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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

SCUOLA DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELL'INFORMAZIONE

Tesi di Laurea Triennale

ANALISI STOCASTICA DI UNA BATTERIA

PER DISPOSITIVI MOBILI

CON LEAKAGE E RECOVERY EFFECT

Relatore: Prof. LEONARDO BADIA

Laureando: ELISA FELTRE

Matricola 1046445

24 Settembre 2015

ANNO ACCADEMICO 2014-2015

Sommario

In questa tesi verrà elaborato il modello di una batteria che alimenta un dispositivomobile. Questo dispositivo sarà composto da un Energy Harvesting Device (ovve-ro un sensore con il compito di raccogliere energia dall'ambiente per alimentare ildispositivo), una batteria ricaricabile (in cui l'energia raccolta verrà immagazzinataper uso futuro), una coda di servizio (che conserverà i pacchetti che arrivano dal-l'esterno in attesa di essere serviti) e un service provider (con il compito di servirei pacchetti in coda). Inoltre, saranno esaminati alcuni comportamenti non idealidella batteria, quali il leakage e recovery e�ect.

Il modello sarà implementato in Matlab attraverso una catena di Markov a stati�niti e a tempo discreto e verrà studiato il comportamento della batteria in funzionedei parametri che la caratterizzano nel modello presentato, facendo uso di gra�ci,per ricavare quali sono le condizioni di lavoro ottimali per il dispositivo.

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Indice

Sommario iii

Indice v

1 Introduzione 1

1.1 Batterie e dispositivi mobili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Metodologia e risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Stato dell'arte 5

2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Comportamento della batteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Energy harvesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Related works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Modello della batteria 13

3.1 Descrizione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Implementazione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1 Stati del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Transizioni della catena di Markov . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.3 Matrice di transizione e probabilità di stato . . . . . . . . . . 19

4 Risultati numerici 23

4.1 Variazione dei parametri �sici della batteria . . . . . . . . . . . . . . 244.1.1 Variazione del tasso di recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.2 Variazione del tasso di leakage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Variazione dei tassi di arrivo e di servizio . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.1 Variazione del tasso di arrivo dei pacchetti . . . . . . . . . . . 294.2.2 Variazione del tasso di servizio dei pacchetti . . . . . . . . . . 314.2.3 Variazione del tasso di arrivo dell'energia . . . . . . . . . . . . 32

5 Conclusioni e sviluppi futuri 35

Bibliogra�a 37

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Capitolo 1

Introduzione

1.1 Batterie e dispositivi mobili

A seguito dell'invenzione della pila, fatta da Alessandro Volta nel 1799, in anticipodi 32 sull'invenzione della dinamo di Faraday, le batterie furono a lungo l'unica fontedi energia pratica. Quando, all'incirca attorno alla �ne del Diciannovesimo secolo, leprime reti elettriche cominciarono a di�ondersi, le batterie vennero relegate all'usodei dispositivi portatili, che all'epoca risultavano grandi e pesanti, molto lontani dalconcetto moderno di �portatilità�. Grazie agli enormi sviluppi tecnologici, i compo-nenti elettronici sono diventati sempre più piccoli e, di pari passo, anche l'energiarichiesta per farli funzionare è diminuita sempre di più. Questo ha permesso didiminuire le dimensioni �siche delle batterie e ha quindi portato all'esplosione delleapplicazioni mobili e alla loro attuale di�usione capillare. Tuttavia, sebbene le bat-terie siano state senza dubbio uno dei fattori primari che ha contribuito a questadi�usione su vasta scala, esse sono causa allo stesso tempo di una forte limitazionea questa espansione. Si prendano in considerazione, ad esempio, i moderni telefonicellulari: grazie al miglioramento della tecnologia, le loro performance sono aumen-tate incredibilmente negli ultimi anni, però un problema fondamentale rimane ladurata della batteria. È stato riportato che il consumo di energia dell'hardwaredi un cellulare cresce esponenzialmente con le sue funzionalità e, attualmente, iltempo di utilizzo medio è al di sotto dei due giorni. A causa delle limitazioni sulledimensioni e sul costo, la capacità delle batterie cresce molto, troppo lentamente,ad un tasso del 10% circa all'anno [9]. Una causa della breve durata delle batterienei dispositivi mobili sono proprio le loro nuove caratteristiche, come l'alta velocitàdel processore, display a colori, unità di memoria ottiche/magnetiche, ecc. . . , checomportano un dispendio di energia signi�cativo. In [3] risulta che le attuali batteriericaricabili usate nei computer portatili si ricaricano in un tempo che può variare trale 1.5 e le 4 ore, però la loro autonomia arriva al massimo a 14 ore. Ormai, per moltiutenti, raddoppiare la durata della batteria è molto più importante che raddoppiarela frequenza di clock del proprio dispositivo mobile.

Per migliorare la durata delle batterie, le ricerche si sono mosse verso nuove tec-nologie. Ultimamente, l'attenzione si è concentrata sulle microcelle a combustibile,che permettono di ottenere elettricità direttamente da alcune sostanze (tipicamenteidrogeno e ossigeno), senza che avvenga alcun processo di combustione termica. Laloro e�cienza può essere molto alta e si promettono celle a combustibile su chipper alimentare sensori wireless[1]. Un altro approccio consiste nell'applicare dellapolitiche di gestione dell'energia e di modellazione del tra�co e delle correnti discarica. Molti studi sono stati compiuti negli ultimi anni in questo campo, come sipuò vedere ad esempio in [5], [9], [17] e [21-23], e tutti si basano su modelli astrattidi batterie. Incorporare informazioni sullo stato della batteria in una strategia diottimizzazione della vita del dispositivo richiede un modello matematico in gradodi tenere conto anche delle non-linearità della batteria. Sono in circolazione da or-

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2 Introduzione

mai un paio di decadi modelli a basso livello basati su equazioni di�erenziali, chedescrivono con accuratezza i complessi fenomeni che avvengono in una cella elettro-chimica, però la loro risoluzione può impiegare anche dei giorni [3]. Recentemente,sono stati sviluppati modelli di batteria ad alto livello che riducono fortemente iltempo di simulazione, predicendo il comportamento della cella con precisione accet-tabile. L'uso di tali modelli, �sicamente accurati e al contempo matematicamentesemplici, è un valido strumento per i progettisti, il cui scopo è individuare algoritmiper una gestione della batteria ottimale. Inoltre, poiché molti dei modelli sono in-dipendenti dalla chimica della batteria, dovrebbero continuare a mantenere la lorovalidità anche con l'avanzamento tecnologico.

Queste ricerche sono particolarmente importanti per lo sviluppo delle reti di di-spositivi wireless, che spesso sono poste in luoghi potenzialmente pericolosi o nonraggiungibili con l'obiettivo di acquisire dati o monitorare l'ambiente. Tali senso-ri sono anche spesso impossibilitati a collegarsi alla rete di alimentazione elettrica,per questo un altro argomento di studio in crescente espansione negli ultimi anniè l'energy harvesting. Grazie all'energia fornita dall'ambiente, infatti, i dispositivimobili potranno operare idealmente per un tempo inde�nito. D'altra parte, tenereconto della disponibilità dell'energia e di come immagazzinarla non è una s�da dapoco. I sistemi che sfruttano l'energy harvesting devono operare in sincronia conla fonte di energia esterna e il loro progetto deve considerare, oltre alle caratteristi-che del dispositivo, anche quelle della sorgente energetica. Idealmente, una buonastrategia di gestione dell'energia dovrebbe mantenere il sistema in una zona di ope-ratività energicamente neutrale, ovvero il sistema non potrà consumare più energiadi quella che può essere ricavata dall'ambiente, a lungo termine.

1.2 Metodologia e risultati

Dalla discussione svolta nella sezione precedente, risulta chiaro come i modelli dibatteria ad alto livello di astrazione siano fondamentali per il futuro sviluppo deidispositivi mobili. In questa tesi sarà presentato il modello di un dispositivo mobile,alimentato da una batteria e da un dispositivo di energy harvesting. La batteriasarà modellata in modo simile a quello presentato ad esempio in [4] o in [20]. Ilsistema sarà rappresentato da una catena di Markov a stati �niti a tempo discretoimplementata in Matlab attraverso script e funzioni appositamente scritte. A di�e-renza di altri modelli presenti in letteratura, il modello di questa tesi non prenderàin considerazione solamente il recovery e�ect (fenomeno per il quale una batteria,lasciata a riposo, è in grado di recuperare parte della sua carica), ma cercherà didescrivere, con appositi parametri, il fenomeno del leakege (per cui una batteria la-sciata inattiva perde una piccola parte della sua carica a causa di reazioni chimicheindesiderate). La batteria fungerà da magazzino per la carica raccolta da fonti ester-ne attraverso un meccanismo di energy harvesting e si analizzerà la probabilità cheil dispositivo si arresti per la completa scarica della batteria. Inoltre, nel modellopresentato si terrà conto anche della coda di servizio, che per semplicità sarà assun-ta con capienza �nita. Facendo variare i diversi parametri che caratterizzeranno ilmodello, si discuteranno in�ne le situazioni in cui il sistema può funzionare meglio.

Riassumendo, la tesi verrà sviluppata come segue. Il capitolo 2 contiene la de-scrizione del comportamento di una batteria in fase di carica e scarica e dei fenomenidi recovery e di leakage. Inoltre, è presente una breve panoramica sull'energy har-

1.2 Metodologia e risultati 3

vesting e sono discussi gli articoli da cui questa tesi ha preso maggiormante spunto.Nel capitolo 3 è presentato il modello stocastico e ne viene spiegata la costruzione.Nel capitolo 4, sono descritti i risultati numerici, a�ancati da gra�ci. Il capito-lo 5 conclude la tesi con una breve discussione sui risultati ottenuti nel capitoloprecedente e sui possibili sviluppi futuri.

Capitolo 2

Stato dell'arte

2.1 Background

Figura 2.1: Evoluzione dei componenti principali presenti nei computer portatili dal1990 al 2003 (tratto da [1])

Con la crescente di�usione di dispositivi elettronici di dimensioni sempre piùridotte, è aumentata anche la richiesta di batterie sempre più piccole e leggere chealimentino questi dispositivi il più a lungo possibile. Purtroppo, nonostante i gran-dissimi miglioramenti dovuti ai nuovi materiali scoperti, come si vede dal gra�co diFigura (2.1), le batterie non riescono a stare al passo con il resto della tecnologia.Questo comporta un limite all'espansione dei dispositivi portatili e da qui la necessi-tà di aggirare in qualche modo il problema. A questo proposito, sono stati sviluppatimolti algoritmi di power mangement ed energy management, ma questi possono es-sere e�caci solo se si basano su modelli che descrivono con su�ciente accuratezza ilcomportamento della batteria. Inoltre, un ulteriore aiuto può giungere dalle energierinnovabili, che o�rono una fonte di alimentazione indipendente dalla capienza dellabatteria stessa e grazie alle quali la vita del dispositivo sarà limitata dalla sua stessadurata �sica, piuttosto che dalla quantità di energia che ha a disposizione [1].

2.1.1 Comportamento della batteria

Una batteria è solitamente composta da celle disposte in serie o in parallelo. Ognicella contiene due elettrodi �un anodo e un catodo, separati da un elettrolita�checostituiscono il materiale attivo della cella. Quando la cella viene connessa a un

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6 Stato dell'arte

circuito esterno, una reazione di ossido-riduzione trasferisce gli elettroni dall'ano-do al catodo. Questo trasferimento converte l'energia chimica immagazzinata nelmateriale attivo in energia elettrica, che scorre sotto forma di corrente attravrsoil circuito. Con lo scaricamento della batteria, il suo potenziale diminuisce �no araggiungere il potenziale di cuto�, ossia il valore di potenziale al di sotto del quale labatteria non può più fornire energia. Raggiunto tale valore, la batteria è consideratascarica e si disconnette dal carico esterno.

Il comportamento della batteria durante la fase di scarica dipende da numerosifattori, come il tasso di scarica, la temperatura e il numero di cicli di carica e scarica.Di conseguenza, il comportamento dell batteria devia signi�cativamente da quello diuna fonte di energia ideale. In [3] sono descritte alcune delle cause di non-idealità,ad esempio al di sotto della temperatura ambiente (∼ 25 °C) l'attività nella celladiminuisce e aumenta la resistenza interna, mentre a temperature più alte si osservauna diminuzione della resistenza interna. Un altro esempio è il cosiddetto capacity

fading : in alcuni tipi di batteria, come in quelle al litio, a causa di reazioni collateraliindesiderate come la dissoluzione dei materiali attivi o la formazione di un �lm pas-sivo, c'è la perdita di una porzione di capacità ad ogni ciclo di carica e scarica. Ladegradazione della capacità della batteria è dovuta al modo in cui la batteria vieneutilizzata, ma anche al tipo di batteria, infatti le batterie al litio so�rono maggior-mente di questo problema. Solitamente, più la scarica della batteria è profonda, piùrapida sarà la degradazione, perciò una batteria soggetta a piccole scariche potràsopportare più cicli di scarica rispetto ad una soggetta a grandi scariche [10, 11]. Inquesta tesi, verranno presi in considerazione altri due e�etti che rendono inadeguatauna rappresentazione ideale della batteria: recovery e�ect e leakage.

Recovery e�ect

La capacità della batteria diminuisce all'aumentare del tasso di scarica. In una cellacompletamente carica, la super�cie dell'elettrodo contiene la concentrazione massi-ma di materiale attivo (Figura 2.2 a).Quando la corrente è nulla, la concentrazionedi materiale attivo è uniforme e corrisponde al suo valore medio; quando la correntediventa strettamente maggiore di zero, il materiale attivo in corrispondenza dellasuper�cie dell'elettrodo viene consumato dalle reazioni elettrochimiche e rimpiazza-to da nuovi materiali attivi che si muovono dalla soluzione elettrolitica all'elettrodoattaverso un meccanismo di di�usione.Tuttavia, se l'intensità della corrente sale aldi sopra di un valore di soglia, detto corrente limitante[4], il processo di di�usionenon riesce a compensare le reazioni e questo porta all'aumento del gradiente di con-centrazione attraverso l'elettrolita (Figura 2.2 b). Il gradiente di concentrazione deimateriali attivi al catodo scende rapidamente e, non appena arriva al di sotto delpotenziale di cuto� Vcut, le reazioni elettrochimiche si interrompono e la batteria èconsiderata scarica anche se nella cella sono ancora presenti materiali attivi.

La carica inutilizzata non è persa, è solo momentaneamente non disponibile acausa della lentezza con cui i materiali attivi riempiono per di�usione la regione dielettrolita vicino all'elettrodo. Se la corrente va a zero, il gradiente di concentrazionediminuisce �no al raggiungimento di una nuova condizione di equilibrio (Figura 2.2c). Questo meccanismo è de�nito in letteratura charge recovery e�ect e può esseresfruttato per aumentare la durata della batteria. La quantità di carica che puòessere e�ettivamente recuperata dipende dalla durata della scarica, dall'intensitàdella corrente di scarica e dal potenziale a cui si trova la batteria all'inizio del

2.1 Background 7

Figura 2.2: Rappresentazione �sica del processo di scarica di una batteria (trattoda [2])

processo di recovery. Secondo le misure e�ettuate in [6] e in [9], la carica recuperataaumenta all'aumentare del tempo e dell'intensità della scarica, tuttavia un impulsodi scarica lungo e intenso porta all'innalzamento della temperatura all'interno dellabatteria e di conseguenza la quantità di carica recuperata diminuisce. In particolare,si è notato che il processo di recovery è più e�cace quando la batteria si trova vicinoal potenziale di cuto� e il tasso di recovery decresce esponenzialmente col passaredel tempo.

Una corrente di scarica costante non permetterebbe alcun recupero e la batteriaraggiungerebbe Vcut ben prima di aver consumato tutta la sua carica. Si è dimostratoinfatti che, anche adottando un tasso di scarica vantaggioso, una batteria sottopostaa corrente di scarica costante riesce a rendere solo il 10-30% della carica che contiene[4]. Grazie ad un pro�lo di scarica impulsivo, invece, si ottengono rilevanti migliora-menti in termini di vita della batteria: gli esperimenti svolti in [5] hanno provato unguadagno del 30-45% sul tempo di opeatività di una batteria, utilizzando un dutycycle che permette l'attivazione del recovery e�ect durante i periodi di inattività.Si è potuto constatare che periodi di inattività più lunghi comportano un tempodi operatività maggiore, e quindi una maggiore quantità di energia ottenibile dallabatteria, tuttavia oltre una certa soglia (detta soglia di saturazione) il recupero dellacarica tramite recovery diminuisce �no ad annullarsi in quanto il nuovo equilibrio èstato raggiunto.

8 Stato dell'arte

Leakage

Il fenomeno di leakage, o self discharge, è causato da processi elettrochimici interniquando la batteria è inattiva, è equivalente all'applicazione di un piccolo caricoesterno e può essere modellato con un tasso di perdita costante [26]. Il tasso dileakage dipende dal tipo di batteria e dalla temperatura. Tipicamente, i tassi discarica possono andare dal 2-3% al mese (nelle batterie al litio) al 30% al mese(nelle batterie nickel-metallo idruro) [7] e il tasso di reazioni chimiche indesiderateche causano le correnti di perdita tra gli elettrodi aumenta con la temperatura.Inoltre, dato un �ssato tipo di batteria e una temperatura media, il tasso di leakagecambia anche col passare del tempo: le batterie tendono a �perdere� più caricaappena dopo essere state caricate [8].

2.1.2 Energy harvesting

Come detto in precedenza, un metodo per prolungare la vita di una batteria è quellodi sfruttare l'energia ricavabile dall'esterno tramite un dispositivo di energy harve-

sting (Energy Harvesting Device, abbreviato EHD), che raccoglie l'energia dall'am-biente e la conserva per adoperarla quando necessario. Questo tipo di alimentazioneè stato preso in considerazione in molti studi riguardanti dispositivi mobili che nondispongono di un accesso continuo alla rete elettrica tradizionale, come in [1], [11]e [12-16]. Un EHD è tipicamente modellato come un bu�er di energia, che a livellopratico può essere realizzato grazie a batterie elettrochimiche o supercondensatori;un controllore deciderà quanta energia estrarre dal bu�er, a seconda della politi-ca energetica adottata. Un generico EHD è formato da un dispositivo che estraeenergia dall'ambiente, da un sottosistema che si occupa della gestione dell'energiaestratta e del suo immagazzinamento, e da un carico esterno (composto da un'unitàdi elaborazione, sensori e attuatori).

Spesso la fonte energetica fornisce la maggior parte dell'enegia solo durante certiperiodi della giornata, mentre per il resto del tempo pochissima o nessuna energiaarriva al dispositivo. Nel primo caso la batteria si ricarica, nel secondo invece siscarica parzialmente o totalmente, a seconda della richiesta del carico esterno. Laprima fonte di energia ricavabile dall'ambiente che viene in mente è solitamente laluce solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso dei pannelli so-lari relativamente poco costosi con un'e�cienza compresa tra il 10 e il 20% [1]. Lamancanza di una luce forte e costante riduce le prestazioni ottenibili, per questola ricerca mira a migliorare sempre più l'e�cienza. A �anco alla luce solare, vacitata un'altra fonte sfruttabile dai dispositivi mobili: i segnali radio. Essi sonoormai onnipresenti nell'ambiente urbano, perciò possono essere sfruttati come ri-serva di energia, tuttavia la quantità di energia è molto limitata e generalmente ildispositivo deve raccogliere energia su aree molto vaste o in prossimità della fontedi radiazioni. Un ulteriore approccio comprende la trasmissione di onde radio ap-positamente per alimentare i dispositivi remoti. L'energia può essere ricavata anchetramite conversione termoelettrica, per cui l'energia viene raccolta attraverso trasfe-rimento di calore tra due oggetti a temperature diverse. I generatori termoelettricisono in grado di assorbire un ammontare signi�cativo di energia se la sorgente èad alta temperatura, ma l'energia è molto più limitata per ambienti temperati. Acausa dell'intermittenza della sorgente, uno degli obiettivi degli EHDs è rispettarela neutralità energetica, ovvero il dispositivo non deve consumare più energia di

2.2 Related works 9

quella che riesce a raccogliere dall'ambiente e immagazzinare [12]. In questo modo, iperiodi di inattività dovuti alla completa scarica della batteria e lo spreco di energiasono ridotti al minimo.

A seconda dell'uso che si fa dell'energia raccolta, come indicato in [16], possiamoin�ne suddividere gli EHD in tre tipologie principali:

� EHD supportati da batteria : la batteria è la sorgente principale di energiae l'EHD ha un ruolo secondario, limitando l'utilizzo della carica della batteriae aumentando la vita del sistema diminuendo la frequenza di ricarica o disostituzione della batteria.

� EHD autonomo: il dispositivo non ha una batteria, i requisiti energeticisono totalmente soddisfatti dall'EHD; il sistema può operare (solo) quando lafonte energetica è disponibile, ma la vita del sistema non è condizionata dalleine�cienze della batteria.

� EHD autonomo ibrido: la batteria funge da riserva di energia, mentrel'EHD ricava energia dall'ambiente per svolgere le operazioni del sistema eper ricaricare la batteria; questa con�gurazione è la più comune e il tempo diinattività del sistema risulta azzerato.

2.2 Related works

Molti studi sono stati e�ettuati sulle batterie e, a causa della complessità del com-portamento di queste ultime, sono stati proposti diversi modelli con di�erenti gradidi astrazione [3].

I modelli �sici, che descrivono i processi elettrochimici che avvengono all'internodella cella come in [17], sono senza dubbio i più accurati e sono un utile strumentoper ottimizzare i parametri �sici della batteria, però sono anche i più lenti e complessida con�gurare. Infatti, per la simulazione di una data batteria si devono inserirepiù di 50 parametri e la risoluzione del sistema di equazioni di�erenziali parzialirichiede l'uso di complessi metodi numerici, di conseguenza ogni simulazione puòimpiegare diverse ore o addiritura giorni. All'opposto, i modelli empirici sono i piùsemplici da con�gurare, ma anche i meno accurati. Sebbene funzionino bene inalcuni casi particolari, le costanti che contengono non hanno alcun signi�cato �sico.Alcuni esempi di modelli empirici sono la legge di Peukert, che cerca di modellarela dipendenza della scarica dal tasso di scarica ma non tiene conto della variabilitàdel carico, e il modello di e�cienza della batteria, che rappresenta il rapporto tracapacità teorica e nominale come una funzione della corrente di carico.

I modelli astratti, invece, provano a dare una rappresentazione equivalente dellabatteria senza scendere nei particolari dei processi chimici. Questi modelli hanno ungrado di precisione e complessità computazionale accettabili e il numero di parmetrida speci�care è limitato. In questa tipologia vanno annoverati i modelli circuitali,come quello presentato in [18], che mirano a rappresentare la batteria tramite uncircuito elettrico composto da elementi passivi e generatori di tensione e corrente.I modelli circuitali sono intrinsecamente a tempo continuo e, anche se più velocidei modelli �sici, richiedono comunque molto tempo. I modelli circuitali a tempocontinuo possono essere approssimati da un modello a tempo discreto, come quelloproposto in [19]. In�ne, in [4] e in [20-25] è presentato un modello stocastico della

10 Stato dell'arte

batteria basato su una catena di Markov e tiene conto anche del recovery e�ect.Assumendo una scarica della batteria impulsiva, il modello rappresenta la scarica eil recovery come transizioni nella catena di Markov.

In questa tesi verrà preso in considerazione proprio un modello stocastico similea quello presentato in [4] e ampliato in [20] e [22]. In [4] è analizzata l'evoluzionestocastica di una cella dalla carica completa allo stato di scarica tramite una catenadi Markov binaria (Figura 2.3).Il sistema preso in considerazione è a tempo discretoe ogni slot temporale equivale alla durata di un impulso di scarica. Le scaricheavvengono in istanti determinti da un processo bernoulliano, mentre il recoveryavviene ogniqualvolta non c'è una scarica. La quantità di carica contenuta della

Figura 2.3: Catena di Markov binaria che rappresenta il comportamento di unabatteria sottoposta a scariche impulsive con recovery e�ect (tratto da [4])

cella è a sua volta discretizzata in unità di carica. La cella completamente carica hauna capacità teorica uguale a T unità di carica e una capacità nominale uguale a Nunità, che è il numero di unità di carica che possono essere estratte dalla batteriacon corrente di scarica costante. Il comportamento della cella è modellato come unprocesso di transizione che parte dallo stato di carica completa N e termina quandoraggiunge lo stato 0 di completa scarica. Nel primo modello presentato nell'articolosi suppone che in ogni slot temporale il sistema trasmetta un pacchetto, se ce n'èuno, altrimenti recupera un'unità di carica per e�etto del recovery, se possibile. Ilprocesso di arrivo dei pacchetti è bernoulliano con probabilità di arrivo q, perciò lascarica della batteria avverrà con probabilità

a1 = q

mentre essa recupererà un'unità di carica con probabilità

a0 = (1− q)

L'analisi procede calcolando la probabilità di raggiungere lo stato 0 prima dell'e-saurimento della capacità teorica e il guadagno ottenibile con una scarica impulsiva,de�nito come il rapporto tra il numero medio di pacchetti trasmissibili adottando unpro�lo di scarica impulsivo e quello adottando una scarica costante. Sempre in [4],viene preso in considerazione anche il caso il cui vi sia l'arrivo di più di un pacchettonello stesso istante, ricavando di nuovo il guadagno ottenibile con scariche impulsive.Dai risultati ottenuti, si nota un signi�cativo miglioramento delle prestazioni se sipermette alla batteria di rimanere inattiva per più tempo.Lo stesso modello è ripreso in [20], con la di�erenza che in questo articolo, quando labatteria non è scaricata, il recovery non avviene sempre, ma ha una probabilià chedipende dallo stato in cui si trova la batteria (Figura 2.4). Il recovery e�ect è infatti

2.2 Related works 11

Figura 2.4: Catena di Markov che rappresenta il comportamento di una batteriasottoposta a scariche impulsive con recovery e�ect (tratto da [20])

rappresentato come un'esponenziale decrescente, funzione dello stato della batteria.La probabilità di recovery allo stato i è

pi = (1− q)e−α(N−i)

con i = 1, . . . , N−1 e α un parametro che dipende dalle caratteristiche tecnologichedella batteria (più piccolo è α, maggiore sarà la capacità di recupero della batteria).Di conseguenza, la probabilità di rimanere nello stesso stato è{

ri = 1− q − pi i = 1, . . . , N − 1

rN = 1− q

Come in precedenza, attraverso il calcolo del rapporto tra il numero medio di pac-chetti trasmessi e la capacità teorica, si evince che la performance migliora scegliendoun pro�lo di scarica adatto, come può esserlo quello impulsivo. Inoltre, il sistemarisulta più e�ciente se la capacità di recovery è molto alta o se il valore iniziale dicarica è alto.Il modello è ra�nato ulteriormente in [22], con l'aggiunta di fasi di scarica (Figura

Figura 2.5: Catena di Markov che rappresenta il comportamento di una batteriasottoposta a scariche impulsive con recovery e�ect e fasi di scarica (tratto da [22])

2.5). Durante il processo di scarica, infatti, al diminuire della carica contenuta nellabatteria, la capacità di recovery della cella diminuisce. Se fmax è il numero di fasi discarica che caratterizzano il processo di scarica, poniamo che ogni fase f cominciaappena dopo che df unità di carica sono state sottratte alla cella e �nisce quandoil numero di unità raggiunge df+1. I valori di df vanno scelti in modo tale che ilmodello combaci con i risultati sperimentali. La probabilità di recovery in uno slottemporale, sapendo che la batteria è nello stato j e fase f è

pj(f) =

{q0e

−(N−j)gN−gC(f) j = 1, . . . , N − 1 e f = 1

q0e−(N−j)gN−dfgC(f) j = 1, . . . , N − 1 e f = 2, . . . , fmax

12 Stato dell'arte

dove gN e gC(·) dipendono dalla capacità di recovery della batteria. In particolare, apiccoli valori di gN corrisponde un'alta conduttività della cella, mentre gC(·) dipendedalla fase di scarica f e è collegata alla caduta di potenziale della cella durante lascarica. La probabilità della batteria di rimanere nello stesso stato di carica, mentreè in fase f , è {

rj(f) = q0 − pj(f) j = 1, . . . , N − 1

rN(f) = q0

L'articolo prosegue poi illustrando diverse tecniche di gestione della batteria permigliorare lo sfruttamento della stessa.

Gli studi presentati in [5], invece, sono incentrati principalmente sul recoverye�ect. Il modello usato per rappresentare la batteria è una sempli�cazione di quellopresente in [22], in quanto il recovery è deterministico, tuttavia risulta comunque ingrado di descrivere realisticamente il comportamento della cella. Sono presi poi inconsiderazione due diversi scenari. Nel primo caso, il sistema è sempre attivo e i datisono trasmessi durante lo slot temporale successivo. La batteria dunque recupereràcarica solo nei periodi in cui non arriva nessun pacchetto e si considera anche unasoglia temporale tsat tale per cui, se la batteria rimane a riposo per un numero dislot t > tsat, non ci sarà ulteriore recovery. L'insieme degli stati della batteria è(n, c, t), con n capacità nominale, t capacità teorica e t numero di slot di inattivitàdall'ultima scarica. Dai calcoli e�etuati, si nota che con una gestione della batteriadi questo tipo rimane molta carica inutilizzata. Per questo motivo, il secondo casoconsidera una semplice strategia tale per cui il sistema viene lasciato a riposo per bbufslot temporali, dopo che la batteria è stata scaricata per la trasmissione. Durante iperiodi di riposo, i pacchetti in arrivo non vengono scartati, ma vengono memorizzatiin un bu�er. Per ottenere il massimo vantaggio, si pone bbuf ≤ tsat. Gli stati dellabatteria sono del tipo (n, c, b), con n e c come sopra, e b numero di slot durante iquali la batteria è lasciata a riposo. Adottando questo tipo di politica, si osserva unnotevole aumento della durata della vita.

Altri articoli da cui questa tesi ha tratto ispirazione sono [21], [23], [24] e [25].Gli studi in [21] e [23] utilizzano il modello stocastico di batteria precedentementediscusso per implementare delle tecniche di gestione dell'energia per sfruttare almeglio la carica contenuta nella batteria. In [24], non è considerata solo la batteria,ma l'intero dispositivo portatile (comprendente un service requestor, il provider delservizio e la coda di sevizio) è modellato da diverse catene di Markov a tempocontinuo le cui probabilità di transizione sono correlate tra di loro. In�ne, in [25] lostesso modello stocastico descritto in [22] viene usato per creare un metodo rapidoe a�dabile per stimare la vita di una batteria, rendendo evidente l'importanza diideare un modello che rispetti il comportamento reale delle batterie.

Capitolo 3

Modello della batteria

3.1 Descrizione del modello

In questa tesi verrà descritto un modello stocastico rappresentante un dispositivomobile dotato di una batteria ricaricabile. Il dispositivo riceve delle istanze di ser-vizio (o pacchetti) e, ogniqualvolta un'istanza è servita, la batteria si scarica. Sel'istanza non può essere servita immediatamente perché il sistema è già impegnato,essa viene memorizzata in un bu�er in attesa di essere servita. Per semplicità, siassume che possa arrivare alla coda un solo pacchetto alla volta. La batteria presain esame possiede inoltre un energy harvesting device (EHD) grazie al quale puòricavare energia dall'esterno per il servizio o per ricaricare la batteria. L'energiacontenuta nella batteria è quantizzata e supponiamo che il servizio di un pacchettoconsumi esattamente un'unità di energia e che l'EHD assorba dall'ambiente un'uni-tà di energia alla volta. Lo stato del dispositivo sarà descritto da una tupla di treelementi (q, e, a), dove

� q è il numero di pacchetti in coda in attesa di essere serviti.

� e è il numero di unità di carica e�ettivamente presenti nella batteria.

� a è il numero di unità di carica apparente; questo numero rappresenta la caricache il dispositivo vede ai terminali della batteria e che, a causa del gradientedi concentrazione dei materiali attivi, potrebbe apparire minore rispetto allaquantità di carica e�ettiva della batteria.

Il sistema considerato è a tempo discreto, ovvero il tempo viene suddiviso in slot

temporali di durata �ssa, perciò non vi è perdita di generalità nell'a�ermare chepacchetti ed energia arrivano all'inizio dello slot temporale. Il tasso di arrivo deipacchetti è λ, mentre il tasso di servizio è µ. Il dispositivo serve un singolo pacchettoalla volta e impiega il tempo di uno slot temporale. Il numero massimo di pacchettiche la coda può contenere sarà indicato con Qmax, mentre il numero massimo diunità di carica contenute nella batteria sarà Emax.Inoltre, saranno presi in considerazione anche tre cause di non-idealità tipiche dellemoderne batterie ricaricabili. Innanzitutto, in [4] si era visto come, all'aumentaredel tasso di scarica della batteria, la concentrazione di materiali attivi ai terminalidella batteria diminuisse sempre più rapidamente in quanto il processo di di�usionerisultava troppo lento. In tal modo, la carica contenuta nella batteria sembra menodi quella e�ettivamente presente. Per questo nel modello, quando la batteria vienescaricata, mentre la carica e�ettiva diminuirà sempre di una sola unità, la caricaapparente potrà diminuire di una o di due unità e il parametro α rappresenterà laprobabilità che il numero di unità di carica apparente scenda più del numero unitàdi carica e�ettiva, ovvero la probabilità di avere un'alta corrente di scarica. Invece,durante i periodi in cui la batteria è inattiva, può esserci leakage o recovery e�ect.Il leakage sarà rappresentato dal parametro γ, che è la probabilità che la batteria

13

14 Modello della batteria

Figura 3.1: Il diagramma schematizza le possibili transizioni da uno stato all'altrodella batteria

Tabella 3.1: Parametri del modello

Parametro Descrizione

λ Tasso di arrivo dei pacchettiµ Tasso di servizioη Tasso di arrivo dell'energiaα Probabilità di alto tasso di scaricaβ Probabilità di recovery e�ectγ Probabilità di leakage

perda un'unità di carica (sia e�ettiva che apparente) a causa di reazioni chimicheinterne, mentre il recovery e�ect sarà rappresentato da β, ossia la probabilità cheil numero di unità di carica apparente aumenti di uno, ma solo se nello stato dipartenza risultava a < e. Poiché il leakage è assimilabile ad una scarica, leakagee recovery non potranno mai avvenire simultaneamente, infatti a�nché avvenga ilrecovery la batteria non può subire cariche o scariche, ma deve essere in uno statodi inattività. Per semplicità, tutti i parametri che descrivono le probabilità sarannoassunti costanti.

3.2 Implementazione del modello

Il dispositivo discusso nella sezione precedente è implementato tramite una catenadi Markov a tempo discreto in Matlab [29]. La proprietà delle catene di Markovè che risulta possibile separare la descrizione statistica dell'evoluzione futura delprocesso dal suo passato, posto che il presente sia noto [27]. La disciplina della codache conserva i pacchetti da servire è FIFO (First In First Out) e la sua capacità è�nita, perciò il sistema è bloccante e i pacchetti che arrivano quando la coda è piena

3.2 Implementazione del modello 15

vengono persi. In particolare, il sistema risulta sempre stabile, per cui non serveimporre alcuna condizione su tasso di arrivo e di servizio.

3.2.1 Stati del sistema

Dato S l'insieme degli stati della catena di Markov Msys, Msys si dice essere nellostato j ∈ S all'ennesimo passo se Msys(n) = j. Inoltre, Msys si sposta dallo stato iallo stato j in k passi se Msys(n) = i e Msys(n+ k) = j. La probabilità condizionataP [Msys(n + k) = j|Msys(n) = i] è detta probabilità di transizione in k passi e, seessa non dipende dallo stato di partenza n ma solo dal numero di passi k, si dicestazionaria e la catena associata si dice omogenea [27]. D'ora in poi, indicheremoquesta probabilità di transizione con la notazione

Pi,j(k) = P [Msys(n+ k) = j|Msys(n) = i] (3.1)

Per procedere all'implementazione del modello, serve innanzitutto individuarel'insieme degli stati �sicamente accessibili del sistema. L'unica limitazione sul nu-mero di pacchetti in coda è quella di non superare Qmax, ma questo è garantito dallacostruzione del sistema, il quale, quando la coda è piena, per semplicità scarta gliulteriori pacchetti in arrivo. Possiamo indicare allora l'insieme dei possibili valoridi q con Q = {0, 1, . . . , Qmax}. Analogamente, anche il numero di unità di caricae�ettivo contenuto nella batteria può variare incondizionatamente nell'intervallo tra0 e Emax, dove 0 indica lo stato di scarica completa e Emax quello di carica com-pleta. Ne consegue che e può assumere tutti e soli i valori contenuti nell'insiemeE = {0, 1, . . . , Emax}. Anche per quanto riguarda l'arrivo di energia, se la batteria ècompletamente carica l'energia ulteriore che può eventualmente arrivare dall'esternoè persa. Leggermente più complicato è stabilire i valori che può assumere il numerodi unità di carica a. Per ipotesi, a non può mai superare il numero di unità dicarica e�ettivo, infatti il gradiente di concentrazione dei materiali attivi si supponeessere sempre positivo o nullo. Inoltre, quando la batteria è completamente carica(e = Emax), supponiamo che il gradiente di concentrazione sia per forza nullo, infattiin una batteria completamente carica non sono possibili ridistribuzioni dei materialiattivi. Le condizioni che deve soddisfare a a�nché la batteria si trovi in uno stato�sicamente accessibile sono due:{

a ≤ e 0 ≤ e ≤ Emax − 1

a = e e = Emax

(3.2)

Risulta evidente che uno stato valido del sistema non può essere una qualunquetripla (q, e, a), q ∈ Q, e, a ∈ E, perché i possibili valori di a risultano dipendere dallospeci�co valore assunto da e. Per questo, l'insieme degli stati accessibili dal sistemaS sarà un sottoinsieme proprio del prodotto cartesiano di Q ed E2:

S ⊂ Q× E × E (3.3)

Possiamo de�nire l'insieme degli stati accessibili come

S = {(q, e, a) : q ∈ Q, e ∈ E, a ∈ E e rispetta le condizioni in (3.2)} (3.4)

Ora non manca che trovarne la cardinalità per stabilire quanti stati possiede e�et-tivamente la catena di Markov. La cardinalità dell'insieme Q è |Q| = (Qmax + 1),


mentre quella dell'insieme E è |E| = (Emax+1). Consideriamo tutti i valori assumi-bili da a, supposto che q rimanga costante. Se e = 0, l'unico valore possibilie per a è0 e quindi gli stati permessi sono solo 1. Se e = 1, a può valere 0 o 1, perciò gli statiammessi in questo caso sono 2. Se e = 2, a può assumere i valori 0, 1 o 2 e gli statipermessi risultano 3. Il procedimento potrebbe essere iterato �no a e = Emax − 1,ma ormai appare evidente che il numero totale degli stati accessibili della batteria,con q �ssato, è dato dalla somma dei primi Emax numeri interi

Emax∑k=1

k =Emax(Emax + 1)

2(3.5)

a cui va sommato un 1 che rappresenta lo stato (q, Emax, Emax). Il numero totale distati accessibili dal sistema, che è proprio la cardinalità di S, è dunque

Nmax = |S| = (Qmax + 1)

(Emax(Emax + 1)

2+ 1

)(3.6)

Poiché lo stato della batteria nel modello preso in considerazione non è un numerointero, ma una tupla di tre elementi, è necessario associare ad ogni tupla un numerointero compreso tra 0 e Nmax. A questo scopo è stata scritta la funzione state inMatlab.

state(q, e, a, Qmax, Emax)1 sum = 0;2 % numero di stati accessibili dalla batteria con q costante3 same_pkt = E_max*(E_max+1)/2 + 1;4 for i = 1:e5 sum = sum + i;6 end7 if e == 0 && a == 08 state = same_pkt*q;9 % lo stato accessibile dopo lo stato (q, 19, 19) \`e (q, 20, 20)

10 elseif e == 20 && a == 2011 state = same_pkt*(q+1) - 1;12 else13 state = same_pkt*q + sum + a;14 end

La funzione state controlla anche che i parametri dati in ingresso siano validi, cioè(q, e, a) ∈ S, altrimenti lancia un'eccezione.

3.2.2 Transizioni della catena di Markov

Poiché l'insieme degli stati validi del sistema non può essere qualunque combinazionecasuale di q, e, e a, partendo da certi stati non saranno permesse tutte le transizioni,ma solo alcune. Per capire come può evolvere la catena di Markov, è utile prima ditutto analizzare cosa può accadere a q, e e a prese singolarmente.Per quanto riguarda la coda di servizio, il numero di pacchetti in coda q può

� aumentare di 1, se arriva un pacchetto in coda e non ci sono servizi;

� diminuire di 1, se il dispositivo serve un pacchetto e non ci sono altri arrivi;


� rimanere invariato, se contemporaneamente arriva un pacchetto in coda eun pacchetto viene servito o se non ci sono né arrivi né servizi.

Analogamente, il numero di unità di carica e�ettivo e può

� aumentare di 1, se l'EHD raccoglie un'unità di carica dall'ambiente e nonavvengono servizi;

� diminuire di 1, se viene servito un pacchetto e non arriva energia dall'EHDoppure per leakage;

� rimanere invariato, se contemporaneamente arriva energia dall'esterno eviene servito un pacchetto, oppure se non avviene nessuno dei due e nemmenoleakage.

In�ne, il numero di unità di carica apparente a può

� aumentare di 1, se arriva un'unità di energia dall'ambiente e non viene ser-vito nessun pacchetto o per recovery e�ect, se nello stato di partenza a èstrettamente minore di e;

� diminuire

� di 1, se avviene un servizio con un tasso di scarica basso e non arrivaenergia dall'EHD, o per leakage;

� di 2, se avviene un servizio con un tasso di scarica alto e non arriva energiadall'EHD;

� rimanere invariato, se avvengono contemporaneamente arrivo di energia eservizio oppure se non avviene nessuno dei due e, inoltre, non c'è né leakagené recovery.

A questo punto possiamo esprimere tutte le possibili transizioni della catena diMarkov che modella la batteria in funzione dei paramentri della tabella (3.1). Letransizioni sono le seguenti:

1. Se non arrivano né energia né un pacchetto e non si e�ettua nemmeno unservizio, la batteria rimane in uno stato di inattività, perciò potrebbero, comeno, veri�carsi recovery o leakage (ma non entrambi):

(a) Se non c'è né recovery né leakage, carica e�ettiva e apparente dellabatteria rimangono immutate(q, e, a)→ (q, e, a) con prob. (1− η)(1− λ)(1− µ)(1− β − γ)

(b) Se c'è recovery e�ect, la carica apparente aumenta di 1, mentre la caricae�ettiva resta invariata(q, e, a)→ (q, e, a+ 1) con prob. β(1− η)(1− λ)(1− µ)

(c) Se c'è leakage, si perdono un'unità di carica e�ettiva e apparente(q, e, a)→ (q, e− 1, a− 1) con prob. γ(1− η)(1− λ)(1− µ)

2. Se arriva solo un'unità di carica dall'EHD, sia carica e�ettiva che carica appa-rente aumentano di 1, mentre il numero di pachetti in coda rimane invariato

(q, e, a)→ (q, e+ 1, a+ 1) con prob. η(1− λ)(1− µ)


3. Se arriva solo un pacchetto in coda, la batteria rimane in uno stato di inattività,perciò come in (1) ho tre possibilità:

(a) Se non c'è né recovery né leakage, carica e�ettiva e apparente dellabatteria rimangono immutate

(q, e, a)→ (q + 1, e, a) con prob. λ(1− η)(1− µ)(1− β − γ)

(b) Se c'è recovery e�ect, la carica apparente aumenta di 1, mentre quellae�ettiva rimane invariata

(q, e, a)→ (q + 1, e, a+ 1) con prob. λβ(1− η)(1− µ)

(c) Se c'è leakage, si perde un'unità di carica e�ettiva e una di carica appa-rente

(q, e, a)→ (q + 1, e− 1, a− 1) con prob. λγ(1− η)(1− µ)

4. Se viene solo servito un pacchetto, il numero di pacchetti in coda e il numero diunità di carica e�ettiva diminuiscono di 1, mentre il numero di unità di caricaapparente può diminuire di 1 o di 2, a seconda dell'intensità della corrente discarica:

(a) La carica apparente diminuisce di 1

(q, e, a)→ (q − 1, e− 1, a− 1) con prob. µ(1− η)(1− λ)(1− α)

(b) La carica apparente diminuisce di 2

(q, e, a)→ (q − 1, e− 1, a− 2) con prob. µα(1− η)(1− λ)

5. Se arrivano contemporaneamente un'unità di energia e un pacchetto in co-da, aumentano di un'unità il numero di pacchetti, la carica e�etiva e quellaapparente

(q, e, a)→ (q + 1, e+ 1, a+ 1) con prob. ηλ(1− µ)

6. Se arriva un'unità di enegia e contemporaneamente viene servito un pacchetto,il numero di pachetti in coa diminuisce di 1, mentre carica e�ettiva e apparenterimangono invariate

(q, e, a)→ (q − 1, e, a) con prob. ηµ(1− λ)

7. Se un pacchetto arriva in coda e contemporaneamente un altro viene servito,il numero totale di pachetti rimane invariato, la carica e�ettiva diminuisce di1 e la carica apparente diminuisce di 1 o 2, come in (4):

(a) La carica apparente diminuisce di 1

(q, e, a)→ (q, e− 1, a− 1) con prob. λµ(1− η)(1− α)

(b) La carica apparente diminuisce di 2

(q, e, a)→ (q, e− 1, a− 2) con prob. λµα(1− η)

8. Se contemporaneamente arriva un pacchetto in coda, arriva un'unità di energiae viene servito un pacchetto, tutti gli elemeni della tripla rimangono invariati

(q, e, a)→ (q, e, a) con prob. ηλµ


Come anticipato all'inizio del paragrafo, tutte le transizioni elencate sono pos-sibili solo partendo da un sottoinsieme di S. Se nello stato di partenza uno o piùelementi della tripla assumono un valore estremale (minimo o massimo), alcune del-le possibili azioni risulteranno impossibili da compiere. Nel seguente elenco sonospeci�cate le situazioni critiche:

� Se q = 0, non è presente alcun pacchetto in coda, perciò non può avvenirealcun servizio.

� Se q = Qmax, la coda è piena e ogni successivo pacchetto in arrivo verrà perso�no al momento in cui si libererà un posto nella coda.

� Se e = 0, la batteria è completamente scarica e quindi saranno impossibiliservizio, leakage e recovery.

� Se e = Emax, la batteria è completamente carica e dunque tutta l'ulterioreenergia in arrivo dall'EHD viene persa.

� Se a = 0, per il dispositivo la batteria risulta completamente scarica e nonpotranno avvenire né servizi né leakage, infatti a non può scendere al di sottodi 0.

� Se a = e, la carica contenuta nella batteria è in equilibrio, perciò non potràesserci recovery.

� Se il sistema si trova in uno stato del tipo (q, Emax−1, a), con q qualunque e a <Emax, e arriva energia dall'ambiente, il sistema andrà nello stato (q, Emax, Emax)indipendentemente dal valore precedente di a, infatti quando la batteria ècompletamente carica si assume che il gradiente di concentrazione dei materialiattivi sia nullo.

In�ne, in questo modello non sono permessi arrivo di energia e/o arrivo dipacchetto e/o servizio contemporanei in tutti i casi. Per semplicità, infatti, siaggiungeranno le seguenti eccezioni:

� Quando q = 0 non sono permessi l'arrivo di un pacchetto e il servizio simultaneiperchè il dispositivo non è ancora pronto per servire il pacchetto.

� Quando a = 0 non sono permessi l'arrivo di energia e il servizio simultanei per-chè la batteria non è ancora pronta a mettere a disposizione l'energia appenaimmagazzinata.

3.2.3 Matrice di transizione e probabilità di stato

Per rappresentare in forma compatta le probabilità di transizione della catena Msys

si ricorre alla costruzione della matrice di transizione Tsys. Essa sarà una matricedi dimensione Nmax × Nmax tale che l'elemento di posto (i, j) sia la probabilità ditransizione in un passo:

Tsys(i, j) = Pi,j(1) (3.7)

Al �ne di riempire la matrice di transizione, è stata scritta la funzione trans_mtrx inMatlab. Questa richiede in ingresso di speci�care il valore dei parametri della tabella


(3.1), che permetteranno di calcolare le probabilità di transizione da inserire, e ivalori Qmax e Emax, che servono a calcolare la dimensione della matrice. La matriceche si viene a creare conterrà verosimilmente moltissimi zeri, perciò si è ritenutoconveniente utilizzare una matrice sparse per velocizzare l'elaborazione. Poichè ilnumero massimo di transizioni che possono partire da uno stesso stato sono 14, allasua creazione si è scelto di preallocare uno spazio di Nmax ∗ 14 elementi diversi dazero; in questo modo, non sarà necessario perdere tempo per il ridimensionamentodella matrice sparse.Si può notare che la i-esima riga della matrice contiene le probabilità di tutte lepossibili transizioni dallo stato i-esimo a qualunque altro stato appartenente a S,dunque a�nché la matrice risulti ben de�nita, gli elementi di tutte le righe devonosommare a 1. Questo è stato veri�cato grazie all'utilizzo della funzione check, scrittaappositamente per questo scopo. Una matrice con questa proprietà che contiene tuttielementi non-negativi si dice matrice stocastica. Inoltre, l'utilizzo della funzionestate per calcolare di volta in volta il numero corrispondente allo stato garantisceche tutte le transizioni avvengano tra stati validi, infatti se così non fosse verrebbelanciata un'eccezione.

Le probabilità di transizione contenute in Tsys sono probabilità condizionate cheil processo si sposti da un dato stato all'altro, ma da queste è possibile ricavare laprobabilità assoluta che il sistema si trovi in un dato stato j ∈ S al n-esimo passo:

pj(n) = P [Msys(n) = j] j ∈ S (3.8)

che può essere rappresentata attraverso un vettore di probabliltà di stato p(n) =[p0(n), p1(n), . . . , pNmax(n)]. Partendo da un dato vettore di probabilità di statoiniziale p(0) e sfruttando le equazioni di Chapman-Kolmogorov [27], si ottiene

p(n) = p(0)Tsys(n) = p(0)Tsysn (3.9)

Per n che tende all'in�nito si ottiene da (3.9) per de�nizione la probabilità asintoticaπ = [π0, π1, . . . , πNmax ]. In alternativa, anziché applicando la de�nizione, π puòessere calcolata anche risolvendo il sistema di equazioni

π = πTsys (3.10)

riscrivibile in forma omogenea come

π(I −Tsys) = 0 (3.11)

Il sistema, tuttavia, non ammette un'unica soluzione perché le equazioni sono tra lorodipendenti. Si deve dunque aggiungere la seguente condizione di normalizzazione:

π1 =Nmax∑j=0

πj = 1 (3.12)

La funzione state_prob chiede in ingresso una matrice quadrata sparse e la suadimensione e restituisce in uscita il vettore di probabilità di stato π. Invece dirisolvere il sistema di Nmax + 1 equazioni ottenuto unendo (3.11) e (3.12), compu-tazionalmente molto lento, si è deciso di mantenere le matrici quadrate. Il metododi risoluzione utilizzato prevede di sostituire all'ultima colonna della matrice Tsys

(dipendente dalle altre Nmax − 1) con una colonna formata da tutti 1 e di sostituirenella matrice identità all'ultimo 1 uno 0 [28].


state_prob(T, Tmax)1 T_sub = T;2 T_sub(:, Tmax) = 1;3 I = speye(Tmax);4 I(Tmax, Tmax) = 0;5 z = sparse(1, Tmax, 0);6 prob = z/(T_sub-I);

La catena di Markov è ergodica, perciò il vettore π è unico e la probabilità di statoasintotica è indipendente dallo stato iniziale.

Capitolo 4

Risultati numerici

Attraverso l'utilizzo del modello presentato nel capitolo precedente, ora si è in gradodi valutare le prestazioni del dispositivo preso in esame al variare dei parametri ingioco. Nel seguito saranno presentate diverse simulazioni numeriche e i corrispon-denti gra�ci saranno analizzati in dettaglio. Per tutte le simulazioni si è scelto dimantenere sempre gli stessi valori di Qmax ed Emax, che sono

� Qmax = 20

� Emax = 20

Si sottolinea che, sebbene nel caso particolare i due valori sono identici, il modellofunzionerebbe altrettanto bene anche con valori distinti di Qmax e Emax.Inoltre, si de�niscono le seguenti notazioni:

� Probabilità di outage reale P [e = 0]: è la probabilità che la batteriaconsumi completamente tutta la sua carica

� Probabilità di outage apparente P [a = 0]: è la probabilità che la caricaapparente risulti 0; in questo caso non è detto che la carica nella batteria siae�ettivamente esaurita, ma per il dispositivo è come se lo fosse

� Probabilità di falso allarme P [a = 0|e 6= 0]: è la probabilità che la caricaapparente risulti a = 0 ma la carica e�ettiva è in realtà e > 0. Questa è unaprobabilità condizionata, perciò per il suo calcolo verrà utilizzata la formuladi Bayes:

P [a = 0|e 6= 0] =P [a = 0 ∩ e 6= 0]

P [e 6= 0](4.1)

Per determinare queste probabilità è stata scritta la funzione find_states, che perogni data condizione della batteria individua gli stati che la soddisfano. In parti-colare, essa chiede in ingresso, oltre a Qmax e Emax, una stringa tra real outage,apparent outage e false alarm e in uscita restituisce un vettore v contenente tut-ti i numeri interi che rappresentano gli stati del sistema tali per cui si veri�ca outagereale (ovvero tutti gli stati del tipo (q, 0, 0), q ∈ Q), outage apparente (ovvero tuttigli stati del tipo (q, e, 0), q ∈ Q e e ∈ E), o falso allarme (ovvero tutti gli stati deltipo (q, e, 0), q ∈ Q e e ∈ E \ {0}). Le probabilità associate saranno la somma delleprobabilità di stato degli stati contenuti nel vettore:

P =

dim(v)−1∑k=0

π(vk) (4.2)

con dim(v) il numero degli elementi contenuti in v.

23

24 Risultati numerici

4.1 Variazione dei parametri �sici della batteria

4.1.1 Variazione del tasso di recovery

Il primo gruppo di simulazioni studia il comporatmento della batteria del dispositivoal variare del tasso di recovery β e per diversi valori di α. In tutte le simulazioni, siassume che i parametri rimanenti valgano:

� λ = 0.5

� µ = 0.7

� η = 0.6

� γ = 0.1

Le probabilità β di recovery e γ di leakage non sono indipendenti, la loro sommainfatti non può superare 1. Per questo motivo, nelle seguenti simulazioni il parametroβ varierà solo nell'intervallo [0, 0.9], e non �no a 1. Il passo di campionamento è0.1. Si ricorda che α è la probabilità che la carica apparente a cali più della caricae�ettiva e. Questo signi�ca che, se α assume valori bassi (∼ 0.2 o 0.3), il tasso discarica sarà di livello medio-basso, mentre se α assume valori alti (∼ 0.8 o 1), iltasso di scarica a cui è sottoposta la batteria sarà alto.

I primi tre gra�ci mostrano l'andamento della probabilità di outage reale (�g.(4.1)), di outage apparente (�g. (4.2)) e di falso allarme (�g. (4.3)). In�ne, il gra�codi �gura (4.4) mostra un confronto tra le tre probabilità per un �ssato valore di α.

Figura 4.1: Probabilità di outage reale al variare di β per diversi valori di α.

In �gura (4.1), si vede l'andamento della probabilità di outage reale. Si nota im-mediatamente che le curve sono crescenti; inoltre, all'aumentare del tasso di scarica,P [e = 0] tende a scendere e per α = 0.8 e α = 1 essa è molto vicina a 0, annullandosiper bassi valori di β. In ogni caso, essa risulta molto bassa anche per valori minoridi α e il valore massimo, raggiunto per α = 0.2 e β = 0.9, è 5.461 ·10−4. In generale,vorremo proprio una probabilità di outage reale molto bassa, infatti quando e = 0

4.1 Variazione dei parametri �sici della batteria 25

Figura 4.2: Probabilità di outage apparente al variare di β per diversi valori di α.

la batteria è completamente scarica e l'unico modo che ha per recuperare la caricaè con l'arrivo di energia dall'esterno.

La �gura (4.2) mostra l'andamento della probabilità di outage apparente. Con-trariamente a quanto accade alla probabilità di outage reale, questa probabilità èdecrescente e aumenta all'aumentare del tasso di scarica. Questo conferma l'ideaintuitiva che, per alte correnti di scarica, è più probabile che la batteria appaia sca-rica anche se in essa rimane un po' di carica perchè i terminali hanno raggiunto ilpotenziale di cuto�. Questa probabilità non si annulla mai, raggiungendo il valoreminimo di 7.784 · 10−4 per α = 0.2 e β = 0.9, mentre il valore di probabilità mas-simo è raggiunto per β = 0 (non c'è recovery) e α = 1 (alto tasso di scarica) ed è5.464 · 10−2.

Figura 4.3: Probabilità di falso allarme al variare di β per diversi valori di α.

La �gura (4.3) mostra l'andamento della probabilità di falso allarme. Essa èmolto simile alla probabilità di outage apparente, la probabilità minima si veri�caper α = 0.2 e β = 0.9 e vale 2.322 · 10−4, mentre il massimo è di nuovo 5.464 ·


10−2. Questo signi�ca che l'interruzione del servizio da parte del dispositivo saràpraticamente sempre dovuta al raggiungimento del potenziale di cuto� nei terminalidella batteria, e non al consumo completo della carica in essa contenuta.

Figura 4.4: Confronto tra probabilità di outage reale, apparente e falso allarme perα = 0.3.

Nell'ultimo gra�co di �gura (4.4) si possono confrontare le probabilità che inprecedenza erano state esaminate singolarmente. Si nota subito che, quando il tassodi recovery è nullo o comunque molto basso, probabilità di outage apparente e falsoallarme sono molto simili, infatti P [e = 0] è praticamente nulla, dunque

P [e 6= 0] = 1− P [e = 0] ≈ 1 (4.3)

e dalla formula (4.1) risulta

P [a = 0|e 6= 0] ≈ P [a = 0 ∩ e 6= 0] ≈ P [a = 0] (4.4)

In particolare, per β = 0, risulta che P [a = 0] = 1.396075 · 10−2 mentre P [a =0|e 6= 0] = 1.396074 · 10−2, che si di�erenziano solamente a partire dalla settimacifra signi�cativa. All'aumentare del tasso di recovery, la probabilità di outage realeaumenta e si avvicina a quella di outage apparente, in accordo con l'idea intuitivache un alto tasso di recovery manterrà a più vicina a ad e. In termini di probabilità,per β = 0.9 si ha P [e = 0] = 4.827 · 10−4 e P [a = 0] = 8.938 · 10−4. Sempre perβ = 0.9, si può notare inoltre che la probabilità di falso allarme scende addiritturaal di sotto della probabilità di outage reale, essendo P [a = 0|e 6= 0] = 4.113 · 10−4.

4.1.2 Variazione del tasso di leakage

Il secondo gruppo di simulazioni analizza il comportamento della batteria del dispo-sitivo al variare del tasso di leakage γ sempre per diversi valori di α. In tutte lesimulazioni si assume che i restanti parametri valgano:

� λ = 0.5

� µ = 0.7

4.1 Variazione dei parametri �sici della batteria 27

� η = 0.6

� β = 0.2

Di nuovo, la somma delle probabilità di leakage e recovery non possono superare1, perciò γ potrà variare solo nell'intervallo [0, 0.8]. Il passo di campionamentoè 0.1. Nelle prime tre �gure, i gra�ci riguarderanno rispettivamente probabilitàdi outage reale, apparente e falso allarme prese separatamente, mentre nell'ultimogra�co queste tre saranno confrontate tra loro.

Figura 4.5: Probabilità di outage reale al variare di γ per diversi valori di α.

In �gura (4.5) è presentato l'andamento della probabilità di outage reale. Lecurve di probabilità sono crescenti e all'aumentare del tasso di scarica la probabilitàdi outage reale diminuisce notevolmente, �no ad arrivare praticamente a 0 per α ≥0.8. In particolare, per α = 0.8 P [e = 0] = 7.176 · 10−5 e per α = 1 P [e = 0] =5.896·10−6. Questo si spiega col fatto che il tasso di recovery è molto basso (β = 0.2),perciò la batteria non riesce a riequilibrare i materiali attivi al suo interno e dunqueavrà una probabilità molto più alta di arrivare in uno stato di outage apparenteanziché di outage reale. Il valore massimo 0.187 è raggiunto per α = 0.2 e γ = 0.8.

In �gura (4.6) gli andamenti delle probabilità di outage apparente sono ancoracrescenti, ma in questo caso all'aumentare del tasso di scarica la probabilità dioutage apparente aumenta a sua volta. D'altronde, non poteva essere altrimenti,infatti all'aumentare della corrente di scarica, a diminuisce più di e e la probabilitàche arrivi a 0 cresce. Per α = 1, la probabilità più alta vale circa 0.215 quandoγ = 0.8, il minimo invece si ha per α = 0.2 e γ = 0 e vale 8.105 · 10−4.

L'andamento della probabilità di falso allarme, mostrato in �gura (4.7), è ancoramolto simile a quello della probabilità di outage apparente, come si è visto anchenella sezione precedente. La probabilità minima di falso allarme si ha per α = 0.2 eγ = 0 e vale 7.9 · 10−4, mentre all'opposto, quella massima si ha per α = 1 e γ = 0.8e vale circa 0.215.

La �gura (4.8) mette a confronto le tre probabilità. Come si può vedere, per bassivalori di γ la probabilità di outage apparente e di falso allarme sono molto similie cominciano a distanziarsi a partire da circa la metà dell'intervallo di variazione


Figura 4.6: Probabilità di outage apparente al variare di γ per diversi valori di α.

Figura 4.7: Probabilità di falso allarme al variare di β per diversi valori di α.

4.2 Variazione dei tassi di arrivo e di servizio 29

Figura 4.8: Confronto tra probabilità di outage reale, apparente e falso allarme perα = 0.3.

del parametro. La probabilità di outage reale, invece rimane parecchio al di sottodelle altre due curve in tutto l'intervallo. È da notare, inoltre, che le probabilitàin gioco in questo caso sono tutte più alte delle stesse incontrate nel gruppo disimulazioni precedenti, in quanto queste sono sull'ordine di 10−1 − 10−2, mentrele altre si avvicinavano di più a valori dell'ordine di 10−3 − 10−4. Ciò si spiegaconsiderando il leakage come una bassa corrente di scarica. In quest'ottica, per untasso di leakage molto alto, la batteria viene scaricata molto più del normale a causaanche del leakage, oltre che dei servizi.

4.2 Variazione dei tassi di arrivo e di servizio

Nei successivi gruppi di simulazioni saranno presentati dei confronti tra probabilitàreale e apparente. La probabilità di falso allarme in questi casi verrà trascurataperché, come si è potuto notare nei gra�ci precedenti, essa è sempre molto similealla probabilità di outage apparente, perciò di scarso interesse ai �ni dell'indagine.Il passo di campionamento sarà 0.1 in tutti i casi.

4.2.1 Variazione del tasso di arrivo dei pacchetti

In questo paragrafo si farà variare il tasso di arrivo dei pacchetti al sistema e i gra�cimostreranno cosa cambia prendendo in considerazione prima diversi tassi di scaricae poi di recovery. I parametri restanti valgono:

� µ = 0.7

� η = 0.6

� γ = 0.1

Poiché la coda del dispositivo può contenere solo un numero �nito di pacchetti, nonè necessario imporre nessuna condizione di stabilità sul sistema e dunque λ varierà


su tutto l'intervallo [0, 1]. Per valori di λ superiori a µ la probabilità rimarrà �ssasu un valore massimo.

Figura 4.9: Confronto tra la probabilità di outage reale e apparente al variare di λper diversi valori di α.

Figura 4.10: Confronto tra la probabilità di outage reale e apparente al variare di λper diversi valori di β.

In �gura (4.9) si vede l'andamento delle probabilità di outage reale e apparenteper diversi valori di α, mentre β si suppone costante e pari a 0.3. Per bassi valori di λ(λ > 0.3), tutte le probabilità sono approssimativamente 0, infatti un basso numerodi pacchetti in arrivo implica un basso numero di pacchetti da servire e dunque labatteria può ricaricarsi grazie all'energia che arriva dall'esterno e rimanere inattivaper lunghi periodi di tempo, permettendo il recovery, anche se il tasso di scarica èalto. Si nota inoltre che, all'aumentare del tasso di scarica, la probabilità di outageapparente aumenta e quella di outage reale diminuisce. Questo è dato dal fatto cheper alti tassi di scarica a in generale tende a calare più in fretta di e e quindi la


batteria avrà meno probabilità di consumare tutta la sua carica perché raggiungeràil potenziale di cuto� prima. In�ne, per λ ≥ 0.7 la coda risulterà sempre pienaperché arrivano troppi pacchetti e il dispositivo non è in grado di tenere il passo. Inquesto caso, le probabilità di outage saturano ad un valore massimo.

Un andamento simile al precedente si ha considerando diversi valori di β e man-tenendo α costante a 0.4, in �gura (4.10). Di nuovo, per bassi tassi di arrivo tuttele probabilità sono nulle e il dispositivo non si arresterà mai a causa dell'outagedella batteria (situazione ideale), mentre per λ ≥ 0.7 si va in saturazione. Inoltre,si vede che all'aumentare di β, al contrario di quanto accaduto in precedenza, laprobabilità di outage apparente cala mentre quella i outage reale cresce. Questosuccede perché l'aumento del tasso di recovery permette alla batteria di mantenerea ed e su valori abbastanza simili e infatti nel gra�co le curve delle due probabilitàtendono ad avvicinarsi all'aumentare del tasso di recovery.

4.2.2 Variazione del tasso di servizio dei pacchetti

I gra�ci di questo paragrafo mostreranno un confronto tra le curve di probabilità dioutage reale e apparente al variare del tasso di servizio e per diversi valori di α e diβ. I parametri restanti in entrambi i gra�ci varranno:

� λ = 0.5

� η = 0.6

� γ = 0.1

Il parametro µ è libero di variare in tutto l'intervallo [0, 1] in quanto, poiché la codaè �nita, il sistema è sempre stabile.

Figura 4.11: Confronto tra la probabilità di outage reale e apparente al variare di µper diversi valori di α.

La �gura (4.11) riporta il gra�co del confronto tra probabilità reale e apparenteper diversi valori di α e mantenendo costante β = 0.3. Per µ > 0.3 sia la probabilitàdi outage reale che quella di outage apparente sono praticamente nulle, infatti un


basso tasso di servizio comporta un basso numero di scariche e perciò la batteria hail tempo di ricaricarsi grazie all'energia fornita dall'esterno o recuperare carica permezzo del recovery e�ect. A partire da µ = 0.4, le curve di probabilità all'aumentaredi µ salgono tanto più rapidamente quanto maggiore è il tasso di scarica perché ilprocesso di di�usione non riesce a riequilibrare la concentrazione dei materiali attivinella batteria abbastanza in fretta. Al contrario, le curve della probabilità di outagereale risultano molto più piatte e tendono ad avvicinarsi a 0 al crescere del tasso discarica, infatti come già detto in precedenza un alto tasso di scarica non permettedi sfruttare tutta la carica contenuta nella batteria.

Figura 4.12: Confronto tra la probabilità di outage reale e apparente al variare di µper diversi valori di β.

In �gura (4.12) è presentato il confronto tra probabilità di outage reale e ap-parente per diversi valori di β, con α = 0.4 costante. Per bassi tassi di servizioentrambe le probabilità sono sempre nulle, indipendentemente dal valore assuntodal tasso di recovery. Per tassi di servizio superiori a 0.4, invece, all'aumento deltasso di recovery corrisponde un aumento della probabilità di outage reale e unadiminuzione della probabilità di outage apparente. Il più alto tasso di recovery fain modo che i materiali attivi si avvicinino alla situazione di equilibrio.

4.2.3 Variazione del tasso di arrivo dell'energia

Gli ultimi gra�ci del capitolo riguardano il confronto tra probabilità di outage realee apparente al variare del tasso di arrivo dell'energia all'EHD per diversi valori deltasso di scarica e di recovery. I parametri rimanenti si assume valgano:

� λ = 0.5

� µ = 0.7

� γ = 0.1

Non serve porre alcun vincolo sul tasso di arrivo η, che potrà variare in tuttol'intervallo [0, 1].


Figura 4.13: Confronto tra la probabilità di outage reale e apparente al variare di ηper diversi valori di α.

In �gura (4.13) sono confrontate le curve di probabilità di outage reale e ap-parente per diversi valori di α, considerando β = 0.3. Se η = 0, la batteria nonriceve energia dall'esterno e dunque è certo che la batteria prima o poi si scaricheràcompletamente. Per bassi valori di η, la probabilità di outage apparente apparepraticamente indipendente dal tasso di scarica, infatti l'arrivo di poca energia nonpermette alla batteria di ricaricarsi e la sua probabilità di raggiungere il potenzialedi cuto� rimane molto alta anche con correnti di scarica relativamente basse. Invece,per η ? 0.7 le probabilità di outage sia apparente che reale si annullano, infatti l'arri-vo di molta carica dall'EHD manterrà la batteria sempre mediamente carica. Comenei due paragra� precedenti, all'aumentare del tasso di scarica, le curve di P [a = 0]e P [e = 0] tendono ad allontanarsi perché aumenta la probabilità di raggiungereVcut prima di aver e�ettivamente scaricato completamente la batteria.

Figura 4.14: Confronto tra la probabilità di outage reale e apparente al variare di ηper diversi valori di β.


Gli andamenti delle curve di �gura (4.14), che rappresenta il confronto tra pro-babilità di outage reale e apparente per diversi valori di β e α = 0.4, sono simili aquelli del caso precedente. L'unica di�erenza è che, al crescere del tasso di recovery,le curve di P [a = 0] e P [e = 0] tendono ad avvicinarsi, sempre per i motivi spiegatiin precedenza durante la discussione delle �gure (4.10) e (4.12).

Capitolo 5

Conclusioni e sviluppi futuri

In questa tesi è stato sviluppato il modello di un dispositivo mobile basato su unacatena di Markov a tempo discreto. Lo stato della catena, oltre a tenere conto dellostato della batteria per mezzo dei due parametri a ed e, considera anche l'evoluzionedella coda di pacchetti da servire. Attraverso l'uso dei gra�ci, si è potuto veri�careche il modello presentato è coerente con il comportamento teorico della batteriapresentato nel secondo capitolo. In particolare, riuscire ad ottenere un alto tasso direcovery è fondamentale per la minimizzazione della probabilità di outage apparente,che dai gra�ci si nota avvicinarsi molto alla probabilità di outage apparente. Ingenerale, l'obiettivo da perseguire sarà proprio quello di ottenere una P [a = 0]molto vicina a P [e = 0]: solo in questo modo si sfrutta al meglio la carica contenutanella batteria. Inoltre, entrambe devono essere anche molto vicine a 0, cosicché laprobabilità del dispositivo di arrestarsi per il raggiungimento del potenziale di cuto�è molto bassa e dunque il rischio che il dispositivo smetta di funzionare è minimo.

Le probabilità di transizione sono state considerate per semplicità tutte costan-ti, ma il modello può essere complicato considerando una probabilità di recoveryesponenziale (come in [20]) o dipendente da più fasi di scarica (come in [22]). An-che la probabilità di leakage, qui considerata costante, può essere invece espressa indipendenza dallo stato di scarica della batteria, generalmente infatti la probabilitàdi leakage è più alta quando la batteria è completamente carica. Allo stesso modo,anche gli arrivi di energia dall'ambiente, in questa tesi supposti completamente ca-suali, nella realtà sono correlati tra loro e questo fatto potrebbe essere modellatoanch'esso tramite una catena di Markov, come in [14]. Anche la coda può esseremodi�cata in modo da considerare anche il caso di sistemi non bloccanti. In�ne,a seconda dell'applicazione svolta dal dispositivo, la modi�ca delle probabilità ditransizione per arrivi di pacchetti e servizi può fare in modo che il modello si adattisemplicemente al caso via via preso in esame.

In conclusione, in generale il modello in questa tesi è valido per un ampio spettrodi possibilità: sarà su�ciente modi�care uno o più dei parametri che caratterizzanoil modello presentato per ottenere una rappresentazione del dispositivo più fedelealla realtà �sica e ai risultati sperimentali.

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