Calcolo delle probabilità e ragionamento bayesiano

Unit 3 – Corso di Logica e Teoria dell’Argomentazione

Sommario

• Nozioni probabilistiche• Probabilità condizionata• Ragionamento bayesiano• Fallacie probabilistiche

Nozione di probabilità

• Dato un insieme di eventi, di cui un evento A fa parte, con p(A) indichiamo la probabilità che A accada (o che l’asserzione A sia vera)

Interpretazioni per p

p(A) può essere interpretata in modo– Soggettivo, se p(A) misura il grado di credenza

di un agente razionale sul fatto che A accada– Logico, quando p(A) misura a priori il contenuto

informativo in modo inversamente proporzionale (A debole ha probabilità alta)

– Frequentista, se p(A) misura la frequenza con cui A accade in relazione ad una certa classe

– Classico, se p(A) misura a priori, ma solo in contesti finiti equiprobabili, l’incidenza dei casi favorevoli rispetto a quelli possibili

Esempi – probabilità classica

Estrazione di una carta da un mazzo francese (52 carte: ♠♥♦♣ semi, valori 1,2,…,10,J,Q,K. E2=“esce un 2”, EC=“esce un cuori”, E2C=“esce il 2 di cuori”, ecc.

– p(E2C)=– p(~E2C)=– p(EA)=– p(EACvEAQ)=– p(EC)=– p(E6vEK)=– p(~E6vEK)=– p(EAC&EAQ)=– p(ECvEQvEFvEP)=

1/52=0.01951/52=.9814/52=.0762/52=.03813/52=.258/52=.15248/52=.9240/52=052/52=1

Calcolo delle probabilità

• È un sistema teorico che consiste di tre assiomi e delle loro conseguenze deduttive

• Assiomi:– p(A)≥0– se A è un evento certo (ovvero una

tautologia), allora p(A)=1– se A e B sono mutuamente esclusivi (ovvero il

presentarsi dell’uno esclude il presentarsi dell’altro), allora p(AvB)=p(A)+p(B)

Prime conseguenze

• Se A è contraddittoria, p(A)=0• Per qualunque A, 0≤p(A)≤1• p(A)=1-p(~A)• Se A e B sono verofunzionalmente

equivalenti, p(A)=p(B)• Per qualunque A e B

p(AvB)=p(A)+p(B)-p(A&B)

• p(A&B)≤p(A), p(A&B)≤p(B)

A B

Altre conseguenze

• Se p(A)=p(B)=0 allora p(AvB)=0• Se p(A)=1 allora p(A&B)=p(B)• Se A è conseguenza logica di B

(cioè se p(B→A)=1) allora p(A&B)=p(B)

Probabilità condizionale

• Con probabilità condizionale di A dato B si intende la probabilità dell’asserzione A data la verità dell’asserzione B, e si indica con p(A|B)

• È anche (banalmente) il rapporto tra casi favorevoli per A&B e casi favorevoli per B

Esempi – prob. condizionali

• Estrazione di una carta da un mazzo francese (52 carte: ♠♥♦♣ semi; 1,2,…,10,J,Q,K per ogni seme)– E2=“esce un due”, EC=“esce un cuori”,

E2C=“esce il due di cuori”, ecc.– p(E2C|E2)=– p(E7C|EC)=– p(EAQ|~E2C)=– p(E7C|EQ)=– p(EA|EAC)=– p(EACvE2C|(ECvEF)&E<6)=

1/4=.251/13=.0761/51=.0010/13=01/1=1

2/10=.2

Alcune conseguenze

• p(A|A)=1• p(~A|A)=0• Se B è certa (tautologica), p(A|B)=p(A)• Se A e B sono verofunzionalmente equivalenti,

allora p(A|C)=p(B|C) e p(C|A)=p(C|B)• Se A e B sono indipendenti, allora

p(A&B)=p(A)p(B)– In quanto p(A|B)=p(A)

• p(~A|B)=1-p(A|B)• E molte altre ancora…

Teorema di Bayes

Permette di calcolare una probabilità condizionale a partire dalla conversa

Se A1,A2,… An sono mutualmente esclusive

Esempio 1

“In Italia il 50% delle auto è una Fiat, ed il 25% delle Fiat è di colore bianco. In generale, il 20% delle auto è di colore bianco. Io stesso ho un’auto bianca.”“Be’, allora anche tu hai una Fiat” L’argomento è forte? A=“è una Fiat”, B=“è di colore bianco”

Perché?

• il 50% delle auto è una Fiat, il 20% delle auto è di colore bianco, ed il 25% delle Fiat è di colore bianco.

• Supponiamo che le auto siano complessivamente 200, allora: – Le Fiat sono il 50%, ovvero 100– Le Fiat bianche sono il 25% di 100, cioè 25– Le auto bianche sono il 20% di 200, cioè 40– Dunque, data un’auto bianca (in totale sono

40), la probabilità che sia una Fiat è data da 25/40=0.625

Esempio 2

“Abbiamo una lampadina difettosa. Le lampadine sono prodotte da tre macchine A, B e C, che producono il 25%, il 35%, ed il 40% delle lampadine totali. Le lampadine difettose prodotte sono, in percentuale: il 5% per A, il 15% per B, il 12% per C. Quale macchina l’ha prodotta?”“Be’, penso sia stata prodotta da A.”• Com’è l’argomento? • A=“prodotta da A”, B=“prodotta da B”,

C=“prodotta da C”, D=“difettosa”– Noi dobbiamo calcolare p(A|D)– p(A)=.25; p(B)=.35; p(C)=.4– p(D|A)=.05; p(D|B)=.15; p(D|C)=.12

Esempio 2 (cont.) - calcolo

p(A)=.25; p(B)=.35; p(C)=.4p(D|A)=.05; p(D|B)=.15; p(D|C)=.12

p(A |D) = p(A)p(D | A)p(A)p(D | A)+ p(B)p(D | B)+ p(C)p(D |C)

=

=.25 ⋅.05

.25 ⋅.05+.35 ⋅.15+.4 ⋅.12= .11

• Dunque abbiamo l’11% che sia sta prodotta da A: l’argomento è debole.

• Ugualmente possiamo calcolare p(B|D)=...=.46 e p(C|D)=...=.42

Esempio 3

Il medico al paziente: “Vediamo… le avevo chiesto di effettuare il test diagnostico. Si tratta di una malattia che colpisce l’1% della popolazione. Questo test dà risultato positivo nel 90% dei malati e nel 5% dei non malati. A lei ha dato esito positivo. Dunque i miei sospetti erano fondati: è molto probabile, circa al 90%, che lei abbia contratto questa malattia.”Com’è l’argomento?

Esempio 3 (cont.) - calcolo

Siano M=”malato”, P=“positivo al test”Voglio conoscere p(M|P)

Dunque l’argomento è debole, perché la probabilità di aver contratto la malattia è solo del 15.38%

Esempio 3 (cont.) - perché?

Supponiamo la popolazione sia composta da 100000 individui.

Malati: 1000Malati positivi al test: 900

Non Malati: 99000Non Malati positivi al test: 4950

Quanti sono i malati positivi rispetto a tutti i positivi?900/(900+4950)=15.4%

Esempio 3 (cont.) - conclusioni

Valutiamo invece l’argomento:“[…] Il test diagnostico ha dato esito negativo: dunque è molto probabile che lei non abbia contratto la malattia”• Dobbiamo calcolare p(~M|~P)

L’argomento è forte! (dunque, occorre fare attenzione a cosa si sa e cosa si conclude!)

Dunque l’argomento è fallace, perché la probabilità di aver contratto la malattia è solo del 15.4%

FALLACIE PROBABILISTICHE

Esempio

“Da un paio di settimane ho iniziato a giocarmi il 24 in tutte le estrazioni. Tieni presente che non esce da 135 settimane: non può ritardare ancora molto.” Com’è l’argomento?L’argomento è debole perché gli eventi sono indipendentiL’idea intuitiva che i numeri sono equiprobabili, per cui le frequenze devono riallinearsi non funziona

Per la “legge dei grandi numeri”: le frequenze di uscita dei numeri tendono al valore teorico se le estrazioni sono infinite (non se sono finite)

Che fallacia è?

• E’ una fallacia Montecarlo (o dello scommettitore): si commette quando dal verificarsi (o dal non verificarsi) di una serie di eventi di un tipo si inferisce come più probabile che si presentino eventi di tipo opposto e indipendenti

– È da tanto che x non si verifica:. x si verificherà presto

• Una variante meno diffusa è:– È da tanto che x non si verifica

:. x non si verificherà più

Esempio

“La maggior parte degli extracomunitari è delinquente. Infatti la maggior parte dei reati è commessa da extracomunitari.”Com’è l’argomento?

(premessa) La maggior parte dei reati commessi in Italia è commessa da extracomunitari. (conclusione) La maggior parte degli extracomunitari è delinquente.E=“atto compiuto da extracomunitari”, D=“atto delinquenziale”(premessa) p(E|D) è superiore al 50%(conclusione) p(D|E) è superiore al 50%È un argomento debole e fallace

Che fallacia è?

È una fallacia della probabilità condizionale: si commette quando nell’inferenza si scambia la probabilità condizionata pertinente con la sua conversa (cioè p(A|B) al posto di p(B|A), o viceversa)

Esempio

“Bill ha 34 anni. E’ intelligente ma senzaimmaginazione, ossessivo e senza vita sociale. A scuola era bravo in matematica ma non era portatonegli studi umanistici e sociali.”Assegnare un ordine, dal più probabile al menoprobabile. 1. Bill è un ragioniere.2. Bill suona il jazz per hobby.3. Bill è un ragioniere che suona il jazz per hobby.

Fallacia di congiunzione

Dunque p(R&J)≤p(R), p(R&J)≤p(J),Quando si conclude l’opposto, assumendo che una congiunzione è più probabile di uno dei suoi congiunti, si commette una fallacia di congiunzione

Billèunragioniere=R Billsuonailjazzperhobby=J

Il Dilemma Monty Hall

In un gioco a premi ci sono 3 scatole chiuse: 2 vuote e 1 contenente monete d’oro. Scegliamo una scatola. Il conduttore del gioco, che sa cosa si nasconde dentro ciascuna scatola, apre una delle due rimaste mostrando che è vuota. Poi offre: ”Se vuoi, puoi cambiare scatola.”Cosa scegliete?Com’è il seguente argomento?

Premesse: tutto ciò che è noto nel giocoDunque, la probabilità che le monete d’oro siano nella mia scatola è del 50%, per cui ho la stessa probabilità di vincere.

Il Dilemma Monty Hall (cont.)

S1M=“scatola 1 ha monete”, S1V=“scatola 1 è vuota”, … Scelgo la scatola 1. Le probabilità iniziali sonoViene aperta la scatola 2 che è vuota. Per voi le probabilità da considerare adesso sono

Dunque Ma …l’apertura non è a caso: l’azione del presentatore non deve alterare le probabilità iniziali, che rimangono

p(S1M ) =13= .33 p(S1V ) =

23= .67

p(S1M | S2V ) =1 2 = .5 p(S1V | S2V ) =1 2 = .5

p(S1M | S2V ) = .5> p(S1M ) = .33

p(S1M | S2V ) = .33 p(S1V | S2V ) = .67

Il Dilemma Monty Hall (cont.)

Ma se le probabilità devono rimanere identiche,

allora conviene sempre cambiare scatolaL’argomento è debole (possiamo considerarlo una fallacia dell’evidenza soppressa)

p(S1M | S2V ) = .33 p(S1V | S2V ) = .67

Eliminazione

Non vi ho convinto? Simuliamo…Scelta

Cambio

Altro gioco

Adesso siamo ad un gioco a premi con dieci scatole. Dentro una scatola ci sono monete d’oro, le altre sono vuote. Prendiamo 2 scatole, su invito del conduttore. Il conduttore del gioco, che conosce il contenuto di ciascuna scatola, ne apre sette mostrando che sono vuote. Rimangono 3 scatole: 1 al conduttore, 2 a noi.Poi ci domanda: "Vorresti cambiare le tue due scatole con la scatola che rimane?” Per prendere una decisione valutiamo:(P) Abbiamo due scatole sulle tre rimaste.:. La probabilità che le monete d’oro siano nella mia scatola è del 67% circa (2 su 3).:. Non mi conviene cambiare

Fate il vostro gioco… (cont.)

• È una variante del Monty Hall.• Con le prime due scelte (supponiamo le scatole 1 e

2) abbiamo probabilità di vincere p(E1MvE2M)=.2• Dopo aver eliminato 7 scatole vuote (ad es. dalla 4

alla 10) abbiamo p(E1MvE2M|E4V&E5V&…&E10V)=.67• Sembra che lo scambio sia sconveniente

considerando le 3 scatole rimanenti, ma così stiamo eliminando informazioni fondamentali

• Invece conviene cambiare: aumentiamo la probabilità di vincere, passando dal 20% all’80%

Esempio

Il medico al paziente: “Vediamo… sospettavo che lei avesse contratto questa malattia e le avevo chiesto di effettuare il test diagnostico. Si tratta di una malattia che colpisce l’1% della popolazione. Questo test dà risultato positivo nel 90% dei malati e nel 5% dei non malati. A lei ha dato esito positivo. Dunque i miei sospetti erano fondati: è molto probabile, circa al 90%, che lei abbia contratto questa malattia.”Argomento debole: p(M|P)=15.38%È una fallacia del tasso di base: commessa quando si trascura il dato statistico assoluto considerando solo il dato relativo, oppure interpretandolo in modo isolato inferendo conclusioni più ampie

CONFERMA BAYESIANA

Ipotesi ed evidenze

Formuliamo un’ipotesi HQuanto è probabile?

Se non sappiamo nulla sul verificarsi di H, stiamo valutando la probabilità a priori di H, cioè p(H)

Abbiamo un’evidenza EAdesso quanto è probabile H?

Stiamo valutando in che modo il verificarsi di E cambia la probabilità di H, dunque è una probabilità a posteriori di H: p(H|E)

E conferma l’ipotesi H o la disconferma?

Conferma bayesiana

Definizioni:E conferma H SSE p(H|E)>p(H), E disconferma H SSE p(H|E)<p(H), E è neutrale rispetto ad H SSE p(H|E)=p(H)

Holmes e Barbaglio d’argentoArgomentazione di Sherlock Holmes:Un cavallo è stato rapito e un fantino è stato ucciso.Uno sconosciuto aveva litigato la sera prima col boss.Il cane a guardia quella notte non ha abbaiato.:. Non è stato uno sconosciuto.H=“è stato uno sconosciuto” (ipotesi)E=“il cane non ha abbaiato” (evidenza)Per Holmes: p(H|E)<p(H)

– Dunque E disconferma l’ipotesi HInvece sarebbe p(H|~E)>p(H)

– Cioè ~E confermerebbe l’ipotesi H.E rende meno probabile H, dunque aumenta la probabilità di ~H [visto che p(H)+p(~H)=1].

Il nome della rosa

Cimitero innevato. C’è della terra rimossa vicino ad una croce. Frate Guglielmo: “E’ morto qualcuno di recente?”R=“terra rimossa vicino alla croce”, M=“c’è un morto”Secondo Fr. Guglielmo p(M|R)>p(M). R conferma M?Ora p(M|R)>p(M) dunqueInvece p(M|~R)<p(M) dunque

Perciò, con l’evidenza R, la nostra credenza in M aumenta. Ma se fosse stato ~R, la credenza in M sarebbe diminuita (anche se di poco)

Video

R conferma M

~R disconfermerebbe M

Modelli di conferma

Modello fondamentale (o sillogismo euristico)H→EE:. H è più credibile

Quindi E conferma H: H è più credibileSe crediamo alla certezza di H allora è un argomento fallace, ma se ragioniamo induttivamente (non deduttivamente!) allora è un argomento plausibile

Ladivisioneperunnumerocompresotra0e1produceunnumeropiùgrandeBayes

p(E|H)=1

Altri modelli

Se H→E allora

Se p(E) è molto piccolo allora p(H)/p(E) cresce molto

Modello della conseguenza improbabileH→E E è poco probabile (per suo conto) e si è verificata:. H è molto più credibile

Se p(E) è molto grande allora p(H)/p(E) cresce poco

Modello della conseguenza probabileH→EE è molto probabile (per suo conto) e si è verificata:. H è poco più credibile