Capitolo 6 Strato Fisico- Le Modulazioni...

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Capitolo 6 Strato Fisico-

Le Modulazioni Numeriche

2

modulatore numerico

demodulatore numerico

mezzo trasmissivo

segnale analogico

segnale numerico

segnale numerico

segnale analogico

...0010111001...

...0010011001...

affetto da errori

affetto da distorsioni e rumore

Modulazione e Demodulazione numerica

3

banda base

utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier

contenuta in un intervallo di frequenza

contiguo all’origine

Mezzi trasmissivi in banda base

(es.: linea bifilare)

banda traslata

utilizza segnali analogici con trasformata di Fourier

contenuta in un intervallo di frequenza

non contiguo all’origine

Mezzi trasmissivi in banda traslata

(es.: trasmissioni radio)

f

X(f)

f

X(f)

Modulazione numerica: banda base e banda traslata

4

modulatore numerico in

banda traslata

demodulatore numerico

(banda traslata)

mezzo trasmissivo

segnale numerico

segnale analogico in banda traslata

segnale analogico in banda traslata

segnale numerico

Schema di modulazione in banda traslata

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 Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico:

 Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo

Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE

t - 5 V

0 1 0 0 0 1 0 1 …

Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU

Potenza luminosa entrante in una fibra ottica

0 1 0 0 0 1 0 1 …

P0

0

+ 5 V

t

Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (1/8)

6

... 0 1 0 0 0 1 0 1 … segnale numerico b(n) → (sequenza di simboli)

sequenza di ampiezze a(n) → (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es. +5 ⇔ 0 ; -5 ⇔ 1 )

...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 …

impulsi → di forma g(t) di ampiezza a(n) trasmessi negli istanti nT

asse dei tempi →

0 T 2T 5T

+5

-5

a(0)g(t)

a(1)g(t-T) a(2)g(t-2T)

a(3)g(t-3T)

t 1

t


7

Esempio:

0 t simboli: 0 1 ampiezze: P0 0

forma di impulso:

segnale analogico:

0 T

g(t)

t 1

0 1 0 0 0 1 0 1 …

P0

x(t)


8

Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente:

 alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili, senza perdita di generalità, con i numeri naturali {0, 1, 2, ..., a –1}  intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T  velocità di emissione dei simboli: fs=1/T


9


Esso è rappresentabile mediante il segnale analogico

dove   g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all’intervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore

  i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente associati agli α simboli dell’alfabeto

[ a0 , a1 , a2 , ... , aa-1 ]

10

Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0.

a

+1

-1

a

+1

-1

0

 Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}.

a

+1

-1

+1/3

-1/3

simboli ampiezze di impulso 0 a0 1 a1 ... ... a -1 aa-1

Esempi: α = 2 α = 3 α = 4

Senza perdita di generalità,nel caso di α=2 assumeremo a0 =1, a1=-1.

b(n) a(n)


11

onda PAM

 PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso)

simboli diversi ⇔ differenti valori della ampiezza degli impulsi

larghezza di banda dell’onda PAM

larghezza di banda del segnale g(t)

⇔


12

Esempi di segnali PAM

Ordine dell’alfabeto α

Ampiezze di impulso ai (i=0,1,...,α-1)

Forma di impulso g(t)

segnale PAM x(t)

2 [+1 , -1]

3 [+1, 0, -1]

4 [+1, +1/3, -1/3, -1] -T/2 0 +T/2

1

-T/2 0 +T/2

1

-T/2 0 +T/2

1

0 T 2T

0 0 1 0

0 T 2T

0 0 1 2

0 T 2T

0 1 0 3


13

Prestazioni delle Modulazioni

Numeriche PAM

14

Obiettivi: •  trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale

avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm;

•  ottenere elevata efficienza di banda, definita come:

 Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo estesa in relazione alla velocità di simbolo fs, a causa delle rapide transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti di salita e di discesa di durata finita) nella forma d’impulso g(t).

Modulazione numerica

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Segnale dalla sorgente

(rappres. PAM ideale)

Filtro formatore di impulso

con risposta impulsiva g(t)

Segnale PAM ideale Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore)

0 T 2T

0 0 1 0

0 t

0 0 1 0

t

Schema di principio di un modulatore PAM

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Canale lineare e permanente

C(f) = FT [c(t)] passa-basso

C(f) = 0 per |f | > fm

+

rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di

potenza uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)

“rumore Gaussiano bianco”

z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita

dal canale Segnale PAM a banda limitata (in uscita dal modulatore)

0 T 2T

0 0 1 0

y(t) = x(t) * c(t)

n(t)

Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo Gaussiano

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z(t) segnale in

uscita dal canale

Filtro di ingresso al demodulatore

GR(f)

Campionamento negli istanti

t = kT

Decisione

criterio di decisione

â(k) sequenza

stimata delle ampiezze trasmesse

w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)

= r(t) + η(t) w(kT)

rumore

filtrato

componente utile

Il criterio qui applicato è il seguente: w(kT) ≥ 0 → a(k) = +1 ; w(kT) < 0 → a(k) = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata.

Esempio: w(kT) → +1,21 +0,66 -1,35 +1,17 a(k) → +1 +1 -1 +1 b(k) → 0 0 1 0 ^ ^ ^

^

Demodulatore PAM

18

Segnale dalla sorgente

Filtro formatore di impulso G(f)

Canale lineare e permanente

C(f) + z(t) = y(t) + n(t) =

= x(t)*c(t) + n(t)

Filtro di ingresso al demodulatore GR(f)

Campionamento negli istanti t = kT

Decisione

sequenza â(k)

w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)

w(kT)

n(t)

MODULATORE DEMODULATORE

CANALE

y(t)

Modulazione numerica

Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli

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con

risposta impulsiva della cascata di tre filtri:

formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore

Per le funzioni di trasferimento: H(f) = G(f) C(f) GR(f)

Il segnale utile r(t) è ancora un segnale

PAM con forma di impulso

h(t)

w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + η(t)

segnale utile rumore (filtrato)

Componente di segnale utile all’ingresso del campionatore

20

Demodulazione del segnale PAM

in assenza di rumore

21

 Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}  Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0⇒ η(t)=0

, n ≠ k

coincide con a(k) a meno della costante

(guadagno) h(0)

componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l’ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)

Interferenza intersimbolica (ISI)

Demodulazione in assenza di rumore

22

 Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist:

si ha sempre w(kT) = a(k)

Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).

Interferenza intersimbolo e condizioni di Nyquist

23

Esempio:

Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro.

 Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo tra i valori ±T/2.

-T -T/2 +T/2 +T +2T

1

h(t)

-T -T/2 +T/2 +T +2T

1

w(t)

Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo

(1/2)

24

Condizioni di Nyquist e forme di impulso limitate nel tempo

(2/2) PROBLEMA

  Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita).   Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve necessariamente essere limitata in frequenza ossia nulla per .

25

 Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo

la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza

f

H(f)

-1/2T 0 +1/2T f-2/T -1/T 0 +1/T +2/T

H(f) H(f-1/T) H(f-2/T) H(f+1/T) costante

Esempio: T

Condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza

26

 Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di:

f -1/2T 0 +1/2T

H(f) La somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di fN non può mai dare luogo a una costante.

Banda di Nyquist

Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISI

27

  Una particolare forma di impulso h0(t) i.  limitato in banda ii.  che soddisfa le condizioni di Nyquist

è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T):

H0(f)

f

T

-1/2T 0 +1/2T

Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata - passa-basso di Nyquist

h0(t)

t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T

28

Esempio: Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)

h0(t)

t

t

r(t)

T 0

+1

+1

-1

0

f

H0(f)

T

-1/2T 0 +1/2T

Forma d’impulso di Nyquist a banda limitata

29 0 fN 2fN

H(f)

T γ = 0.3

γ = 0.6

γ = 1

γ = 0

γ fattore di roll-off, 0 < γ ≤ 1

Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato

30

  All’aumentare del fattore di roll-off g da 0 (filtro passa-basso ideale) a 1 Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano più rapidamente.

 La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + g)

 Minore criticità nel campionamento in ricezione.


γ = 0.6

γ =0

0 T 2T 3T 4T

h(t)

t

1

-4T -3T -2T -T

γ=1

γ= 0.3


31

h(t)

T 0

+1

t

h(t)

t T

0

+1

r(t) +1

-1

0 t

r(t) +1

-1

0 t

Esempio:

Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, ( g = 0 e g = 1 )

γ = 0 γ = 1


Valori di γ di interesse operativo: 0,2 < γ < 0,6


32

 Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo (anche in assenza di rumori di canale). Esempio:  Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(kT), per k ≠ 0]

 Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di ampiezza trasmessi ±1]

T

Ricezione in presenza di interferenza intersimbolo

+1

-1

T

33

 I simboli sono associati ad α ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad α livelli)

velocità di simbolo binario fb

velocità di simbolo

sorgente binaria

conversione di alfabeto 2 → α

modulatore PAM ad α

livelli

canale in banda base (freq. max.

fm)

 Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).

Segnale PAM multilivello

34

i.  Aumento dell’efficienza spettrale Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb.

ii.  Aumento della probabilità di errore in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso.

 All’aumentare del numero di livelli a del segnale PAM utilizzato abbiamo che:

Vantaggi e svantaggi del PAM multilivello

35

Demodulazione del segnale PAM

in presenza di rumore gaussiano

36

 Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha

Variabile con a valori possibili

Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza ση2

 Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}  Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco

(Segnale all’ingresso del campionatore di ricezione)

Demodulazione PAM in presenza di rumore di canale

37

Decisione in presenza di rumore Gaussiano. Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)

w(kT)=a(k)+η(kT)

 Problema: Misurato w(kT) w* all’ uscita del campionatore di ricezione, di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ?

 Misurato w(kT) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze {a0 .. aa-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell’ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aa-1]}.  In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue: a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}

Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)

38

a(k)=argmin{(w*- ai) }

w(kT)=a(k)+η(kT),   Poiché la componente di rumore η(kT) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α valori {a0… aa-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia, dista di meno) dal valore misurato w(kT) w*.   Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà:

IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea

Decisione in presenza di rumore Gaussiano Decisore a minima distanza Euclidea (2/3)

39

w(kT)=a(k)+η(kT)  Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di modulazione PAM binario).

 Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione

  Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo

come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità:

Pe P(a(k) a(k)).

a(k)= (2-PAM)

Decisione in presenza di rumore Gaussiano Caso del 2-PAM (3/3)

40

p [w(kT) | a(k) = -1]=

+1

-1

0

w(kT)

p [w(kT) | a(k) = +1]=

w(k) > 0

a(k) = -1

η(kT) > +1

w(kT) = a(kT) + η(kT) > 0 ↓

â(kT) = +1 ≠ a(kT) “errore”

a(k)

Probabilità di errore (area tratteggiata in figura)

Densità di probabilità gaussiana

pη [η=w(kT)-1]

pη [η=w(kT)+1]

Probabilità d’errore in presenza di rumore gaussiano

Caso 2-PAM

41

Sistemi di Modulazione Numerica in banda traslata

Modulazione QAM (analogica)

Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione analogica di ampiezza definito dallo schema seguente:

oscillatore frequenza f0

sfasatore π/2

cos(2πf0t) (portante in fase)

cos(2πf0t + π/2) (portante in quadratura)

+

2 segnali modulanti, in banda base [- fm,fm]

x(t)

y(t)

x(t) cos(2πf0t)

y(t) cos(2πf0t + π/2)

segnale modulato QAM : s(t) = x(t) cos(2πf0t) + + y(t) cos(2πf0t + π/2) somma di due segnali che occupano la stessa banda: f0 ± fm

s(t)

Demodulazione del segnale QAM in assenza di rumore (1/2)

ricostruzione portante f0

sfasatore π/2

×

Segnale QAM s(t)

2s(t) cos(2πf0t)

× 2s(t) cos(2πf0t + π/2)

x(t)

y(t) passa-

basso

ideale [-

fm,fm]

2cos(2πf0t)

2cos(2πf0t+π/2)

passa-

basso

ideale [-

fm,fm]

Demodulazione del segnale QAM (2/2)

Segnale all’ingresso del demodulatore:

Segnale all’uscita del moltiplicatore (relativo al segnale x(t)):

Termine proporzionale al segnale modulante x(t) Termini che occupano

la banda 2f0 ± fm (eliminati dal filtraggio)

termine nullo

[Trattazione identica per il demodulatore relativo al segnale y(t)]

45

Modulazione QAM numerica Si ottiene utilizzando due modulatori PAM numerici, i cui segnali di uscita x(t) e

y(t) costituiscono i due segnali modulanti di un modulatore QAM analogico:

segnale binario (velocità di simbolo

binario fb)

conversione serie/parallelo

segnali binari fb/2

velocità di simbolo:

PAM ad α livelli

PAM ad α livelli

modulatore QAM

analogico s(t)=x(t)cos(2πfot)+ y(t)cos(2πf0t+π/2) segnale modulato

QAM

conversione di alfabeto

2 → α = 2υ

conversione di alfabeto

2 → α = 2υ

46

Costellazione di Segnale (Signal Set) (1/6)

• Sia (x(t),y(t)) il punto del piano avente come coordinate i valori assunti dai due segnali PAM. Al variare di t il punto seguirà un percorso curvilineo nel piano.

• Negli istanti caratteristici di campionamento t = kT ciascuna delle due coordinate di (x(kT),y(kT)) assume una delle α ampiezze di impulso possibili.

Risulta così individuato un insieme di α2 punti, detto costellazione di segnale (signal set) relativa al segnale QAM.


y

-1 -1/3 0 +1/3 +1

-1

-1/3

+1/3

+1

x

modulazione

16-QAM

Esempio 1: α = 22 = 4 livelli, con

ampiezze di impulso +1, +1/3, -1/3, -1.

La costellazione è costituita da un insieme di 16 punti disposti a forma di reticolo

regolare a maglie quadrate.

Modulazione 4-QAM

( 4-PSK, QPSK )

-1 0 +1

-1

+1

y

x x

-1 0 +1

-1

+1

y

Esempio 2: α = 21 = 2 livelli.

Esempio 3: α = 23 = 8 livelli.

Modulazione 64-QAM


Ogni T secondi vengono trasmessi 2υ bit del segnale di ingresso.

υ bit

una ampiezza di impulso PAM (α = 2υ livelli) x(kT)

υ bit

una ampiezza di impulso PAM (α = 2υ livelli) y(kT)

un punto della costellazione (x(kT),y(kT))

Gli α2 = 22υ punti della costellazione QAM sono in corrispondenza biunivoca con le 22υ parole binarie distinte formate da 2υ bit.


Esempio 4: codifica di costellazione:

parola binaria ax ay

00000 -1,5 d +2,5 d 00001 -0,5 d +2,5 d 00010 +0,5 d +2,5 d 00011 +1,5 d +2,5 d 00100 -2,5 d +1,5 d 00101 -1,5 d +1,5 d ... ... ... 11110 +0,5 d -2.5 d 11111 +1,5 d -2,5 d

Modulazione32-QAM

y

x

d

d

00000 00001 00010 00011

00100 00101

11110 11111


Modulazione 8-PSK

Modulazione QAM numerica con signal set a 8 punti disposti su una circonferenza di raggio 1, equidistanziati.

Il nome 8-PSK (analogamente al 4-PSK) deriva dal fatto che le posizioni dei punti, in coordinate polari (r,ϕ) sono differenziate soltanto in base alla fase ϕ (r = 1 = cost). Una possibile codifica di costellazione è: parola di ingresso ax ay

000 001 011 010 110 111 101 100

000

001 011

010

110

111 101

100


1

Schema per la trasmissione di segnale numerico in banda traslata

canale lin. e perm. passa-banda ideale (banda f0 ± fm)

segnale modulato: s(t) = x(t) cos(2πf0t) + y(t) cos(2πf0t + π/2)

+

n(t) rumore gaussiano bianco con spettro di densità di potenza Wn(f) = N0 costante

s(t) filtro di ingresso al demodulatore passa-banda ideale (banda f0 ± fm)

CANALE DI TRASMISSIONE

al demodulatore

segnale ricevuto: z(t) = s(t) + η(t)

rumore gaussiano filtrato

banda: [-fm,fm]

banda: [f0 ± fm]U [-f0 ± fm]

53

Per il rumore gaussiano limitato in banda, n(t) , di spettro di densità di potenza N0

vale la seguente decomposizione:

η(t) =ηx(t) cos(2πf0t) + ηy(t) cos(2πf0t + π/2)

ηx(t) e ηy(t) due processi aleatori Gaussiani statisticamente indipendenti tra loro detti componenti analogiche di bassa frequenza di n(t) , aventi

  uguale spettro di densità di potenza, uniforme nella banda [-fm,fm] (banda base);   uguale potenza ση2, uguale a sua volta alla potenza di η(t).

Componenti del rumore gaussiano

Wη(f)

f N0

- (f0 + fm) - f0 - (f0 - fm) 0 (f0 - fm) f0 (f0 - fm)

ll rumore gaussiano η(t) è interpretabile come segnale modulato QAM, in cui ηx(t) e ηy(t) sono i segnali modulanti.

Demodulazione in presenza di rumore gaussiano

Il segnale ricevuto ha l’espressione: z(t) = s(t) + η(t) = [x(t) + ηx(t)] cos(2πf0t) + [y(t) + ηy (t)] cos(2πf0t + π/2)

All’uscita dei due demodulatori sono presenti i segnali: dx(t) = x(t) + ηx(t), dy(t) = y(t) + ηy(t)

Negli istanti di campionamento t=kT (e in assenza di ISI) si ha dx(kT) = ax(k) +η x(kT), dy(kT) = ay(k) + ηy(kT)

Sul piano della costellazione di segnale il punto ricevuto R=( dx(kT) , dy(kT))

differisce in generale dal punto trasmesso T=(ax(k) , ay(k) )

Maximum Likelihood Decision Criterion( MLD) Ricevuto il punto R, si decide in favore del “più verosimile” punto trasmesso T ovvero quello a cui corrisponde la massima probabilità condizionata Max {p [R | Ti], i=0, .. α2-1 }. Ancora una volta si può dimostrare che ciò corrisponde ad assumere come trasmesso quel punto della costellazione che ha la minima distanza di Euclide dal punto ricevuto R.

y

x

R

O

T

T vettore rappresentativo del punto trasmesso T R vettore rappresentativo del punto ricevuto R TR vettore rappresentativo del rumore

Decisione in presenza di rumore gaussiano

56

•  L’applicazione del criterio di decisione MLD individua nel piano del signal set delle regioni di decisione associate ai punti della

costellazione. •  La generica regione di decisione associata a un punto T è costituita da tutti i punti del piano più vicini a T che a tutti gli altri punti del signal

set. Esempio:

y

x

Regioni di decisione

Modulazione QAM

Punto P (regione illimitata)

Punto Q

P Q

Regioni di decisione e probabilità di errore

Si ha una decisione errata (corrispondente a uno o più bit errati nel segnale binario demodulato) quando il vettore di rumore è tale da far cadere il punto ricevuto R al di fuori della regione di decisione relativa al punto trasmesso T.

Esempio: Punto trasmesso: T Vettore rumore: TR Punto ricevuto R Regione a cui appartiene R: Punto ipotizzato come trasmesso: T (decisione errata)

y

x

T

R T

La probabilità di decisione errata diminuisce con l’ampliamento delle regioni di decisione (maggiore potenza trasmessa e/o minore potenza di rumore).

Banda occupata dal segnale modulato QAM (1/2)

• L’intervallo T tra istanti caratteristici dei due segnali PAM è legato alla velocità di simbolo fb del segnale binario da trasmettere come segue:

dove 2ν è il numero di simboli binari associati alla trasmissione di un singolo simbolo QAM (cioè di un punto della costellazione che contiene N = 22ν punti).

• La frequenza massima fm (ossia la banda occupata dal ciascuno dei due segnali PAM) vale quindi

•  dove γ è il roll-off del filtro sagomatore

Banda occupata dal segnale modulato QAM (2/2)

• Nella successiva modulazione QAM di ampiezza i due segnali modulati PAM (e quindi anche la loro somma che costituisce il segnale modulato QAM) occupano una banda di estensione 2fm intorno a f0. Quindi la banda WQAM del segnale modulato QAM è pari a

Capitolo 6 Strato Fisico- Le Modulazioni...

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