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Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielttrici 1 Equazioni di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielettrici brevi note raccolte da Davide Micheli

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  • Davide MicheliEq di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielttrici 1

    Equazioni di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielettrici

    brevi note raccolte daDavide Micheli

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 2

    Agenda:

    • Equazioni di Maxwell e propagazione per onde elettromagnetiche piane nel vuoto

    • Unità di misura logaritmiche nelle trasmissioni radio• Definizione dell’attenuazione di tratta per un collegamento radio• Propagazione dei segnali radio nella ionosfera, applicazione al caso

    dei segnali provenienti da satelliti per il servizio GPS• Superfici selettive in frequenza• Linee di Trasmissione• Conduttori e Dielettrici• Conduzione elettrica dal punto di vista atomico• Propagazione Libera• Note sulla matrice di Scattering (Diffusione) nelle trasmissioni a

    microonde• Generalità sulle Guide D’onda Metalliche

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    Breve storia

    James Clerk Maxwell (13 giugno 1831 - 5 novembre 1879) fu il fisico scozzese del XIX secolo elaborò la prima teoria moderna dell'elettromagnetismo compendiando in poche equazioni tutte le nozioni di questa scienza. Maxwell tuttavia rimase legato ad una concezione di campo elettromagnetico la cui propagazione avviene attraverso un mezzo etereo; dapprima egli identificò l'etere luminifero con quello elettromagnetico e poi unificò i due fenomeni, quelli ottici e quelli elettromagnetici, infatti dalle sue equazioni tali onde sono immediatamente deducibili.Maxwell eresse il suo monumento alla scienza partendo dalle basi gettate da illustri scienziati tra cui non possiamo dimenticare il grande chimico-fisico sperimentale Michael Faraday e il fisico teorico Ampère.Inoltre Maxwell è anche noto per i suoi lavori effettuati nel campo della meccanica sui criteri di resistenza, in particolare nel 1856 propose il così detto: "Criterio della massima energia di distorsione".Tra i 16 e i 19 anni studia letteratura e filosofia presso William Hamilton e poi si iscrive all'università di Cambridge. Nel '50 conosce Stokes e pubblica un lavoro, Equilibrio dei solidi elastici, nel quale ricava le equazioni di Stokes e le applica a casi concreti per conoscere le proprietà fisiche della materia, mostrando la sua indole di uomo pratico della rivoluzione industriale. Sempre a Cambridge conosce Whewell e ne studia la filosofia. Nello stesso anno si realizza l'incontro con William Thomson (poi Lord Kelvin) che avrà grande rilevanza sulla formazione del giovane Maxwell e avrà importanti risvolti per la sua attività di ricerca. Tra i tanti personaggi le cui ricerche e le cui interazioni con Maxwell hanno fornito una base e man mano un aiuto per elaborazione dell'elettromagnetismo, due sembrano essere state le figure più luminose: Thomson e Faraday.Le principali linee guida del pensiero di Maxwell sono identificabili in ricerca dell'unità (unificazione) rifiuto di ipotesi microscopiche enfasi sui risultati sperimentali. Come metodo di indagine teorica Maxwell premia quello dell'analogia come il migliore perché è in grado di gettar luce su campi della scienza meno noti, partendo dalle leggi che governano fenomeni meglio conosciuti. Tuttavia questo metodo, sebbene efficace, dev'essere usato con consapevolezza per non vanificare gli sforzi trasformando utili aiuti in fuochi fatui ("useful helps into Wills of the Wisp", da "Essey for the Apostles on Analogies in Nature").

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    CONCETTO DI CAMPO ELETTRICO

    [ ]

    108.854 1094

    1

    in misura si dove ˆˆ4

    1

    2

    212

    02

    29

    0

    221

    221

    0

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡⋅=⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡⋅==

    ==

    NmC

    CNmk

    NFrrqqkr

    rqqF

    επε

    πε

    rr

    Fenomeni Stazionari ( grandezze nel sistema MKS)

    La forza cui sono soggette due cariche elettriche puntiformi nel vuoto è:

    Il Coulomb è definito come quella carica che attraversa in un secondo un conduttore percorso dalla corrente di un Ampere.

    Data una carica Q ferma nello spazio, allora se una seconda carica q viene posta, ferma, in presenza della prima, essa subisce una forza dipendente dalla posizione occupata q; ed in modulo proporzionale a q .Il rapporto tra la forza F e la carica q viene detto Campo Elettrico generato nella posizione r dalla carica Q:

    q1

    q2

    r

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    CONCETTO DI CAMPO ELETTRICO

    Il campo elettrico può avere linee di flusso entranti o uscenti a seconda del segno della carica Q, per convenzione si pone:

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡

    =⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛==

    mV

    mCJ

    mm

    CN

    CNE

    rrQk

    qr

    rQq

    qFE

    1in misura si dove

    ˆ1ˆ4

    122

    0

    r

    rr

    πε

    + -Q

    qr

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    CONCETTO DI CAMPO ELETTRICO

    Per la rappresentazione grafica dei campi è usuale l’uso delle linee di forza.Le linee di forza sono linee di flusso tali che in ogni punto il campo elettrico ètangenziale alle linee di forza.In ogni regione del campo viene disegnato un numero di linee di forza tale che la loro densità sia proporzionale all’intensità del campo.bisogna precisare che la carica q di prova deve essere abbastanza piccola da produrre una perturbazione trascurabile nella configurazione delle cariche Q circostanti che generano il campo, più precisamente deve risultare:

    qFrE

    q

    rrr

    0lim)(→

    =

    Si può interpretare questa situazione supponendo che la carica Q modifichi lo spazio ad essa circostante, producendo nel punto occupato dalla carica q, uno stato fisico, che chiamiamo campo di forza elettrico, a causa del quale qsubisce una forza proporzionale alla sua carica e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

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    CONCETTO DI CAMPO ELETTRICO

    Supponendo vera questa ipotesi si può concludere che l’intensità del campo elettrico in un punto individuato da r è indipendente dal fatto che esista o meno la carica q; l’esistenza del campo è infatti legata alla presenza della sorgente Q e non a quella della carica sul quale il campo agisce.

    Il concetto di campo è utile perché elimina la necessità di ricorrere all’ipotesi di azioni a distanza fra particelle; tuttavia occorre precisare che finchè si rimane in condizioni statiche, come quelle considerate (particelle ferme), le due descrizioni: azione a distanza o azione locale del campo sono del tutto equivalenti.E’ soltanto in condizioni dinamiche che l’esistenza del campo acquista un significato fisico indipendente dalle cariche sulle quali agisce, in quanto si manifestano fenomeni fisici legati alla presenza del campo anche nello spazio privo di materia.Da notare che uno spazio privo di materia ma sede di un campo (elettrico, magnetico, gravitazionale) non è uno spazio vuoto in quanto è possibile associare al campo quantità fisiche misurabili come energia e quantità di moto.

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    CONCETTO DI CAMPO ELETTRICO

    Inoltre, e questo è molto importante, poiché l’interazione tra due particelle separate spazialmente non è mai istantanea (in quanto la velocità di propagazione non è infinita), la forza che agisce su una particella dipende dalla posizione dell’altra in un istante precedente;Si osserva sempre un ritardo fra l’istante in cui cambia la forza agente su una particella e l’istante in cui cambia la posizione dell’altra particella, ritardo che il campo impiega a propagarsi da una particella all’altra.

    Gli effetti prodotti dalle cariche sorgenti, possono manifestarsi con intensitàsignificativa, anche in porzioni di spazio molto lontane da quelle occupate dalle cariche sorgenti; ed il ritardo con cui tali effetti si manifestano può essere interpretato in termini del tempo che il campo impiega a propagarsi nello spazio.

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    DIPOLO ELETTRICO

    La più semplice tra le configurazioni di carica è:

    +

    -

    Q

    z

    +Q

    z

    +

    Le linee di forza nello spazio si ottengono per rotazione intorno all’asse z

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    DIPOLO ELETTRICO

    Lo studio delle azioni elettrostatiche subite da un dipolo elettrico, è di particolare rilievo perché ad esse sono riconducibili le interazioni elettrostatiche più semplici cui sono soggetti i sistemi microscopici elettronicamente neutri (atomi e molecole non ionizzati).

    Ogni dipolo elettrico è caratterizzato da una grandezza detta momento di dipolo:

    qrP vv=

    -

    +

    q1

    q2

    r

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    CONCETTO DI CAMPO MAGNETICO

    FENOMENI STAZIONARI

    L’esistenza di forze magnetiche porta alla introduzione di un campo vettoriale, detto campo magnetico, analogo al campo elettrico. Tuttavia il campo magnetico presenta caratteristiche sostanzialmente diverse da quelle del campo elettrico; ciò è conseguenza del fatto che mentre esistono cariche elettriche positive separate da quelle negative, non è per contro possibile separare monopoli magnetici.

    N

    S

    N

    N

    S

    S

    N

    S

    N

    S

    N

    S

    Rompendo una calamitasi formano due calamite,

    sempre con due poli

    N

    S

    N

    S

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    CONCETTO DI CAMPO MAGNETICO

    Queste differenze hanno come conseguenza che le linee di flusso del campo magnetico sono sempre linee chiuse, ovvero il flusso uscente da una qualunque superficie chiusa è nullo.Viceversa nel caso del campo elettrico le linee di forza escono dalle cariche positive (sorgenti del campo) e finiscono sulle cariche negative (pozzi del campo).

    Tale differenza è osservabile dal momento che le forze subite dall’ago magnetico della bussola ha l’andamento tipico dell’azione subita da un dipolo e non da azioni subite da cariche puntiformi.In particolare un ago magnetico si dispone all’equilibrio, parallelamente al campo, cosicché con la sua direzione esso individua in ogni punto la tangente alle linee di forza del campo magnetico.

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    CONCETTO DI CAMPO MAGNETICO

    Un passo decisivo per la comprensione dei fenomeni magnetici èl’osservazione di Oestered (1820), secondo cui un filo percorso da corrente genera, su un ago magnetico esploratore, effetti orientanti analoghi a quelli esercitati da una calamita.In altri termini un filo percorso da corrente elettrica genera un campo magnetico.Nell’ambito di uno studio sistematico ( compiuto fra gli altri da Coulomb, Biot, F.Savart, Faraday, Lorents, Ampere, Maxwell) fu evidenziata l’esistenza di mutue azioni meccaniche fra fili percorsi da corrente.Poiché le correnti elettriche sono definite in termini di cariche in movimento:

    I=dQ/dttutti i fenomeni magnetici furono così ricondotti ad una comune base secondo cui essi sono generati in relazione al movimento di cariche; anche le azioni fra materiali magnetici sono interpretabili in termini di movimento di cariche microscopiche che sono le correnti atomiche.

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    CAMPO MAGNETICO: forza do Lorents

    lddNvjIBn

    BvdNqFd

    vdNqldsdvnqldsdjlIdBlIdFd

    d

    d

    dd

    rrr

    r

    rrr

    rrrrrrrrrrr

    trattonel presenti portatori di numeroelettriche cariche delle deriva di velocità

    corrente di densitàelettrica corrente

    magnetica induzione di campo volumedi unitàper particelle

    :ma

    ======

    ×=

    ===×=

    Si può sintetizzare ipotizzando che i circuiti percorsi da corrente generino nel loro intorno un campo B che chiameremo di induzione magnetica dipendente dalla posizione, il quale determina sul tratto dl percorso da corrente I ed orientato secondo il verso di circolazione di I una forza espressa dalla legge:

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    CAMPO MAGNETICO: forza do Lorents

    [ ]TmWb

    ms

    mV

    ms

    CmJ

    ms

    mm

    CN

    smC

    Nvelocitàcarica

    forzaB =⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡=

    ⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢

    =⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    ⋅≡ 2

    1

    Pertanto ci si aspetta che una singola carica puntiforme che si muova con velocità v nel campo di induzione magnetica B subisca una forza detta forza di Lorents pari a:

    B

    F

    V

    Secondo tale eq, una carica ferma con v=0 rispetto al riferimento del campo B, non è soggetta ad alcuna forza ad opera di un campo magnetico, mentrequando si muove, essa è sottoposta ad una forza ortogonale alla sua velocitàv . Le dimensioni fisiche del vettore induzione magnetica sono:

    BVqFrrr

    ×=

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    CAMPO MAGNETICO: forza do Lorents

    BvqEqFrrrr

    ×+=

    Dunque un Tesla (1T) è un campo di induzione magnetica B tale che una carica di un Coulomb, in moto con velocità di un 1m/s, è soggetta alla forza di un N se tale velocità è ortogonale a B.

    Se in una certa regione dello spazio agisce oltre al campo di induzione magnetica B (le cui sorgenti sono correnti elettriche) anche un campo elettrico E (le cui sorgenti sono cariche elettriche)Allora una particella carica q è sottoposta alla forza:

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    CAMPO MAGNETICO: forza do Lorents

    Considerando un circuito filiforme l’ percorso da corrente I; allora si trova sperimentalmente che il campo di induzione magnetica B generato nello spazio circostante è dato dalla 1° eq di Laplace:

    vuotodel magnetica tàpermeabili la è

    104104con 4

    7703

    '0

    0 ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡⋅=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡ ⋅Ω⋅=

    ∆×= −−

    mHenry

    ms

    rrdlIBd ππµ

    πµ

    r

    rr

    y

    z

    x

    dl’

    P(x,y,z)

    r’

    r

    ∆r=r-r’ dB0(P)

    I

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    CAMPO MAGNETICO: forza do Lorents

    In particolare in base alla precedente si può trovare che una spira circolare di raggio R percorsa da corrente I stazionaria, genera in un punto P del suo asse un campo di induzione magnetica B0 pari a:

    nRIB ˆ

    20

    =r

    y

    n

    x

    R

    I

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    Induzione elettromagnetica Legge Faraday Neumann

    Consideriamo un circuito (a) costituito da una linea chiusa l realizzata mediante un filo conduttore.Disponiamo in serie al circuito un galvanometro G mediante il quale è possibile constatare l’eventuale passaggio di corrente in (a).Si riscontra sperimentalmente che il galvanometro indica passaggio di corrente nei seguenti casi: 1) chiusura del tasto T

    f

    IG Ia≠0L

    (a) (b)

    T

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    Induzione elettromagnetica Legge Faraday Neumann

    2) ll circuito (b) si sposta dal circuito (a) con velocità vb per esempio in modo armonico

    f

    IG Ia≠0L

    (a) (b)Vb

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    Induzione elettromagnetica Legge Faraday Neumann

    3) Il magnete permanente (b) si sposta dal circuito (a) con velocità vb per esempio in modo armonico

    G Ia≠0L

    (a)

    (b)

    Vb

    N

    S

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    Induzione elettromagnetica Legge Faraday Neumann

    Faraday spiegò queste ed altre analoghe osservazioni sperimentali dicendo:Se un circuito è immerso in un campo di induzione magnetica il cui flusso Ф(B) concatenato con il circuito stesso sia variabile nel tempo, allora in esso si genera una forza elettromotrice indotta data da:

    ∫ ⋅−=Φ

    −=S

    indotta sdBdtd

    dtBdf r

    rr)(

    Quando nel circuito si genera una forza elettromotrice indotta da un campo di induzione magnetica B variabile, concatenato con il circuito stesso, allora in esso circola corrente.Questa corrente genera a sua volta un campo magnetico indotto Bi il cui flusso concatenato con il circuito è diverso da zero.Il segno meno davanti al secondo membro indica che il flusso del campo magnetico indotto Bi, concatenato con il circuito, tende a compensare la variazione di flusso responsabile del fenomeno di induzione stesso.

    B(t)

    Ii(t)

    Bi(t)

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    Induzione elettromagnetica: Legge di Lents

    Questa legge conosciuta come legge di Lents afferma che: il verso della forza elettromotrice indotta, è tale da opporsi alla variazione di flusso che la genera

    Si consideri un circuito elettrico in condizioni stazionarie; cioè tale che il tempo impiegato dai segnali elettromagnetici per attraversarlo sia molto piccolo rispetto al tempo che caratterizza le variazioni di densità carica ρ e densità di corrente j. Ovvero all’istante (t) la correnti I(t) è la stessa in tutti i punti del circuito.

    Tale corrente genera nello spazio circostante un campo di induzione magnetica B diverso da zero.Se I(t) varia nel tempo vara parimenti B(t) e quindi anche Ф(B): si genera pertanto una forza elettromotrice autoindotta che si oppone alla forza elettromotirce responabile di B(t)

    fI(t) ≈

    B

    fI(t) ≈

    B

    Iai(t)

    Bai

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    Induzione elettromagnetica: Induttanza L

    )(4

    4 l

    3

    '0

    03

    '0

    0 ∫ ∆∆×

    =⇒∆

    ∆×=

    rrdltIB

    rrdlIBd r

    rrr

    rr

    πµ

    πµ

    Osservando la I formula di Laplace scritta sopra si nota che:

    B è proporzionale ad I(t);Ф(t) concatenato con il circuito è proporzionale a B

    Pertanto segue che Ф(t) è proporzionale a I(t):

    )(4

    )(4

    )(l

    3

    '0

    l3

    '0 tIsd

    rrdlsd

    rrdltIsdBILB

    SSS ⎪⎭

    ⎪⎬⎫

    ⎪⎩

    ⎪⎨⎧

    ⋅⎥⎥⎦

    ⎢⎢⎣

    ∆×=⋅

    ⎥⎥⎦

    ⎢⎢⎣

    ∆×=⋅=⋅=Φ ∫ ∫∫ ∫∫

    rr

    rr

    r

    rrrr

    πµ

    πµ

    Il coefficiente di poporzionalità L è definito coefficiente di autoinduzione o induttanza del circuito stesso

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    Induzione elettromagnetica: Induttanza L

    [ ] [ ]HenrysA

    sVAmpereWeberL =⋅Ω=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡ ⋅=⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡=

    Il valore dell’induttanza L è determinato unicamente dalla geometria del circuito e dal materiale utilizzato. Nel sistema internazionale si misura in:

    Dalla legge di Faraday segue che:

    ( )dtdIL

    dttILd

    dtBdfindotta −=

    ⋅−=

    Φ−=

    )()(r

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    I) equazione di Maxwell

    ∫∑∫ ==⋅=Φτ

    τρεε

    dtzyxqsdEES

    ),,,(11)(0

    .int0

    00vrr

    Consideriamo il teorema di GAUS:Il flusso del campo elettrostatico E0 attraverso una qualunque superficie chiusa S, è pari alla somma algebrica delle cariche contenute all’interno di S, divisa per la costante ε0. Eventuali cariche disposte esternamente alla superficie non portano alcun contributo al flusso di E0 .

    ds nS

    La sommatoria si riferisce ad una distribuzione di carica discreta; mentre l’integrale di volume su τ si riferisce a duna distribuzione di carica continua con densità:

    τρ nq=

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    I) equazione di Maxwell

    ( )

    ( )

    ),,(1

    ),,(1)(

    00

    0000

    00

    zyxE

    dzyxdEsdEE

    dEsdE

    S

    S

    ρε

    τρε

    τ

    τ

    ττ

    τ

    =⋅∇

    =⋅∇=⋅=Φ

    ⋅∇=⋅

    ∫∫∫

    ∫∫

    r

    rvrr

    rvr

    Dal teorema della divergenza:

    L’eguaglianza degli integrandi segue dal teorema di Gaus che vale per qualunque superficie chiusa S di integrazione e dunque anche per qualunque volume di integrazione in essa racchiuso.

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    I) equazione di Maxwell

    Per la validità è necessario che le grandezze siano continue ed il campo derivabile in ogni punto con continuità altrimenti occorre applicare tale equazione locale in ogni punto usando eventualmente le condizioni di raccordo:

    Et1=Et2 ; Dn1=Dn2 con D=εE cioè ε1E1= ε2E2

    Si osserva che il teorema di Gauss collega tra loro grandezze fisiche calcolate in posizioni diverse: il campo elettrico sulla superficie S alla densità di carica ρ in punti interni alla superficie S stessa.Questo non è un problema fino a che le grandezze in gioco sono costanti nel tempo; tuttavia la generalizzazione al caso non stazionario non è immediata, considerato che una eventuale variazione di carica nel tempo, ad esempio della densità ρ(x,y,z) dentro la superficie non può tradursi in una simultanea variazione del campo elettrico sulla superficie in quanto nessun fenomeno fisico si propaga con velocità infinita.Al contrario la 1° equazione di Maxwell lega fra loro grandezze fisiche diverse calcolate nella stessa posizione.

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    I) equazione di Maxwell

    Essa si presta pertanto alla immediata generalizzazione al caso non stazionario introducendo semplicemente la dipendenza dal tempo delle grandezze che il essa compaiono:

    ),,,(1 )0

    0 tzyxEI ρε=⋅∇

    r

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    II) equazione di Maxwell

    0 ) =⋅∇ BIIr

    Applicando l’operatore divergenza alla formula di Laplace:

    )(4 l

    3

    '0

    0 ∫ ∆∆×

    =r

    rdltIB rrr

    πµ

    Si trova che:

    Che si enuncia dicendo che il vettore B0 è solenoidale, come conseguenza si ricava la proprietà di B0 :Sia S una qualunque superficie chiusa, e sia τ il volume in essa racchiuso, allora il flusso del campo di induzione magnetica B0 attraverso una qualunque superficie chiusa è nullo;

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    II) equazione di Maxwell

    0)()( 000 =⋅∇=⋅=Φ ∫∫τ

    τdBsdBBS

    s

    rrr

    Si è applicato il teorema della divergenza:

    ds nS

    l ∫∫ ⋅∇=⋅τ

    τdBsdBS

    )( 00rrr

    Ovvero sia anche il flusso di B0 attraverso due superfici S e S’ aventi lo stesso contorno l e orientamento discorde è uguale ed opposto.

    l

    ds n

    ds1

    n1

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    II) equazione di Maxwell

    Tenendo conto che cambiando il verso di orientamento delle superfici il flusso cambia segno si ottiene allora immediatamente l’altra proprietà spesso usata:

    l

    ds n

    ds1

    n1

    Il flusso di B0 attraverso due superfici qualunque aventi lo stesso contorno edorientamento concorde è uguale, per cui si può parlare semplicemente di flusso concatenato con quel contorno;

    Se il contorno l rappresenta una spira allora il flusso Ф(B) si dice concatenato con quella spira.

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    II) equazione di Maxwell

    0)(3

    33 =⋅=Φ ∫S

    sdBB rvv

    0)(321

    321 =⋅+⋅+⋅=⋅=Φ ∫∫∫∫SSSS

    sdBsdBsdBsdBB rvrvrvrv

    Si consideri per semplicità una superficie come quella indicata in figura:

    Poiché in un circuito magnetico il vettore induzione magnetica si dispone parallelamente alla superficie ne consegue che:

    s1n1

    n2

    s2

    n3

    ds3

    s3

    Pertanto:

    0)(21

    21 =⋅+⋅=⋅=Φ ∫∫∫SSS

    sdBsdBsdBB rvrvrv

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 34

    II) equazione di Maxwell

    cost)(

    allora costante è S sezione la se

    0)(

    21

    21

    2211

    21

    21

    21

    21

    ==Φ

    =

    =

    =

    ⋅=⋅

    =⋅−⋅=⋅=Φ

    ∫∫

    ∫∫∫

    BSB

    BB

    SBSB

    SBSB

    sdBsdB

    sdBsdBsdBB

    SS

    SSS

    rvrv

    rvrvrvImpostando quindi il verso di n2 come quello negativo entrante si ottiene:

    Ovvero il flusso entrante attraverso una superficie s1 del circuito è uguale al flusso uscente attraverso la superficie s2=s1 del circuito

    s1n1

    n2

    s2

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 35

    III) equazione di Maxwell

    0(b)V-(a)V 000 =⋅=∫b

    a

    ldErr

    Come è noto il campo elettrostatico è, in condizioni stazionarie, un campo conservativo ovvero esiste una funzione potenziale V tale che:

    Se il campo è conservativo tale integrale non dipende dal cammino di integrazione “l” ma soltanto dal punto iniziale “a” e dal punto finale “b”; ovvero l’equazione rimane identicamente soddisfatta qualunque sia il percorso “l” che porta dal punto “a” al punto “b” purchè “l” non passi per i punti di singolarità di E0.Il particolare se “a” coincide con “b”, qualunque sia la linea chiusa l di integrazione si ha:

    a

    b

    l

    ab

    l

    ∫ ⋅=⇒−∇=b

    a

    ldEVErrr

    0000 (b)V-(a)V

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 36

    III) equazione di Maxwell

    00 =×∇ Er

    Questa è una condizione necessaria e sufficiente affinché il campo E0 sia conservativo e cioè che la circuitazione di E0 sia nulla.Applicando il teorema di Stokes si ha:

    Dal momento che tale relazione vale per ogni linea chiusa l e per ogni superficie S che abbia l come contorno, segue che deve essere nullo l’integrando.

    ∫∫ ×∇=⋅=Sl

    sdEldE rrrr

    )(0 00

    Questa esprime la III) equazione di Maxwell nel caso stazionario, ovvero esprime in forma locale la conservatività del campo elettrostatico; si dice anche che il campo elettrostatico è irrotazionale.

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 37

    III) equazione di Maxwell

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡−===⋅=⋅

    ==

    ∫∫∫∫ba

    b

    a

    b

    a

    b

    a

    b

    a rrQdr

    rQrdr

    rQrdr

    rQrdE

    rrrrrQrE

    114

    14

    144

    1

    punti due traintegrando allora ˆcon 4

    1)(

    02

    03

    03

    00

    30

    0

    πεπεπεπε

    πε

    rvrr

    vvr

    • Questo risultato mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo in quanto il suo integrale di linea fra due posizioni non dipende dalla particolare traiettoria.

    • Il potenziale elettrostatico in un punto (x,y,z) della curva di integrazione generato dalla carica puntiforme Q è:

    Applicando tale osservazione al campo elettrico generato da una carica Q puntiforme si ha:

    [ ]VCJm

    CN(a)VldE(x,y,z)V

    xyx

    a

    =⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡+⋅= ∫ 0

    ),,(

    00

    rr

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 38

    III) equazione di Maxwell

    ( )

    voconservatinon elettrico campoun presente è allora ostazionari ènon magnetico campo il se:ostazionarinon caso nel Maxwell di equazione III) ottienela si itegrandi gli oeguagliand

    )( )(

    :iespression due le oeguagliand

    )(Stokesper :anche risulta )(

    SS∫ ∫∫ ∫

    ∫∫∫

    ⋅×∇=⋅−⇒⋅×∇=⋅−

    ⋅×∇==⋅=⋅−=Φ

    −=

    SS

    SlS

    sdEsddtBdsdEsdB

    dtd

    sdEldEfsdBdtd

    dtBdf

    rrrr

    rrrr

    rrvrrrr

    Il potenziale V0(x,y,z) corrisponde all’energia potenziale già introdotta per i campi conservativi con la precisazione che ci si riferisca ad una carica unitaria

    Dalla legge di Faraday Newmann segue per un circuito chiuso:

    dtBdEr

    r−=×∇ III) III) eq. Maxwell

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 39

    IV) equazione di Maxwell

    InldBl

    0µ=⋅∫vr

    Una proprietà fondamentale di B riguarda la sua circuitazione: ovvero in termini differenziali locali si dimostra che la circuitazione di B è in generale diversa da zero: è detto Teorema della circuitazione di Ampere

    • La circuitazione di B lungo una qualunque linea chiusa orientata L è pari alla corrente I con la quale la linea chiusa si concatena moltiplicata per µ0moltiplicata a sua volta per il numero di concatenazioni n.

    • Se il campo B è generato da più di un solo circuito allora tenendo presente che per le sue proprietà il campo B così come E è additivo, allora si ha:

    ( ) )0211( 423100 IIIInIldB iil

    ⋅+⋅−⋅−⋅==⋅ ∑∫ µµvr

    l4

    l1L

    l2l3

    LL

    l

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 40

    IV) equazione di Maxwell

    ∫∑∫∫∑ ⋅==⋅⇒Φ=⋅=S

    ilS

    i sdJIldBJsdJIrrvrrrr

    00 )( µµ

    )( )( 0∫∫∫∫ ⋅=⋅×∇⇒⋅×∇=⋅SSSl

    sdJsdBsdBldB vrvrvrvr µ

    Le correnti vanno prese con il segno positivo o negativo a seconda che esse vedano circolare intorno a se la linea orientata L in senso antiorario o in senso orario. Poiché la corrente I è pari a:

    Dal teorema del rotore segue:

    Poiché questa relazione deve valere qualunque sia la linea chiusa L e qualunque sia la superficie aperta avente L come contorno, allora l’eguaglianza degli integrali implica quella degli integrandi:

    JBrr

    0µ=×∇Questa è la Quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario

    L

    ds n

    la Quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario mostra che ameno che sia J=0, il campo B non è conservativo, e dunque non è possibile introdurre, in analogia col potenziale elettrostatico, un potenziale scalare magnetostatico.

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 41

    IV) equazione di Maxwell

    ( ) ( )( ) ( )

    0

    )()(0

    0)(

    )(

    0

    =⋅∇⇓

    ⋅∇=×∇⋅∇=⇓

    =×∇⋅∇−∇×∇⋅=×∇⋅∇⇓

    ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇

    J

    JB

    BBB

    BAABBA

    r

    rr

    rrr

    rrrrrr

    µ

    Per una proprietà matematica generale si ha che la divergenza di un rotore ènulla:

    Questa è l’equazione di continuità nel caso stazionario:

    0=∂∂

    +⋅∇t

    J ρr

    Questa è l’equazione di continuità ne caso non stazionario:

    La dimostrazione di questa equazione è riportata più avanti. Per ora la si applica per determinare le correnti.

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 42

    IV) equazione di Maxwell

    0=∂∂

    +⋅∇t

    J ρr

    ( ) 0 =∂⋅∇∂

    +⋅∇⇒⋅∇=⇒=⋅∇tEJEEr

    vrrεερ

    ερ

    Il teorema della circuitazione di Ampere ovvero la sua espressione locale rappresentata dalla quarta equazione di Maxwell può essere adattata al caso non stazionario. Si parte dalla equazione di continuità delle correnti:

    Sostituendo al posto della densità di carica ρ la sua espressione locale fornita dalla I eq. Di Maxwell si ottiene:

    Invertendo l’ordine di derivazione come consentito dal teorema di Schwartz:

    0 0 =⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛∂∂

    +⋅∇⇒=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛∂∂

    ⋅∇+⋅∇tEJ

    tEJ

    rv

    rv

    εε

    Densità di corrente di spostamento

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 43

    IV) equazione di Maxwell

    0 0 =⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛∂∂

    +⋅∇=⋅∇tEJJr

    vrε

    Confrontando le equazioni nei casi stazionario e non stazionario si vede che la divergenza di una certa quantità vettoriale è sempre nulla:

    • Si deduce che la quantità dentro parentesi è ancora una densità di corrente, data dalla somma di due termini, il primo è la corrente di conduzione e il secondo è chiamato corrente di spostamento è dovuta alla variazione nel tempo del campo elettrico che è nulla nel caso stazionario.

    • Partendo da questo ragionamento si può sostituire in termine comprensivo della densità di corrente generalizzata nella quarta equazione di Maxwell giàvista, ottenendone la generalizzazione al caso non stazionario:

    IV eq MaxwelltEJ

    tEJBIV

    ∂∂

    +=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛∂∂

    +=×∇r

    vr

    vrεµµεµ 000 )

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 44

    IV) equazione di Maxwell

    ( )

    ospostamentconduzioneL

    ospostamentconduzioneSSS

    IILdB

    IIsdtEsdJsdB

    00

    0000

    :ottiene si Stokes di teoremailper

    µµ

    µµεµµ

    +=⋅

    +=⋅∂∂

    +⋅=⋅×∇

    ∫∫∫

    rr

    rr

    rvrr

    S supericie dalla definito volume )( =⋅∇=⋅ ∫∫ τττ

    dfsdfS

    vrv

    Integrando entrambi i membri di questa equazione su una superficie Sdelimitata dalla linea chiusa L si ottiene il teorema della circuitazione di Ampere nel caso non stazionario:

    Dal teorema della divergenza segue il principio di Kirchoff per le correnti :

    Teorema della circuitazione di Ampere

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 45

    Legge di Hopkinson: circuiti elettrici e magnetici

    ⋅=

    =⋅

    S

    l

    sdB)BΦ(

    NIldB

    rrr

    vrµ

    So consideri un tubo di flusso per il campo di induzione magnetica B , e le due equazioni:

    n

    S

    B

    ds

    dl

    Poiché B è parallelo a dl e a ds allora i rispettivi prodotti scalari forniscono le seguenti:

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ =⇒==⋅=⋅=

    =⋅=⋅

    ∫ ∫∫ SΦBBSdsBdsnBsdB)BΦ(

    Bdl dlnBldB

    S SS

    e

    rrrrr

    rrvr

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 46

    Legge di Hopkinson: circuiti elettrici e magnetici

    [ ]

    Ohm di legge detta

    alla analogaHopkinson di legge detta

    :ottinene si

    misurata magnetica Riluttanza 1

    misurata cemagnetotri Forza :ponendo

    1

    1

    RIV

    RΦF

    WeberreAmpere spidl

    µSR

    reAmpere spiNIF

    dlS

    ΦNI

    NIdlS

    ΦdlSΦBdlldB

    l

    l

    ll ll

    =

    =

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡==

    ==

    =

    ====⋅

    ∫∫ ∫∫

    µ

    µvr

    Sostituendo nel primo integrale si ottiene:

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 47

    Continuità della carica

    ( )

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛⋅∇+⋅∇=

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛+⋅∇=∧∇⋅∇

    tEJ

    tEJB

    ϑϑµεµ

    ϑϑµεµ

    rr

    rrr

    0

    pertanto nulla è rotoreun di divergenza la ma

    tEJBϑϑµεµr

    rr+=∧∇

    Si consideri l’equazione di Maxwell:

    Applicando l’operatore divergenza ad entrambi i membri si ottiene:

    L’operazione di divergenza è un’operazione di derivata nello spazio (x,y,z). Il tempo è la quarta variabile indipendente, pertanto è possibile invertire l’ordine di derivazione:

    ερ

    ϑϑµεµ =⋅∇⋅∇+⋅∇= EEt

    Jrrr

    Maxwell eq. I) dalla ma 0

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 48

    Continuità della carica

    0=+⋅∇t

    Jϑϑρr

    dove ρ è la densità di carica misurata in C/m3 sostituendo si ottiene l’equazione di continuità della carica:

    È importante perché completa il SECONDO PRINCIPIO DI KIRCHOFF: la somma delle correnti entranti in un volume chiuso non è uguale a 0; lo è solo se non vi è variazione temporale di carica in questo volume

    Per comprendere il significato di tale equazione, si consideri un volume τchiuso da una superficie S, corredato da una serie di conduttori metallici in esso entranti:

    Q=0=costante ?

    I1I2

    I3I4

    S

    10 ⇒+⋅∇=εϑ

    ϑρµεµt

    Jr

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 49

    Continuità della carica

    ( ) IsdJ dτJsτ∫∫ =⋅=⋅∇

    rrr

    ( ) IIIIIsdJsdJsdJsdJsdJ dτJSSSSSτ

    =+++=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=⋅∇ ∫∫∫∫∫∫ 432143214321

    rrrrrrrrrrr

    Calcolando l’integrale di volume della divergenza di J si ottiene (per il teorema della divergenza) la somma delle correnti:

    Se la corrente arrivasse esclusivamente attraverso i conduttori, integrando ogni volta la densità di corrente nella sezione del conduttore risulterebbe che l’integrale di volume della divergenza di J sarebbe la somma delle correnti uscenti:

    a sua volta uguale a “meno” la derivata nel tempo della carica totale ( in quanto l’integrale di volume della densità di carica restituisce la carica totale contenuta all’interno del volume) e questo deriva direttamene dall’equazione di continuità:

    ( ) IItQdτ

    tdτ

    tdτJ

    ii

    τττ∑∫∫∫=

    ==∂∂

    −=∂∂

    −=⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    ∂∂

    −=⋅∇4

    1ρρ

    r

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 50

    Continuità della carica

    Si immagini una sfera dalla quale escano diversi conduttori:Se si integra la relazione precedente su questo volume la corrente è zero, tranne dove ci sono i conduttori. Integrando la densità di corrente attraverso la sezione dei conduttori si ottengono le varie correnti. Domanda: all’interno del volume c’è una carica Q che è 0, o quantomeno costante ? Risposta: Non è affatto detto.Se la carica contenuta in un certo volume è costante, non ci sono complicazioni.Prima di applicare Kirchoff alle correnti, quindi, occorre ricordare che Maxwell afferma che la somma delle correnti è uguale a “meno” la derivata nel tempo della carica, e non afferma che è uguale a zero!

    tQII

    ii ∂

    ∂−==∑

    =

    4

    1

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 51

    Equazione delle onde elettromagnetiche

    )

    0 0)

    tE

    tEjBIV)

    tBEIII

    BII)EI

    ϑϑµε

    ϑϑµεµ

    ϑϑ

    ερ

    =+=∧∇−=∧∇

    =•∇==•∇

    Si consideri un mezzo dielettrico illimitato, isotropo e omogeneo, e tale che il dielettrico sia ovunque elettricamente neutro (assenza di cariche localizzate ρ=0 ; se si tratta di un dielettrico perfetto (e dunque in particolare perfettamente isolante, dotato cioè di resistenza elettrica infinita) sappiamo che è parimenti j=0 (assenza di correnti macrosopiche).Le equazioni di Maxwell nel dielettrico perfetto divengono quindi:

    Applichiamo l’operatore rotore alla III di tali equazioni. Ricordando l’identitàmatematica:

    ( ) ( ) 0 ma 2 ==⋅∇∇−⋅∇∇=×∇×∇ερEEEE

    rrrr

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 52

    Equazione delle onde elettromagnetiche

    022

    2 =∂∂

    −∇tBBr

    rµε

    ( ) ( )

    ovvero

    ma

    2

    22

    2

    tE

    tE

    tE

    tEBB

    ttBEE

    ∂∂

    −=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛∂∂

    ∂∂

    −=∇−

    ∂∂

    =×∇×∇∂∂

    −=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛∂∂

    −×∇=−∇=×∇×∇

    rrr

    rrr

    rrr

    µεµε

    µε

    si ricava l’equazione delle onde:

    Un equazione del tutto analoga vale per B, applicando il rotore alla quarta eq. e confrontando con la derivata temporale della terza.

    0 22

    2 =∂∂

    −∇tEEr

    rµε

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 53

    Equazione delle onde elettromagnetiche

    )(),( vtxftxf m=

    • Prima di proseguire si ricordano alcune definizioni e nomenclature relative alle onde.

    • Una funzione f(x,t) rappresenta un’onda di ampiezza costante che si propaga lungo l’asse x se in essa la dipendenza dalla coordinata x e dal tempo tcompare solo nella combinazione ε = (x⎯± vt) con v costante positiva.

    • L’onda si dice progressiva o regressiva a seconda che compare il segno – o il segno +.

    Tale equazione rappresenta un onda infatti la f(x⎯+ vt) definisce un profilo; tale profilo trasla senza cambiare forma lungo l’asse x con velocità ±v. infatti consideriamo un certo valore ε1 = (x1⎯+ vt1), allora all’istante t2=(t1+∆t) , lo stesso valore ε1 si presenta non più in x1 ma in x2= (x1+ ∆x) purchè ∆x sia legato a ∆t dalla relazione:

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )[ ] [ ]( )[ ] ( )[ ] ( )221111

    111122

    111111

    0

    vtxfvtxftvtvvtxf

    tvxvtxftvvtxxfvtxf

    vtxtvxvtxttvxxvtx

    mmmm

    mmmm

    mmmm

    =+=∆∆±+=

    =∆∆+=∆+∆+=⇓

    ±=∆∆

    ⇒∆∆+=∆+∆+=

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 54

    Equazione delle onde elettromagnetiche

    • Nella maggior parte dei fenomeni fisici (ad esclusione di una corda vibrante) la propagazione ondosa è un fenomeno tridimensionale.

    • Si chiama allora fronte d’onda il luogo dei punti in cui, ad un fissato istante, la variabile ε assume lo stesso valore.

    • Un onda bidimensionale si dice rettilinea o circolare (ad esempio) se i suoi fronti d’onda sono rettilinei o circolari, analogamente un onda tridimensionale si dice piana se i suoi fronti d’onda sono superfici piane; si dice sferica se i suoi fronti d’onda sono superfici sferiche; ecc.

    f

    ε= x⎯+ vt x

    f∆x

    t t+ ∆t

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 55

    Equazione delle onde elettromagnetiche

    Per esempio, se considerata come un onda nello spazio la:

    Rappresenta un onda piana: l’argomento ε, essendo indipendente da y e z, fissati x e t assume infatti lo stesso valore su tutto il piano perpendicolare all’asse x passante per il valore di x considerato.

    )(),( vtxftxf m=

    y

    x

    z Fronte d’onda piano

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 56

    Equazione delle onde elettromagnetiche

    Se la f(ε) è una funzione periodica del suo argomento, l’onda è detta onda periodica. In particolare sono periodiche le onde sinusoidali, cui per rendere adimensionale l’argomento si da usualmente una delle seguenti espressioni tra loro equivalenti:

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) [ ] [ ]

    ondadell' fase

    ondadell' iniziale fase

    sin2sin2sin22sin2sin),(

    2sin2sin2sin2sin),(

    2sin2sin2sin2sin),(

    =+−=

    =

    +−=+−=

    ⎥⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢⎢

    +−=⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ +−=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡ +−=

    =⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=

    ⎥⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢⎢

    +

    ⎟⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜⎜

    −=⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡ +−=

    =⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡+⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛ −=

    ⎥⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢⎢

    +−=⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡ +−=

    ϕωε

    ϕ

    ϕωϕπϕπϕλπ

    λπϕ

    λπ

    ϕλ

    πϕλ

    πϕλλ

    πϕλπ

    ϕπϕπϕπϕλπ

    tkx

    dove

    tkxAftkxAvt

    fvkxAvtxAvtxAtxf

    TtxA

    fvvtxAvtxAvtxAtxf

    tvx

    TA

    vvtxv

    vTAvtx

    fvAvtxAtxf

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 57

    Equazione delle onde elettromagnetiche

    ondad' fase di velocitàla è

    ondad' lunghezza la è

    ondad' numero il è 2

    frequenza la è /1

    pulsazione la è 22

    :

    2

    vtx

    λ

    λπk

    Tf

    Tf

    dove

    kf

    Tv

    ±=∆∆

    =

    =

    ==

    ====

    ππω

    ωπωλλλ

    Un onda periodica è tale sia nella variabile x che nella variabile t. Il periodo temporale T e quello spaziale λ sono legati dalla relazione:

    Per come è stata definita, la velocità ovvero, la velocità di un qualunque fronte d’onda, non è altro che la velocità con cui si muove la fase dell’onda.

    Tale velocità è appunto detta velocità di fase

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 58

    Onde elettromagnetiche piane

    022

    2 =∂∂

    −∇tEEr

    rµε

    L’equazione delle onde è una equazione differenziale alle derivate parziali; come tale le sue soluzioni sono determinate a meno di funzioni arbitrarie, che possono essere ricavate solo imponendo le condizioni al contorno e le condizioni iniziali. La configurazione cui corrisponde l’espressione piùsemplice per le soluzioni è una configurazione piana (esempio ortogonale all’asse x). In questo caso (caso di onda piana) tutte le componenti dei campi Ee B sono indipendenti da y e da z: Ad ogni istante, E e B hanno lo stesso valore in tutti i punti di ogni piano ortogonale all’asse x.

    022

    2 =∂∂

    −∇tBBr

    rµε

    y

    x

    z Fronte d’onda piano

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 59

    Onde elettromagnetiche piane

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    22

    dove

    0

    xf

    zf

    yf

    xff

    tff

    ∂∂

    =∂∂

    +∂∂

    +∂∂

    =∇

    =∂∂

    −∇ µε

    Fisicamente, questa condizione non si verifica mai esattamente nella pratica; tuttavia ad essa ci si approssima in molti casi (approssimazione di onda piana) in particolare quando si sia interessati ad una porzione di spazio piccola, molto lontana dalla sorgente (approssimazione di sorgente puntiforme).Dal momento che tutte le componenti dei campi E e B sono indipendenti da y e da z tutte le derivate dei campi rispetto ad y e z sono nulle ed il laplaciano si riduce alla sola derivata seconda rispetto ad x. Ciascuna delle sei componenti del campo elettromagnetico E e B soddisfa la stessa equazione; del tipo equazione di d’Alambert):

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 60

    Onde elettromagnetiche piane

    ( ) ( ) ( )µε

    ϕ 1 : , 21 =++−= vvtxfvtxftx con

    La soluzione generale di questa equazione è del tipo:

    Dove f1 ef f2 sono due funzioni arbitrarie che ammettono derivata seconda rispetto all’argomento ε = x±vt, cioè la soluzione generale è la somma di un onda progressiva e di un onda regressiva propagantesi con velocità v lungol’asse x.Se ci troviamo nel vuoto, la velocità v delle onde elettromagnetiche vieneindicata con c:

    smc /10998,21 800

    ⋅≅=εµ

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 61

    Onde elettromagnetiche piane

    smcvrrrr

    /111

    00 εµεµεµµε≅==

    vcn =

    In un dielettrico perfetto qualunque, avremo:

    Il rapporto:

    fra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nel mezzo materiale trasparente è detto indice di rifrazione di quel materiale; poiché in un dielettrico perfetto la permeabilità magnetica relativa è µr=1 allora segue che:

    rrrr

    rr

    vcn εεεµ

    εµεµ

    εµ=⋅==== 111

    1

    00

    00

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 62

    Onde elettromagnetiche piane

    Ricaviamo ulteriori proprietà delle onde elettromagnetiche piane utilizzando le equazioni di Maxwell cui devono soddisfare. Ricordiamo che tutte le componenti dei campi sono indipendenti da y e z e dunque sono nulle le rispettive derivate parziali rispetto a y e z :

    [ ]

    [ ]

    ( ) kt

    Bjt

    Bi

    tB

    xE

    kx

    Eji

    kt

    Bjt

    Bi

    tB

    yE

    xE

    kx

    Ez

    Ejz

    Ey

    Ei

    kt

    Bjt

    Bi

    tB

    EEEzyx

    kji

    tBEIII

    xB

    zB

    yB

    xBBII

    xE

    zE

    yE

    xEEI

    zyxyz

    zyxxyzxyz

    zyx

    zyx

    xzyx

    xzyx

    ˆˆ ˆ0ˆ0ˆ00ˆ

    ˆˆ ˆˆˆˆ

    ˆˆ ˆ

    ˆˆˆ

    )

    b 0 0 0 )

    a 0 0 0 )

    ∂∂

    −∂

    ∂−

    ∂∂

    −=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−

    ∂+⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    ∂∂

    −+−

    ∂∂

    −∂

    ∂−

    ∂∂

    −=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛∂∂

    −∂

    ∂+⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    ∂∂

    −∂∂

    +⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛∂

    ∂−

    ∂∂

    ∂∂

    −∂

    ∂−

    ∂∂

    −=∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ⇒∂∂

    −=×∇

    =∂∂

    ⇒=∂∂

    +∂

    ∂+

    ∂∂

    ⇒=⋅∇

    =∂∂

    ⇒=∂∂

    +∂

    ∂+

    ∂∂

    ⇒=⋅∇

    vr

    v

    r

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 63

    Onde elettromagnetiche piane

    Ricaviamo ulteriori proprietà delle onde elettromagnetiche piane utilizzando le equazioni di Maxwell cui devono soddisfare. Ricordiamo che tutte le componenti dei campi sono indipendenti da y e z e dunque sono nulle le rispettive derivate parziali rispetto a y e z :

    Dalla [a] e [f] e dalla [b] e [c]vediamo che Ex e Bx sono costanti nel tempo ed uniformi nello spazio. Esse pertanto non contribuiscono al fenomeno della propagazione del campo, in altri termini le onde elettromagnetiche sono puramente trasversali, la componente longitudinale parallela alla direzione di propagazione non contribuisce alla propagazione stessa.

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    h

    g

    f 0

    )

    e

    d

    c 0

    )

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ∂∂

    =∂

    ∂∂

    ∂−=

    ∂∂

    ∂∂

    =

    ⇒∂∂

    =×∇

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ∂∂

    −=∂

    ∂∂

    ∂−=

    ∂∂

    ∂∂

    =

    ⇒∂∂

    −=×∇

    tE

    xB

    tE

    xB

    tE

    tEBIV

    tB

    xE

    tB

    xE

    tB

    tBEIII

    zy

    yz

    x

    zy

    yz

    x

    µε

    µεµεr

    v

    vr

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 64

    Onde elettromagnetiche piane

    Ricaviamo ulteriori proprietà delle onde elettromagnetiche piane utilizzando le equazioni di Maxwell cui devono soddisfare. Ricordiamo che tutte le componenti dei campi sono indipendenti da y e z e dunque sono nulle le rispettive derivate parziali rispetto a y e z :

    Dalla [d] e [e] e dalla [g] e [h]vediamo che se l’onda ha una componente Ey deve avere anche una componente Bz (e viceversa); e se ha una componente Ez deve avere anche una componente By (e viceversa)

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    h

    g

    f 0

    )

    e

    d

    c 0

    )

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ∂∂

    =∂

    ∂∂

    ∂−=

    ∂∂

    ∂∂

    =

    ⇒∂∂

    =×∇

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ∂∂

    −=∂

    ∂∂

    ∂−=

    ∂∂

    ∂∂

    =

    ⇒∂∂

    −=×∇

    tE

    xB

    tE

    xB

    tE

    tEBIV

    tB

    xE

    tB

    xE

    tB

    tBEIII

    zy

    yz

    x

    zy

    yz

    x

    µε

    µεµεr

    v

    vr

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 65

    Onde elettromagnetiche piane: polarizzazione

    Per la linearità delle equazioni di Maxwell, ogni combinazione lineare di soluzioni è soluzione; e se si sovrappongono due soluzioni, una con E diretto secondo l’asse y ed una con E diretto secondo l’asse z, si può ottenere qualunque soluzione (con e E diretto in una direzione n qualunque del piano yz), eventualmente variabile con x e t: n=n(x,t).Non si ha dunque alcuna perdita di generalità se si considera un onda il cui campo E sia orientato in direzione fissa ad esempio secondo l’asse y(Ez=0): una tale onda si dice possedere polarizzazione piana o lineare ( secondo l‘asse y).La più generale delle onde potrà essere ottenuta come sovrapposizione di un onda polarizzata secondo y e di un onda polarizzata secondo z.

    y

    x

    z Fronte d’onda piano

    Ey

    Bz

    Ey x Bz

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 66

    Onde elettromagnetiche piane

    Se Ez=0 le relazioni [d] e [h] divengono:

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    h 0

    g

    f 0

    )

    e

    d 0

    c 0

    )

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    =∂

    ∂∂

    ∂−=

    ∂∂

    ∂∂

    =

    ⇒∂∂

    =×∇

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ∂∂

    −=∂

    ∂∂

    ∂−=

    ∂∂

    =

    ⇒∂∂

    −=×∇

    xB

    tE

    xB

    tE

    tEBIV

    tB

    xE

    tB

    tB

    tBEIII

    y

    yz

    x

    zy

    y

    x

    µεµεr

    v

    vr

    Dunque la componente By non dipende ne da x ne da t: essa èuniforme e costante, così come già visto per Ex e Bx

    Se il campo elettrico è direttosecondo y, il campo magnetico èdiretto secondo z: in un ondaelettromagnetica, campo elettrico e magnetico sono fraloro ortogonali (oltrechètrasversali, cioè ortogonali alladirezione di propagazione)

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 67

    Onde elettromagnetiche piane

    Se Ez=0 dalle relazioni [e] e [g] si ha::

    )()(

    )()(

    ε

    ε

    zzz

    yyy

    BvtxBB

    EvtxEE

    ==

    ==

    m

    m

    Le relazioni [e] e [g] contengono una rilevante informazione concernente le ampiezze relative dei campi E e B. Ricordando infatti che E e B sono vettori diretti rispettivamente come y e come z allora ponendoε =(x⎯+ vt) si ha:

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    h 0

    g

    f 0

    )

    e

    d 0

    c 0

    )

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    =∂

    ∂∂

    ∂−=

    ∂∂

    ∂∂

    =

    ⇒∂∂

    =×∇

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

    ∂∂

    −=∂

    ∂∂

    ∂−=

    ∂∂

    =

    ⇒∂∂

    −=×∇

    xB

    tE

    xB

    tE

    tEBIV

    tB

    xE

    tB

    tB

    tBEIII

    y

    yz

    x

    zy

    y

    x

    µεµεr

    v

    vr

    L’equazione [e] diviene pertanto:

    ( )ε

    BvE

    B-tε

    εB-

    tBE

    xE

    xE zyzzzyyy

    ∂∂

    ±=∂

    ∂⇒

    ∂∂

    =∂∂

    ∂∂

    =∂∂

    ∂=

    ∂∂

    ∂=

    εεε

    ε e 1 m

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 68

    Onde elettromagnetiche piane

    vBE

    z

    y ±=

    µε1 ==×= v

    BE vBE r

    rr

    La precedente è una equazione differenziale ordinaria del primo ordine, che integrata per quadratura restituisce Ey= ±vBz+cost; dove la costante puòessere posta uguale a zero:

    Ricordando che E è diretto secondo y e B secondo z, allora il modulo del rapporto Ey/Bz, rappresenta il rapporto dei moduli E e B di E e B. Tenuto conto di ciò, e del risultato più sopra stabilito a proposito delle direzioni relative di Ee B e v, possiamo sintetizzare i risultati da noi ottenuti a proposito dei campi Ee B in un onda piana nelle relazioni:

    La seconda viene usualmente espressa in termini di E e di H anziché in termini di E e B. Sostituendo in essa B=µH si ha:

    ZHE

    ==εµ

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 69

    Onde elettromagnetiche piane

    ZHE

    ==εµ

    La quantità Z ha le dimensioni di una impedenza e viene detta impedenza caratteristica del materiale

    Nel caso di onde elettromagnetiche nel vuoto l’impedenza caratteristica vale:

    ][AV

    A/mV/m 3770

    0

    0 Ω=⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡=== Z

    HE

    εµ

    In un onda piana non solo il campo elettrico ed il campo magnetico devono essere ortogonali, ma devono essere in fase ed inoltre il loro rapporto non dipende dalla frequenza, ma dipende esclusivamente da µ e ε, cioè da come èfatto il mezzo in cui l’onda si sta propagando.

  • Davide MicheliEq di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielttrici 70

    Unità logaritmiche

    Applicazione ai segnali radioelettrici

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 71

    Unità Logaritmiche per esprimere le potenze

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=

    0

    10PPLogdB

    L’unità adimensionale dB esprime il rapporto in maniera logaritmica tra due grandezze, per esempio per i livelli di potenza P(W); di solito si sceglie un riferimento:

    Usando misure di tensione è necessario tenere conto dell’impedenza attraverso cui ciascuna tensione viene misurata:

    000

    00

    0

    20

    2

    0

    :se 2010

    10201010

    R RVVLog

    PPLog

    RRLog

    VVLog

    RVR

    V

    LogPPLog

    =⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=⎟⎟

    ⎞⎜⎜⎝

    =⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛+⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=

    ⎟⎟⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜⎜⎜

    =⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 72

    Unità Logaritmiche dBm e dBµV

    [ ][ ]

    [ ] [ ] [ ][ ] [ ]( ) ( )

    [ ]( ) ( ) [ ]( )

    [ ]( ) [ ]

    [ ] [ ] ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) [ ]dBVPVLogdove

    VLogLogVLog

    LogVLogV

    VLogdBP

    dBWPWPLogdove

    WPLogLogWPLog

    LogWPLogW

    WPLogdBPdBP

    VV

    mWP

    V

    mmW

    =

    +=+=

    =+=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=

    =

    +=+=

    =+=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛==

    =

    =

    20 :

    120201012020

    10202010

    20

    10 :

    3010103010

    10101010

    10

    1

    1

    66

    33

    0

    0

    µ

    µ

    Considerando come grandezze di riferimento le seguenti:

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 73

    Unità Logaritmiche dBm e dBµV

    [ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]

    [ ] [ ]( )[ ] [ ]

    [ ]

    [ ] ( )[ ] ( )

    [ ] [ ]( )[ ] [ ]

    [ ]

    6

    2062020

    120120

    120

    3

    1031010

    3030

    1030

    101010101010

    1010

    20120

    1010101010

    1010

    1030

    20/1

    20

    10/1

    10

    VVV

    V

    V

    mmm

    m

    m

    dBPdBPdBP

    dBP

    VLogdBP

    V

    dBPdBPdBP

    dBP

    WPLogdBP

    m

    VP

    VLogdBP

    WP

    WP

    WPLogdBP

    µµµ

    µ

    µ

    µ

    ====

    =

    =−

    ====

    ==

    =−

    −−

    −−

    Le relazioni reciproche sono :

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 74

    Unità Logaritmiche: passaggio da dBµV a dBm

    [ ] ( ) ( )

    ( ) [ ]( ) ( )

    [ ] ( ) [ ] ( )

    [ ] ( )

    [ ] [ ] ( ) [ ]

    [ ] [ ] 107

    3012017301205010

    :ottiene si allora 50

    3012010

    )10(101201010

    101201010

    1010

    120101012010

    10202010

    2010

    20

    :

    333

    3

    62/166

    2

    +=

    −++=−++=

    Ω=

    −++=

    +++⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛=++⎟⎟

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛ ⋅=

    =++=+=

    +=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛=

    =⇒=

    −−−

    −−

    dBmPdBP

    dBmPLogdBmPdBP

    Rse

    RLogdBmP

    LogRLogWPLogRLogWPLog

    RLogWPLogPRLog

    LogPRLogPRLogVLogdBP

    PRVR

    VPda

    V

    V

    V

    µ

    µ

    µ

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 75

    Unità Logaritmiche: passaggio da dBµV a dBµV/m

    È necessario introdurre il fattore di antenna K pertanto considerando un onda incidente su un antenna collegata ad un carico zL come in figura si ha:

    zL(Ω) VL(µV)

    Ei (µV/m)

    Dipolo

    Carico

    Ei campo elettrico incidente

    VL tensione ai morsetti di antenna chiusa su un carico specifico

    Per definizione l’Antenna Factor (AF) che si misura in [m-1] è dato da:

    [ ] ( ) [ ][ ] [ ] [ ]

    [ ] [ ] ( )1

    11

    /

    //

    20

    +=

    −=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=⇒=

    dBmAFVdBVmVdBE

    VdBVmVdBEVV

    mVELogdBmAFm

    VE

    AF

    Li

    LiL

    i-

    L

    i

    µµ

    µµµµ

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 76

    Unità Logaritmiche: passaggio da dBm a dBµV/m

    Il passaggio è immediato utilizzando le relazioni già viste:

    [ ] [ ] ( )

    [ ] [ ] ( )

    [ ] ( )

    [ ] ( )( ) [ ] ( )

    [ ][ ] ( )

    20107

    6

    10720/11076

    107

    20

    6

    10

    107

    1020

    /

    1

    1

    11

    1

    20

    6

    1

    6

    1010/

    20101010

    101010

    101010

    107/

    −−

    ++−

    ++++

    ++−⎟

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜⎜

    ⎛⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    ++⎟⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜⎜

    ⎛⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    ⋅=

    ==⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    =

    ⎟⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜⎜

    ⎛⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    =

    ==

    ++=

    dBmAFdBmP

    i

    dBmAFdBmPdBmAFdBmP

    dBmAFdBmPm

    V

    Log

    dBmAFdBmPm

    V

    Log

    mVdBE

    i

    mVE

    m

    V

    m

    V

    dBmAFdBmPmVdBE

    i µ

    µ

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 77

    Unità Logaritmiche: passaggio da dBm a dBµV/m

    Alla relazione precedente si arriva anche mediante i seguenti passaggi: sia δ è la densità di potenza generata dall’antenna trasmittente in un punto a distanza d

    24 dGtPt×××

    δ

    In condizioni di campo lontano cioè per un onda piana tale densità di potenza è anche uguale a:

    ηδ

    2E=

    moltiplicando la densità di potenza per l’area efficace dell’antenna ricevente si ottiene si ottiene la potenza ricevuta:

    .Pr effA×= δ

    •η è l’impedenza caratteristica del vuoto,•λ è la lunghezza d’onda del segnale utile,•Pr è la potenza ricevuta dal ricevitore nel punto considerato (W),•Gr è il guadagno del ricevitore,•freq è la frequenza in Hz

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 78

    Unità Logaritmiche: passaggio da dBm a dBµV/m

    si sa che l’area efficace di un’antenna è legata al suo guadagno attraverso la seguente relazione:

    sostituendo tale valore nell’espressione della potenza ricevuta si ha

    invertendo la relazione si ottiene:

    GrAeff ××=

    πλ

    4

    2

    .

    GrEGr ××

    ×=××

    ×=π

    ληπ

    λδ44

    Pr222

    GrEr

    ××××

    = 24Pr

    λπη

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 79

    Unità Logaritmiche: passaggio da dBm a dBµV/m

    Dal momento che esiste una relazione che lega l’Antenna Factor al guadagno si può scrivere:

    [ ]

    6

    6

    6

    6

    2222

    2

    222

    10Pr

    2010/20

    10Pr10/

    ///in miuratoPr

    1Pr

    44Pr4Pr

    :ha si elettrico campo del eespressionnell' osostituend

    4 4

    ⋅=

    ⎭⎬⎫

    ⎩⎨⎧

    ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⋅=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡=⎥

    ⎤⎢⎣

    =⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡ ⋅⋅=⎥

    ⎤⎢⎣

    ⎡ ⋅⋅=

    ==⋅

    ⋅⋅⋅=

    ⋅⋅⋅

    =

    =⇒=

    radiazione

    radiazione

    radiazione

    radiazioneradiazione

    RX

    radiazioneRX

    RXradiazione

    RAFLog

    mVELog

    RAFmVE

    mVE

    mVm

    AVAVm

    AVWRAF

    AFRAFRGr

    E

    G

    AFRG

    GRAF

    µ

    λπηλ

    πηλ

    πη

    λπη

    λπη

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 80

    Unità Logaritmiche: passaggio da dBm a dBµV/m

    [ ]

    [ ] 107][ 107][)(20

    120)50(1030][)(20

    120)(10)10(10][)(20

    120)(10)1010](Pr[10)(20

    1020)(10])(Pr[10)(20/

    1

    3

    3

    3

    6

    ++=

    ++=

    =++−+=

    =++++=

    =++⋅+=

    =+++=

    dBmPdBmAF

    dBmPAFLog

    LogdBmPAFLog

    RLogLogdBmPAFLog

    RLogWLogAFLog

    LogRLogWLogAFLogmVdBE

    radiazione

    radiazione

    radiazioneµ

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 81

    Tratta radio

    Una trasmissione radio può essere schematizzata mediante i seguenti blocchi fondamentali:

    Mu Mo Tx AL1

    G1

    AF MuDeRxAL2

    G2

    A0A

    AT

    TRATTA RADIO

    Mu: multiplex AT: attenuazione complessiva di tratta hertzianaMo: modulatore RF A: attenuazione di trattaT: trasmettitore A0: attenuazione fondamentale di trasmissioneR: ricevitore AL: attenuazione delle connessioni di antennaDe: demodulatore AF: attenuazione aggiuntiva di fading

    G1,2: guadagno di antenna

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 82

    Tratta radio: trasmissione in spazio libero

    Per la parte radio, l’attenuazione complessiva di tratta hertziana si trova mediante la seguente:

    )( 21210 dBAAA)G(GAA FLLT +++−−=

    La parte di tratta che comprende antenna trasmittente ed antenna ricevente caratterizza la trasmissione nello spazio che ipotizziamo essere “spazio libero”

    Tx(A)

    Rx(B)

    ΘA,ФAΘB,ФB

    WRB

    WTA

    rtrasmettitore

    ricevitore

    WTA: potenza trasmessa in ingresso all’antenna AWTB: potenza ricevuta in uscita dall’antenna BG(Θ,Ф): guadango delle antenne rispetto alla direzione di massima radiazione

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 83

    Tratta radio: trasmissione in spazio libero

    [ ]

    [ ]

    22

    2

    2

    22

    4

    44

    :è B antennadell' morsetti ai ricevuta potenza la aconseguenz di

    4

    :ha si antenna di guadagno al efficace area lega che relazione dalla

    B antenna dalla morsetti ai W potenza

    A da "" distanza a ricevuta W/m potenza di densità 4

    λπ

    GG

    rπWλ

    πG

    PW

    λπ

    GA

    APW

    rGrπ

    WP

    ),Φ(ΘB),Φ(ΘA

    TA),Φ(ΘBBRB

    ),Φ(ΘB

    ),Φ(ΘBeff

    ),Φ(ΘBeffBRB

    ),Φ(ΘATA

    B

    BB

    AA

    BB

    BB

    BB

    BB

    AA

    ⋅=⋅=

    =

    ⋅=

    =

    Su suppongono soddisfatte le seguenti ipotesi:– Campo lontano (cioè distanza r > 2d2/λ con d=dimensione maggiore lineare

    dell’antenna)– Adattamento dei carichi ( in quanto si vuole il max trasferimento di potenza

    senza effetti di potenza riflessa)– Adattamento di polarizzazione (per evitare perdite di potenza dovute a

    polarizzazione diversa delle tra trasmissione e ricezione)

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 84

    Tratta radio: attenuazione fondamentale di tratta

    ),Φ(ΘB),Φ(ΘATA

    RBBBAA

    GGrπλ

    WW

    2

    4 ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=

    Pertanto si ottiene l’equazione di FRIIS:

    75.0 0.5

    è effettiva areal' apertura ad antenneper

    1

    14

    2

    0

    2

    0

    ≤≤⋅=

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛==

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛==

    ηAηA

    AAfrc

    WWA

    GGcrfπ

    WWA

    geometricaeff

    BeffAeffRB

    TA

    BARB

    TA

    l’attenuazione fondamentale di tratta A0 di spazio libero è:

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 85

    Tratta radio: attenuazione fondamentale di tratta

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    [ ][ ]Hzfmr

    con

    dBGdBGrLogfLog

    dBGdBGrLogπLogfLogcLog

    dBGdBGrπLogfcLog

    dBGdBGrπλLogdBmWdBmWdBW

    ),Φ(ΘB),Φ(ΘA

    ),Φ(ΘB),Φ(ΘA

    ),Φ(ΘB),Φ(ΘA

    ),Φ(ΘB),Φ(ΘATARB

    BBAA

    BBAA

    BBAA

    BBAA

    ≡≡

    +++−≅

    =+++−−=

    =++⋅−⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛⋅=

    =++⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛⋅=−=∆

    :

    )()(20206,147

    )()(204202020

    )()(4102102

    )()(4

    102)()()(

    Esprimendo l’equazione di Friis in decibel si ottiene:

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 86

    Tratta radio: attenuazione fondamentale di tratta

    In condizioni reali all’attenuazione fondamentale di tratta A0 va aggiunta l’attenuazione dovuta a fading (evanescenza) AF :

    ⎪⎪

    ⎪⎪

    ⎪⎪

    ⎪⎪

    +=

    azionedepolarizztoassorbimenostacoli da difrazione

    rifrazioneeriflession

    :con )( 0 FF AdBAAA

  • Davide MicheliEq di Maxwell, Propagazione radio, Materiali conduttori e dielttrici 87

    Ionosfera

    Note sulla propagazione dei segnali radio

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 88

    ionosfera

    La ionosfera è uno strato (con caratteristiche dispersive per i segnali radio)dell’atmosfera localizzato nella regione compresa tra 70Km e 1000 Km sopra la superficie terrestre. Tale strato è così chiamato a causa dell’elevato numero di elettroni liberi e di molecole ionizzate (cariche positivamente) formatesi a causa della radiazione proveniente dal sole; tali particelle finiscono per ricombinarsi, con velocità di ricombinazione tanto maggiore quanto più è denso il gas ionizzato. Il risultato è all’equilibrio, la presenza di un certo numero di elettroni liberi e ioni.All’aumentare della densità dell’atmosfera, penetrando quest’ultima a partire dalle quote più elevate, la densità di ionizzazione N (numero di elettroni liberi per metro cubo) aumenta fino a raggiungere un massimo per poi diminuire, sia per la diminuzione dell’intensità delle radiazioni dovuta all’assorbimento nell’attraversare l’atmosfera, sia per l’aumento della velocità di ricombinazione provocato dalla maggiore densità atmosferica. La regione in cui il valore di N è apprezzabile è detta appunto ionosfera.La densità di ionizzazione N in funzione della quota non presenta un solo massimo ma più massimi relativi in corrispondenza dei quali si dice esistere uno strato ionosfericoSia la quota che i valori dei massimi di N, come il loro numero, dipendono da vari fattori, come la latitudine, l’ora del giorno, la stagione, il ciclo solare (con periodo di 11 anni).Si può comunque stabilire l’esistenza durante il giorno di almeno quattro strati: strato D(h=80 Km), strato E (h=110 Km), strato F1 (h=220 Km), strato F2(h=300 Km)

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 89

    Propagazione ionosferica

    Si assumano le seguenti ipotesi:

    Plasma: è costituito da un insieme di particelle cariche e neutre; cariche + e cariche – ;

    Particelle negative: elettroni prodotti per ionizzazione dalla radiazione ultravioletta , dai raggi X del sole e dai raggi cosmici

    Particelle positive: atomi ionizzatiParticelle neutre: atomi non ionizzati

    La ionosfera è caratterizzata dalla densità N di elettroni liberi in funzione dell’altezza sul livello del mare. Viene studiata per strati (C,D,E,F1,F2):

    •Quota elevata: la radiazione ionizzante è elevata, il gas è molto rarefatto (il valore di N è basso)

    •Quota intermedia: vi è il migliore rapporto radiazione pressione atmosferica (il valore di N è massimo)

    •Quota bassa: radiazione minima ( N diminuisce)

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 90

    Propagazione di un onda E.M. nel plasma

    Si assume un modello FLUIDODINAMICO: il plasma non più visto come un insieme discreto di particelle, ma un continuo di particelle caratterizzato da grandezze medie (N: numero di particelle per unità di volume)

    Ipotesi:

    1. Plasma freddo: cioè si trascurano gli effetti della pressione;2. Assenza di attrito: non vi sono perdite dovute a collisioni, il tal caso la

    costante dielettrica ε è reale, altrimenti dovremmo considerare un coefficiente che tiene conto del numero di collisioni per unità di volume e per unità di tempo e la costante dielettrica ε sarebbe complessa com ein un mezzo con perdite.

    3. Forze trascurabili: gravità, in quanto le forze di tipo elettrico sulle cariche stesse dovuta alla presenza dell’onda E.M nel plasma è sicuramente molto più grande rispetto alla forza di gravità che agisce sulla carica stessa. Inoltre si trascura la mutua attrazione tra le cariche, nel senso che si suppongono sufficientemente lontane da trascurare questo tipo di forza columbiana.

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 91

    Propagazione di un onda E.M. nel plasma

    1. Solo gli elettroni si muovono: cioè gli ioni positivi molto più pesanti non si muovono sotto l’effetto del campo E.M. infatti il rapporto tra massa di un protone e di un elettrone è 1836. Una molecola essendo costituita da tanti protoni e neutroni è sicuramente più pesante rispetto all’elettrone stesso ed allora l’accellerazione che subisce un elettrone sarà ordini di grandezza più elevata rispetto a quella subita dalla molecola stessa, tale daconsiderare praticamente ferme le molecole rispetto all’elettrone stesso.

    1836101.91067.1

    31

    27

    =⋅⋅

    = −−

    KgKg

    mm

    elettrone

    protone

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 92

    Caratterizzazione del plasma

    tEVNq

    tEjHIV

    tHEIII

    ∂∂

    +=∂∂

    +=×∇∂∂

    −=×∇r

    rr

    vv

    v000 )) εεµ

    Si considerino le seguenti:• N cariche per unità di volume• q carica della particella [C]• v velocità della particella [m/s]• m massa della particella [Kg]• Nq densità di carica [C/m3]• j=NqV densità di corrente [A/m2] : elettroni messi in

    movimento dalla presenza delle onde ettromagnetiche e pertanto il fenomeno è quantificabile tramite una densità di corrente.

    • Nm densità di massa delle particelle [Kg/m3]

    Consideriamo la terza e quarta equazione di Maxwell:

    Consideriamo la legge di Newton cioè forza uguale massa per accelerazione:

    ( ) ( ) LorenzdiforzadidensitàHVENqdt

    VNmdF 0 →×+==vrr

    rv

    µ

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 93

    Caratterizzazione del plasma

    ( ) 0=∂∂

    +⋅∇=∂∂

    +⋅∇t

    NqVNqt

    Jrr ρ

    Consideriamo l’equazione di continuità della carica che non è utilizzata ma èriportata per completezza:

    Sono equazioni non lineari in N,V,H !!!Nel senso che vi sono prodotti di variabili dipendenti, ad esempio H èmoltiplicato per la velocità che a sua volta dipende dal cmpo e.m. indotto dall’onda esterna.

    per risolvere tali equazioni si può ricorrere ad una linearizzazione facendo l’ipotesi di piccoli segnali ovvero ad una situazione di equilibrio con piccole variazioni dovute all’interazione del plasma con il campo elettromagnetico E.M.Sostanzialmente il criterio di linearizzazione si basa su uno sviluppo in serie di queste grandezze:

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 94

    Caratterizzazione del plasma

    N0 è la densità media di particelle in assenza di campo elettromangetico∆N è la perturbazione dovuta alla presenza del campo elettromagnetico

    Lo stesso per le altre grandezze:

    ); terrestremagnetico campo ( impresso statico magnetico campo :con

    cariche; delle iniziale movimentoun da impressa velocitàeventuale :con

    ;particelle delle media densità :con

    00

    00

    00

    =∆+→

    =∆+→

    =∆+→

    HHHH

    VVVV

    NNNN

    vvvv

    rrr

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 95

    Caratterizzazione del plasma

    Segue che sostituendo i termini alle variazioni si possono semplificare in quanto sono piccoli rispetto agli altri; supponiamo inoltre che siamo in uno stato di quiete cioè che non ci sia velocità di dirift delle particelle cioè V0=0 e che H0 sia il campo magnetico terrestre costante:

    ( )( )

    ( ) ( )

    variazioni piccole

    spazio lo tutto in costanti

    con

    ,

    0

    ,

    0

    00

    00

    0000

    00000000

    00000

    00

    0000000

    VN

    V

    HN

    HVNHVNHVNHVNHVN

    HVNHVNHVNHVNHHVNVNVNVNHVN

    ENENENEN

    VNVNVNVNVNVVNNVN

    r

    r

    v

    vr

    vrvrvrvr

    vrvrvrvr

    vvrrrrvr

    vvvv

    rrrrrrrr

    ∆∆

    =

    ×∆≅∆×∆∆+∆×∆+∆×∆+∆×+×∆∆+×∆+×∆+×

    =∆+×∆∆+∆+∆+=×

    ≅∆+≅

    ∆≅∆∆+∆+∆+=∆+∆+≅

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 96

    Caratterizzazione del plasma

    Inoltre dall’ipotesi di linearizzazione risulta che la variazione di V funzione dello spazio e del tempo si riduce ad una funzione solo del tempo:

    tVV

    zVV

    yVV

    xV

    tV

    dtVd

    tzyxVV

    zyx ∂∂

    ≅∂∂

    +∂∂

    +∂∂

    +∂∂

    =

    ⇓=

    vvvvvv

    rv

    ),,,(

    Trascurabile per linearizzazione

    Alla luce della linearizzazione le equazioni dell’interazione Campo-Plasma sono:

    tEVqN

    tEVNq

    tEjHIV

    tHEIII

    ∂∂

    +∆=∂∂

    +=∂∂

    +=×∇∂∂

    −=×∇r

    rr

    rr

    vv

    v00000 )) εεεµ

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) 00000000

    000

    HVqNEqNHVEqNHVENq

    dtVdmN

    dtVVmNNd

    dtVNmdF

    vrrvrrvrr

    rrrrv

    ×∆+=×∆+=×+=

    =∆⋅

    =∆+∆+

    ==

    µµµ

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 97

    Caratterizzazione del plasma

    Rapportandoci ai fasori per un onda sinusoidale, ovvero ricordando che :

    Allora le equazioni dell’interazione Campo-Plasma sono:

    EjVqNtEVqNHIV

    Hjt

    HEIII

    rrr

    rv

    vv

    v

    0000

    00

    )

    )

    ωεε

    ωµµ

    +∆=∂∂

    +∆=×∇

    −=∂∂

    −=×∇

    00 )Newton di Legge HVqEqVmjvrrr

    ×∆+=∆ µω

    tjtj ejedtd ωω ω ⋅=

    Dalla eq di Newton si ricava ∆V che sostituito nelle altre equazioni dei rotori permette di ricavare E e H.

  • Davide Micheli Eq di Maxwell, Propagazione libera, materialiconduttori e dielttrici 98

    Caratterizzazione del plasma

    zBBH ˆ0

    0

    0

    00 µµ

    ==r

    rIpotesi :

    Cioè il campo magnetico terrestre è costante ed è diretto lungo l’asse z; segue che:

    VzqBVmjHVqVmjEqrrvrrr

    ∆×+∆=×∆−∆= ˆ )Newton di Legge 000 ωµω

    Annotazione:

    ( ) ( ) [ ]⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢

    ∆∆∆

    ⋅⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢

    ⎡ −⋅=∆+∆−=

    ⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢

    ∆∆∆=∆×

    z

    y

    x

    xy

    zyx VVV

    zyxVyVxVVV

    zyxVz

    000001010

    ˆˆˆˆˆ100ˆˆˆ

    ˆr