Curiosità su numeri naturali consecutivi

come ottenere serie di quadrati, cubi, quarte potenze

senza moltiplicazioninumeri figurati

quadrati, triangolari, tetraedricifattoriali

tavola pitagorica

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 4 9 16 25 49

13

36

1 1+3

1+3+5

1+3+5+7

1+3+5+7+9

1+3+5+7+9+11

1+3+5+7+9+11+13

Sommando numeri consecutivi alternati si ottiene la serie dei quadratidei numeri in successione:Alfred Moessner

1 2 3 4 5 6 7

1 4 9 16 25 36 49

Selezionare numeri consecutivi alternati

Sommare numeri consecutivi alternati non selezionati:si ottiene la seriedei quadrati dei numeri consecutivi

1x1 2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

trattando numeri consecutivi modulo 3 si ottiene la serie dei cubidei numeri in successione

1 2 3 4 5

1 8 27 64 125

3 12 27 481 7 19 37 61

1 8 27 64 125

Selezionare numeri consecutivi modulo 3

Sommare come indicato numeri restanti ed evidenziare ultimo risultato per ogni blocco

1+2=3

1+2+4=7

1+2+4+5=12

1+2+4+5+7=19

1+2+4+5+7+8=27

1+2+4+5+7+8+10=37

1+2+4+5+7+8+10+11=48

1+2+4+5+7+8+10+11+13=61

Sommare numeri residui:si ottiene serie dei cubi

11+7=81+7+19=271+7+19+37=64

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

trattando numeri consecutivi modulo 4 si ottiene la serie delle quarte potenze dei numeri in successione

1 2 3 4

1 16 81 256

3 11 541 24 43 67

1

16

81

256

6 17 33

1 4 3215 10865 175

1 16 81 256

1+15 1+15+65 1+15+65+175

1x1x1x1=1

2x2x2x2=16

3x3x3x3=81

4x4x4x4=256

1

Numeri figuratirappresentabili con

immagini geometrichebi-tridimensionali

esempiquadrati

triangolaritetraedrici

pentagonali

1-3-5-7-9-11-13-15-17-19-21

1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1++3+5+7+9=25

Sommando interi dispari consecutivi si ottiene serie dei quadrati

Numeri poligonali:quadratiraffigurabili come quadrati

1+2=3

1+2+3=6

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

Numeri triangolari:somme di interi consecutivi raffigurabili come triangoli

12+1=33+2+1=64+3+2+1=105+4+3+2+1=156+5+4+3+2+1=21

Numeri triangolari

1! = 12! = 1x2 = 23! = 1x2x3 = 64! = 1x2x3x4 = 245! = 1x2x3x4x5 = 1206! = 1x2x3x4x5x6 = 7207! = 1x2x3x4x5x6x7 = 5040

e numeri fattoriali ricavabili

n(n+1)/2 Formula di Gauss

1(1+1)/2=1

2(2+1)/2=3

3(3+1)/2=64(4+1)/2=105(5+1)/2=156(6+1)/2=21

Numeri triangolariFormula di Gauss

n(n+1)/2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 6 11 18 26 35 46 58 71 85

6 24 50 96 154 225

24 120 274

120

2+4=62+4+5=112+4+5+7=182+4+5+7+8+9=352+4+5+7+8+9+11=462+4+5+7+8+9+11+12=582+4+5+7+8+9+11+12+13=712+4+5+7+8+9+11+12+13+14=85

Risultati somme seconda riga

6+0=66+18=246+18+26=506+18+26+46=966+18+26+46+58=1546+18+26+46+58+71=225

Risultati somma terza riga

24+0=2424+96=12024+96+154=274Risultati quarta riga

Numeri fattoriali =1, 2, 6, 24, 120

1!=12!=23!=64!=245!=120

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

10 20 30 40 50 60 70 80 90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tavola Pitagorica

Numeri quadrati o quadrati perfetti lungo la diagonale principale

12=1

22=4

32=9

42=16

52=25

Quadrati perfetti….

62=36

1+2=3

1+2+3=6

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

Numeri triangolari:somme di interi consecutivi raffigurabili come triangoli

Numeri triangolari e numeri tetraedrici

x 1 3 6 10 15 21

n 1 2 3 4 5 6

(n(n+1)/2) = x

Y 1 4 10 20 35 56

Y =( n(n+1)(n+2))/6

Numeri triangolari e numeri tetraedrici

x 1 3 6 10 15 21

n 1 2 3 4 5 6

(n(n+1)/2) = x

Y 1 4 10 20 35 56 Y =( n(n+1)(n+2))/6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

10 20 30 40 50 60 70 80 90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tavola Pitagorica e numeri tetraedrici

1 4 10 20 35 56 84 120 165

Numeri tetraedrici

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 6 = 10

Numeri triangolari: permettono costruzione immagine triangolare

1-3-6-10-15-21…..

1

36

10

1521

Numeri triangolari 1,3,6,10,15,21 –

primo,secondo,terzo,quarto,quinto,sesto, settimo.

1-2-3-4-5-6-7...

6 > 21

21 21 21+21 = 42

Il doppio di un numero triangolare = prodotto di due interi consecutivi

2*21 = 6*7

Triangolari consecutivi 3 – 6 ( secondo e terzo) 2 e 3

3

6

3+6 = 9 quadrato

La somma di due numeri triangolari consecutivi equivale a un quadrato

3 e 6 triangolari Interi dispari consecutivi 1, 3 ,5

Numeri quadrati: permettono immagini quadrangolari

1-4-9-16-25-36…

1

2>4

3 > 9

4 > 16

5 > 25

1-4-7-10-13-16-19.. Numeri poligonali pentagonali:raffigurabili come pentagoni

5-12-22-35..

1

1+4=5

1+4+7=12

Numeri figurati poligonali

Naturali 1 , 2 , 3 ..

Triangolari 1, 3, 6,10,15

Quadrati 1, 4, 9, 16 , 25

Pentagonali 1, 5, 12, 22, 35

Esagonali 1, 6, 15, 28, 45