza o l’area di uncerchio, i razionali non sono piu sufficienti.

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I decimali finitiSe si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che siconsiderano i decimali:1,4 = 1+ 4

10

Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che siconsiderano i centesimi:1,41 = 1+ 41

100

Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola:1,414 = 1+ 414

1000

e cosı via.

In generale se un decimale occupa sino all’n-esimo posto dopo la virgola,dobbiamo fare una divisione usando le cifre a destra della virgola poste alnumeratore e 10n come denominatore. Cosı si capisce immediatamenteche i numeri decimali finiti sono tutti numeri razionali.

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I decimali finitiSe si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che siconsiderano i decimali:1,4 = 1+ 4

10

Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che siconsiderano i centesimi:1,41 = 1+ 41

100

Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola:1,414 = 1+ 414

1000

e cosı via.

In generale se un decimale occupa sino all’n-esimo posto dopo la virgola,dobbiamo fare una divisione usando le cifre a destra della virgola poste alnumeratore e 10n come denominatore. Cosı si capisce immediatamenteche i numeri decimali finiti sono tutti numeri razionali.

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I decimali finitiSe si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che siconsiderano i decimali:1,4 = 1+ 4

10

Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che siconsiderano i centesimi:1,41 = 1+ 41

100

Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola:1,414 = 1+ 414

1000

e cosı via.

In generale se un decimale occupa sino all’n-esimo posto dopo la virgola,dobbiamo fare una divisione usando le cifre a destra della virgola poste alnumeratore e 10n come denominatore. Cosı si capisce immediatamenteche i numeri decimali finiti sono tutti numeri razionali.

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I decimali finitiSe si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che siconsiderano i decimali:1,4 = 1+ 4

10

Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che siconsiderano i centesimi:1,41 = 1+ 41

100

Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola:1,414 = 1+ 414

1000

e cosı via.

In generale se un decimale occupa sino all’n-esimo posto dopo la virgola,dobbiamo fare una divisione usando le cifre a destra della virgola poste alnumeratore e 10n come denominatore. Cosı si capisce immediatamenteche i numeri decimali finiti sono tutti numeri razionali.

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I decimali finitiSe si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto significa che siconsiderano i decimali:1,4 = 1+ 4

10

Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto significa che siconsiderano i centesimi:1,41 = 1+ 41

100

Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola:1,414 = 1+ 414

1000

e cosı via.

In generale se un decimale occupa sino all’n-esimo posto dopo la virgola,dobbiamo fare una divisione usando le cifre a destra della virgola poste alnumeratore e 10n come denominatore. Cosı si capisce immediatamenteche i numeri decimali finiti sono tutti numeri razionali.

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I decimali periodiciNon tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.

Il numero 13 e chiaramente un razionale, ma non puo essere espresso

mediante un decimale finito; si puo scrivere come un decimale infinito lecui cifre si ripetono: 1,33333....(1, 3).Qua entra il concetto di limite. Si puo troncate la successione di 3 ad ognipunto e ottenere:310

33100

3331000

333310000 ...

Questa successione ha un limite e il suo limite e esattamente 13 .

E non e la sola successione di razionali che converge a 13 .

Ecco due altre successioni che convergono ad 13 :

410

34100

3341000

333410000 ... , 1

4516

2164

85256

3411024 ...

Ogni numero razionale puo essere scritto o come un decimale finito, ocome decimale infinito periodico.

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I decimali periodiciNon tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.Il numero 1

3 e chiaramente un razionale, ma non puo essere espressomediante un decimale finito; si puo scrivere come un decimale infinito lecui cifre si ripetono: 1,33333....(1, 3).Qua entra il concetto di limite. Si puo troncate la successione di 3 ad ognipunto e ottenere:310

33100

3331000

333310000 ...

Questa successione ha un limite e il suo limite e esattamente 13 .

E non e la sola successione di razionali che converge a 13 .

Ecco due altre successioni che convergono ad 13 :

410

34100

3341000

333410000 ... , 1

4516

2164

85256

3411024 ...

Ogni numero razionale puo essere scritto o come un decimale finito, ocome decimale infinito periodico.

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I decimali periodiciNon tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.Il numero 1

3 e chiaramente un razionale, ma non puo essere espressomediante un decimale finito; si puo scrivere come un decimale infinito lecui cifre si ripetono: 1,33333....(1, 3).Qua entra il concetto di limite. Si puo troncate la successione di 3 ad ognipunto e ottenere:310

33100

3331000

333310000 ...

Questa successione ha un limite e il suo limite e esattamente 13 .

E non e la sola successione di razionali che converge a 13 .

Ecco due altre successioni che convergono ad 13 :

410

34100

3341000

333410000 ... , 1

4516

2164

85256

3411024 ...

Ogni numero razionale puo essere scritto o come un decimale finito, ocome decimale infinito periodico.

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I decimali periodiciNon tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.Il numero 1

3 e chiaramente un razionale, ma non puo essere espressomediante un decimale finito; si puo scrivere come un decimale infinito lecui cifre si ripetono: 1,33333....(1, 3).Qua entra il concetto di limite. Si puo troncate la successione di 3 ad ognipunto e ottenere:310

33100

3331000

333310000 ...

Questa successione ha un limite e il suo limite e esattamente 13 .

E non e la sola successione di razionali che converge a 13 .

Ecco due altre successioni che convergono ad 13 :

410

34100

3341000

333410000 ... , 1

4516

2164

85256

3411024 ...

Ogni numero razionale puo essere scritto o come un decimale finito, ocome decimale infinito periodico.

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I decimali periodiciNon tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.Il numero 1

3 e chiaramente un razionale, ma non puo essere espressomediante un decimale finito; si puo scrivere come un decimale infinito lecui cifre si ripetono: 1,33333....(1, 3).Qua entra il concetto di limite. Si puo troncate la successione di 3 ad ognipunto e ottenere:310

33100

3331000

333310000 ...

Questa successione ha un limite e il suo limite e esattamente 13 .

E non e la sola successione di razionali che converge a 13 .

Ecco due altre successioni che convergono ad 13 :

410

34100

3341000

333410000 ... , 1

4516

2164

85256

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Ogni numero razionale puo essere scritto o come un decimale finito, ocome decimale infinito periodico.

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I decimali periodiciNon tutti i razionali possono essere espressi come decimali finiti.Il numero 1

3 e chiaramente un razionale, ma non puo essere espressomediante un decimale finito; si puo scrivere come un decimale infinito lecui cifre si ripetono: 1,33333....(1, 3).Qua entra il concetto di limite. Si puo troncate la successione di 3 ad ognipunto e ottenere:310

33100

3331000

333310000 ...

Questa successione ha un limite e il suo limite e esattamente 13 .

E non e la sola successione di razionali che converge a 13 .

Ecco due altre successioni che convergono ad 13 :

410

34100

3341000

333410000 ... , 1

4516

2164

85256

3411024 ...

Ogni numero razionale puo essere scritto o come un decimale finito, ocome decimale infinito periodico.

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I decimali non periodici e i numeri reali

I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali

I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppureinfinita e periodica sono i numeri razionali,quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali.

I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunquerappresentazione decimale.

L’insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R

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I decimali non periodici e i numeri reali

I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali

I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppureinfinita e periodica sono i numeri razionali,quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali.

I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunquerappresentazione decimale.

L’insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R

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I decimali non periodici e i numeri reali

I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali

I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppureinfinita e periodica sono i numeri razionali,

quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali.

I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunquerappresentazione decimale.

L’insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R

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I decimali non periodici e i numeri reali

I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali

I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppureinfinita e periodica sono i numeri razionali,quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali.

I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunquerappresentazione decimale.

L’insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R

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I decimali non periodici e i numeri reali

I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali

I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppureinfinita e periodica sono i numeri razionali,quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali.

I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunquerappresentazione decimale.

L’insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R

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I decimali non periodici e i numeri reali

I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali

I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppureinfinita e periodica sono i numeri razionali,quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali.

I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunquerappresentazione decimale.

L’insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R

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I numeri irrazionali

Tra i numeri irrazionali ve ne sono alcuni molto famosi ed importanti:√2,π,e.

I primi due sono ben noti dalle scuole superiori, il numero e e anchechiamato numero di Nepero ed e il imite della successione: (1+ 1

n)n.

Calcoliamo qualche termine di questa successione:

n (1+ 1n)

n valore numerico

1 (1+1)1 22 (1+ 1

2)2 9

4 = 2,2510 (1+ 1

10)10 1,110 = 2,59..

100 (1+ 1100)

100 1,01100 = 2,70..1000 (1+ 1

1000)1000 1,0011000 = 2,716..

10000 (1+ 110000)

10000 1,000110000 = 2,718..

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Valore assoluto di un numero realeSe a e un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a e un numeroreale non negativo, che indichiamo con |a|.

|a|= a se a≥ 0, pause

|a|=−a se a < 0.

ad esempio |− 54 |=

54 .

Avremo spesso a che fare con il modulo di una espressione, ad esempio3− x. Si avra:

|3− x|={

3− x, se x≤ 3;x−3, se x > 3.

Notiamo che |3− x|= |x−3|, visto che l’unica differenza nella definizionesi ha per x = 3, ma in questo caso x−3 = 3− x = 0

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Valore assoluto di un numero realeSe a e un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a e un numeroreale non negativo, che indichiamo con |a|.

|a|= a se a≥ 0, pause

|a|=−a se a < 0.

ad esempio |− 54 |=

54 .

Avremo spesso a che fare con il modulo di una espressione, ad esempio3− x. Si avra:

|3− x|={

3− x, se x≤ 3;x−3, se x > 3.

Notiamo che |3− x|= |x−3|, visto che l’unica differenza nella definizionesi ha per x = 3, ma in questo caso x−3 = 3− x = 0

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Valore assoluto di un numero realeSe a e un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a e un numeroreale non negativo, che indichiamo con |a|.

|a|= a se a≥ 0, pause

|a|=−a se a < 0.

ad esempio |− 54 |=

54 .

Avremo spesso a che fare con il modulo di una espressione, ad esempio3− x. Si avra:

|3− x|={

3− x, se x≤ 3;x−3, se x > 3.

Notiamo che |3− x|= |x−3|, visto che l’unica differenza nella definizionesi ha per x = 3, ma in questo caso x−3 = 3− x = 0

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Valore assoluto di un numero realeSe a e un numero reale, il modulo (o valore assoluto) di a e un numeroreale non negativo, che indichiamo con |a|.

|a|= a se a≥ 0, pause

|a|=−a se a < 0.

ad esempio |− 54 |=

54 .

Avremo spesso a che fare con il modulo di una espressione, ad esempio3− x. Si avra:

|3− x|={

3− x, se x≤ 3;x−3, se x > 3.

Notiamo che |3− x|= |x−3|, visto che l’unica differenza nella definizionesi ha per x = 3, ma in questo caso x−3 = 3− x = 0

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Sistema di ascisse sulla retta realeSu una retta si fissa un sistema di riferimento considerando:

un punto O (origine) a cui si associa il valore 0a destra di O, un altro punto che chiamiamo U (punto unita) e cui siassocia il valore 1

Il segmento OU e la unita di misura del sistema fissato.In questo modo viene definita una corrispondenza biunivoca fra tutti ipunti della retta ed i numeri reali, nel senso che ad ogni punto di tale rettacorrisponde uno e un solo numero reale.Tale numero(detto detto ascissa del punto) in valore assoluto individua ladistanza dall’origine nell’unita di misura scelta,inoltre e positivo se ilpunto si trova a destra di O e negativa altrimenti.Viceversa, ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto dellaretta euclidea.Di conseguenza, identificheremo la retta euclidea ed il campo dei numerireali R.

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Intervalli reali

Si chiamano intervalli i seguenti sottoinsiemi di R:

(a,b) = {x ∈ R tali che a < x < b} intervallo limitato aperto.

[a,b] = {x ∈ R tali che a≤ x≤ b} intervallo limitato chiuso.

[a,b) = {x ∈ R tali che a≤ x < b} intervallo limitato chiuso asinistra (e aperto a destra).

(−∞,b) = {x ∈ R tali che x < b } intervallo aperto illimitato (asinistra) o semiretta inferiore aperta.

[a,+∞) = {x ∈ R tali che x≥ a} intervallo chiuso illimitato (adestra) o semiretta superiore chiusa.

(a,b],(−∞,b],(a,+∞) sono definiti analogamente.

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Le coordinate cartesiane sul piano

R2 e l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali e la suarappresentazione geometrica e il piano.Il sistema piu ampiamente usato nel piano e quello delle coordinatecartesiane, basato su un insieme di assi perpendicolari tra loro. Questecoordinate prendono il nome da Rene Descartes (Cartesio), un filosofo escienziato francese che nel ’600 ideo un modo di ”etichettare” ogni puntodi un piano con una coppia di numeri. Il sistema e basato su 2 linee rette(”assi”), perpendicolari tra loro, su ciascuna delle quali e fissato unsistema di ascisse, con origine nel punto in cui esse si incontrano e con lastessa unita di misura.

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L’ascissa sull’asse orizzontale e indicata con la lettera x, e sull’altro assecon y. Dato quindi un punto P, si tracciano da esso le parallele agli assi, ei valori x e y sulle intersezioni definiscono completamente il punto. Inonore di Descartes (Cartesio), questo modo di etichettare i punti e notocome sistema cartesiano e i due numeri (x,y) che definiscono la posizionedi ogni punto sono le sue coordinate cartesiane.Nei grafici e spesso usato questo sistema, come pure sulle mappe.

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Piano cartesiano e quadrantiIl piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti,indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario:

I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive;II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinatapositiva;III quadrante: simmetrico al primo rispetto all’origine;IV quadrante: simmetrico al secondo rispetto all’origine.

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