Un ripasso di probabilità: Assiomi

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Riccardo Rigon

R. Rigon

2

Definizione Intuitiva ?

Intuitivamente, la probabilità potrebbe essere definita come:

Dove N(a) è il numero di eventi (favorevoli) osservati su N grandi tentativi.

P (a) = limN�⇥

N(a)N

Ma questa definizione non è priva di contraddizioni !

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Una definizione formale

• Sia Ω lo spazio degli eventi:

– Esso contiene tutte le possibili realizzazioni di un determinato

esperimento

– è un singolo evento

– è un insieme di eventi

– E’ richiesto che sia una sigma-algebra

� � �A � �

�

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Una definizione più formale gli assiomi della probabilità

e.g. Feller, 1968

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Non perseguiremo qui la prova dei seguenti enunciati. Tuttavia,

una evidenza intuitiva deriva dall’associare alla probabilità

l’area della figura geometrica disegnata nelle slides che

seguono.

Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3:

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3:

Se

A + Ac = �

Allora:

P (A) = 1� P (Ac)

A

Ac

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3:

A ⇥ B =⇤ P (A) � P (B)

B AB

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3:

P (A ⇥B) = P (A) + P (B)� P (A ⇤B)

A

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3:

P (A ⇥B) = P (A) + P (B)� P (A ⇤B)

B

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3:

P (A ⇥B) = P (A) + P (B)� P (A ⇤B)

A �B

A �B

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Un esempio di calcoli base

Si consideri, a titolo di esempio, lo spazio degli eventi contenente sette elementi, E1 , E2, ... , E7.

E siano le probabilità definite come:

p(E1) = p(E2) = p(E3) = p(E7) = 1/5, p(E4) = p(E5) = 1/20,

e

p(E6) = 1/10.

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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A = {E1, E2, E3, E5, E6}

p(A) = p(E1) + p(E2) + p(E3) + p(E5) + p(E6) =

(1/5) + (1/5) + (1/5) + (1/20) + (1/10) = ¾ = .75

B = {E2, E3, E4, E7}

p(B) = p(E2) + p(E3) + p(E4) + p(E7) = (1/5) + (1/5) +(1/20) +

(1/5) = 13/20 = .65

Un esempio di calcoli base

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Il problema centrale

non è il calcolo: che risulta “automatico”. Ma l’assegnazione

delle probabilità ovvero della forma funzionale della P( ).

Quando si conosce la probabilità, si conosce tutto del fenomeno che

si va descrivendo: se ne è assegnata “la fisica”.

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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La probabilità condizionale

Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in

seguito alla conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si

scrive:

L a c o n o s c e n z a c h e c i h a permesso d i as segnare la probabilità

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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La probabilità condizionale

Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in

seguito alla conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si

scrive:

O più semplicemente:

se l’evento x è condizionato da y

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Probabilità composte

Come negli esempi iniziali, è possibile considerare, il contemporaneo

realizzarsi di più insiemi di eventi. Si parla allora di Probabilità

congiunta, indicata con le due scritture equivalenti:

A, B � �

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Probabilità composte

Come negli esempi iniziali, è possibile considerare, il contemporaneo

realizzarsi di più insiemi di eventi. Si parla allora di Probabilità

congiunta:

La probabilità è, in questo caso,

l ’ area de l t rapezio rosso ,

rispetto all’area di

A, B � �

Assiomi e concetti di base

R. Rigon

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Probabilità condizionali

La probabilità condizionale è invece definita come

Pertanto

Assiomi e concetti di base

Riccardo Rigon

!19

Dunque

La probabilità (pdf) di due eventi A e B congiunti è data da

dove P(A | B) è la probabilità di ottenere A da un campione casuale, sapendo che

B è certo, èd è chiamata probabilità condizionale di A rispetto ad B, e P(B) è la

probabilità di ottenere B. Equivalentemente il teorema si legge anche:

vista la simmetria esistente tra gli insiemi A e B

Bayes Theorem

Riccardo Rigon

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La regola di Bayes

Vale allora la Regola di Bayes

Bayes Theorem

Che di solito è scritta come:

R. Rigon

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Indipendenza statistica:

A e B sono detti statisticamente indipendenti se

Analogamente, se gli Aj sono indipendenti, allora

e

Indipendenza statistica

R. Rigon

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Indipendenza statistica:

Il concetto di indipendenza statistica estende quello del calcolo combinatorico

di eventi discreti, ma non è affatto intuitivo geometricamente.

Esso afferma, nella sostanza, che l’area dell’intersenzione (non nulla) di due

insiemi è uguale al prodotto delle aree degli insiemi. L’indipendenza statistica

rappresenta perciò una equazione che deve essere soddisfatta.

A

B

Indipendenza statistica

R. Rigon

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Indipendenza statistica:

Sia considerato, per illustrare l’esempio, uno spazio degli eventi rappresentato

da un quadrato di lato unitario e i due suoi sottoinsiemi con un lato unitario ed

uno, lungo 2/3

A

B

Indipendenza statistica

R. Rigon

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Indipendenza statistica:

Qualora i due sottoinsiemi siano disposti come in figura, la loro intersezione e’

di area 2/3 x 2/3 = 4/9 e, poichè P(B) = 2/3 e P(A) = 2/3

A

B

Allora A e B (come disposti in figura) sono eventi indipendenti !

2/3

1/3

2/3 1/3

Indipendenza statistica

R. Rigon

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Indipendenza statistica:

Se i due insiemi A e B sono fatti muovere parallelamente a se stessi, in base alla

definizione data, si ottengono altri insieme isomorfi ai primi che rimangono

indipendenti.

A

B2/3

1/3

2/3 1/3

Indipendenza statistica

R. Rigon

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Indipendenza statistica:

In altre configurazioni, some quella rappresentata sotto, non sono più

indipendenti statisticamente.

A

B2/3

1/3

2/3 1/3

Indipendenza statistica

R. Rigon

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concetti di base

•La probabilità è una teoria matematica basata su alcuni assiomi

•La probabilità congiunta rappresenta è anch’essa una probabilità

•La probabilità condizionale è anch’essa una probabilità

•L’indipendenza probabilistica (o statistica) consente di semplificare il

calcolo delle probabilità congiunte

Altri

Indipendenza statistica