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Parte III – G. Reali: Modulazione numerica P

Modulazione Numerica

III.1 MODULAZIONE DI SEGNALI COMPLESSI IN BANDA BASE

Nella trattazione che segue si prenderanno in esame dei segnali che, in generale, si

possono considerare delle realizzazioni di processi aleatori. Il motivo per cui non si

considerano dei processi aleatori nella loro interezza è per la semplicità di esposizione.

Tuttavia, i risultati che si otterranno avranno validità generale. In pratica, si ipotizza che

il segnale da trasmettere sia noto, cosa che ovviamente non si verifica nelle

applicazioni. Si consideri, quindi, una sequenza di simboli ak , k=1…M, ossia di durata

finita. Questa ipotesi occorre per assicurare l’esistenza delle trasformate di Fourier che

saranno utilizzate nel corso della trattazione. Siccome non ci sono vincoli sul valore

massimo di M, purché sia un valore finito, questa ipotesi non risulta essere

particolarmente restrittiva.

Il segnale da trasmettere si può scrivere come:

( ) ( )kk

s t a g t kT∞

=−∞= −∑ + Θ ,

dove g(t) è la funzione che modella l’impulso elementare dell’onda PAM e Θ è una fase

aleatoria. Si supponga di usare s(t) per modulare in ampiezza una portante a frequenza

fc.

( ) ( ) ( )2 cz t s t cos f tπ φ= +

1


Per semplicità di notazione nel seguito la fase aleatoria della portante φ sarà posta

uguale a zero. Di conseguenza, se S(f) è la trasformata di Fourier di s(t), si ha che la

trasformata di Fourier di z(t) sarà data da

( ) ( ) (12 c c )Z f S f f S f f = − + +

Se s(t) è un segnale reale, la sua trasformata di Fourier risulta essere simmetrica intorno

all’origine dell’asse delle frequenze. Ciò implica che lo spettro del segnale modulato

sarà simmetrico intorno alla frequenza fc. Tale situazione è mostrata nella figura

sottostante.

0 fcf1 f20- fcf f

S(f) Z(f)

0 fcf1 f20- fcf f

S(f) Z(f)

La simmetria intorno alla frequenza fc implica che il segnale modulato abbia lo stesso

contenuto informativo sia nella banda laterale inferiore ( 1 cf f f≤ ≤ ) sia in quella

superiore ( 2cf f f≤ ≤ ). Nel caso delle modulazioni analogiche, le tecniche per evitare

tale spreco di banda consistevano nell’eliminare una delle due bande laterali

(modulazione SSB), o parte di questa (modulazione vestigiale). Nel caso numerico, si

può procedere raddoppiando il contenuto informativo del segnale. E’ evidente che per

far ciò occorre eliminare la simmetria dello spettro del segnale in banda base, quindi s(t)

deve essere un segnale a valori complessi. Chiaramente, modulando una portante

sinusoidale utilizzando un segnale complesso si avrebbe la situazione mostrata sotto

0f f

fcf1 f20- fc

S(f) Z(f)

0f f

fcf1 f20- fc

S(f) Z(f)

2


Si vede che lo spettro del segnale modulato non è simmetrico rispetto all’origine, quindi

tale segnale non è reale e, di conseguenza, non può essere trasmesso attraverso un

canale un canale di comunicazione fisico. Per ovviare a questa situazione occorre

cambiare il tipo di modulazione.

Si immagini di traslare in frequenza S(f) intorno alla frequenza fc moltiplicandolo per un

esponenziale complesso come segue

( ) ( ) 2 cj f tz t s t e π= .

Chiaramente

( ) ( )cZ f S f f= − , come mostrato sotto.

0f f

fcf1 f20- fc

S(f) Z(f)

0f f

fcf1 f20- fc

S(f) Z(f)

E’ evidente che, anche in questo caso, z(t) è un segnale complesso, e quindi non può

essere trasmesso. Tuttavia si osserva che il contenuto informativo è interamente

presente sia nella parte reale sia nella parte immaginaria del segnale. Se si estrae dal

segnale la parte reale, data da

( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( )2 2 2 2 2c cx t Re z t Re s t cos f t Im s t sin fπ π= = − t

si ha che lo spettro X(f) è pari, e coincide con la componente pari di Z(f):

( ) ( )2 eX f Z= f

dove

( ) ( ) ( )12

*eZ f Z f Z f = + −

e quindi

( ) ( ) (22

*c c )X f S f f S f f = − + − − ,

come è illustrato nella figura sottostante.

3


ffcf1 f20- fc

Z(f)

ffcf1 f20- fc

X(f)

ffcf1 f20- fc

Z(f)

ffcf1 f20- fc

Z(f)

ffcf1 f20- fc

X(f)

In questo modo x(t) è un segnale reale e, in quanto tale, può essere trasmesso attraverso

un canale fisico di comunicazione. Inoltre, il contenuto informativo di x(t) è lo stesso di

s(t), il quale è un segnale complesso. In questo modo è stato ottenuto l’obiettivo di

trasmettere il contenuto informativo di un segnale complesso in banda base, che è

maggiore di quello di un segnale reale, utilizzando un segnale modulato reale.

III.2 RAPPRESENTAZIONE DEI SEGNALI PAM PASSA-BANDA

Il segnale PAM passa-banda trasmesso può essere scritto come segue:

( ) ( ){ }( )

( ) { } ( ) ( ) { } ( )

2

2

2

2

2 2 2

c

c

j f t

j f tk

k

c k c kk k

x t Re e s t

Re e a g t kT

cos f t Re a g t kT sin f t Im a g t kT

π

π

π π

∞

=−∞

∞ ∞

=−∞ =−∞

= =

= − =

= − −

∑

∑ ∑ −

(III.2.1)

Questa rappresentazione suggerisce un metodo per realizzare x(t). La prima

considerazione da fare riguarda i simboli ak. E’ stato detto in precedenza che il segnale

in banda base è complesso, quindi, essendo l’impulso g(t) reale, l’unica componente

complessa è quella dei simboli ak. La relazione (III.2.1) suggerisce di trattare

separatamente la parte reale e la parte immaginaria di questi simboli. In pratica si tratta

di realizzare due segnali PAM, una usando la parte reale e l’altra mediante la parte

immaginaria dei simboli. Queste due onde PAM modulano in ampiezza due portanti in

quadratura. Data l’ortogonalità delle portanti, questo implica che le componenti reale ed

immaginaria del segnale sono trasmesse su due canali indipendenti.

4


CODIFICATORE

generatore di portante

Filtro TX g(t)

BIT

Re[s(t)]

cos(2 πfct)2

Filtro TX g(t)

Re(ak)

Im(ak)

- sin(2 πfct)2

sfasatore 90o

Im[s(t)]

CODIFICATORE

generatore di portante

Filtro TX g(t)

Filtro TX g(t)

BIT

Re[s(t)]

cos(2 πfct)2 cos(2 πfct)22

Filtro TX g(t)

Filtro TX g(t)

Re(ak)

Im(ak)

- sin(2 πfct)2- sin(2 πfct)22

sfasatore 90o

Im[s(t)]

Figura III.2.1 - schema di un modulatore numerico

In Fig. III.2.1 è mostrato lo schema di un modulatore numerico. I bit in ingresso, che in

generale provengono dal codificatore di canale, sono rappresentati in forma complessa.

Questa rappresentazione sarà illustrata nel seguito. I filtri in trasmissione generano le

onde PAM utilizzando rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria dei simboli.

Queste onde PAM successivamente modulano le due portanti in quadratura. Lo

sfasamento di 90° è realizzato mediante un filtro di Hilbert. I due segnali sono quindi

sommati ed inviati al canale di trasmissione.

III.3 RICEVITORI PER SEGNALI PAM PASSA-BANDA

Per demodulare un segnale PAM passa-banda, essenzialmente occorre realizzare delle

operazioni duali rispetto a quelle effettuate dal modulatore. Essenzialmente, occorre

riportare in banda base la componente dello spettro che presenta la stessa forma dello

spettro originario del segnale. Dal punto di vista matematico è sufficiente moltiplicare il

segnale ricevuto per un esponenziale complesso e filtrare la componente in banda base,

come mostrato nella figura sottostante.

ffc0- fc

R(f)

ffc0- fc

Q(f)

ffc0- fc

R(f)

ffc0- fc

Q(f)

5


Al fine di determinare l’architettura del ricevitore si trascuri l’effetto distorcente del

canale e il rumore in ricezione. Questi saranno inclusi nel seguito per la valutazione

delle prestazioni. In tal caso si può assumere che il segnale ricevuto y(t) sia identico a

quello trasmesso x(t) a meno di una costante. Si ha quindi che

( ) ( )y t x tα=

Come detto in precedenza, per riportare la replica a frequenze positive dello spettro

ricevuto, che ha la stessa forma dello spettro del segnale originario, in banda base,

occorre moltiplicare y(t) per un esponenziale complesso:

( ) ( ) 2 cj fr t y t e π−= t ,

e successivamente filtrarlo con un filtro passa-basso:

( ) ( ) ( )2q t r t * f t= ,

dove con f(t) è stata indicata la risposta all’impulso del filtro passa basso e con il

simbolo e con l’asterisco l’integrale di convoluzione. Un primo schema generale di

decodifica è quello mostrato sotto. Nello schema le frecce singole indicano che il

segnale che transita è reale, mentre le frecce doppie indicano un segnale a valori

complessi. Si vede che la parte reale e la parte immaginaria di q(t) sono campionate. I

campioni sono quindi confrontati con una soglia e successivamente decodificati.

2 cj f te π−

filtro di ricezione f(t) campionatore

decodificatorebity(t) q(t) qk akak

22

Uno schema più realistico, il quale tuttavia rispecchia fedelmente il funzionamento di

quello appena presentato è mostrato sotto. Nello schema sotto il prodotto complesso è

stato sostituito con due prodotti reali, quindi fisicamente realizzabili, con due portanti in

quadratura. Le operazioni successive sono identiche a quelle del primo schema.

6


( )2 ccos f tπ

filtro di ricezione f(t)filtro di ricezione f(t)

campionatorecampionatore

decodificatorebitakaky(t)

( )2 csin f tπ−

filtro di ricezione f(t)

campionatorecampionatore

componentein fase

componentein quadratura

22

22

Dal punto di vista matematico, si può ottenere lo stesso risultato spostando il filtraggio a

monte, così da renderlo il primo stadio del ricevitore. Ovviamente, per fare ciò occorre

traslare la funzione di trasferimento del filtro passa-basso a radio frequenza, come

segue:

( ) ( ) 21 2 cj ff t f t e π= t ,

e, nel dominio della frequenza:

( ) ( )1 2 cF f F f= − f .

A questo punto la replica dello spettro può essere traslata in banda base analogamente a

come è stato fatto in precedenza, ossia mediante la moltiplicazione per un esponenziale

complesso, come mostrato sotto. 2 cj f te π−

filtro di ricezione f1(t) campionatore

decodificatorebity(t) q(t) qk akak

In questo modo il filtro di ricezione è di tipo complesso, quindi si può scrivere che

( ) ( ) ( )1 a aˆf t f t j f t= +

dove la componente immaginaria ( )af̂ t è la trasformata di Hilbert della parte

reale ( )af t .

7


III.4 STATISTICA DEL RUMORE ALL’USCITA DEL FILTRO DI RICEZIONE

Per la valutazione delle prestazioni del sistema occorre tenere in considerazione

l’effetto del rumore. Si consideri il classico modello additivo del rumore all’ingresso del

filtro di ricezione, come mostrato sotto.

filtro di ricezione f1(t)

y(t)

n(t)

…

Il rumore è modellato come un processo bianco e gaussiano, a media nulla e con

varianza N0 (Additive White Gaussian Noise – AWGN(0, N0)).

Lo spettro di densità di potenza del rumore all’uscita del filtro di ricezione risulterà

sagomato dalla funzione di trasferimento del filtro stesso, quindi non sarà bianco. La

sua espressione è:

( ) ( ) ( )2 20 1 02n cS f N F f N F f f= = −

La potenza del rumore all’uscita del filtro di ricezione è data da

( ) ( ) ( )2 20 1 0 1 02NP N F f dt N f t dt N f t d

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞= = =∫ ∫ ∫

2t .

L’ultima uguaglianza è dovuta al fatto che la trasformata di Hilbert ha la stessa energia

della funzione che ha subito la trasformazione.

III.5 RICEVITORE A CORRELAZIONE

In precedenza è stato usato un filtro di ricezione, passa-basso o passa-banda a seconda

dello schema di ricevitore utilizzato, che aveva come unico compito quello di consentire

il transito del segnale eliminando il rumore fuori banda. Il progetto del filtro di

ricezione può essere migliorato se oltre alla larghezza di banda del segnale si considera

anche la forma di questo. Si consideri di dover ricevere un impulso isolato (questa

ipotesi corrisponde alla condizione di azzeramento dell’interferenza intersimbolo). Si

supponga, inoltre, che in ricezione possano presentarsi impulsi aventi una delle M

8


possibili forme d’onda {s1(t)… sM(t)}, (che possono, eventualmente, essere

rappresentate in uno spazio ortonormale generato dalla base {g1(t)… gN(t)}. Se si riceve

l’m-esima di queste forme d’onda il segnale ricevuto sarà

)()()( tntstR m +=

Per determinare quale delle possibili forme d’onda sia stata ricevuta, si può pensare di

operare M integrali di correlazione secondo lo schema mostrato sotto.

…∫∫

∫∫

∫∫

MAX

m̂)()()( tntstR m +=

)(tsM

)(1 ts

)(2 ts

A valle degli M correlatori vi è un decisore che seleziona il valore massimo fra quelli

presenti in ingresso ad esso.

Per ridurre la complessità circuitale del ricevitore si può pensare di utlizzare la base

ortonormale secondo lo schema che segue.

9


…

∫∫

∫∫

∫∫

Logica Decisionale

m̂)()()( tntstR m +=

)(tgN

)(1 tg

)(2 tg

La logica decisionale all’uscita dei correlatori può semplicemente consistere in un

sistema si soglie e relativa decisione sulla base di criteri a massima verosimiglianza.

L’ottimalità di questo sistema di decisione si intuisce se si considera la disuguaglianza

di Schwarz

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2m k m kg t g t dt g t dt g t dt

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

≤

∫ ∫ ∫ ,

in cui l’uguaglianza vale solo per m=i, si vede che il massimo si ha in corrispondenza

dell’uscita dell’m-esimo correlatore. Si dimostra che il ricevitore a correlazione è il

ricevitore ottimo a massima verosimiglianza per impulsi isolati trasmessi attraverso un

canale gaussiano.

Il ricevitore a correlazione si può realizzare anche mediante un ricevitore adattato

(matched), in cui la risposta all’impulso dei filtri è

( ) ( ) 1i ih t g t , i ,...,M= − =

come mostrato nella figura sotto.

10


Logica decisionale

m̂

h1(t)

h2(t)

hN(t)

t=0

t=0

t=0

)()()( tntstR m +=

Infatti, l’uscita dell’i-esimo correlatore è data da:

( ) ( ) ( )i t R h t dα τ τ∞

−∞= −∫ τ ,

e campionando tale uscita nell’istante t=0 si ha che

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0i iR h d g h d n h dα τ τ τ τ τ τ τ τ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞= − = − + −∫ ∫ ∫ τ ,

che coincide con l’uscita del ricevitore a correlazione.

III.6 COSTELLAZIONI E VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI

In precedenza è stato detto che i simboli in trasmissione in generale sono a valori

complessi. Inoltre, in Fig. III.2.1 è mostrato l’uso di un codificatore che riceve in

ingresso dei bit ed emette, nelle due uscite, la parte reale e la parte immaginaria dei

simboli. In realtà, il funzionamento di questo codificatore è alquanto semplice. Innanzi

tutto i bit in ingresso sono raggruppati in sequenze di n bit, n=1,2,… Le sequenze

possono assumere 2n valori, che corrispondono ai 2n simboli complessi che il

codificatore è in grado di produrre. A questo punto, ciò che resta da fare è di scegliere

2n punti nel piano complesso (costellazione) ed associare ogni combinazione di bit ad

un punto. Quando una qualsiasi combinazione di bit si presenta in ingresso al

codificatore, questo emetterà il simbolo al quale la sequenza è associata.

Si veda, come esempio, le costellazioni in Fig. III.6.1. Nella figura sono mostrati

quattro tipi di modulazione: Binary Phase Shift Keying (BPSK), Quadrature Phase Shift

11


Keying (QPSK), 8-Phase Shift Keying (8-PSK), e 16-Quadrature Amplitude Modulation

(16-QAM). Se si osservano le parole binarie associate ai punti delle costellazioni, si nota

che quando si passa da un punto a quello adiacente la composizione della parola

associata varia di un solo bit (codifica Gray). In questo modo, se in fase di decodifica

una simbolo è erroneamente scambiato per uno di quelli adiacenti, tale errore implica un

solo errore di bit. Se la probabilità di errore è sufficientemente bassa, se un simbolo è

stimato erroneamente, è alquanto probabile che questo si confuso proprio con uno dei

simboli vicini, quindi la codifica Gray è quella preferibile ed è universalmente usata

nelle applicazioni reali.

000

001010011

100101

110

111

0001

0010

0011

0100

0101

01101010

1011

1100

1101

1110

0001

1011

0 1

00001000

0111

1001

1111

a) BPSK b) QPSK

c) 8-PSK d) 16-QAM

Re

Im

Re

Im

Re

Im

Re

Im

Figura III.6.1 – Costellazioni per vari schemi di modulazione

Per valutare la probabilità di errore associata a ciascuna costellazione, si consideri di

aver sagomato opportunamente gli impulsi e di averli campionati in modo tale da

eliminare l’interferenza inter-simbolo. In queste condizioni gli errori possono essere

12


causati unicamente dal rumore termico. Una costellazione QPSK affetta da rumore si

presenta come mostrato in Fig. III.6.2

Re

Im

Figura III.6.2 – Rappresentazione sul piano complesso dei campioni affetti da rumore, estratti dal segnale ricevuto quando in trasmissione è utilizzata una costellazione QPSK.

Osservando la figura si intuisce che la probabilità di errore dipende dall’effetto del

rumore sui punti della costellazione. Infatti, siccome il valore dei simboli è alterato dal

rumore, questi si dispongono sul piano complesso in una regione intorno alla posizione

che assumerebbe il simbolo in assenza di rumore. Se tale scostamento è maggiore della

distanza da un qualsiasi altro punto della costellazione allora, siccome il simbolo

ricevuto è erroneamente interpretato come quello dal quale la distanza è minima, si

commette un errore di stima. Dato che la statistica del rumore è di tipo gaussiano,

questo implica che i punti sparsi nel piano complesso di distribuiscono intorno ai punti

della costellazione secondo una statistica gaussiana bidimensionale con varianza PN.

Siccome la componenti reale ed immaginaria della funzione di densità di probabilità

gaussiana bidimensionale del rumore sono statisticamente indipendenti, la potenza della

componente reale del rumore e della parte immaginaria del rumore sono uguali e pari a

σ =PN /2. Si supponga che aj sia un simbolo della costellazione, e che Qk=aj+Zk sia il

simbolo ricevuto. Il simbolo ricevuto è interpretato come ai≠ aj se

k i kQ a Q a− < − j ,

che equivale a dire 2 2

j i k ka a Z Z− + < ,

cioè

13


{ } { } { } { }22 2i j i j k i j ka a Re a a Re Z Im a a Im Z− + − + − < 0

che diventa:

{ } { } { } { }2

2i j k i j kdRe a a Re Z Im a a Im Z− + − < −

2

(III.6.1)

dove d=| aj - ai|.

La relazione (III.6.1) è la combinazione lineare di due variabili aleatorie gaussiane

indipendenti, a media nulla, e con varianza σ2. Ciò produce una variabile aleatoria

ancora gaussiana con varianza

{ } { }2 2 2 2i j i jRe a a Im a a dσ σ − + − =

La probabilità che tale variabile aleatoria sia minore di -d2/2 è data da: 2 2

2 2

2

2 2

22

1 122 2

de

dd

dP e d e d Qd

α τσ

σ

α τσσ π π

−∞ ∞− −

−

= =

∫ ∫ = ,

dove la funzione Q(x) è definita come

( )2

212 x

Q x e dτ

τπ

+∞ −= ∫

ossia è l’integrale della ‘coda’ della funzione gaussiana normalizzata a partire da x.

Esempio: modulazione BPSK

-a aRe

Im

Nel caso della costellazione mostrata in figura, la probabilità di errore è

eaP Qσ

=

14


Esempio: modulazione QPSK

Re

Im

a,a

a,-a-a,-a

-a,a

Un simbolo è stimato correttamente se è stimata correttamente sia la parte reale sia

quella immaginaria. Le probabilità di stima corretta della parte reale e della parte

immaginaria hanno lo stesso valore, pari a

e,r e,iaP P Qσ

= =

quindi, la probabilità di stima corretta di un simbolo è data da 2

1caP Qσ

= −

e la probabilità di errore è data da 2 2

1 1 2 2ea a aP Q Q Q Q aσ σ σ

= − − = − σ

L’ultimo passaggio della relazione sopra vale se il rapporto a/σ è sufficientemente alto,

ossia, come sarà dimostrato nel seguito, se il rapporto segnale-rumore in ingresso al

decisore a soglia è elevato.

Si assuma che la sequenza di simboli Ak da trasmettere sia la realizzazione di un

processo bianco con spettro ( )2j fTAS e π β= . La potenza di tale processo { }2

kE A β= .

Escludendo il rumore, il segnale ricevuto è quindi un’onda PAM, che è la realizzazione

di un processo aleatorio avente spettro di densità di potenza

( ) ( ) ( ) { }( )

22 221 kj fT

q A

E AS f W f S e W f

T Tπ= = ,

15


dove W(f) è la trasformata di Fourier della forma d’onda demodulata in corrispondenza

di un simbolo trasmesso. Si suppone che la sagomatura dei simboli sia tale da evitare

l’interferenza inter-simbolo e che, senza perdere di generalità, abbia un’ampiezza tale

che

( ) 2W f df T

∞

−∞=∫

Tale ipotesi non è restrittiva dal momento che se il filtro di ricezione è scalato

opportunamente per ottenere il valore desiderato dell’integrale, tale effetto è prodotto

anche sul rumore e, quindi, il rapporto segnale-rumore resta invariato. Tale rapporto si

può esprimere come

( ) { }2

2 22 2

q kS f df E APotenza del segnaleSNR

Potenza del rumore σ σ

∞

−∞= = =∫

Questo consente di esprimere la probabilità di errore delle varie costellazioni in

funzione di SNR.

Esempio: modulazione BPSK

-a aRe

Im

In questo caso { }2 2kE A = a . Considerando che in questo caso la componente in

quadratura del rumore può essere eliminata isolando la sola componente in fase del

segnale ricevuto, ove è presente l’informazione, la potenza del rumore vale σ2, e la

probabilità di errore si può esprimere come

16


( )SNRQaQPe =

=

σ

Esempio: modulazione QPSK

Re

Im

a,a

a,-a-a,-a

-a,a

In questo caso { }2 22kE A = a , quindi, considerando sia la componente in fase sia la

componente in quadratura del rumore, la probabilità di errore si può esprimere come

( ) ( )[ ] ( )SNRQSNRQSNRQPe 222

≅−=

dove l’ultimo passaggio e della relazione è ammissibile solo se SNR>>1.

In Fig. III.6.2 sono mostrate le probabilità di errore di simbolo per le costellazioni

BPSK, QPSK e 16-QAM al variare del rapporto segnale-rumore. E’ evidente come la

maggiore quantità di informazione che si trasmette utilizzando costellazioni complesse

si paga con delle richieste onerose dal punto di vista del rapporto segnale-rumore per

stimare i simboli con probabilità di errore desiderata.

17


2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

BPSK QPSK 16-QAM

Figura III.6.2 – Probabilità di errore di simbolo per le tecniche di modulazione BPSK, QPSK e 16-QAM

Spesso le probabilità di errore sono indicate in funzione del rapporto fra l’energia media

di bit Eb e il valore (costante al variare della frequenza) dello spettro di densità di

rumore N0/2=KT/2 anziché in funzione di SNR. Eb può anche essere vista come la

potenza media del segnale suddivisa per il numero medio di bit trasmessi

contemporaneamente, ossia il numero medio di bit associati ai punti della costellazione,

in un hertz di banda. Analogamente, N0 può essere visto come la potenza media del

rumore in un hertz di banda. Chiaramente SNR=KEb/N0, dove K è il numero medio di

bit associati ai punti della costellazione.

18


Esempio

modulazione BPSK: ( )2 2 be

0

EP Q SNR QN

= =

modulazione QPSK: ( )0

2 2 2 be

EP Q SNR QN

=

Quindi, a parte il fattore moltiplicativo, gli schemi di modulazione BPSK e QPSK

hanno la stessa dipendenza dal rapporto Eb/N0

19


III.7 MODULAZIONI ANGOLARI

Quando i simboli emessi da una sorgente sono usati per alterare la fase di una portante, si

ottiene una modulazione numerica della fase. Si consideri una sequenza di K bit. Questi

possono generare il seguente segnale:

( )1

2

02 c

Kj f t

kk

0x(t ) Re a g t kT e t KT π−

=

= − ≤ <

∑ (III.7.1)

dove kjka e ϕ= , e ϕk appartiene all’insieme

1

2 1M

i( i )

Mπ φ

=

− +

con φ una fase aleatoria e costante nel tempo. Sia g(t) un impulso rettangolare di

ampiezza A e durata T. Il segnale nella (III.7.1) diventa:

12 2

02 Trect

K2X( t ) A ( t kT )cos( f t ) I( t )cos( f t ) Q( t )sin( f t )c ckk

π ϕ π π−

= − + = −∑=

c (III.7.2)

dove 1

02

K

k Tk

I( t ) A cos rect ( t kT )ϕ−

== ∑ − (III.7.3)

1

02

K

k Tk

Q( t ) A sen rect ( t kT )ϕ−

== ∑ − (III.7.4)

Caso BPSK

Nel caso di modulazione PSK-binaria (BPSK), si può verificare immediatamente come il

cambiamento di fase della portante corrisponda al cambiamento di segno della sua

ampiezza. In Fig. III.7.1 è mostrato un modulatore BPSK.

20


Generatore dilivello

bit

A cos(2πfct)

segnalemodulatoZ(t)I(t)

(a)

T

0 0

1 11

t

I(t)

-1

1

(b)

T

0 0

1 11

t

I(t)

-1

1

(b)

Generatore diportante

Figura III.7.1 - Modulatore BPSK.

Se i simboli ak sono modellabili come variabili aleatorie binarie equiprobabili, indicando

con T è la durata del bit, il segnale in uscita dal modulatore BPSK in corrispondenza del k-

esimo intervallo di bit si può scrivere nella forma:

[ ][ ]

1

2

1 0

1k

k

s t ( k )T se bZ( t )

s t ( k )T se b =1

− − == − −

con

1

2

2 02 0

c

c

s ( t ) Acos( f t ) t Ts ( t ) Acos( f t ) t T

ππ

= − ≤ ≤ = ≤ ≤

Considerando un canale affetto da rumore gaussiano bianco additivo (AWGN), si dimostra

che il ricevitore ottimo per segnali BPSK è il ricevitore a correlazione, illustrato in

Fig.III.7.2.

21


x(t)

s2(t)-s1(t)

filtro per limitare la potenza del

rumore+ Detector a

soglia (A/D)dtT

0∫

n(t)campiona ogniT secondi

CORRELATORE

x(t)

s2(t)-s1(t)

filtro per limitare la potenza del

rumore+ Detector a

soglia (A/D)Detector a

soglia (A/D)dtT

0∫dt

T

0∫

n(t)campiona ogniT secondi

CORRELATORE

Figura III.7.2 Ricevitore a correlazione per segnali BPSK

All’uscita dell’integratore, negli istanti di campionamento t=kT, si ha un valore di tensione

positivo o negativo a seconda del valore del bit trasmesso nell’intervallo (k-1)T<t<kT.

Pertanto, per rivelare la sequenza trasmessa sarà sufficiente un decisore a soglia, in cascata

al correlatore, a due livelli:

[ ]

[ ]

201 1 2 11

202 2 2 11

kTb ( k )T

kTb ( k )T

s ( kT ) s ( t ) s ( t ) s ( t ) dt A T

s ( kT ) s ( t ) s ( t ) s ( t ) dt A T

−

−

= −

= −

∫

∫

= −

=

Caso QPSK

Un segnale QPSK consiste in due portanti in quadratura di fase che sono modulate in

ampiezza dai segnali I(t) e Q(t). Come si può notare nella Fig. III.7.3, un modulatore

QPSK, raggruppa i bit a due a due, producendo quattro possibili combinazioni di I(t) e Q(t)

negli intervalli kTs<t<(k+1)Ts, con Ts=2T la durata di simbolo. Ai quattro simboli

corrispondono quattro diverse fasi della portante.

22


Esempio

Si consideri la costellazione mostrata sotto

0001

1011

Re

Im

Per la coppia di bit in ingresso (1,1) nell’intervallo kTs<t<(k+1)Ts si avrà:

( ) ( ) 32 2 2 2 24c c cx( t ) A cos f t s i n f t A cos f tπ π π = − − = −

π

Le fasi per le altre combinazioni di bit sono mostrate in Tabella III.7.1. Osservando la

figura, risulta evidente come si possano verificare salti di fase di π; infatti, se dopo la

coppia (1,1) occorre trasmettere la coppia (0,0), la fase salta da -3π/4 a π/4. Per questo

motivo sono state realizzate modulazioni di tipo OQPSK, che sarà trattata nel seguito, e

π/4-QPSK, per le quali non ci sono salti di fase di π. In Figura III.7.3 è mostrata

l’evoluzione temporale della forma d’onda QPSK.

INFORMAZIONE Fase Trasmessa

00 +π/4

01 +3π/4

11 -3π/4

10 -π/4Tabella III.7.1 Fase della portante modulata QPSK in funzione del valore della coppia di bit da

trasmettere.

23


CONVERTITORESERIALE / PARALLELO

SFASATORE90°

GENERATOREDI LIVELLO

bit SEGNALEMODULATO

I(t)

Q(t)

Acos(2π fct)

GENERATOREDI PORTANTE

-Asin(2 π fct)


(a)

Sequenza di dati101 1 10 0 0 0 0

1

-1

1

-1

Ts

t

t

I(t)

Q(t)

(b)

Figura III.7.3 - Modulatore QPSK

24


Il demodulatore coerente per la modulazione QPSK è più complesso rispetto a quello per

la modulazione BPSK. Ricordando, infatti, che il segnale trasmesso x(t) è del tipo (III.7.2),

si nota che in questo caso siano quattro le possibili forme d’onda trasmesse:

1

2

3

4

2 24

2 24

02 2

4

2 24

c

c

s

c

c

s ( t ) A cos f t

s ( t ) A s i n f t per t T

s ( t ) A cos f t

s ( t ) As i n f t

ππ

ππ

ππ

ππ

= +

= − + ≤ ≤ = − +

= +

E’ evidente che sono necessari due correlatori, come mostrato in Fig. III.7.4, per estrarre

l’informazione dalle due portanti in quadratura.

In Tabella III.7.2 sono elencati tutti i possibili livelli in uscita dai correlatori in

corrispondenza delle diverse combinazioni di bit trasmessi.

INPUT

OUTPUT s1(t)

(simbolo 00)

s2(t)

(simbolo 01)

s3(t)

(simbolo 11)

s4(t)

(simbolo 10)

s01 -L0 -L0 L0 L0

s02 -L0 L0 L0 -L0

Tabella c.7.2 - Livelli in uscita dai correlatori in corrispondenza del segnale trasmesso.

25


campionamentocon periodo Ts

Correlatore 1

Correlatore 2

dtTs

0∫

dtTs

0∫

+

n(t)

x(t)

so1(Ts)

so2(Ts)

A cos(2πfct)

A sin(2 πfct)

campionamentocon periodo Ts

Correlatore 1

Correlatore 2

dtTs

0∫dtTs

0∫

dtTs

0∫dtTs

0∫

++

n(t)n(t)

x(t)x(t)

so1(Ts)

so2(Ts)

A cos(2πfct)

A sin(2 πfct)

Figura III.7.4 - Ricevitore a correlazione per segnali QPSK

Dalle quattro combinazioni di s01 e s02 si può, pertanto, ricostruire la sequenza di bit

trasmessa.

III.8 OQPSK (OFFSET QPSK).

Nel caso di modulazione QPSK la fase della portante cambia ogni periodo 2T, essendo T la

durata del bit. In corrispondenza di due simboli trasmessi in successione, quando cambia il

segno di una delle due componenti in quadratura si verifica un salto di fase di π/2; se,

invece, entrambe le componenti cambiano polarità, si verifica un salto di fase di π.

La Offset-QPSK (OQPSK), altrimenti detta SQPSK (Staggered-QPSK), può essere

descritta in maniera del tutto equivalente alla QPSK. La differenza tra i due schemi di

modulazione consiste nel fatto che nella OQPSK le due componenti in quadratura I(t) e

Q(t) non sono allineate, come mostrato in Fig. III.8.1, ma la Q(t) è ritardata rispetto a I(t)

26


di un periodo di tempo pari alla durata di bit T. Con questa tecnica si elimina la possibilità

che si verifichino salti di fase di π. Infatti, come si può vedere in Fig. III.8.2, le due

componenti in quadratura non possono cambiare simultaneamente.


bit

I(t)

Q(t)RITARDO

T


CONVERTITORESERIALE / PARALLELO

Acos(2π fct)

-Asin(2π fct)

SFASATORE90°

GENERATOREDI PORTANTE

SEGNALEMODULATO

Figura III.8.1 - Modulatore OQPSK

Il segnale trasmesso può essere scritto utilizzando le componenti di bassa frequenza in fase

e in quadratura:

2 c 2 cx( t ) I( t )cos( f t ) Q( t )s i n( f t )π π= − (III.8.1)

dove

[ ]2 1 22 k Tk

I( t ) A rect t ( k )Tξ −= −∑ 2 1− (III.8.2)

[ ]2 22 k Tk

Q( t ) A rect t kTξ= ∑ 2− (III.8.3)

e le quantità ξi sono le coordinate dei simboli della costellazione.

27


Q(t) (OQPSK)

1

-1



1

-1

Q(t) (QPSK)

1

-1

Ts

I(t) (QPSK e OQPSK)

T

t

t

t

Figura III.8.2 - Forme d’onda dei canali in fase e quadratura per una generica sequenza di ingresso

La relazione (III.8.1) implica che la sequenza ξ k è divisa in una sequenza dispari ξ 2k-1 e

una pari ξ 2k. Queste due sequenze sono usate per determinare il segno della forma d’onda

durante gli intervalli dispari, 2 1 2 1( k )T ( k )Tt− ≤ < + , e negli intervalli pari,

. Le forme d’onda, per entrambi i canali, sono due onde quadre di

ampiezza unitaria e durata 2T. Il demodulatore coerente per la OQPSK, mostrato in

Fig.III.8.3, è essenzialmente quello visto per la QPSK, con l’eccezione che i simboli nel

canale Q sono ritardati di T, cioè della durata di bit. In tal modo si può dimostrare che le

prestazioni riguardanti la probabilità di errore sono identiche a quelle della QPSK.

2 2kT t k )T≤ < + 2(

28


DECISOREA SOGLIA

SINCR.SIMBOLO

CONVERTITOREPARALLELO /SERIALE

RECUPEROPORTANTE

SFASATORE90°

dtTs

0∫dtTs

0∫

dtTs

0∫dt

Ts

0∫TT

⊕x(t)

n(t)

DECISOREA SOGLIA

Figura III.8.3 Demodulatore per OQPSK

III.9 TRASMISSIONE MULTI PORTANTE – FREQUENCY SHIFT KEYING (FSK)

In questa modalità di trasmissione si fa uso di M forme d’onda ortogonali. L’ortogonalità è

ottenuta dalla frequenza delle portanti. Il segnale trasmesso può essere scritto nella forma

seguente:

( ) 22 2 2 cj f tc m

Ex( t ) cos( f t m ft ) Re[ S t e ], m=1,2,...,M 0 t TT

ππ π= + ∆ = ≤ ≤ (III.9.1)

dove

( ) 22 j m ftm

ES t eT

π ∆=

Il coefficiente di correlazione della (III.9.1) è dato da

( )( )

( )( )( )

( )( )

2 2

02

2

0

2

2

12

Tj m ft j k ft

m

j m k fTTj m k ft j T m k f

ET e e dt = E

sin T m k f1 1 e= e dt eT T j m k f T m k f

m,k=1,2,...,M 0 t T

π π

ππ π

ρ

ππ π

∆ ∆

− ∆− ∆ − ∆

=

− ∆−= =

− ∆ − ∆

≤ ≤

∫

∫

la cui parte reale è data da

29


( )( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )2

2

r msin T m k f cos T m k f

ReT m k f

sin T m k f, m,k=1,2,...,M 0 t T

T m k f

π πρ ρ

π

ππ

− ∆ − ∆= =

− ∆

− ∆≤ ≤

− ∆

=

La prima osservazione che si può fare è che se ∆f è un multiplo intero di1/2T e m≠k allora

ρr=0. Siccome la condizione |m-k|=1 indica che le due portanti corrispondenti agli indici

m e k sono adiacenti, allora ∆f=1/2T è la minima separazione spettrale fra le portanti che

assicura l’ortogonalità.

III.10 MODULAZIONI A FASE CONTINUA - CONTINUOUS PHASE

MODULATION (CPM)

In questo tipo di modulazione la fase della portante è una funzione continua nel tempo, e si

può rappresentare come segue:

( ) ( ) ( )2 k kk

t ,I I h q t kT , nT t n+1 Tφ π∞

=−∞= − ≤ ≤∑ (III.10.1)

dove

{ }kI I= è una sequenza di simboli M-ari, ±1, ± 2, … ±M-1,

{ }kh è una sequenza di coefficienti, detti indici di modulazione,

q(t) è una forma d’onda normalizzata e T è il periodo di simbolo.

In generale q(t) si può esprimere come

( ) ( )0

tq t g dτ τ= ∫ .

Se g(t) =0 ∀t>T, allora la tecnica CPM è detta a risposta totale (full response CPM),

altrimenti si parla di CPM a risposta parziale (partial response CPM).

30


g(t)

t

q(t)

tT T

g(t)

t

q(t)

t2T 2T

full response CPM partial response CPM

Esempio: Continuous Phase FSK (CPFSK): la funzione g(t) è di tipo rettangolare con

indici di modulazione costanti.

g(t)

t

q(t)

tT

1/2T1/2

T

Diagramma dell’evoluzione temporale della fase

2T 3T 4T 5T0

0

hπ

2π

3hπ

4hπ

-hπ

-2π

-3hπ

- 4hπ

31


III.11 MINIMUM SHIFT KEYING (MSK)

Il Minimum Shift Keying è un caso particolare di CPFSK, quindi di CPM, in cui gli indici

di modulazione h valgono 1/2. Utilizzando la (III.10.1), la fase della portante si può

esprimere come:

( ) ( ) ( )1

2 2

nn

k n nk

I t-nTt,I I + I q t nT = + , nT t n+1 TT

ππφ π ϑ−

=−∞

= − ≤ ≤

∑ (III.11.1)

Usando la (III.11.1), la portante modulata MSK assume la seguente forma:

( )

( )

22

24 2

nc n

n nc n

I t-nTx t A cos f t + =T

I n I=A cos f t- , nT t n+1 TT

ππ ϑ

ππ ϑ

= +

+ + ≤ ≤

(III.11.2)

Osservando la (III.11.2) si vede che l’MSK è un caso di CPFSK costruita utilizzando le

portanti

1

2

141

4

c

c

f fT

f fT

= −

= +

quindi con una deviazione di frequenza ∆f=1/2T, ossia la minima deviazione di frequenza

(da cui il nome Minimum Shift Keying).

La (III.11.2) si può esprimere anche come segue:

( ) ( ) ( )12 12

ii i n

nx t A cos f t + , i=1,2 nT t n+1 Tππ ϑ − = + − ≤ ≤

Si può dimostrare che l’MSK corrisponde a una particolare forma di OQPSK in cui gli

impulsi in cui gli impulsi rettangolari sono sostituiti da impulsi sinusoidali, ossia le forme

d’onda generate dal “generatore di livello” mostrato in Fig. III.8.1 sono di tipo sinusoidale:

22

0

sin t 0<t Tg( t ) T

altrove

π

<= (III.11.3)

Usando la (III.11.3), si può dimostrare che le componenti in fase e in quadratura

dell’inviluppo complesso, I(t) e Q(t), assumono la forma:

32


[ ]

( )

2

2 1

2

2

kk

kk

I( t ) A I g t kT

Q( t ) A I g t kT T+

= −

= −

∑

∑ −

Gli impulsi sagomati assumono, dunque, la forma di mezzo ciclo di un’onda sinusoidale di

durata 2T e segno alternato, come mostrato in Fig. III.11.1, da confrontare con la Fig.

III.8.2.

Figura III.11.1 - Forme d’onda dei canali in fase e quadratura per una generica sequenza di ingresso

Questa sagomatura fa si che le transizioni di fase non siano istantanee come nel caso della

QPSK e della OQPSK, ma che la fase si evolva gradualmente da un valore all’altro.

33


T 2T 4T3T

T

T 2T

2T

3T

3T

4T

4T

Fase raccordata

nessuna transizione

MSK

QPSK

OQPSK

t

t

t

0

0

0

sfasamento di -90° sfasamento di 90°

sfasamento di -90°

sfasamento di 180°

sfasamento di 90°

T 2T 4T3T

T

T 2T

2T

3T

3T

4T

4T

Fase raccordata

nessuna transizione

MSK

QPSK

OQPSK

t

t

t

00

0

0

sfasamento di -90° sfasamento di 90°

sfasamento di -90°

sfasamento di 180°

sfasamento di 90°

Figura III.11.2 - Forme d’onda tipiche per MSK, OQPSK e QPSK

C.12 MODULAZIONI ANGOLARI DIFFERENZIALI – DIFFERENTIAL PSK

(DPSK)

Questa tecnica è utilizzata per evitare l’operazione di recupero della fase della portante al

ricevitore. A tal fine, ad ogni intervallo di simbolo la fase del segnale ricevuto è

confrontata con quella del simbolo precedente. Si consideri il segnale ricevuto y(t) nel k-

esimo intervallo di simbolo:

( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2

c k c kk k

k c kk

y t cos f t Re a g t kT sin f t Im a g t kT n t

a cos f t g t kT n t

π π

π ϑ

∝ − − −

= + − +

∑ ∑

∑

+ =

34


Si moltiplichi y(t) separatamente per cos(2πfct+φ) e per sin(2πfct+φ). L’inviluppo

complesso del prodotto è dato da

( ) ( )1 2k k k kky cos n , sin nα ϑ φ α ϑ φ = − + − + ,

che possiamo anche scrivere ( )kj

kky e ϑ φα −= n+ . (III.12.1)

In corrispondenza del simbolo precedente avremo avuto che ( )1

11kj

kky e nϑ φα − −

−−= + . (III.12.2)

Moltiplicando scalarmene la (III.12.1) e la (III.12.2) si ha: ( ) ( ) ( )1 12

1 11k k k kj j j* * *

k kk ky y e e n e n n nϑ ϑ ϑ φ ϑ φα α α− −− − − −

k k− −−= + + + .

Si vede che in assenza di rumore l’operazione fornisce la differenza di fase fra due simboli

consecutivi, indipendentemente dalla fase φ della portante di demodulazione usata al

ricevitore. Tuttavia, in presenza di rumore al ricevitore, si vede che l’operazione genera

ulteriori componenti rumorose che possono compromettere le prestazioni del sistema.

Lo schema del demodulatore è mostrato nella figura sottostante.

COMPARATOREDI FASE

GENERAT.PORTANTE

SFASATORE90°

dtTs

0∫dtTs

0∫

dtTs

0∫dtTs

0∫

⊕y(t)

n(t)

RITARDOTs

35


APPENDICE A

A.1 Cenni sul segnale analitico e sull’inviluppo complesso.

Si consideri il seguente segnale modulato sia in ampiezza sia in fase:

[ ]2 cx( t ) A( t )cos f t ( t )π ϕ= + (A.1)

dove

• , il modulo o inviluppo di x(t), è il segnale che modula in ampiezza la

portante;

A( t )

• ( t )ϕ è la deviazione di fase di x(t) rispetto alla portante a frequenza fc , è il

segnale di modulazione di fase.

Si può associare al segnale x t( ) reale il segnale analitico:

2 cj t ( tfx( t ) A( t )ez π ϕ ) + = (A.2)

tale che

[ ]xx( t ) Re z ( t )=

e l’inviluppo complesso

(A.3) 2 cj f t j ( t )x x I Qz ( t ) z ( t )e A( t )e x ( t ) jx ( t )π ϕ−= = = +%

con

[ ][ ]

I

Q

x ( t ) A( t )cos ( t )

x ( t ) A( t )sen ( t )

ϕ

ϕ

=

=

La (A.3) rappresenta, nel piano complesso, un vettore (figura A.1) di ampiezza A(t)

variabile nel tempo e che ruota con pulsazione

2 d( t ) ft ( t )dt

ω π ϕ= =

a


A(t1)

t2

t1

A(t2)

φ(t1)

φ(t2)

Figura A.1

Essendo inoltre :

[ ] 2 oj f tx xx( t ) Re z ( t ) Re z ( t )e π = = %

si può scrivere

( ) ( ) [ ]2 2 2I c Q c cx( t ) x ( t )cos f t x ( t )s i n f t A( t )cos f t ( t )π π π= − = ϕ+ (A.4)

dove

2 2I Q

Q

I

A( t ) x ( t ) x ( t )

x ( t )( t ) arctan

x ( t )ϕ

= +

=

La (A.3) (inviluppo complesso) è, dunque, una rappresentazione in bassa frequenza del

segnale che è centrato alla frequenza fxz ( t ) c . Quindi, note fc, xI(t) e xQ(t) si può

determinare in maniera univoca x(t) espresso dalla (A.1). In conclusione, si può dire che:

I Qx ( t ) jx ( t )+

è la rappresentazione in bassa frequenza del segnale considerato e che xI(t) e xQ(t) sono le

componenti analogiche di bassa frequenza. Pertanto, considerato lo schema in Fig.A.2,

b


c

Figura A.2

il suo equivalente passa-basso si può esprimere con lo schema in Fig. A.3.

XI(t)

XQ(t)

j

xI(t)+jxQ(t)

I

Q

Figura A

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