Controlli Automatici I

LEZIONE II

Ingegneria Elettrica

Politecnico di Torino

Luca Carlone

Sommario – LEZIONE II

� Trasformata di Laplace

� Proprietà e trasformate notevoli

� Funzioni di trasferimento

� Scomposizione in fratti semplici

� Calcolo della risposta forzata

� Calcolo della risposta libera

� Calcolo della risposta di un sistema LTI

� Esempi ed esercizi numerici…

Trasformata di Laplace

� Associa la funzione di partenza di variabile reale (solitamente il tempo) ad una funzione di variabile complessa

� È uno strumento per la risoluzione e lo studio di equazioni differenziali lineari

� Esempio:

� Permette di trasformare operazioni di derivazione e integrazione in operazioni algebriche semplificando la trattazione matematica

( ) ( ) ( )= +&x t Ax t Bu t

Trasformata di Laplace

� DEFINIZIONE: Trasformata di Laplace

� Sia f una funzione della variabile reale t. La trasformata di Laplace di fè una funzione complessa di variabile complessa s=α+jω, definita come:

nell’ipotesi che tale integrale converga per qualche valore di s.

� NOTAZIONE: solitamente si indica con la lettera minuscola la funzione di variabile reale e con la maiuscola corrispondente la funzione nel dominio di Laplace

[ ]0

( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt+∞

−= = ∫

Trasformata di Laplace

� DEFINIZIONE: Antitrasformata di Laplace

� La funzione f(t) di origine si può ottenere dalla funzione F(s)attraverso l’antitrasformata di Laplace, definita come:

� OSSERVAZIONE: la trasformata di Laplace è una trasformazionebiunivoca, ovvero ad ogni funzione di variabile reale corrisponde una e una sola trasformata di Laplace

[ ] 1( ) ( ) ( )

2

jst

j

f t F s F s e dsj

α+ ∞

α− ∞

= =π ∫

Trasformata di Laplace

� Motivazioni� Per risolvere le equazioni differenziali che descrivono un

sistema lineare tempo-invariante:

1. Si applica la trasformata di Laplace trasformando il problema differenziale in problema algebrico

2. Si ricava una soluzione nel dominio di Laplace

3. Per ottenere la soluzione si applica la trasformazione inversa, nota come antitrasformata di Laplace

Proprietà e trasformate notevoli

� PROPRIETA’:

� Linearità

� Coniugazione

� Traslazione in t

� Traslazione in s

� Derivazione in t

[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f tα + α = α + α

( *) *( )F s F s=

[ ] 00( ) ( ) stf t t F s e−− =

00( ) ( ) = −

s te f t F s s

( ) ( ) (0)f t sF s f = − &

Proprietà e trasformate notevoli

� PROPRIETA’:

� Derivazione in s

� Integrazione in t

� Convoluzione

� Teorema valore iniziale

� Teorema valore finale

[ ] ( )( )

dF st f t

ds= −

0

1( ) ( )

tf d F s

s ξ ξ = ∫

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F s F s∗ = ⋅

(0) lim ( )s

f sF s→+∞

=

0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s→+∞ →

=

( )f t ( )F s

( )tδ

( )g t

1

( )( 1)!

−

−

mtg t

m

1

( )( 1)!

−α

−

mt t

e g tm

sin( ) ( )ωt g t

( )f t

cos( ) ( )ωt g t

sin( ) ( )α ωte t g t

cos( ) ( )α ωte t g t

sin( ) ( )α ωtt e t g t

cos( ) ( )α ωtt e t g t

( )F s

1

1

s

1ms

( )1

− α ms

2 2s

ω+ ω

2 2

s

s + ω

2 2( )s

ω− α + ω

2 2( )

s

s

− α− α + ω

2 2 2

2 ( )

(( ) )

ω − α− α + ω

s

s

2 2

2 2 2

( )

(( ) )

− α − ω− α + ω

s

s

NOTA: g(t) è il gradino unitario e serve a limitare lo studio a t ≥ 0

Funzioni di trasferimento

� RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO

1 1( ) ( ) (0) [ ( ) ] ( )Y s C sI A x C sI A B D U s− −= − ⋅ + − + ⋅

Risposta libera Risposta forzata

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= + = +

&x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

Funzioni di trasferimento

� RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO (SISO)

11 1 1 0

11 1 0

...( )[ ( ) ]

( ) ...

m mm m

n nn

b s b s b s bY sC sI A B D n m

U s s a s a s a

−− −

−−

+ + + += − + = ≥

+ + + +

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

(fdt)

W(s)2

( ) 2 1

( ) 5 6

Y s s

U s s s

+=− −

Esempio di fdt:

� RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO

11 1 0

11 1 0

...( )( )

( ) ...

m mm m

n nn

b s b s b s bY sW s n m

U s s a s a s a

−−

−−

+ + + += = ≥

+ + + +

Le radici del denominatore prendono il nome di poli

Le radici del numeratore prendono il nome di zeri

Funzioni di trasferimento

Funzioni di trasferimento

� FORME DI RAPPRESENTAZIONE� Forma polinomiale:

� Forma guadagno-zeri-poli:

11 1 0

11 1 0

...( )

...

m mm m

n nn

b s b s b s bW s n m

s a s a s a

−−

−−

+ + + += ≥

+ + + +

1

1

( )( )

( )

=

=

−=

−

∏

∏

m

iin

ii

s zW s k

s p

Funzioni di trasferimento

� FORME DI RAPPRESENTAZIONE� Forma coefficienti e poli:

� Forma costanti di tempo:

22

22

2 ' 1(1 )(1 ' )

' '( )

2 1(1 ) (1 )

ζ+ +− τω ω

=ζ− τ + +

ω ω

∏∏

∏ ∏

ii ii i

h

ii i i i

s ssk

W ss

s s s

1 1

( )( )= =

=−∑∑

innij

ji j i

cW s

s p

Scomposizione in fratti semplici

� Per ottenere la risposta nel tempo, antitrasformando la corrispondente trasformata di Laplace, è conveniente utilizzare la rappresentazione coefficienti e poli

� Negli esercizi numerici si parte solitamente da una rappresentazione polinomiale

� In particolare, è possibile esprimere la F(s) come una combinazione lineare ditermini, detti fratti semplici:

1

( )− js p

Scomposizione in fratti semplici

� POLI REALI DI MOLTEPLICITA’ UNITARIA:

11 1 0

11 1 0

...( )

...

−−

−−

+ + + +=

+ + + +

m mm m

n nn

b s b s b s bF s

s a s a s a

1

( )=

=−∑

ni

i i

rF s

s p

1

( ) ( )=

=∑ i

np t

ii

f t r e g t

Calcolo dei residui

1.

2. Principio d’identità dei polinomi

OSSERVAZIONE: residui associati a poli reali sono reali

[( ) ( )] == −ii i s pr s p F s

Scomposizione in fratti semplici

� POLI REALI MULTIPLI

11 1 0

11 1 0

...( )

...

−−

−−

+ + + +=

+ + + +

m mm m

n nn

b s b s b s bF s

s a s a s a ( ),

1 1

( )= =

=−

∑∑inn

i j

ji j i

rF s

s p

1

,1 1

( ) ( )( 1)!

−

= =

=−∑∑

i

i

n jnp t

i ji j

tf t r e g t

j

Calcolo dei residui

1.

2. Principio d’identità dei polinomi

( ),

1( ) ( )

( )!

−

−=

= − −

i

i

i

i

n jn

i j in ji s p

dr s p F s

n j ds

Scomposizione in fratti semplici

� POLI COMPLESSI CONIUGATI� Generano una risposta oscillatoria il cui inviluppo è

determinato dalla parte reale dei poli

� Si possono calcolare utilizzando la procedura vista per I poli reali di molteplicità unitaria oppure utilizzando SCILAB

2

*( )

ms n r rF s

s p jq s p jqs as b

+= = ++ − + ++ +

OSSERVAZIONE: residui associati a poli complessi coniugati sono a loro volta complessi coniugati

Scomposizione in fratti semplici

� POLI COMPLESSI CONIUGATI� La risposta nel tempo corrispondente ad una coppia di

poli complessi coniugati è data dall’espressione:

*( )

r rF s

s p jq s p jq= +

− − − +

( )( ) 2 cos ( )ptf t r e qt r g t= + ⋅

p = parte reale del poloq = parte immaginaria del polo|r| = modulo del residuo associato al polo

= fase del residuo associato al polor

Calcolo della risposta forzata

� PROBLEMA: dato il sistema

con A, B, C e D note e tempo-invarianti,

DETERMINARE

� L’espressione analitica della risposta del sistema y(t) a fronte di un ingresso u(t) polinomiale

� OSSERVAZIONE: la risposta per ingressi sinusoidali sarà trattata nella LEZIONE IV

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= + = +

&x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

Calcolo della risposta forzata

� SOLUZIONE:

1. Trasformare la rappresentazione ingresso-stato-uscita in funzione di trasferimento

2. Applicare la trasformata di Laplace alla funzione u(t)

3. Ottenere l’uscita del sistema nel dominio di Laplace

4. Scomporre in fratti semplici e antitrasformare, ottenendo la risposta forzata yf(t)

Calcolo della risposta forzata

1. Trasformare la rappresentazione ingresso-stato-uscita in funzione di trasferimento

� OSSERVAZIONE: In sede d’esame questo passaggio si può svolgere utilizzando il calcolatore (vedi [SCILAB])

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= + = +

&x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

11 1 1 0

11 1 0

...( ) [ ( ) ]

...

−− −

−−

+ + + += − + = ≥

+ + + +

m mm m

n nn

b s b s b s bW s C sI A B D n m

s a s a s a

Calcolo della risposta forzata

2. Applicare la trasformata di Laplace alla funzione u(t)

� OSSERVAZIONE: Questo passaggio si può svolgere utilizzando le tavole con le trasformate e antitrasformate di Laplace

1

( ) ( ) 0( 1)!

−

= ≥−

mtu t g t t

m

1( ) =

mU s

s

Calcolo della risposta forzata

3. Ottenere l’uscita del sistema nel dominio di Laplace

( ) ( ) ( )fY s W s U s= ⋅

( )W s ( )U s

Ottenuta al passo 1 Ottenuta al passo 2

Calcolo della risposta forzata

4. Scomporre in fratti semplici e antitrasformare, ottenendo la risposta forzata y(t)

� OSSERVAZIONE: Questo passaggio si può svolgere utilizzando il calcolatore (vedi [SCILAB]) o seguendo le indicazioni contenute nelle slide precedenti (SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI)

Forma polinomiale

Forma coefficienti e poli(fratti semplici)

( )fy t

( )fY s

Calcolo della risposta libera

� La risposta libera si ottiene dal primo addendo della relazione:

� Dopo aver ottenuto è necessario antitrasformare per ottenere la risposta libera nel tempo che rappresenta l’evoluzione naturale di un sistema senza ingressi a partire dalla condizione iniziale x(0)

1 1( ) ( ) (0) [ ( ) ] ( )Y s C sI A x C sI A B D U s− −= − ⋅ + − + ⋅

Risposta libera Risposta forzata

1( ) (0)C sI A x−− ⋅

Calcolo della risposta libera

� SOLUZIONE:

1. Calcolare a partire da A, Ce le condizioni iniziali x(0)

2. Scomporre in fratti semplici e antitrasformare, ottenendo la risposta libera yl(t)

1( ) ( ) (0)lY s C sI A x−= − ⋅

Calcolo della risposta di un sistema LTI

� Il calcolo dell’espressione analitica della risposta di un sistema lineare tempo-invariante (LTI) a fronte di un ingresso u(t) a partire dalle condizioni iniziali x(0) si ottiene, per linearità, sommando il contributo della risposta libera a quello dovuto alla risposta forzata

� SOLUZIONE:

1. Calcolare la risposta forzata yf(t) all’ingresso u(t) trascurando l’evoluzione libera

2. Calcolare la risposta libera yl(t) trascurando l’evoluzione forzata

3. La risposta del sistema si ottiene sommando i due contributi:

( ) ( ) ( )f ly t y t y t= +

� Esempi ed esercizi numerici…