UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA

Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione

Corso di Fondamenti di Fisica I

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IL PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE

UNZIATINA MEZZASALMA

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per l’Insegnamento Secondario Anno Accademico 2005/2006

VII CICLO

Prof. V. Bellini

E SUE CONSEGUENZE

N

INDICE

Prefazione ………………………………………………….................... 2

1. Introduzione …………………………………………….................... 3

1.1 Le leggi del moto …………...…………………………………..... 3

1.2 Definizione operativa di forza …………………………………..... 4

1.3 Sistema di riferimento inerziale …………………………….......... 5

2. Il principio di azione e reazione ……………………………….......... 7

2.1 Legge di conservazione della quantità di moto ………….……...... 8

3. Applicazioni ………………………………………………………… 9

3.1 Reazioni vincolari ……………………………………………..... 10

3.1.1 Componente normale: forza di sostegno ………..……… 10

3.1.2 Componente tangente: forza di attrito …………………... 11

3.1.3 Le forze di attrito …………………………...................... 15

3.2 Interazione elettrica …………………………………………….. 16

3.3 Interazione gravitazionale ……………….………………..…...... 17

3.3.1 Esempio numerico ……………………..…………… 18

3.3.2 Le riflessioni di Newton sulla legge di gravitazione

universale ……………………………………………………... 19

4. Osservazioni sulla Terza legge di Newton …..……………………… 20

4.1 Il campo gravitazionale …..……………………………………... 21

4.2 La teoria delle onde gravitazionali ……………..……………… 21

4.3 I gravitoni ……………………………………………………… 25

- 1 -

Prefazione

• di terzo liceo scientifico

•

Il tem e

di circa 2-3 ore di lezione.

Nel corso della trattazione si potre

interd

o,

e

successiv a,

in cui è a

Il presente modulo si rivolge a studenti:

• di secondo liceo classico

Propedeuticità:

• Concetto di forza

Primo e secondo principio della dinamica

• Nozione di derivata e regole di derivazione

• Conoscenza delle grandezze vettoriali e delle operazioni con i vettori

po necessario da dedicare alla trattazione di questo argomento dovrebbe esser

bbe fare cenno ai possibili collegamenti

isciplinari, in particolare con la geografia astronomica.

Per valutare i risultati ottenuti e migliorare la comprensione dell’argoment

l’insegnante potrebbe guidare gli alunni in semplici esperienze operative

amente assegnare a ciascun allievo il compito di descrivere un’esperienz

pplicabile il III principio della dinamica.

- 2 -

1 Introduzione aac Newton, fisico, astronomo e matematico inglese (Woolsthorpe, Lincolnshire,

87 pubblicò l’opera “Philosophiae naturalis

princ a o della meccanica e di tutta la fisica classica, la

quale per almeno due secoli.

L'opera inizia con la definizione di massa come "quantità di materia che si misura

alla densità e dal volume presi insieme". Newton passa poi alla definizione di forza

tamento dello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

Alle definizioni fa seguire le tre note leggi della meccanica: d'inerzia, di

prop i e reazione.

Il pa lla meccanica alla legge della

gravitazione universale, in base

e loro masse e inversamente proporzionale al quadrato

del moto dei pianeti, della Luna, dei

eguale a quella che si

lto. Tale doveva rimanere, finche'

Einstein sostituirono l'azione a distanza con la nozione di campo

finita e pari a quella della luce nel vuoto.

.1 Le leggi del moto

a meccanica classica è una teoria del moto basata sulle idee di massa e di forza e

lle leggi che collegano questi concetti fisici alle grandezze cinematiche: posizione,

elocità e accelerazione.

e leggi del moto furono presentate da Newton nei “Philosophiae naturalis principia

atematica” come:

Is

1642- Kensington, Londra 1727), nel 16

ipi matematica”, fondament

fu influenzata da quest'opera

d

come causa di mu

orz onalità fra forza e accelerazione, di azione

sso successivo porterà Newton dalle leggi de

alla quale la forza attrattiva esistente fra due corpi è

proporzionale al prodotto dell

della distanza.

Da quanto detto, Newton dedusse le leggi

satelliti di Giove e di Saturno, e ciò costituisce il suo contributo all'astronomia. In

particolare, dimostrò che la forza attrattiva fra due sfere è

ottiene concentrando le masse delle due sfere nei rispettivi centri.

La nozione di gravitazione di Newton, ossia di azione istantanea (cioè con velocità

infinita) a distanza, fu criticata dai contemporanei, in particolare da Leibniz e dai

cartesiani, per il suo carattere dogmatico ed occu

Maxwell e

gravitazionale, con velocità di propagazione

1

L

su

v

L

m

- 3 -

Legge I Ciascun corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo

e di un corpo, la sua

uniforme, eccetto che sia costretto a mutare quello stato da forze impresse.

Legge II Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice impressa ed

avviene lungo la retta secondo la quale la forza è stata impressa.

Legge III Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria: ossia, le

azioni di due corpi sono sempre uguali tra loro e dirette verso parti opposte.

Le leggi di Newton stabiliscono una relazione tra l’accelerazion

massa e le forze che agiscono su di esso, secondo la legge:

totF=F am=∑ (1)

Per comprendere completamente le leggi di Newton e riuscire ad applicarle,

dobbiamo dare una definizione operativa di queste grandezze, cioè descrivere i

metodi usati per misurarle.

1.2 Definizione operativa di forza

Si consideri un corpo, per esempio un blocco di legno, poggiato su una superficie

orizzontale liscia, per esempio su un tavolo. Supponiamo che il blocco sia

inizialmente in quiete rispetto al tavolo. Se lo lanciamo lungo il tavolo, il corpo si

muoverà in avanti per un certo tratto, ma la sua velocità diminuirà fino ad arrestarsi

per via della forza di attrito esercitata dal tavolo.

nsiste nello sviluppare una misura quantitativa della forza:

e essa produce su un oggetto particolare, che chiameremo corpo

campione, la cui massa è 1 kg, l’unità di misura della massa nel sistema SI.

Estrapolando, se la velocità di un corpo non è costante, si può concludere che sul

corpo agisce una forza risultante diversa da zero.

Il problema successivo co

questo si fa definendo il modulo e l’orientazione di una data forza in funzione

dell’accelerazione ch

- 4 -

La forza richiesta per produrre un’accelerazione di 1 m/s2 sul corpo campione è

definita come 1 newton (N). L’unità di forza, il newton, è una grandezza derivata,

u questo

principio. Esso è costituito da una molla con una scala graduata in newton.

Figura 1: sistema il dinamometro

indirettamente una misura della forza F secondo la legge:

iale

cioè può essere espressa per mezzo delle tre unità di misura fondamentali:

1 N = 1 kg ·m/s2

Si può misurare la forza valutando l’allungamento subito da una molla. Il

dinamometro è uno strumento atto alla misurazione delle forze e si basa s

Poiché, secondo la legge di Hooke, la deformazione elastica di una molla è

proporzionale alla forza applicata, una misura dell'allungamento x fornisce

F = ─kx (2) dove k è la costante elastica della molla.

1.3 Sistema di riferimento inerz

Nel costruire una qualsiasi teoria è indispensabile determinare le condizioni sotto le

quali due osservatori vedono i fenomeni evolversi nel medesimo modo, e quindi

possono descriverli con le medesime leggi.

- 5 -

Un sistema di riferimento in cui valgono le leggi di Newton è chiamato sistema di

riferimento inerziale. Tutti i sistemi di riferimento che si muovono con velocità

costante rispetto a un sistema di riferimento inerziale sono anch’essi sistemi di

riferimento inerziali.

gato alle stelle fisse. La relatività galileiana prima, e la relatività ristretta poi,

mostrarono che non esiste un sistema di riferimento assoluto, come l’aveva

ipotizzato Newton, in quanto tutti i sistemi di riferimento in moto traslatorio

uniforme rispetto ad esso hanno le sue stesse proprietà e sono quindi indistinguibili

da esso. Non è possibile determinare quale sistema di riferimento è realmente in

quiete e quale è in moto, cioè non si può determinare la velocità assoluta.

Poiché nelle leggi di Newton compare solo l’accelerazione e non la velocità, non si

possono eseguire esperimenti meccanici per distinguere il moto assoluto. Ciò

età fondamentale del moto: le velocità sono indistinguibili.

ertanto un osservatore può scegliere un qualsiasi sistema di riferimento inerziale,

della fisica sono inviarianti solo per o

riferimento inerziale.

a Terra non è un vero e proprio sistema di questo tipo, a causa dei suoi movimenti

Il laboratorio è vincolato a ruotare insieme con la Terra attorno all'asse di rotazione

un'orbita all'interno della galassia etc.

Newton postulò l'esistenza di uno spazio assoluto, di un sistema di riferimento in cui

le leggi della meccanica erano perfettamente valide e pensò che questo sistema fosse

le

esprime una propri

P

come sistema di coordinate per i calcoli, e può applicare le leggi del moto.

Gli osservatori posti in un sistema inerziale si dicono osservatori inerziali. Le leggi

sservatori inerziali.

Osservazione: la Terra come sistema di

L

di rivoluzione e di rotazione.

terrestre ogni 24 ore; la Terra interagisce con il sole e gli gira attorno ogni 365

giorni; il sole a sua volta interagisce con il resto della galassia e si muove su di

- 6 -

Ciononostante, per moti di durata ed estensione limitata, tali che la velocità del

sistema di riferimento non sia variata di molto durante il moto in osservazione, tutti

questi sistemi approssimano sistemi di riferimento inerziali.

2 Il principio di azione e reazione La terza legge di Newton può essere chiamata come la legge dell’interazione o

principio di azione e reazione.

corpi sono sempre uguali fra loro e dirette verso parti opposte

o anche:

le forze si presentano sempre in coppie: se un corpo A esercita una forza su un

Così Isaac Newton si esprime nella sua opera “Philosophiae naturalis

Ad ogni azione corrisponde un’azione uguale e contraria: ossia, le azioni di due

corpo B, una forza uguale ma opposta, viene esercitata dal corpo B sul corpo A.

principia

“Se qualcuno preme una pietra col dito, anche il suo dito viene premuto dalla pietra. Se un

quanto promuoverà l’avanzare dell’altro.

on la sua

A queste azioni corrispondono uguali mutamenti, non di velocità, ma di moto. I

ioni contrarie, … sono

Questa legge riconosce in primo luogo il fatto che le forze nascono sempre

hanno masse diverse, in quanto la variazione delle velocità dei due corpi è

asse: quindi, il diverso modo di comportarsi

matematica”:

cavallo tira una pietra legata ad una fune, anche il cavallo è tirato ugualmente verso la

pietra: infatti la fune distesa tra le due parti, per lo stesso tentativo di allentarsi, spingerà il

cavallo verso la pietra e la pietra verso il cavallo; e di tanto impedirà l’avanzare dell’uno di

Se un qualche corpo, urtando in un altro corpo, in qualche modo avrà mutato c

forza il moto dell’altro, a sua volta, a causa della forza contraria, subirà un medesimo

mutamento del proprio moto in senso opposto. …

mutamenti delle velocità, infatti, effettuati allo stesso modo in direz

inversamente proporzionali ai corpi.”

dall'interazione tra due corpi e si presentano sempre in coppie azione-reazione: la

reazione sarà uguale in modulo e contraria in direzione all’azione.

Naturalmente, i due corpi reagiscono all’azione delle forze in modo differente, se

inversamente proporzionale alle loro m

- 7 -

deriva dalla diversa massa inerziale presentata dai due corpi e non dalle diverse

intensità delle forze, che, al contrario, sono uguali.

corpi diversi.

In sintesi, azione e reazione non si equilibrano, in quanto sono forze applicate a

a sottolineato che devono essere implicati due oggetti. Esiste una grande quantità di

no sullo stesso oggetto,

one (o addirittura

2.1 Legge di conservazione della quantità di moto

sercitano l’uno sull’altro.

V

situazioni in cui due forze uguali ed opposte agisco

annullandosi a vicenda, cosicché non si avrà alcuna accelerazi

nessun moto). Questo non riguarda la terza legge di Newton, ma piuttosto un caso di

equilibrio tra forze.

C’è una conseguenza semplice, ma importante, della terza legge per due oggetti

isolati da ciò che li circonda, cosicché le sole forze agenti su di essi siano quelle che

e

Figura 2: sistema isolato di due punti materiali

Dati due punti materiali isolati (non soggetti a forze esterne) si osserva che: 12 21-F F= (3)

ovvero la forza che 1 esercita su 2 è uguale e contraria a quella che 2 esercita su 1.

L’equazione può riscriversi come:

12 21 0RF F F+ = = (4)

ovvero la risultante delle forze interne `e nulla.

Applicando la seconda legge di Newton a ciascun corpo, si ha:

112 1 1 1F m a m

dt= = dv 2

21 2 2 2F m a mdt

= =dv (5)

Sostituendo nell’equazione (3), si ottiene:

- 8 -

1 21 10 (dv dv dm m m

dt dt dt= + = +1 1 2 2 )v m v

1 21 1 1 1 20 ( 2 )m m m v m v

dt dt dt= + = + (6) dv dv d

ossia:

1 1 2 2 costantem v m v+ = (7)

La grandezza dinamica p mv= è chiamata quantità di moto della particella.

Pertanto, la quantità di moto totale di un sistema isolato di 2 corpi rimane costante

el tempo, o, con altro termine, si conserva (legge di conservazione della quantità

portata del terzo principio della dinamica, analizzeremo

vari esempi di interazione tra corpi.

Innumerevoli sono gli esempi di applicazione di questo principio:

1) quando camminiamo, la forza (azione) che i nostri piedi esercitano all'indietro sul

suolo, è sempre uguale e contraria a quella (reazione) che il suolo esercita sui nostri

piedi, e che ci consente di muoverci in avanti;

2) l'elica di una nave esercita una forza le e contraria alla

forza (reazione) che l' are;

uguale e contraria (reazione) a quella che il proiettile esercita sull'arma da fuoco

provocandone il rinculo.

o 2, descrive forze che sono sempre pressioni o

ze di contatto; ma

ne anche se questo non implica

e vedremo in alcuni

degli esempi che seguono, ciò si spiega attraverso l’introduzione del concetto di

o.

n

di moto).

3 Applicazioni Per comprendere meglio la

(azione sull'acqua), ugua

acqua esercita sulla nave, facendola avanzare in m

3) un'arma da fuoco, lanciando il proiettile, esercita su di esso una forza (azione),

Newton, come riportato al capitol

trazioni, cioè in ogni caso for la validità del terzo principio è

generale: esso è valido in qualsiasi interazio

necessariamente un contatto diretto tra i corpi coinvolti: com

camp

- 9 -

3.1 Reazioni vincolari

Si chiamano reazioni vincolari quelle forze che si originano dalle limitazioni al

i materiali imposte dai corpi circostanti. Al

er la reazione vincolare non è possibile fornire un’espressione generale della

forza: caso per caso essa avrà una sua formula. Comun si

può scomporre in una componente perpendicolare al vincolo

movimento dei punt contrario delle altre

forze, p

que, la reazione vincolare

N ed una componente

parallela al vincolo, la forza di attrito.

Se c’è contatto tra il corpo ed il vincolo, allora sicuramente c’è la componen

normale della reazione vincolare. La condizione di perdita di contatto tra il corpo ed

il vincolo si

te

realizza quando = 0.

e: forza di sostegno

iano orizzontale, per esempio un tavolo. Se il

ono una resistenza

lla compressione e il tavolo resiste senza rompersi all’azione esercitata su di esso

N

3.1.1 Componente normal

Come esempio di componente normale della reazione vincolare, consideriamo un

corpo di massa m poggiato su un p

tavolo è sufficientemente robusto, le molecole del tavolo oppong

a

dal blocco appoggiato: come conseguenza, il corpo resta fermo.

Figura 3: blocco poggiato su un piano

Affinché il corpo sia fermo, sulla base della seconda legge di Newton, è necessario

che la risultante delle forze che agiscono sul corpo sia nulla. Quindi, è necessario che

il tavolo eserciti sul corpo una reazione vincolare vR , tale che:

0vR mg+ = ⇒ vR mg= − (8)

La reazione vincolare in questo caso è diretta verticalmente in verso opposto al peso

el corpo e la sua intensità è proprio uguale ad mg, cioè al peso del blocco. Essa è

erpendicolare alla superficie del corpo che l'ha generata, cioè al piano orizzontale,

d

p

- 10 -

per cui coincide con la componente normale della reazione, mentre la componente

parallela al vincolo è nulla.

atto esercitata da un corpo su un altro è

a

rp l corpo agisce una forza di attrito che si oppone

l moto, e non lo favorisce mai.

stato delle superfici di

to. Consideriamo il

seguente esempio.

Supponiamo di avere un corpo di massa m poggiato su di un piano orizzontale.

Applichiamo al corpo, poggiato sul piano orizzontale, una forza avente sia una

componente verticale

Qual è l'origine di questa forza? Il corpo poggiato sul tavolo provoca una piccola

deformazione del piano, che genera una forza elastica che si oppone alla

deformazione.

3.1.2 Componente tangente: forza di attrito

La componente tangente della forza di cont

chiamata forza di attrito.

In generale, possiamo afferm re che ogni volta che la superficie di un corpo scivola

sulla superficie di un altro co o, su

a

La diminuzione di velocità subita dal corpo è legata allo

contatto tra corpo e piano: infatti, agendo opportunamente su queste superfici, si

riesce a modificare l'accelerazione subita dal corpo. Quindi, il piano orizzontale

nell'interagire col corpo in moto, esercita oltre alla componente normale N della

reazione vincolare, anche una forza parallela al piano, che si chiama forza di attrito.

Ma le forze di attrito sono presenti anche in assenza di movimen

vf of che una componente orizzontale . Si osserva che, per

piccoli valori della componente orizzontale della forza applicata, il corpo rimane

fermo sul piano. In ba questo implica che la

risultante delle forze applicate al corpo è nulla.

se alla seconda legge della dinamica,

y

x

Figura 3: blocco poggiato su un piano soggetto ad una forza F

0v v oR f f P ma+ + + = = (9)

- 11 -

Introduciamo un sistema di riferimento con l'asse y verticale e l'asse x orientato

parallelamente al piano.

Nel sistema di riferimento introdotto, la forza esterna ha le componenti −fv secondo

l'asse delle y e fo lungo l'asse delle x, il peso ha solo la componente -mg in y , mentre

le componenti della reazione vincolare vR , offerta dal piano orizzontale, saranno Rx

R . La componente Ry coincide con la componente normale della reazione

+ fo = 0 Rx = - fo

ontale della reazione vincolare è uguale ed opposta

zione vincolare, può essere al massimo uguale a:

e y

vincolare e continueremo ad indicarla con N.

asse x Rx

(10)

asse y N - mg - fv = 0 N = mg + fv (11)

Si vede che la componente orizz

alla componente orizzontale della forza applicata.

Se si aumenta l'intensità della componente orizzontale della forza applicata, si

osserva che il corpo rimane fermo fin tanto che la componente orizzontale della forza

non supera un certo valore limite:

fo ≤ fo max (12)

Questo significa che l'intensità della forza di attrito, cioè della componente

orizzontale della rea

Fas max = fo max (13)

Figura 4: diagramma di corpo libero di un blocco poggiato su

un piano, a cui è applicata una forza

Tale valore limite dipende dalla componente verticale della forza applicata. Infatti

più alta è l'intensità della componente verticale della forza applicata, più grande è il

- 12 -

limite superiore della componente orizzontale, in corrispondenza del quale il corpo

rimane ancora fermo.

Si trova, infatti, che la forza di attrito statico massima risulta essere proporzionale

alla componente normale N della reazione vincolare.

Fas ma = μx

a, ecc). L'indice s sta per statico.

generale, quindi, la forza di attrito statico, cioè la componente parallela alla

e massimo, pari a μs N.

Ns (14) dove μs viene detto coefficiente di attrito statico e dipende dalle natura delle superfici

a contatto (tipo di materiale, stato di levigatezz

In

superficie di contatto della reazione vincolare, può assumere tutti i valori tra 0 ed il

valor

Fas ≤ μs N (15)

y

x

θ

s

θ

Figura 5: blocco poggiato su un piano inclinato

Il valore di μs per superfici può e

blocco su una superficie orizzontale e inclinando la superficie finché il blocco non

comincia a strisciare. Sia θcrit l’angolo critico sotto il quale comincia lo strisciamento.

Per angoli di inclinazione minori di questo, il blocco è in equilibrio statico.

Scegliendo l’asse x parallelo al piano e l’asse y perpendicolare al piano, si ha:

asse x N - mg cosθ = 0

(16)

asse y (17)

Si ottiene:

ssere semplicemente determinato, collocando un

mg sinθ – Fas = 0

sin sin tancosas

Nmg NF θ θ θθ

= = = (18)

, l’attrito statico assume il valore limite pari a μs N, quindi: Sotto l’angolo critico θcrit

- 13 -

tans critμ θ= (19)

Quando la componente orizzontale fo della forza applicata diventa maggiore di μs N,

to di primo distacco" oppure

"attrito di moto incipiente".

forza

oto rettilineo uniforme, la risultante di tutte le forze

applicate al corpo deve essere nulla, ttrito dinamico esercitata dal p

sul corpo deve essere uguale ed opposta alla forza orizzontale applicata. La forza di

attrito dinamico è dunque diretta in verso opposto al moto del corpo e si può

esprimere come:

Fad = μd N (20) dove l'indice d indica l'attrito dinamico.

Ovviamente, da quel che abbiamo detto, risulta che μd è più piccolo di μs.

La (15) e la (16) sono due relazioni empiriche che nella loro semplicità tengono

conto di tutta una serie di com simi.

I coefficienti μs e μd non dipendono dall’estensione della superficie di appoggio, ma

liquide.

atura delle superfici, i coefficienti μs e μd possono essere assunti come

costanti in un intervallo piuttosto am ale della

e della velocità

il corpo comincia a muoversi. Per questo motivo, il valore massimo della forza di

attrito F N, viene anche indicato come "attrias max = μs

Una volta che il corpo è stato messo in movimento, si osserva che, per mantenerlo in

moto rettilineo uniforme occorre applicare, nella direzione del moto, una

orizzontale avente una intensità, f'o, che è più piccola di quella necessaria per mettere

in movimento il corpo, che abbiamo visto essere pari a μs N.

Siccome anche nel caso di m

la forza di a iano

portamenti microscopici complicatis

dipendono invece:

• dallo stato delle superfici di contatto;

• dai materiali che costituiscono le superfici di contatto;

• dalla temperatura;

• dalla presenza di altri materiali, in particolare dalla presenza di pellicole

Fissata la n

pio di valori della componente norm

reazione vincolare N v del corpo.

Al di fuori di questo intervallo, le relazioni (16) e (17) possono essere ancora usate,

ma bisogna tener conto che i coefficienti μs e μd dipendono rispettivamente da ( N ,S)

e ( v , N ,S), dove S è la superficie di appoggio.

- 14 -

certo numero di asperità. A causa dell’interazione tra il

a di tutte queste forze

3.1.3 Le forze di attrito

Una superficie, per quanto possa essere levigata, presenterà sempre, a livello

microscopico, delle asperità. Quando noi poggiamo un corpo su un piano orizzontale,

in realtà lo poggiamo su un

corpo e il piano di appoggio, queste asperità si deformano, tendono cioè a

schiacciarsi. Sappiamo che i materiali reagiscono alle deformazioni generando una

forza elastica. Quindi, in ciascun punto di contatto si originerà una forza di tipo

elastico, che sarà proporzionale alla deformazione. La somm

elastiche costituisce la reazione vincolare che, nel caso di un corpo appoggiato su di

un piano orizzontale, possiede solo la componente normale N , la quale bilancia il

peso del corpo. Quindi N risulta proporzionale al peso del corpo appoggiato; in

generale, la forza di attrito non dipenderà dalla superficie macroscopica di appoggio

del corpo sul piano.

assa 1 kg, la cui base abbia un’area 2

Facciamo un esempio: si consideri un blocco di m2di 100 cm e il cui fianco abbia area di 25 cm .

Figura 6: blocco collocato su un piano, poggiando facce distinte

Sia che esso poggi sul tavolo con la sua base, sia quando è collocato su un fianco, la

assima forza di attrito statico sarà semplicemente proporzionale alla forza normale

Le forze d'attrito sono molto importanti. Esse infatti ci consentono di camminare, di

i ili etc.

o

bia.

m

tra le superfici.

scrivere, di tenere in mano degli oggett , degli utens

Sono le forze di attrito che consentono ad una automobile di accelerare di

arrestarsi: anche possedendo un motore molto potente, un’automobile ha difficoltà ad

accelerare sul ghiaccio o sulla spiaggia nella sab

- 15 -

In molti altri casi, invece, l'attrito è indesiderato: per esempio negli ingranaggi. In

tenza del motore è spesa per vincere le forze di attrito. una automobile il 20% della po

3.2 Interazione elettrica

Due cariche elettriche interagiscono fra loro con forze opposte, che possono essere

sia attrattive che repulsive.

+ -

Figura 7: interazione tra cariche elettriche elettriche

La direzione della forza F12 è lungo la congiungente i due corpi e risulta attrattiva, se

le due cariche sono di segno opposto, o repulsiva, se sono dello stesso segno.

Nel 1785 Coulomb determinò la legge che esprime la forza elettrica tra due cariche

in funzione della distanza e della grandezza delle cariche.

1. Dipendenza della forza dalla distanza.

Coulomb operò con delle sferette aventi una determinata carica e le pose a varie

distanze. a d viene

uatto volte più piccola, se la distanza triplica la forza diviene nove volte più piccola,

. Dipendenza della forza dalle cariche.

irettamente proporzionale

forza attrattiva o repulsiva fra

Dalle misure fatte ricavò che se la distanza raddoppia la forz i

q

se essa si dimezza la forza diviene quattro volte più grande, ecc... Quindi la forza di

interazione tra due cariche puntiformi è inversamente proporzionale al quadrato della

distanza.

2

Coulomb ricavò che, non variando la distanza, la forza è d

a ciascuna delle due cariche, quindi al loro prodotto.

Riunendo i due risultati, si ricava la legge che descrive la forza elettrostatica tra due

cariche puntiformi, nota come legge di Coulomb: la

- 16 -

due cariche elettriche è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche e

inversamente proporzionale al quadrato della distanza che le separa.

Essa viene espressa come:

1 2q q12 122F k r=

r (21)

Figura 8: forza elettrostatica esercitata dalla carica q1 sulla carica q2

to

segno, il prodotto q1q2 è

lungo

Il fatto che cariche simili si respingono e cariche diverse si attraggono è contenu

nell’equazione (17): se entrambe le cariche hanno lo stesso

positivo e la forza che agisce su q2 è diretta 12r e tende ad allontanarsi da q1; se

Tutte le particelle esercitano l’una sull’altra una forza gravitazionale di attrazione.

assa m1 su un’altra particella

le cariche hanno segni opposti, la forza che agisce su q2 è diretta verso q1. Il valore

della costante di Coulomb k è:

k = 8,99·109 N·m2/C2

3.3 Interazione gravitazionale

L’intensità della forza esercitata da una particella di m

di massa m2 posta a distanza r è data dalla legge di gravitazione universale:

dove G è la costante di gravitazione universale, il cui valore è :

q1 q2

r1

r2

r12^

→

→

z

x

12 2r1 2F G=

y

m m

- 17 -

-11G = 6,67 · 10 N ·m

2/kg

2

La forza, che agisce su m , è diretta verso m . Una forza uguale e2 1 d opposta viene

esercitata dalla massa m sulla massa m1, in accordo con la terza legge di Newton:

rze di attrazione l’una sull’altra.

In figura è rappresentato un classico esempio di interazione gravitazionale: la forza

dell’altro, i due corpi si comportano in

modo diverso per via delle d r le intensità delle forze, che

non sono distinte, anzi al contrario sono uguali.

azione non si equilibrano, in quanto

sono forze applicate a corpi diversi.

forza esercitata su ciascuna sfera

all’altra è quindi:

2

cioè, le due particelle esercitano fo

p

p

Figura 9: forza di attrazione gravitazionale tra la Terra e la mela

peso di una mela come azione esercitata dalla Terra che attrae la mela, la quale a sua

volta attrae la Terra con forza opposta.

Naturalmente i due corpi, a causa delle masse notevolmente diverse, reagiscono

all’azione delle forze in modo differente: rispetto ad un osservatore esterno, la Terra

è praticamente insensibile all’azione della forza . Quando la massa inerziale di un

corpo è enormemente più grande di quella p

ifferenti inerzie e non pe

Quindi, come già detto in precedenza, azione e re

3.3.1 Esempio numerico Calcoliamo la forza di attrazione tra due sfere, ciascuna di massa 1 kg, i cui centri

distano 10 cm. Possiamo trattare ciascuna sfera come se la sua massa totale fosse

concentrata nel suo centro. Il modulo della

d

12

11 2 2 91 2

1 16,67 10 / 6,67 10kg kgF N m kg N− −−= × = ×ii

(10 )m - 18 -

Questo esempio dimostra che, nel caso di due oggetti di dimensioni ordinarie, la

forza gravitazionale che ciascun oggetto esercita sull’altro è molto piccola e si può in

generale trascurare.

L’attr

massicci.

azione gravitazionale si può notare solo se gli oggetti sono estremamente

3.3.2 Le riflessioni di Newton sulla legge di gravitazione universale Si narra che in una sera di plenilunio, il grande scienziato, seduto sotto un melo,

vedendo cadere una mela, abbia iniziato a riflettere sulla natura della forza

gravitazionale.

Perché tutti gli oggetti cadevano verso il basso? Probabilmente ciò era possibile,

pensò Newton, perché una forza (a quel tempo sconosciuta) agiva sulla mela,

accelerandola verso il suolo. E questo si verificava, qualunque fosse l'altezza

dell'albero da cui cadeva la mela!

Ed ecco, allora, la brillante intuizione dello scienziato: se questa forza raggiungeva la

sommità degli alberi più alti, poteva andare anche oltre e, perché no, coprire la

distanza Terra-Luna! In altre parole: la mela e la Luna non dovevano essere poi così

diverse ... La stessa forza, che accelerava gli oggetti sulla Terra, facendoli cadere al

suolo, do a Terra?

i proiettili sarebbero caduti al suolo sempre

un giro completo attorno alla Terra,

ima forza che agiva sul proiettile, descrivendo

li oggetti terrestri e quelli celesti erano soggetti alla

latino "gravitas", che significa "pesantezza") che imponeva ai corpi sulla Terra di

veva agire sulla Luna: ma allora, perché la Luna non cadeva sull

Newton risolse l'enigma immaginando di sparare con un cannone, posto su un'alta

montagna, dei proiettili con velocità iniziali via via maggiori. Galileo aveva già

dimostrato che, in conseguenza di ciò,

più lontani dal cannone. Nell'esperimento immaginario di Newton, nulla impediva di

pensare che, ad un certo punto, con un opportuno valore della velocità iniziale, il

proiettile sarebbe riuscito a cadere tanto lontano da ... compiere un giro completo

intorno alla Terra, senza mai toccare il suolo! In altre parole, il proiettile avrebbe

cominciato a orbitare intorno alla Terra. La conclusione di Newton era la seguente:

così come il proiettile poteva arrivare a compiere

"cadendo" continuamente verso il suolo, senza mai toccarlo, la Luna "cadeva" verso

la Terra, perchè soggetta alla medes

un'orbita ellittica attorno a essa. G

stessa legge della Natura.

Lo scienziato formulò in termini matematici l'espressione della forza di gravità (dal

- 19 -

cadere al suolo, e alla Terra stessa e agli altri pianeti di "cadere" verso il Sole,

compiendo attorno ad esso delle orbite più o meno ellittiche: gli oggetti si attraggono

misura direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente

roporzionale al quadrato delle loro distanze.

anifesta con il fenomeno delle maree.

sservazioni sulla terza legge di Newton

ton comprendere che l'eguaglianza tra le forze di azione e reazione

ione a distanza da Newton). Oggi sappiamo che

in

p

Ogni corpo esercita una forza di attrazione nei confronti di un altro. Nel caso della

Luna, questa è attratta dalla Terra ma, a sua volta, esercita un'attrazione su

quest'ultima, che si m

4 OIl terzo principio della dinamica non deve essere inteso come un principio di causa

ed effetto: le due forze di azione e reazione infatti agiscono simultaneamente, ovvero

le forze di azione e reazione sono uguali e contrarie allo stesso istante.

Ai tempi di New

potesse realizzarsi quando i corpi, che interagiscono, sono a contatto era abbastanza

immediato; più difficile era capire come questa eguaglianza potesse realizzarsi

istantaneamente quando i corpi interagenti sono molto distanti l’uno dall’altro

(spiegato mediante il concetto di az8non è possibile far viaggiare l'informazione più velocemente della luce (3 × 10 m/s).

Per esempio, la forza di interazione Terra-Sole dipende dalla distanza della Terra dal

Sole. Supponiamo che la Terra si sia spostata all’improvviso, avvicinandosi al Sole.

Questo significa che il Sole dovrebbe esercitare sulla Terra una forza più grande.

Tuttavia il Sole non può rendersi conto immediatamente che la Terra gli si è

avvicinata, ma sarà raggiunto dall'informazione solo dopo 8 minuti, il tempo

impiegato dalla luce per percorrere la distanza della Terra dal Sole.

Per tutto questo tempo il Sole continuerà a pensare che la Terra si trovi ancora nella

posizione precedente, più lontana, e continuerà ad esercitare la forza corrispondente a

questa posizione. Tuttavia, poiché la velocità nel moto di rivoluzione terrestre è

molto piccola rispetto alla velocità della luce, lo spostamento della Terra in 8 minuti

è, a tutti gli effetti, trascurabile rispetto alla distanza della Terra dal Sole, cioè la

forza di attrazione avrebbe dovuto modificarsi di una quantità trascurabile. In

conclusione, non si commettono gravi errori se si suppone che l'informazione sia

arrivata al Sole istantaneamente, che abbia cioè viaggiato dalla Terra al Sole con una

velocità infinita.

- 20 -

4.1 Il campo gravitazionale

Oggi l'interazione tra i due corpi distanti viene descritta non più in termini di "azione

a distanza", che richiederebbe una velocità infinita di propagazione dei segnali, ma in

termini di campo. In questo tipo di descrizione si afferma che ogni punto dello spazio

circostante il sole possiede una proprietà, detta "campo gravitazionale", che fissa

l'accelerazione che subisce un corpo (per esempio la Terra) messo in tale posizione.

Se ad un certo istante il Sole si sposta dalla sua posizione, il campo gravitazionale

ggia dal Sole con una

elocità pari alla velocità della luce. Solo quando essa raggiunge il generico punto

per tenere

conto della nuova posizione occupata dal sole, la quale, nel frattempo, può essere

nei vari punti dello spazio dovrà modificarsi per tenere conto di tale spostamento. La

variazione del campo però non avviene istantaneamente in tutti i punti dello spazio,

in quanto l'informazione dello spostamento avvenuto via

v

dello spazio, il campo gravitazionale in questo punto verrà modificato

ancora cambiata.

4.2 La teoria delle onde gravitazionali

La forza di gravità è tra tutte le forze della Natura quella che conosciamo da più

tempo. Una delle sue proprietà fondamentali – per cui tutti i corpi in caduta libera

hanno la stessa accelerazione - fu identificata da Galileo all'inizio del diciassettesimo

secolo. Verso la fine dello stesso secolo, Newton stabilì la legge di gravitazione

universale responsabile sia della forza di caduta dei gravi sia della forza di attrazione

tra pianeti. Infine, Einstein, con la teoria della Relatività Generale, stabilì la

connessione tra campo gravitazionale e struttura dello spazio-tempo. Tuttavia, ad

oggi disponiamo di pochissimi elementi sulle proprietà della forza gravitazionale.

Contrariamente a ciò che si potrebbe credere, l'interazione gravitazionale è la meno

conosciuta fra le interazioni fondamentali.

Nel 1916 Albert Einstein, nella sua teoria della Relatività Generale, previde

l'esistenza di onde gravitazionali emesse da masse in movimento, simili alle

increspature sulla superficie di uno stagno dopo il lancio di una pietra, che si

diffondono nello spazio alla velocità della luce. In base a questa teoria, tali onde sono

prodotte dal moto accelerato delle masse, così come le onde elettromagnetiche sono

- 21 -

generate dal moto accelerato delle cariche elettriche. A differenza della radiazione

elettromagnetica (per esempio la luce visibile) che può essere completamente

assorbita dalla materia, le onde gravitazionali, viaggiando nello spazio, si attenuano

olto debolmente nell'interazione con la materia, rendendo la loro rivelazione

no l'informazione di come il campo

gravitazionale varia nel tempo.

ne di un atomo se uno potesse misurare distanze dalla Terra fino

l Sole, ed è milioni di volte più piccola per due punti separati da una distanza di

rimangono invisibili ai

normali telescopi e possono essere rivelate sfruttando il fenomeno dell'interferenza.

m

straordinariamente difficile. Esse trasmetto

L'esistenza delle onde gravitazionali, contrariamente ad altri fenomeni fisici previsti

dalla teoria della relatività, non ha ancora trovato una verifica sperimentale diretta,

malgrado da decenni si siano moltiplicati, in tutto il mondo, gli sforzi per la loro

ricerca. La ricerca delle onde gravitazionali con esperimenti eseguiti sul suolo

terrestre è una delle grandi sfide della fisica contemporanea.

Le onde gravitazionali distorcono lo spazio tempo e producono forze in maniera tale

che la distanza tra due masse altrimenti libere, aumenta e diminuisce

alternativamente al passaggio dell'onda. L'ampiezza delle onde gravitazionali è la

misura della variazione relativa delle distanze tra due masse libere. Questa minuscola

variazione è quindi proporzionale alla distanza tra le due masse: sarebbe 'grande'

quanto la dimensio

a

pochi chilometri. Queste minuscole variazioni di distanza

Nel 1993, in collaborazione con il Centre National pour la Recherche Scientifique

(CNRS) (Francia), l'Istituto Nazionale di Fisica Nucleare varò il progetto Virgo, il

cui interferometro è stato completato nel 2003.

Figura 10: foto panoramica dell’interferometro Virgo

- 22 -

Virgo, costruito a Càscina, nei pressi di Pisa, è un interferometro laser di tipo

Michelson con due bracci di 3 km disposti ad angolo retto.

Figura 11: schema ottico dell’interferometro Virgo

Diamo un cenno al principio di funzionamento.

Il raggio laser, una volta giunto sul beam splitter (specchio semitrasparente) si scinde

in due raggi: uno è il raggio trasmesso, l'altro è quello riflesso. Ciascun raggio

percorre la cavità Fabry-Perot del proprio braccio e, tornato al beam splitter, si

ricombina con l'altro raggio in opposizione di fase (interferenza distruttiva). Al

fotodiodo non arriva pertanto alcun segnale (frangia scura). L'arrivo di un'onda

gravitazionale provoca una variazione della distanza relativa fra gli specchi terminali.

iò determina uno sfasamento fra i due raggi, una volta tornati al beam splitter.

ll'onda gravitazionale e', purtroppo,

sommerso da un'infinita' di segnali spuri, dovuti a fenomeni casuali non desiderati: i

cosiddetti "rumori". Occorre mettere in atto tutte quelle strategie finalizzate

all'amplificazione del segnale e all'eliminazione ed al controllo dei rumori.

C

Questo sfasamento elimina l'interferenza distruttiva e produce un segnale luminoso

rivelato dal fotodiodo.

Questo segnale, proporzionale all'ampiezza de

- 23 -

E’ necessario sapere che la sensibilità dello strumento all'onda gravitazionale è

proporzionale alla distanza relativa fra gli specchi terminali, che rappresentano le

masse test. Pertanto, si utilizzano cavità Fabry-Perot che, grazie a riflessioni multiple

della luce, aumentano la lunghezza ottica effettiva dei bracci da 3 a 95 km.

Per il secondo obiettivo, diamo un cenno sulle principali sorgenti di rumore e sulle

soluzioni adottate.

Una elevata potenza luminosa è importante perché consente un miglioramento della

sensibilità di m torna indietro

con il fascio incidente,

umentando la potenza luminosa del laser (20 W) di un fattore all’incirca 50 nelle

cavità risonanti Fabry-Perot.

Il rumore sismico provoca movimenti spuri delle componenti ottiche. Pertanto

bisogna tenere l'interferometro il più isolato possibile da terra per limitarne al

massimo gli effetti. A tal scopo tutte le componenti ottiche sono appese al

superattenuatore, formato da un pendolo invertito e da sei pendoli in cascata che

costituiscono i filtri sismici.

Le fluttuazioni dell'indice di rifrazione provocano fluttuazioni della lunghezza d'onda

della luce laser e pertanto sfasamenti in uscita che andrebbero a sommarsi ai segnali

di interesse. Per ovviare all'inconveniente tutto il sistema si trova sotto vuoto. Altro

importante contributo al rumore è quello termico, dovuto alle eccitazioni dei modi

termici degli specchi e delle sospensioni.

VIRGO è sensibile alle onde gravitazionali in un ampio spettro di frequenze, da 10 a

10,000 Hz. Questo dovrebbe consentire la rivelazione di radiazione gravitazionale

causata da sistemi binari, supernovae nella Via Lattea e nelle galassie esterne, fino

all'ammasso di g

IRGO funziona giorno e notte, ascoltando tutti i segnali che arrivano a qualsiasi

ti acquisiti con l'interferometro sono

isura. In questo schema, però, gran parte della luce

verso il laser. Per aumentare la potenza disponibile questa luce viene rimandata

nell'interferometro da uno specchio di ricircolo, in fase

a

alassie Virgo, che dà il nome a questo progetto.

V

momento da qualunque parte dell'Universo. I da

sottoposti ad una analisi preliminare per la rivelazione veloce di segnali anomali

potenzialmente interessanti. I dati vengono poi messi a disposizione della

collaborazione scientifica per una analisi più approfondita.

Attualmente, sul pianeta, ci sono altri quattro rivelatori simili a Virgo, realizzati con

gli stessi obiettivi. Quando Virgo e gli altri rivelatori avranno sufficiente sensibilità,

- 24 -

potranno funzionare come nuovi telescopi e consentirci di ottenere una diversa e più

completa immagine dell'universo. Se si riuscisse ad osservare le onde gravitazionali,

si avrebbe una serie di informazioni fisiche ed astronomiche non acquisibili con

l'odierna strumentazione.

ei campi

forza di gravità: per potere fare ciò deve esercitare sempre una

vità. Sono stati fatti molti tentativi di introdurre il

4.3 I gravitoni

Passando dal livello macroscopico a quello microspico, i mediatori d

gravitazionali sono i gravitoni, così come i fotoni sono i mediatori dei campi

elettromagnetici, cioè secondo la teoria quantistica la radiazione gravitazionale viene

intesa come la propagazione di quanti (particelle) caratteristici della gravità

(gravitoni).

Il gravitone è una particella elementare, ipoteticamente responsabile della

trasmissione della

forza attrattiva (la gravità non è mai repulsiva) ed agire a qualsiasi distanza (la

gravità è universale).

I gravitoni sono stati postulati per il semplice fatto che i quanti sono stati impiegati

con successo in altri campi. Dato il grande successo dei quanti nel descrivere il vasto

numero di forze dell'universo, è sembrato possibile che lo stesso metodo potesse

essere esteso anche alla gra

gravitone, che dovrebbe funzionare in maniera simile al fotone, ma finora non è mai

stato osservato. Si era sperato che questo avrebbe portato rapidamente ad una teoria

quantistica della gravitazione, anche se la formalizzazione matematica sarebbe stata

non priva di ostacoli.

- 25 -