Ottimizzazione stocastica report

Nicola Spreghini, Andrea Cappozzo Caritas: simulazione del processo di distribuzione dei viveri.

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CARITAS: SIMULAZIONE DEL PROCESSO DI

DISTRIBUZIONE DEI VIVERI

Introduzione.

La Caritas Italiana è l'organismo pastorale della CEI (Conferenza Episcopale Italiana,

l'unione permanente dei vescovi cattolici in Italia) che si prefigge come obiettivo la

promozione della carità.

È nata nel 1971 per volere di Paolo VI, ad opera di Giovanni Nervo, nello spirito del

rinnovamento avviato dal Concilio Vaticano II. Ha prevalente funzione pedagogica, cioè

tende a far crescere nelle persone, nelle famiglie, nelle comunità, il senso cristiano di

solidarietà. Per perseguire il suo impegno di formazione e informazione, la Caritas Italiana

ogni anno propone un programma articolato in corsi, convegni, seminari di studio e

approfondimento.

Tra le numerose attività svolte da questo organismo, risulta essere molto concreta e

potenzialmente attuabile anche dalle piccole sedi parrocchiali la distribuzione dei viveri alle

famiglie maggiormente bisognose. In particolare, l’attività primaria della comunità presa in

esame in questo lavoro è proprio la distribuzione dei viveri.

Un sabato ogni quindici giorni, alcune famiglie, munite di regolare tessera certificante lo

stato economico, possono recarsi all’interno del centro adibito per ricevere aiuti materiali.

A queste famiglie viene distribuita una certa quantità di beni alimentari, a seconda del

numero dei componenti. Tale distribuzione è differenziata in due gruppi. Si creano, così,

due code diverse gestite separatamente: una per le famiglie da 1-2 componenti, l’altra per

quelle da 3 o più. Al primo gruppo sono destinate borse standard già preparate contenenti

beni alimentari. Il servizio si limita, perciò, al timbro della tessera personale e alla

consegna della suddetta borsa. Per le famiglie più numerose, invece, alla borsa standard

vengono aggiunti ulteriori beni alimentari a seconda del numero dei componenti. La durata

del servizio in questo caso tende ad essere maggiore, in quanto l’aggiunta dei prodotti

extra richiede più tempo, poiché essi devono essere recuperati da un magazzino

adiacente.

Ogni volta che viene attuata questa distribuzione dei viveri, vengono consegnate in media

55 borse ai nuclei familiari da 1-2 componenti e 80 a quelli composti da 3 o più individui,

per un totale medio di 135 borse ogni due settimane.


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Raccolta dei dati e presentazione del problema.

Alle ore 9:00 del sabato mattina inizia la distribuzione dei viveri da parte dei volontari della

Caritas per entrambi i gruppi familiari. Al fine di simulare questo sistema di code mediante

il software AnyLogic, sono stati raccolti i tempi di arrivo e quelli di servizio degli individui

nei due differenti gruppi. In seguito vengono presentati i dati raccolti, separatamente per i

due raggruppamenti.

Di seguito viene riportata la tabella per i dati raccolti relativi alle famiglie con 1-2

componenti.

Tempo di arrivo Famiglie 1-2 componenti

Tempo di servizio Famiglie 1-2 componenti (secondi)

Tempo di arrivo Famiglie 1-2 componenti

Tempo di servizio Famiglie 1-2 componenti (secondi)

08:32 32,7 09:36 20,9

08:32 28,5 09:38 19,4

08:36 21,8 09:40 23,9

08:41 27 09:42 27,5

08:45 25,4 09:42 26,1

08:47 37 09:45 19,9

08:50 26.3 09:47 22,7

08:50 24,6 09:47 23,6

08:51 26,6 09:49 25,9

08:53 21,2 09:50 30.5

08:54 34,5 09:52 33,3

08:55 31 09:56 24,0

08:57 22,4 09:56 27,4

08:58 23,6 09:56 29,2

08:58 34 09:58 27,6

08:59 23,9 09:58 25,1

08:59 18,7 10:00 31,9

08:59 32,5 10:01 35,6

09:00 26,4 10:05 25,5

09:00 24,1 10:07 31,7

09:00 26,4 10:17 29,2

09:14 22,8 10:18 32,3

09:17 24,6 10:19 24,3

09:21 20,4 10:22 31,5

09:22 31,4 10:22 24,7

09:25 26,1 10:28 28,8

09:34 20,4 10:32 29,2

Tabella 1: Tempi di arrivo e di servizio per le famiglie da 1-2 componenti.


3

Per determinare la distribuzione probabilistica che verosimilmente potrebbe aver generato

i valori dei tempi di servizio, è stata eseguita una suddivisione in classi di frequenze

assolute, visibile di seguito sottoforma di istogramma.

Figura 1:

Istogramma dei tempi di servizio in secondi suddivisi in classi di frequenze assolute, per le famiglie da 1-2 componenti.

La distribuzione ipotizzata in questo caso è una triangolare di parametri a=19, b=27 e

c=37. I parametri rappresentano rispettivamente il valore minimo, il valore più probabile e il

valore massimo assunti dai dati osservati. Per l’implementazione tramite il software

AnyLogic è stato utilizzato il “minuto” come unità di misura. I parametri corrispondenti della

distribuzione triangolare risultano quindi essere a=0.32, b=0.45 e c=0.62.

Di seguito, in Tabella 2, vengono riportati i dati raccolti relativi alle famiglie con 3+

componenti.

La distribuzione per questi tempi di servizio, caratterizzati da una maggiore variabilità

(Figura 2), viene ipotizzata Normale di parametri 5.44 s (0.74 min) e 13 s (0.22

min).

Al fine di rendere plausibile questa assunzione, è stato eseguito un test formale di

Shapiro-Wilk per la verifica della normalità della distribuzione dei dati. Tale test rifiuta

l’ipotesi nulla ad un livello del 5%. Tuttavia in questa distribuzione campionaria è presente

un valore anomalo (98.7), ripetendo quindi il test eliminando questo outlier, viene accettata

l’ipotesi di normalità ad un qualunque livello di significatività (p-value = 0.6336).


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Tempo di arrivo Famiglie 3+ componenti

Tempo servizio Famiglie 3+ componenti (secondi)

Tempo di arrivo Famiglie 3+ componenti

Tempo servizio Famiglie 3+ componenti (secondi)

08:32 55,7

09:33 37,3

08:33 42,3

09:34 38

08:35 39,9

09:36 50,4

08:39 44,3

09:37 28,2

08:42 39,5

09:39 38,1

08:43 32,4

09:42 46,3

08:46 34,3

09:43 53,8

08:48 33,3

09:43 54,7

08:50 23,8

09:44 42,3

08:50 40,8

09:44 47,6

08:51 44

09:45 43,4

08:53 67,9

09:46 51,7

08:55 78,6

09:48 16,1

08:57 51,2

09:49 34,6

08:58 30,1

09:49 22,3

08:58 41

09:52 19,7

08:59 47,7

09:55 38,7

08:59 30,7

10:01 62,7

09:00 48,1

10:03 57,4

09:00 64,2

10:09 29,3

09:00 25,2

10:10 26,9

09:02 36,5

10:14 46,5

09:04 33

10:19 58,8

09:07 45,4

10:22 55,8

09:07 37,7

10:23 55,0

09:07 37,7

10:24 47,4

09:08 46

10:26 44,9

09:10 37,5

10:26 46,0

09:12 39,5

10:27 43,9

09:14 45

10:28 44,3

09:14 59,6

10:34 39,3

09:16 98,7

10:35 22,7

09:17 38,9

10:37 53,2

09:19 38,7

10:41 44,5

09:21 43,4

10:44 52,8

09:22 46,2

10:47 51,7

09:22 32,4

10:47 57,6

09:27 43,1

10:51 35,8

09:28 44,09

10:55 43,1

09:29 69,2

10:55 38,7

09:29 51,6

10:58 46,4

09:30 37,2

10:59 59,7

09:32 40,5 Tabella 2: Tempi di arrivo e di servizio per le famiglie da 3+ componenti.


5

Figura 2:

Istogramma dei tempi di servizio in secondi suddivisi in classi di frequenze assolute, per le famiglie da 3+ componenti.

Per quanto riguarda i tempi di interarrivo, si è ipotizzato che si distribuiscano

esponenzialmente con tasso di arrivo differenti a seconda dei due gruppi.

Per quanto riguarda le famiglie composte da 1-2 componenti, sopraggiungono nella coda

54 individui e il tempo di arrivo totale misurato è di 2 ore (120 minuti). Il tempo medio di

interarrivo viene calcolato dividendo il tempo totale di arrivo per il numero totale delle

persone:

min22.254

min120_ 21

arrivimediotempo .

Questo vuol dire che il tasso medio di arrivo, che è l’inverso del precedente tempo medio

calcolato, è min/45.021 arrivi .

Per le famiglie composte da 3+ componenti, invece, il numero totale di arrivi registrato

nella coda è pari a 85, in un intervallo di tempo di 2 ore e 27 minuti (147 minuti).

Analogamente a quanto eseguito in precedenza per l’altro gruppo,

min73.185

min147_ 3

arrivimediotempo ,

con tasso di arrivo min/58.03 arrivi .

Utilizzando la notazione di Kendall, le code prese in analisi in questo studio sono del tipo

M/G/1, con capacità infinita.


6

Data N° borse

consegnate

N° persone aiutate

N° borse consegnate e componenti della famiglia

1

pers. 2

pers. 3

pers. 4

pers. 5

pers. 6

pers. 7

pers. 8

pers. Totale 1-2 Totale 3+

21/07/2012 130 344 55 15 21 20 11 6 1 1 70 60

15/09/2012 110 322 33 18 18 18 14 7 2 0 51 59

06/10/2012 131 394 28 28 24 26 15 7 3 0 56 75

20/10/2012 141 440 35 23 23 26 23 7 4 0 58 83

03/11/2012 153 477 38 29 22 29 19 9 7 0 67 86

17/11/2012 143 486 24 28 24 28 21 10 8 0 52 91

15/12/2012 147 455 32 32 26 24 17 10 6 0 64 83

01/12/2012 154 504 29 31 25 34 21 9 5 0 60 94

05/01/2013 116 392 16 25 21 29 11 8 6 0 41 75

19/01/2013 159 542 28 25 29 37 20 11 9 0 53 106

03/02/2013 152 488 43 13 24 37 19 9 7 0 56 96

16/02/2013 154 480 40 28 23 27 19 9 8 0 68 86

02/03/2013 143 454 30 29 26 27 15 9 7 0 59 84

16/03/2013 143 459 28 29 27 30 15 4 10 0 57 86

06/04/2013 98 322 20 21 13 19 14 4 7 0 41 57

20/04/2013 123 403 26 22 18 28 16 6 7 0 48 75

04/05/2013 135 444 28 25 19 31 17 7 6 2 53 82

17/05/2013 120 414 18 20 27 31 10 4 8 2 38 82

01/06/2013 125 430 17 23 24 30 17 9 4 1 40 85

15/06/2013 139 442 28 26 26 31 15 7 5 1 54 85

Media 1-2:

Media 3+:

54,3 81,5

Tabella 3: Numero di borse consegnate per famiglia da Luglio 2012 a Giugno 2013.

Implementazione del modello concettuale con AnyLogic.

Il fenomeno reale sopra descritto è adatto ad essere implementato utilizzando il software

AnyLogic, tramite l'utilizzo della simulazione ad eventi discreti.

Ai fini della simulazione, utilizzando i dati presenti in Tabella 3, si ipotizza che il numero di

arrivi sia deterministico e fissato pari a 55 per il gruppo delle famiglie con 1-2 componenti

e pari a 80 per quello composto da famiglie 3+. Tale approssimazione non influenza i

risultati ottenuti, poiché mediamente rispecchia la situazione reale.

Si è osservato che le persone, indistintamente per ciascuno dei due gruppi, iniziano ad

arrivare nel sistema alle ore 08:32, mentre il servizio di distribuzione dei viveri comincia

alle ore 09:00. Si registra così per la prima mezz’ora soltanto un accumulo di individui

nelle due code, a seconda del gruppo di riferimento, senza che essi possano essere

processati.


7

Nella Figura 3 è visibile un esempio di tale situazione. Si è bloccata la simulazione

esattamente a 0.5 min prima dell’apertura del processo. Si nota che nella coda del gruppo

da 1-2 componenti sono presenti 15 persone, mentre nel gruppo da 3+ componenti 19.

Figura 3: Situazione delle due code poco prima dell’apertura del servizio.

All’apertura del servizio alle ore 09:00 le persone inizieranno ad essere processate nelle

due linee. Nella Figura 4 è possibile vedere la situazione finale al termine della

simulazione: degna di nota risulta essere la differenza dei tempi di fine servizio delle due

code. Come era facilmente prevedibile, il gruppo delle famiglie da 3+ componenti impiega

circa 47 minuti in più ad essere processato totalmente rispetto all’altro (tali risultati sono

confermati anche da ulteriori simulazioni).

Figura 4: Situazione delle due code al tempo di esaurimento del servizio.


8

Analizzando nei dettagli la situazione nella coda formata da famiglie da 1-2 componenti, si

nota che in media ci sono 2 persone all’interno della stessa. Il valore minimo 0 indica che

almeno un individuo verrà processato senza dover spendere del tempo in attesa. Infine, il

valore massimo è necessariamente raggiunto in corrispondenza del momento in cui viene

aperto il servizio. Infatti, come si è visto da varie simulazioni, alle ore 09:00 ci sarà un

accumulo notevole di persone in attesa di essere processate.

Figura 5: Range e valore medio della numerosità della coda per le famiglie da 1-2 componenti.

Osservando i tempi di attesa e il tempo totale trascorso nel sistema (Figura 6), si nota che

circa il 70% degli individui trascorre un tempo quasi pari a zero in coda e, in generale,

all’interno del sistema stesso. Il sistema sembrerebbe essere quindi molto efficiente nel

processare le famiglie con 1-2 componenti.

Figura 6: Istogrammi dei tempi di attesa e tempi totali nel sistema per le famiglie da 1-2 componenti.


9

Passando ad analizzare la situazione nel gruppo delle famiglie da 3+ componenti, è

visibile anche in questo caso che il valore minimo della coda è pari a zero. Analogamente

al caso precedente, i valori massimi sono registrati in corrispondenza del momento di

apertura del sistema; tuttavia in questo caso essi risultano essere sistematicamente più

elevati. Stessa cosa può essere affermata per quanto riguarda il valore medio (Figura 7).

Figura 7: Range e valore medio della numerosità della coda per le famiglie da 3+ componenti.

Esaminando i tempi di attesa e quelli trascorsi nel sistema (Figura 8), anche in questo

caso si nota che la maggior parte degli individui (poco più del 40%) non dovranno

attendere del tempo in attesa di essere serviti. Tuttavia a differenza del caso precedente, i

tempi trascorsi nel sistema per le famiglie da 3+ componenti risultano essere più elevati e

con variabilità maggiore.

Figura 8: Istogrammi dei tempi di attesa e tempi totali nel sistema per le famiglie da 3+ componenti.


10

Osservando il confronto tra i tassi di utilizzo dei serventi nelle due differenti code, si nota

che il tasso di utilizzo per le famiglie da 3+ componenti risulta maggiore di quello per le

famiglie da 1-2 (Figura 9). È interessante notare che tali tassi non sono calcolati al netto

della mezz’ora iniziale, durante la quale si verificano soltanto accumuli nelle code, senza

possibilità di servizio degli individui.

Figura 9: Confronto dei tassi di utilizzo dei serventi dei due gruppi.

In seguito all’osservazione e alla simulazione più volte ripetuta del fenomeno, risulta

evidente che la coda per i nuclei familiari di 1-2 componenti si esaurisce molto prima

rispetto a quella in cui vengono serviti i nuclei con maggior numero di componenti. Ciò

comporta un elevato “idle time” per i serventi della coda da 1-2 componenti. Infatti, quando

gli operatori di questo gruppo terminano la loro mansione, gli addetti alla distribuzione dei

viveri per l’altro gruppo rimarranno attivi fino ad esaurimento della coda stessa.

Figura 10 : Situazione delle due code al tempo di esaurimento del servizio per le famiglie da 1-2 componenti.


11

Per questo modello è stata anche realizzata un’animazione attraverso la funzione

Presentation di AnyLogic, con la quale viene rappresentato in veste grafica il modello

sopra descritto. La Figura 11 mostra una situazione tipica visibile durante la simulazione:

la coda 1-2 è vuota e il servente ad essa associato è in stato “idle” (colore verde) mentre

nella coda 3+ sono presenti diverse persone in attesa di essere servite.

Figura 11 : Animazione del modello rappresentante un momento del processo di distribuzione dei viveri.

Implementazione di un modello teorico come possibile soluzione al problema.

Al fine di ridurre il tempo di servizio totale del sistema si ipotizza un cambiamento nella

gestione del processo di consegna degli alimenti. In particolare, si andrà a simulare un

modello nel quale gli operatori della coda del gruppo da 1-2 componenti, quando verranno

a trovarsi in uno stato “idle”, potranno servire le famiglie più numerose ed aiutare quindi i

loro colleghi velocizzando verosimilmente il processo di distribuzione dei viveri.

Per sviluppare tale scenario tramite il software AnyLogic, si è dovuta modificare la coda

relativa al gruppo di famiglie con 3+ componenti, mentre si è mantenuta invariata quella

relativa al gruppo 1-2 (Figura 12).


12

Nella coda modificata si è aggiunto un altro delay (delay3epiù_1e2), necessario a simulare

la situazione nella quale entrambi i serventi processano le persone relative alle famiglie

con 3+ componenti (capacità di delay3epiù_1e2 = 2). Tale delay si attiva, in alternativa

all’originale, unicamente nel caso in cui non ci sia alcun individuo in attesa o in fase di

processo nella coda parallela delle famiglie 1-2 componenti. È stato quindi necessario

introdurre un selectOutput per indirizzare le persone nel corretto delay. Infine, attraverso

l’utilizzo degli objects “hold” sì è bloccato il flusso delle entità, in modo da simulare

correttamente il processo precedentemente descritto.

In particolare, il selectOutput indirizzerà le entità nel delay3epiù quando anche i serventi

della coda da 1-2 componenti sono occupati, mentre le indirizzerà nel delay3epiù_1e2 nel

caso in cui queue1e2 e delay1e2 risultino vuoti.

Figura 12 : Prospetto del modello teorico al termine della simulazione.

Passando ad analizzare alcune statistiche descrittive ottenute dalla simulazione del

modello ipotizzato (Figura 13 ), è possibile osservare che i valori medi delle due code

differenziano di poco tra loro. A differenza della situazione iniziale (analizzata in

precedenza nelle Figure 5 e 7), il valore medio delle persone presenti all’interno della coda

3+ componenti è minore. Tale risultato viene osservato in tutte le simulazioni effettuate per

mezzo del software AnyLogic; al contrario la diminuzione del valore medio della coda 1-2

componenti (che si nota in questo caso dal confronto con la Figura 5) non è sistematica,

ma dipende dalla natura probabilistica del fenomeno simulato. Nei valori minimi (sempre

pari a 0) e massimi non si riscontrano, invece, differenze indicative nel confronto tra i due

modelli simulati.


13

Figura 13: Valori minimi, medi e massimi delle due diverse code nel modello teorico ipotizzato.

Osservando la sottostante Figura 14 e confrontandola con la Figura 6, si nota che la

percentuale di utenti che aspetta un tempo praticamente nullo per essere servita è di poco

diminuita. Ciò è verosimile poiché, in questo modello ipotizzato, il servente della coda 1-2,

quando è in stato “idle”, si occupa degli individui della coda 3+. Per questo motivo, può

accadere che nuovi individui che sopraggiungono nella coda 1-2 debbano attendere il

tempo necessario al servente affinché completi il servizio dell’individuo della coda 3+.

Inoltre, questo spiega la presenza di alcuni picchi nell’istogramma dei tempi di attesa del

modello ipotizzato, non presenti in quello che simula l’attuale situazione dell’ufficio Caritas.


14

Figura 14: Istogrammi dei tempi di attesa e tempi totali nel sistema per le famiglie da 1-2 componenti per il modello

ipotizzato.

Un’analisi grafica dei tempi di attesa e di quelli all’interno del sistema della coda 3+ è

visibile nella Figura 15 . Confrontando i risultati ottenuti con quelli di Figura 8, riguardante

la situazione reale, si nota che è aumentata notevolmente la percentuale delle persone

che attendono in coda un tempo prossimo allo zero ed è diminuito sistematicamente il

tempo medio atteso in coda dai componenti delle famiglie più numerose. Notevole è anche

la diminuzione del tempo totale nel sistema: non si evidenziano, infatti, più i picchi che

caratterizzavano la distribuzione di tale tempo nel caso del modello iniziale. Di

conseguenza è aumentato il numero degli individui che attraversano il sistema in un tempo

vicino allo zero, passando da circa un 25% ad un quasi 60%.

Figura 15: Istogrammi dei tempi di attesa e tempi totali nel sistema per le famiglie da 3+ componenti per il modello

ipotizzato.


15

Nella Figura 16 sono messi a confronto i tempi medi trascorsi nel sistema dalle persone

nelle due tipologie di code dei due differenti modelli. Nel grafico a destra, relativo al nuovo

modello ipotizzato, si nota come i due tempi medi sono pressoché identici. Ciò non vale

per il modello iniziale (grafico a sinistra), nel quale il tempo medio che gli individui

trascorrono all’interno del sistema è nettamente maggiore per il gruppo da 3+ componenti

rispetto a quello da 1-2.

I livelli dei tempi medi presenti nel grafico di destra indicano che la soluzione di impiegare

il servente momentaneamente libero del sistema 1-2, per processare le persone

appartenenti alla coda parallela, potrebbe risultare efficace al fine di diminuire il tempo

totale trascorso nel sistema dalle persone del gruppo 3+ componenti. Si nota inoltre,

mediante tale modello, un livellamento dei tempi trascorsi dalle persone nei due sistemi.

Ciò accade perché nel modello ipotizzato il servente 1-2 ha un tasso di utilizzo più elevato

rispetto alla situazione iniziale, nella quale egli si trova a terminare il proprio lavoro molto

prima che la coda 3+ venga processata completamente.

Figura 16 : Tempi medi all’interno dei sistemi per i due gruppi nei due modelli.


16

Conclusioni.

In questo lavoro sono stati utilizzati dei modelli di simulazione per cercare di rappresentare

in modo efficace quel che avviene nella realtà, nel tentativo di comprenderne la

complessità.

La possibilità di impiegare il servente della coda 1-2, in aiuto al collega della coda 3+,

permette al gruppo dei volontari di terminare molto prima la distribuzione dei viveri. Tale

soluzione implica un esaurimento delle due code più rapido di quello attuale, con

conseguente miglioramento del livello del servizio offerto dalla Caritas.

Simulare il funzionamento di un fenomeno reale comporta in ogni caso una

semplificazione dello stesso. Con il modello teorico ipotizzato si è ottenuta una soluzione

che sembrerebbe efficiente, tuttavia la sua effettiva validità dovrà essere accuratamente

valutata e accertata tramite esperienza empirica.

I risultati ottenuti dimostrano come sia possibile attuare una metodologia basata su un

certo rigore scientifico anche ad un ambito, quale quello del volontariato, dove

l’ottimizzazione del processo non è certamente una priorità, per cercare di migliorarne la

performance.

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