Davide MicheliEq di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielttrici 1
Equazioni di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielettrici
brevi note raccolte daDavide Micheli
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Agenda:
• Equazioni di Maxwell e propagazione per onde elettromagnetiche piane nel vuoto
• Unità di misura logaritmiche nelle trasmissioni radio• Definizione dell’attenuazione di tratta per un collegamento radio• Propagazione dei segnali radio nella ionosfera, applicazione al caso
dei segnali provenienti da satelliti per il servizio GPS• Superfici selettive in frequenza• Linee di Trasmissione• Conduttori e Dielettrici• Conduzione elettrica dal punto di vista atomico• Propagazione Libera• Note sulla matrice di Scattering (Diffusione) nelle trasmissioni a
microonde• Generalità sulle Guide D’onda Metalliche
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Breve storia
James Clerk Maxwell (13 giugno 1831 - 5 novembre 1879) fu il fisico scozzese del XIX secolo elaborò la prima teoria moderna dell'elettromagnetismo compendiando in poche equazioni tutte le nozioni di questa scienza. Maxwell tuttavia rimase legato ad una concezione di campo elettromagnetico la cui propagazione avviene attraverso un mezzo etereo; dapprima egli identificò l'etere luminifero con quello elettromagnetico e poi unificò i due fenomeni, quelli ottici e quelli elettromagnetici, infatti dalle sue equazioni tali onde sono immediatamente deducibili.Maxwell eresse il suo monumento alla scienza partendo dalle basi gettate da illustri scienziati tra cui non possiamo dimenticare il grande chimico-fisico sperimentale Michael Faraday e il fisico teorico Ampère.Inoltre Maxwell è anche noto per i suoi lavori effettuati nel campo della meccanica sui criteri di resistenza, in particolare nel 1856 propose il così detto: "Criterio della massima energia di distorsione".Tra i 16 e i 19 anni studia letteratura e filosofia presso William Hamilton e poi si iscrive all'università di Cambridge. Nel '50 conosce Stokes e pubblica un lavoro, Equilibrio dei solidi elastici, nel quale ricava le equazioni di Stokes e le applica a casi concreti per conoscere le proprietà fisiche della materia, mostrando la sua indole di uomo pratico della rivoluzione industriale. Sempre a Cambridge conosce Whewell e ne studia la filosofia. Nello stesso anno si realizza l'incontro con William Thomson (poi Lord Kelvin) che avrà grande rilevanza sulla formazione del giovane Maxwell e avrà importanti risvolti per la sua attività di ricerca. Tra i tanti personaggi le cui ricerche e le cui interazioni con Maxwell hanno fornito una base e man mano un aiuto per elaborazione dell'elettromagnetismo, due sembrano essere state le figure più luminose: Thomson e Faraday.Le principali linee guida del pensiero di Maxwell sono identificabili in ricerca dell'unità (unificazione) rifiuto di ipotesi microscopiche enfasi sui risultati sperimentali. Come metodo di indagine teorica Maxwell premia quello dell'analogia come il migliore perché è in grado di gettar luce su campi della scienza meno noti, partendo dalle leggi che governano fenomeni meglio conosciuti. Tuttavia questo metodo, sebbene efficace, dev'essere usato con consapevolezza per non vanificare gli sforzi trasformando utili aiuti in fuochi fatui ("useful helps into Wills of the Wisp", da "Essey for the Apostles on Analogies in Nature").
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CONCETTO DI CAMPO ELETTRICO
[ ]
108.854 1094
1
in misura si dove ˆˆ4
1
2
212
02
29
0
221
221
0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅==
==
−
NmC
CNmk
NFrrqqkr
rqqF
επε
πε
rr
Fenomeni Stazionari ( grandezze nel sistema MKS)
La forza cui sono soggette due cariche elettriche puntiformi nel vuoto è:
Il Coulomb è definito come quella carica che attraversa in un secondo un conduttore percorso dalla corrente di un Ampere.
Data una carica Q ferma nello spazio, allora se una seconda carica q viene posta, ferma, in presenza della prima, essa subisce una forza dipendente dalla posizione occupata q; ed in modulo proporzionale a q .Il rapporto tra la forza F e la carica q viene detto Campo Elettrico generato nella posizione r dalla carica Q:
q1
q2
r
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CONCETTO DI CAMPO ELETTRICO
Il campo elettrico può avere linee di flusso entranti o uscenti a seconda del segno della carica Q, per convenzione si pone:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
mV
mCJ
mm
CN
CNE
rrQk
qr
rQq
qFE
1in misura si dove
ˆ1ˆ4
122
0
r
rr
πε
+ -Q
qr
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CONCETTO DI CAMPO ELETTRICO
Per la rappresentazione grafica dei campi è usuale l’uso delle linee di forza.Le linee di forza sono linee di flusso tali che in ogni punto il campo elettrico ètangenziale alle linee di forza.In ogni regione del campo viene disegnato un numero di linee di forza tale che la loro densità sia proporzionale all’intensità del campo.bisogna precisare che la carica q di prova deve essere abbastanza piccola da produrre una perturbazione trascurabile nella configurazione delle cariche Q circostanti che generano il campo, più precisamente deve risultare:
qFrE
q
rrr
0lim)(→
=
Si può interpretare questa situazione supponendo che la carica Q modifichi lo spazio ad essa circostante, producendo nel punto occupato dalla carica q, uno stato fisico, che chiamiamo campo di forza elettrico, a causa del quale qsubisce una forza proporzionale alla sua carica e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
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CONCETTO DI CAMPO ELETTRICO
Supponendo vera questa ipotesi si può concludere che l’intensità del campo elettrico in un punto individuato da r è indipendente dal fatto che esista o meno la carica q; l’esistenza del campo è infatti legata alla presenza della sorgente Q e non a quella della carica sul quale il campo agisce.
Il concetto di campo è utile perché elimina la necessità di ricorrere all’ipotesi di azioni a distanza fra particelle; tuttavia occorre precisare che finchè si rimane in condizioni statiche, come quelle considerate (particelle ferme), le due descrizioni: azione a distanza o azione locale del campo sono del tutto equivalenti.E’ soltanto in condizioni dinamiche che l’esistenza del campo acquista un significato fisico indipendente dalle cariche sulle quali agisce, in quanto si manifestano fenomeni fisici legati alla presenza del campo anche nello spazio privo di materia.Da notare che uno spazio privo di materia ma sede di un campo (elettrico, magnetico, gravitazionale) non è uno spazio vuoto in quanto è possibile associare al campo quantità fisiche misurabili come energia e quantità di moto.
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CONCETTO DI CAMPO ELETTRICO
Inoltre, e questo è molto importante, poiché l’interazione tra due particelle separate spazialmente non è mai istantanea (in quanto la velocità di propagazione non è infinita), la forza che agisce su una particella dipende dalla posizione dell’altra in un istante precedente;Si osserva sempre un ritardo fra l’istante in cui cambia la forza agente su una particella e l’istante in cui cambia la posizione dell’altra particella, ritardo che il campo impiega a propagarsi da una particella all’altra.
Gli effetti prodotti dalle cariche sorgenti, possono manifestarsi con intensitàsignificativa, anche in porzioni di spazio molto lontane da quelle occupate dalle cariche sorgenti; ed il ritardo con cui tali effetti si manifestano può essere interpretato in termini del tempo che il campo impiega a propagarsi nello spazio.
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DIPOLO ELETTRICO
La più semplice tra le configurazioni di carica è:
+
-
Q
z
+Q
z
+
Le linee di forza nello spazio si ottengono per rotazione intorno all’asse z
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DIPOLO ELETTRICO
Lo studio delle azioni elettrostatiche subite da un dipolo elettrico, è di particolare rilievo perché ad esse sono riconducibili le interazioni elettrostatiche più semplici cui sono soggetti i sistemi microscopici elettronicamente neutri (atomi e molecole non ionizzati).
Ogni dipolo elettrico è caratterizzato da una grandezza detta momento di dipolo:
qrP vv=
-
+
q1
q2
r
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CONCETTO DI CAMPO MAGNETICO
FENOMENI STAZIONARI
L’esistenza di forze magnetiche porta alla introduzione di un campo vettoriale, detto campo magnetico, analogo al campo elettrico. Tuttavia il campo magnetico presenta caratteristiche sostanzialmente diverse da quelle del campo elettrico; ciò è conseguenza del fatto che mentre esistono cariche elettriche positive separate da quelle negative, non è per contro possibile separare monopoli magnetici.
N
S
N
N
S
S
N
S
N
S
N
S
Rompendo una calamitasi formano due calamite,
sempre con due poli
N
S
N
S
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CONCETTO DI CAMPO MAGNETICO
Queste differenze hanno come conseguenza che le linee di flusso del campo magnetico sono sempre linee chiuse, ovvero il flusso uscente da una qualunque superficie chiusa è nullo.Viceversa nel caso del campo elettrico le linee di forza escono dalle cariche positive (sorgenti del campo) e finiscono sulle cariche negative (pozzi del campo).
Tale differenza è osservabile dal momento che le forze subite dall’ago magnetico della bussola ha l’andamento tipico dell’azione subita da un dipolo e non da azioni subite da cariche puntiformi.In particolare un ago magnetico si dispone all’equilibrio, parallelamente al campo, cosicché con la sua direzione esso individua in ogni punto la tangente alle linee di forza del campo magnetico.
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CONCETTO DI CAMPO MAGNETICO
Un passo decisivo per la comprensione dei fenomeni magnetici èl’osservazione di Oestered (1820), secondo cui un filo percorso da corrente genera, su un ago magnetico esploratore, effetti orientanti analoghi a quelli esercitati da una calamita.In altri termini un filo percorso da corrente elettrica genera un campo magnetico.Nell’ambito di uno studio sistematico ( compiuto fra gli altri da Coulomb, Biot, F.Savart, Faraday, Lorents, Ampere, Maxwell) fu evidenziata l’esistenza di mutue azioni meccaniche fra fili percorsi da corrente.Poiché le correnti elettriche sono definite in termini di cariche in movimento:
I=dQ/dttutti i fenomeni magnetici furono così ricondotti ad una comune base secondo cui essi sono generati in relazione al movimento di cariche; anche le azioni fra materiali magnetici sono interpretabili in termini di movimento di cariche microscopiche che sono le correnti atomiche.
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CAMPO MAGNETICO: forza do Lorents
lddNvjIBn
BvdNqFd
vdNqldsdvnqldsdjlIdBlIdFd
d
d
dd
rrr
r
rrr
rrrrrrrrrrr
trattonel presenti portatori di numeroelettriche cariche delle deriva di velocità
corrente di densitàelettrica corrente
magnetica induzione di campo volumedi unitàper particelle
:ma
======
×=
===×=
Si può sintetizzare ipotizzando che i circuiti percorsi da corrente generino nel loro intorno un campo B che chiameremo di induzione magnetica dipendente dalla posizione, il quale determina sul tratto dl percorso da corrente I ed orientato secondo il verso di circolazione di I una forza espressa dalla legge:
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CAMPO MAGNETICO: forza do Lorents
[ ]TmWb
ms
mV
ms
CmJ
ms
mm
CN
smC
Nvelocitàcarica
forzaB =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅≡ 2
1
Pertanto ci si aspetta che una singola carica puntiforme che si muova con velocità v nel campo di induzione magnetica B subisca una forza detta forza di Lorents pari a:
B
F
V
Secondo tale eq, una carica ferma con v=0 rispetto al riferimento del campo B, non è soggetta ad alcuna forza ad opera di un campo magnetico, mentrequando si muove, essa è sottoposta ad una forza ortogonale alla sua velocitàv . Le dimensioni fisiche del vettore induzione magnetica sono:
BVqFrrr
×=
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CAMPO MAGNETICO: forza do Lorents
BvqEqFrrrr
×+=
Dunque un Tesla (1T) è un campo di induzione magnetica B tale che una carica di un Coulomb, in moto con velocità di un 1m/s, è soggetta alla forza di un N se tale velocità è ortogonale a B.
Se in una certa regione dello spazio agisce oltre al campo di induzione magnetica B (le cui sorgenti sono correnti elettriche) anche un campo elettrico E (le cui sorgenti sono cariche elettriche)Allora una particella carica q è sottoposta alla forza:
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CAMPO MAGNETICO: forza do Lorents
Considerando un circuito filiforme l’ percorso da corrente I; allora si trova sperimentalmente che il campo di induzione magnetica B generato nello spazio circostante è dato dalla 1° eq di Laplace:
vuotodel magnetica tàpermeabili la è
104104con 4
7703
'0
0 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅Ω⋅=
∆
∆×= −−
mHenry
ms
rrdlIBd ππµ
πµ
r
rr
y
z
x
dl’
P(x,y,z)
r’
r
∆r=r-r’ dB0(P)
I
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CAMPO MAGNETICO: forza do Lorents
In particolare in base alla precedente si può trovare che una spira circolare di raggio R percorsa da corrente I stazionaria, genera in un punto P del suo asse un campo di induzione magnetica B0 pari a:
nRIB ˆ
20
0µ
=r
y
n
x
R
I
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Induzione elettromagnetica Legge Faraday Neumann
Consideriamo un circuito (a) costituito da una linea chiusa l realizzata mediante un filo conduttore.Disponiamo in serie al circuito un galvanometro G mediante il quale è possibile constatare l’eventuale passaggio di corrente in (a).Si riscontra sperimentalmente che il galvanometro indica passaggio di corrente nei seguenti casi: 1) chiusura del tasto T
f
IG Ia≠0L
(a) (b)
T
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Induzione elettromagnetica Legge Faraday Neumann
2) ll circuito (b) si sposta dal circuito (a) con velocità vb per esempio in modo armonico
f
IG Ia≠0L
(a) (b)Vb
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Induzione elettromagnetica Legge Faraday Neumann
3) Il magnete permanente (b) si sposta dal circuito (a) con velocità vb per esempio in modo armonico
G Ia≠0L
(a)
(b)
Vb
N
S
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Induzione elettromagnetica Legge Faraday Neumann
Faraday spiegò queste ed altre analoghe osservazioni sperimentali dicendo:Se un circuito è immerso in un campo di induzione magnetica il cui flusso Ф(B) concatenato con il circuito stesso sia variabile nel tempo, allora in esso si genera una forza elettromotrice indotta data da:
∫ ⋅−=Φ
−=S
indotta sdBdtd
dtBdf r
rr)(
Quando nel circuito si genera una forza elettromotrice indotta da un campo di induzione magnetica B variabile, concatenato con il circuito stesso, allora in esso circola corrente.Questa corrente genera a sua volta un campo magnetico indotto Bi il cui flusso concatenato con il circuito è diverso da zero.Il segno meno davanti al secondo membro indica che il flusso del campo magnetico indotto Bi, concatenato con il circuito, tende a compensare la variazione di flusso responsabile del fenomeno di induzione stesso.
B(t)
Ii(t)
Bi(t)
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Induzione elettromagnetica: Legge di Lents
Questa legge conosciuta come legge di Lents afferma che: il verso della forza elettromotrice indotta, è tale da opporsi alla variazione di flusso che la genera
Si consideri un circuito elettrico in condizioni stazionarie; cioè tale che il tempo impiegato dai segnali elettromagnetici per attraversarlo sia molto piccolo rispetto al tempo che caratterizza le variazioni di densità carica ρ e densità di corrente j. Ovvero all’istante (t) la correnti I(t) è la stessa in tutti i punti del circuito.
Tale corrente genera nello spazio circostante un campo di induzione magnetica B diverso da zero.Se I(t) varia nel tempo vara parimenti B(t) e quindi anche Ф(B): si genera pertanto una forza elettromotrice autoindotta che si oppone alla forza elettromotirce responabile di B(t)
fI(t) ≈
B
fI(t) ≈
B
Iai(t)
Bai
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Induzione elettromagnetica: Induttanza L
)(4
4 l
3
'0
03
'0
0 ∫ ∆∆×
=⇒∆
∆×=
rrdltIB
rrdlIBd r
rrr
rr
πµ
πµ
Osservando la I formula di Laplace scritta sopra si nota che:
B è proporzionale ad I(t);Ф(t) concatenato con il circuito è proporzionale a B
Pertanto segue che Ф(t) è proporzionale a I(t):
)(4
)(4
)(l
3
'0
l3
'0 tIsd
rrdlsd
rrdltIsdBILB
SSS ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∆
∆×=⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∆
∆×=⋅=⋅=Φ ∫ ∫∫ ∫∫
rr
rr
r
rrrr
πµ
πµ
Il coefficiente di poporzionalità L è definito coefficiente di autoinduzione o induttanza del circuito stesso
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Induzione elettromagnetica: Induttanza L
[ ] [ ]HenrysA
sVAmpereWeberL =⋅Ω=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Il valore dell’induttanza L è determinato unicamente dalla geometria del circuito e dal materiale utilizzato. Nel sistema internazionale si misura in:
Dalla legge di Faraday segue che:
( )dtdIL
dttILd
dtBdfindotta −=
⋅−=
Φ−=
)()(r
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I) equazione di Maxwell
∫∑∫ ==⋅=Φτ
τρεε
dtzyxqsdEES
),,,(11)(0
.int0
00vrr
Consideriamo il teorema di GAUS:Il flusso del campo elettrostatico E0 attraverso una qualunque superficie chiusa S, è pari alla somma algebrica delle cariche contenute all’interno di S, divisa per la costante ε0. Eventuali cariche disposte esternamente alla superficie non portano alcun contributo al flusso di E0 .
ds nS
La sommatoria si riferisce ad una distribuzione di carica discreta; mentre l’integrale di volume su τ si riferisce a duna distribuzione di carica continua con densità:
τρ nq=
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I) equazione di Maxwell
( )
( )
),,(1
),,(1)(
00
0000
00
zyxE
dzyxdEsdEE
dEsdE
S
S
ρε
τρε
τ
τ
ττ
τ
=⋅∇
⇓
=⋅∇=⋅=Φ
⇓
⋅∇=⋅
∫∫∫
∫∫
r
rvrr
rvr
Dal teorema della divergenza:
L’eguaglianza degli integrandi segue dal teorema di Gaus che vale per qualunque superficie chiusa S di integrazione e dunque anche per qualunque volume di integrazione in essa racchiuso.
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I) equazione di Maxwell
Per la validità è necessario che le grandezze siano continue ed il campo derivabile in ogni punto con continuità altrimenti occorre applicare tale equazione locale in ogni punto usando eventualmente le condizioni di raccordo:
Et1=Et2 ; Dn1=Dn2 con D=εE cioè ε1E1= ε2E2
Si osserva che il teorema di Gauss collega tra loro grandezze fisiche calcolate in posizioni diverse: il campo elettrico sulla superficie S alla densità di carica ρ in punti interni alla superficie S stessa.Questo non è un problema fino a che le grandezze in gioco sono costanti nel tempo; tuttavia la generalizzazione al caso non stazionario non è immediata, considerato che una eventuale variazione di carica nel tempo, ad esempio della densità ρ(x,y,z) dentro la superficie non può tradursi in una simultanea variazione del campo elettrico sulla superficie in quanto nessun fenomeno fisico si propaga con velocità infinita.Al contrario la 1° equazione di Maxwell lega fra loro grandezze fisiche diverse calcolate nella stessa posizione.
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I) equazione di Maxwell
Essa si presta pertanto alla immediata generalizzazione al caso non stazionario introducendo semplicemente la dipendenza dal tempo delle grandezze che il essa compaiono:
),,,(1 )0
0 tzyxEI ρε=⋅∇
r
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II) equazione di Maxwell
0 ) =⋅∇ BIIr
Applicando l’operatore divergenza alla formula di Laplace:
)(4 l
3
'0
0 ∫ ∆∆×
=r
rdltIB rrr
πµ
Si trova che:
Che si enuncia dicendo che il vettore B0 è solenoidale, come conseguenza si ricava la proprietà di B0 :Sia S una qualunque superficie chiusa, e sia τ il volume in essa racchiuso, allora il flusso del campo di induzione magnetica B0 attraverso una qualunque superficie chiusa è nullo;
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II) equazione di Maxwell
0)()( 000 =⋅∇=⋅=Φ ∫∫τ
τdBsdBBS
s
rrr
Si è applicato il teorema della divergenza:
ds nS
l ∫∫ ⋅∇=⋅τ
τdBsdBS
)( 00rrr
Ovvero sia anche il flusso di B0 attraverso due superfici S e S’ aventi lo stesso contorno l e orientamento discorde è uguale ed opposto.
l
ds n
ds1
n1
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II) equazione di Maxwell
Tenendo conto che cambiando il verso di orientamento delle superfici il flusso cambia segno si ottiene allora immediatamente l’altra proprietà spesso usata:
l
ds n
ds1
n1
Il flusso di B0 attraverso due superfici qualunque aventi lo stesso contorno edorientamento concorde è uguale, per cui si può parlare semplicemente di flusso concatenato con quel contorno;
Se il contorno l rappresenta una spira allora il flusso Ф(B) si dice concatenato con quella spira.
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II) equazione di Maxwell
0)(3
33 =⋅=Φ ∫S
sdBB rvv
0)(321
321 =⋅+⋅+⋅=⋅=Φ ∫∫∫∫SSSS
sdBsdBsdBsdBB rvrvrvrv
Si consideri per semplicità una superficie come quella indicata in figura:
Poiché in un circuito magnetico il vettore induzione magnetica si dispone parallelamente alla superficie ne consegue che:
s1n1
n2
s2
n3
ds3
s3
Pertanto:
0)(21
21 =⋅+⋅=⋅=Φ ∫∫∫SSS
sdBsdBsdBB rvrvrv
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II) equazione di Maxwell
cost)(
allora costante è S sezione la se
0)(
21
21
2211
21
21
21
21
==Φ
=
=
=
⋅=⋅
=⋅−⋅=⋅=Φ
∫∫
∫∫∫
BSB
BB
SBSB
SBSB
sdBsdB
sdBsdBsdBB
SS
SSS
rvrv
rvrvrvImpostando quindi il verso di n2 come quello negativo entrante si ottiene:
Ovvero il flusso entrante attraverso una superficie s1 del circuito è uguale al flusso uscente attraverso la superficie s2=s1 del circuito
s1n1
n2
s2
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III) equazione di Maxwell
0(b)V-(a)V 000 =⋅=∫b
a
ldErr
Come è noto il campo elettrostatico è, in condizioni stazionarie, un campo conservativo ovvero esiste una funzione potenziale V tale che:
Se il campo è conservativo tale integrale non dipende dal cammino di integrazione “l” ma soltanto dal punto iniziale “a” e dal punto finale “b”; ovvero l’equazione rimane identicamente soddisfatta qualunque sia il percorso “l” che porta dal punto “a” al punto “b” purchè “l” non passi per i punti di singolarità di E0.Il particolare se “a” coincide con “b”, qualunque sia la linea chiusa l di integrazione si ha:
a
b
l
ab
l
∫ ⋅=⇒−∇=b
a
ldEVErrr
0000 (b)V-(a)V
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III) equazione di Maxwell
00 =×∇ Er
Questa è una condizione necessaria e sufficiente affinché il campo E0 sia conservativo e cioè che la circuitazione di E0 sia nulla.Applicando il teorema di Stokes si ha:
Dal momento che tale relazione vale per ogni linea chiusa l e per ogni superficie S che abbia l come contorno, segue che deve essere nullo l’integrando.
∫∫ ×∇=⋅=Sl
sdEldE rrrr
)(0 00
Questa esprime la III) equazione di Maxwell nel caso stazionario, ovvero esprime in forma locale la conservatività del campo elettrostatico; si dice anche che il campo elettrostatico è irrotazionale.
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III) equazione di Maxwell
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−===⋅=⋅
==
∫∫∫∫ba
b
a
b
a
b
a
b
a rrQdr
rQrdr
rQrdr
rQrdE
rrrrrQrE
114
14
144
1
punti due traintegrando allora ˆcon 4
1)(
02
03
03
00
30
0
πεπεπεπε
πε
rvrr
vvr
• Questo risultato mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo in quanto il suo integrale di linea fra due posizioni non dipende dalla particolare traiettoria.
• Il potenziale elettrostatico in un punto (x,y,z) della curva di integrazione generato dalla carica puntiforme Q è:
Applicando tale osservazione al campo elettrico generato da una carica Q puntiforme si ha:
[ ]VCJm
CN(a)VldE(x,y,z)V
xyx
a
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅= ∫ 0
),,(
00
rr
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III) equazione di Maxwell
( )
voconservatinon elettrico campoun presente è allora ostazionari ènon magnetico campo il se:ostazionarinon caso nel Maxwell di equazione III) ottienela si itegrandi gli oeguagliand
)( )(
:iespression due le oeguagliand
)(Stokesper :anche risulta )(
SS∫ ∫∫ ∫
∫∫∫
⋅×∇=⋅−⇒⋅×∇=⋅−
⇓
⋅×∇==⋅=⋅−=Φ
−=
SS
SlS
sdEsddtBdsdEsdB
dtd
sdEldEfsdBdtd
dtBdf
rrrr
rrrr
rrvrrrr
Il potenziale V0(x,y,z) corrisponde all’energia potenziale già introdotta per i campi conservativi con la precisazione che ci si riferisca ad una carica unitaria
Dalla legge di Faraday Newmann segue per un circuito chiuso:
dtBdEr
r−=×∇ III) III) eq. Maxwell
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 39
IV) equazione di Maxwell
InldBl
0µ=⋅∫vr
Una proprietà fondamentale di B riguarda la sua circuitazione: ovvero in termini differenziali locali si dimostra che la circuitazione di B è in generale diversa da zero: è detto Teorema della circuitazione di Ampere
• La circuitazione di B lungo una qualunque linea chiusa orientata L è pari alla corrente I con la quale la linea chiusa si concatena moltiplicata per µ0moltiplicata a sua volta per il numero di concatenazioni n.
• Se il campo B è generato da più di un solo circuito allora tenendo presente che per le sue proprietà il campo B così come E è additivo, allora si ha:
( ) )0211( 423100 IIIInIldB iil
⋅+⋅−⋅−⋅==⋅ ∑∫ µµvr
l4
l1L
l2l3
LL
l
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IV) equazione di Maxwell
∫∑∫∫∑ ⋅==⋅⇒Φ=⋅=S
ilS
i sdJIldBJsdJIrrvrrrr
00 )( µµ
)( )( 0∫∫∫∫ ⋅=⋅×∇⇒⋅×∇=⋅SSSl
sdJsdBsdBldB vrvrvrvr µ
Le correnti vanno prese con il segno positivo o negativo a seconda che esse vedano circolare intorno a se la linea orientata L in senso antiorario o in senso orario. Poiché la corrente I è pari a:
Dal teorema del rotore segue:
Poiché questa relazione deve valere qualunque sia la linea chiusa L e qualunque sia la superficie aperta avente L come contorno, allora l’eguaglianza degli integrali implica quella degli integrandi:
JBrr
0µ=×∇Questa è la Quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario
L
ds n
la Quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario mostra che ameno che sia J=0, il campo B non è conservativo, e dunque non è possibile introdurre, in analogia col potenziale elettrostatico, un potenziale scalare magnetostatico.
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IV) equazione di Maxwell
( ) ( )( ) ( )
0
)()(0
0)(
)(
0
=⋅∇⇓
⋅∇=×∇⋅∇=⇓
=×∇⋅∇−∇×∇⋅=×∇⋅∇⇓
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇
J
JB
BBB
BAABBA
r
rr
rrr
rrrrrr
µ
Per una proprietà matematica generale si ha che la divergenza di un rotore ènulla:
Questa è l’equazione di continuità nel caso stazionario:
0=∂∂
+⋅∇t
J ρr
Questa è l’equazione di continuità ne caso non stazionario:
La dimostrazione di questa equazione è riportata più avanti. Per ora la si applica per determinare le correnti.
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IV) equazione di Maxwell
0=∂∂
+⋅∇t
J ρr
( ) 0 =∂⋅∇∂
+⋅∇⇒⋅∇=⇒=⋅∇tEJEEr
vrrεερ
ερ
Il teorema della circuitazione di Ampere ovvero la sua espressione locale rappresentata dalla quarta equazione di Maxwell può essere adattata al caso non stazionario. Si parte dalla equazione di continuità delle correnti:
Sostituendo al posto della densità di carica ρ la sua espressione locale fornita dalla I eq. Di Maxwell si ottiene:
Invertendo l’ordine di derivazione come consentito dal teorema di Schwartz:
0 0 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⋅∇⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅∇+⋅∇tEJ
tEJ
rv
rv
εε
Densità di corrente di spostamento
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IV) equazione di Maxwell
0 0 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⋅∇=⋅∇tEJJr
vrε
Confrontando le equazioni nei casi stazionario e non stazionario si vede che la divergenza di una certa quantità vettoriale è sempre nulla:
• Si deduce che la quantità dentro parentesi è ancora una densità di corrente, data dalla somma di due termini, il primo è la corrente di conduzione e il secondo è chiamato corrente di spostamento è dovuta alla variazione nel tempo del campo elettrico che è nulla nel caso stazionario.
• Partendo da questo ragionamento si può sostituire in termine comprensivo della densità di corrente generalizzata nella quarta equazione di Maxwell giàvista, ottenendone la generalizzazione al caso non stazionario:
IV eq MaxwelltEJ
tEJBIV
∂∂
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+=×∇r
vr
vrεµµεµ 000 )
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 44
IV) equazione di Maxwell
( )
ospostamentconduzioneL
ospostamentconduzioneSSS
IILdB
IIsdtEsdJsdB
00
0000
:ottiene si Stokes di teoremailper
µµ
µµεµµ
+=⋅
+=⋅∂∂
+⋅=⋅×∇
∫
∫∫∫
rr
rr
rvrr
S supericie dalla definito volume )( =⋅∇=⋅ ∫∫ τττ
dfsdfS
vrv
Integrando entrambi i membri di questa equazione su una superficie Sdelimitata dalla linea chiusa L si ottiene il teorema della circuitazione di Ampere nel caso non stazionario:
Dal teorema della divergenza segue il principio di Kirchoff per le correnti :
Teorema della circuitazione di Ampere
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Legge di Hopkinson: circuiti elettrici e magnetici
∫
∫
⋅=
=⋅
S
l
sdB)BΦ(
NIldB
rrr
vrµ
So consideri un tubo di flusso per il campo di induzione magnetica B , e le due equazioni:
n
S
B
ds
dl
Poiché B è parallelo a dl e a ds allora i rispettivi prodotti scalari forniscono le seguenti:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ =⇒==⋅=⋅=
=⋅=⋅
∫ ∫∫ SΦBBSdsBdsnBsdB)BΦ(
Bdl dlnBldB
S SS
e
rrrrr
rrvr
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Legge di Hopkinson: circuiti elettrici e magnetici
[ ]
Ohm di legge detta
alla analogaHopkinson di legge detta
:ottinene si
misurata magnetica Riluttanza 1
misurata cemagnetotri Forza :ponendo
1
1
RIV
RΦF
WeberreAmpere spidl
µSR
reAmpere spiNIF
dlS
ΦNI
NIdlS
ΦdlSΦBdlldB
l
l
ll ll
=
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
==
=
⇓
====⋅
∫
∫
∫∫ ∫∫
µ
µvr
Sostituendo nel primo integrale si ottiene:
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Continuità della carica
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∇+⋅∇=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅∇=∧∇⋅∇
tEJ
tEJB
ϑϑµεµ
ϑϑµεµ
rr
rrr
0
pertanto nulla è rotoreun di divergenza la ma
tEJBϑϑµεµr
rr+=∧∇
Si consideri l’equazione di Maxwell:
Applicando l’operatore divergenza ad entrambi i membri si ottiene:
L’operazione di divergenza è un’operazione di derivata nello spazio (x,y,z). Il tempo è la quarta variabile indipendente, pertanto è possibile invertire l’ordine di derivazione:
ερ
ϑϑµεµ =⋅∇⋅∇+⋅∇= EEt
Jrrr
Maxwell eq. I) dalla ma 0
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Continuità della carica
0=+⋅∇t
Jϑϑρr
dove ρ è la densità di carica misurata in C/m3 sostituendo si ottiene l’equazione di continuità della carica:
È importante perché completa il SECONDO PRINCIPIO DI KIRCHOFF: la somma delle correnti entranti in un volume chiuso non è uguale a 0; lo è solo se non vi è variazione temporale di carica in questo volume
Per comprendere il significato di tale equazione, si consideri un volume τchiuso da una superficie S, corredato da una serie di conduttori metallici in esso entranti:
Q=0=costante ?
I1I2
I3I4
S
10 ⇒+⋅∇=εϑ
ϑρµεµt
Jr
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Continuità della carica
( ) IsdJ dτJsτ∫∫ =⋅=⋅∇
rrr
( ) IIIIIsdJsdJsdJsdJsdJ dτJSSSSSτ
=+++=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=⋅∇ ∫∫∫∫∫∫ 432143214321
rrrrrrrrrrr
Calcolando l’integrale di volume della divergenza di J si ottiene (per il teorema della divergenza) la somma delle correnti:
Se la corrente arrivasse esclusivamente attraverso i conduttori, integrando ogni volta la densità di corrente nella sezione del conduttore risulterebbe che l’integrale di volume della divergenza di J sarebbe la somma delle correnti uscenti:
a sua volta uguale a “meno” la derivata nel tempo della carica totale ( in quanto l’integrale di volume della densità di carica restituisce la carica totale contenuta all’interno del volume) e questo deriva direttamene dall’equazione di continuità:
( ) IItQdτ
tdτ
tdτJ
ii
τττ∑∫∫∫=
==∂∂
−=∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=⋅∇4
1ρρ
r
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Continuità della carica
Si immagini una sfera dalla quale escano diversi conduttori:Se si integra la relazione precedente su questo volume la corrente è zero, tranne dove ci sono i conduttori. Integrando la densità di corrente attraverso la sezione dei conduttori si ottengono le varie correnti. Domanda: all’interno del volume c’è una carica Q che è 0, o quantomeno costante ? Risposta: Non è affatto detto.Se la carica contenuta in un certo volume è costante, non ci sono complicazioni.Prima di applicare Kirchoff alle correnti, quindi, occorre ricordare che Maxwell afferma che la somma delle correnti è uguale a “meno” la derivata nel tempo della carica, e non afferma che è uguale a zero!
tQII
ii ∂
∂−==∑
=
4
1
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Equazione delle onde elettromagnetiche
)
0 0)
tE
tEjBIV)
tBEIII
BII)EI
ϑϑµε
ϑϑµεµ
ϑϑ
ερ
=+=∧∇−=∧∇
=•∇==•∇
Si consideri un mezzo dielettrico illimitato, isotropo e omogeneo, e tale che il dielettrico sia ovunque elettricamente neutro (assenza di cariche localizzate ρ=0 ; se si tratta di un dielettrico perfetto (e dunque in particolare perfettamente isolante, dotato cioè di resistenza elettrica infinita) sappiamo che è parimenti j=0 (assenza di correnti macrosopiche).Le equazioni di Maxwell nel dielettrico perfetto divengono quindi:
Applichiamo l’operatore rotore alla III di tali equazioni. Ricordando l’identitàmatematica:
( ) ( ) 0 ma 2 ==⋅∇∇−⋅∇∇=×∇×∇ερEEEE
rrrr
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Equazione delle onde elettromagnetiche
022
2 =∂∂
−∇tBBr
rµε
( ) ( )
ovvero
ma
2
22
2
tE
tE
tE
tEBB
ttBEE
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−=∇−
⇓
∂∂
=×∇×∇∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−×∇=−∇=×∇×∇
rrr
rrr
rrr
µεµε
µε
si ricava l’equazione delle onde:
Un equazione del tutto analoga vale per B, applicando il rotore alla quarta eq. e confrontando con la derivata temporale della terza.
0 22
2 =∂∂
−∇tEEr
rµε
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Equazione delle onde elettromagnetiche
)(),( vtxftxf m=
• Prima di proseguire si ricordano alcune definizioni e nomenclature relative alle onde.
• Una funzione f(x,t) rappresenta un’onda di ampiezza costante che si propaga lungo l’asse x se in essa la dipendenza dalla coordinata x e dal tempo tcompare solo nella combinazione ε = (x⎯± vt) con v costante positiva.
• L’onda si dice progressiva o regressiva a seconda che compare il segno – o il segno +.
Tale equazione rappresenta un onda infatti la f(x⎯+ vt) definisce un profilo; tale profilo trasla senza cambiare forma lungo l’asse x con velocità ±v. infatti consideriamo un certo valore ε1 = (x1⎯+ vt1), allora all’istante t2=(t1+∆t) , lo stesso valore ε1 si presenta non più in x1 ma in x2= (x1+ ∆x) purchè ∆x sia legato a ∆t dalla relazione:
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] [ ]( )[ ] ( )[ ] ( )221111
111122
111111
0
vtxfvtxftvtvvtxf
tvxvtxftvvtxxfvtxf
vtxtvxvtxttvxxvtx
mmmm
mmmm
mmmm
=+=∆∆±+=
=∆∆+=∆+∆+=⇓
±=∆∆
⇒∆∆+=∆+∆+=
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Equazione delle onde elettromagnetiche
• Nella maggior parte dei fenomeni fisici (ad esclusione di una corda vibrante) la propagazione ondosa è un fenomeno tridimensionale.
• Si chiama allora fronte d’onda il luogo dei punti in cui, ad un fissato istante, la variabile ε assume lo stesso valore.
• Un onda bidimensionale si dice rettilinea o circolare (ad esempio) se i suoi fronti d’onda sono rettilinei o circolari, analogamente un onda tridimensionale si dice piana se i suoi fronti d’onda sono superfici piane; si dice sferica se i suoi fronti d’onda sono superfici sferiche; ecc.
f
ε= x⎯+ vt x
f∆x
t t+ ∆t
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Equazione delle onde elettromagnetiche
Per esempio, se considerata come un onda nello spazio la:
Rappresenta un onda piana: l’argomento ε, essendo indipendente da y e z, fissati x e t assume infatti lo stesso valore su tutto il piano perpendicolare all’asse x passante per il valore di x considerato.
)(),( vtxftxf m=
y
x
z Fronte d’onda piano
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 56
Equazione delle onde elettromagnetiche
Se la f(ε) è una funzione periodica del suo argomento, l’onda è detta onda periodica. In particolare sono periodiche le onde sinusoidali, cui per rendere adimensionale l’argomento si da usualmente una delle seguenti espressioni tra loro equivalenti:
( ) ( )
( )
( ) [ ] [ ]
ondadell' fase
ondadell' iniziale fase
sin2sin2sin22sin2sin),(
2sin2sin2sin2sin),(
2sin2sin2sin2sin),(
=+−=
=
+−=+−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
ϕωε
ϕ
ϕωϕπϕπϕλπ
λπϕ
λπ
ϕλ
πϕλ
πϕλλ
πϕλπ
ϕπϕπϕπϕλπ
tkx
dove
tkxAftkxAvt
fvkxAvtxAvtxAtxf
TtxA
fvvtxAvtxAvtxAtxf
tvx
TA
vvtxv
vTAvtx
fvAvtxAtxf
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 57
Equazione delle onde elettromagnetiche
ondad' fase di velocitàla è
ondad' lunghezza la è
ondad' numero il è 2
frequenza la è /1
pulsazione la è 22
:
2
vtx
λ
λπk
Tf
Tf
dove
kf
Tv
±=∆∆
=
=
==
====
ππω
ωπωλλλ
Un onda periodica è tale sia nella variabile x che nella variabile t. Il periodo temporale T e quello spaziale λ sono legati dalla relazione:
Per come è stata definita, la velocità ovvero, la velocità di un qualunque fronte d’onda, non è altro che la velocità con cui si muove la fase dell’onda.
Tale velocità è appunto detta velocità di fase
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 58
Onde elettromagnetiche piane
022
2 =∂∂
−∇tEEr
rµε
L’equazione delle onde è una equazione differenziale alle derivate parziali; come tale le sue soluzioni sono determinate a meno di funzioni arbitrarie, che possono essere ricavate solo imponendo le condizioni al contorno e le condizioni iniziali. La configurazione cui corrisponde l’espressione piùsemplice per le soluzioni è una configurazione piana (esempio ortogonale all’asse x). In questo caso (caso di onda piana) tutte le componenti dei campi Ee B sono indipendenti da y e da z: Ad ogni istante, E e B hanno lo stesso valore in tutti i punti di ogni piano ortogonale all’asse x.
022
2 =∂∂
−∇tBBr
rµε
y
x
z Fronte d’onda piano
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 59
Onde elettromagnetiche piane
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
dove
0
xf
zf
yf
xff
tff
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
=∂∂
−∇ µε
Fisicamente, questa condizione non si verifica mai esattamente nella pratica; tuttavia ad essa ci si approssima in molti casi (approssimazione di onda piana) in particolare quando si sia interessati ad una porzione di spazio piccola, molto lontana dalla sorgente (approssimazione di sorgente puntiforme).Dal momento che tutte le componenti dei campi E e B sono indipendenti da y e da z tutte le derivate dei campi rispetto ad y e z sono nulle ed il laplaciano si riduce alla sola derivata seconda rispetto ad x. Ciascuna delle sei componenti del campo elettromagnetico E e B soddisfa la stessa equazione; del tipo equazione di d’Alambert):
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 60
Onde elettromagnetiche piane
( ) ( ) ( )µε
ϕ 1 : , 21 =++−= vvtxfvtxftx con
La soluzione generale di questa equazione è del tipo:
Dove f1 ef f2 sono due funzioni arbitrarie che ammettono derivata seconda rispetto all’argomento ε = x±vt, cioè la soluzione generale è la somma di un onda progressiva e di un onda regressiva propagantesi con velocità v lungol’asse x.Se ci troviamo nel vuoto, la velocità v delle onde elettromagnetiche vieneindicata con c:
smc /10998,21 800
⋅≅=εµ
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 61
Onde elettromagnetiche piane
smcvrrrr
/111
00 εµεµεµµε≅==
vcn =
In un dielettrico perfetto qualunque, avremo:
Il rapporto:
fra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nel mezzo materiale trasparente è detto indice di rifrazione di quel materiale; poiché in un dielettrico perfetto la permeabilità magnetica relativa è µr=1 allora segue che:
rrrr
rr
vcn εεεµ
εµεµ
εµ=⋅==== 111
1
00
00
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Onde elettromagnetiche piane
Ricaviamo ulteriori proprietà delle onde elettromagnetiche piane utilizzando le equazioni di Maxwell cui devono soddisfare. Ricordiamo che tutte le componenti dei campi sono indipendenti da y e z e dunque sono nulle le rispettive derivate parziali rispetto a y e z :
[ ]
[ ]
( ) kt
Bjt
Bi
tB
xE
kx
Eji
kt
Bjt
Bi
tB
yE
xE
kx
Ez
Ejz
Ey
Ei
kt
Bjt
Bi
tB
EEEzyx
kji
tBEIII
xB
zB
yB
xBBII
xE
zE
yE
xEEI
zyxyz
zyxxyzxyz
zyx
zyx
xzyx
xzyx
ˆˆ ˆ0ˆ0ˆ00ˆ
ˆˆ ˆˆˆˆ
ˆˆ ˆ
ˆˆˆ
)
b 0 0 0 )
a 0 0 0 )
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−+−
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−=∂∂
∂∂
∂∂
⇒∂∂
−=×∇
=∂∂
⇒=∂∂
+∂
∂+
∂∂
⇒=⋅∇
=∂∂
⇒=∂∂
+∂
∂+
∂∂
⇒=⋅∇
vr
v
r
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 63
Onde elettromagnetiche piane
Ricaviamo ulteriori proprietà delle onde elettromagnetiche piane utilizzando le equazioni di Maxwell cui devono soddisfare. Ricordiamo che tutte le componenti dei campi sono indipendenti da y e z e dunque sono nulle le rispettive derivate parziali rispetto a y e z :
Dalla [a] e [f] e dalla [b] e [c]vediamo che Ex e Bx sono costanti nel tempo ed uniformi nello spazio. Esse pertanto non contribuiscono al fenomeno della propagazione del campo, in altri termini le onde elettromagnetiche sono puramente trasversali, la componente longitudinale parallela alla direzione di propagazione non contribuisce alla propagazione stessa.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
h
g
f 0
)
e
d
c 0
)
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
=∂
∂∂
∂−=
∂∂
∂∂
=
⇒∂∂
=×∇
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
−=∂
∂∂
∂−=
∂∂
−
∂∂
=
⇒∂∂
−=×∇
tE
xB
tE
xB
tE
tEBIV
tB
xE
tB
xE
tB
tBEIII
zy
yz
x
zy
yz
x
µε
µεµεr
v
vr
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 64
Onde elettromagnetiche piane
Ricaviamo ulteriori proprietà delle onde elettromagnetiche piane utilizzando le equazioni di Maxwell cui devono soddisfare. Ricordiamo che tutte le componenti dei campi sono indipendenti da y e z e dunque sono nulle le rispettive derivate parziali rispetto a y e z :
Dalla [d] e [e] e dalla [g] e [h]vediamo che se l’onda ha una componente Ey deve avere anche una componente Bz (e viceversa); e se ha una componente Ez deve avere anche una componente By (e viceversa)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
h
g
f 0
)
e
d
c 0
)
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
=∂
∂∂
∂−=
∂∂
∂∂
=
⇒∂∂
=×∇
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
−=∂
∂∂
∂−=
∂∂
−
∂∂
=
⇒∂∂
−=×∇
tE
xB
tE
xB
tE
tEBIV
tB
xE
tB
xE
tB
tBEIII
zy
yz
x
zy
yz
x
µε
µεµεr
v
vr
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 65
Onde elettromagnetiche piane: polarizzazione
Per la linearità delle equazioni di Maxwell, ogni combinazione lineare di soluzioni è soluzione; e se si sovrappongono due soluzioni, una con E diretto secondo l’asse y ed una con E diretto secondo l’asse z, si può ottenere qualunque soluzione (con e E diretto in una direzione n qualunque del piano yz), eventualmente variabile con x e t: n=n(x,t).Non si ha dunque alcuna perdita di generalità se si considera un onda il cui campo E sia orientato in direzione fissa ad esempio secondo l’asse y(Ez=0): una tale onda si dice possedere polarizzazione piana o lineare ( secondo l‘asse y).La più generale delle onde potrà essere ottenuta come sovrapposizione di un onda polarizzata secondo y e di un onda polarizzata secondo z.
y
x
z Fronte d’onda piano
Ey
Bz
Ey x Bz
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Onde elettromagnetiche piane
Se Ez=0 le relazioni [d] e [h] divengono:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
h 0
g
f 0
)
e
d 0
c 0
)
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂
∂∂
∂−=
∂∂
∂∂
=
⇒∂∂
=×∇
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
−=∂
∂∂
∂−=
∂∂
=
⇒∂∂
−=×∇
xB
tE
xB
tE
tEBIV
tB
xE
tB
tB
tBEIII
y
yz
x
zy
y
x
µεµεr
v
vr
Dunque la componente By non dipende ne da x ne da t: essa èuniforme e costante, così come già visto per Ex e Bx
Se il campo elettrico è direttosecondo y, il campo magnetico èdiretto secondo z: in un ondaelettromagnetica, campo elettrico e magnetico sono fraloro ortogonali (oltrechètrasversali, cioè ortogonali alladirezione di propagazione)
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 67
Onde elettromagnetiche piane
Se Ez=0 dalle relazioni [e] e [g] si ha::
)()(
)()(
ε
ε
zzz
yyy
BvtxBB
EvtxEE
==
==
m
m
Le relazioni [e] e [g] contengono una rilevante informazione concernente le ampiezze relative dei campi E e B. Ricordando infatti che E e B sono vettori diretti rispettivamente come y e come z allora ponendoε =(x⎯+ vt) si ha:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
h 0
g
f 0
)
e
d 0
c 0
)
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂
∂∂
∂−=
∂∂
∂∂
=
⇒∂∂
=×∇
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
−=∂
∂∂
∂−=
∂∂
=
⇒∂∂
−=×∇
xB
tE
xB
tE
tEBIV
tB
xE
tB
tB
tBEIII
y
yz
x
zy
y
x
µεµεr
v
vr
L’equazione [e] diviene pertanto:
( )ε
BvE
vε
B-tε
εB-
tBE
xE
xE zyzzzyyy
∂∂
±=∂
∂⇒
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂
∂=
∂∂
∂
∂=
∂
∂
εεε
ε e 1 m
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 68
Onde elettromagnetiche piane
vBE
z
y ±=
µε1 ==×= v
BE vBE r
rr
La precedente è una equazione differenziale ordinaria del primo ordine, che integrata per quadratura restituisce Ey= ±vBz+cost; dove la costante puòessere posta uguale a zero:
Ricordando che E è diretto secondo y e B secondo z, allora il modulo del rapporto Ey/Bz, rappresenta il rapporto dei moduli E e B di E e B. Tenuto conto di ciò, e del risultato più sopra stabilito a proposito delle direzioni relative di Ee B e v, possiamo sintetizzare i risultati da noi ottenuti a proposito dei campi Ee B in un onda piana nelle relazioni:
La seconda viene usualmente espressa in termini di E e di H anziché in termini di E e B. Sostituendo in essa B=µH si ha:
ZHE
==εµ
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 69
Onde elettromagnetiche piane
ZHE
==εµ
La quantità Z ha le dimensioni di una impedenza e viene detta impedenza caratteristica del materiale
Nel caso di onde elettromagnetiche nel vuoto l’impedenza caratteristica vale:
][AV
A/mV/m 3770
0
0 Ω=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=== Z
HE
εµ
In un onda piana non solo il campo elettrico ed il campo magnetico devono essere ortogonali, ma devono essere in fase ed inoltre il loro rapporto non dipende dalla frequenza, ma dipende esclusivamente da µ e ε, cioè da come èfatto il mezzo in cui l’onda si sta propagando.
Davide MicheliEq di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielttrici 70
Unità logaritmiche
Applicazione ai segnali radioelettrici
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 71
Unità Logaritmiche per esprimere le potenze
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0
10PPLogdB
L’unità adimensionale dB esprime il rapporto in maniera logaritmica tra due grandezze, per esempio per i livelli di potenza P(W); di solito si sceglie un riferimento:
Usando misure di tensione è necessario tenere conto dell’impedenza attraverso cui ciascuna tensione viene misurata:
000
00
0
20
2
0
:se 2010
10201010
R RVVLog
PPLog
RRLog
VVLog
RVR
V
LogPPLog
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⇓
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 72
Unità Logaritmiche dBm e dBµV
[ ][ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]( ) ( )
[ ]( ) ( ) [ ]( )
[ ]( ) [ ]
[ ] [ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ]dBVPVLogdove
VLogLogVLog
LogVLogV
VLogdBP
dBWPWPLogdove
WPLogLogWPLog
LogWPLogW
WPLogdBPdBP
VV
mWP
V
mmW
=
+=+=
=+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
+=+=
=+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=
=
−
−
20 :
120201012020
10202010
20
10 :
3010103010
10101010
10
1
1
66
33
0
0
µ
µ
Considerando come grandezze di riferimento le seguenti:
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 73
Unità Logaritmiche dBm e dBµV
[ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]
[ ] [ ]( )[ ] [ ]
[ ]
[ ] ( )[ ] ( )
[ ] [ ]( )[ ] [ ]
[ ]
6
2062020
120120
120
3
1031010
3030
1030
101010101010
1010
20120
1010101010
1010
1030
20/1
20
10/1
10
VVV
V
V
mmm
m
m
dBPdBPdBP
dBP
VLogdBP
V
dBPdBPdBP
dBP
WPLogdBP
m
VP
VLogdBP
WP
WP
WPLogdBP
µµµ
µ
µ
µ
====
=
=−
====
==
=−
−−
−
−
−−
−
−
Le relazioni reciproche sono :
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 74
Unità Logaritmiche: passaggio da dBµV a dBm
[ ] ( ) ( )
( ) [ ]( ) ( )
[ ] ( ) [ ] ( )
[ ] ( )
[ ] [ ] ( ) [ ]
[ ] [ ] 107
3012017301205010
:ottiene si allora 50
3012010
)10(101201010
101201010
1010
120101012010
10202010
2010
20
:
333
3
62/166
2
+=
⇓
−++=−++=
Ω=
−++=
+++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=
=++=+=
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
=⇒=
−−−
−
−−
dBmPdBP
dBmPLogdBmPdBP
Rse
RLogdBmP
LogRLogWPLogRLogWPLog
RLogWPLogPRLog
LogPRLogPRLogVLogdBP
PRVR
VPda
V
V
V
µ
µ
µ
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 75
Unità Logaritmiche: passaggio da dBµV a dBµV/m
È necessario introdurre il fattore di antenna K pertanto considerando un onda incidente su un antenna collegata ad un carico zL come in figura si ha:
zL(Ω) VL(µV)
Ei (µV/m)
Dipolo
Carico
Ei campo elettrico incidente
VL tensione ai morsetti di antenna chiusa su un carico specifico
Per definizione l’Antenna Factor (AF) che si misura in [m-1] è dato da:
[ ] ( ) [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] ( )1
11
/
//
20
−
−
+=
⇓
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒=
dBmAFVdBVmVdBE
VdBVmVdBEVV
mVELogdBmAFm
VE
AF
Li
LiL
i-
L
i
µµ
µµµµ
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 76
Unità Logaritmiche: passaggio da dBm a dBµV/m
Il passaggio è immediato utilizzando le relazioni già viste:
[ ] [ ] ( )
[ ] [ ] ( )
[ ] ( )
[ ] ( )( ) [ ] ( )
[ ][ ] ( )
20107
6
10720/11076
107
20
6
10
107
1020
/
1
1
11
1
20
6
1
6
1010/
20101010
101010
101010
107/
−
−−
−
−
−
−
++−
++++
−
++−⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−
⋅=
==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
==
++=
dBmAFdBmP
i
dBmAFdBmPdBmAFdBmP
dBmAFdBmPm
V
Log
dBmAFdBmPm
V
Log
mVdBE
i
mVE
m
V
m
V
dBmAFdBmPmVdBE
i µ
µ
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 77
Unità Logaritmiche: passaggio da dBm a dBµV/m
Alla relazione precedente si arriva anche mediante i seguenti passaggi: sia δ è la densità di potenza generata dall’antenna trasmittente in un punto a distanza d
24 dGtPt×××
=π
δ
In condizioni di campo lontano cioè per un onda piana tale densità di potenza è anche uguale a:
ηδ
2E=
moltiplicando la densità di potenza per l’area efficace dell’antenna ricevente si ottiene si ottiene la potenza ricevuta:
.Pr effA×= δ
•η è l’impedenza caratteristica del vuoto,•λ è la lunghezza d’onda del segnale utile,•Pr è la potenza ricevuta dal ricevitore nel punto considerato (W),•Gr è il guadagno del ricevitore,•freq è la frequenza in Hz
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 78
Unità Logaritmiche: passaggio da dBm a dBµV/m
si sa che l’area efficace di un’antenna è legata al suo guadagno attraverso la seguente relazione:
sostituendo tale valore nell’espressione della potenza ricevuta si ha
invertendo la relazione si ottiene:
GrAeff ××=
πλ
4
2
.
GrEGr ××
×=××
×=π
ληπ
λδ44
Pr222
GrEr
××××
= 24Pr
λπη
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 79
Unità Logaritmiche: passaggio da dBm a dBµV/m
Dal momento che esiste una relazione che lega l’Antenna Factor al guadagno si può scrivere:
[ ]
6
6
6
6
2222
2
222
10Pr
2010/20
10Pr10/
///in miuratoPr
1Pr
44Pr4Pr
:ha si elettrico campo del eespressionnell' osostituend
4 4
−
−
−
−
⋅=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅⋅=
==⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅
=
=⇒=
radiazione
radiazione
radiazione
radiazioneradiazione
RX
radiazioneRX
RXradiazione
RAFLog
mVELog
RAFmVE
mVE
mVm
AVAVm
AVWRAF
AFRAFRGr
E
G
AFRG
GRAF
µ
λπηλ
πηλ
πη
λπη
λπη
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 80
Unità Logaritmiche: passaggio da dBm a dBµV/m
[ ]
[ ] 107][ 107][)(20
120)50(1030][)(20
120)(10)10(10][)(20
120)(10)1010](Pr[10)(20
1020)(10])(Pr[10)(20/
1
3
3
3
6
++=
++=
=++−+=
=++++=
=++⋅+=
=+++=
−
−
−
−
dBmPdBmAF
dBmPAFLog
LogdBmPAFLog
RLogLogdBmPAFLog
RLogWLogAFLog
LogRLogWLogAFLogmVdBE
radiazione
radiazione
radiazioneµ
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 81
Tratta radio
Una trasmissione radio può essere schematizzata mediante i seguenti blocchi fondamentali:
Mu Mo Tx AL1
G1
AF MuDeRxAL2
G2
A0A
AT
TRATTA RADIO
Mu: multiplex AT: attenuazione complessiva di tratta hertzianaMo: modulatore RF A: attenuazione di trattaT: trasmettitore A0: attenuazione fondamentale di trasmissioneR: ricevitore AL: attenuazione delle connessioni di antennaDe: demodulatore AF: attenuazione aggiuntiva di fading
G1,2: guadagno di antenna
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 82
Tratta radio: trasmissione in spazio libero
Per la parte radio, l’attenuazione complessiva di tratta hertziana si trova mediante la seguente:
)( 21210 dBAAA)G(GAA FLLT +++−−=
La parte di tratta che comprende antenna trasmittente ed antenna ricevente caratterizza la trasmissione nello spazio che ipotizziamo essere “spazio libero”
Tx(A)
Rx(B)
ΘA,ФAΘB,ФB
WRB
WTA
rtrasmettitore
ricevitore
WTA: potenza trasmessa in ingresso all’antenna AWTB: potenza ricevuta in uscita dall’antenna BG(Θ,Ф): guadango delle antenne rispetto alla direzione di massima radiazione
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 83
Tratta radio: trasmissione in spazio libero
[ ]
[ ]
22
2
2
22
4
44
:è B antennadell' morsetti ai ricevuta potenza la aconseguenz di
4
:ha si antenna di guadagno al efficace area lega che relazione dalla
B antenna dalla morsetti ai W potenza
A da "" distanza a ricevuta W/m potenza di densità 4
λπ
GG
rπWλ
πG
PW
λπ
GA
APW
rGrπ
WP
),Φ(ΘB),Φ(ΘA
TA),Φ(ΘBBRB
),Φ(ΘB
),Φ(ΘBeff
),Φ(ΘBeffBRB
),Φ(ΘATA
B
BB
AA
BB
BB
BB
BB
AA
⋅=⋅=
=
⋅=
=
Su suppongono soddisfatte le seguenti ipotesi:– Campo lontano (cioè distanza r > 2d2/λ con d=dimensione maggiore lineare
dell’antenna)– Adattamento dei carichi ( in quanto si vuole il max trasferimento di potenza
senza effetti di potenza riflessa)– Adattamento di polarizzazione (per evitare perdite di potenza dovute a
polarizzazione diversa delle tra trasmissione e ricezione)
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 84
Tratta radio: attenuazione fondamentale di tratta
),Φ(ΘB),Φ(ΘATA
RBBBAA
GGrπλ
WW
2
4 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Pertanto si ottiene l’equazione di FRIIS:
75.0 0.5
è effettiva areal' apertura ad antenneper
1
14
2
0
2
0
≤≤⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
ηAηA
AAfrc
WWA
GGcrfπ
WWA
geometricaeff
BeffAeffRB
TA
BARB
TA
l’attenuazione fondamentale di tratta A0 di spazio libero è:
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 85
Tratta radio: attenuazione fondamentale di tratta
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ][ ]Hzfmr
con
dBGdBGrLogfLog
dBGdBGrLogπLogfLogcLog
dBGdBGrπLogfcLog
dBGdBGrπλLogdBmWdBmWdBW
),Φ(ΘB),Φ(ΘA
),Φ(ΘB),Φ(ΘA
),Φ(ΘB),Φ(ΘA
),Φ(ΘB),Φ(ΘATARB
BBAA
BBAA
BBAA
BBAA
≡≡
+++−≅
=+++−−=
=++⋅−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
=++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=−=∆
:
)()(20206,147
)()(204202020
)()(4102102
)()(4
102)()()(
Esprimendo l’equazione di Friis in decibel si ottiene:
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 86
Tratta radio: attenuazione fondamentale di tratta
In condizioni reali all’attenuazione fondamentale di tratta A0 va aggiunta l’attenuazione dovuta a fading (evanescenza) AF :
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=
azionedepolarizztoassorbimenostacoli da difrazione
rifrazioneeriflession
:con )( 0 FF AdBAAA
Davide MicheliEq di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielttrici 87
Ionosfera
Note sulla propagazione dei segnali radio
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 88
ionosfera
La ionosfera è uno strato (con caratteristiche dispersive per i segnali radio)dell’atmosfera localizzato nella regione compresa tra 70Km e 1000 Km sopra la superficie terrestre. Tale strato è così chiamato a causa dell’elevato numero di elettroni liberi e di molecole ionizzate (cariche positivamente) formatesi a causa della radiazione proveniente dal sole; tali particelle finiscono per ricombinarsi, con velocità di ricombinazione tanto maggiore quanto più è denso il gas ionizzato. Il risultato è all’equilibrio, la presenza di un certo numero di elettroni liberi e ioni.All’aumentare della densità dell’atmosfera, penetrando quest’ultima a partire dalle quote più elevate, la densità di ionizzazione N (numero di elettroni liberi per metro cubo) aumenta fino a raggiungere un massimo per poi diminuire, sia per la diminuzione dell’intensità delle radiazioni dovuta all’assorbimento nell’attraversare l’atmosfera, sia per l’aumento della velocità di ricombinazione provocato dalla maggiore densità atmosferica. La regione in cui il valore di N è apprezzabile è detta appunto ionosfera.La densità di ionizzazione N in funzione della quota non presenta un solo massimo ma più massimi relativi in corrispondenza dei quali si dice esistere uno strato ionosfericoSia la quota che i valori dei massimi di N, come il loro numero, dipendono da vari fattori, come la latitudine, l’ora del giorno, la stagione, il ciclo solare (con periodo di 11 anni).Si può comunque stabilire l’esistenza durante il giorno di almeno quattro strati: strato D(h=80 Km), strato E (h=110 Km), strato F1 (h=220 Km), strato F2(h=300 Km)
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 89
Propagazione ionosferica
Si assumano le seguenti ipotesi:
Plasma: è costituito da un insieme di particelle cariche e neutre; cariche + e cariche – ;
Particelle negative: elettroni prodotti per ionizzazione dalla radiazione ultravioletta , dai raggi X del sole e dai raggi cosmici
Particelle positive: atomi ionizzatiParticelle neutre: atomi non ionizzati
La ionosfera è caratterizzata dalla densità N di elettroni liberi in funzione dell’altezza sul livello del mare. Viene studiata per strati (C,D,E,F1,F2):
•Quota elevata: la radiazione ionizzante è elevata, il gas è molto rarefatto (il valore di N è basso)
•Quota intermedia: vi è il migliore rapporto radiazione pressione atmosferica (il valore di N è massimo)
•Quota bassa: radiazione minima ( N diminuisce)
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 90
Propagazione di un onda E.M. nel plasma
Si assume un modello FLUIDODINAMICO: il plasma non più visto come un insieme discreto di particelle, ma un continuo di particelle caratterizzato da grandezze medie (N: numero di particelle per unità di volume)
Ipotesi:
1. Plasma freddo: cioè si trascurano gli effetti della pressione;2. Assenza di attrito: non vi sono perdite dovute a collisioni, il tal caso la
costante dielettrica ε è reale, altrimenti dovremmo considerare un coefficiente che tiene conto del numero di collisioni per unità di volume e per unità di tempo e la costante dielettrica ε sarebbe complessa com ein un mezzo con perdite.
3. Forze trascurabili: gravità, in quanto le forze di tipo elettrico sulle cariche stesse dovuta alla presenza dell’onda E.M nel plasma è sicuramente molto più grande rispetto alla forza di gravità che agisce sulla carica stessa. Inoltre si trascura la mutua attrazione tra le cariche, nel senso che si suppongono sufficientemente lontane da trascurare questo tipo di forza columbiana.
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 91
Propagazione di un onda E.M. nel plasma
1. Solo gli elettroni si muovono: cioè gli ioni positivi molto più pesanti non si muovono sotto l’effetto del campo E.M. infatti il rapporto tra massa di un protone e di un elettrone è 1836. Una molecola essendo costituita da tanti protoni e neutroni è sicuramente più pesante rispetto all’elettrone stesso ed allora l’accellerazione che subisce un elettrone sarà ordini di grandezza più elevata rispetto a quella subita dalla molecola stessa, tale daconsiderare praticamente ferme le molecole rispetto all’elettrone stesso.
1836101.91067.1
31
27
=⋅⋅
= −−
KgKg
mm
elettrone
protone
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 92
Caratterizzazione del plasma
tEVNq
tEjHIV
tHEIII
∂∂
+=∂∂
+=×∇∂∂
−=×∇r
rr
vv
v000 )) εεµ
Si considerino le seguenti:• N cariche per unità di volume• q carica della particella [C]• v velocità della particella [m/s]• m massa della particella [Kg]• Nq densità di carica [C/m3]• j=NqV densità di corrente [A/m2] : elettroni messi in
movimento dalla presenza delle onde ettromagnetiche e pertanto il fenomeno è quantificabile tramite una densità di corrente.
• Nm densità di massa delle particelle [Kg/m3]
Consideriamo la terza e quarta equazione di Maxwell:
Consideriamo la legge di Newton cioè forza uguale massa per accelerazione:
( ) ( ) LorenzdiforzadidensitàHVENqdt
VNmdF 0 →×+==vrr
rv
µ
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 93
Caratterizzazione del plasma
( ) 0=∂∂
+⋅∇=∂∂
+⋅∇t
NqVNqt
Jrr ρ
Consideriamo l’equazione di continuità della carica che non è utilizzata ma èriportata per completezza:
Sono equazioni non lineari in N,V,H !!!Nel senso che vi sono prodotti di variabili dipendenti, ad esempio H èmoltiplicato per la velocità che a sua volta dipende dal cmpo e.m. indotto dall’onda esterna.
per risolvere tali equazioni si può ricorrere ad una linearizzazione facendo l’ipotesi di piccoli segnali ovvero ad una situazione di equilibrio con piccole variazioni dovute all’interazione del plasma con il campo elettromagnetico E.M.Sostanzialmente il criterio di linearizzazione si basa su uno sviluppo in serie di queste grandezze:
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 94
Caratterizzazione del plasma
N0 è la densità media di particelle in assenza di campo elettromangetico∆N è la perturbazione dovuta alla presenza del campo elettromagnetico
Lo stesso per le altre grandezze:
); terrestremagnetico campo ( impresso statico magnetico campo :con
cariche; delle iniziale movimentoun da impressa velocitàeventuale :con
;particelle delle media densità :con
00
00
00
=∆+→
=∆+→
=∆+→
HHHH
VVVV
NNNN
vvvv
rrr
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 95
Caratterizzazione del plasma
Segue che sostituendo i termini alle variazioni si possono semplificare in quanto sono piccoli rispetto agli altri; supponiamo inoltre che siamo in uno stato di quiete cioè che non ci sia velocità di dirift delle particelle cioè V0=0 e che H0 sia il campo magnetico terrestre costante:
( )( )
( ) ( )
variazioni piccole
spazio lo tutto in costanti
con
,
0
,
0
00
00
0000
00000000
00000
00
0000000
VN
V
HN
HVNHVNHVNHVNHVN
HVNHVNHVNHVNHHVNVNVNVNHVN
ENENENEN
VNVNVNVNVNVVNNVN
r
r
v
vr
vrvrvrvr
vrvrvrvr
vvrrrrvr
vvvv
rrrrrrrr
∆∆
=
×∆≅∆×∆∆+∆×∆+∆×∆+∆×+×∆∆+×∆+×∆+×
=∆+×∆∆+∆+∆+=×
≅∆+≅
∆≅∆∆+∆+∆+=∆+∆+≅
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 96
Caratterizzazione del plasma
Inoltre dall’ipotesi di linearizzazione risulta che la variazione di V funzione dello spazio e del tempo si riduce ad una funzione solo del tempo:
tVV
zVV
yVV
xV
tV
dtVd
tzyxVV
zyx ∂∂
≅∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
⇓=
vvvvvv
rv
),,,(
Trascurabile per linearizzazione
Alla luce della linearizzazione le equazioni dell’interazione Campo-Plasma sono:
tEVqN
tEVNq
tEjHIV
tHEIII
∂∂
+∆=∂∂
+=∂∂
+=×∇∂∂
−=×∇r
rr
rr
vv
v00000 )) εεεµ
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 00000000
000
HVqNEqNHVEqNHVENq
dtVdmN
dtVVmNNd
dtVNmdF
vrrvrrvrr
rrrrv
×∆+=×∆+=×+=
=∆⋅
=∆+∆+
==
µµµ
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 97
Caratterizzazione del plasma
Rapportandoci ai fasori per un onda sinusoidale, ovvero ricordando che :
Allora le equazioni dell’interazione Campo-Plasma sono:
EjVqNtEVqNHIV
Hjt
HEIII
rrr
rv
vv
v
0000
00
)
)
ωεε
ωµµ
+∆=∂∂
+∆=×∇
−=∂∂
−=×∇
00 )Newton di Legge HVqEqVmjvrrr
×∆+=∆ µω
tjtj ejedtd ωω ω ⋅=
Dalla eq di Newton si ricava ∆V che sostituito nelle altre equazioni dei rotori permette di ricavare E e H.
Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 98
Caratterizzazione del plasma
zBBH ˆ0
0
0
00 µµ
==r
rIpotesi :
Cioè il campo magnetico terrestre è costante ed è diretto lungo l’asse z; segue che:
VzqBVmjHVqVmjEqrrvrrr
∆×+∆=×∆−∆= ˆ )Newton di Legge 000 ωµω
Annotazione:
( ) ( ) [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −⋅=∆+∆−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆=∆×
z
y
x
xy
zyx VVV
zyxVyVxVVV
zyxVz
000001010
ˆˆˆˆˆ100ˆˆˆ
ˆr
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